圆的有关性质(2014年中考)不含答案

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中考数学复习《圆的有关性质》测试题(含答案)

中考数学复习《圆的有关性质》测试题（含答案）一、选择题(每题5分，共30分)1．[2014·梧州]已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O 的位置关系是(C) A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【解析】∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O 的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．2．[2015·珠海]如图29－1，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(D)A．25°B．30°C．40°D．50°图29－1【解析】∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴AD︵＝BD︵，∴∠DOB＝2∠C＝50°.3．[2015·遂宁]如图29－2，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm图29－2【解析】显然利用垂径定理．如答图，连结OA ， ∵AB ＝6 cm ，AC ＝12AB ＝ 3 cm ，又⊙O 的半径为5 cm ，所以OA ＝5 cm ，在Rt △AOC 中， OC ＝AO 2－AC 2＝52－32＝4(cm)．4．[2015·宁波]如图29－3，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为(B)A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°图29－3【解析】连结OB ，如答图，∠BOC ＝2∠A ＝2×72°＝144°，∵OB ＝OC ，∴∠CBO ＝∠BCO ，∴∠BCO ＝12(180°－∠BOC )＝12×(180°－144°)＝18°.5．[2015·巴中]如图29－4，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为(A)A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 【解析】 ∵∠BOC ＝2∠BAC ，∠BOC ＝50°，第3题答图第4题答图∴∠BAC＝25°，∵AC∥OB，∴∠BAC＝∠B＝25°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝25°.图29－4 图29－56．[2014·荆门]如图29－5，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(D) A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD【解析】由题意可知，∠ADC＝∠ADB＝90°，A．∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A正确；B．∵AD＝DE，∴AD︵＝DE︵，∴∠DAE＝∠B，∴△ADC∽△BDA，故B正确；C．∵AD2＝BD·CD，∴AD∶BD＝CD∶AD，∴△ADC∽△BDA，故C正确；D．∵AD·AB＝AC·BD，∴AD∶BD＝AC∶AB，但∠ADC＝∠ADB不是夹角，故D错误．二、填空题(每题5分，共30分)7．[2015·贵州]如图29－6，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__40°__．【解析】 ∠ACB ＝12∠AOB ＝12×80°＝40°.图29－6 图29－78．[2015安徽]如图29－7，点A ，B ，C 在⊙O 上，⊙O 的半径为9，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是__20°__．9．[2015·娄底]如图29－8，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD ＝40°，则∠BAD ＝__50__度．【解析】 ∵在⊙O 中，AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠B ＝∠ACD ＝40°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝50°.10.[2015·泰州]如图29－9，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于__130°__．【解析】 ∵∠A ＝115°，∴∠C ＝180°－∠A ＝65°，∴∠BOD ＝2∠C ＝130°.图29－9 图29－10图29－811．[2015·绍兴]如图29－10，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于__60__度．【解析】 ∵A (0，1)，B (0，－1)， ∴AB ＝2，OA ＝1，∴AC ＝2，在Rt △AOC 中，cos ∠BAC ＝OA AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.12．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图29－11，水面宽度原有60 cm ，发现时水面宽度只有50 3 cm ，同时水位也下降65 cm ，则修理人员应准备的半径为__50__cm 的管道．图29－11【解析】如答图所示：过点O 作EF ⊥AB 于点F ，交CD 于点E ，连结OC ，OA ， ∵CD ∥AB ，∴EF ⊥CD ，∵CD ＝60 cm ，AB ＝50 3 cm ， ∴CE ＝12CD ＝12×60＝30 cm ， AF ＝12AB ＝12×503＝25 3 cm ，设⊙O 的半径为r ，OE ＝h cm ，则OF ＝65－h (cm)，在Rt △OCE 中，OC 2＝CE 2＋OE 2，即r 2＝302＋h 2，①第12题答图在Rt△OAF中，OA2＝AF2＋OF2，即r2＝(253)2＋(65－h )2，②①②联立，解得r＝50 cm.三、解答题(共10分)13．(10分)[2014·湖州]如图29－12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图29－12解：(1)证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E.则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD；(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，第13题答图如答图，连结OA，OC，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27.AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.14．(8分)[2015·安顺]如图29－13，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为(C)图29－13A．2 2 B．4C．4 2 D．8【解析】∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝22OC＝22，∴CD＝2CE＝4 2.15．(10分)某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，如图29－14，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m，船舱顶部为方形并高出水面(AB)2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图29－14解：如答图，连结ON，OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．∵AB＝7.2 m，∴BD＝12AB＝3.6 m.第15题答图设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝OC－CD＝r－2.4.在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9(m)．∵CD＝2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB为2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝ 2.96 m，∴MN＝2EN＝2× 2.96≈3.44(m)＞3(m)，∴此货船能顺利通过这座拱桥．16．(12分)[2015·台州]如图29－15，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.图29－15解：(1)∵BC＝DC，∴BC︵＝DC︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°；(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.。

九年级数学： 24.1 圆的有关性质(同步练习题)( 含答案)

24．1圆的有关性质24．1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A)A．1个B．2个C．3个D．无数个2．下列命题中正确的有( A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，图中弦的条数为( B)A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A)A．1条B．2条C．3条D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C)A．38°B．52°C．76°D．104°,第6题图),第7题图) 7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D)A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D)A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B)A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C)A．50°B．60°C．70°D．80°,第12题图),第13题图) 13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D)14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB ＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E ＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S ＝12＝1正方形FGHK24．1.2 垂直于弦的直径1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a ，半径R ，弦心距d ，它们之间的关系是__(12a)2＋d 2＝R 2___．知识点1：认识垂径定理 1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( B ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是( C )A ．8B ．2C ．2或8D ．3或73．(2014·北京)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，则CD 的长为( C )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8 4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24___．知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120 m ，CD ＝20 m ，则这段弯道的半径是( C )A ．200 mB ．200 3 mC ．100 mD ．100 3 m,第5题图) ,第6题图)6．如图，在⊙O 中，弦AB ，AC 互相垂直，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则四边形OEAD 为( C )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，则输水管的半径为( C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第7题图) ,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1寸，CD ＝10寸，则直径AB 的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt△OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R.由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( C )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5,第10题图) ,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD ＝30°，且BE ＝2，则CD ＝．12．已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，OP ＝3，则过点P 的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)___．,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r ，∵EF ＝1，∴OF ＝r －1.∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2，解得r ＝138，即圆O 的半径为138米16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm ，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，其交点O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接AO交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256，即所求圆片的半径为256cm17．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为( D )A ．17 cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝2 3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB ，∴AB ＝BC ＝23 (2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，可求OA ＝2，即⊙O 的半径为224．1.3 弧、弦、圆心角1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心． 2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___． 4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D ) A ．∠AOB B ．∠AOD C ．∠BOD D ．∠ACD,第1题图) ,第3题图)2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°,第4题图) ,第5题图)5．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵； ②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ； ④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( C )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°,第6题图) ,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB ＝2∠COD ，则AB ︵与2CD ︵的大小关系为( C ) A .AB ︵＞2CD ︵ B .AB ︵＜2CD ︵ C .AB ︵＝2CD ︵D ．不能确定8．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点，∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵OC＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )，∴CD ＝CE9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝__40°___．,第9题图) ,第10题图)10．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ︵＝2CD ︵，那么( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CDD ．AB 与2CD 大小不能确定12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，且AC ＝BD ，求证：AB ＝CD.解：∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD13．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.解：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GAE ＝∠B ，∠EAF＝∠AFB.又∵AB ＝AF ，∴∠B ＝∠AFB ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形(2)∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠COD ＝60°，∴OC ∥BD15．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD ＝BO.试说明BD ︵＝DE ︵，并求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x °，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x °.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x °，从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，即∠BOD ＝∠AOD ，∴BD ︵＝DE ︵.由三角形的内角和为180°，得2x ＋2x ＋x ＝180，∴x ＝36，则∠A ＝36°16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一个动点，求PA ＋PB 的最小值．解：作点B 关于MN 的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN 的交点为P 点，此时PA ＋PB 最短，ABB ′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝AO 2＋OB′2＝2，∴PA ＋PB ＝AB ′＝2，即PA ＋PB 的最小值为224．1.4 圆周角1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC ＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝__80°___，∠B ＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．3 13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC ＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA ＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝52 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。

圆的有关性质-习题及答案

圆的有关性质——解答题1. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或 .G FEOAB DC2.、如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF . （1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长；（2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.FE DCBA O xy3. 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.4. 已知 △ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆1O 、2,O P 是AB 的中点.（1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC =BC ，在,AC BC 上分别取点E 、F ，使12,AO E BO F ∠=∠则有结论①12,PO E FO P ≅②四边形12PO CO 是菱形.请给出结论②的证明；（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图10，若PC 是1O 的切线，求证：2223AB BC AC =+5. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.（1）弦长AB=________（结果保留根号）；图8O2O1PAD EFBDABCDEF P.OG （图1） .AB CDE.OG （图2）（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.6、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.7、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．MODACBN8、已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B 作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．(1)求证：AE=CK；(2)如果AB=a，AD=13a (a为大于零的常数)，求BK的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．9、已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧⌒AD上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．10、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若1tan2C∠=，求弦MN的长．（第9题图）EFGAOB CDKOABD CMN11、在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC=AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E ． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证AC •AF=DF •FE12、如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O (0，0)，与x 轴相交于点A (5，0)，过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．(1)已知AC ＝3，求点Ｂ的坐标； (4分)(2)若AC ＝a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数xky =的图象经过点1O ，求k 的值(用含a 的代数式表示)． (4分)13、已知：如图，∆ABC 错误！未找到引用源。

2014中考数学知识点：圆的基本性质

2014中考数学知识点：圆的基本性质
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时光飞逝，暑假过去了，新学期开始了，不管情愿与否，无论准备与否，我们已走进初三，走近我们的梦!祝愿决战2014中考的新初三学员能加倍努力，在2014年中考中也能取得优异的成绩。

知识点三、圆的基本性质
1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

2014中考复习备战策略_圆的有关概念及性质

P
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=1/2AB， ∴∠ABC=30°， ∵△PCD∽△ABC， ∴∠PCD=∠ABC=30°， ∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴AC=AP， ∴∠ACP=∠ABC=30°， ∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACP﹣∠PCD =90°﹣30°﹣30°=30°
谢谢指导
方法总结：在圆中连接半径是一种常用的辅助线作法，利用半径相等来解决问题。
考点二垂径定理、推论及应用
1 ．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 为弦，CD⊥AB，垂足为 E，则 AE＝EB， AD ＝ DB ， AC ＝ BC .
2．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．温馨提示平分弦的直径不一定垂直于弦，只有被平分的弦不是直径时才互相垂直.
1. 由 90°的圆周角可作出它所对的弦是直径.
2. 由圆的内接四边形可得到互补的角.
综合运用：
例6.（2013江西）平面内有四个点A、O、B、C，其中 ∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．
分析：分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以得出点C可以在以点O为圆心OA为半径的圆上；如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB=180°，可以得出点C可以在过A、B、O三点的圆上．
例2．在⊙中，已知半径长为3，弦长为4，那么圆心到的距离为___________ ． 5
O
D
方法总结：用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用解由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的．

中考数学圆专题

圆专题一、圆的有关性质1、下列命题中，①直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个圆是等圆；④一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段是优弧；⑤长度相等的两条弧是等弧。

其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个2、下列说法中，正确的是( )A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等，所对的圆心角相等3、如图所示，在⊙O 中，A ，C ，D ，B 是⊙O 上四点，OC ，OD 交AB 于点E ，F ，且AE ＝FB ，下列结论：①OE ＝OF ；②AC ＝CD ＝DB ；③CD ∥AB ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4.两个正方形彼此相邻，且大正方形ABCD 的A 、D 两点在半圆O 上，小正方形BEFG 顶点F 在半圆O 上；B 、E 两点在半圆O 的直径上，点G 在大正方形边AB 上，若小正方形的边长为4cm ，求该圆的半径．5.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC 等于（）A ．60°B ．70°C ．120°D ．140°6. 如图，⊙O 中，∠CBO=450，∠CAO=150，则∠AOB 的度数是（）A.750B.600C.450D.300ABC O7.如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D=( )A．25°B．35°C．55°D．70°8.如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°9.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm10、工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.11、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．12、下列命题中正确的有（）①垂直于弦的直径平分这条弦；②与弦垂直的直线必过圆心；③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个13、下列命题中正确的有（）①垂直于弦的直径平分这条弦；②与弦垂直的直线必过圆心；③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个14．如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点，若∠BOC=40°，则∠ABD的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°15.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（）16.在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C. 若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径17.如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）222A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°18.已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（）A.2√5cmB.4√5cmC.2√5cm 或4√5cmD.2√3cm4√3cm19.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AD=4，弦AE 平分BC 交BC 于P ，连接CE ，则CE 的长为（）A.2B.2√5C.212D.45√520.如图，半圆O 的直径AB=10，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（）A.4√5cmB.3√5cmC. 5√5cmD.4cm21.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（）二、与圆有关的位置关系A ．3B ．C ．6D ．1.若⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距d=7cm,则这两圆的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.外离2.已知⊙O1的半径为1cm ，⊙O2的半径为3cm ，两圆的圆心距O1O2为2cm ，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切3.如图，已知⊙O1的半径为1cm ，⊙O2的半径为2cm ，将⊙O1，⊙O2放置在直线l 上，如果⊙O1在直线l 上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A.6cm B.3cm C.2cmD.0.5cm5.已知⊙O1 与⊙O2相交，它们的半径分别是4、7，则圆心距O1O2可能是( )A. 2B. 3C. 6D. 126.已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是．三、圆内接正多边形1.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A ．正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形2.对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．你认为正确的命题有（）．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个3.下列说法中，正确的是（）A. 各边都相等的多边形是正多边形B. 正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形C. 正多边形都有内切圆和外接圆，且两圆为同心圆D. 各角相等的圆内接多边形为正多边形4.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形如图4，⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，两圆的半径分别为6㎝和8㎝，两圆的连心线12O O 的长为10㎝，则弦AB 的长为（） A. 4.8㎝ B. 9.6㎝ C.5.6㎝ D. 9.4㎝5.圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（）A ．36°B ．60°C ．72°D ．108°6.一个正五边形要绕它的中心至少旋转______度，才能与原来的图形重合．7.正多边形的中心角是036，那么这个正多边形的边数是（）．A ．10B ．8C ．6D ．58.有一边长为4的正n 边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）A ．34B ．4C ．32D ．29.如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（）A ．6：1B ：1C ．3：1D ：110.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）A 1B ．2∶1C ．1∶2D ．111.同圆的内接正三角形与正六边形的边长之比为（）A ．1：2B ．1：1C 1D ．2：112.正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）．A B ．12 C ．14 D ．3413.圆外切正方形和内接正方形的相似比似( )A.1:2B.2:1C.√2:1D.1: √214.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内接圆半径的大小分别为（）A. 6, 3√2B. 3√2 ，3C. 6,3D. 6√2 ,3√215.在半径为R 的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（） A. 1:√2:√3 B. √3: √2:1 C. 1:2:3 D. 3:2:1四、扇形的弧长及面积的计算1.在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）．A ．B ．C ．D ．2.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD 的长是（）A ．π93B ．π33C ．π932D ．π332 3.已知弧的长为3πcm ，弧的半径为6cm ，则圆弧的度数为（）A ．45°B ．90°C ．60°D ．180°4.如图，把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AB=√3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为（） A ． B ． C ． D ．5.如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，分别以B ，D 分圆心，以a 为半径在正方形内部画弧，形成了叶子形图案（阴影部分），则这个叶片形图案的周长为．6.如图，OA=OB=6cm ，线段OB 从与OA 重合的位置开始沿逆时针方向旋转120°，在旋转过程中，设AB 的中点为P （当OA 与OB 重合时，记点P 与点A 重合），则点P 运动的路径长为（）A ．6cmB ．4πcmC ．2πcmD ．3cm7.如图，三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为（结果保留π）．1.已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为（）A ．9πB ．6πC ．3πD ．π2.如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm 2，那么扇形的半径为（）A ．48cmB ．24cmC ．12cmD ．6cm3.已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为（结果保留π）．4.如图，AB 是半圆O 的直径，CD 是半圆的三等分点，AB=12，则阴影部分的面积是（）A ．4πB ．6πC ．12πD ．12π-5．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE ，BD 的延长线交于点C 。

2014年中考真题训练题圆的有关性质

2014年中考真题训练题圆的有关性质2.如图2，AB 是⊙D 是圆上两点，∠AOC=100°，则∠D=3.如图3，点P 是等边三角形A ．当弦PB 最长时，ΔAPC 是等腰三角形 B ．当ΔAPC 是等腰三角形时，PO ⊥AC C ．当PO ⊥AC 时，∠ACP=300D ．当∠ACP=300时，ΔPBC 是直角三角形 4. 如图4，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中量角器0刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，5. (2013莱芜)如图5，在⊙O 中，已知∠OAB=22.5°，则∠C 的度数为（） A. 135° B. 122.5° C. 115.5° D.112.5°6.已知，如下图1，⊙O 是ΔABC 的外接圆，OD 垂直于AC 交圆于D ，连接AD ，CD,BD ∠,ABD=50°，则∠DBC=______7．如上图2，AB 为圆O 的直径，点C ，D 在圆O 上，∠BAC=50 °，则∠ADC=（）。

8. 如上图3，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5cm ，则弦AB 的长为___________9.如上图4，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（）cm ABCD 410.△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是（） A ．80° B ．160° C ．100° D ．80°或100° 11．如上图5，，且∠A=60°，半径OB=2，则下列结论不正确的是（）A ．∠B=60°B ．∠BOC=120°C ．的度数为240°D ．弦BC= 212. 如右图6，AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，∠BOC=110°，AD ∥OC ，则∠AOD=（） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°13. 如下图1 A ，B ，C ，D 是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有（）14．如上图2，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（）. A ．35°B ．45°C ．55°D ．75°15. 如上图3，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，求证:PE ⊥PF.17.如图5 点A,B,C 在半径为2的⊙o 上,若BC=2√3 求∠A 的度数18. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是弧ACB 的中点,DE//BC 交AC 的延长线于点E,若AE=10,∠ACB=60°,求BC 的长．19. 已知：如图，M 是的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN=4cm 。

【2014年】中考数学复习方案课件_第6单元圆【沪科版】

推论
一条弧．对于①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径的弦)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点4 圆心角、弧、弦之间的关系
弧在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________ ．．．．．定理弦相等. 相等，所对的________
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两．．．．．推论条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
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第23课时┃ 圆的有关性质
考点5 圆周角
圆上，并且两边____________ 都和圆相交的角叫顶点在________
定义定理推论 1 推论 2 推论 3
斜边长＝ 162＋122＝20，因此，这个三角形的外接圆半径为 10. 综上所述，这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10. 故答案为 10 或 8.
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第23课时┃ 圆的有关性质
1．过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点． 2．直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
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选择题填空题选择题
4分 5分 4分 ★★ ★★★★★
填空题填空题选择题
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5分 5分 5分 ★★★★★
第23课时┃ 圆的有关性质
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考点1
圆的定义定义 2 弦直径弧

2014中考数学圆汇编

2014年中考数学圆试题汇编一．填空题（共108小题）1．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE= 50°．于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．BE=OE===3=BC=7故答案为：OE=4cmCE=CD=4．（2014•江西）如图，△ABC内接于⊙O，A0=2，BC=2，则∠BAC的度数为60°．BD=，在OBD=，则∠BAC=∠BD=BC=2，BD=OBD=，∠5．（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6cm2．∴=，OC=OC=OA=2ON=AM=2NE=GN=GE==GE=2NE=2，GE AM=22，66．（2014•包头）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为8．是OD=AC7．（2014•长春）如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为24度．8．（2014•陕西）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是4．AB=OA=2AB AB CE=AB AB×4=4AB=OA=2AB AB CE=AB4=449．（2014•大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为2．=BD=10．（2014•黄石）如图，圆O的直径CD=10cm，AB是圆O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB=8cm，则sin∠OAP=．AP=AB=4cmAP=BP=AB=×CD=5OP=OAP==故答案为：11．（2014•泰安）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为．BE=2BC=AE=CE=BE=，==故答案为：12．（2014•甘孜州）如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= 2cm．AD=AB=OD==13．（2014•常德）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为3．OE===314．（2014•南京）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为2cm．BE=AB=，且BE=AE=AB=2，OB=15．（2014•牡丹江）⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3．BD=BC，点BD=BC=，即（）16．（2014•广东）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3．AC=BC=AC=BC=AB=×OC==317．（2014•绍兴）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD 分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为5．于点、劣弧EF=418．（2014•台州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为50cm．19．（2014•菏泽）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为50°．∴20．（2014•吉林）如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB 的度数可以是70°（写出一个即可）∠21．（2014•龙东地区）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．22．（2014•郴州）如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=30°．∠23．（2014•兰州）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于36°．所对的圆周角，24．（2014•抚州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为70°．∠25．（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．ACB=AOB=×26．（2014•巴中）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是70°．27．（2014•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．BC=ADC=tanB==，故答案为28．（2014•衡阳）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．29．（2014•株洲）如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是28°．30．（2014•黄冈）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=4．，即=OE=2，所以CD=2DE=4．，∴，解得DE=OE=2CD=2DE=431．（2014•盘锦）已知，AB是⊙O直径，半径OC⊥AB，点D在⊙O上，且点D与点C在直径AB的两侧，连结CD，BD．若∠OCD=22°，则∠ABD的度数是23°或67°．∠∠32．（2014•百色）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠AOC=50°，则∠ABC=25°．∠33．（2014•龙岩）如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC=6．BC=．34．（2014•南通）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 60度．35．（2014•贵阳）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B= 40度．36．（2014•来宾）如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB=40度．=4037．（2014•宁夏）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．故答案为：38．（2014•雅安）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切．y=x+y=y=x+与，，y=x+=1y=x+39．（2014•西宁）⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为4．40．（2014•成都）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 40度．41．（2014•湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=4．=442．（2014•重庆）如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=8．43．（2014•天水）如图，PA，PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠P=80°．44．（2014•青岛）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是35°．∠45．（2014•宜宾）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=．∠AB=1，即，AM=．故答案为：46．（2014•山西）一走廊拐角的横截面积如图，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN 的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为（4﹣2）m．BP=2的中点，OB=2BP=2BP=2﹣47．（2014•自贡）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为3cm．，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的倍．已知边长的半径为，又∠2=48．（2014•重庆）如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为4﹣．（结果保留π）OC=OA=2=2AB=2AC=44﹣﹣．﹣49．（2014•广安）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积为﹣π（不取近似值）．，∠AD=BD=2OF=BC=4﹣﹣﹣故答案为：50．（2014•南充）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是16π．（结果保留π）BC=AC=AB=×51．（2014•荆州）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为．∵的长为，∴．故答案为：52．（2014•贵港）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=120°，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F．若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是2．l=r=×r==2．53．（2014•抚顺）如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，点P是上的一点，则tan∠EPF 的值是1．54．（2014•玉林）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E=．．故答案为：55．（2014•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是2．=，得出y=x x x﹣（∴∴，y=x﹣﹣（56．（2014•岳阳）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）①△CPD∽△DPA；②若∠A=30°，则PC=BC；③若∠CPA=30°，则PB=OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．PB=BC==BC57．（2014•温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是12或4．EF=EN=EF=，则AB58．（2014•南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为a．×××OE=OF=∴BH=BH=∴，CD=BC+BD=a+故答案为：59．（2014•黄石）一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P A=．如图，现在等边△ABC内射入一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是π．，故（，x××x=x内切圆中的概率是：故答案为：60．（2014•张家界）已知⊙O1与⊙2外切，圆心距为7cm，若⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径是3cm．1212置关系是外离．62．（2014•烟台）如图，∠AOB=45°，点O1在OA上，OO1=7，⊙O1的半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于3或15．63．（2014•威海）如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是﹣．DF==××=，﹣﹣故答案为：64．（2014•龙岩）如图，∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，若分别以O1，O2，O3…为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3…均与∠AOB的两边相切，且相邻两圆相外切，则⊙O2014的面积是92013π（结果保留π）∴65．（2014•绵阳）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）=．故答案为：66．（2014•德阳）半径为1的圆内接正三角形的边心距为．OD=．故答案为：67．（2014•南京）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=72°．××68．（2014•厦门）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（2，4）．时，其纵坐标即可得出答案．2AO=FO=FA=2EO=FO+EF=4，x+2时，y=2×+2=469．（2014•烟台）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于π．，BD=2BM=4的面积是OM=××，=2=×=π，+4π4π4π故答案为：70．（2014•徐州）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若⊙P与这两个圆都相切，则圆P的半径为1或2cm．==71．（2014•西宁）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为6．l=，即，l=（72．（2014•杭州）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于πr或r（长度单位）．根据相似三角形对应边成比例列式求出∴，BH=∴，ππ故答案为：73．（2014•内江）通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为1344．74．（2014•河北）如图，将长为8cm的铁丝尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形=4cm2．××75．（2014•连云港）如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1、S2，若=0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折扇（如图2）大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为137.5°．（精确到0.1），得出=0.618=0.61876．（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积16﹣4﹣．OE=AB=﹣﹣﹣×﹣=4[×﹣﹣﹣．4．77．（2014•绥化）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为3π（结果保留π）==78．（2014•徐州）半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2．的扇形的面积为：=故答案为：79．（2014•常州）已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2πcm，则此扇形的圆心角等于120度，扇形的面积是3πcm2．（结果保留π）=380．（2014•达州）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是π﹣2．81．（2014•枣庄）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为4﹣πcm2．82．（2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是﹣．AD==××﹣故答案为：﹣的平方的83．（2014•潍坊）如图，两个半径均为的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为2π﹣3．（结果保留π）。

「2014年中考数学科考试说明」

201４年中考数学科考试说明南昌市2014年初中毕业暨中等学校招生考试数学试题,将努力贯彻国家的教育方针，以《九年义务教育数学课程标准》（修改稿）为依据,以现行教材为主要内容,从数学学科的逻辑结构和思想体系出发,从高一级学校学生数学学习的心智储备需求出发，从学生认知规律出发．从培养学生的创新意识、探索精神和应用意识出发，从促进学生生动活泼、主动学习出发,从有利于减轻学生过重的学业负担出发,主要考查学生的数学发展水平。

这里的“数学发展水平”指的是学生用数学思想方法分析问题和解决问题的能力,指的是学生养成的数学素养，指的是学生积累的数学经验与方法，指的是学生对数学知识之间的内在联系的认知水平。

主要考查学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

这里的“数感”主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟;这里的“符号意识”主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;这里的“空间观念”主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等;这里的“几何直观”主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果；这里的“数据分析观念”主要是指会根据数据中蕴涵的信息作出判断，会根据问题的背景选择合适的数据分析方法;这里的“运算能力”主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。

培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题；这里的“推理能力”是数学的基本思维方式,包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发,按照逻辑推理的法则证明和计算。

2014中考总复习第27讲圆的认识

(2)利用等腰三角形的性质三线合一求解. 【自主解答】 ∴∠AE B =90°. 又∵∠B AC =45°, ∴∠AB E =45°. 又∵AB =AC , ∴∠AB C = ∠C =67. 5°. ∴∠E B C =22. 5°. ( 2) 连接 AD . ∵AB 是☉O 的直径, ∴∠AD B =90°. ∴AD ⊥B C . 又∵AB =AC , ∴B D =C D .
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
( 2) 圆上任意两点间的 3. 圆的对称性:
叫做圆弧, 简称弧. 都
( 1) 圆的轴对称性: 圆是轴对称图形, 经过圆心的每一条是它的对称轴; ( 2) 圆是以形为对称中心的中心对称图形; ( 3) 圆是旋转对称图形, 环绕圆心旋转任意角度, 都能和原来的图 , 这就是圆的旋转不变性. 二、垂径定理及推论 1. 垂径定理: 垂直于弦的直径的的 . 2. 推论: 平分弦( 不是直径) 的直径 . , 并且平分弦所对 , 并且平分弦所对
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
一、圆及其性质 1. 圆的定义: ( 1) 在一个平面内, 线段 O A 绕它固定的一个端点 O 旋转另一个端点 A 所形成的叫做圆. 的距离等 ,
( 2) 圆心为 O , 半径为 r的圆可以看成是所有到于的点的集合. 2. 弦与弧: ( 1) 连接圆上任意两点的叫做弦;
2. 如图, AB 是☉O 的直径, 弦 C D ⊥AB 于点 E , ∠C D B =30°, ☉O 的半径为 3 cm , 则弦 C D 的长为( 3 A . cm B. 3 cm C. 2 3 cm 2 ) D. 9 cm

2022年最新中考数学复习专题-圆的有关位置关系

圆的有关位置关系☞解读考点☞2年中考【2022模拟年题组】1．（2022模拟贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B．考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹．2．（2022模拟湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定【答案】B．【解析】试题分析：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选B．考点：点与圆的位置关系．3．（2022模拟泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（）A．65°B．130°C．50°D．100°【答案】C．【解析】试题分析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．考点：切线的性质．4．（2022模拟宜昌）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）A．圆形铁片的半径是4cmB．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcmD．扇形OAB的面积是4πcm2【答案】C．考点：1．切线的性质；2．正方形的判定与性质；3．弧长的计算；4．扇形面积的计算；5．应用题；6．综合题．5．（2022模拟襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC 的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【答案】C．【解析】试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．6．（2022模拟齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A．考点：1．直线与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理．7．（2022模拟河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A．【解析】试题分析：∵直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，43），∴OB=43，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=343⨯=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12PA，设P（x，0），∴PA=12﹣x，∴⊙P的半径PM=12PA=162x-，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，共6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综合题．8．（2022模拟贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：①AD=DC；②AB=BD；③AB=12BC；④BD=CD，其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B．故选B．考点：切线的性质．9．（2022模拟南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC 于点M，切点为N，则DM的长为（）A．133B．92C4133．25【答案】A．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．综合题．10．（2022模拟天水）相切两圆的半径分别是5和3，则该两圆的圆心距是．【答案】2或8．【解析】试题分析：若两圆内切，圆心距为5﹣3=2；若两圆外切，圆心距为5+3=8，故答案为：2或8．考点：1．圆与圆的位置关系；2．分类讨论．11．（2022模拟上海市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A 在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）【答案】14（答案不唯一）．考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型．12．（2022模拟盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．【答案】3＜r＜5．【解析】试题分析：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则2234=5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．考点：点与圆的位置关系．13．（2022模拟上海市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A 在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）【答案】14（答案不唯一）．【解析】试题分析：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型．14．（2022模拟义乌）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为．【答案】3或73．考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理；4．分类讨论．15．（2022模拟徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °．【答案】125．【解析】试题分析：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°，∵OA=OD，∴∠COD=35°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°∠ODA=∠A=12=125°，故答案为：125．考点：切线的性质．16．（2022模拟镇江）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=21 ，则∠ACD= °．【答案】112.5．考点：切线的性质．17．（2022模拟贵阳）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD 向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是．．【答案】433考点：1．切线的性质；2．轨迹；3．应用题；4．综合题．18．（2022模拟泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．【答案】50°．【解析】试题分析：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AC AD，∵EF是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案为：50°．考点：切线的性质．19．（2022模拟鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=2，连接PB，则PB= ．【答案】1或5．考点：1．切线的性质；2．分类讨论；3．综合题．20．（2022模拟广元）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O 上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC 的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是________ （只需填写序号）．【答案】②③．则正确的选项序号有②③．故答案为：②③．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．21．（2022模拟荆州）如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA=8，AB=10，点C 在边OA 上，AC=2，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数k y x=（0k ≠）的图象经过圆心P ，则k= ．【答案】﹣5．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数图象上点的坐标特征；4．综合题；5．压轴题．22．（2022模拟杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=2r，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．【答案】23．【解析】考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．新定义．23．（2022模拟北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）10．3【解析】试题分析：（1）如图，连接OE，证明OE⊥PE即可得出PE是⊙O 的切线；（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，进而得到∠3=∠4，结合已知条件证得结论；（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理求出EF 的长，进而求得BE，CF的长，在RT△AEB中，根据勾股定理求出AE的长，然后根据△AEB∽△EFP，求出PF的长，即可求得PD的长．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质；3．圆的综合题；4．压轴题．24．（2022模拟南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上两点，且AC=CG ，过点C 的直线CD ⊥BG 于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线．（2）若32 FD OF ，求∠E 的度数．（3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD=3，求AD 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）30°；（3）13．【解析】试题解析：（1）如图1，连接OC ，AC ，CG ，∵AC=CG ，∴AC CG =，∴∠ABC=∠CBG ，∵OC=OB ，∴∠OCB=∠OBC ，∴∠OCB=∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵OC ∥BD ，∴△OCF ∽△BDF ，△EOC ∽△EBD ，∴23OC OF BD DF ==，∴23OC OE BD BE ==，∵OA=OB ，∴AE=OA=OB ，∴OC=12OE ，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；（3）如图2，过A 作AH ⊥DE 于H ，∵∠E=30°，∴∠EBD=60°，∴∠CBD=12∠EBD=30°，∵CD=3，∴BD=3，DE=33，BE=6，∴AE=13BE=2，∴AH=1，∴EH=3，∴DH=23，在Rt △DAH 中，AD=22AH DH +=221(23)+=13．考点：1．圆的综合题；2．切线的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．压轴题．25．（2022模拟桂林）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB=4，PC 、PD 是⊙O 的两条切线，C 、D 为切点．（1）如图1，求⊙O 的半径；（2）如图1，若点E 是BC 的中点，连接PE ，求PE 的长度；（3）如图2，若点M 是BC 边上任意一点（不含B 、C ），以点M 为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．【答案】（1）22；（2）25；（3）证明见试题解析．（2）如图1，连接EO，OP，∵点E是BC的中点，∴OE⊥BC，∠OCE=45°，则∠E0P=90°，∴EO=EC=2，OP=2CO=4，∴2225OE OP（3）如图2，在AB上截取BF=BM，∵AB=BC，BF=BM，∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，∵∠AMN=90°，∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，∴∠FAM=∠NMC，∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，∴∠DCP=45°，∴∠MCN=135°，∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，在△AFM和△CMN中，∵∠FAM=∠CMN，AF=MC，∠AFM=∠MCN ，∴△AFM ≌△CMN （ASA ），∴AM=MN ．考点：1．圆的综合题；2．切线的性质；3．正方形的判定与性质；4．全等三角形的判定与性质； 5．压轴题．26．（2022模拟柳州）如图，已知抛物线21(76)2y x x =--+的顶点坐标为M ，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：2()y a x h k =-+（0a ≠），并指出顶点M 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R ，使得CR+AR 的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标；（3）以AB 为直径作⊙N 交抛物线于点P （点P 在对称轴的左侧），求证：直线MP 是⊙N 的切线．【答案】（1）21725()228y x =--+，M （72，258）；（2）35，（72，54-）；（3）证明见试题解析．试题解析：（1）∵21(76)2y x x =--+=21725()228x --+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：21725()228y x =--+，顶点M 的坐标是（72，258）；（2）∵21(76)2y x x =--+，∴当y=0时，21(76)02x x --+=，解得x=1或6，∴A （1，0），B （6，0），∵x=0时，y=﹣3，∴C （0，﹣3）．连接BC ，则BC 与对称轴x=72的交点为R ，连接AR ，则CR+AR=CR+BR=BC ，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR 的值最小，最小值为BC=2263+=35．设直线BC 的解析式为考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．切线的判定；4．压轴题．【2014年题组】1．（2014·扬州）如图，圆与圆的位置关系没有（）A．相交B．相切C．内含D．外离[【答案】A．考点：圆与圆的位置关系．2．（2014·山东省淄博市）如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦，CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为52 CD=4，则弦EF的长为（）A． 4 B．5． 5 D． 6【答案】B．【解析】试题分析：连接OA ，并反向延长交CD 于点H ，连接OC ，∵直线AB 与⊙O 相切于点A ，∴OA ⊥AB ，∵弦CD ∥AB ，∴AH ⊥CD ，∴CH=12CD=12×4=2，∵⊙O 的半径为52，∴OA=OC=52，∴OH=2232OC CH -=，∴AH=OA+OH=52+32=4，∴AC=2225AH CH +=．∵∠CDE=∠ADF ，∴CE AF =，∴EF AC =，∴EF=AC=25．故选B ．考点：切线的性质．3．（2014·四川省广安市）如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB 于点P ，O1O2=6．若⊙O2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A ． 3次B ．4次C ．5次D ．6次【答案】B ．考点：直线与圆的位置关系．4．（2014·泸州）如图，⊙1O，⊙2O的圆心1O，2O都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，12．若⊙1O以1cm/s的速度沿直线O O8cml向右匀速运动（⊙2O保持静止），则在7s时刻⊙1O与⊙2O的位置关系是（）A．外切B．相交C．内含D．内切【答案】D．【解析】试题分析：∵O1O2=8cm，⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，∴7s后两圆的圆心距为：1cm．根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．因此，∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2㎝和3㎝，且O1O2＝12㎝，∴3－2=1，即两圆圆心距离等于两圆半径之差．∴⊙O1和⊙O2的位置关系是内切．故选D．考点：1．面动平移问题；2．两圆的位置关系．5．（2014·黔西南）已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（）A．外离B．内含C．相交D．外切【答案】D．考点：圆与圆的位置关系．6．（2014·桂林）两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切【答案】A．【解析】试题分析：根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．因此，∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，∴23<7，即两圆圆心距离大于两圆半径之和．∴这两圆的位置关系为外离．故选A．考点：两圆的位置关系．7．（2014·北海）若两圆的半径分别是1cm和4cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】C．考点：两圆的位置关系．8．（2014·甘肃省白银市）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断【答案】A．【解析】试题分析：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d=5，r=6，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故选A．考点：直线与圆的位置关系．9．（2014·资阳）已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是．【答案】相离．【解析】试题分析：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，∴两半径之和为5，∵⊙O1与⊙O2的圆心距为6，∴6＞5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相离．故答案为：相离．考点：1．根与系数的关系；2．圆与圆的位置关系．10．（2014·宜宾）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE 是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= ．3．3考点：切线的性质．11．（2014·福建省莆田市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且BC CE=（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠CAB=3，BC=3，求DE的长．4．【答案】（1）证明见解析；（2）95【解析】试题分析：（1）连结OC，由BC CE=，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，考点：切线的判定．☞考点归纳归纳1：点和圆的位置关系基础知识归纳：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r 点P在⊙O内；d=r 点P在⊙O上；d>r 点P在⊙O外．基本方法归纳：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．注意问题归纳：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【例1】在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【答案】A．考点：点与圆的位置关系．归纳2：直线与圆的位置关系基础知识归纳：直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；注意问题归纳：直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．【例2】已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C．考点：直线与圆的位置关系．归纳3：圆和圆的位置关系基础知识归纳：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种．如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．基本方法归纳：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切d=R-r（R>r）两圆内含d<R-r（R>r）【例3】如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（）A．12 B． 8 C． 5 D． 3【答案】D．【解析】试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8-5=3．故选D．考点：圆与圆的位置关系．☞1年模拟1．（2022模拟届广东省湛江第二中学校级模拟）已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离PO=1，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．无法判断【答案】C．考点：直线与圆的位置关系．2．（2022模拟届江苏省盐城校级模拟）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【答案】A．【解析】试题分析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r 时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选A．考点：点与圆的位置关系．3．（2022模拟届四川省广安市校级模拟）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是【答案】76°．考点：1三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理；3．切线的性质． 4．（2022模拟届湖南省长沙麓山国际等四校联考）Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠===．则ABC ∆的内切圆半径r =______．【答案】2．【解析】试题分析：利用面积分割法可得出直角三角形内切圆的半径r 与三角形的三边之间的关系为：cb a abr ++=其中：a ，b 是直角三角形的两条直角边，c 是直角三角形的斜边由勾股定理可求出斜边AB=10 所以内切圆半径2108686=++⨯=r考点：直角三角形的内切圆和内心．5．（2022模拟届北京市怀柔区一模）已知两圆的半径分别为2cm 和4cm ，它们的圆心距为6cm ，则这两个圆的位置关系是．【答案】外切．【解析】试题分析：圆心距6=两个半径之和，所以这两个圆相外切．考点：圆有关的位置关系．6．（2022模拟届河南省三门峡市一模）两圆的圆心距d=6，两圆的半径长分别是方程01272=x的两根，则这两个圆的位置关系-x+是．【答案】内切．考点：1．圆与圆的位置关系；2．解一元二次方程-因式分解法．7．（2022模拟届江西省南昌市一模）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=2n，则图中阴影部分的面积是（）．A．n2πB.2n2πC.4n2πD.8n2π【答案】A．【解析】试题分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=12AB=12×2n=n∵圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）=π•BC2=n2π．故选A．考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质．8．（2022模拟届四川中江县校级模拟）如图所示，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为；图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为；…．依此规律，当正方形边长为2时，= ____________．【答案】10100π．考点：1．相切两圆的性质；2．规律型：图形的变化类．9．（2022模拟届山东省滕州市校级模拟）已知P是⊙O外一点，PA 切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA＝6，则PB＝．【答案】6．【解析】试题分析：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点，∴PA=PB，即PB=6．考点：切线长定理．10．（2022模拟届江苏省如皋市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 度．【答案】40°．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理．。

2014年河北中考《数学考试说明》圆部分精典解析(九年级一轮复习老师必备)

一、《新课程标准》及《2014年中考说明》中与圆有关知识解读知识点有：切线的判定与性质；圆心角、圆周角、弧的关系；垂径定理；圆柱、圆锥、扇形面积。

过定点到圆上的距离的最值。

频率较低的有圆的定义、圆的对称性。

未出现的考点有：三角形的内切圆；尺规作图三角形的外心、内心；新增弧、弦、直径之间的关系；直径所对圆周角的特征; 切线长定理。

补充说明：2011版新课标中圆的部分删掉圆与圆的位置关系，但在《2014年河北中考说明》中，题型示例最后一道题第20题最后一问探讨的是元和圆的位置关系。

二、《2014年河北中考说明》与《2013年河北中考说明》的不同点在考试内容中新增弧、弦、直径之间的关系，很明显加强对垂径定理的重视；在考试要求中新增“知道圆内接四边形的对角互补”、“知道过圆外一点所画圆的两条切线长相等”，加强了对圆心角与圆周角的关系和直线与圆相切的性质的重视《2014年河北中考说明》与《2013年河北中考说明》题型示例的变化总题数没有变化：2013年的78道题；2014年的78道题；圆增加了5道题。

删掉两道题（圆与特殊四边形的综合图形），增加7道题。

1、选择题由《2013年河北中考说明》中的25道题增加15道题《2014年河北中考说明》变为40道题；其中圆由4道变为6道（12新增2013年中考题垂径定理和扇形面积、14全等和直线与圆相交、24切线的性质和角的计算、26直线和圆的位置关系和计算、29圆锥侧面展开图和最短距离、30新增隐形圆圆心角和圆周角）2、填空题由《2013年河北中考说明》中的20道题减少2道题《2014年河北中考说明》变为18道题；其中圆由2道变为3道（13垂径定理和勾股定理、14圆心角和圆周角、17圆的切线的性质均为新增题）3、解答题由《2013年河北中考说明》中的33道题减少13道题《2014年河北中考说明》变为20道题；其中等题由27道题减少到13道题，较难题由6道题增加到7道题；圆由2道题（一道中等题、一道较难题）增加到4道题（2道中等题、2道较难题）.9题新增：切线的性质、切线长定理及二次函数最值计算；12题新增：材料阅读，尺规作图确定外心，相切时角最大；15题新增：切线性质、勾股定理计算、直径所对圆周角为直角、相似、直线和圆的位置关系；20题新增：第③问圆和圆的位置关系。

2014年中考总复习提能训练课件_第五章第1讲圆的基本性质

第五章
圆
第1讲
圆的基本性质
1．理解圆及其有关概念、了解弧、弦、圆心角的关系． 2．了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
考点1
圆的有关概念及性质
1．圆．
定点定长的所有点组 (1) 平面上到__________ 的距离等于________
成的图形叫做圆．
轴对称图形，也是__________ 中心对称图形． (2)圆是________ 三点可确定一个圆． (3)不共线的________
)
A．10
B．4 30
C．10 或 4 30
D．10 或 2 165
解析：如图 22，连接 OA，OC.作直线 EF⊥CD 于 E，交 AB
1 于 F，则 EF⊥AB.∵OF⊥AB，OE⊥CD，∴AF＝2AB＝12，CE 1 ＝2CD.在 Rt△AOF 中，根据勾股定理，得 OF＝ 132－122＝5.
OA，CE⊥OB，点 D，E 分别是垂足，试判断 CD，CE 的大小
关系，并证明你的结论．
解：CD＝CE.理由：连接 CO.
∵C 是弧 AB 的中点，
，∴∠COD＝∠COE. AC ＝ BC ∴
图5-1-4
∵CD⊥AO，CE⊥BO，∴∠CDO＝∠CEO＝90°. 又∵CO＝CO，∴△COD≌△COE. ∴CD＝CE.
题用它最常见．
1．如图 5-1-1，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，CD⊥
AB 于 E，则下列结论不成立的是( D )
A．∠A＝∠D
B．CE＝DE
C. ∠ACB＝90°
D．BD＝CE
图 5-1-1
2．如图 5-1-2，⊙O 的弦AB垂直平分半径OC，若 AB＝则⊙O 的半径为( A )

九年级数学同步练习-圆的有关性质

24.1圆的有关性质1、有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 42、如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是cm．3、下列结论正确的是（）．A. 优弧一定大于劣弧B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 外心到三角形各边的距离相等D. 同弧或等弧所对的圆周角相等4、下列结论正确的是（）．A. 经过圆心的直线是圆的对称轴B. 直径是圆的对称轴C. 与圆相交的直线是圆的对称轴D. 与直径相交的直线是圆的对称轴5、下列说法正确的是（）．A. 弦是直径B. 弧是半圆C. 直径是圆中最长的弦D. 半圆是圆中最长的弧6、在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）．A. 相等弦所对的弧相等B. 相等弦所对的圆心角相等C. 相等圆心角所对的弧相等D. 相等圆心角所对的弦相等7、半径为9cm的圆中，长为12πcm的一条弧所对的圆心角的度数为．8、如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（）．A. AB=2CDB. AB<DCC. AB<2DCD. AB>2DC9、如图，AB，CD是⊙O的直径，AE⌢=BD⌢，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（）．A. 32°B. 60°C. 68°D. 64°10、下列命题中正确的是（）．A. 弦是圆上任意两点之间的部分B. 半径是弦C. 直径是最长的弦D. 弧是半圆，半圆是弧11、已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为cm．12、以下命题：①直径相等的圆是等圆；②长度相等弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④圆的对称轴是直径；其中正确的个数是（）．A. 4B. 3C. 2D. 113、下列说法中，不正确的是（）．A. 直径是最长的弦B. 同圆中，所有的半径都相等C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形D. 长度相等的弧是等弧14、下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15、下列说法中，正确的是（）．A. 相等的圆心角所对的弦相等B. 圆心角的度数等于它所对弧的度数C. 相等的弦所对的弧相等D. 相等的圆心角所对的弧相等16、下列说法中正确的是（）．A. 长度相等的两条弧相等B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 相等的弦所对的弧相等D. 相等的弧所对的圆心角相等17、下面四个图中的角，为圆心角的是（）．A.B.C.D.18、已知，如图，∠AOB=∠COD，下列结论不一定成立的是（）．A. AB=CDB. AB⌢=CD⌢C. △AOB≌△CODD. △AOB、△COD都是等边三角形1 、【答案】 B;【解析】①确定一个圆的条件是确定圆心与半径，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，故此说法正确；③只有过圆心的弦才是直径，故此说法错误；④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，故此说法正确．故错误的说法是①③，共2个．故选B．2 、【答案】4;【解析】∵AB=2cm，∴圆的直径是4cm．故答案为：4．3 、【答案】 D;【解析】 A选项 : 必须在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故本选项说法错误．B选项 : 必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误．C选项 : 外心到三角形各顶点的距离相等，故本选项说法错误．D选项 : 同弧或等弧所对的圆周角相等，故本选项说法正确．4 、【答案】 A;【解析】A．对称轴是直线且过圆心，故A正确；B．直径是线段，故B错误；C．不符合圆的对称轴性，故C错误；D．没有说过圆心，故D错误．故选A．5 、【答案】 C;【解析】 A选项 : 直径是弦，但弦不一定是直径，故A错误；B选项 : 半圆是弧，但弧不一定是半圆，故B错误；C选项 : 直径是圆中最长的弦，故C正确；D选项 : 半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故D错误；6 、【答案】 A;【解析】A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．7 、【答案】240°;【解析】设圆心角的度数为n，=12π，则nπ×9180解得n=240，所以所求圆心角为240°．8 、【答案】 C;【解析】如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，∠AOB，∴∠AOE=∠BOE=12∠AOB，又∵∠COD=12∴∠AOE=∠BOE=∠COD，∴CD=AE=BE，∵在△ABE中，AE+BE>AB，∴2CD>AB．故选C．9 、【答案】 D;【解析】∵AE⌢=BD⌢，∴∠BOD=∠AOE=32°，又∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°，∴∠COE=32°+32°=64°．故选D．10 、【答案】 C;【解析】 A选项 : 弧是圆上任意两点之间的部分，弦是圆上任意两点的连线，故A错误；B选项 : 半径不是弦，故B错误；C选项 : 直径是最长的弦，故C正确；D选项 : 半圆是弧，弧不一定是半圆，故D错误．11 、【答案】10;【解析】∵⊙O的半径为5cm，∴⊙O的直径为10cm，即圆中最长的弦长为10cm．故答案为10．12 、【答案】 D;【解析】①直径相等的圆是等圆，符合等圆的性质，故本小题正确；②长度相等弧不一定重合，因此不一定是等弧，故本小题错误；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，故本小题错误；④圆的对称轴是直径所在的直线，故本小题错误；所以D选项是正确的．13 、【答案】 D;【解析】 A选项 : 直径是最长的弦，正确；B选项 : 同圆中，所有的半径都相等，正确；C选项 : 圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；D选项 : 只有在同圆和等圆中，长度相等的弧是等弧，错误．14 、【答案】 A;【解析】①同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，所以本选项说法错误，不符合题意；②同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以本选项说法错误，不符合题意；③同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，所以本选项说法错误，不符合题意；④直径是圆中最长的弦，本选项说法正确，符合题意；故选A．15 、【答案】 B;【解析】A．必须在“同圆或等圆”中．C．相等的弦所对的弧有优弧、劣弧之分．D．必须在“同圆或等圆”中．16 、【答案】 D;【解析】 A、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故本选项错误；D、相等的弧所对的圆心角相等，正确，故选D．17 、【答案】 D;【解析】圆心角的顶点必须在圆心上，∴选项A，B，C均不正确，故选D．18 、【答案】 D;【解析】∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD，AB⌢=CD⌢，∵OA=OB=OC=OD，∴△AOB≌△COD，∴A、B、C成立，D不一定成立，故选：D．。

(北京专版)中考数学第7单元圆第28课时圆的有关概念与性质作业-人教版初中九年级全册数学试题

圆的有关概念与性质1．[2014·] 如图J28－1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A °，OC ＝4，CD 的长为( )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8图J28－1图J28－22．[2010·] 如图J28－2，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接OOC ＝5，CD ＝8，则AE ＝________．3．[2009·] 如图J28－3，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC ︵上的一点．若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝________°.图J28－31．[2014·西城一模] 如图J28－4，表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5 cm ，水面宽AB 为8 cm ，则水的最大深度CD 为( )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm图J28－4图J28－52．[2015·西城一模] 如图J28－5，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，如果∠BOC ＝70°，那么∠BAD 等于( )A ．20°B ．30°C ．35°D ．70°3．[2015·海淀一模] 如图J28－6，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若∠B ＝60°，AC ＝3，则CD 的长为( )A ．6B ．2 3 C. 3 D ．3图J28－6图J28－74．[2015·某某一模] 如图J28－7，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC ＝40°，则∠CDB 的度数为________．5．[2014·房山期末] 如图J28－8，点A 是半圆上的一个三等分点，点B 是AN ︵的中点，点P是直径MN 上一动点．若⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值是________．图J28－8图J28－96．[2014·怀柔期末] 如图J28－9，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A (0，1)．过点P (0，－7)的直线l 与⊙B 相交于C ，D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值有________个，它们是________．7．[2013·海淀一模] 如图J28－10(1)所示，圆上均匀分布着11个点A 1，A 2，A 3，…，A 11.从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k ＋1阶正十一角星”，其中1≤k ≤8(k 为正整数)．例如，图J28－10(2)是“2阶正十一角星”，那么∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A 11＝________°；当∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A 11＝900°时，k ＝________．图J28－108．[2014·丰台期末] 如图J28－11，在⊙O中，C，D为⊙O上的两点，AB是⊙O的直径．已知∠AOC＝130°.求∠D的度数．图J28－119．[2014·东城期末] 如图J28－12，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O 于点E，连接EAB＝8，CD＝2，求EC的长．图J28－12一、选择题1．如图J28－13，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵C ．OE ＝DE D ．∠DBC ＝90°图J28－13图J28－142．[2015·东城一模] 如图J28－14，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接OC ，A C.若∠D ＝50°，则∠A 的度数是( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )图J28－154．[2013·大兴一模] 如图J28－16，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( )A ．－4和－3之间B ．3和4之间C ．－5和－4之间D ．4和5之间图J28－16图J28－175．如图J28－17，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．如图J28－18，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内一点，∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为( )A．6 B．5 C．3 D．3 2图J28－18图J28－197．[2012·丰台一模] 如图J28－19是X老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示X老师家的位置，则X老师散步行走的路线可能是( )图J28－208．如图J28－21，半圆O的直径AB＝10 cm，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )图J28－21A．4 5 cm B．3 5 cmC．5 5 cm D．4 cm二、填空题9．若直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是________．10．[2012·昌平一模] 如图J28－22，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器________台．图J28－2211．如图J28－23，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连接AC，则∠A的度数是________°.图J28－23图J28－2412．[2013·房山一模] 如图J28－24，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于点A1，A2，A3，A4，…，则点A31的坐标是________．三、解答题13．[2015·某某期末] 如图J28－25，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2，3)为圆心的⊙A 交x轴于点B，C，BC＝8，求⊙A的半径．图J28－2514．[2014·房山期末] 已知：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D.图J28－26(1)如图J28－26，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，连接BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC＝________∠CBE.(2)如图J28－27，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O 交于点E，连接BE，(1)中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图J28－2715．[2015·西城期末] 如图J28－28，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称．E 为半径OC 上的一点，OC ＝3OE ，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M .(1)请依题意补全图形；(2)求证：∠AOC ＝∠DBC ；(3)求BM BC的值．图J28－2816．[2013·西城一模] 先阅读材料，再解答问题：图J28－29小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图J28－29，点A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，则有∠C ＝∠D .小明还发现，若点E 在⊙O 外，且与点D 在直线AB 同侧，则有∠D >∠E .请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1)如图J28－30(a )，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，7)，点B 的坐标为(0，3)，点C 的坐标为(3，0)．①在图(a )中作出△ABC 的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；②若在x 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB ＝∠ADB ，则点D 的坐标为________．(2)如图J28－30(b )，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，其中m >nP 为x 轴正半轴上的一个动点，当∠APB 达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．图J28－30参考答案真题演练1．C [解析] ∵∠A °，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝2 2，∴CD ＝2CE ＝4 2. 2．2 [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝12CD ＝4. 在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3，∴AE ＝OA －OE ＝5－3＝2.3．28 [解析] 本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．由垂径定理可知AC ︵＝AD ︵，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD ＝∠CEA ＝28°. 模拟训练1．C [解析] ∵输水管的半径为5 cm ，水面宽AB 为8 cm ，水的最大深度为CD ，∴DO ⊥AB ，AO ＝5 cm ，∴AC ＝4 cm ，∴CO ＝52－42＝3(cm)，∴水的最大深度CD 为5－3＝2(cm)．故选C.2．C 3.D4．20° 5. 2 [解析] 作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，则此时PA ＋PB 最小，连接OA ′，OB .∵点A 与点A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，∴∠A ′ON ＝∠AON ＝60°，PA ＝PA ′.∵点B 是AN ︵的中点，∴∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝∠A ′ON ＋∠BON ＝90°.又∵OA ＝OA ′＝1，∴A ′B ＝ 2.∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B ＝ 2.6．3 8，9，10 [解析] 当CD 过圆心B 时，此时CD 为⊙B 的直径，CD ＝10；当CD ⊥y 轴时，CD 为过点P 的最短弦．∵点A (0，1)，BA ＝5，∴点B 的坐标为(0，－4)．∵点P 的坐标为(0，－7)，∴BP ＝－4－(－7)＝3.∵BP ⊥CD ，∴PC ＝PD.在Rt △PBC 中，BC ＝5，BP ＝3，∴PC ＝BC 2－BP 2＝4，∴CD ＝2PC ＝8，∴过点P 的最短弦长为8，最长弦长为10，∴弦CD 长的所有可能的整数值有3个，为8，9，10.7．1260 2或78．解：由∠AOC ＝130°，得∠BOC ＝50°.又∵∠D ＝12∠BOC ，∴∠D ＝12×50°＝25°. 9.解：如图，∵OD ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝4. 设AO ＝x .在Rt △ACO 中，AO 2＝AC 2＋OC 2，∴x 2＝42＋(x －2)2.解得x ＝5.∴AE ＝10，OC ＝3.连接BE .∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°.由OC 是△ABE 的中位线可得BE ＝2OC ＝6.在Rt △CBE 中，CE 2＝BC 2＋BE 2，∴EC ＝BC 2＋BE 2＝16＋36＝213.自测训练1．C2．A3．B [解析] ∵直径所对的圆周角是直角，∴直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断弧为半圆的是选项B.故选B.4．A [解析] ∵点P 的坐标为(－2，3)，∴OP ＝22＋32＝13.∵点A ，P 均在以点O 为圆心，以OP 为半径的圆上，∴OA ＝OP ＝13.∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.又∵点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的横坐标介于－4和－3之间．5．C [解析] ∵⊙O 的直径是AB ，∴∠ACB ＝90°.又∵AB ＝2，弦AC ＝1，∴sin ∠CBA ＝AC AB ＝12， ∴∠CBA ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝60°.故选C.6．C [解析] ∵四边形ABMO 是圆内接四边形，∠BMO ＝120°，∴∠BAO ＝60°.∵∠AOB ＝90°，点A ，B 均在⊙C 上，∴AB 为⊙C 的直径，∠ABO ＝90°－∠BAO ＝90°－60°＝30°.∵点A 的坐标为(0，3)，∴OA ＝3，∴AB ＝2OA ＝6，∴⊙C 的半径＝12AB C. 7．D [解析] 根据函数图象可知，X 老师离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后离家越来越近直至回家，分析四个选项只有D 符合题意． 8．A9．30°或150°10．3 [解析] ∵∠A ＝65°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°，∴共需安装360°÷130°≈3(台)．11．35 [解析] 连接O C.∵BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，∴OC ⊥CD ，OB ⊥BD ，∴∠OCD ＝∠OBD ＝90°.∵∠BDC ＝110°，∴∠BOC ＝360°－∠OCD －∠BDC －∠OBD ＝70°，∴∠A ＝12∠BOC ＝35°. 12．(－4 2，－4 2) [解析] ∵31÷4＝7……3，∴点A 31在第三象限．∵在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，…，∴OA 31＝8.∴A 31的横坐标是－8sin45°＝－4 2，纵坐标是－4 2.13．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AB .由题意知BD ＝12BC ＝4. ∵点A 的坐标是(2，3)，∴AD ＝3.在Rt △ABD 中，AB ＝BD 2＋AD 2＝5，∴⊙A 的半径为5.14．解：(1)2(2)(1)中∠BAC 与∠CBE 的数量关系成立．证明：如图，连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，∴∠AEB ＋∠ADB ＝180°.∵∠AEB ＋∠ADB ＋∠CBE ＋∠EAD ＝360°，∴∠CBE ＋∠EAD ＝180°.∵∠DAC ＋∠EAD ＝180°，∴∠CBE ＝∠DAC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝2∠DAC ，∴∠BAC ＝2∠CBE .15．解：(1)补全图形如图，(2)证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称，∴∠DBC ＝2∠AB C.又∵∠AOC ＝2∠ABC ，∴∠AOC ＝∠DBC .(3)∵BF ︵＝BF ︵，∴∠A ＝∠D .又∵∠AOC ＝∠DBC ，∴△AOE ∽△DBM ，∴OE OA ＝BM BD .∵OC ＝3OE ，OA ＝OC ，∴BM BD ＝OE OA ＝OE OC ＝13. ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称，∴BC ＝BD ，∴BM BC ＝BM BD ＝13.16．解：(1)①如图所示．②(7，0)(2)当以AB 为弦的圆C 与x 轴正半轴相切于点P 时，∠APB 的值最大，作CD ⊥y 轴于点D ，连接CP ，CB .∵点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，∴点D 的坐标是(0，m ＋n 2)，即BC ＝PC ＝m ＋n 2. 在Rt △BCD 中，BC ＝m ＋n 2，BD ＝m －n 2，则CD ＝BC 2－BD 2＝mn ，则OP ＝CD ＝mn ，故点P 的坐标是(mn ，0)．。

圆的有关性质(共46题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编

圆的有关性质(46题)一、单选题1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，连接BD ，∠DCA =41°，则∠ABC 的度数是()A.41°B.45°C.49°D.59°【答案】C 【分析】由CD 是⊙O 的直径，得出∠DBC =90°，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出∠ABD =∠ACD =41°，进而即可求解．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC =90°，∵AD =AD，∴∠ABD =∠ACD =41°，∴∠ABC =∠DBC -∠DBA =90°-41°=49°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠ADB =30°，BC =23，则OC =()A.1B.2C.23D.4【答案】B【分析】连接OB ，由圆周角定理得∠AOB =60°，由OA ⊥BC 得，∠COE =∠BOE =60°，CE =BE =3，在Rt △OCE 中，由OC =CE sin60°，计算即可得到答案．【详解】解：连接OB ，如图所示，，∵∠ADB =30°，∴∠AOB =2∠ADB =2×30°=60°，∵OA ⊥BC ，∴∠COE =∠BOE =60°，CE =BE =12BC =12×23=3，在Rt △OCE 中，∠COE =60°，CE =3，∴OC =CE sin60°=332=2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ．“会圆术”给出AB 的弧长l 的近似值计算公式：l =AB +MN 2OA ．当OA =4，∠AOB =60°时，则l 的值为()A.11-23B.11-43C.8-23D.8-43【答案】B【分析】连接ON ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接ON ，根据题意，AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ，得ON ⊥AB ，∴点M ，N ，O 三点共线，∵OA =4，∠AOB =60°，∴△OAB 是等边三角形，∴OA =AB =4,∠OAN =60°，ON =OA sin60°=23，∴OA =AB =4,∠OAN =60°，ON =OA sin60°=23∴l =AB +MN 2OA=4+4-23 24=11-43．故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．4(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，已知点A 、B 、C 在⊙O 上，C 为AB的中点．若∠BAC =35°，则∠AOB 等于()A.140°B.120°C.110°D.70°【答案】A【分析】连接OC ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵点A 、B 、C 在⊙O 上，C 为AB的中点，∴BC =AC ，∴∠BOC =∠AOC =12∠AOB ，∵∠BAC =35°，根据圆周角定理可知∠BOC =2∠BAC =70°，∴∠AOB =2∠BOC =140°，故选：A ．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．5(2023·安徽·统考中考真题)如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连接OC ,OD ，则∠BAE -∠COD =()A.60°B.54°C.48°D.36°【答案】D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵∠BAE =180°-360°5,∠COD =360°5，∴∠BAE -∠COD =180°-360°5-360°5=36°，故选：D ．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．6(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是()A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．7(2023·云南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点．若∠BOC =66°，则∠A =()A.66°B.33°C.24°D.30°【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵BC =BC，∠BOC =66°，∴∠A =12∠BOC =33°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB =AB ，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．9(2023·浙江温州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC ∥AD ，AC ⊥BD ．若∠AOD =120°，AD =3，则∠CAO 的度数与BC 的长分别为()A.10°，1B.10°，2C.15°，1D.15°，2【答案】C【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点E ，由题意易得∠CAD =∠ADB =45°=∠CBD =∠BCA ，然后可得∠OAD =∠ODA =30°，∠ABD =∠ACD =12∠AOD =60°，AE =12AD =32，进而可得CD =2OC =2,CF =12CD =22，最后问题可求解．【详解】解：过点O 作OE ⊥AD 于点E ，如图所示：∵BC∥AD，∴∠CBD=∠ADB，∵∠CBD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADB，∵AC⊥BD，∴∠AFD=90°，∴∠CAD=∠ADB=45°=∠CBD=∠BCA，∵∠AOD=120°，OA=OD，AD=3，∴∠OAD=∠ODA=30°，∠ABD=∠ACD=12∠AOD=60°，AE=12AD=32，∴∠CAO=∠CAD-∠OAD=15°，OA=AEcos30°=1=OC=OD，∠BCD=∠BCA+∠ACD=105°，∴∠COD=2∠CAD=90°,∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=30°，∴CD=2OC=2,CF=12CD=22，∴BC=2CF=1；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．10(2023·浙江台州·统考中考真题)如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( )．A.2B.2C.4+22D.4-22【答案】D【分析】设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，由题意可得，EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．【详解】解：设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，过点O作OF⊥AB，如下图：则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：OE=AB=4，AF=OF=12AB=2由勾股定理可得：OA=OF2+AF2=22，∴AE =4-22，故选：D .【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．11(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，若∠A =48°，∠APD =80°，则∠B 的度数为()A.32°B.42°C.48°D.52°【答案】A【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D 的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B 的度数．【详解】解：∵∠A =∠D ，∠A =48°，∴∠D =48°，∵∠APD =80°，∠APD =∠B +∠D ，∴∠B =∠APD -∠D =80°-48°=32°，故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠D 的度数．12(2023·四川内江·统考中考真题)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在AF 上，Q 是DE 的中点，则∠CPQ 的度数为()A.30°B.36°C.45°D.60°【答案】C 【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．【详解】如图，连接OC ,OD ,OQ ,OE ，∵正六边形ABCDEF ，Q 是DE的中点，∴∠COD =∠DOE =360°6=60°，∠DOQ =∠EOQ =12∠DOE =30°，∴∠COQ =∠COD +∠DOQ =90°，∴∠CPQ =12∠COQ =45°，故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．13(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE，BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，则AB的长为()A.43B.7C.8D.45【答案】B【分析】作BM⊥AC于点M，由题意可得出△AEB≌△DEC，从而可得出△EBC为等边三角形，从而得到∠GEF=60°，∠EGF=30°，再由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．【详解】解：作BM⊥AC于点M，在△AEB和△DEC中，∠A=∠DAE=ED∠AEB=∠DEC，∴△AEB≌△DEC ASA，∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，BC=EC∴∠EGF=30°，∵EG=2，OF⊥AC，∠EGF=30°∴EF=12EG=1，又∵AE=ED=3，OF⊥AC∴CF=AF=AE+EF=4，∴AC=2AF=8，EC=EF+CF=5，∴BC=EC=5，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=52，BM=BC 2-CM2=532，∴AM=AC-CM=112，∴AB=AM2+BM2=7．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．14(2023·山西·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,AC ,BD 为对角线，BD 经过圆心O ．若∠BAC =40°，则∠DBC 的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】B【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵BC =BC ，∴∠BDC =∠BAC =40°，∵BD 为圆的直径，∴∠BCD =90°，∴∠DBC =90°-∠BDC =50°；故选：B ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．15(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为( )．A.5B.4C.3D.2【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得出OD ⊥AC ,根据勾股定理求出OC =10，进一步可求出BD 的长．【详解】解：∵AD =CD =8，∴点D 为AC 的中点，∵AO =CO ,∴OD ⊥AC ，由勾股定理得，OC =CD 2+OD 2=62+82=10,∴OB =10,∴BD =OB -OD =10-6=4,故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键16(2023·河北·统考中考真题)如图，点P 1~P 8是⊙O 的八等分点．若△P 1P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长分别为a ，b ，则下列正确的是()A.a <bB.a =bC.a >bD.a ，b 大小无法比较【答案】A【分析】连接P 1P 2,P 2P 3，依题意得P 1P 2=P 2P 3=P 3P 4=P 6P 7，P 4P 6=P 1P 7，△P 1P 3P 7的周长为a =P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长为b =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7，故b -a =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3，根据△P 1P 2P 3的三边关系即可得解．【详解】连接P 1P 2,P 2P 3，∵点P 1~P 8是⊙O 的八等分点，即P 1P 2 =P 2P 3 =P 3P 4=P 4P 5 =P 5P 6 =P 6P 7 =P 7P 8=P 8P 1∴P 1P 2=P 2P 3=P 3P 4=P 6P 7，P 4P 6 =P 4P 5 +P 5P 6 =P 7P 8+P 8P 1 =P 1P 7∴P 4P 6=P 1P 7又∵△P 1P 3P 7的周长为a =P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长为b =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7，∴b -a =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7 -P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7 =P 1P 2+P 1P 7+P 2P 3+P 3P 7 -P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7 =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3在△P 1P 2P 3中有P 1P 2+P 2P 3>P 1P 3∴b -a =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3>0故选：A ．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．17(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，在⊙O 中，半径OA ,OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若∠ABC =19°，则∠BAC =()A.23°B.24°C.25°D.26°【答案】D【分析】根据OA ,OB 互相垂直可得ADB 所对的圆心角为270°，根据圆周角定理可得∠ACB =12×270°=135°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，∵半径OA ,OB 互相垂直，∴∠AOB =90°，∴ADB 所对的圆心角为270°，∴ADB 所对的圆周角∠ACB =12×270°=135°，又∵∠ABC =19°，∴∠BAC =180°-∠ACB -∠ABC =26°，故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．18(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，连接AC ，AD ，BD ，若∠C =20°，∠BPC =70°，则∠ADC =()A.70°B.60°C.50°D.40°【答案】D【分析】先根据圆周角定理得出∠B =∠C =20°，再由三角形外角和定理可知∠BDP =∠BPC -∠B =70°-20°=50°，再根据直径所对的圆周角是直角，即∠ADB =90°，然后利用∠ADB =∠ADC +∠BDP 进而可求出∠ADC ．【详解】解：∵∠C =20°，∴∠B =20°，∵∠BPC =70°，∴∠BDP =∠BPC -∠B =70°-20°=50°，又∵AB 为直径，即∠ADB =90°，∴∠ADC =∠ADB -∠BDP =90°-50°=40°，故选：D ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．19(2023·广西·统考中考真题)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为()A.20mB.28mC.35mD.40m【答案】B【分析】由题意可知，AB =37m ，CD =7m ，主桥拱半径R ，根据垂径定理，得到AD =372m ，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，AB =37m ，CD =7m ，主桥拱半径R ，∴OD =OC -CD =R -7 m ，∵OC 是半径，且OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =372m ，在Rt △ADO 中，AD 2+OD 2=OA 2，∴372 2+R -7 2=R 2，解得：R =156556≈28m ，故选：B .【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．20(2023·四川·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，连接CD ，OD ，AC ，若∠BOD =124°，则∠ACD 的度数是()A.56°B.33°C.28°D.23°【答案】C 【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵∠BOD =124°，∴∠AOD =180°-124°=56°，∴∠ACD =12∠AOD =28°，故选：C ．【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．21(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，点O 是△ABC 外接圆的圆心，点I 是△ABC 的内心，连接OB ，IA ．若∠CAI =35°，则∠OBC 的度数为()A.15°B.17.5°C.20°D.25°【答案】C【分析】根据三角形内心的定义可得∠BAC 的度数，然后由圆周角定理求出∠BOC ，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OC ，∵点I 是△ABC 的内心，∠CAI =35°，∴∠BAC =2∠CAI =70°，∴∠BOC =2∠BAC =140°，∵OB =OC ，∴∠OBC =∠OCB =180°-∠BOC 2=180°-140°2=20°，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．22(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23【答案】C【分析】根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB =30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得BC=12，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC ⊥OA 交OA 于点于点C ，∵∠AOB =30°，∴BC =12OB =12，则S △OAB =12×1×12=14，故正十二边形的面积为12S △OAB =12×14=3，圆的面积为π×1×1=3，用圆内接正十二边形面积近似估计⊙O 的面积可得π=3，故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．23(2023·广东·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =50°，则∠D =()A.20°B.40°C.50°D.80°【答案】B【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠BAC =50°，∴∠ABC =90°-∠BAC =40°，∵AC =AC ，∴∠D =∠ABC =40°；故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．24(2023·河南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠C =55°，则∠AOB 的度数为()A.95°B.100°C.105°D.110°【答案】D【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵∠C =55°，∴由圆周角定理得：∠AOB =2∠C =110°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．25(2023·全国·统考中考真题)如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，OB ，OC 是⊙O 的半径，点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，连接CP ．若∠BAC =70°，则∠BPC 的度数可能是()A.70°B.105°C.125°D.155°【答案】D【分析】根据圆周角定理得出∠BOC =2∠BAC =140°，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵BC =BC ，∠BAC =70°，∴∠BOC =2∠BAC =140°，∵∠BPC =∠BOC +∠PCO ≥140°，∴∠BPC 的度数可能是155°故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．26(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD =105°，连接OB ，OC ，OD ，BD ，∠BOC =2∠COD ．则∠CBD 的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】A【分析】根据圆内接四边形对角互补得出∠A =180°-105°=75°，根据圆周角定理得出∠BOD =2∠A =150°，根据已知条件得出∠COD =13∠BOD =50°，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD 中，∠BCD =105°，∴∠A =180°-105°=75°∴∠BOD =2∠A =150°∵∠BOC =2∠COD∴∠COD =13∠BOD =50°，∵CD =CD∴∠CBD =12∠COD =12×50°=25°,故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27(2023·甘肃兰州·统考中考真题)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．(1)以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；(2)分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA =OB ；(3)连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a ∥b ．按以上作图顺序，若∠MNO =35°，则∠AOC =()A.35°B.30°C.25°D.20°【答案】A【分析】证明∠NMO=∠MNO=35°，可得∠AOB=2×35°=70°，结合OA=OB，C为AB的中点，可得∠AOC=∠BOC=35°．【详解】解：∵∠MNO=35°，MO=NO，∴∠NMO=∠MNO=35°，∴∠AOB=2×35°=70°，∵OA=OB，C为AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=35°，故选A．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．二、填空题28(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，则MD的长是．【答案】4【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由勾股定理确定AB=13，半径为132，利用垂径定理确定OM⊥AC，且AD=CD=6，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=12,BC=5，∴AB=13，∴AO=12AB=132，∵点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，∴OM⊥AC，且AD=CD=6，∴OD=AO2-AD2=52，∴MD=OM-OD=AO-OD=4，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．29(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．【答案】5π6【分析】连接AD ，OD ，OE ，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接AD ，OD ，OE ，∵AB 为直径，∴AD ⊥AB ，∵AB =AC =6cm ,∠BAC =50°，∴BD =CD ，∠BAD =∠CAD =12∠BAC =25°，∴∠DOE =2∠BAD =50°，OD =12AB =12AC =3cm ，∴弧DE 的长为50×π×3180=5π6cm ，故答案为：5π6cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．30(2023·四川广安·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，圆的半径为7，∠BAC =60°，则弦BC 的长度为．【答案】73【分析】连接OB ,OC ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，先根据圆周角定理可得∠BOC =2∠BAC =120°，再根据等腰三角形的三线合一可得∠BOD =60°，BC =2BD ，然后解直角三角形可得BD 的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接OB ,OC ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，∵∠BAC =60°，∴∠BOC =2∠BAC =120°，∵OB =OC ,OD ⊥BC ，∴∠BOD =12∠BOC =60°，BC =2BD ，∵圆的半径为7，∴OB =7，∴BD =OB ⋅sin60°=723，∴BC =2BD =73，故答案为：73．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．31(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，∠CDB =55°，则∠ABC =°．【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得∠A =∠CDB =55°,再根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB =90°，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：∵∠A ,∠CDB 是BC所对的圆周角，∴∠A =∠CDB =55°,∵AB 是⊙O 的直径，∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中，∠ABC =90°-∠A =90°-55°=35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．32(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若∠D =100°，则∠B 的度数是．【答案】80°【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B+∠D=180°，∵∠D=100°，∴∠B=180°-∠D=80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．33(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．【答案】52.5°【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°-25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根据角的和差即可解答．方法二∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°-25°=25°，∠AOD=155°-25°=130°，∴∠OAB=12180°-∠AOB=77.5°，∠OAD=12180°-∠AOB=25°，∴∠BAD=∠OAB-∠OAD=52.5°．故答案为52.5°．方法二∶解∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=155°-50°=105°，根据圆周角定理，知∠BAD=12∠BOD=12×105°=52.5°．故答案为：52.5°．【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．34(2023·湖南·统考中考真题)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．【答案】10【分析】先求出正五边形的外角为72°，则∠1=∠2=72°，进而得出∠AOB=36°，即可求解．【详解】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角=360°5=72°，∴∠1=∠2=72°，∴∠AOB=180°-72°×2=36°，∴共需要正五边形的个数=360°36°=10(个)，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．35(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm．水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为cm．【答案】16【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=DB=12AB，依题意，得出OD=6，进而在Rt△AOD中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=DB=12 AB，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，⊙O 的半径为10cm ．∴OD =10-4=6cm ，在Rt △AOD 中，AD =AO 2-OD 2=102-62=8cm∴AB =2AD =16cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．36(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB =60°，则∠ADC 的度数为．【答案】30°【分析】根据垂径定理得到AB =AC，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵OA ⊥BC ，∴AB =AC ，∴∠ADC =12∠AOB =30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．37(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，点A 、B 、C 是⊙O 上不同的三点，点O 在△ABC 的内部，连接BO 、CO ，并延长线段BO 交线段AC 于点D ．若∠A =60°，∠OCD =40°，则∠ODC =度．【答案】80【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．【详解】解：在⊙O 中，∵∠BOC =2∠A =2×60°=120°，∴∠ODC =∠BOC -∠OCD =120°-40°=80°故答案为：80．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．【答案】4【分析】圆周角定理求出∠P 对应的圆心角的度数，利用360°÷圆心角的度数即可得解．【详解】解：∵∠P =55°，∴∠P 对应的圆心角的度数为110°，∵360°÷110°≈3.27，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；故答案为：4【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．39(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为S 1，△ACE 的面积为S 2，则S 1S 2=．【答案】2【分析】连接OA ,OC ,OE ，首先证明出△ACE 是⊙O 的内接正三角形，然后证明出△BAC ≌△OAC ASA ，得到S △BAC =S △AFE =S △CDE ，S △OAC =S △OAE =S △OCE ，进而求解即可．【详解】如图所示，连接OA ,OC ,OE ，∵六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴AC =AE =CE ，∴△ACE 是⊙O 的内接正三角形，∵∠B =120°，AB =BC ，∴∠BAC =∠BCA =12180°-∠B =30°，∵∠CAE =60°，∴∠OAC =∠OAE =30°，∴∠BAC =∠OAC =30°，同理可得，∠BCA =∠OCA =30°，又∵AC =AC ，∴△BAC ≌△OAC ASA ，∴S △BAC =S △OAC ，由圆和正六边形的性质可得，S △BAC =S △AFE =S △CDE ，由圆和正三角形的性质可得，S △OAC =S △OAE =S △OCE ，∵S 1=S △BAC +S △AFE +S △CDE +S △OAC +S △OAE +S △OCE =2S △OAC +S △OAE +S △OCE =2S 2，∴S 1S 2=2．故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40(2023·广东深圳·统考中考真题)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，∠BAC 的角平分线与⊙O 交于点D ，若∠ADC =20°，则∠BAD =°．【答案】35【分析】由题意易得∠ACB =90°，∠ADC =∠ABC =20°，则有∠BAC =70°，然后问题可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AC =AC，∠ADC =20°，∴∠ADC =∠ABC =20°，∴∠BAC =70°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =12∠BAC =35°；故答案为：35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．41(2023·山东东营·统考中考真题)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为点E ，CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长度是寸．【答案】26【分析】连接OA 构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE 垂直AB 得到点E 为AB 的中点，由AB =6可求出AE 的长，再设出圆的半径OA 为x ，表示出OE ，根据勾股定理建立关于x 的方程，求解方程可得2x 的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OA ，∵AB ⊥CD ，且AB =10寸，∴AE =BE =5寸，设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC =OD =x ，∵CE =1，∴OE =x -1，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：x 2-(x -1)2=52，化简得：x 2-x 2+2x -1=25，即2x =26，∴CD =26(寸)．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．三、解答题42(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，点A 在第一象限内，⊙A 与x 轴相切于点B ，与y 轴相交于点C ,D ．连接AB ，过点A 作AH ⊥CD 于点H ．(1)求证：四边形ABOH 为矩形．(2)已知⊙A 的半径为4，OB =7，求弦CD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．(2)根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．【详解】(1)证明：∵⊙A 与x 轴相切于点B ，∴AB ⊥x 轴．∵AH ⊥CD ,HO ⊥OB ，∴∠AHO =∠HOB =∠OBA =90°，∴四边形AHOB 是矩形．(2)如图，连接AC ．∵四边形AHOB 是矩形，∴AH =OB =7．在Rt △AHC 中，CH 2=AC 2-AH 2，∴CH =42-(7)2=3．∵点A 为圆心，AH ⊥CD ，∴CD =2CH =6．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．43(2023·甘肃武威·统考中考真题)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O ，A 是⊙O 上一点，只用圆规将⊙O 的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹)①以点A 为圆心，OA 长为半径，自点A 起，在⊙O 上逆时针方向顺次截取AB =BC =CD；②分别以点A ，点D 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于⊙O 上方点E ；③以点A 为圆心，OE 长为半径作弧交⊙O 于G ，H 两点．即点A ，G ，D ，H 将⊙O 的圆周四等分．【答案】见解析。

圆的有关性质初三练习题

圆的有关性质初三练习题1. 单选题：下列哪个选项是关于圆的有关性质的描述？a) 圆的面积等于πr²b) 圆的外切矩形的面积小于圆的面积c) 圆周长等于2πrd) 圆的直径等于圆的半径的两倍2. 填空题：已知圆的半径为5cm，求其直径长为______cm。

3. 判断题：若两个圆的半径相等，则它们的面积一定相等。

4. 多选题：下列哪些是圆的有关性质？a) 弧长公式：L = α/360° × 2πrb) 圆的切线与半径垂直c) 弦的长大于弧的长d) 圆心角等于弧所对的圆周角e) 圆的半径与直径满足关系式：d = 2r5. 解答题：已知圆的半径为8cm，求其面积和周长。

6. 判断题：如果两个圆的半径相等，则它们的直径也一定相等。

7. 单选题：下列哪个选项是圆的有关性质的描述？b) 弧长与圆心角的关系：L = rθc) 两条弧长相等的弧所对的圆心角一定相等d) 圆上的两点可以连成一条直线8. 填空题：确定圆心为O，半径为6cm的圆上，P点与Q点之间的弧长为12πcm，则圆心角∠POQ的度数为______。

9. 判断题：两条相交的弦一定相等。

10. 解答题：已知圆的周长为12πcm，求其半径和面积。

11. 单选题：下列哪个选项是关于两个相交圆的有关性质的描述？a) 两个相交圆一定有2个公共切线b) 两个相交圆的外切矩形的面积一定小于两个圆的面积之和c) 两个相交圆的内切矩形的面积一定大于两个圆的面积之和d) 两个相交圆的半径之和一定大于两个相交弦的长度之和12. 填空题：已知圆的周长为18πcm，则其直径长为______cm。

13. 判断题：两个相交圆的交点一定在两个圆的直径上。

14. 多选题：下列哪些是与圆的有关性质有关的计算公式？a) 圆的面积公式：S = πr²b) 圆的弧长公式：L = 2πrd) 圆心角的计算公式：α = L/re) 弧度制与角度制的换算公式：θ(度数) = θ(弧度) × 180°/π15. 解答题：已知圆的面积是16πcm²，求其半径和周长。

圆的有关概念

2014年中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的】2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径3、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都能与原来的图形重合】5、垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴, , .（2）推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴, , .【提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个.“知二推三”】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量它们所对应的其余各组量也分别简称“知一推三”几何语言：【提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线“遇直径，想直角”】回归教材：完成九年级下册课本P101 1题，2题；P104 例2；P111 2题；P116 1题典型考题展示考点一垂径定理及其推论(2013·潍坊)如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为()A．4 2 B．8 2C．2 5 D．4 5(2013·宜昌)如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连结BC，DB，则下列结论错误的是()⌒A.AD⌒＝BDB．AF＝BFC．OF＝CFD．∠DBC＝90°(2013·齐齐哈尔)CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是()A．8 B．2 C．2或8 D．3或7方法总结：考点二弧、弦、圆心角的关系（2012•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=________(2013·厦门)如图，在⊙O 中，AB ⌒＝AC ⌒，∠A ＝30°，则∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15考点三圆周角定理及其推论(2013·珠海)如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，∠ADC ＝54°，连结AE ，则∠AEB 的度数为( )A ．36°B ．46°C ．27°D ．63°(2013•苏州）如图，AB 是半圆的直径，点D 是AC ⌒的中点，∠ABC=50°，则∠DAB考点四垂径定理的应用(2013·漳州)如图，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为_________厘米．(2013·绍兴)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5 m ，则水面宽AB 为( )A ．4 mB ．5 mC ．6 mD ．8 m方法总结：检测达标A 组（夯实基础）1．(2013·成都)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( )A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°2．（2013·襄阳）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是 ( )A ．80°B ．160°C ．100°D ．80°或100°3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不成立的是( )A ．∠COE ＝∠DOB B ．CE ＝DEC ．OE ＝BE D.BD⌒＝BC ⌒4．(2013·黑龙江)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么AB 的值为( )A ．3B ．2 3C ．3 3D ．25.（2012·枣庄）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos ∠OBC 的值为( )A ．12 BC ．35D ．45 6．(2013·遵义)如图，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且OC ⊥AB ，点P 在⊙O 上，∠APC ＝26°，则∠BOC ＝_______度．7．如图，AB ，AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别是点M ，N ，如果MN ＝3，那么BC ＝______（第5题）B组（挑战自我）1．(2013·泸州)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为()A．2 5 cm B．4 5 cmC．2 5 cm或4 5 cm D．2 3 cm或4 3 cm2．(2013·天水)如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于()A．OM的长B．2OM的长C．CD的长D．2CD的长3．(2013·陕西)如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点．若⊙O的半径为7，则GE ＋FH的最大值为________4．(2013·温州)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．。