关于全等三角形的旋转难题
旋转法——全等三角形常见辅助线作法(四)配套习题
旋转法——全等三角形常见辅助线作法（四）核心母题如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.变式一：如图，E、F分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD上的点,若△ECF的周长是2，求∠EAF的度数?变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAQ=45°，AH⊥EF，求证：AH=AB.综合：在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，求证：①.∠MAN=②.③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.练习1、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K 、N 分别是AB 、BC 上的点，若△BKN 的周长是AB 的2倍，求∠KDN 的度数？2、已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时（如图1），易证BM+DN=MN ．（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．ο45AB C CMN 2=∆3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，（1）求证：EF=BE+FD（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。
5、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°求证：AD平分∠CDE.6、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．7、如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．8、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1．求∠BPC的度数。
初二上(八年级上)：全等等边三角形难题好题压轴题、培优提高
6、在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞ EF．
考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余 （3）ED=AD+BE． 已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形， 角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB． 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、 （2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD． ∴∠ADC=∠CEB=90°． B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE， （3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进 ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， 而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证： ∴∠ADC=∠CEB=90°． 在△ADC与△CEB中 △ADC≌△CEB； ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD； ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． ∴△ADC≌△CEB（AAS）． 在△ADC与△CEB中 ∴DC=BE，AD=CE． （3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， 又∵ED=CE+DC， BE之间的数量关系，并证明你的猜想． ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应 （2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， 边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握 ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CD-CE， ∴ED=BE-AD．
全等三角形难题集锦(整理)
1、（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.图1 图22、（1）如图1，现有一正方形ABCD ，将三角尺的指直角顶点放在A 点处，两条直角边也与CB 的延长线、DC 分别交于点E 、F ．请你通过观察、测量，判断AE 与AF 之间的数量关系，并说明理由． （2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE 、PF 之间有怎样的数量关系，并说明理由．（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE 、PF 之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．4、C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC ∆和等边CDE ∆，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论： ① AD=BE ； ② AE PQ //； ③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ︒=∠60AOB ⑥CP=CQ ⑦△CPQ 为等边三角形． ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO 平分AOE ∠ ⑩CO 平分BCD ∠ 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．CHF ED BAABC ED O P Q5、D 为等腰ABC Rt ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN ，DM ，DN 分别交BC ，CA 于点E ，F 。
（1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证：DE=DF 。
（2）若AB=2，求四边形DECF 的面积。
旋转法证三角形全等(教师版)
旋转法证三角形全等（教师版）例题4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．（3）当直线MN绕点C旋转到图③时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？分析：（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余关系可证∠DAC=∠ECB，可证△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此时，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用线段的和差关系得DE=AD-BE．解答：证明：（1）∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE；（2）DE=BE-AD．仿照（1）可证△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．( 3 ) 当MN 旋转到图3 的位置时,DE , AD , BE 满足的等量关系是DE = BE-AD (或AD = BE-DE , BE = AD + DE 等) .∵∠ADC = ∠CEB = ∠ACB = 90度,∴∠ACD = ∠CBE .又∵AC = BC ,∴△ ACD ≌△CBE .∴AD = CE , CD = BE .∴DE = CD- CE = BE- AD .。
初二数学全等三角形旋转模型知识点-+典型题附解析(1)
初二数学全等三角形旋转模型知识点-+典型题附解析(1)一、全等三角形旋转模型1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．答案：C解析：（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．2．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ，①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73-【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =，再由等边三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆， ∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=，∴60BCD '∠=︒，∴BCD '∆是等边三角形，∴60BD C '∠=︒，BD CD ''=∵AB AC =，AD AD ''=，∴ABD '∆≌ACD '∆，∴30AD B AD C ''∠=∠=︒，∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BAC α∠=，()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-， 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--， 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+． 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形，D B D C ''∴=，AD B AD C ''∴≌，AD B AD C ''∴∠=∠， 1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=， 30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==， 3DE ∴=．BCD '是等边三角形，7BD BC '∴==，7BD BD '∴==，73BE BD DE ∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．3．定义：按螺旋式分别延长n 边形的n 条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形．例如：如图1，分别延长多边形A 1A 2…A n 的边得A 1′，A 2′，…，A n ′，若多边形A 1′A 2′…A n ′与多边形A 1A 2…An 相似，则多边形A 1′A 2′…A n ′就是A 1A 2…A n 的螺旋相似图形．（1）如图2，已知△ABC 是等边三角形，作出△ABC 的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明．（2）如图3，已知矩形ABCD ，请探索矩形ABCD 是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB 与BC 的比值；若不存在，说明理由．（3）如图4，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，分别延长CA ，AB ，BC 至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC 的螺旋相似三角形．若AA′＝kAC ，请直接写出BB′，CC′的长（用含k 的代数式表示）答案：A解析：（1）见解析；（2）AB：BC＝1；（3）BB′＝2k，CC′＝k．【分析】（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形，证明△DEF是等边三角形即可解决问题．（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似图形，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．分两种情形，利用相似三角形的性质以及相似矩形的性质，构建关系式证明a＝b即可解决问题．（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．设TB＝TB′＝m，证明△A′CC′≌△A′TB′（ASA），推出A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，构建关系式推出m＝k即可解决问题．【详解】解：（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠FCD＝∠EBF＝120°，∵BE＝CF＝AD，∴CD＝AE＝BF，∴△FCD≌△DAE≌△EBF（SAS），∴DF ＝DE ＝EF ，∴△DEF 是等边三角形，∴△DEF ∽△ABC ，∴△DEF 是△ABC 的一个螺旋相似图形．（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH 是矩形ABCD 的螺旋相似图形，设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，BE ＝DG ＝x ，CF ＝AH ＝y ．由题意：△BEF ∽△AHE ， ∴EF EH ＝BE AH ＝BF AE， ∴x y ＝b y a x++， 当EF HE ＝BC AB ＝b a 时，b a ＝x y ＝b y a x++， ∴x ＝b a•y ，ax +x 2＝by +y 2， ∴by +22b a•y 2＝by +y 2， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，即AB ：BC ＝1． 当EF EH ＝AB BC ＝a b 时．a b ＝x y ＝b y a x ++， ∴x ＝a b•y ，ax +x 2＝by +y 2， ∴2a b •y +22a b•y 2＝by +y 2， ∴22a b b -•y （1+y b）＝0， ∵y ≠0，1+y b≠0，∴a2＝b2，∴a＝b，即AB：BC＝1，综上所述，AB：BC＝1．（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠TBB′＝∠ABC＝45°，∴∠TB′B＝∠TBB′＝45°，∴TB＝TB′，设TB＝TB′＝m，∵△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形，∴A′C′＝B′C′，∠A′C′B′＝90°，∵∠A′C′C+∠B′C′＝90°，∠A′CC+∠C′A′C＝90°，∴∠C′A′C＝∠B′C′T，∵∠A′CC′＝∠T＝90°，∴△A′CC′≌△A′TB′（ASA），∴A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，∴2+2k＝2+2m，∴m＝k，∴BB′2k，CC′＝k．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4．△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE＝∠AOB＝90°，DC＝DE＝1，OA＝OB＝a（a＞1）．（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）①OM ＝12AE ；②OM ＝12AE ，证明详见解析；③12a -≤OM ≤12a +；（2）5【分析】（1）①利用△CDE ≌△AOB 得出BC ＝AE ，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．②作辅助线，利用△COF ≌△EOA 及三角形中位线得出OM ＝12AE ． ③分两种情况，当OC 与OB 重合时OM 最大，当OC 在BO 的延长线上时OM 最小，据此求出OM 的取值范围．（2）分两种情况：当顶点D 在斜边AB 上时，设点C ，点E 分别在OB ，OA 上．由DM +OM ≥OF 求出直角边a 的最大值；当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上时，利用△EHD ≌△DOC ，得出OD ＝EH ，在Rt △DHE 中，运用勾股定理ED 2＝DH 2+EH 2，得出方程，由△判定出a 的最大值．【详解】解：（1）①∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝B 0，∠CDE ＝∠AOB ，在△CDE 和△AOB 中，CD ED CDE AOB AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△AOB （SAS ），∴BC ＝AE∵M 为BC 中点，∴OM ＝12BC ，∴OM ＝12AE ． ②猜想：OM ＝12AE ． 证明：如图2，延长BO 到F ，使OF ＝OB ，连接CF ，∵M 为BC 中点，∴OM ＝12CF ， ∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝BO ＝OF ，∠CDE ＝∠AOB ，∵∠AOC +∠COB ＝∠BOE +∠COB ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOE ，∠FOC ＝∠AOE ，在△COF 和△EOA 中，CD ED FOC AOE OF AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△COF ≌△EOA ，∴CF ＝AE ，∴OM ＝12AE ． ③Ⅰ、如图3，当OC 与OB 重合时，OM 最大，OM＝11122 a a-++=Ⅱ、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，OM＝12a+﹣1＝12a-，所以12a-≤OM≤12a+，（2）解：根据△CDE的对称性，只需分两种情况：①如图5，当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CDE＝90°，OA＝OB＝a（a＞1），DC＝DE＝1，∴AB ＝2a ，OF ＝12AB ＝22a ， ∴CE ＝2，DM ＝12CE ＝22， 在RT △COE 中，OM ＝12CE ＝22， 在RT △DOM 中，DM +OM ≥OD ， 又∵OD ≥OF ，∵DM +OM ≥OF ，即22+22≥22a ， ∴a ≤2，∴直角边a 的最大值为2． ②如图6，当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上，作EH ⊥AO 于点H ． ∵∠AOB ＝∠CDE ＝∠DHE ＝90°， ∵∠HED +∠EDH ＝∠CDO +∠EDH ＝90°， ∴∠HED ＝∠CDO ， ∵DC ＝DE ，在△EHD 和△DOC 中，EHD CODHED CDO DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EHD ≌△DOC （AAS ） 设OD ＝x ，∴OD ＝EH ＝AH ＝x ，DH ＝a ﹣2x ， 在Rt △DHE 中，ED 2＝DH 2+EH 2， ∴1＝x 2+（a ﹣2x ）2， 整理得，5x 2﹣4ax +a 2﹣1＝0， ∵x 是实数，∴△＝（4a ）2﹣4×5×（a 2﹣1）＝20﹣4a 2≥0， ∴a 2≤5，∴a 2的最大值为5，∴a 的最大值为5． 综上所述，a 的最大值为5． 【点睛】本题主要考查了几何变换综合题及三角形全等的判定和性质，解题的关键是在取最大值时，对三角形的位置进行讨论分别求值．5．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段PA 与线段CD 的数量关系是__________，DCP ∠为______度；（2）如图2，当120α=︒时，写出线段PA 和线段DC 的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当23AB =13BP PC +的最小值． 答案：A解析：（1）PA ＝DC ，60；（2）CD 3PA ．理由见详解；（232【分析】（1）先证明△ABC ，△PBD 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，进而线段PA 与线段CD 的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；（2）证明△CBD ∽△ABP ，可得3CD BCPA AB== （3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ，过点B 作BG ⊥BA 于点G ，当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小，由BGP CNP ∽，得13GP NP BP CP ==，结合勾股定理求出GP ，从而得CP ，进而即可求解． 【详解】（1）①证明： ∵将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ， ∴PB ＝PD ，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝60°，∴△ABC ，△PBD 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°， ∴∠PBA ＝∠DBC ， ∵BP ＝BD ，BA ＝BC ， ∴△PBA ≌△DBC （SAS ）， ∴PA ＝DC ．设BD 交PC 于点O ，如图1，∵△PBA ≌△DBC ， ∴∠BPA ＝∠BDC ， ∵∠BOP ＝∠COD ，∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°． 故答案是：PA ＝DC ，60；（2）解：结论：CD 3．理由如下： ∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°3，BD ═2BP •cos30°3， ∴BC BDBA BP=3 ∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°， ∴∠ABP ＝∠CBD ， ∴△CBD ∽△ABP ， ∴3CD BCPA AB== ∴CD 3；（3） 过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ， 过点B 作BG CA ⊥于点G ，则BG =AB ×sin ∠BAG 3=3，AG = AB ×cos ∠BAG 3 当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小， ∵∠BGP =∠CNP =90°，∠BPG =∠CPN ，∴BGP CNP ∽， ∴13GP NP BP CP ==， 设GP =x ，则AP =3-x ，BP =3x ， ∴()22233x x +=，解得：x =324， ∴BP =924，AP =3-324，∴CP =AC +AP =23+3-324=33-324，∴13BP PC +最小值=924+13×(33-324)=3+22．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ．6．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起． （1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ； （2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2 【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，2BD CE =，即可得出结论；（3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论． 【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形， 同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAEAD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEB CEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；． （2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由如下： 在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，245AB AC CAB ∴∠︒＝，＝ ，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝，∴AE ACAD AB=，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝， ACE ABD ∴∽ ，∴BD ADCE AE== ∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝ 135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝； （3）由（2）知，ACE ABD ∽，BD ∴，在Rt ABC 中，AC ＝AB ∴＝，①当点E 在点D 上方时，如图③， 过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝， ∴四边形APDE 是矩形， AE DE ＝ ，∴矩形APDE 是正方形， 2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，6BP ，4BD BP AP ∴-＝＝，CE BD ∴＝②当点E 在点D 下方时，如图④ 同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，CE ∴＝综上CE 的长为或．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．7．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．请利用上面信息解决以下问题：已知Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S +=△△△； （2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABCS 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．答案：D解析：（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立：12DEF CEF ABC S S S -=△△△ 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到AED 、DFB △、EDF 、ECF △为全等的等腰直角三角形，据此即可证明；（2）对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，根据中位线的性质和等量代换证得MD ND =和MDE NDF ∠=∠，结合90DME DNF ∠=∠=︒，证得DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA 证明DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）证明：连接CD∵D 为AB 边的中点，AC BC = ∴AD=CD=BD∴45DAC DCA DCB DBC ∠=∠=∠=∠=︒ 又∵DE AC ⊥，90EDF ∠=︒，90C ∠=︒， ∴四边形ECFD 为矩形 ∴∠CFD=90° 又∵∠DCF=45° ∴CF=DF∴四边形ECFD 是正方形 ∴DE=DF∴DEF CEF DEC DFC S S S S +=+△△△△又∵12DCF DBF ABC S S S +=△△△，且DCF DBF S S =△△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ （2）图2成立，图3不成立 对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，如图2，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=︒又∵90C ∠=︒ ∴DMBC ，DN AC∵D 为AB 边的中点∴根据中位线定理得到：12DN AC =，12MD BC = ∵AC=BC ∴MD=ND ∵90EDF ∠=︒∴90MDE EDN ∠+∠=︒，90NDF EDN ∠+∠=︒ ∴MDE NDF ∠=∠ 在DME ∆与DNF ∆中DME DNFMD NDMDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DME DNF ∆≅∆ ∴DME DNF S S ∆∆=∴DEF CEF DMCN DECF S S S S ∆∆==+四边形四边形∴12DMCN ABC S S =△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△对于图3： 连接DC ，在DEC ∆与DBF ∆中135DCE DBF DC DBCDE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEC DBF ∆≅∆∴12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+五边形 ∴12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决．8．如图1所示，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB AC =，2BC =，以BC 所在直线为x 轴，边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，将ABC 绕P 点0,1顺时针旋转．（1）填空：当点B 旋转到y 轴正半轴时，则旋转后点A 坐标为______；（2）如图2所示，若边AB 与y 轴交点为E ，边AC 与直线1y x =-的交点为F ，求证：AEF 的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求AEF 内切圆半径的最大值．解析：（1）2,21；（2）见解析；（3）324-【分析】（1）作出图形，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，根据2BC =，y 轴垂直平分BC ， AB AC =，()0,1P -可证得四边形ABPC 是正方形，则有 '''2BP B PAB A B ，'0'21B B PPO，可得点 A 坐标；（2）作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点，根据四边形ABPC 是正方形，得到90QBP FCP ∠=∠=︒，BP CP =，可证BPQ CPF ASA ≌△△，得BQ CF =，QP FP =，利用ASA 再可证得QPE FPE ≌△△，得QE FE =则AEF 的周长22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为r ，由（2）可得22AF m n =--则2AE AF EF r +-=222n m n m+---=2m =-，当m 最小时，r 最大．得到22222n m nm 整理得：2224220nm n m，关于n的一元二次方程有解，即22244220m m化简得24280m m +-≥，利用二次函数图像可得422m ≥-或422m ≤--（不合题意，舍去）可得m 的最小值为422-，即r 的最大值为2422324，则有AEF 内切圆半径的最大值为324-．【详解】解：（1）如图示，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，∵2BC =，y 轴垂直平分BC∴1BO CO ==又∵Rt ABC △中，AB AC = ∴1AO =，2AB AC ==∵()0,1P - ∴1PO =∴AO BO CO PO === ∴四边形ABPC 是正方形 ∴'''2BP B P AB A B∴'0'21B B PPO∴点A 坐标为2,21（2）如图2所示，作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点 ∵四边形ABPC 是正方形∴90QBP FCP ∠=∠=︒， BP CP = ∴BPQ CPF ASA ≌△△∴ BQ CF =，QP FP =∵点F 在直线1y x =-∴45FPE ∠=︒∴ 45BPE FPC ∠+∠=︒ ∴45BPE BPQ ∠+∠=︒∴45QPE FPE ∠=∠=︒ ∵EP EP =∴QPE FPE ASA ≌△△∴ QE FE =∴AEF 的周长AE EF AF AE QE AF =++=++AE BE BQ AF AE BE FC AF =+++=+++22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为 r ， 由（2）可得22AF m n =-则2AE AF EFr +-=22n m n m+---=2m =∴当m 最小时，r 最大．∵在Rt AEF 中，222AE AF EF +=∴22222n m nm 整理得： 2224220nm nm ∵关于n 的一元二次方程有解∴22244220m m∴24280m m +-≥利用二次函数图像可得422m ≥-或422m ≤--（不合题意，舍去） ∴m 的最小值为422-∴r 的最大值为2422324即AEF 内切圆半径的最大值为324-． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、旋转、三角形内切圆等知识，能熟练应用相关性质是解题关键． 9．（1）ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，如图1，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE ，求证：ACD △≌BCE ．（2）ABC 和CDE △是两个含30°的直角三角形，中90ACB DCE ∠=∠=︒，∠=CAB CDE ∠30=︒，CD AC <，CDE △从边CD 与AC 重合开始绕点C 逆时针旋转一定角度()0180αα︒<<︒．①如图2，DE 与BC 交于点F ，交AB 于G ，连接AD ，若四边形ADEC 为平行四边形，求BGAG的值． ②若12AB =，当点D 落在AB 上时，求BE 的长．答案：A解析：（1）见解析；（2）①13BG AG =；2123sin 12cos αα+ 【分析】（1）利用SAS 证明即可；（2）①连接CG ，根据平行四边形的性质推出//AD CE ，求出120ADE ∠=︒，得到90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，根据30CAB CDE ∠=∠=︒证得A 、D 、G 、C 四点共圆，从而得到90AGC ADC ∠=∠=︒，利用直角三角形中30度角的性质求出3AG CG =， 3CG BG =，即可求出答案；②先证明ACD △∽BCE ，由此推出∠DBE=90°，得到DBE 为直角三角形，设BE a =，则3AD a =，123BD a =-，过D 点作DH AC ⊥于H ，利用30A ∠=︒得到3sin 30DH AD =︒=，由ACD α∠=，得到3sin HD aCD α==cos30sin CD aDE α==︒，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()2222221231443243sin a a a a a a α=+-=++-，解方程求出a.【详解】（1）∵ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，∴AC BC =，CD CE =，ACB DCE ∠=∠， ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB ， ∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACD △≌BCE （SAS ）．（2）①连接CG ，如图所示， ∵四边形ADEC 为平行四边形， ∴//AD CE ，∴180ADE CED ∠+∠=︒，∵90903060CED CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴120ADE ∠=︒，∴90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒， ∵30CAB CDE ∠=∠=︒， ∴A 、D 、G 、C 四点共圆， ∴90AGC ADC ∠=∠=︒， ∵30CAB ∠=︒，∴12CG AC =，3AG CG =，30BCG ∠=︒，∴3CG BG =，即33BG CG =， ∴13BG AG =；②∵90ACB DCE ∠=∠=︒， ∴ACB DCB DCE DCB ∠-∠=∠-∠， ∴ACD BCE ∠=∠， ∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴3AC DCBC CE==，∴ACD △∽BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，∴90DBE DBC CBE DBC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DBE 为直角三角形，设BE a =，∴3AD a =，∴123BD a =-， 过D 点作DH AC ⊥于H ，30A ∠=︒， 则3sin 302DH AD a =︒=， 又∵ACD α∠=，∴3sin 2sin HD aCD αα==， 又在Rt CDE △中，30∠=︒CDE ， ∴cos30sin CD aDE α==︒，∴在Rt BDE △中，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()2222221231443243sin a a a a a a α=+-=++-，∴22142431440sin a a α⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 解得22576243576sin 28sin a αα±-=-， 即222243sin 241sin 8sin 2a ααα+-=- 2222243sin 24cos 123sin 12cos 8sin 24sin 1αααααα++==--， 故BE 的长为22123sin 12cos 4sin 1ααα+-.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，旋转的性质，平行四边形的性质，四点共圆，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，是一道较难的几何综合题.10．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317 【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。
三角形旋转全等常见模型
1、绕点型手拉手模型1自旋转：自旋转构造放方法：①遇60°旋60°,构造等边三角形；②遇90°旋90°,构造等腰直角三角形；③遇等腰旋转顶角,构造旋转全等；④遇中点180°,构造中心对称;2共旋转典型的手拉手模型例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE,连接AE 与CD,证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60;（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE,连接AE 与CD,证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60;（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE,连接AE 与CD,证明： 1△ABE ≌△DBC 2AE=DC3AE 与DC 的夹角为60;4AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC1如图1,点C 是线段AB 上一点,分别以AC,BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN,连接AN,BM ．分别取BM,AN 的中点E,F,连接CE,CF,EF ．观察并猜想△CEF 的形状,并说明理由．2若将1中的“以AC,BC 为边作等边△ACM 和△CBN ”改为“以AC,BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN,”如图2,其他条件不变,那么1中的结论还成立吗若成立,加以证明；若不成立,请说明理由．HB例4、例题讲解：1. 已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点点D不与B,C重合,以AD为边作菱形ADEF按A,D,E,F逆时针排列,使∠DAF=60°,连接CF.1如图1,当点D在边BC上时,求证：① BD=CF②AC=CF+CD.2如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由；3如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系;2、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等;例1、如图,正方形ABCD的边长为1,AB,AD上各存在一点P、Q,若△APQ的周长为2,求PCQ的度数;D A C BQP例2、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM +DN,求证：①∠MAN=45°；②△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM;例3、在正方形ABCD 中,已知∠MAN=45°,若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；②求证：AB=AH.例4、在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,AB=AD,若E 、F 分别在边BC 、CD 且上,满足EF=BE+DF.求证：BAD EAF ∠=∠21;。
旋转型全等三角形
旋转型全等三角形已知：△ABC中，∠ABC=∠BAC=70°，点P为△ABC内的一点，且∠PAB=40°，∠PBA=20°，求证：PA+PB=PC，分析：本题要证明的结论PA+PB=PC，是一条线段等于两条线段的和，所以想到要应用线段和差关系的定义进行分析，也就是将PA、PB接起来，证明所得到的和线段与PC相等，这是本题的第一个关键思维节点，就是由结论中出现的线段之间的和差关系，想到要应用线段和差关系的定义进行分析，如首先选取将PA接到PB上，也就是延长BP到D，使PD=PA，问题就成为应证PC=BD，而在作出PD=PB后，就出现了两条具有公共端点P的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以想到应将底边添上，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要添加等腰三角形的基本图形进行证明，并想到相应的添线方法，在有腰而没有底时，将底边添上，也就是联结AD，就可得△PDA是等腰三角形，又因为∠APD=∠PAB+∠PBA=40°+20°=60°，所以△PDA不仅是等腰三角形，而且是一个等边三角形，又因为条件给出∠ABC=∠BAC=70°，∠PAB=40°，就可得∠PAC=70°-40°=30°，所以∠DAC=∠PAC=30°，这样就出现了等边三角形一个角的角平分线，所以想到要应用等腰三角形中重要线段的性质（也就是等腰三角形的三线合一）进行证明，这是本题的第三个关键思维节点，就是由出现的等边三角形的一条角平分线，想到要应用等腰三角形中重要线段的性质进行证明，于是就可得AC是PD的垂直平分线，所以就想到要应用线段垂直平分线的性质，也就是要应用或添加轴对称型全等三角形进行证明，添加的方法是将三角形沿对称轴（垂直平分线AC）翻折过去，这是本题的第四个重要的关键思维节点，就是由出现的线段的垂直平分线，想到要应用或添加轴对称型全等三角形进行证明，并进一步想到相应的添线方法，也就是联结PC，就可得△ACD和△ACP是一对轴对称型全等三角形，所以DC=PC，∠ACD=∠ACP，问题就转化为要证明DC=DB，这样就出现了两条具有公共端点D的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，这是本题的第五个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要添加等腰三角形的基本图形进行证明，问题就成为应证DC=DB的等价性质∠DBC=∠DCB，但∠DBC=∠ABC-∠PBA=70°-20°=50°，所以问题就成为要证明∠DCB也等于50°，又因为条件给出∠ABC=∠BAC=70°，所以∠BCA=180°-2·70°=40°，所以问题就成为要证明∠DCA等于10°，而已证∠ACD=∠ACP，所以问题就成为要证明∠PCB=3∠ACD，这是角之间的3倍关系，所以想到要根据角的3倍关系的定义进行分析，这是本题的第六个重要的关键思维节点，就是由出现的角之间的3倍关系，就想到要根据角的3倍关系的定义进行分析，也就是在∠PCB作一个等于∠ACD的角，即以C为顶点，CB为边，在△CAB的内部作∠BCE=∠ACD，那么这条边CE应作到哪里呢？由于夹∠ACD的两边是CA、CD，夹∠BCE的两边是CB、CE，而CA=CB，所以CE应作到与CD相等，所以准确的作法是以C为顶点，CB为边，在△CAB的内部作∠BCE=∠ACD，使CE=CD，这样就出现了由点C发出的两组交成等角的相等线段，所以想到要应用旋转型全等三角形进行证明，这是本题的第七个重要的关键思维节点，就是由出现的由一点发出的两组交成等角的相等线段，就想到要应用旋转型全等三角形进行证明，将这四条线段的端点两两联结，就可得到全等三角形，也就是联结EB，就可得△ACD≌△BCE，所以AD=BE，∠CBE=∠CAD=30°，而已证CD=CP，所以CE=CP，这样又出现了两条具有公共端点C的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以想到应将底边添上，这是本题的第八个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要添加等腰三角形的基本图形进行证明，并想到相应的添线方法，在有腰而没有底时，将底边添上，也就是联结PE，就可得△CPE是等腰三角形，而在作出了∠BCE=∠ACD后，问题就成为要证明∠PCE=2∠ACD，这是两个角之间的倍半关系，所以就想到要应用角的倍半关系的定义进行分析，这是本题的第九个关键思维节点，就是由出现的两个角之间的倍半关系，就想到要应用角的倍半关系的定义进行分析，也就是将∠PCE两等分，也就是作∠PCE的角平分线，由于这是等腰△CPE的顶角的角平分线，所以想到要应用等腰三角形中重要线段的基本图形的性质进行证明，这是本题的第九个关键思维节点，就是由出现的等腰三角形的顶角的角平分线，想到要应用等腰三角形中重要线段的基本图形的性质进行证明，也就是作∠PCE的角平分线交PE于F，可得CF⊥PE，又因为∠BCE=∠ACD=∠ACP，所以CF也是等腰△CAB的顶角的角平分线，根据同样的分析方法，延长CF交AB于G，就可得CG⊥AB，所以PE∥AB，又因为∠PBE=∠PBC-∠CBE，∠CBE=∠CAD=30°，所以∠PBE=50°-30°=20°，而已知∠PBA=20°，所以BP是∠ABE的角平分线，就出现了角平分线和平行线的组合关系，就一定得到一个等腰三角形的基本图形，这是本题的第十个关键思维节点，就是由出现的角平分线和平行线的组合关系，就想到要应用等腰三角形的基本图形的性质进行证明，从而由∠PBA=∠BPE=∠PBE，可得PE=BE，而已经证明BE=DA=PD，所以PD=PE，又因为CD=CE，这样就出现了两组相等线段都是关于CP成轴对称的，所以想到要应用轴对称型全等三角形进行证明，这是本题的第十一个关键思维节点，就是由出现的两组相等线段都是关于一条直线成轴对称的，所以想到要应用轴对称型全等三角形进行证明，根据图形的轴对称位置，就可以找到这对全等三角形是△PCE 和△PCD ， 从而就可证得∠PCE=∠PCD ，由于∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠EAB+∠ACE=∠ACB=40°，所以∠PCE=∠PCD=12∠DCE=12·40°=20°， 就可得∠ACD=∠ACP=12∠PCD=12·20°=10°，分析就可以完成。
专题6 类比探究—图形旋转中三角形全等题型(学生版)
专题6类比探究—图形旋转中三角形全等题型知识归纳几何类比探究题是近几年中招考试的必考题型，目前位于解答题的最后一题，分值为11分或12分．主要考查方式有求线段长，求角度，判断图形形状，判断两条线段的数量关系和位置关系并证明，考查知识点主要涉及特殊三角形，勾股定理，四边形的判定与性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强。
本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形全等题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
解题思路总结图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。
解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.常考题型专练一、解答题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD 的长．2.在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE AB∥，DF AC∥，交BC于点E、F．（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出BEAD的值．3.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.(1)如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的Rt△EGF绕点O顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘).如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出写出线段MN的长；(3)图3,旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN 的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是__________.4.(1)问题发现：如图1，在等边ABC ∆中，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_____，ACF ∠的度数为______．(2)拓展探究：如图2，在 Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AE FC 的值．(3)解决问题：如图3，在ABC ∆中，:BC AB m =，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作//DE AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当ADF ACF ABC ∠=∠=∠时AE FC 的值．5.在等边△ABC 中，点D 是BC 边上一点，点E 是直线AB 上一动点，连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 相交于点F ．（1）若点D 为BC 边中点．①如图1，当点E 在AB 边上，且DE AB ⊥时，请直接写出线段DE 与DF 的数量关系________；②如图2，当点E 落在AB 边上，点F 落在AC 边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（2）如图3，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点．当:3:2AE BE =时，直接写出CF AF 的值．6.在ABCD 中，BAD ∠=α，以点D 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD 、CD 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点K ，作射线DK ，交对角线AC 于点G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转α得线段EP ．（1）如图1，当120α=︒时，连接AP ，线段AP 和线段AC 的数量关系为；（2）如图2，当90α=︒时，过点B 作BF EP ⊥于点F ，连接AF ，请求出∠FAC 的度数，以及AF ，AB ，AD 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120α=︒时，连接AP ，若13BE AB =，请直接写出线段AP 与线段DG 的比值．7.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为．（直接写出结果，不说明理由）（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．∴③点F所经过的路径长为．（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）8．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．。
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旋转 已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE， （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB； （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD； （3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想．
考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB． （2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD． （3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． （2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CD-CE， ∴ED=BE-AD．
（3）ED=AD+BE． 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CE+DC， ∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段 之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握 3.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º， （1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。 （2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？ （3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答． （2）证明△DOB≌△COA，根据全等三角形的对应边相等进行说明．解答：解：（1）相等． 在图1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°， ∴OA=OB，OC=OD， ∴0A-0C=0B-OD， ∴AC=BD； （2）相等． 在图2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA， ∴△DOB≌△COA， ∴BD=AC．点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角．
4.（2008）．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题；探究型．分析：此题的两个小题思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．解答：证明：（1）∵∠QAP=∠BAC， ∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP， 即∠QAB=∠CAP； 在△BQA和△CPA中， AQ=AP ∠QAB=∠CAP AB=AC ， ∴△BQA≌△CPA（SAS）； ∴BQ=CP． （2）BQ=CP仍然成立，理由如下： ∵∠QAP=∠BAC， ∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB， 即∠QAB=∠PAC； 在△QAB和△PAC中， AQ=AP ∠QAB=∠PAC AB=AC ， ∴△QAB≌△PAC（SAS）， ∴BQ=CP．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．
5.（2009）将一透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两三角形胶片ABC△和DEF△．且ABC△≌DEF△。将这两三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF△绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．
①当DEF△旋转至如图②位置，点()BE，CD，在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是 ． ②当DEF△继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与DO存在怎样的数量关系？请说明理由．
点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）根据外角的性质，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，从而得出∠AFD=∠DCA； （2）成立．由△ABC≌△DEF，可证明∠ABF=∠DEC．则△ABF≌△DEC，从而证出∠AFD=∠DCA； （3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可证得点B在AD的垂直平分线上，进而证得点O在AD的垂直平分线上，则直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA（或相等）． （2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下： 方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF， ∴∠ABF=∠DEC． 在△ABF和△DEC中， AB=DE ∠ABF=∠DEC BF=EC ∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC． ∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF． ∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA， ∴∠AFD=∠DCA． 方法二：连接AD．同方法一△ABF≌△DEC， ∴AF=DC． 由△ABC≌△DEF，得FD=CA． 在△AFD≌△DCA， AF=DC FD=CA AD=DA ∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．
（3）如图，BO⊥AD． 方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合， 得∠BAC=∠BDF，BA=BD． ∴点B在AD的垂直平分线上， 且∠BAD=∠BDA． N
MEF
A
C
B
A
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF， ∴∠OAD=∠ODA． ∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上． ∴直线BO是AD的垂直平分线，BO⊥AD． 方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD． 在△ABO和△DBO中， AB=DB BO=BO OA=OD ∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO． 在△ABG和△DBG中， AB=DB ∠ABG=∠DBG BG=BG ∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°． ∴BO⊥AD．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握．
例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：解：延长EB使得BG=DF， 在△ABG和△ADF中， 由 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ， 可得△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF=∠BAG，AF=AG， 又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE， ∴△AEG≌△AEF（SSS）， ∴∠EAG=∠EAF， ∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90° ∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°． 答：∠EAF的角度为45°．点评：本题考查了正方形各角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键．
例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 （1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。