中考数学重难点题型专题复习

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人教版2023中考数学专题复习：多边形、平行四边形重难点题型讲练1多边形的内角和与外角和

多边形、平行四边形重难点题型讲练（一）多边形的内角和与外角和题型1：多边形的内角和与外角和类型1-多边形的内角和1.如果一个四边形四个内角度数之比是1:2:3:4，那么这四个内角中（）A ．只有一个直角B ．有两个直角C ．有两个钝角D ．只有一个钝角类型2-正多边形的内角和2.如图，O 与正五边形ABCDE 的边AB 、DE 分别相切于点B 、D ，则劣弧BD 所对的圆心角BOD ∠的大小为（）A ．150︒B ．144︒C ．135︒D ．120︒类型3-多边形的缺（多）角问题1.小明同学在用计算器计算某n 边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则n 等于（）A ．11B ．12C ．13D ．14类型4-正多边形的外角问题2.如图，小明从A 点出发，沿直线前进9米后向左转45︒，再沿直线前进9米，又向左转45︒……照这样走下去，他第一次回到出发点A 时，共走路程为（）A ．54米B ．72米C ．90米D ．108米类型5-多边形的外角和问题3.如图，五边形ABCDE 的4个外角和1234290∠+∠+∠+∠=︒，则A ∠等于（）A ．130︒B ．110︒C ．100︒D ．70︒类型6-多边形的内角与外角和的综合问题4.一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3:2，则这个正多边形是（）A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形综合训练1．如图，已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若沿图中虚线剪去C ∠，则12∠+∠的度数是（）．A ．270︒B ．240︒C ．180︒D ．90︒2．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的边数是（）A ．4B ．5C ．6D ．73．湖南革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和（）A ．720︒B ．900︒C ．1080︒D ．1440︒4．已知一个多边形的内角和为540︒，则这个多边形的对角线有：（）A ．2条B ．3条C ．5条D ．10条5．一个多边形的内角和为720︒，那么这个多边形是（）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形6．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA ，若110BCD ∠=︒，则A B D E F ∠+∠+∠+∠+∠等于（）A ．470︒B ．450︒C ．430︒D ．410︒7．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个8．将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O ，且正六边形的边AB 与正方形的边CD 在同一条直线上，则BOC ∠的度数是（）A ．30︒B ．32︒C ．35︒D ．40︒9．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ，其中AFE ∠=（）A ．108︒B ．63︒C ．72︒D ．81︒10．将边长为2的正五边形ABCDE 沿对角线BE 折叠，使点A 落在正五边形内部的点M 处，则下列说法正确的个数为（）①AB ME ∥；②36DEM ∠=︒；③若连CM ，则180CMB BME ∠+∠=︒A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五边形12345B B B B B ，且3434A A B B ∥，直线l 经过23B B ，，则直线l 与12A A 的夹角α为（）A ．48°B ．45°C ．72°D ．30°12．如图，已知AB 是正六边形ABCDEF 与正五边形ABGHI 的公共边，连接FI ，则AFI ∠的度数为（）A ．24︒B ．26︒C ．28︒D ．30︒13．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则312=∠+∠-∠（）A ．24°B ．26°C ．28°D ．30°14．一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（）A ．8B ．9C ．10D ．1115．一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（）．A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形16．晨曦因少算了一个内角得出一多边形的内角和为980°，则该多边形的边数为（）A ．6B ．8C ．10D ．917．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（）A ．十一边形B ．十二边形C ．十三边形D ．十五边形18．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A ．9B ．10C ．11D ．10或1119．计算多边形内角和时不小心多输入一个内角，得到和为1290︒，则这个多边形的边数是（）．A ．8B ．9C ．10D ．1120．当多边形的边数增加1时，它的内角和会( )A ．增加160B ．增加180C ．增加270D ．增加36021．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为900︒，那么原多边形的边数为（）A ．5B ．5或6C ．6或7或8D ．7或8或922．一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为（）A ．120°B ．130°C ．135°D ．150°23．正五边形的外角和为（）A ．540︒B ．360︒C ．108︒D ．72︒24．已知一个多边形的每一个外角都为40︒，则这个多边形的边数是（）A ．6B ．7C ．8D ．925．如图，正十边形与正方形共边AB ，延长正方形的一边AC 与正十边形的一边ED ，两线交于点F ，设AFD x ∠=︒，则x 的值为（）．A ．15B ．18C ．21D ．2426．正多边形的每个内角都是150︒，则这个正多边形的边数为（）A ．8B ．9C ．10D ．1227．已知一个正多边形的每一个外角都是45︒，则这个正多边形的边数是（）A ．8B ．9C ．10D ．1228．如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以1cm 为半径画圆，当2021n =时，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．22cm πB ．2cm πC ．22020cm πD ．22021cm π29．一个正多边形，它的每一个内角都等于140︒，则该正多边形是（）A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形30．若n 边形的内角和是它外角和的3倍，则n 等于（）A ．8B ．9C ．10D ．1131．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440︒，那么该多边形的一个外角是（）A ．30°B ．36°C ．60°D ．72°32．若一个正n 边形的内角和为1080︒，则它的每个外角度数是（）A ．36︒B ．45︒C ．72︒D ．60︒33．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．834．如图，正五边形ABCDE ，BG 平分ABC ∠，DG 平分正五边形的外角EDF ∠，则G ∠＝（）A ．45︒B ．54︒C ．60︒D ．64︒。

中考数学重难点专题13 一次函数的实际应用中最值问题(学生版)

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题13一次函数的实际应用中最值问题【典型例题】1．（2022·河南汝阳·九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？【专题训练】一、解答题1．（2022·山东青岛·模拟预测）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？2．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）．4．（2021·山东青岛·一模）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批口罩平均每包的价格是多少元．(2)如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．6．（2021·山东北区·一模）六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同．(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个B品牌笔袋售价12元，在第（1）（2）问的前提下，不计其他因素，将所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元．7．（2022·四川简阳·八年级期末）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．8．（2022·山东城阳·八年级期末）七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元．(1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？。

中考数学复习重难点与压轴题专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型(重点突围)(原卷版)

专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一全等三角形旋转模型】 (1)【考向二全等三角形一线三等角模型】 (6)【直击中考】【考向一全等三角形旋转模型】例题：（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图①，在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD AE =．则CE BD =．现将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒．如图②，连接CE ，BD ．(1)如图②，请直接写出CE 与BD 的数量关系．(2)将ADE 旋转至如图③所示位置时，请判断CE 与BD 的数量关系和位置关系，并加以证明．(3)在旋转的过程中，当BCD △的面积最大时，α=______．（直接写出答案即可）【变式训练】一、选择题1．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC '，若90CC D '∠=︒，2CC '=，则线段BC '的长度为（）A ．2B ．52C ．6D ．52．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直角EPF ∠的顶点P 是BC的中点，将EPF ∠绕顶点P 旋转，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ．下列四个结论：①AE CF =；②PEF 是等腰直角三角形；③EF AP =；④12ABC AEPF S S =四边形△．在EPF ∠旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④3．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 是CD 边上一点（不与点D 重合）．点P 为DE 上一动点，PE PD <，将DPF ∠绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA 于H ，G 两点，有下列结论：①DH DE =；②DP DG =；③2DG DF DP +=；④DP DE DH DC ⋅=⋅，其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 二、填空题4．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为等腰三角形，5OA AB ==，点B到x 轴的距离为4，若将OAB 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OA B ''△，则点B '的坐标为__________．5．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，DOE 的直角顶点O 在边BC 的中点处，其中90,45A DOE B ∠=∠=︒∠=︒，60D ∠=︒，DOE 绕点O 自由旋转，且OD ，OE 分别交AB ，AC 于点M ，N ，当4AN =，2NC =时，MN 的长为______．6．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BC =2AB ，点P 为边AD 上的一个动点，线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP '，连接PP ' ，CP '．当点P ' 落在边BC 上时，∠PP 'C 的度数为________；当线段CP ' 的长度最小时，∠PP 'C 的度数为________三、解答题7．（2022·山东日照·校考二模）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．(1)如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；(2)如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．(3)当120α=︒时，若6AB =，31BP =，请直接写出点D 到CP 的距离为8．（2022·河北保定·校考一模）如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝102cm ，D 为AB边上一点，tan ∠ACD ＝15，点P 由C 点出发，以2cm /s 的速度向终点B 运动，连接PD ，将PD 绕点D 逆时针旋转90°，得到线段DQ ，连接PQ ．(1)填空：BC ＝，BD ＝；(2)点P 运动几秒，DQ 最短；(3)如图2，当Q 点运动到直线AB 下方时，连接BQ ，若S △BDQ ＝8，求tan ∠BDQ ；(4)在点P 运动过程中，若∠BPQ ＝15°，请直接写出BP 的长．9．（2022秋·九年级单元测试）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG （其中BD >2CE ），直线BG 与DE 交于点H ．(1)如图1，当点G 在CD 上时，请直接写出线段BG 与DE 的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG 绕点C 旋转一周．①如图2，当点E 在直线CD 右侧时，求证：2BH DH CH -=；②当∠DEC ＝45°时，若AB ＝3，CE ＝1，请直接写出线段DH 的长．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 与DEF 中，90ACB EDF ∠=∠=︒，,BC AC ED FD ==，点D 在AB 上．(1)如图1，若点F 在AC 的延长线上，连接AE ，探究线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若点D 与点A 重合，且32AC =，4DE =，将DEF 绕点D 旋转，连接BF ，点G 为BF 的中点，连接CG ，在旋转的过程中，求32CG BG +的最小值； (3)如图3，若点D 为AB 的中点，连接BF 、CE 交于点M ，CE 交AB 于点N ，且::7:9:10BC DE ME ＝，请直接写出ND CN 的值．11．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践问题情境在图1所示的直角三角形纸片ABC 中，O 是斜边AB 的中点．数学老师让同学们将ABC 绕中点O 做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．解决问题（1）“实践小组”的同学们将ABC 以点O 为中心按逆时针旋转，当点A 的对应点A '与C 重合时，BC 与它的对应边B C ''交于点D ．他们发现：OD B C '⊥．请你帮助他们写出证明过程．数学思考（2）在图2的基础上，“实践小组”的同学们继续将ABC 以点O 为中心进行逆时针旋转，当AB 的对应边A B AB ''⊥时，设A B ''与BC 交于点F ，B C ''与AB 交于点E ．他们认为ED FD AC +=．他们的认识是否正确？请说明理由．再探发现（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图3中连接OD ，他们认为DF ，DE 与OD 也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）【考向二全等三角形一线三等角模型】例题：（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：(1)如图2，Rt ABC △中，90，ACB CB CA ∠=︒=，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌．(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90，，CAD AC AD ∠=︒=，23DBA DAB AB ∠=∠=，求点C 到AB 边的距离．(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若，10，6DEF B AB BE ∠=∠==，求EF DE 的值．【变式训练】一、选择题1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92 二、解答题2．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．(1)若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．(2)在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．3．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）在ABC 中，90o ACB AC BC ∠＝，＝，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ACD CEB ≌；②DE AD BE ＝＋．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE -＝；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE AD BE 、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，在ABC 中，AB AC =，D A E ，，三点都在直线m 上，且9DE cm BDA AEC BAC =∠=∠=∠，．(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为 ___________，CE 与AD 的数量关系为 ___________；(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以cm /s x 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为s t （）．是否存在x ，使得ABD △与EAC 全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．5．（2022秋·八年级课时练习）【问题解决】（1）已知∠ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．如图①，当∠BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC <180°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC =BC ，∠ACB =90°，点C 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（1，2），请求出点A 的坐标．。

二、解答重难题型突破+题型5 圆的综合++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)

2
P在半圆弧AB上运动(不与A,B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D.
(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC.
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由.
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
28
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠BCD=30°.
31
本课结束
∴BF=BE=5.
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE,

∴ = ,即 = = =2.

设MF=x,则AM=2x,
∴BM=10-2x.
5
∵BM2+MF2=BF2,
∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3.
∴∠PCD=60°.
∵四边形ABDC内接于☉O,
∴∠B=∠PCD=60°.
9
෽
(2)∵点C为的中点,
∴∠CAD=∠CDA,∴AC=CD.
∵∠ADB=90°,
∴∠CDA+∠CDP=90°.
在Rt△ADP中,∠CAD+∠P=90°,
∴∠CDP=∠P,
∴CD=PC=2 ,
∴AC=CD=PC=2 ,
෽ ,对角线AC为☉O
෽
【例2】(2024·济南三模)如图,四边形ABCD内接于☉O,=
的直径,延长BC交过点D的切线于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
3
(2)若☉O的半径为5,tan∠DAC= ,求DE的长.
4
12
【自主解答】(1)连接DO并延长交AB于F,

中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO△△DAC，直线BD交x轴于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东龙口·七年级期末）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点(1，3)B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象与x轴的交点坐标为(13，0)2．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）A．2B．4C．2或4D．2或63．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（-1，-6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a-4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022·江苏启东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二、填空题5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）如图，直线y＝﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为_____．6．（2021·山东济阳·八年级期中）如图，一次函数y ＝x ＋2的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且△OPC ＝45°，PC ＝PO ，则点P 的坐标为______．7．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC ：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．8．（2022·山东龙口·七年级期末）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置，点A 1，A 2，A 3，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1，B 2，B 3，B 4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn 的坐标为_____三、解答题9．（2022·江苏海州·八年级期末）已知直线l 1经过点A （3，2）和点B （0，5），直线l 2：y ＝2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)已知点M 在直线l 1上，过点M 作MN //y 轴，交直线l 2于点N ．若MN ＝6，请求出点M 的横坐标．10．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝mx在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)点A、B、C的坐标；(2)这个反比例函数的表达式；(3)这个一次函数的表达式．11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD 与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．。

2023年九年级人教版数学中考复习重难点专练二次函数的最值(含答案)

2023年人教版数学中考复习重难点专练——二次函数的最值一、单选题1．二次函数的最小值是A ．1-B ．1C ．2-D ．2 2．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值﹣1，有最大值0C ．有最小值﹣1，有最大值3D ．有最小值﹣1，无最大值 3．二次函数()215y x =--+，当m x n ≤≤且0mn <时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m n +的值为（）A ．52B ．2C ．12D ．32 4．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是（）A ．-2B ．2C ．-1D ．1 5．二次函数 22y x x c =--+ 在 32x -≤≤ 的范围内有最小值 5- ，则 c 的值是（）A ．6-B ．2C ．2-D ．3 6．二次函数y=x 2﹣8x+1的最小值是（）A ．4B ．﹣15C ．﹣4D ．15 7．二次函数y=3（x ﹣1）2+2的最小值是（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 8．已知关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a 的值为（）A ．﹣1或1B ．1或﹣3C ．﹣1或3D ．3或﹣39．二次函数223y x mx =+-，当01x ≤≤时，若图象上的点到x 轴距离的最大值为4，则m 的值为（）A ．-1或1B ．-1或1或3C ．1或3D ．-1或3 10．已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n ，其中m ，n 为常数，则（）A ．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0B ．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0C ．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0D ．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0二、填空题11．二次函数 22y x =-+ 的最大值为．12．二次函数y=x 2+（2m+1）x+（m 2﹣1）有最小值﹣2，则m= ． 13．二次函数y=2x 2﹣2x+6的最小值是．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为 ()11--，、 ()21-，，抛物线 ()20y ax bx c a =++≠ 的顶点P 在线段 AB 上，与x 轴相交于C 、D 两点，设点C 、D 的横坐标分别为 1x 、 2x ，且 12x x < ．若 1x 的最小值是 2- ，则 2x 的最大值是．15．已知二次函数y=x 2﹣2mx （m 为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y 的最小值为﹣2，则m 的值为．三、解答题16．用总长为60的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化，L 是多少时，场地的面积S 最大？17．已知抛物线l 1的最高点为P （3，4），且经过点A （0，1），求l 1的解析式． 18．如图，二次函数的图象与x 轴交于点A （-3，0）和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．19．四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形的面积最大？20．甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】D10．【答案】D11．【答案】212．【答案】34 13．【答案】9214．【答案】315．【答案】32 或－16．【答案】解：由题意S=，当时，S 有最大值．17．【答案】解：∵抛物线l 1的最高点为P （3，4），∴设抛物线的解析式为y=a （x ﹣3）2+4，把点（0，1）代入得，1=a （0﹣3）2+4，解得，a=﹣ 13， ∴抛物线的解析式为y=﹣13 （x ﹣3）2+4 18．【答案】（1）（﹣3，4）；（2）设PA=t ，OE=l由△DAP=△POE=△DPE=90°得△DAP△△POE∴∴l=﹣∴当t=时，l有最大值即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在．①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（﹣4，0）由△PAD△△OEG得OE=PA=1∴OP=OA+PA=4∵△ADG△△OEG∴AG：GO=AD：OE=4：1∴AG=，∴重叠部分的面积=；②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为.19．【答案】解：设四边形ABCD的面积为y，AC的长为x，BD的长为（10-x）∴根据题意可得，y=102x x-（）=-12x2+5x=-12（x-5）2+12.5根据题意可得，当x=5时，四边形的面积最大此时AC=BD=520．【答案】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），则据题意得：421.53661baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩，解得：12413ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣124x2+13x+1，∵y=﹣124（x﹣4）2+53，∴飞行的最高高度为53米。

中考数学复习重难点与压轴题专题12 新定义型几何图形综合问题(重点突围)(原卷版)

专题12 新定义型几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一与三角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 1 【考向二与四角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 5 【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】 ................................................................................................. 8 【考向四四角形与圆综合的新定义型问题】 .. (10)【直击中考】【考向一与三角形有关的新定义型问题】例题：（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．例如：如图1，AD 把△ABC 分成△ABD 和△ADC ，若△ABD 是等腰三角形，且△ADC ∽△BAC ，那么AD 就是△ABC 的“华丽分割线”．【定义感知】(1)如图1，在ABC 中，40B ∠=︒，110BAC ∠=︒，AB=BD ．求证：AD 是ABC 的“华丽分割线”．【问题解决】(2)①如图2，在ABC 中，46B ∠=︒，AD 是ABC 的“华丽分割线”，且ABD △是等腰三角形，则C ∠的度数是________；②如图3，在ABC 中，AB =2，AC =3，AD 是ABC 的“华丽分割线”，且ABD △是以AD 为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD 的长．【变式训练】1．（2022·山东济宁·三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图，在ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad BCA AB==底边腰，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：(1)sad60︒=___________，sad90︒=___________；(2)如图，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sad A 的值．2．（2022春·福建龙岩·九年级校考期中）在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然90αβ+<︒，则这个三角形的第三个角为()18090αβ︒-+>︒，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．(1)【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100︒，请求出它的两个锐角的度数； (2)【尝试运用】:如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，8BC =，点D 在边BC 上，连接AD ，且AD 不平分BAC ∠．若ABD △是“亚直角三角形”，求线段AD 的长；(3)【素养提升】:如图2，在钝角ABC 中，90ABC ∠>︒，5AB =，35BC =，ABC 的面积为15，求证：ABC 是“亚直角三角形”．3．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为90︒，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． (1)已知△ABC 是“准直角三角形”，且90C ∠>︒． ①若60A ∠=︒，则B ∠=______︒； ②若40A ∠=︒，则B ∠=______︒；【巩固新知】(2)如图①，在Rt ABC △中，9062ACB AB BC ∠=︒==，，，点D 在AC 边上，若ABD △是“准直角三角形”，求CD 的长；【解决问题】(3)如图②，在四边形ABCD 中，58CD CB ABD BCD AB BD =∠=∠==，，，，且ABC 是“准直角三角形”，求BCD △的面积．4．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在ABC 和A B C '''中，,AD A D ''分别是BC 和B C ''边上的高线，且AD A D ''=，则ABC 和A B C '''是等高三角形．【性质探究】如图①，用ABCS ，A B C S'''分别表示ABC 和A B C '''的面积．则11,22ABC A B C S BC AD S B C A D '''=⋅=''⋅''△△， ∽AD A D ''=∽::ABC A B C S S BC B C ''=''△△．【性质应用】(1)如图②，D 是ABC 的边BC 上的一点．若3,4BD DC ==，则:ABD ADC S S =△△__________；(2)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若:1:2BE AB =，:1:3CD BC =，1ABC S =△，则BEC S =△__________，CDE S =△_________；(3)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若:1:BE AB m =，:1:CD BC n =，ABCS a =，则CDE S =△__________．【考向二与四角形有关的新定义型问题】例题：（2022·陕西西安·校考三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)问题发现：如图1，筝形ABCD 中，AD CD =，AB CB =，若12AC BD +=，求筝形ABCD 的面积的最大值；(2)问题解决：如图2是一块矩形铁片ABCD ，其中60AB =厘米，90BC厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH ，要求点E 是AB 边的中点，点F 、G 、H 分别在BC 、CD 、AD 上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH 的面积最大？若存在，求出筝形EFGH 的面积最大值，若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互余四边形．(1)问题1．利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（）①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形．(2)如图①，在对角互余四边形ABCD 中，30D ∠=︒，且AC BC ⊥，AC AD ⊥．若1BC =，求四边形ABCD 的面积和周长．(3)问题2．如图②，在对角互余四边形ABCD 中，AB BC =，13BD =，90ABC ADC ∠+∠=︒，8AD =，6CD =，求四边形ABCD 的面积和周长．(4)问题3．如图③，在对角互余四边形ABCD 中，2BC AB =，3sin 5ABC ∠=，90ABC ADC ∠+∠=︒，10BD =，求ACD 面积的最大值．2．（2023春·江西抚州·九年级金溪一中校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【问题探究】(1)如图①，已知矩形ABCD 是“等邻边四边形”，则矩形ABCD ___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如图②，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，动点M 、N 分别在AD 、CD 上（不含端点），若60MBN ∠=︒，试判断四边形BMDN 是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形BMDN 的周长的最小值为___________；【尝试应用】(3)现有一个平行四边形材料ABCD ，如图③，在ABCD 中，17AB =，6BC =，tan 4B =，点E 在BC 上，且4BE =，在ABCD 边AD 上有一点P ，使四边形ABEP 为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．3．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，B C ∠=∠，则四边形ABCD 为“等邻角四边形”．(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形ABCD 为“等邻角四边形”，且120100A B ∠=︒∠=︒，，则D ∠=________．②如图②，在五边形ABCDE 中， DE BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，求证：四边形ABDE 为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD 中，B C ∠=∠，点P 为边BC 上的一动点，过点P 作PM AB PN CD ⊥⊥，，垂足分别为M ，N ．在点P 的运动过程中，PM PN +的值是否会发生变化？请说明理由．【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022·江西上饶·统考一模）定义：如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是60︒，那么称该三角形为“特异角平分三角形”，这条角平分线称为“特异角平分线”．(1)如图1，ABC 是一个“特异角平分三角形”，AD 是一条“特异角平分线” ①当90C ∠=︒时，试求:AD BD 的值．②在ABC 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长至点H ，HE DE =，若:3:3DE AE =，证明：AHE ADC ≌． (2)如图2．BD 是O 的直径，AC 是O 的切线，点C 为切点，AB AC ⊥于点A 且交O 于点H ，连接DH 交BC 于点E ，4BD =，3AB =．试证明DBH △是一个“特异角平分三角形”．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，∽E 是ABC 中∽A 的“好角”，若A α∠=，则E ∠=______；（用含α的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD 内接于O ，点D 是优弧ACB 的中点，直径BF ⊥弦AC ，BF 、CD 的延长线于点G ，延长BC 到点E ．求证：∽BGC 是ABC 中∽BAC 的“好角”．(3)如图3，ABC 内接于O ，∽BGC 是ABC 中∽A 的“好角”，BG 过圆心O 交O 于点F ，O 的直径为8，45A ∠=︒，求FG ．2．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）我们不妨定义：有两边之比为1：3的三角形叫敬“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30︒角的直角三角形；④含120︒角的等腰三角形．(2)如图1，∽ABC 是∽O 的内接三角形，AC 为直径，D 为AB 上一点，且2BD AD =，作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交∽O 于点E ，连接BE 交AC 于点G ．试判断∽AED 和∽ABE 是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出EDBE的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，当AF ：FG ＝2：3时，求BED ∠的余弦值．【考向四四角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）定义：有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．(1)如图1，若∽ABCD 的一组邻边AB ＝4，AD ＝7，且它的面积为142．求证：∽ABCD 为半矩形． (2)如图2，半矩形ABCD 中，∽ABD 的外心O （外心O 在∽ABD 内）到AB 的距离为1，∽O 的半径＝5，求AD 的长．(3)如图3，半矩形ABCD 中，∽A ＝45° ①求证：CD 是∽ABD 外接圆的切线； ②求出图中阴影部分的面积．【变式训练】1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．(1)如图1，在“对角互余四边形” ABCD 中， 6.5AD CD BD ==，，9043ABC ADC AB CB ∠+∠=︒==，，，求四边形ABCD 的面积．(2)如图2，在四边形ABCD 中，连接AC ，90BAC ∠=︒，点O 是ACD 外接圆的圆心，连接OA ，OAC ABC ∠∠=．求证：四边形ABCD 是“对角互余四边形”；(3)在（2）的条件下，如图3，已知3AD a DC b AB AC ===，，，连接BD ，求2BD 的值．（结果用带有a ，b 的代数式表示）2．（2022·江苏淮安·统考一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．(1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是；(2)如图1，在等腰Rt ∽ABC 中，∽BAC =90°，经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ，交BC 于点E ，连接DE ，若四边形ABED 为圆美四边形，则AB DE的值是 (3)如图2，在∽ABC 中，经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ，交BC 于点E ，连接AE 、BD 交于点F ，若在四边形ABED 的内部存在一点P ，使得∽PBC =∽ADP =α，连接PE 交BD 于点G ，连接P A ，若P A ∽PD ，PB ∽PE ． ①试说明：四边形ABED 为圆美四边形；②若2tan 3α=，8PA PE +=，33CD BC =，求DE 的最小值．。

中考数学复习重难点与压轴题专题01 实数(原卷版)

专题01 实数【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一正数和负数】 .................................................................................................................................... 1 【考向二与数轴上的有关问题】 .................................................................................................................... 2 【考向三相反数、绝对值】 ............................................................................................................................ 3 【考向四科学计数法】 .................................................................................................................................... 4 【考向五平方根、立方根】 ............................................................................................................................ 4 【考向六无理数的概念理解】 ........................................................................................................................ 5 【考向七无理数的估算】 ................................................................................................................................ 5 【考向八实数的运算】 (6)【直击中考】【考向一正数和负数】例题1．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）下列各数3-，()1--，12⎛⎫+- ⎪⎝⎭，0，23，2--中，是正数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例题2．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在跳远测验中，合格标准是4米，张丰跳出了4.25米，记为0.25+米，李敏跳出了3.95米，记作（） A ．0.25+米B ．0.05-米C ． 3.95+米D ． 3.95-米1．（2022·福建厦门·统考模拟预测）下列四个数中，是负数的是（） A ．3-B ．()3--C ．()23-D ．3-2．（2022·四川巴中·统考中考真题）下列各数是负数的是（） A ．2(1)-B ．|3|-C ．(5)--D ．38-3．（2022·江苏南通·统考中考真题）若气温零上2℃记作2+℃，则气温零下3℃记作（） A ．3-℃B ．1-℃C ．1+℃D ．5+℃4．（2022·广西河池·统考中考真题）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作( ) A ．+20元B ．﹣20元C ．+30元D ．﹣30元5．（2022·广西柳州·统考中考真题）如果水位升高2m 时水位变化记作+2m ，那么水位下降2m 时水位变化记作 _____．6．（2022·广西·中考真题）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，可记作______米． 7．（2022·江苏镇江·统考中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6C ︒．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6C ︒，则此时山顶的气温约为_________C ︒．【考向二与数轴上的有关问题】例题1．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+例题2．（2022·四川德阳·模拟预测）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b --+的结果为（）A ．2aB ．0C ．2bD ．22a b -1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）实数a 、b 在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．2b >-B ．||b a >C ．0a b +>D ．0a b -<2．（2022·内蒙古·中考真题）实数a 在数轴上的对应位置如图所示，则21|1|a a ++-的化简结果是（）A ．1B ．2C ．2aD ．1﹣2a3．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a ba b+的值是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．24．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A 、B 分别表示实数a 、b ，则1a ______1b．（填“>”、“=”或“<”）5．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，3的点分别为A ，B ，且2CA AB =（C 在A 的左侧），则点C 所表示的数是________．6．（2022·四川遂宁·模拟预测）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简()()2222a b ++-的结果是 _____．7．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，在数轴上点A ，B 表示的数分别为－2，1，P 为A 点左侧上的一点，它表示的数为x ．(1)用含x 的代数式表示2PB PA+的值． (2)若以PO ，PA ，AB 的长为边长能构成等腰三角形，请求出符合条件的x 的值．例题1．（2022·浙江宁波·统考中考真题）-2022的相反数是（） A ．2022B ．-2022C ．12022D ．-12022例题2．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）有理数﹣2022的绝对值为（） A ．﹣2022B ．12022C ．2022D ．﹣120221．（2022·河南洛阳·统考一模）实数3-的相反数是（） A ．3B ．3C ．3-D ．33-2．（2022·吉林长春·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（） A ．1+与1-B ．()1--与1C ．()3--与3--D ．2-+与()2+-3．（2022·青海西宁·统考中考真题）6-的绝对值是________．4．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）计算：32-+=______．5．（2022·浙江嘉兴·一模）计算：0|2|(3)-+-=____________． 6．（2022·西藏·统考中考真题）已知a ，b 都是实数，若2120220a b ，则b a =_____．【考向四科学计数法】例题：（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）教育部2022年5月17日召开第二场“教育这十年”“1＋1”系列新闻发布会，会上介绍我国已建成世界最大规模高等教育体系，在学总人数超过44300000人．将数据44300000用科学记数法表示为_________．【变式训练】1．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）人的大脑每天能记录大约8600万条信息，8600万用科学计数法表示为（） A ．38.610⨯B ．80.8610⨯C ．68610⨯D ．78.610⨯2．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）年初，某官网发布了2021年通信运营业统计公报，数据显示，2021年，4G .5G 用户数呈爆发式增长，全年新增3.4亿户，总数达到770000000亿户，将770000000用科学记数法表示应为（） A ．90.7710⨯B ．77.710⨯C ．87.710⨯D ．97.710⨯3．（2022·吉林长春·校考二模）第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在我国首都北京开幕，据统计，北京冬奥会开幕式电视直播观众规模达3.16亿，是历史上收视率最高的一届冬奥会，数据3.16亿用科学记数法可以表示为（） A ．93.1610⨯B ．90.31610⨯C ．731.610⨯D ．83.1610⨯4．（2022·贵州黔西·校考一模）2022年我市地区生产总值逼近14000亿元，用科学记数法表示14000是______． 5．（2022·江苏徐州·统考中考真题）我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数法表示为________亿斤．6．（2022·辽宁丹东·校考二模）截止到2021年1月22日9时30分，天问一号探测器已经在轨飞行182天，距离火星约4200000公里，4200000用科学记数法表示应为________．7．（2022·山东东营·统考中考真题）2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数就超6亿.6亿用科学记数法表示为____________.8．（2022·湖北黄石·统考中考真题）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复用科学记数法表示1.1万亿元，可以表示为__________元．【考向五平方根、立方根】例题：（2022·广东东莞·东莞市万江第三中学校考三模）计算下列各题：（1）4的平方根是______；（2）25的算术平方根是______；（3）8-的立方根是______；【变式训练】1．（2022·浙江衢州·统考中考真题）计算：22=____． 2．（2022·吉林·统考一模）计算：251-=______．3．（2022·浙江杭州·统考中考真题）计算：4=_________；()22-=_________． 4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）()13127122-⎛⎫---+-= ⎪⎝⎭______． 5．（2022·广西贺州·统考中考真题）若实数m ，n 满足5240m n m n --++-=∣∣，则3m n +=__________．例题：（2022·甘肃武威·统考模拟预测）下列各数：π3，sin30︒，3-，4．其中是无理数的有______个1．（2022·广西玉林·统考中考真题）下列各数中为无理数的是( ) A ．2B ．1.5C ．0D ．1-2．（2022·四川遂宁·校联考一模）下面四个数中的无理数是（） A ．0.7B ．227C ．9D ．7π 3．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）下列各数中：4-、12π、39、0.010010001、37、0是无理数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）四个数－1，0，12，3中，为无理数的是_________．5．（2022·陕西西安·校考三模）在3π+，6，9，47，3.121231234⋯，35-中，无理数的个数是______．6．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）下列各数：3.14、9、381、-127、2π、22、0、3.12112111211112……中，无理数有______个．【考向七无理数的估算】例题：（2022·湖北荆州·统考中考真题）若32-的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式()22a b +⋅的值是______．1．（2022·湖南株洲·统考一模）下列实数中，在3和4之间的是（） A ．π+1B ．2+1C ．22D ．232．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M 、N 、P 、Q 是数轴上的点，那么3在数轴上对应的点可能是( )A ．点AB ．点NC ．点PD ．点Q3．（2022·福建南平·统考模拟预测）若a ，b 分别是65-的整数部分和小数部分，则23a b -的值为（） A ．565-+B ．935-C ．535-+D ．965-+4．（2022·湖南永州·统考中考真题）请写出一个比5大且比10小的无理数：______． 5．（2022·海南·统考中考真题）写出一个比3大且比10小的整数是___________．6．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若26的整数部分为a ，小数部分为b ，则a b -的值为______． 7．（2022·湖北随州·统考中考真题）已知m 为正整数，若189m 是整数，则根据1893337337m m m =⨯⨯⨯=⨯可知m 有最小值3721⨯=．设n 为正整数，若300n是大于1的整数，则n 的最小值为______，最大值为______．【考向八实数的运算】例题：（2022·湖南株洲·统考一模）计算：1312(82022)2sin 306-⎛⎫-+--︒ ⎪ ⎪⎝⎭．【变式训练】1．（2022·山东济南·统考模拟预测）计算：01112(2022)2cos30()2π----⨯︒+-．2．（2022·四川乐山·统考二模）计算： ()2038323tan 60+3(2022)π+--︒+-3．（2022·江苏盐城·校考三模）计算：13164sin 45tan 452-⎛⎫+︒-︒+- ⎪⎝⎭．4．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）计算：()01332cos 60820222π-+︒-⨯--．5．（2022·北京西城·校考模拟预测）计算：011(2019)31()2tan302π--+-+--︒．6．（2022春·九年级单元测试）计算：()301236020222tan -︒⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭．7．（2022春·九年级单元测试）计算：()20120222sin 6032123π-⎛⎫+-+︒+-- ⎪⎝⎭．8．（2022·广东佛山·校考三模）计算：101|3|tan 60()12( 3.14)3π---︒-----．9．（2022·广东韶关·校考二模）计算：01|32|(3)()2cos30π2-+-+--︒．。

2023学年人教中考数学重难点题型分类专题04 一元一次方程的应用题重难点题型分类

专题04 高分必刷题-一元一次方程的应用题重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含一元一次方程这一章的常考应用题的全部题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：配套问题、古典应用题、利润问题、费用与方案选择问题、分层计费问题、工程问题、路程问题。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

配套问题1.（明德）七年级(1)班课外手工制作小组30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x 名学生做机身，则可列方程( )A.()206030x x =-B.()2026030x x =⨯-C.()2206030x x ⨯=-D.()602030x x =-【解答】解：设应该分配x 名学生做机身，则有（30﹣x ）名学生做机翼，由题意得：60（30﹣x ）＝2×20x ，故选：C ．2.（长郡）某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？【解答】解：设可设分配x 名工人生产螺栓，（24﹣x ）名工人生产螺母．由题意得：3×12x ＝2×18（24﹣x ），解得：x ＝12，24﹣x ＝12（人）．答：应该分配12名工人生产螺栓，12名生产螺母，才能使每天的产品刚好配套．3.（青竹湖）甲一天能加工A 种零件50个或加工B 种零件20个，1个A 种零件与2个 B 种零件配成一套，那么甲30天时间安排多少天做零件A ，多少天做零件B ，才能使得所有零件都刚好配套？【解答】解：设x 天制作A 种零件，可得方程：2×50x ＝20（30﹣x ），解得：x ＝5，30﹣5＝25，答：甲30天时间安排5天做A 种零件，25天做B 种零件，才能使得所有零件都刚好配套．古典应用题4.（西雅）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层逐层翻倍增加).根据此诗，可以得出塔的顶层有( )A.3盏灯B.4盏灯C.5盏灯D.6盏灯【解答】解：设顶层x 盏灯，可得方程：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x ＝381，得：x ＝3，故选：A ．5.（一中）我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”原文的意思是：“有一百个和尚，吃一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，大小和尚各多少人？”大和尚人数为__________人.【解答】解：设大和尚有x 人，小和尚有100-x 人，依题意，得100)100(313=-+x x ．所以x ＝25． 6. (青竹湖)古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，则由题意，可列方程为．【解答】解：设快马x 天可以追上慢马，据题题意：240x ＝150x +12×150，故答案为：240x ＝150x +12×1507. （雅礼我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为x 尺，则求解井深的方程正确的是（）A ．3（x +4）＝4（x +1）B ．3x +4＝4x +1C ．x +4＝x +1D ．x ﹣4＝x ﹣1【解答】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x +4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x +1），故3（x +4）＝4（x +1）．故选：A ．8. (广益)我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐，问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是（）A. 3229x x -=+B. ()3229x x -=+C. 2932x x +=- D. ()()3229x x -=+ 【解答】解：设车x 辆，根据题意得：3（x ﹣2）＝2x +9．故选：B ．利润问题9．（青竹湖）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为( )元．A ．140B ．120C ．160D ．100【解答】解：设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8×200元，由题意，得0.8×200＝x+40，解得：x＝120．故选：B．10.(青竹湖)已知某种商品的标价为200元，即使搞促销活动打九折后仍有20%的利润，则该商品的成本价是（）A．144元B．150元C．153元D．167元【解答】解：设该商品的成本价为x元，根据题意得：200×0.9﹣x＝20%x，解得：x＝150．故选：B．11.（长梅）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是( )A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据题意得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，解得：x＝120，y＝200，∴150+150﹣120﹣200＝﹣20（元）．故选：A．12.（雅礼）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，由题意，得25x+45（1000﹣x）＝37000，解得：x＝400，购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600（只）答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．（2）设乙型节能灯需打a折，0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．费用与方案选择问题13.(青竹湖)学校艺术节要印制节目单，有两个印刷厂前来联系业务，他们的报价相同，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收800元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而800元的制版费则七折优惠。

2022年中考数学专题复习重难点专练新定义(上海版)

2022年中考数学专题复习重难点专练新定义（上海版）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、填空题1．如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于_____度．2．如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∥A＝90°，DC＝AD，∥B是锐角，cotB＝512，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么∥BCE的周长为____．3．定义：如果三角形的两个内角∥α与∥β满足∥α=2∥β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____．4．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为25的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．5．小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt∥ABC和Rt∥DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果∥BCG与∥DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝_____．6．定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k 是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是_____．7．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为______．8．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果QAB 、QBC 和QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图2，在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，60B ∠=︒，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．9．我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”．相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD 中，AB AC AD ==，则2AC AB AD =⋅，所以四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB 、AD 是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD 、CD 是对应的闪亮边，且90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，那么线段AD 的长为________．10．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∥ABC=70°，BD平分∥ABC，那么∥ADC=____________度11．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果∥DEF与∥ABC相似（相似比不为1），那么∥DEF的面积为______．12．如果直线l把∥ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做∥ABC的“完美分割线”，已知在∥ABC中，AB＝AC，∥ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于_____．13．如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且3CD EC=，那么:AD AB的值是__________.14．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”_____．15．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中ABC∆的中线,BD CE互相垂直于点G，如果9BD=，12CE=，那么,D E两点间的距离是__________.参考答案：1．22.5【解析】【分析】按照题干给的定义设出一个最小角和另一个内角列方程求解即可．【详解】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，()90290x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：22.567.5x y ⎧=⎨=⎩，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．【点睛】此题表面是考查对新定义的理解，其实是考查一元二次方程组的应用．2．42【解析】【分析】作CH∥AB 于H ，设BH ＝5a ，证明四边形ADCH 为矩形，得到AD ＝CH ＝12a ，根据题意求出a ，根据勾股定理求出BC ，根据“等分周长线”计算，得到答案．【详解】解：作CH∥AB 于H ，设BH ＝5a ，∥cotB ＝512， ∥BH CH ＝512， ∥CH ＝12a ，∥AB∥CD ，∥∥D ＝∥A ＝90°，又CH∥AB ，∥四边形ADCH 为矩形，∥AD＝CH＝12a，CD＝AH，∥DC＝AD，∥AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∥AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt∥CHB中，BC＝22CH BH+＝13，∥四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∥CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∥点E在AB上，∥AE＝17+13﹣27＝3，∥EH＝12﹣3＝9，由勾股定理得，EC＝22CH EH+＝15，∥∥BCE的周长＝14+13+15＝42，故答案为：42．【点睛】考查了的是直角梯形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理，解题关键是正确理解四边形的“等分周长线”的定义并运用．3．22或512+．【解析】【分析】若等腰三角形的三个内角α∠、β∠，β∠，利用2180和2αβ∠=∠得45β=︒，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若等腰三角形的三个内角α∠、α∠，β∠，利用2180和2αβ∠=∠得36β=︒，如图，72B C，36A∠=︒，作ABC∠的平分线BD，则36ABD CBD∠=∠=︒，易得DA DB CB，再证明BDC ACB ∽，利用相似比得到::BC AC CD BC ，等量代换得到:():BC ACAC BC BC ，然后解关于AC 的方程220AC AC BC BC 得AC 与BC 的比值即可．【详解】解：若等腰三角形的三个内角α∠、β∠，β∠，2180，2αβ∠=∠，4180，解得45β=︒，∴此“倍角三角形”为等腰直角三角形，∴腰长与底边长的比值为22；若等腰三角形的三个内角α∠、α∠，β∠，2180，2αβ∠=∠， 5180，解得36β=︒，如图，72BC ，36A ∠=︒，作ABC ∠的平分线BD ，则36ABD CBD ∠=∠=︒， DA DB ∴=，72BDC A ABD ，BDC C ∴∠=∠，BD BC ∴=，即DA DB CB ，CBD A ，BCD ACB ∠=∠， BDC ACB ∽，::BC AC CD BC ，即:():BC AC AC BC BC ，整理得220AC AC BC BC ，解得152AC BC ，即512AC BC +=，此时腰长与底边长的比值为512+，综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为22或512+．故答案为22或512+．【点睛】本题考查了三角形的相似判定和性质，等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．4．1【解析】【分析】此题应根据题意先找到圆心位置，再根据圆心位置求出不在圆上的顶点到该圆圆心的距离即可．【详解】根据题意作图可分两种情况：1如图：作OP BC⊥，BC=25，BO=5，∥A，B，C在圆O上，∥BP=5（垂径定理），又222BP OP BO+=，∥OP=22BO BP-= ()2255-=25；因为ABCD是菱形，∥AC⊥BD，即∥BQC=90°，在∥BOP与∥BQC中，OBP QBCOPB BQC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∥∥BOP~∥BQC，∥BP BOBQ BC=，即5525BQ=，∥BQ=2，∥BQ>BO，∥此情况不符合题意，舍去；2，如图，同理可得OP=25，在∥BOP与∥BQC中，OBP QBCOPB BQC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∥∥BOP~∥BQC，∥BP BOBQ BC=，即5525BQ=，∥BQ=2，∥OQ=BO-BQ=3，∥OD=QD OQ-=BQ OQ-=1，综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．故答案是：1．【点睛】此题是新型概念的题型，实际是求点到圆心的距离的知识点，难度偏难．5．3【解析】【分析】先由勾股定理得出BC 的值，再由∥BCG∥∥DFH 列出比例式，设AG ＝x ，用含x 的式子表示出DH ；按照相似分割线可知，∥AGC∥∥DHE ，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x 值即可．【详解】解：∥Rt∥ABC ，AC ＝3，AB ＝5，∥由勾股定理得：BC ＝4，∥∥BCG∥∥DFH ，∥BG DH ＝BC DF，已知DF ＝8，设AG ＝x ，则BG ＝5﹣x ， ∥5-x DH＝48， ∥DH ＝10﹣2x ，∥∥BCG∥∥DFH ，∥∥B ＝∥FDH ，∥BGC ＝∥CHF ，∥∥AGC ＝∥DHE ，∥∥A+∥B ＝90°，∥EDH+∥FDH ＝90°，∥∥A ＝∥EDH ，∥∥AGC∥∥DHE ，∥AG DH＝AC DE ，又DE ＝4，∥102-x x ＝34，解得：x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解，且符合题意．∥AG ＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 6．2【解析】【分析】先根据一次函数的性质求出对应的y 的取值范围，再根据k 级函数的定义解答即可．【详解】解：∥一次函数y ＝2x ﹣1，1≤x ≤5，∥1≤y ≤9，∥一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，∥9－1=k （5－1），解得：k ＝2；故答案为：2．【点睛】本题是新定义试题，主要考查了对“k 级函数”的理解和一次函数的性质，正确理解“k 级函数”的概念、熟练掌握一次函数的性质是解题关键．7．9【解析】【分析】连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，由3tan 4B =，10AB =，可得AE=6，BE=8，并求出AC 的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =， ∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB+=，则()()2223425100x x x+==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又12BC=，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE=+=，作CF AD⊥交AD于F点，90B D∠+∠=︒，90D DCF∠+∠=︒，∴B DCF∠=∠，3tan4B==tan DCF∠=DFCF，又5CD=，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF=-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．8．35+或35-【解析】【分析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，可证四边形ADCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD的长，利用“强相似点”的定义可得∥ABQ∥∥DQC，则由相似三角形的性质可得AQ DCAB DQ=，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ的方程，求解后即可求出AQ的长．【详解】解：如图，过点A作AE∥CD，交BC于点E，∥在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，∥四边形ADCE 是平行四边形，∥AE ＝CD ＝AB ＝2，AD ＝CE ．∥60B ∠=︒，∥∥ABE 是等边三角形．∥BE ＝AE ＝AB ＝2．∥AD ＝BC －BE ＝6．∥点Q 是边AD 上的“强相似点”，∥∥ABQ∥∥DQC ．∥AQ DC AB DQ=．设AQ ＝x ，则DQ ＝6－x ，即226x x =-．解得135x ，235x ．故答案为：35+或35-．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键．9．25【解析】【分析】根据“闪亮四边形”的定义可知AC 2=CD×AD ，再证明△ACD 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：∥四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，CD 、AD 是对应的闪亮边．∥2AC CD AD=⋅，如图，作CH∥AD于H，∥cosDH CD D=⋅∠，sinCH CD D=⋅∠cosAH AD CD D=-⋅∠∥222AC AH CH=+22(cos)(sin)AD CD D CD D=-⋅∠+⋅∠222cosAD CD AD CD D=+-⋅⋅∠22AD CD AD CD=+-⋅∥2AC CD AD=⋅，∥2220AD AD CD CD-⋅+=∥2()0AD CD-=∥AD=CD∥∥D=60゜∥∥ACD是等边三角形∥AC=CD=AD∥90ABC∠=︒，60D∠=︒，4AB=，2BC=，∥22224225=+=+=AC AB BC(负值舍去)∥AD=25故答案为：25【点睛】本题考查了等边三角形的判定，勾股定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．145【解析】【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在∥ABD和∥DBC中，已知∥ABD=∥CBD，所以需另一组对应角相等，若∥A=∥C，则∥ABD与∥DBC全等不符合题意，所以必定有∥A=∥BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知∥ABD=∥CBD，∥ABD与∥DBC相似，但不全等，∥∥A=∥BDC，∥ADB=∥C.又∥A+∥ABC+∥C+∥ADC=360°，∥2∥ADB+2∥BDC+∥ABC=360°，∥∥ADB+∥BDC=145°，即∥ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.11．1；【解析】【分析】根据小正方形的边长，分别求出ABC和DEF三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可.【详解】如图，∥12AB BC==，，5AC=∥:?:?1:2:5AB BC AC=∥2DE=，2EF=，10DF=∥::2:2:101:2:5DE EF DF ==∥:?:?::AB BC AC DE EF DF =∥~ABC DEF∥12112DEF S =⨯⨯= 故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.12．42﹣4．【解析】【分析】设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ，由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ，设AE ＝AD ＝x ，证∥AED ∥∥ABC ，可求x 的值，进一步可求出BC 的长．【详解】解：如图，设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ，则由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ，∥12ABC S S =△ADE △， ∥l ∥BC ，∥∥AED ∥∥ABC ，∥1222AE AD AB AC ===，设AE ＝AD ＝x ，则222x =， ∥x ＝2，∥BE＝CD＝2﹣2，∥BC＝22﹣2（2﹣2）＝42﹣4．【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够领悟新定义的性质，并进行运用．13．23【解析】【分析】先证明∆BEC~∆EAD，可得：BC CEED DA=，设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x，结合AD=BC，可得：2AD x=，进而可得到答案.【详解】∥E是矩形ABCD的一个“直角点”，∥∥AEB=90°，∥∥AED+∥BEC=90°，∥∥EAD+∥AED=90°，∥∥BEC=∥EAD，∥∥D=∥C，∥∆BEC~∆EAD，∥BC CEED DA=，∥3CD EC=，设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x，∥2BC xx DA=，∥AD=BC，∥2222AD x x x=⋅=，即：2AD x=，∥:AD AB=2x：3x=23.故答案是：23.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，设EC=x，用代数式表示线段长，是解题的关键.14．32+63【解析】【分析】延长DF交边BC于点F，根据等腰直角三角形的腰长为2，DBA和EAC是等边三角形，可以求得123G M G N3==，并且可证MN∥12G G，利用平行线之间的线段对应成比例即可求解.【详解】解：如图示：等腰直角三角形的腰长为2，即：2AB AC==，∥DBA和EAC是等边三角形，ABC等腰直角三角形∥BC=22，DM=EN=3延长DF交边BC于点F∥12G G、分别是等边△ABD和等边△ACE的重心∥DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，123G M G N3==又∥∥BAC=90°∥AC∥DF∥点F是BC的中点同理可得EN 的延长线也交BC 于点F∥111MF AC 1FN AB 1MN BC 2222======，，∥2FN 1NG 33=，1FM 1MG 33= ∥21FN FM NG MG = ∥MN∥12G G∥121MN FM G G FG =，即1221G G 313=+ ，解得126G G 23=+. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，重心的性质和平行线的性质，熟悉相关性质定理，灵活运用是解题的关键.15．5【解析】【分析】连接DE ，设BD 、CE 交于点G ，证明DE 是△ABC 的中位线，得出DE=12BC ，DE∥BC ，证明△GDE∥∥GBC ，得出12GD GE DE GB GC BC ===，求出GC=8，GE=6，由勾股定理得出2210BC GC GB =+=，即可得出答案．【详解】连接DE ，设BD 、CE 交于点G ，如图所示：∥∥ABC 的中线BD 、CE 互相垂直，∥DE 是△ABC 的中位线，∥BGC=90°，∥DE=12BC ，DE∥BC ，∥∥GDE∥△GBC，∥12 GD GE DEGB GC BC===，∥2212833GC CE==⨯=，229633GB BD==⨯=，∥22228610BC GC GB=+=+=，∥DE=5；故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键．。

2024成都中考数学第一轮专题复习重难题型分类题型综合与实践

2024成都中考数学第一轮专题复习重难题型分类题型综合与实践1. (2022河南)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角：______________________________________；(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.①如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝1 cm时，直接写出AP的长．第1题图2. (2022齐齐哈尔)数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E，F，G分别为边BC，AB，AD的中点，连接EF，DF，H为DF的中点，连接GH .将△BEF 绕点B 旋转，线段DF ，GH 和CE 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕点B 顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB ＝BC ，此时点E 落在AB 的延长线上，点F 落在线段BC 上，连接AF ，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB ＝2，BC ＝3，则GH CE＝________； (3)当AB ＝m ，BC ＝n 时，GH CE＝________；第2题图剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC ，并沿对角线AC 剪开，得△ABC (如图④).点M ，N 分别在AC ，BC 上，连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折，使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上，若PM 平分∠APN ，则CM 长为________．第2题图④类型二探究迁移型试题3. (2022乐山)以下是华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图①，在正方形ABCD 中，CE ⊥DF .求证：CE ＝DF .证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠DCB ＝90°，BC ＝C D.∴∠BCE ＋∠DCE ＝90°.∵CE ⊥DF ，∴∠COD ＝90°.∴∠CDF ＋∠DCE ＝90°.∴∠CDF ＝∠BCE .∴△CBE ≌△DCF .∴CE ＝DF .第3题图①某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图②，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上，且EG ⊥FH .试猜想EG FH的值，并证明你的猜想；【知识迁移】如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝m ，BC ＝n ，点E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上，且EG ⊥FH ，则EG FH＝________；【拓展应用】如图④，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且CE ⊥BF .求CE BF的值．图②图③图④第3题图4. (2022江西)综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P＝90°，∠F＝60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).操作发现(1)如图①，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为________；类比探究(2)若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N.①如图②，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图③，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号)；拓展应用(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH(设∠GOH＝α)，将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示).(参考数据：sin 15°＝6－24，cos 15°＝6＋24，tan 15°＝2－3)第4题图源自北师九上P25第4题类型三综合应用型试题5. (2022自贡)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A，B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC＝∠GON.请说明这两个角相等的理由；第5题图(2)实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH；(3≈1.73，结果精确到0.1米) (3)拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E，F(E，F，H在同一直线上)，分别测得点P的仰角α，β，再测得E，F间的距离m，点O1，O2到地面的距离O1E，O2F均为1.5米．求PH(用α，β，m表示).图③图④第5题图源自北师九下P22活动课题6. (2022陕西)问题提出(1)如图①，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为________；问题探究(2)如图②，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°.过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB，BC于点O，E，求四边形OECA的面积；问题解决(3)如图③，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP 型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝A C.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP，BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．第6题图。

代数式规律题与代数式求值(原卷版)--中考数学重难点专题训练

回归教材重难点01代数式规律题与代数式求值本考点是中考三星高频考点，难度中等偏上，在全国部分地市的中考试卷中也多次考查。

（2022年广州卷第10题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252B．253C．336D．337【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，当8n﹣2＝2022时，解得n＝253，故选：B．【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形需要（8n﹣2）根小木棒是解题的关键．代数式规律题是代数式章节衍生出的一类经典题型，可以说是贯穿整个初中的学习。

而代数式求值问题也是初中数学中比较重要的内容，代数式包含整式、分式、根式三大部分，考察较多的是整式的求值。

在解决代数式求值问题时，常用到的思想方法有整体思想、转化思想、方程思想等，个别综合性较高的问题对学生的逻辑思维能力要求也较高。

因此，在复习代数式规律题和代数式求值问题时，一是要熟悉对应题型，掌握对应解决办法，二是要融合各思想方法，提高对综合题目的逻辑理解力。

本考点是中考四星高频考点，难度中等或偏上，在全国部分地市的中考试卷中也多次考查。

技法01：周期型规律题常见处理办法：①.找出第一周期的几个数，确定周期数②.算出题目中的总数和待求数③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）④.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；技法02：推理型规律题常见处理办法：①依题意推出前3~4项规律的表达式；②类推第N项表达式技法03：代数式求值问题常用处理办法：①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果代数式规律题【中考真题练】1．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297B．301C．303D．4002．（2022•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（）A．B．﹣C．D．﹣3．（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）A．4B．2C．2D．04．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a n，且满足+＝．则a4＝，a2022＝．5．（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是．6．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．【中考模拟练】1．（2023•云南模拟）有一组按规律排列的多项式：a﹣b，a2+b3，a3﹣b5，a4+b7，…，则第2023个多项式是（）A．a2023+b4047B．a2023﹣b4047C．a2023+b4045D．a2023﹣b40452．（2023•德城区一模）已知整数a1，a2，a3，a4，……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，……依此类推，则a2023的值为（）A．﹣1011B．﹣1010C．﹣2022D．﹣20233．如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n．则a100的值为（）A．100B．199C．5050D．100004．（2023春•硚口区月考）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．如图，第1个图有1颗弹珠；第2个图有3颗弹珠；第3个图有6颗弹珠；第4个图有10颗弹珠；…；用a n表示第n个图的弹珠数，若…+＝，则n的值是（）A．1012B．2022C．2023D．20245．（2023•涟源市一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是个．（用含有n的式子表示）代数式求值【中考真题练】1．（2022•郴州）若＝，则＝．2．（2022•成都）已知2a2﹣7＝2a，则代数式（a﹣）÷的值为．3．（2022•邵阳）已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝．4．（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是．5．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．6．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．7．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？【中考模拟练】1．（2023•新华区模拟）已知a+2b﹣3＝0，则2a+4b+6的值是（）A．8B．12C．18D．242．（2023•香洲区校级一模）若，则＝．3．（2023•化州市模拟）已知﹣2m+3n2+7＝0，则代数式﹣12n2+8m+4的值等于．4．（2023•沭阳县模拟）按如图所示的运算程序，输入x的值为1时，则输出y值为．5．（2023•汉中一模）在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，计算按箭头指向循环进行．如，当初始输入5时，即x＝5，第1次计算结果为16，第2次计算结果为8，第3次计算结果为4，…（1）当初始输入1时，第1次计算结果为；（2）当初始输入4时，第3次计算结果为；（3）当初始输入3时，依次计算得到的所有结果中，有个不同的值，第20次计算结果为．。

初中数学中考二轮复习重难突破专题06 反比例函数的综合(含答案)

专题06 反比例函数的综合重点分析在中考中，反比例函数的图象与性质常以选择题和填空形式考查；反比例函数解析式主要在反比例函数综合题中与一次函数、几何图形结合考查。

难点解读难点一：反比例函数的概念一般地，形如，叫做反比例函数，自变量范围是≠0的一切实数难点二：反比例函数的图象与性质一、三二、四难点三：反比例函数系数k的几何意义在反比例函数上任取一点轴的垂线PM、P=难点四：反比例函数解析式的确定设所求反比例函数解析式为：得几何意义，由面积得真题演练1.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数的图象于点N.①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.【解析】【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值．（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，∴m=3-2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=，∴k=3×1=3，m的值为1.（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x-2，x-2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1代入y=，∴y=3，∴N（1，3），∴PN=2∴PM=PN，②P（n，n），点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A(2，a)．（1）求a，k的值；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，n)为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．①若PA＝OA，求区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1）3，6；（2）①5个；②或．【解析】（1）先根据直线的解析式可求a的值，从而可得点A的坐标，再将将点A坐标代入反比例函数的解析式可得k的值；（2）①先求出点P坐标，再根据反比例函数的解析式求出点B，C坐标，然后结合函数图象、整点的定义即可得；②分点P在点A下方和点P在点A上方两种情况讨论，结合函数图象列出不等式组求解即可．【详解】（1）∵直线与反比例函数的图象交于点∴∴将代入反比例函数得解得；（2）①∵点P为射线OA上一点，且∴A为OP中点∵，解得∴点P的坐标为将代入得将代入得，解得∵如图，PB，PC分别垂直于x轴和y轴∴结合函数图象可知，区域W内有5个整点；②在射线OA上由题意，分以下两种情况：如图，当点P在点A下方时结合函数图象得：，即解得如图，当点P在点A上方时结合函数图象得：，即解得综上，当或时，区域W内恰有5个整点．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质是解题关键．3.如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于A，B两点，点B的坐标为（4，2），连接OA，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC＝CA．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集为．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y=-x+6；（2）0＜x＜2或x＞4．【解析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，交BD于点E，∵点B（4，2）在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数的表达式为，∵B（4，2），∴EN=2，∵BD⊥y轴，OC=CA，∴AE=EN=AN，∴AN=4，∴点A的纵坐标为4，∵点A在反比例函数图象上，∴A（2，4），∵一次函数的表达式为，∴4a+b=2，2a+b=4，∴a=-1，b=6，∴一次函数的表达式为y=-x+6；（2）观察函数图象知，不等式的解集为：0＜x＜2或x＞4，故答案为：0＜x＜2或x＞4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．4.如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣2x+4；（2）点P的坐标是（﹣2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）．【解析】（1）先把A点坐标代入y＝可求出k2的值，从而确定反比例函数解析式；再把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m的值，可确定点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先根据一次函数的解析式确定M和N的坐标，根据以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况讨论：①NP＝NM；②MP＝MN；③PN＝PM；前两种直接根据线段的长得出点P的坐标，第三种根据两点的距离列方程可得结论．【详解】解：（1）把，代入反比例函数得：，，，∴反比例函数解析式为，且，把，代入得：，解得，∴一次函数解析式为；（2），当时，，当时，，，，，，，①当时，如图1，，，；②当时，如图2，由勾股定理得：，，或，；③当时，如图3，是轴上一动点，设，，，，，综上，点的坐标是或，或，或．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和等腰三角形的性质和判定，并注意等腰三角形在没确定腰和底边时要分情况讨论，注意利用数形结合的思想．5.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数的解析式和的值；（2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；（3）求的面积．【答案】（1），2；（2）或；（3）8【解析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值；（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解；（3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解．【详解】解：（1）在的图象上，，反比例函数的解析式是．又∵在的图象上，；（2）由图象可知：当或时，；（3），在函数的图象上，，解得：，则一次函数的解析式是，设直线与轴相交于点，则的坐标是．∴．【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决本题的关键．6.如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．（1）求k的值；（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．【答案】（1）k＝3；（2）4．【解析】（1）将x＝1代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入反比例函数表达式，即可求解；（2）一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位得到y＝x﹣2，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得A.B的坐标，然后根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，∴交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入y＝，解得：k＝1×3＝3；（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，由，解得：或，∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），∴AB＝＝4．7.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点，且与反比例函数图象的一个交点为．（1）求m的值；（2）若，求k的值．【答案】（1）4；（2）或【解析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得m；（2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图象，将转化为两个三角形相似，过过P作轴交x轴于点H，证明，即可求出k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图象，将转化为两个三角形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明即可求出k和b的值．【详解】解：（1）∵P为反比例函数上一点，∴代入得，∴．（2）令，即，∴，，令，∴，∵．由图象得，可分为以下两种情况，①B在y轴正半轴时，，∵，过P作轴交x轴于点H，又，，∴∴，,即,∴，∴，∴．②B在y轴负半轴时，，过P作轴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，代入∴，综上，或．【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数的图象与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键．8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）6【解析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式；（2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点A的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解．【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点，∴点坐标满足一次函数解析式，∴，∴，∴，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）∵轴，∴，轴，∴，令，则，∴，∴，∴，∴的面积为6【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．9.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【答案】（1）y；（2）15°．（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD ＝15°．【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOE＝45°，∴∠EOD＝15°．10.如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点A（1，2）.（1）求的值；（2）过点作轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数的图象交于点，与轴交于点D.①当点C是线段BD的中点时，求的值；②当时，直接写出的取值范围.【答案】（1）m=2；（2）①b=-3, ②b>3.【解析】（1）把A点坐标代入中即可得出m的值；（2）①求出C点坐标为（2，1）代入直线即可得出b的值；②根据图象可得结论.【详解】（1）把A（1，2）代入函数中，∴.∴.（2）①过点C作轴的垂线，交直线l于点E，交轴于点F.当点C是线段BD的中点时，.∴点C的纵坐标为1，把代入函数中，得.∴点C的坐标为（2，1）.把C（2，1）代入函数中，得.②由图象可知，当时，。

2023年中考数学重难点专题复习-特殊三角形问题(二次函数综合)【有答案】

2023年中考数学重难点专题复习-特殊三角形问题（二次函数综合）1．综合与探究如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B ，()0,3C 三点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．(1)求抛物线和直线BC 的函数解析式．(2)D 是直线BC 上方抛物线上一点，求BDC 面积的最大值及此时点D 的坐标．(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．3．已知，如图，抛物线2y x bx c =-++经过直线3y x =-+与坐标轴的两个交点A ，B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点Q 是线段AB 上的动点，作QM x ⊥轴交抛物线于点M ，求线段QM 长度的最大值；(3)在x 轴上是否存在点N 使ADN △为直角三角形？若存在，确定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，过点P 作x 轴的垂线l ，垂线l 交BC 于点E ，AD ∥垂线l ，求证ADM PEM ∽；当PM AM 最大时，求点P 的坐标及PM AM的最大值； (3)在(2)的条件下，在l 上是否存在点D ，使BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -．(1)求此抛物线的解析式；(2)点M 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴下方的抛物线上，当MAQ 是以AQ 为斜边的等腰直角三角形时，求点M 的坐标．6．如图，抛物线223y ax x =++与x 轴的一个交点是()3,0A ，与y 轴交于B 点，点P 在拋物线上．(1)求a 的值；(2)过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，设点P 的横坐标为(03)m m <<，PE l =，求l 关于m 的函数关系式；(3)当PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++经过()13A -,，与y 轴交于点C ，经过点C 的直线与抛物线交于另一点()6,E m ，点M 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求直线CE的解析式；(2)如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC，PE，当PCE的面积最大时，求点P的坐标以及PCE 面积的最大值；(3)如图3，将点D右移一个单位到点N，连接AN，将（1）中抛物线沿射线NA平移得到新抛物线y'，y'经过点N，y'的顶点为点G，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点H，使得MGH是等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由．30，，8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=-++的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为()y x bx cB 点坐标为10，，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点9．如图，已知直线y ＝x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ．(1)点A 的坐标为，点B 的坐标为．(2)①求抛物线的解析式；② 点M 是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M ，使得△MAB 的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t 值．10．如图，抛物线1C ：()2120y ax ax a =+>与x 轴交于点A ，顶点为点P ．(1)直接写出抛物线1C 的对称轴是______，用含a 的代数式表示顶点P 的坐标______；(2)把抛物线1C 绕点(),0M m 旋转180°得到抛物线2C （其中0m >），抛物线2C 与x 轴右侧的交点为点B ，顶点为点Q ．②在①的条件下，是否存在ABP 为等腰三角形，若存在请求出a 的值，若不存在，请说明理由．11．如图，关于x 的二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求二次函数的解析式．(2)有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．(3)在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在请说明理由．12．如图，抛物线212y ax x c =-+的图象与x 轴交点为A 和B ，与y 轴交点为()0,3D ，与直线23y x =--交点为A 和C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线23y x =--上是否存在一点M ，使得ABM 是等腰直角三角形，如果存在，求出点M 的坐标，如果不存在请说明理由．(3)若点E 是x 轴上一个动点，把点E 向下平移4个单位长度得到点F ，点F 向右平移4个单位长度得到点G ，点G 向上平移4个单位长度得到点H ，若四边形EFGH 与抛物线有公共点，请直接写出点E 的横坐标E x 的取值范围．。

2024年中考数学复习重难点(全国通用版)：用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题(原卷版)

专题19用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一在一次函数解决实际问题求最值问题】 (1)【考向二用反比例函数解决实际问题】 (3)【考向三在二次函数解决实际问题求最值问题】 (6)【直击中考】【考向一在一次函数解决实际问题求最值问题】例题：（2023·山东济南·山东大学附属中学校考一模）为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．(1)A产品和B产品每件分别是多少元？(2)深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值．【变式训练】1．（2023秋·广东河源·八年级校考期末）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710且不超过6810元购进这两种商品共100件．(1)甲、乙两种商品的进价各是多少？(2)设其中甲商品的进货件数为x件，商店有几种进货方案？(3)设销售两种商品的总利润为W元，试写出利润W与x的函数关系式，并利用函数的性质说明哪一种进货方案可获得最大利润，并求出最大利润是多少？设该经销商购进普通包装的柿饼x 斤，总利润为y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)经过市场调研，该经销商决定购进精品包装的柿饼不大于普通包装的3倍，请问获利最大的进货方案及最大利润．【考向二用反比例函数解决实际问题】例题：（2023秋·湖南永州·九年级校考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 C y 与时间 h x 之间的函数关系，其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间 024x x 的函数关系式；(2)若大棚内的温度低于10C 时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【变式训练】1．（2023·云南·校考一模）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水0.6立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x 立方米，那么这个蓄水池的水能维持y 天．(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)如果每天用水0.5立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？2．（2023·安徽宿州·统考一模）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强 kPa p 与气体体积 ml V 满足反比例函数关系，其图像如图所示．(1)求反比例函数的表达式．(2)当气体体积为60ml 时，气体的压强为______kPa ．(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa ，则其体积V 要控制在什么范围？3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y （mg ）与燃烧时间x （min ）之间的函数关系如图所示，其中当5x 时，y 是x 的正比例函数，当5x ≥时，y 是x 的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)求点P 的坐标；(3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于4mg 的时间超过20分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，(1)观察上表实验数据，写出表中a的值______．(2)以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立如图平面直角坐标系，在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；(3)根据所画的图象，求出F与L的函数关系式．【考向三在二次函数解决实际问题求最值问题】例题：（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）某文具店以8元/支的进价购进一批签字笔进行销售，经市场调查后发现，日销量y（支）与零售价x（元）之间的关系图象如下图所示，其中816x．(1)求出日销量y（支）与零售价x（元）之间的关系；(2)当零售价定为多少时，该文具店每天销售这种签字笔获得的利润最大？最大利润是多少？【变式训练】1．（2022秋·山西太原·九年级校考期末）某文具商店销售进价为28元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒40元的价格销售，平均每天销售80盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（40x ）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式：_______．(2)求W与x之间的函数关系式(3)为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于50元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？40 y两种产品共7．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）某书店销售一本畅销的小说，每本进价为25元．根据以往经验，当销售单价是30元时，每天的销售量是300本；销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10本，设这本小说每天的销售量为y本，销售单价为x3050（）元．x(1)请求出y与x之间的函数关系式；(2)书店决定每销售1本该小说，就捐赠3元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？。

二、解答重难题型突破+题型6 几何综合探究问题+课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

∴OD⊥AB,
∵AC⊥AB,∴OD∥AC,
∵DE∥BC,∴四边形DOCE是平行四边形,
由(1)知,OD=OC,∴四边形DOCE为菱形;
20
(3)如图,
在OC上截取OE=1,连接DE,作AF⊥BC于F,
∵OD=OB=3,OC=BC-OB=9,

∴ = = ,

∴∠DOE=∠CDO,
∵△HCG是等腰直角三角形,∴CG= GH=8,∴GD=8-5=3;
16
当E在BC延长线上时,延长GH,使HQ=HF,连接FQ,
则△HFQ是等腰直角三角形,
∴∠Q=45°,FQ= FH,GQ=HG+HQ=HC+HF=CF,∠QGF=90°-∠GFH=∠CFE,
∴△QGF≌△CFE(ASA),
∴GF=EF=AE=
∠AOC=180°-30°-30°=120°,
∴∠OCN=∠OAN'=30°,
=
∵在△OCN和△OAN'中 ∠ = ∠′ ,
′ =
7
∴△OCN≌△OAN'(SAS),
∴ON=ON',∠CON=∠AON',
∴∠N'ON=∠COA=120°,
又∵∠MON=60°,
∴∠MON=∠MON'=60°,
法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找
相似,转比例等.
3
类型1
动点、动线类探究
【例1】(2024·烟台招远市模拟)已知:等边△ABC中,点O是边AC,BC的垂直平分线
的交点,M,N分别在直线AC,BC上,且∠MON=60°.
(1)如图1,当CM=CN时,M,N分别在边AC,BC上时,请写出AM,CN,MN三者之间的数

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三部分重难题型分类练题型七二次函数与几何图形综合题

题型七二次函数与几何图形综合题类型一与线段有关的问题1. (2022武汉)抛物线y ＝x 2－2x －3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P .(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP ＝OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m .求FPOP 的值(用含m的式子表示).第1题图2. (2022山西)综合与探究如图，二次函数y ＝－14 x 2＋32 x ＋4的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.点P 是第一象限内．．．．．二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m .过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E .(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2022包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2，0)，顶点C的坐标是(0，4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G.(1)求该抛物线的解析式；(2)如图①，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图类型二与图形面积有关的问题4. (2022贺州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图5. (2022内江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2).(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1∶5两部分，求点P的坐标．6. (2022福建)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4，0)，B(1，4)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△P AB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断S 1S 2 ＋S 2S 3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．第6题图类型三角度问题7. (2022无锡)已知二次函数y ＝－14 x 2＋bx ＋c 图象的对称轴与x 轴交于点A (1，0)，图象与y 轴交于点B (0，3)，C ，D 为该二次函数图象上的两个动点(点C 在点D 的左侧)，且∠CAD ＝90°. (1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan ∠CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan ∠CDA 的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图8. (2022呼和浩特)如图，抛物线y ＝－12 x 2＋bx ＋c 经过点B (4，0)和点C (0，2)，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，B C.(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图①，若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在点E ，使得△BDE 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PQ ∥y 轴，分别交BC ，x 轴于点M ，N ，当△PMC 中有某个角的度数等于∠OBC 度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．第8题图类型四与特殊三角形判定有关的问题考向1等腰三角形判定问题9. (2022百色)已知抛物线经过A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF；(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．10. (2022遂宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为(0，－2)，求△DEF周长的最小值；(3)如图②，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M，N均在第一象限内，B，N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．第10题图考向2 直角三角形判定问题11. (2022抚顺本溪辽阳)如图，抛物线y ＝ax 2－3x ＋c 与x 轴交于A (－4，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，4)，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45°得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF . (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且DE EO ＝34时，求点D 的坐标；(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．12. (2022柳州)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5).(1)求b，c，m的值；(2)如图①，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图②，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．第12题图考向3等腰直角三角形判定问题13. (2022吉林省卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(1，0)，点B(0，3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围；(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2－m.①求m的值；②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．第13题图考向4等边三角形判定问题14. (2021朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．类型五与特殊四边形判定有关的问题考向1 平行四边形判定问题15. (2022重庆A 卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12 x 2＋bx ＋c 与直线AB 交于点A (0，－4)，B (4，0).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC ＋PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)中PC ＋PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴的一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．考向2矩形判定问题16. (2022黔东南州)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接A C.(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．考向3 菱形判定问题17. (2022烟台)如图，已知直线y ＝43 x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝－1. (1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．第17题图考向4 正方形判定问题18. (2022海南)如图①，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (－1，0)，C (0，3)，并交x 轴于另一点B ，点P (x ，y )在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D. (1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP 的面积；(3)点Q 在抛物线上，当PDAD的值最大且△APQ 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；(4)如图②，作CG ⊥CP ，CG 交x 轴于点G (n ，0)，点H 在射线CP 上，且CH ＝CG ，过GH 的中点K 作KI ∥y 轴，交抛物线于点I ，连接IH ，以IH 为边作出如图所示正方形HIMN ，当顶点M 恰好落在y 轴上时，请直．接写出．．．点G的坐标．第18题图类型六与三角形全等、相似有关的问题考向1全等三角形判定19. (2020陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为点D，点E是l上的点．要使以点P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．第19题图考向2相似三角形判定20. (2022衡阳)如图，已知抛物线y＝x2－x－2交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y＝－x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第20题图类型七与圆有关的问题21. (2021张家界)如图，已如二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C(2，－3).且与x轴交于原点及点B(8，0).(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；(3)判断△ABO的形状，试说明理由；(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为22，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求动点E 的运动时间t的最小值．第21题图。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三部分重难题型分类练8.题型八阅读理解题

题型八阅读理解题类型一定义新运算1. (2022赤峰)阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a. 例如：min|－1，3|＝－1；min|－1，－2|＝－2.第1题图完成下列任务(1)① min|(－3)0，2|＝________；② min|－14，－4|＝________；(2)如图，已知反比例函数y1＝kx和一次函数y2＝－2x＋b的图象交于A、B两点，当－2＜x＜0时，min|kx，－2x＋b|＝(x＋1)(x－3)－x2.求这两个函数的解析式．2. (2022重庆B卷)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷(2＋4＋7)＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷(2＋1＋4)＝214÷7＝30……4， ∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c .在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F (A )，最小的两位数记为G (A ).若F （A ）＋G （A ）16 为整数，求出满足条件的所有数A .类型二新概念的理解与应用3. (2022北京)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ，b )，N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移|a |个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度，得到点P ′，点P ′关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1，1)，点N 在线段OM 的延长线上．若点P (－2，0)，点Q 为点P 的“对应点”，第3题图①在图中画出点Q ；②连接PQ ，交线段ON 于点T .求证：NT ＝12OM ；(2)⊙O 的半径为1，M 是⊙O 上一点，点N 在线段OM 上，且ON ＝t (12 <t <1).若P 为⊙O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接PQ .当点M 在⊙O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差(用含t 的式子表示).4. (2022嘉兴)小东在做九上课本123习题：“1∶2 也是一个很有趣的比．已知线段AB (如图①)，用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ∶AB ＝1∶2 .”小东的作法是：如图②，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点，小东称点P 为线段AB 的“趣点”．(1)你赞同他的作法吗？请说明理由；(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连接CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造△DPE ，使得△DPE ∽△CP B.①如图③，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数；②如图④，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时(CD ＜AD )，猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．第4题图5. (2022长沙)若关于x 的函数y ，当t －12 ≤x ≤t ＋12 时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝M －N 2 ，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数y ＝4044x ，当t ＝1时，求函数y 的“共同体函数”h 的值； ②若函数y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)，求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数y ＝2x(x ≥1)，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数y ＝－x 2＋4x ＋k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．6. (2022常州)在四边形ABCD 中，O 是边BC 上的一点．若△OAB ≌△OCD ，则点O 叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形________“等形点”(填“存在”或“不存在”)；(2)如图，在四边形ABCD 中，边BC 上的点O 是四边形ABCD 的“等形点”．已知CD ＝42 ，OA ＝5，BC ＝12，连接AC ，求AC 的长；第6题图(3)在四边形EFGH 中，EH ∥FG .若边FG 上的点O 是四边形EFGH 的“等形点”，求OFOG 的值．类型三解题方法型7. (2022山西)阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象(称为抛物线)与x 轴交点的横坐标．抛物线与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(－b2a ，4ac －b 24a )和一元二次方程根的判别式Δ＝b 2－4ac ，分别从a >0和a <0两种情况进行分析： (1)a >0时，抛物线开口向上． ①当Δ＝b 2－4ac >0时，有4ac －b 2<0. ∵a >0，∴顶点纵坐标4ac －b 24a<0.∴顶点在x 轴的下方，抛物线与x 轴有两个交点(如图①). ∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根． ②当Δ＝b 2－4ac ＝0时，有4ac －b 2＝0. ∵a >0，∴顶点纵坐标4ac －b 24a＝0.∴顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个交点(如图②). ∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根． ③当Δ＝b 2－4ac <0时， …(2)a <0时，抛物线开口向下． …图①图② 第7题图任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是_____________(从下面选项中选出两个即可)；A. 数形结合B. 统计思想C. 分类讨论D. 转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为_____________________________________．源自北师九下P52议一议8. (2022张家界)阅读下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：asin A＝bsin B.第8题图①证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝a sin B，在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A，∴asin A＝bsin B.根据上面的材料解决下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：bsin B＝csin C；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)第8题图9. (2022随州)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)第9题图公式①：(a ＋b ＋c )d ＝ad ＋bd ＋cd 公式②：(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋ad ＋bc ＋bd 公式③：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 公式④：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2图①对应公式____，图②对应公式______，图③对应公式____，图④对应公式______；(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2的方法，如图⑤，请写出证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)(3)如图⑥，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点，E 为边AC 上任意一点(不与端点重合)，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，作EH ⊥AD 于点H ，过点B 作BF ∥AC 交EG 的延长线于点F .记△BFG 与△CEG 的面积之和为S 1，△ABD 与△AEH 的面积之和为S 2. ①若E 为边AC 的中点，则S 1S 2的值为________；②若E 不为边AC 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．图⑤ 图⑥第9题图10. (2021广西北部湾经济区)【阅读理解】如图①，l 1∥l 2，△ABC 的面积与△DBC 的面积相等吗？为什么？解：相等，在△ABC 和△DBC 中，分别作AE ⊥l 2，DF ⊥l 2，垂足分别为点E ，F . ∴∠AEF ＝∠DFC ＝90°，∴AE ∥DF . ∵l 1∥l 2，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∴AE ＝DF .又S △ABC ＝12 BC ·AE ，S △DBC ＝12 BC ·DF ，∴S △ABC ＝S △DB C .【类比探究】如图②，在正方形ABCD 的右侧作等腰△CDE ，CE ＝DE ，AD ＝4，连接AE ，求△ADE 的面积．解：过点E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF . 请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD 的右侧作正方形CEFG ，点B ，C ，E 在同一直线上，AD ＝4，连接BD ，BF ，DF ，直接写出△BDF 的面积．第10题图。

初中数学中考二轮复习重难突破专题03 动点函数图象(含答案)

1.点P（x,y）在x轴上，y=0如图①中，点点出发沿运动到点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则AB的长为（A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】由函数图像可知:当时，，面积最大时，可以求出，最后由勾股定理求出AB的值.【详解】当时，，面积最大时，∴，∴，解得或，∴，故选A.【点拨】本题考查函数图像与几何动点问题，需要分析清楚函数图像各个拐点的意义是解题关键.2.如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线A C.B D相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路径为x，△AOP的面积为y，图②是y关于x的函数关系图象，则AB边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】根据图形，分情况分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3，推出AB•BC＝12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，可推出A B.【详解】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＞BC，所以AB＝4．故选B．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.3.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】通过分析图象，点F从点A到D用a s，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，B D=，应用两次勾股定理分别求B E和a．【详解】过点D作D E⊥B C于点E由图象可知，点F由点A到点D用时为a s，△F BC的面积为a cm2．∴A D=a∴D E•A D＝a∴D E=2当点F从D到B时，用s∴BD=Rt△D BE中，B E=∵A BCD是菱形∴E C=a-1，D C=aRt△D EC中，a2=22+（a-1）2解得a=故选B.【点拨】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．4.如图甲所示，A，B是半径为2的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O以每秒一个单位长度度速度匀速运动，回到点A运动结束，设P点的运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么在图乙中可能表示y与x函数关系的是（）A. ①B. ②C. ②或④D. ①或③【答案】D【解析】分两种情形讨论当点顺时针旋转时，图象是③，当点逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点顺时针旋转，到达⊙O顶点时，运动过程中BP逐渐增大，从增大到4，据此可以判断，y与x函数图象是③，当点逆时针旋转，到达B点时，运动过程中BP逐渐减小，从减小到0，据此可以判断，y与x函数图象是①，故①③正确，故选：D．【点拨】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．5. 如图1，四边形是轴对称图形，对角线，所在直线都是其对称轴，且，相交于点E．动点P从四边形的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P运动的时间为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据图像，以及点的运动变化情况，前两段是y关于x的一次函数图像，判断y随x的增减变化趋势，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，即可排除A,B,C选项．【详解】根据图像，前端段是y关于x的一次函数图像，∴应在A C,B D两段活动,故A，B错误，第一段y随x的增大而减小,第二段y随x增大而增大，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，∵A E=E C∴C错误故选:D【点拨】本题考查函数的图像，比较抽象，解题的关键是根据图像判断函数值随自变量的值的增减变化情况，以及理解分段函数的最值是解题的关键．6.如图，菱形ABCD的边长为5 cm，s in A＝，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿折线AB﹣BC﹣CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为5 cm，P，Q的速度都是1 cm/s，当时，，点都在运动，, 故选项A、\D错误，当时，点停止，点运动，高不变，，当时，点停止，点运动，，故选项B错误，选项C正确，故选:C．【点拨】本题考察了三角函数，菱形性质等知识点，讨论动点在不同边的情况，求出对应函数关系式，再去判断是解题关键．7.李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据“路程速度时间”可得与之间的函数关系式，再根据加完油后，加快了速度可得后面的一次函数的一次项系数更大，图象更陡，由此即可得．【详解】解：设最初的速度为千米/小时，加快了速度后的速度为千米/小时，则，由题意得：最初以某一速度匀速行驶时，，加油几分钟时，保持不变，加完油后，，，函数的图象比函数的图象更陡，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的特征是解题关键．8..如图，在中，，，点从点沿边，匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分两种情况：①当P点在OA上时，即0≤x≤2时；②当P点在A B上时，即2＜x≤4时，求出这两种情况下的P C长，则y=P C•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，A B=，∴O B=4．①当P点在OA上时，即0≤x≤2时，P C=O C=x，S△P OC=y=PC•OC=x2，是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；O C=x，则B C=4-x，P C=B C=4-x，S△P OC=y=PC•OC=x（4-x）=-x2+2x，是开口向下的抛物线，当x=4时，y=0．综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．故选：D．【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．。