电磁场与电磁波期末复习题库

电磁场习题汇总2-12若带电球的内外区域中的电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=a r aqr a r r q, ,2r e E试求球内外各点的电位。

解 在a r <区域中，电位为()()aqr a a q r aa rr+-=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞222d d d r E r E r E ϕ 在a r>区域中，()rq r r =⋅=⎰∞r E d ϕ 2-14 已知真空中的电荷分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=a r ar r r,00 ,)(2ρ式中r 为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。

解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理204d επεqr E qs=⇒=⋅⎰s E在a r ≤≤0区域中 ()52254d 4d r r r r v r q r vππρ===⎰⎰ r r r r r e e E 03052515441εεππ==在a r >区域中 ()502254d 4d a r r r v r q a v ππρ===⎰⎰ r r r a a r e e E 025052515441εεππ== 2-17 若在一个电荷密度为ρ，半径为a 的均匀带电球中，存在一个半径为b 的球形空腔，空腔中心 与带电球中心的间距为d ，试求空腔中的电场强度。

解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。

首先设半径为a 的整个球内充满电荷密度为ρ的电荷，则球内P 点的电场强度为r e E r P032013 3441ερρππε==r r 式中r 是由球心o 点指向P 点的位置矢量，再设半径为b 的球腔内充满电荷密度为ρ-的电荷，则其在球内P 点的电场强度为r e E r P '-='''-=0320233441ερρππεr r 式中r '是由腔心o '点指向P 点的位置矢量。

那么，合成电场强度P P E E 21+即是原先空腔内任一点的电场强度，即()d r r E E E P P P 002133ερερ='-=+= 式中d 是由球心o 点指向腔心o '点的位置矢量。

可见，空腔内的电场是均匀的。

2-19 已知内半径为a ，外半径为b 的均匀介质球壳的介电常数为ε，若在球心放置一个电量为q 的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。

解 先求各区域中的电场强度。

根据介质中高斯定理re D s D 2244d rqq D r q sππ=⇒=⇒=⋅⎰ 在a r ≤<0区域中，电场强度为 r e DE 2004rq πεε==在b r a ≤<区域中，电场强度为 re DE 24rqπεε== 在b r >区域中，电场强度为 r e DE 2004r q πεε==再求介质壳内外表面上的束缚电荷。

由于()E P 0εε-=，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为()2020414a qa q s πεεπεεερ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=⋅-=⋅=P e P n r 外表面上束缚电荷面密度为()2020414b qb q s πεεπεεερ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⋅=⋅=P e P n r 2-32 若平板空气电容器的电压为V ，极板面积为A ， 间距为d ，如习题图2-32所示。

若将一块厚度为)(d t t < 的导体板平行地插入该平板电容器中，试求外力必须作 的功。

解 未插入导体板之前，电容量dAC 0ε=。

插入导体板后，可看作两个电容串联，其中一个电容器的电容习题图2-32xA C 01ε=，另一个电容器的电容xt d AC --=02ε，那么总电容量为td AC C C C C -=+='02121ε根据能量守恒原理，电源作的功和外力作的功均转变为电场能的增量，即12ΔW W W W W e -==+外电源式中()()20ΔV t d d AtV CV V C qV W -=-'==ε电源电源W V C C W W W e 21)(21d 212=-'=-= 则 ()2021V t d d AtW --=ε外3-10 试证位于半径为a 的导体球外的点电荷q 受到的电场力大小为222302232)(4)2(a f f a f a q F ---=πε 式中f 为点电荷至球心的距离。

若将该球接地后，再计算点电荷q 的受力。

证明 根据镜像法，必须在球内距球心fa d 2=处引入的镜像电荷q f a q -='。

由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷-q '，且应位于球心，以保持球面为等电位。

那么，点电荷q 受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，rr e e F 22202201)(4)(4a f afq d f q q --=-'=πεπε（N ） r r e e F 30220244f aq f q q πεπε='-=（N ）合力为 re F F F 22230223221)(4)2(a f f a f a q ---=+=πε（N ） 当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷q '，故q 所受到的电场力为F 1。

3-16 已知点电荷q 位于半径为a 的导体球附近，离球心的距离为f ，试求：①当导体球的电位为ϕ时的镜像电荷；②当导体球的电荷为Q 时的镜像电荷。

解 ①如前所述，此时需要两个镜像电荷等效带电导体球的影响。

一个是离球心fa 2处，电量为qf a q -='的镜像电荷。

另一个镜像电荷q "位于球心，其电量取决于导体球的电位。

已知导体球的电位为ϕ，而镜像电荷及球外点电荷对于球面边界的电位没有贡献，因此，球心镜像电荷q "的电量应满足aq 04πεϕ''=即ϕπεa q 04=''② 当导体球携带的电荷为Q 时，在离球心fa 2处的镜像电荷仍然为q f a q -='，而球心处的镜像电荷q faQ q +=''，以保持电荷守恒，即Q q q =''+'。

4-2设同轴线内导体半径为a ，外导体的内半径为b ，填充媒质的电导率为σ。

根据恒定电流场方程，计算单位长度内同轴线的漏电导。

解 设0;,====ϕϕ时，时b r V a r 。

建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为0d d d d 12=⎪⎭⎫⎝⎛=∇r r r r ϕϕ 求得同轴线中的电位ϕ及电场强度E 分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a b r V ln ln ϕr e E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∇=b a Vrln 1ϕ 则r e E J ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==b a Vr ln 1σσ单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=⎰b a VI s ln 2d πσs J 那么，单位长度内同轴线的漏电导为⎪⎭⎫⎝⎛===b a V I R G ln 21πσ()m S 4-3设双导线的半径a ，轴线间距为D ，导线之间的媒质电导率为σ，根据电流场方程，计算单位长度内双导线之间的漏电导。

解 设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+ρ和-ρ，利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任一点的电场强度大小为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=r D r E 112περ 那么，两导线之间的电位差为 aa D V ad a-=⋅=⎰-ln d περr E 单位长度内两导线之间的电流大小为 ()a D D I s s-=⋅=⋅=⎰⎰ερσσs E s J d d则单位长度内两导线之间的漏电导为 ()⎪⎭⎫⎝⎛--===a a D a D DVI R G ln 1πσ ()m S若a D >>则单位长度内双导线之间的漏电导为⎪⎭⎫ ⎝⎛=a D G ln πσ()m S4-5已知环形导体块尺寸如习题图4-5所示。

试求a r =与b r =两个表面之间的电阻。

解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为0d d d d 12=⎪⎭⎫⎝⎛=∇r r r r ϕϕ 该方程的解为 ()21ln C r C r +=ϕ令()(),0 ,0==b V a ϕϕ求得常数a b V C ln 01-=。

那么，电场强度为()r e r E ab r V r ln d d 0=-=ϕ电流密度为 r e E J ab r V lnσσ==电流强度为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=⎰⎰⎰a b V d z a a b a V I d ln 2d d ln d 0200σπφσπS J由此求得两个表面之间的电阻为σπd a b I V R ⎪⎭⎫ ⎝⎛==ln 20X5-5已知无限长导体圆柱的半径为a ，其内部存在的圆柱空腔半径为b ，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c ，如习题图5-5（a ）所示。

若导体中均匀分布的电流密度为0J z e J =，试求空腔中的磁感应强度。

解 柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而形成的。

那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。

已知半径为a ，电流密度为0J 的载流圆柱在柱内半径r 处产生的磁场强度H 1为 021d J r lπ⎰=⋅l H 求得201r J H =φ，或写为矢量形式 21rJ H ⨯= 对应的磁感应强度为 201r J B ⨯=μ同理可得半径为b ，电流密度为J -的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为 22r J H '⨯-= 对应的磁感应强度为 202r J B '⨯-=μ上式中r r ',的方向及位置如习题图5-5（b ）示。

因此，空腔内总的磁感应强度为21B B B +=()r r J'-⨯=20μ200cJ x z e e ⨯=μ200c J y μe =5-7若在a y -=处放置一根无限长线电流I z e ，在y = a 处放置另一根无限长线电流I x e ，如习题图5-7所示。

试求坐标原点处的磁感应强度。

解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于a y -=处的习题图5-5(a ) 习题图5-5(b )YZ -aaIIX无限长线电流I z e 在原点产生的磁场为aI xπ21e H -=位于a y =处的无限长线电流I x e 产生的磁场为aI zπ22e H -=因此，坐标原点处总磁感应强度为()210H H B +=μ()x z aIe e +-=πμ20 5-9已知电流环半径为a ，电流为I ，电流环位于z = 0 平面，如习题图5-9所示。

试求),0,0(h P 处的磁感应强度。

解 由毕奥—沙伐定律得⎰⨯=l r r I 24d πe l H因为l d 处处与r e 正交，则φd d a r =⨯e l即⎰⎰=⨯=224d 4d r Ia rI H r πφπe l 由对称性可知，P 点磁场强度只有z H 分量，所以()⎰+=ππφ20232224d ha Ia H z ()232222ha Ia +=因此，()h P ,0,0处的磁感应强度为()23222002ha Ia z+==μμe H B6-7若无限长直导线与半径为a 的圆环导线平行放置， 电流方向如习题图6-7所示。