2011年高考理科数学试题及答案重庆卷

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2011年高考数学理(重庆)(含答案解析)

2011年高考数学理（重庆）（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习2011年高考数学理（重庆）（含答案解析）1 复数（A）（B）（C）（D）【答案解析】 C本题主要考查复数单位i及复数的四则基本运算，以及转化的思想．难度较小＝＝－＝－＝－＝－i．2 是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案解析】 A本题主要考查一元二次不等式的解法及充要条件的判断．难度较小．解不等式x2－1＞0，得x＜－1或x＞1，因此当x＜－1成立时，x2－1＞0成立，而当x＜－1或x＞1成立时，x＜－1不一定成立，故选A．3 已知，则（A） (B)2 (C)3 (D)6【答案解析】 D本题主要考查函数的极限求法，同时考查转化的思想及简单的方程思想．难度较小．(＋)＝＝＝＝2，即a＝6．4 的展开式中与的系数相等，则=（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【答案解析】 B本题主要考查二项定理、组合数的应用，以及考查方程的思想、转化的思想，同时考查逻辑思维能力及运算能力．难度较小．方法1由题意可得C35＝C36，即C＝3C，即＝3·，即＝，解得n＝7．方法2当n＝6时，x5项的系数为C35＝1456，x6项的系数＝C36＝729，显然不成立．当n ＝7时，x5项的系数为C35＝5103，x6项的系数＝C36＝5103，满足条件．5 下列区间中，函数=在其上为增函数的是（A）（-（B）（C）（D）【答案解析】 D本题主要考查对数函数的单调性、图象的作法及应用，同时考查函数的数形结合的思想、转化的思想．难度较小．化f(x)为分段函数f(x)＝，作出函数的图象，如图所示，根据图象知f(x)在[1，2）上为增函数．6 若的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为（A）（B） (C)1 (D)【答案解析】 A本题主要考查余弦定理的应用，同时考查逻辑思维能力、简单的运算能力、整体代换的思想与转化的思想．难度较小．由(a＋b) 2－c2＝4，得a2＋b 2－c2＋2ab＝4．由余弦定理得a2＋b 2－c2＝2abcocosC＝ab，所以ab＋2ab＝4，即ab＝．7 已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是（A）（B）4(C) (D)5【答案解析】 C本题主要考查均值定理的应用，以及考查对代数式结构的变换能力．逻辑思维能力，同时考查转化的思想．难度一般．＋＝(＋)(a＋b)＝(5＋＋a)≥(5＋2)＝．8 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（A）（B）(C)(D)【答案解析】 B本题主要考查圆的方程、直线与圆相交的弦长问题、两点之间的距离、四边形面积等，同时考查数形结合的思想、逻辑思维能力、作图能力．难度中等．将圆方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10，则设圆心为G，易知G(1，3)．最长弦AC为过E的直径，则|AC|＝2．最短弦BD为与GE垂直的弦，如图所示．易知|BG|＝，|EG|＝＝，|BD|＝2|BE|＝＝2．所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝10．9 高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（A）（B） (C)1 (D) [来源:学|科|网Z|X|X|K]【答案解析】 C本题主要考查球的性质、棱锥的性质、平面间的距离等基础知识，以及考查转化的思想、构造的思想，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、图形的变换能力、创新解决问题的能力．难度中等偏上．如图所示，设球心为O，正方形的中心为O1，则OB＝1，O1B＝BD＝，所以点O到平面ABCD的距离OO1＝＝，因为四棱锥S－ABCD的底面的高为，可以想到四棱锥的顶点S是与平面ABCD平行且距离为的一个小圆的圆周上，此小圆的圆心O2在OO1的中点上，易知SO为线段OO1的垂直平分线，所以SO1＝SO＝1．10 设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8 （B）8 (C)12 (D)13【答案解析】 D本题主要考查不等式的性质、一元二次方程根的分布、一元二次函数的图象、不等式组表示的平面区域及最值问题等，以及考查数形结合的思想、转化的思想、方程与函数思想，同时考查逻辑思维能力、作图能力、运算能力、综合分析问题和解决问题的能力．难度较大．设f(x)＝mx2－kx＋2，由f(0)＝2，易知f(x)的图象恒过定点(0，2)，因此要使已知方程在区间(0，1)内两个不同的根，即f(x)的图象在区间(0，1)内有两个不同的交点，必有1，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，设z＝m＋k，则直线m＋k－z＝0经过图中的阴影中的整点(6，7)时，z＝m＋k取得最小值，即zmin＝13．11 在等差数列中，，则__________【答案解析】 74本题主要考查等差数列的基本运算及转化的能力．难度较小．方法1：由a3＋a7＝37，得(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝37，即2a1＋8d＝37．a2＋a4＋a6＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋3d)＋(a1＋5d)＋(a1＋7d)＝2(2a1＋8d)＝74．方法2：∵a3＋a7＝a2＋a8＝a4＋a6＝37，∴a2＋a4＋a6＋a8＝74．12 已知单位向量，的夹角为60°，则__________【答案解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积公式、模的求法等知识，以及考查转化的思想与运算能力．难度较小．方法1：|2e1－e2|2＝4e12－4e1·e2＋e22＝4|e1|2－4|e1||e2|·cos60°＋|e2|2＝4×12－4×1×1×＋12＝3，∴|2e1－e2|＝．方法2：在平面直角坐标系中取e1＝(1，0)，e1＝(，)，则|2e1－e2|＝|(0，)|＝．13 将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为__________【答案解析】本题主要考查独立重复试验的概率计算及分类思想．难度较小．方法1：处理为独立重复试验，正面出现的次数比反面出现的次数多的情况就是出现了4次、5次、6次正面，所以所求概率为C()4()2＋C()5()＋C()6＝．方法2：一枚均匀的硬币投掷6次，出现的正反面的情况有26，其中正面出现的次数比反面出现的次数的情况有C＋C＋C，则所求概率有＝．14 已知，且，则的值为__________【答案解析】－本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差公式、二倍角公式的三角恒等变换，以及考查转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．难度中等．方法1：＝＝＝－(cosa＋sina)，∵sina＝＋cosa，∴cos a－sina＝－，两边平方得1－2sinacosa＝－，所以2sinacosa＝．∵a∈(0，)，∴cosa＋sina＝＝＝，∴＝－．方法2：由条件得cosa－sina＝－，两边平方得1－2sinacosa＝－，所以sin2a＝．所以由a∈(0，)，知cos2a＝＝．于是＝＝－．15 设圆C位于抛物线与直线3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________【答案解析】－1本题主要考查圆与直线相切、圆与抛物线相切问题，以及考查判别式法、转化法等数学方法，同时考查方程思想、逻辑推理能力、运算能力．难度较大．由题意知，半径取得最大值的圆的圆心必在x轴上，高为(a,o)(0＜a＜3)，则半径为3－a，于是圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，将抛物线方程y2＝2x代入圆方程得(x－a)2＋2x ＝(a－3)2，即x2－2(a－1)x＋6a－9＝0，由△＝4(a－1)2－4(6a－9)＝0，即a2－8a＋10＝0，a＝4±，∵0＜a＜3，∴a＝4－，故圆C的半径能取到的最大值为3－a＝－1．16 设，满足，求函数在上的最大值和最小值.【答案解析】解：由因此当为增函数，当为减函数，所以又因为故上的最小值为17 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望【答案解析】解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A，则从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又综上知，ξ有分布列ξ12 3P从而有18 设的导数满足，其中常数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，求函数的极值．【答案解析】解：（I）因故令由已知又令由已知因此解得因此又因为故曲线处的切线方程为（II）由（I）知，从而有令当上为减函数；当在（0，3）上为增函数；当时，上为减函数；从而函数处取得极小值处取得极大值19 如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．（Ⅰ）若，，求四面体的体积；（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．【答案解析】（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面体ABCD的体积（II）解法一：如答（19）图1，设G，H 分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°设在从而因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x 轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为显然向量是平面ABC的法向量.已知二面角C—AB—D为60°，故可取平面ABD的单位法向量，使得设点B的坐标为，有易知与坐标系的建立方式不合，舍去.因此点B的坐标为所以从而故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为20 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．【答案解析】解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为（II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为21 设实数数列的前n项和，满足（I）若成等比数列，求和；（II）求证：对【答案解析】（I）解：由题意，由S2是等比中项知由解得（II）证法一：由题设条件有故从而对有①因，由①得要证，由①只要证即证此式明显成立.因此最后证若不然又因矛盾.因此证法二：由题设知，故方程（可能相同）.因此判别式又由因此，解得因此由，得因此。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数()A. B. C. D.2.“x＜－1”是“x2－1＞0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知，则a＝()A.－6B.2C.3D.64.(1＋3 x) n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.95.下列区间中，函数f( x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A.(－∞，1]B.C.D.[1,2)6.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足( a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A. B.8 C.1 D.7.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则的最小值是…()A. B.4 C. D.58.在圆x2＋y2－2 x－6 y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A. B. C. D.9.高为的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()A. B. C.1 D.10.设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m＋k 的最小值为()A.－8B.8C.12D.13二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在等差数列{ a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝__________.12.已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2 e1－e2|＝__________.13.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为__________．14.已知，且，则的值为__________．15.设圆C位于抛物线y2＝2 x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.设a∈R，满足，求函数f( x)在上的最大值和最小值．17.某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：(1).恰有2人申请A片区房源的概率；(2).申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．18.设f( x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′( x)满足f′(1)＝2 a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.(1).求曲线y＝f( x)在点(1，f(1(2).设g( x)＝f′( x)e－x，求函数g( x)的极值．19.如下图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°.(1).若AD＝2，AB＝2 BC，求四面体ABCD的体积；(2).若二面角C－AB－D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．20.如下图，椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为.(1).求该椭圆的标准方程；(2).设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON 的斜率之积为，问：是否存在两个定点F1，F2，使得| PF1|＋| PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21.设实数数列{ a n}的前n项和S n满足S n＋1＝a n＋1S n( n∈N*)．(1).若a1，S2，－2 a2成等比数列，求S2和a3；(2).求证：对k≥3有.。

2011年重庆高考数学试题及答案(理科)

房产税计算题P2205题：200平方米房产出租20万租金应纳房产税：20 000*12%=24 000元800平方米80万的房产应纳房产税：100/1000*(1000-200)*（1-30%）*1.2%=672元共纳税24672元6题：前四月三分之二的房产应纳房产税：6000*2/3*1.2%*（1-30%）/12*4=11.2万元前四月三分之一出租每月15万租金应纳房产税：15*4*12%=7.2万元大修期间三个月应纳房产税：6000*1.2%*（1-30%）/12*3=12.6万大修后五个月应纳房产税：（6000+120-80+300）*1.2%*（1-30%）/12*5=22.19万该栋房产应纳房产税合计7.2+11.2+12.6+22.19=53.19老师 ppt的计算题：A栋房产应纳房产税：2000*（1-20%）*1.2%=19.2万元B栋房产七个月租金应纳房产税：25*7*12%=21万元B栋房产五个月应纳房产税：1500*（1-20%）*1.2%/12*5=6万元C栋房产大修七个月免房产税C栋房产五个月应纳房产税：1000*（1-20%）*1.2%/12*5=4万元D栋房产投资联营固定收入应纳房产税：60*12%=7.2万元A、B、C、D栋房产应纳房产税总计：19.2+21+6+4+7.2=57.4万元印花税计算题P2682题：企业领取权利，许可证照应纳印花税：4*5=20元企业启用资金账簿和其它账簿应纳印花税：8*5+1 3500 000*0.05%=6790元企业签订财产租赁合同应纳印花税：120 000*0.1%+5=125元企业签订货物运输保管合同印花税:90 000*0.05%+80 000*0.1%=125元企业签订抵押贷款合同印花税：40 000*0.005%=20元企业产权转移书据应纳印花税：500 000*0.05%=250元该企业应纳印花税合计：20+6790+125+125+20+250=7330元3题：服装厂取得权利，许可证照应纳印花税：2*5=10元服装厂财产保险合同应纳印花税：(20 000+10 800)*0.1%=30.8元服装厂借款合同应纳印花税：5000 000*0.005%=250元服装厂委托加工合同应纳印花税：（20 000+30 000）*0.05%=25元服装厂货物运输保管合同应纳印花税从高征收：36 000*0.1%=36元服装厂应纳印花税合计：10+30.8+250+25+36=351.8企业所得税计算题P3242题：机械制造企业2010年利润总额：3000-1500-12-200-500+25-10.5=802.5万元纳税调整项目：①、广告费扣除限额：3000*15%=450万元，不调。

2011年重庆高考数学试题及答案(理科)

三、期末重点复习题单项选择题（一）1. 社会保障处理的是公共关系，即政府与（）的关系。

A．企业B．国民C．民间组织D．社会团体2. 现代社会保障历史上第一个正式法律制度是（），它标志着社会保障制度的诞生。

A．美国的《社会保险法》B．德国的《工伤社会保险法》C．德国的《疾病社会保险法》D．英国的《济贫法》3. 丹麦学者考斯塔•艾斯平-安德森在《福利资本主义的三个世界》中以福利分配的“非商品化”（decommodification）程度为标准，将西欧和北美国家的福利体制划分为三种类型，不包括（）。

A．“社会民主主义”B．“自由主义”C．“合作主义”D．“凯恩斯主义”4.“非商品化”是指不把（）作为商品，让福利分配与劳动贡献脱钩。

A．社会保障B．社会保险C．劳动力D．劳动成果5. 在考斯塔•艾斯平-安德森的《福利资本主义的三个世界》一书中，“非商品化”是指不把劳动力作为商品，让（）与劳动贡献脱钩。

A．工资收入B．实物分配C．福利分配D．福利贡献6. 社会民主主义福利体制实行（）、高福利，在福利分配方面有均等化倾向，福利分配的资格与个人劳动贡献或缴费记录关系不大，而主要取决于公民资格或居龄。

A．无税收B．低缴费C．低税收D．高税收7. 德国采用的社会保障模式是（）。

A．福利国家型B．社会保险型C．国家保险型D．个人储蓄型8. 新加坡采用的社会保障模式是（）。

A．福利国家型B．社会保险型C．国家保险型D．个人储蓄型9. 实行雇员单独负担社会保障费用这种方式的国家主要是拉丁美洲的一些国家，其中（）最有代表性。

A．巴西B．阿根廷C．智利D．古巴10. 以下哪项不是社会民主主义的社会保障原则？（）A．社会保障分配应该达到最大的平等，最大限度的缩小收入差距B．通过高额累进税筹集社会保障资金是不必要的和不合理的C．社会保障应该由政府全面责任，尽量免除个人责任D．建立“从摇篮到坟墓”的社会保障制度11. 下列选项中，不符合我国社会保障制度原则的是（）。

2011重庆高考数学理科(word版)

绝密*启用前解密时间：2011年6月7日 17:00 [考试时间：6月7日15:00—17:00] 2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数2311i i ii-++=-（A）1122i-- (B)11 22i -+(C) 1122i- (D) 11 22i +（2）“1x<-”是“210x->”的（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件（3）已知，则a=(A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6（4）其中n N∈且6a≥，式中的系数相等，则a=（A）6 (B)2(C)8 (D)9（5）下列区间中，函数()lg(2)f x n=-，在其上为增函数的是（A ）(,1]-∞ (B) 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) 3[0,)2(D)（1,2）（6）若A B C ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c ++=，且060C =，则a b 的值为（A ）43(B) 3-(C)1 (D) 23（7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则14y ab=+的最小值是（A ）72（B ）4（C ）（D ）5（8）在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（A ）（B ）（C ）（D ）（9）高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（A ）4（B ）2（C ）1 （D ）（10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8（C ）12 （D ）13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上。

2011年数学理(重庆)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数2341i i i i++=-A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i + 2．“x <-1”是“x 2-1>0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3．已知lim()x ax x x→∞2-1+=2-13，则a = A ．-6B ． 2C ．3D ．64．(13)(6)n x n N n +∈其中且≥的展开式中56x x 与的系数相等，则n=A ．6B ．7C ．8D ．95．下列区间中，函数f x =(2)In x -（）在其上为增函数的是A ．（-,1∞]B ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．)30,2⎡⎢⎣D ．[)1,26．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为A ．43B ．8-C ． 1D ．237．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b+的最小值是A ．72B ．4C ．92D ．58．在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210C．D ．2209．高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为ABC ．1D10．设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为 A ．-8 B ．8 C ．12 D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上 11．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________ 12．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________ 14．已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________ 15．设圆C 位于抛物线22y x =与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分13分）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在11[,]424ππ上的最大值和最小值. 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设()f x x ax bx 32=+++1的导数'()f x 满足'(),'()f a f b 1=22=-，其中常数,a b R ∈．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程；（Ⅱ）设()'()x g x f x e -=，求函数()g x 的极值．19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30︒．（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）若二面角C AB D --为60︒，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）如题（20）图，椭圆的中心为原点O ，离心率e =，一条准线的方程为x =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：OP OM ON =+2uu u r uuu r uuu r，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）设实数数列}{n a 的前n 项和n S ，满足)(*11N n S a S n n n ∈=++ （I ）若122,2a S a -成等比数列，求2S 和3a ；（II ）求证：对14303k k k a a +≥≤≤≤有参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1—5 CADBD 6—10 ACBCD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.11．74 1213．1132 14．2- 151 三、解答题：满分75分. 16．（本题13分）解：22()sin cos cos sin f x a x x x x =-+ sin 2cos 2.2ax x =-由1()(0)1,322a f f a π-=+=-=得解得因此()2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-当[,],2[,],()43632x x f x πππππ∈-∈时为增函数，当113[,],2[,],()324624x x f x πππππ∈-∈时为减函数，所以11()[,]() 2.443f x f πππ=在上的最大值为又因为11()()424f f ππ== 故11()[,]424f x ππ在上的最小值为11()24f π= 17．（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428.273C ⋅= 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则1().3P A =从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为22244128(2)()().3327P C ==（II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)((2))272733P C C C C C C P P ξξξ===+-======或12123342434444(3)((3)).9933C C C C A P P ξξ======或综上知，ξ有分布列从而有114465123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯= 18．（本题13分）解：（I ）因32()1,f x x ax bx =+++故2()32.f x x ax b '=++ 令1,(1)32,x f a b '==++得由已知(1)2,322, 3.f a a b a b '=++==-因此解得又令2,(2)124,x f a b '==++得由已知(2),f b '=- 因此124,a b b ++=-解得3.2a =-因此3235()31,(1)22f x x x x f =--+=-从而又因为3(1)2()3,2f '=⨯-=-故曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为5()3(1),6210.2y x x y --=--+-=即（II ）由（I ）知2()(333)xg x x x e -=--，从而有2()(39).xg x x x e -'=-+令212()0,390,0, 3.g x x x x x '=-+===得解得当(,0),()0,()(,0)x g x g x '∈-∞<-∞时故在上为减函数；当(0,3),()0,()x g x g x '∈>时故在（0，3）上为增函数；当(3,)x ∈+∞时，()0,()(3,)g x g x '<+∞故在上为减函数；从而函数1()0g x x =在处取得极小值2(0)3,3g x =-=在处取得极大值3(3)15.g e -= 19．（本题12分）（I ）解：如答（19）图1，设F 为AC 的中点，由于AD=CD ，所以DF ⊥AC.故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°在Rt △ABC 中，因AC=2AF=AB=2BC ，由勾股定理易知BC AB == 故四面体ABCD 的体积1114.332555ABC V S DF ∆=⋅⋅=⨯⨯=（II ）解法一：如答（19）图1，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG//AD ，GH//BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角.设E 为边AB 的中点，则EF//BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB.又由（I ）有DF ⊥平面ABC ，故由三垂线定理知DE ⊥AB.所以∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角，由题设知∠DEF=60°设,sin .2a AD a DF AD CAD ==⋅=则在,cot ,236a Rt DEF EF DF DEF ∆=⋅=⋅=中从而1.2GH BC EF === 因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD=AD=a ，从而，在Rt △BDF 中，122aFH BD ==，又1,22aFG AD ==从而在△FGH 中，因FG=FH ，由余弦定理得222cos 226FG GH FH GH FGH FG GH FG +-===⋅ 因此，异面直线AD 与BC解法二：如答（19）图2，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知AD=CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F —xyz.不妨设AD=2，由CD=AD ，∠CAD=30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为(0,(0,0,1),A C D AD = 则显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量. 已知二面角C —AB —D 为60°，故可取平面ABD 的单位法向量(,,)n l m n =，使得1,60,.2n k n <>==从而222,0,61,n AD n m l m n l ⊥+==-++== 由从而由得设点B的坐标为(,,0);,,B x y AB BC n AB l ⊥⊥= 由取223,,0,9,)0,36x y x x y x y y ⎧⎧+==⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪-+=⎩⎪⎪=⎩⎪⎩解之得舍去易知3l =-. 因此点B的坐标为(,,0).99B所以(,99CB =- 从而cos ,||||AD CBAD CB AD CB ⋅<>===故异面直线AD 与BC20．（本题12分）解：（I）由22c a e a c===解得2222,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为221.42x y += （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由2OP OM ON =+ 得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故222222*********(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y += 所以22220.x y += 所以P221+=上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|为定值，又因c ==，因此两焦点的坐标为12(F F21．（本题12分）（I ）解：由题意2221222221122,2,S a a S S S a S a a ⎧=-=-⎨==⎩得，由S 2是等比中项知220. 2.S S ≠=-因此由23332S a S a S +==解得23222.1213S a S -===---（II ）证法一：由题设条件有11,n n n n S a a S +++=故11111,1,,11n n n n n n n n S aS a a S S a ++++≠≠==--且从而对3k ≥有112112112111211111.11111k k k k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a a S a S a a a a ---------------++-====-+--++-- ①因2221111131()0024k k k k a a a a -----+=-+>≥且，由①得0k a ≥ 要证43k a ≤，由①只要证212114,31k k k a a a ---≤-+即证222111134(1),(2)0.k k k k a a a a ----≤-+-≥即此式明显成立. 因此4(3).3k a k ≤≥ 最后证1.k k a a +≤若不然212,1kk k k k a a a a a +=>-+ 又因220,1,(1)0.1kk k k k a a a a a ≥>-<-+故即矛盾. 因此1(3).k k a a k +≤≥证法二：由题设知111n n n n n S S a a S +++=+=，故方程21110n n n n x S x S S a +++-+=有根和（可能相同）.因此判别式21140.n n S S ++∆=-≥又由2212212121.1n n n n n n n n n a S S a a S a S a +++++++++=+=≠=-得且因此22222222240,3401(1)n n n n n n a a a a a a ++++++-≥-≤--即，解得240.3n a +≤≤ 因此40(3).3k a k ≤≤≥由110(3)1k k k S a k S --=≥≥-，得111211122111(1)(1)11110.131()24k k k k k k k k k k k k k kkk k k S S Sa a a a a S a S S S a a S S S --+-------=-=-=-----=-=-≤-+-+因此1(3).k ka a k +≤≥。

2011年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B． C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数====故选C【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．【解答】解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故选：D．【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．4．（3分）（2011•重庆）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r∴展开式中x5与x6的系数分别是35C n5，36C n6∴35C n5=36C n6解得n=7故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C．D．（1，2）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab 的值为（）A．B．C．1 D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD 的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B．【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．9．（3分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算；球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD的中心与顶点S 之间的距离．【解答】解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心O的距离为1，所以底面ABCD的中心O'与顶点S之间的距离为1故选C【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，考查逻辑推理能力，计算能力，转化与划归的思想．10．（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．【解答】解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即z min=13．故选D．【点评】此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）（2011•重庆）在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8= 74 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n}中，a3+a7=37，∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，故答案为：74【点评】本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．12．（3分）（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|= ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【解答】解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为【点评】本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．13．（3分）（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题．14．（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．【点评】主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin （2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222，得到概率．（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：∴Eξ=【点评】本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．（13分）（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．19．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题；数形结合．【分析】（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解答】解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•sin∠CAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角或其补角，EM=FM=，由余弦定理得cos∠MEF===．【点评】此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．20．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进而求得x2+2y2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵点M，N在椭圆上，所以，故x2+2y2=（x12+4x22+4x1x2）+2（y12+4y22+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=﹣∴x1x2+2y1y2=0∴x2+2y2=20所以P在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F 1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21．（12分）（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．（Ⅱ）由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，S n≠1，a n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a n﹣1≤．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）证明：因为S n+1=a1+a2+a3+…+a n+a n+1=a n+1+S n，由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，∴S n≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k===①因，且，要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．。

2011年重庆市高考数学试卷及解析

2011年重庆市高考数学试卷及解析满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数2341i i i i++=-A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i + 2．“x <-1”是“x 2-1>0”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3．已知lim()x ax x x→∞2-1+=2-13，则a = A ．-6B ． 2C ．3D ．64．(13)(6)nx n N n +∈其中且≥的展开式中56x x 与的系数相等，则n=A ．6B ．7C ．8D ．95．下列区间中，函数f x =(2)In x -（）在其上为增函数的是A ．（-,1∞]B ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．)30,2⎡⎢⎣D ．[)1,26．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为A ．43B ．8-C ． 1D ．237．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b+的最小值是A ．72B ．4C ．92D ．58．在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210C ．D ．2209．高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为ABC ．1D10．设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为 A ．-8 B ．8 C ．12 D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上 11．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________ 12．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________ 14．已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________ 15．设圆C 位于抛物线22y x =与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分13分）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在11[,]424ππ上的最大值和最小值.17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设()f x x ax bx 32=+++1的导数'()f x 满足'(),'()f a f b 1=22=-，其中常数,a b R ∈．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程；（Ⅱ）设()'()x g x f x e -=，求函数()g x 的极值．19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30︒．（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）若二面角C AB D --为60︒，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）如题（20）图，椭圆的中心为原点O ，离心率e =2，一条准线的方程为x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：OP OM ON =+2uu u r uuu r uuu r，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON的斜率之积为1-2，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）设实数数列}{n a 的前n 项和n S ，满足)(*11N n S a S n n n ∈=++ （I ）若122,2a S a -成等比数列，求2S 和3a ；（II ）求证：对14303k k k a a +≥≤≤≤有参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1—5 CADBD 6—10 ACBCD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.11．74 12 13．1132 14．2- 151 三、解答题：满分75分. 16．（本题13分）解：22()sin cos cos sin f x a x x x x =-+ sin 2cos 2.2ax x =-由1()(0)1,322a f f a π-=-+=-=得解得因此()2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-当[,],2[,],()43632x x f x πππππ∈-∈时为增函数，当113[,],2[,],()324624x x f x πππππ∈-∈时为减函数，所以11()[,]() 2.443f x f πππ=在上的最大值为又因为11()()424f f ππ==故11()[,]424f x ππ在上的最小值为11()24f π=17．（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428.273C ⋅= 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则1().3P A =从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为22244128(2)()().3327P C ==（II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)((2))272733P C C C C C C P P ξξξ===+-======或 12123342434444(3)((3)).9933C C C C A P P ξξ======或从而有114465123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯= 18．（本题13分）解：（I ）因32()1,f x x ax bx =+++故2()32.f x x ax b '=++ 令1,(1)32,x f a b '==++得由已知(1)2,322, 3.f a a b a b '=++==-因此解得又令2,(2)124,x f a b '==++得由已知(2),f b '=- 因此124,a b b ++=-解得3.2a =-因此3235()31,(1)22f x x x x f =--+=-从而又因为3(1)2()3,2f '=⨯-=-故曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为5()3(1),6210.2y x x y --=--+-=即（II ）由（I ）知2()(333)x g x x x e -=--，从而有2()(39).x g x x x e -'=-+令212()0,390,0, 3.g x x x x x '=-+===得解得当(,0),()0,()(,0)x g x g x '∈-∞<-∞时故在上为减函数；当(0,3),()0,()x g x g x '∈>时故在（0，3）上为增函数；当(3,)x ∈+∞时，()0,()(3,)g x g x '<+∞故在上为减函数；从而函数1()0g x x =在处取得极小值2(0)3,3g x =-=在处取得极大值3(3)15.g e -= 19．（本题12分）（I ）解：如答（19）图1，设F 为AC 的中点，由于AD=CD ，所以DF ⊥AC.故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°在Rt △ABC 中，因AC=2AF=AB=2BC ，由勾股定理易知BC AB == 故四面体ABCD 的体积1114.332555ABC V S DF ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=（II ）解法一：如答（19）图1，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG//AD ，GH//BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角. 设E 为边AB 的中点，则EF//BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB.又由（I ）有DF ⊥平面ABC ，故由三垂线定理知DE ⊥AB.所以∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角，由题设知∠DEF=60°设,sin .2a AD a DF AD CAD ==⋅=则在,cot ,236a Rt DEF EF DF DEF a ∆=⋅=⋅=中从而1.2GH BC EF === 因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD=AD=a ，从而，在Rt △BDF 中，122aFH BD ==，又1,22aFG AD ==从而在△FGH 中，因FG=FH ，由余弦定理得222cos 226FG GH FH GH FGH FG GH FG +-===⋅ 因此，异面直线AD 与BC所成角的余弦值为6解法二：如答（19）图2，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知AD=CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F —xyz.不妨设AD=2，由CD=AD ，∠CAD=30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为(0,(0,0,1),A C D AD = 则显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量. 已知二面角C —AB —D 为60°，故可取平面ABD 的单位法向量(,,)n l m n =，使得1,60,.2n k n <>==从而222,0,1,n AD n m l m n l ⊥+==++== 由从而由得设点B的坐标为(,,0);,,3B x y AB BC n AB l ⊥⊥=由取223,0,,)0,x y x x y x y y ⎧⎧+==⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪-+=⎩⎪=⎪⎩解之得舍去易知3l =-. 因此点B的坐标为B所以CB = 从而cos ,||||AD CBAD CB AD CB ⋅<>===故异面直线AD 与BC所成的角的余弦值为620．（本题12分）解：（I）由2c a e a c===解得2222,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为221.42x y += （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由2OP OM ON =+ 得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故222222*********(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y += 所以22220.x y += 所以P221+=上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|为定值，又因c ==，因此两焦点的坐标为12(F F21．（本题12分）（I ）解：由题意2221222221122,2,S a a S S S a S a a ⎧=-=-⎨==⎩得，由S 2是等比中项知220. 2.S S ≠=-因此由23332S a S a S +==解得23222.1213S a S -===---（II ）证法一：由题设条件有11,n n n n S a a S +++=故11111,1,,11n n n n n n n n S a S a a S S a ++++≠≠==--且从而对3k ≥有112112112111211111.11111k k k k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a a S a S a a a a ---------------++-====-+--++-- ①因2221111131()0024k k k k a a a a -----+=-+>≥且，由①得0k a ≥ 要证43k a ≤，由①只要证212114,31k k k a a a ---≤-+即证222111134(1),(2)0.k k k k a a a a ----≤-+-≥即此式明显成立. 因此4(3).3k a k ≤≥ 最后证1.k k a a +≤若不然212,1kk k k k a a a a a +=>-+ 又因220,1,(1)0.1k k k k k a a a a a ≥>-<-+故即矛盾. 因此1(3).k k a a k +≤≥证法二：由题设知111n n n n n S S a a S +++=+=，故方程21110n n n n x S x S S a +++-+=有根和（可能相同）.因此判别式21140.n n S S ++∆=-≥又由2212212121.1n n n n n n n n n a S S a a S a S a +++++++++=+=≠=-得且因此22222222240,3401(1)n n n n n n a a a a a a ++++++-≥-≤--即，解得240.3n a +≤≤ 因此40(3).3k a k ≤≤≥由110(3)1k k k S a k S --=≥≥-，得111211122111(1)(1)11110.131()24k k k k k k k k k k k k k kkk k k S S Sa a a a a S a S S S a a S S S --+-------=-=-=-----=-=-≤-+-+因此1(3).k ka a k +≤≥。

2011年重庆高考数学理科试卷(带详解)

第20题图【测量目标】椭圆的简单性质，椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系,椭圆的定义,圆锥曲线
中的探索问题. 【考查方式】根据椭圆的性质，求出各参数，得到椭圆的标准方程;利用直线与椭圆的位置关系，通过直线方程和椭圆方程的联立，探索椭圆中是否存在定点问题. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由 (步骤1) 求得.
为
( )
A． B. C.1
D.
【测量目标】点、线、面间的距离，球内接多面体.
【考查方式】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，可以推出顶点S在球心
距的垂直分的平面上，根据条件，则可求出距离．
【难易程度】较难
【参考答案】C
【试题解析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥
的高为，
点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离
在区间上单调递增（步骤2）
故选D.
6．若的内角所对的边满足，且则的值
为
( )
A． B. C.1
D.
【测量目标】余弦定理.
【考查方式】将已知的等式展开；利用余弦定理表示满足的条件，继而
求值．
【难易程度】中等
【参考答案】A
【试题解析】∵
即
由余弦定理得，（步骤1）
∵
∴，（步骤2）.故选A．
7．已知，则的最小值是
第19题图【测量目标】异面直线及其所成的角,棱锥的体积,三垂线定理. 【考查方式】根据所给的几何图形以及已知的条件，找到椎体的底面和高，利用椎体的体积公式，求值;根据三垂线定理，找到二面角的平面角，利用平移找到异面直线所成的角，求余弦值【难易程度】较难【试题解析】(I)设F为AC的中点，由于，所以．(步骤1) 故由平面⊥平面，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，(步骤2) 且，，(步骤3) 在中，因，，由勾股定理易知，．(步骤4) 故四面体ABCD的体积V=．(步骤5) (II)设G，H分别为边CD，BD的中点，则，(步骤6) 从而是异面直线AD与BC所成角或其补角．设E为边AB的中点，则，由，知，(步骤7) 又由(I)有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知，所以为二面角C﹣AB﹣D的平面角，(步骤8) 由题设知．设AD=a，则，(步骤9) 在中，，(步骤10)

2011年重庆高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数231i +i +i 1i -﹣=( )A.11i 22-B.11i 22-+C.13i 22-D.13i 22+【测量目标】复数代数形式的混合运算.【考查方式】直接给出复数的代数式，求值. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题分析】复数231i +i +i 1i -﹣=1i i 1i ----=(12i)(1+i)(1i)(1+i)---=13i 2-=13i 22-.故选C2. “1x -＜”是“210x -＞”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充要条件的判断，不等式的解. 【考查方式】根据不等式的解，判断充要条件. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题分析】∵“2”“10x x ⇒-＜-1＞”， “210x -＞”⇒“1x -＜或1x ＞”．∴“1x -＜”是“210x -＞”的充分而不必要条件．故选A ． 3．已知21lim()213x ax x x→∞-+=-，则a = ( )A ．6 B.2C ．3 D.6【测量目标】极限的运算.【考查方式】先将极限式通分化简，根据极限值，求未知数．【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】原式=23(1)(1)lim3(1)x x ax x x x →∞⨯+---(步骤1)=22(5)1lim 33x ax a x x x→∞+-+- =2(5)1lim33x a a x x x→∞-++-（步骤2） =23a= ∴a =6 （步骤3）故答案选D ．4．() 13nx + (其中n ∈N 且6n …)的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =( )A ．6 B.7 C ．8 D.9【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中5x 与6x 的系数，列出方程求出n ．【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】二项式展开式的通项为13C r r r r n T x +=（步骤1） ∴展开式中5x 与6x 的系数分别是55663C 3C n n ，（步骤2） ∴55663C 3C n n = 解得n =7（步骤3）故选B5．下列区间中，函数()|lg(2)|f x x =-，在其上为增函数的是( )A.(],1-∞B. 4[1,]3-C.3[0,)2D. (1,2)【测量目标】对数函数的单调性，分段函数，零点.【考查方式】根据零点分段法，我们易将函数解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则，求出函数的单调区间进而得到结论．【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】∵()|lg(2)|f x x =-， ∴()lg(2),1lg(2),12x x f x x x -⎧=⎨--<<⎩…（步骤1）根据复合函数的单调性我们易得在区间(],1-∞上单调递减在区间(1,2)上单调递增（步骤2）故选D.6．若ABC △的内角A B C ，，所对的边a b c ，，满足()224a b c +-=，且60C =，则ab的值为 ( )A ．43B. 8-C.1D.23【测量目标】余弦定理.【考查方式】将已知的等式展开；利用余弦定理表示满足的条件，继而求值．【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】∵()224a b c +-=，即22224a b c ab +-+=，由余弦定理得2cos 24ab C ab +=，（步骤1） ∵60C =， ∴43ab =，（步骤2）.故选A ． 7．已知002a b a b +=＞，＞，，则14y a b=+的最小值是( )A ．72B.4C.92D.5【测量目标】基本不等式.【考查方式】根据题设中的等式，把表达式转化展开，利用基本不等式求最小值．【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】2a b += ，∴12a b+=（步骤1） ∴14y a b =+=14()2a b a b +（+）525922222b a a b =+++=… (当且仅当2b a =时等号成立)（步骤2）故选C8．在圆22260x y x y +--=内，过点(01)E ，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ( )A. B. C. D. 【测量目标】圆的标准方程，两点间的距离公式，面积公式.【考查方式】把圆的方程化为标准方程后，得到圆心坐标与圆的半径，根据两点间的距离公式求长度，再根据面积公式求四边形面积. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】把圆的方程化为标准方程得：22(1)(3)10x y -+-=，则圆心坐标为(13)，（步骤1）根据题意画出图象，如图所示：（步骤2）由图象可知：过点E 最长的弦为直径AC ，最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦，则AC MB ME ===,所以2BD BE ==AC BD ⊥，（步骤3）所以四边形ABCD 的面积S=12•AC BD =12⨯=．（步骤4）故选B第8题图9.高为4的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )A ．4 B.2C.1【测量目标】点、线、面间的距离，球内接多面体.【考查方式】由题意可知ABCD 所在的圆是小圆，可以推出顶点S 在球心距的垂直分的平面上，根据条件，则可求出距离．【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】由题意可知ABCD4，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1S 在球心距的垂直分的平面上，而顶点S 到球心的距离为1，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为1.故选C10.设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间(01)，内有两个不同的根，则m k +的最小值为 ( ) A ．8- B.8 C.12 D.15 【测量目标】二次函数的性质，函数零点，解不等式. 【考查方式】利用函数零点的有关性质，得到关系，根据函数的性质求解不等式，进而求解．【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】令()22f x mx kx =-+，则()f x 在(01)，内有两个不同的零点，又()02f =，由二次函数图象可知，m 0,()0,(1)02kf f m<>＞，（步骤1）即由题意可以得到： 20(1)20()2024012m f m k k k f mm km >⎧⎪=-+>⎪⎪⎨=-+<⎪⎪<<⎪⎩（步骤2）228k k m ⇒﹣＜＜且02k m ＜＜，（步骤3）又因为m ，k 为整数且m 为正整数，由上证知k 为正整数，故为使得m+k 最小，（步骤4）只需令123k =，，…时，得到k 的取值为8时，m 的取值为7，此时m+k 的最小值为15．（步骤5）故答案选：D 二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)11.在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++= ．【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，直接计算出结果．【难易程度】容易. 【参考答案】74【试题解析】等差数列{}n a 中，3737a a += ∵37284637a a a a a a +=+=+= ∴2468373774a a a a +++=+=，故答案为：7412.已知单位向量i j e ,e 的夹角为60，则2_____i j -=e e ．【测量目标】平面向量数量积.【考查方式】由向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【难易程度】容易.【试题解析】22i j -e e =2(2)i j -e e =2244i i j j -+e e e e =54cos60-=3∴2i j -=e e13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_______．【测量目标】互斥事件的概率，独立重复试验.【考查方式】根据独立重复试验，得到互斥的情况，写出概率，得到结果. 【难易程度】中等【参考答案】1132【试题解析】由题意知本题是一个n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，（步骤1）正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，（步骤2） ∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是242611()()22C +55611()()22C +61()2=1561646464++=1132（步骤3）故答案为：113214．已知1sin cos 2αα=+，且π(0,)2α∈，则cos 2πsin()2αα-的值为______．【测量目标】二倍角，同角三角函数的基本关系，正弦的两角和公式.【考查方式】利用题设等式，两边平方后即可求得sin2α，进而根据同角三角函数的基本关系求得cos2α，利用把原式的分母展开，把cos2α和sin cos αα-的值代入即可．【难易程度】中等【参考答案】2-【试题解析】∵1sin cos 2αα=+ ∴1sin cos 2αα-=，（步骤1）两边平方后求得112sin cos 4αα-=，∴3sin 24α=（步骤2） ∵1sin cos 0,2αα-=> ∴ππ(,)42α∈（步骤2）∴π2(,π)2α∈∴cos 2α==4）∴cos2πsin()2αα===-（步骤5）故答案为：2-15．动圆的圆心在抛物线28y x=上，且动圆恒与直线20x+=相切，则动圆必过点．【测量目标】抛物线的方程，定义.【考查方式】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【难易程度】较难【参考答案】(2,0)【试题解析】抛物线28y x=的焦点(20)F，，准线方程为20x+=，（步骤1）故圆心到直线20x+=的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．（步骤2）故答案为：(2,0)．三、解答题(共6小题，满分75分)16．设()2πcos(sin cos)cos()2f x x a x x xα∈=-+-R，满足π()(0)3f f-=，求函数f(x)在π11π[,]424上的最大值和最小值．【测量目标】由()siny A xωϕ=+的部分图象求解析式，利用函数的单调性求最值,二倍角. 【考查方式】利用二倍角公式化简函数()f x，然后根据已给的条件，求出参数的值，进一步求解析式，再根据自变量的范围求出π26x-的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【难易程度】中等【试题解析】()2πcos(sin cos)cos()2f x x a x x x=-+-=22sin cos cos sina x x x x-+=sin2cos22ax x-(步骤1)由π()(0)3f f-=得1122a+=-解得a=所以()π2sin(2)6f x x=-，(步骤2)所以ππ[,]43x∈时πππ2[,]632x-∈，()f x是增函数，(步骤3)所以π11π[,]324x∈时ππ3π2[,]624x-∈，()f x是减函数，(步骤4)函数()f x在π11π[,]424上的最大值是：π()23f=；(步骤5)又π()4f=11π()24f=(步骤6)所以函数f(x)在π11π[,]424上的最小值为：11π()24f =(步骤7)17.某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (Ⅰ)恰有2人申请A 片区房源的概率；(Ⅱ)申请的房源在片区的个数的ξ分布列与期望．【测量目标】离散型随机变量的期望，等可能事件的概率.【考查方式】(I)给出等可能事件的实际例子，分析得到包含的的事件的个数，再求目标的个数，得到概率；根据题意，结合第一问，写出变量对应的概率，画出分布列，求出变量的期望值.【难易程度】中等【试题解析】(I)由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，(步骤1) 满足条件的事件是恰有2人申请A 片区房源，共有224C 2(步骤2)∴根据等可能事件的概率公式得到P =224423C =827(步骤3)(II)由题意知ξ的可能取值是1，2，3()4311327P ξ===，(步骤4) ()21322324424C ()142327C C C C P ξ+===，(步骤5) ()234344339C A P ξ===(步骤6)∴ξ的分布列是(步骤7)∴1144651232727927E ξ=⨯+⨯+⨯=.(步骤8) 18．设()321f x x ax bx =+++的导数()f x '满足()()122f a f b ''==-，，其中常数a ，b ∈R ．(I)求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程． (II)设()()1e g xf x ='﹣．求函数()g x 的极值．【测量目标】导数的几何意义，函数零点的应用，利用导数求极值，求函数解析式.【考查方式】已知含参数的函数解析式，根据两个导数值的联立，求出参数得到函数的解析式，进而求具体某点的切线方程;构造新函数，分类讨论，利用导数求极值. 【难易程度】较难【试题解析】(I)∵32()1f x x ax bx =+++ ∴2()32f x x ax b '=++．(步骤1)令1x =，得()1322f a b a '=++=，解得3b =-(步骤2)令2x =，得(2)124f a b b '=++=-，因此124a b b ++=-，解得32a =-，(步骤3)因此323()312f x x x x -=-+∴5(1)2f =-，(步骤4) 又∵3(1)2()32f '=⨯-=-故曲线在点(1(1))f ，处的切线方程为5()3(1)2y x --=--，即6210x y +-=．(步骤5)(II)由(I)知()2(333)e x g x x x =---从而有2()(39)e x g x x x '=-+-(步骤6)令()0g x '=，则0x =或3x =∵当(0)x ∈-∞，时，g ()0x '＜，(步骤7) 当(03)x ∈，时，g ()0x '＞，当(3)x ∈+∞，时，g ()0x '＜，(步骤8) ∴()2(333)e x g x x x -=--在0x =时取极小值()03g =-，在3x =时取极大值()3315e g =﹣(步骤9)19．如图，在四面体ABCD 中，平面30ABC ACD AB BC AD CD CAD ⊥⊥=∠=︒，，， (Ⅰ)若22AD AB BC ==，，求四面体ABCD 的体积．(Ⅱ)若二面角C ﹣AB ﹣D 为60，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．第19题图【测量目标】异面直线及其所成的角,棱锥的体积,三垂线定理.【考查方式】根据所给的几何图形以及已知的条件，找到椎体的底面和高，利用椎体的体积公式，求值;根据三垂线定理，找到二面角的平面角，利用平移找到异面直线所成的角，求余弦值【难易程度】较难【试题解析】(I)设F 为AC 的中点，由于AD CD =，所以DF AC ⊥．(步骤1)故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，(步骤2) 且sin301DF AD ==，cos30AF AD == (步骤3)在Rt ABC △中，因2AC AF ==2AB BC =，由勾股定理易知5BC =，5AB =．(步骤4)故四面体ABCD 的体积V=1114=3325ABC S DF ⨯ △．(步骤5) (II)设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG AD GH BC ，，(步骤6) 从而FGH ∠是异面直线AD 与BC 所成角或其补角．设E 为边AB 的中点，则EF BC ，由AB BC ⊥，知EF AB ⊥，(步骤7) 又由(I)有DF ⊥平面ABC ，故由三垂线定理知DE AB ⊥，所以DEF ∠为二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角，(步骤8)由题设知60DEF ∠=．设AD=a ，则•sin 2aDF AD S CAD ==，(步骤9)在Rt DEF △中，•cot 236a EF DF DEF === ，(步骤10)从而12GH =，6BC EF ==，因Rt Rt ADE BDE △≌△，故在Rt BDF △中，1=22aFH BD =．(步骤11)又122aFG AD ==，从而在FGH △中，因FG=FH ，由余弦定理得222cos =26FG GH FH GH FGH FG GH FG +-==．(步骤12)20.如图，椭圆的中心为原点O ，离心率2e =，一条准线的方程为x =(Ⅰ)求该椭圆的标准方程．(Ⅱ)设动点P 满足2OP OM ON =+，其中M ，N 是椭圆上的点．直线OM 与ON 的斜率之积为12-．问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|+|PF 2|为定值．若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．第20题图【测量目标】椭圆的简单性质，椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系,椭圆的定义,圆锥曲线中的探索问题.【考查方式】根据椭圆的性质，求出各参数，得到椭圆的标准方程;利用直线与椭圆的位置关系，通过直线方程和椭圆方程的联立，探索椭圆中是否存在定点问题. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由 22c a e a c===步骤1)求得2a c ==，.∴b ==步骤2∴椭圆的方程为： 22142x y +=(步骤3) (Ⅱ)设1122()()()P x y M x y N x y ，，，，，，则由2OP OM ON =+，得1122()()2()x y x y x y =+，，，,即121222x x x y y y =+=+，，(步骤4) ∵点M ，N 在椭圆上，所以2211142x y +=，2222142x y += 故()()()2222221212121212122442442042x y x x x x y y y y x x y y +=+++++=++(步骤5)设0M ON k k ，分别为直线OM ON ，的斜率，根据题意可知012M ON k k =-(步骤6) ∴121220x x y y +=∴22220x y +=(步骤7)所以P 在椭圆2212010x y +=设该椭圆的左，右焦点为F 1，F 2，(步骤8) 由椭圆的定义可推断出12PF PF +为定值，因为c =，则这两个焦点坐标是(.(步骤9)21.设实数数列{}n a 的前n 项和S n 满足()11n n n S a S n ++=∈*N ．(Ⅰ)若122,,2a S a -成等比数列，求S 2和a 3． (Ⅱ)求证：对3k …有1403n a ﹣剟．【测量目标】等比数列的性质，间接证明，数列的通项公式与前n 项和。

(完整版)2011年重庆高考理科数学试卷及答案详解WORD版(答案超级详细),推荐文档

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）(试卷及答案详解)一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）复数2341i i i i++=- （A ）1122i -- (B) 1122i -+(C) 1122i - (D) 1122i +解析：选B. ()()()234111111112i i i i i i ii i i i -+++--+-===---+。

（2）“1x <-”是“210x ->”的（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析：选A. 21011x x x ->⇔><-或，，故“1x <-”是“210x ->”的充分而不必要条件（3）已知21lim 213x ax x x →∞-⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，则a = (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6解析：选D.()()222512161lim lim lim 2133133x x x ax a x ax x ax ax x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫--+-+--+⎛⎫+=== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭,故 263aa =⇒=（4）()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7(C) 8 (D)9解析：选B 。

()13nx +的通项为()13rrr n T C x +=，故5x 与6x 的系数分别为553n C 和663n C ，令他们相等，得：()()56!!335!5!6!6!n n n n =--，解得n =7（5）下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是（A ）(,1]-∞ (B) 41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) 3[0,)2(D) [1,2)解析：选D 。

用图像法解决，将lg y x =的图像关于y 轴对称得到()lg y x =-，再向右平移两个单位，得到()()lg 2y x =--，将得到的图像在x 轴下方的部分翻折上来，即得到()lg(2)f x x =-的图像。

2011年重庆高考数学试题(理科)

2012.4.21联考行测（辽宁版）第一部分言语理解与表达（共40题，参考时限35分钟）1. 史学研究如果离开了哲学的_____，不关注重大的历史事变和基本的理论问题，以繁琐考辨取代理论思维，以堆砌资料为_____，以叠床架屋为_____，拾芝麻以为玑珠，袭陈言而自诩多闻，见枯木以为树林,_____，见小遗大，就注定要湮没在史料的汪洋之中，堕落为服务故纸堆的陈腐工具。

依次填入划横线部分最恰当的一项是：A．指引多强一孔见天 B．引导广美窥斑见豹C．指导博精以偏概全 D．指点全妙以管窥天2．克罗地亚在入欧盟的过程中，将国内仅有的数十家大型国企卖给了外国投资者，而很多工厂企业也在入欧盟改革中纷纷关闭，有人说这将使得克罗地亚的发展_____。

但是，克罗地亚目前的经济水平比起欧盟中那些负债累累的国家来说还是要_____。

现在看来，加入欧盟后克罗地亚将负担援助他国的义务才是大问题，这恐怕与克罗地亚人的预期_____。

依次填入划横线部分最恰当的一项是：A．难以可期聊以自慰相差甚大 B．难以实现稍胜一筹相去甚远C．难以为继略胜一筹相差甚远 D．难以持续后来居上相去良多3．文化认同作为小到一个群体、大到一个民族向心力的有机“粘合剂”,是凝聚这个群体和民族伟大精神力量的_____。

文化认同如果缺失，社会语境便趋于焦虑,人们的价值取向便会_____，因为文化认同相对于政治认同和社会认同，具有更深远的_____。

依次填入划横线部分最恰当的一项是：A．基础丧失意义 B．根本丢失价值C．根基迷失内涵 D．基础失落涵义4．“徒法不足以自行”。

在目前公车管理还不甚规范的大环境下，单一的公车尾号限行政策值得_____。

真要实行的话，要_____其负面作用。

至少，要_____拿出措施防止公车因此而增加。

依次填入划横线部分最恰当的一项是：A．商议提防临阵磨枪 B．商榷谨防未雨绸缪C．商讨警惕居安思危 D．商量防备有备无患5．中国古代货币，是世界上起源最早的货币之一。

2011年重庆市高考数学试卷(理科)及答案

2011年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）复数=（）A．B．C． D．2．（3分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．64．（3分）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．95．（3分）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C． D．（1，2）6．（3分）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B． C．1 D．7．（3分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．58．（3分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．9．（3分）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．1 D．10．（3分）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=．12．（3分）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．13．（3分）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．14．（3分）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．15．（3分）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．17．（13分）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．18．（13分）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．20．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B．C． D．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数====故选C2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．【解答】解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故选：D．4．（3分）（2011•重庆）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．=3r C n r x r【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1∴展开式中x5与x6的系数分别是35C n5，36C n6∴35C n5=36C n6解得n=7故选B5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C． D．（1，2）【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B． C．1 D．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B．9．（3分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S 之间的距离为（）A．B．C．1 D．【分析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离．【解答】解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心O的距离为1，所以底面ABCD的中心O'与顶点S之间的距离为1故选C10．（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13【分析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．【解答】解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即z min=13．故选D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）（2011•重庆）在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=74．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n}中，a3+a7=37，∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，故答案为：7412．（3分）（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【解答】解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为13．（3分）（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．【分析】本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：14．（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣15．（3分）（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222，得到概率．（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：ξ123P∴Eξ=18．（13分）（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【分析】（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣319．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【分析】（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC 作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解答】解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•sin∠CAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角或其补角，EM=FM=，由余弦定理得cos∠MEF===．20．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进而求得x2+2y2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵点M，N在椭圆上，所以，故x2+2y2=（x12+4x22+4x1x2）+2（y12+4y22+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=﹣∴x1x2+2y1y2=0∴x2+2y2=20所以P在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）21．（12分）（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．【分析】（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．（Ⅱ）由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，S n≠1，a n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a n≤．﹣1【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）证明：因为S n=a1+a2+a3+…+a n+a n+1=a n+1+S n，+1由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，∴S n≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k===①因，且，要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．。

2011年重庆高考数学试题及答案(理科)

实验六 Excel 图表的建立、编辑与格式化一、实验目的1、根据实验要求，使用图表向导创建正确的图表并对图表进行格式化；2、能将已有的图表删除、复制、缩放或移动位置；3、能根据实验要求修改图表的类型；能添加或删除数据序列和调整数据序列的次序；能修改图表中的文字内容及各对象的格式属性。

二、实验内容要求：在工作表中进行图表的建立、编辑和修饰。

操作步骤如下：1、创建一个文件名为“Excel 实验六图表.xls ”的工作簿。

2、在工作表中输入如图4-27所示的数据，将工作表标签Sheet1更名为“图图4-27工作表数据图4-28 柱形圆柱图表类型图 4-29 做好的图表表”。

3、创建图表：在工作表中选中A2:E10单元格区域数据，单击常用工具栏的“图表向导”按钮，在弹出的图表向导步骤1中选择如图4-28所示的“柱形圆柱图”图表类型，一直单击“下一步”，在图表向导最后的步骤中单击“完成”，即可建立如图4-29所示的嵌入式“柱形圆柱图”图表。

4、编辑图表：① 复制工作表：选中“图表”工作表标签，单击鼠标右键，在弹出的快捷菜单中选择“移动或复制工作表”命令，在如图4-30所示的对话框中将“建立副本”复选框打上勾，单击“确定”按钮，将复制一个新的工作表“图表（2）”；单击“图表（2）”工作表标签，重命名为“编辑图表”。

② 改变图表类型：将“编辑图表”工作表中的图表移动到A12：F26区域，在图表中单击鼠标右键，在出现的快捷菜单中选择“图表类型”命令，出现如图4-31 所示的“图表类型”对话框，将图表类型改为“三维柱形图”。

③ 删除第四季度数据：在“编辑图表”工作表中，选中图表中的第四季度数据系列，单击鼠标右键，在出现的快捷菜单中选择“清除”命令。

图4-30 复制工作表图4-31 改变图表类型④ 添加合计数据：在“编辑图表”工作表中选中图表区，单击“图表”|“添加数据”菜单命令，在出现的如图4-32所示的“添加数据”对话框中选择添加数据的工作表单元格区域，单击“确定”按钮。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上 .2 .答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号 .3.答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4 .所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 .5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，是符合题目要求的.i 2 +i 3 +i 41.复数 -----------“x Q ”是“ x J > 0”5•下列区间中，函数f (X)= ln(2 -X)在其上为增函数的是A . (a ,1 ]1 4a >0,b > 0, a+b=2,则 y=—+ —的最小值是a b2 2X +y — 2x —6y=0内，过点E (0, 1)的最长弦和最短弦分别是A .B . 4C .D .共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项A 丄丄2 2B .+丄i2A .充分而不必要条件 C .充要条件1ax —1 已知 lim( + -------- ) = 2,贝y a =B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要C . 3D .(1+ 3x)n(其中n 忘N 且nA6)的展开式中 X 5与X 6的系数相等，则 n=A . 6B . 7C . 8D .D .6 .若△ ABC 的内角 A 、B C 所对的边a 、b 、c 满足(a + b )2-c =4，且C=60°,贝U ab 的值为A .B . 8-4\/3C .D .7 .已知8 .在圆AC和BD,则四边形B . io 72C . 15^2D . 20j 2ABCD 的面积为9 .高为亚的四棱锥4S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、 A 、B 、C D 均在半径为1的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 A . C . 1 D . 7210.设 m ，k 为整数, 2 方程 mx —kx+2 =0在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值A . 二、填空题：本大题共 -8B . 8C . 12D . 13 5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上 11.在等差数列｛a n ｝中，a s + a 7 =37，则 a 2+a 4+a6 + a g = 12•已知单位向量 0 ,仓的夹角为60°,则2e, —€2 = 13.将一枚均匀的硬币投掷 6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 14.已知 sin a = 2 +cos a ，且 a 忘「0,— 1 贝U —罗_-的值为 2 I 2 丿 .( Sin a -—V 4丿 15•设圆C 位于抛物线y 2 =2x 与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 C 的半径能取到的最大值为 ____________ 三、解答题：本大题共 6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.（本小题满分13分）设^R , f (x )=cosx (asinx -cosx )+cos2g-x ]满足qw]"0)，求函数f （x ）在［―，^^］上的最大值和最小值-17. （本小题满分13分）（I）小问5分，（n）小问8分）某市公租房的房源位于A, B, C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（I）恰有2人申请A片区房源的概率；（n）申请的房源所在片区的个数E的分布列与期望18. （本小题满分13分，（I）小问6分，（n）小问7分.）设f(X)=x3 + ax2+bx+i 的导数f'(x)满足f'(1) = 2a, f'(2) =-b，其中常数a,b亡R .（I）求曲线y = f（X）在点（1, f⑴）处的切线方程;（n）设g（x）=f'（x）e」，求函数g（x）的极值.19. （本小题满分12分，（I）小问5分，（n）小问7分•）如题（19）图，在四面体ABCD中，平面ABC丄平面ACD , AB丄BC , AD =CD ,NCAD =如° .（I）若AD = 2, AB = 2BC，求四面体ABCD的体积；（n）若二面角C - AB - D为,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.C （本小题满分12分，（I）小问4分，（n）小问8分.）20.2O ,离心率e = ，—条准线的方程为 x = 2^22（I ）求该椭圆的标准方程；uur uuu（n ）设动点p 满足：OP=OM率之积为，问：是否存在两个定点 F],F 2，使得|PF ]+| PF^为定值？若存在，求F ], F 』勺坐标；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）设实数数列｛a n ｝的前n 项和S n ,满足S n+ =an 十S n （n 亡N（I ）若a i ,S^ -2a 2成等比数列，求S 2和a 3 ;（II ）求证：对k >3有0 <a k 十兰a k参考答案三、解答题：满分 75分.16.（本题13分）a=—sin 2x -cos2x.如题（20）图，椭圆的中心为原点uuu + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 OM 与ON 的斜一、选择题：本题考查基本知识和基本运算,1 — 5 CADBD 6 —10 ACBCD 每小题每小题5分，满分 5分，满分 50分. 25分. 11 . 7412 .虫 13.11 3271414. -- ---215.后-1解: f （X ）=asin xcosx -cos2X +sin 2x由f （_3）=f （o ）得一 f .|冷一1,解得―迈因此 f(x) =5/3sin2x-cos2x=2sin(2x-—).6当X 引一,——］时,2x-二可二，二］,f（X ）为减函数,3 246 2 4所以f （X ）在［4,-1^］上的最大值为f 勺）=2. 又因为 £（^）=73, f （14）=7l, 故f （X ）在［2竺］上的最小值为f （竺）=71.4 242417.（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I ）解法一：所有可能的申请方式有 34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式 C 42种,从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C ： ”228 3427解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.1记“申请A 片区房源”为事件 A ,则P （A ）=-.3从而，由独立重复试验中事件 A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有 2人申请A 片区房源的概率为F 4（2） =C ：（3）2（|）2（II ） E 的所有可能值为冷或P（F =攀寻综上知，E 有分布列当心笛时，2x-6哙沖（x）为增函数，兀11兀十「- 兀.兀3兀__8-27. 1, 2, 3.又p g =1)=弓 £34 27戶C 3|(C 2C 43十“^1) 14 戸 C ；(24—2) 14 P 严=2) = -------- 4 ------ =—(或 P(. =2)= ----------------34 3427)14 27从而有1 27且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°在RtA ABC 中, 因AC=2AF=2J3，AB=2BC,由勾股定理易知BC M,AB5i , 1 C 14 C 4 65E© =1x—+ 2x ——+3x -= 一27 27 9 2718.(本题13分)解：(I)因f(X)=x' +ax2 +bx +1,故f '(X)= 3x2 + 2ax +b.令X =1，得f (1) =3 +2a +b,由已知f '(1) = 2a,因止匕3+2a +b =2a, 解得b =-3.又令X =2,得f (2) =12 +4a +b,由已知f '(2) =-b,3 因此12 +4a +b = -b,解得a =2因此f(x) =x3-|x2 -3x+1,从而f(1) = -53又因为f・(1) = 2x(--) =-3,故曲线y= f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为5y-(-5)= —3(x-1),即6x + 2y-1 =0.(II)由(I)知g(X)= (3x2 -3x -3归」,从而有g(X)=(-3x2 +9x)e：2令g '(X)=0,得-3x +9x =0,解得x, =0,X2 =3.当X迂(亠,0)时,g\xH0,故g(x)在(=,0)上为减函数;当(0,3)时,g(X)>0,故g(x)在(0, 3)上为增函数;当X忘(3,垃)时，g(x) <0,故g(x)在(3,址)上为减函数;从而函数g(x)在X1 =0处取得极小值g(0)=-3,在X2=3处取得极大值g(3) =15e°19.(本题12分)(I)解：如答(19)图1，设F为AC的中点，由于AD=CD,所以DF丄AC. 故由平面ABC丄平面ACD,知DF丄平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,故四面体ABCD 的体积V u S^BC QF 丄—咒匹咒迟43弹3 2 5 5 5(II )解法一：如答(19)图1,设G , H 分别为边CD, BD 的中点，贝y FG//AD , GH//BC ，从而/ FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角.设E 为边AB 的中点，贝U EF//BC ,由AB 丄BC,知EF 丄AB.又由(I ) 故由三垂线定理知 DE 丄AB.所以/ DEF 为二面角C- AB — D 的平面角，a 设 AD =a,贝UDF = AD sinCAD =-. 2在 RUDEF 中，EF =DF cot DEF1从而 GH = —BC =EF =— a.2 61 a又FG = —AD =—,从而在△ FGH 中，因FG=FH,由余弦定理得2 2cosFGH .FG^GH^FH\GH 巧 2FG因此，异面直线 AD 与BC 所成角的余弦值为解法二：如答(19)图2,过F 作FM 丄AC , 平面ABC 丄平面 ACD,易知FC, FD, FM 两两垂直，以轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 F — xyz. 不妨设 AD=2,由 CD=AD,/ CAD=30°,易知点 A , C, A(0^,O), C(0,由,0), D(0,0,1), 则 AD =(0, 73,1). 交AB 于M ，已知AD=CD F 为原点，射线 D 的坐标分别为FM , FC, FD 分别为显然向量k = (0,0,1)是平面ABC 的法向量. 已知二面角 C — AB — D 为 60°, 故可取平面 ABD 的单位法向量n =(l,m,n), 使得c n,k E,从而^2答(囚)图2有DF 丄平面ABC, 由题设知/ DEF=60因 RtA ADE ^ RtA BDE,故 BD=AD=a ，从而，在RtA BDF 中, FH2FG GH由 n 丄 AD ,有 J 3m + n =0,从而 m = 由 I 2+m 2+n 2=1,得 I = ± 丿63设点B 的坐标为B （X , y,0）;由AB 丄B C, n 丄AB,取I =磴，有3易知一酝与坐标系的建立方式不合，舍去34S /6 7%/3 ^4 因此点B 的坐标为B （」一,」一,O ）.所以CB = 9 9从而T一73( 2凤 cos 丈 AD,CB >=〜〒)|AD||CB|局(迹)2 +3)2V 99故异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为 —620.（本题12分）2 2H1. 4 2(II )设 P(x, y), M(X 1, yj N(X 2, y 2)，则由(x,y) =(N ，y i ) +2(X 2, y 2)= (X i +2X 2，% +2y 2),即 X+2X 2,y =% +2y 2.解：（I ）由 e =Ca 2J=2逅C解得 a =2,C =72,b 2=a2 2-C =2，故椭圆的标准方程为卜2 +y 2=3, 樓x-当(y W )[36f W 6|x = --- 解之得」=O,97巧 yP[X N (舍去) [y = -V 3(W 6I 9,0).O?=O7+2ON 得因为点M , N 在椭圆X2 +2y 2 =4上，所以2 2 2 2 X i +2y i =4,X 2 +2y 2 =4，故 x ? + 2y 2 =(x ； +4x2 +4为％2)+ 2( y 2 +4y ； + 4y i y 2)2 2 2 2 = (X i +2y i )+4(X 2 +2y 2)+4(X i X 2+2y i y 2) =20+4(狠2 +2y i y 2).设k oM ，k oN 分别为直线OM , ON 的斜率，由题设条件知 2y -=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F i , F 2,则由椭圆F i (-皿0), F 2(质,0).2i .(本题i2分)(I )解：由题意卢2 Zaa 2'L S 2 — a 2 S ^ — a i a 2 ,由S ＞是等比中项知 82^0.因此S 2 = -2.由 S 2 + a s =83 =a 3S 2 解得S 2 a 厂汀-22———2—13(II )证法一：由题设条件有 S n +a n + =an4i S n ,故"耳+’1且a n 卄曇"芋,k OM k 。