2014高三理科数学寒假作业2-圆锥曲线
专题09 圆锥曲线-三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析(原卷版)
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第九章 圆锥曲线一、选择题1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）(2. 【2014高考广东卷.理.4】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的( ) A .离心率相等 B .虚半轴长相等 C .实半轴长相等 D .焦距相等3. 【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A ）3 （B ）23（C ）2 （D ）1 4. 【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 5. 【2014山东.理10】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（ ） A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x6. 【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）27. 【2014新课标，理10】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 948. 【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<19. 【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)810. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D 11. 【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于 点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）3412. 【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(A)3(B) (C)6 （D ）13. 【2014四川，理10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．8D 14. 【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，15. 【2014课标Ⅰ，理4】已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A. 3B. 3C. m 3D. m 316. 【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -17. 【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（ （B ）（（C ）（3-，3） （D ）（3-，3） 18. 【2014课标Ⅰ，理10】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若4=，则=QF （ ） A.27 B. 3 C. 25D. 2 19. 【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++D. 2211BF AF ++ 20. 【2014高考重庆理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3 21. 【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、((0,2)D 、(,(2,)-∞+∞22. 【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等24. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）25. 【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >26. 【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF等于（ ） A ．11 B ．9 C ．5 D ．327. 【2014辽宁理10】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43二、填空题1. 【2014高考北京理第11题】设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .2.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．3. 【 2014湖南15】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.4. 【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲ .5. 【2016高考天津理数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的值为_________.6. 【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.7. 【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
2014高考题---圆锥曲线(含答案)
高考数学试题汇编---圆锥曲线1. 【2014高考安徽卷文第3题】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A. 1-=yB. 2-=yC. 1-=xD. 2-=x2. 【2014高考全国1卷文第4题】已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （ ） A. 2 B.26 C. 25D. 1 3. 【2014高考大纲卷文第9题】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ） A.22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y+= 4. 【2014高考大纲卷文第11题】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（ ）A. 2B. 22C.4D.425. 【2014高考天津卷卷文第6题】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A .120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 6. 【2014高考广东卷文第8题】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ）A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等7. 【2014高考江西卷文第9题】过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 8. 【2014高考辽宁卷文第8题】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9. 【2014高考全国2卷文第10题】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A ）303（B ）6 （C ）12 （D ）73 10. 【2014高考湖北卷文第8题】设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 311. 【2014高考重庆卷文第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )2 B.15 C.4 D.1712. 【2014高考四川卷文第10题】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．1728D ．101.【2014高考陕西卷文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.2. 【2014高考四川卷文第11题】双曲线2214x y -=的离心率等于____________. 3. 【2014高考上海卷文第4题】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 【2014高考北京卷文第10题】设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点为()1,0，则C 的方程为 .5. 【2014高考浙江卷文第17题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .6. 【2014高考江西卷文第14题】设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.7. 【2014高考辽宁卷文第15题】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .8. 【2014高考湖南卷文第14题】平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = (1) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； (2) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.31. 【2014高考江西文第20题】，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y=相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求CMN ∆面积的最大值.35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.38. 【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.40. 【2014高考重庆文第21题】如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.答案与解析：一、选择题：1-5：ADACA 6-10：DACCA 11-12：DB 二、填空题：1、1-=x2、25 3、2-=x 4、122=-y x 5、25 6、337、12 8、()()∞+⋃∞，，11-- 三、解答题：23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = (3) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ；(4) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率. 【答案】（1）5；（2）22. 【解析】试题分析：（1）由题意11||3||,||4AF F B AB ==可以求得11||3,||1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,||||28a AF AF a =+==.故21||2||835AF a AF =-=-=.（2）设出1||F B k =，则0k>且1||3,||4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的PBA M Fyx关系()(3)a k a k +-=，从而3a k =，212||3||,||5AF k AF BF k ===，则2222||||||BF F A AB =+，24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （2） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（2）求曲线Γ的方程；（3）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定||6AB =.试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则22|(3)|(0)(1)2y x y --=-+-=，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-， 所以22(0)(1)1x y y -+-=+， 化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围. 【答案】（1）⎩⎨⎧<≥=)0(,)0(42x o x x y ；（2）当),21()1,(+∞--∞∈ k 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点； 当)0,21[}21,1{--∈ k 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点；当)21,0()211( -∈k 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点)1,41(.当0≠k 时，方程①的判别式为)12(162-+-=∆k k ②设直线l 与x 轴的交点为)0,(0x ，则由)2(1+=-x k y ，令0=y ，得kk x 120+=③ （i ）若⎩⎨⎧<<∆000x ，由②③解得1-<k 或21>k .即当),21()1,(+∞--∞∈ k 时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点. （ii ）若⎩⎨⎧<=∆000x 或⎩⎨⎧≥>∆000x ，由②③解得}21,1{-∈k 或021<≤-k ，29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.【考点定位】椭圆双曲线向量向量内积30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.由1F C AB ⊥得323()13b b a c c c ⋅-=-+，即42243b a c c =+，∴222224()3a c a c c -=+，化简得55c e a ==． 【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系． 31. 【2014高考江西文第20题】，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.（2）证明：动点D 在定直线上；（3）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP【答案】（Ⅰ）(2,2)；（Ⅱ）22163x y += 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设切点P 00(x ,y )00(x 0,,y 0)>>，由圆的切线的性质，根据半径OP 的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为004x x y y +=，建立目标函数000014482S x y x y =⋅⋅=．故要求面积最小值，26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=． 【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）7,27a b == 【解析】34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求CMN ∆面积的最大值.由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mkx x k +=-+，因此121222()214my y k x x m k+=++=+， 由题意知，12x x ≠所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （2）求椭圆的方程；（3）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.试题解析：（1）由题意可得312222bcaa b c⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,3,1a b c===∴直线l 的方程为1323y x =-+或1323y x =--考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 其判别式22168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩，解得1m =±. 此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积. 38.【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =； （1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）)32,322(-M 或)32,322(M ；（2）1355256. 【解析】PBA M Fyx40. 【2014高考重庆文第21题】如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.由（Ⅰ）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y20. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =； （1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.21.【2013浙江文22】已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l ：y=x-2于M 、N 两点，求|MN|的最小值.PBA M Fyx。
2014届高考数学(理科)专题教学案：圆锥曲线的综合问题(含答案)
常考问题13 圆锥曲线的综合问题[真题感悟](2013·山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，由题意知2b2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图，由题意知|F 1M ||MF 2|＝|PF 1||PF 2|，即|PF 1|4－|PF 1|＝c ＋m c －m ＝3＋m 3－m ，整理得m ＝32(|PF 1|－2)． 又a －c <|PF 1|<a ＋c ，即2－3<|PF 1|<2＋ 3. ∴－32<m <32.故m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.法二 由题意知PF 1→·PM→|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM→|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM→|PF 2→|.设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0. 所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k x －x 0，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.所以Δ＝0.即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0.故k ＝－x 04y 0，由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0.所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0y 0＝－8.所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[考题分析] 题型 解答题难度 中档 有关椭圆、双曲线等知识的综合考查．高档 有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.1．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 2．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 3．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 4．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.热点一 圆锥曲线的弦长问题【例1】 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40 3，求a ，b 的值．解 (1)设椭圆的半焦距为c .由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，所以b ＝3c ，b 2＝3c 2，a 2＝4c 2，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一 因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 所以直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－3 35c .所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1||AB | sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°， 可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403，知a ＝10，b ＝5 3.[规律方法] 在解析几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用(本例中可设|AB |＝t )．【训练1】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，A F →＝2F B →.(1) 求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2c －2a 3a 2＋b2. 因为A F →＝2F B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2c －2a 3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a＝23. (2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23，得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 热点二 定点、定值问题【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． (1)解 由题意知b ＝22＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 32＝1.(2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② 法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20， 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋43y 0－4282y 0－32＝8－4y 20＋43y 0－4282y 0－32＝32y 20－96y 0＋7282y 0－32＝82y 0－3282y 0－32＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 法二 设T (x ，y )联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3，因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋3y －422＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．[规律方法] (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【训练2】 (2013·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． (1)解 因为焦距为1，且焦点在x 轴上，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c.直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)，①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限． 解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2. 即点P 在定直线x ＋y ＝1上． 热点三 最值、范围问题【例3】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ABCD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 1－y 2x 1－x 2＝－1，由此可得b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12.所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.所以a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.所以可得|AB |＝463；由题意可设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 所以设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，解得x 1＝－2m ＋18－2m23，x 2＝－2m －18－2m 23，则|CD |＝2|x 1－x 2|＝439－m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3， 所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.[规律方法] 求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．【训练3】 已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A的坐标为(2,0)．(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；(2)若m＝3，求PA的最大值与最小值；(3)若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围．解 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3， ∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则 PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3) ∴当x ＝94时，PA min ＝22；当x ＝－3时，PA max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m 2 ＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )． ∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1m2＞0， ∴2m 2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2.备课札记：希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
2014年高考数学真题解析之圆锥真题(理科)
2014高考圆锥曲线真题汇总（理科）1．（满分14分）如图在平面直角坐标系x o y 中，12,F F 分别是椭圆顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.2．已知点A ()02-，,椭圆F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。
当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.3．已知椭圆C （0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii T 的坐标. 4．（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.5．如图，曲线C 由上半椭部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为（1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程. 6．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 7．（本小题满分13分）如图，已知双曲线()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥的右焦点1a ,点2a 分别在1b 的两条渐近线上，1b 轴，2112,a a b b ξη=-=-∥3n =(ξ为坐标原点）.（1）求双曲线ξ的方程；（2）过η上一点()p c 的直线与直线()p c 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，. 8（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 9．（本小题满分13分）的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.10的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，，12DF F ∆的面积为 （1）求该椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..11动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（１）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（２）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.12．（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已1232F F （1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线13．设1F ,2F 分别是椭圆M 是C 上一点且2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MNC 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2a,b.14．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.15．如图,O 为坐标原点,的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.16．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C .（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.17．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C的交点为Q （1）求C 的方程； （2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 18．已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.19．如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点. （1）证明：;//2211B A B A（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点.记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ,.参考答案1．（1（2【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,a b c的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,a b c 的方程，另外（2）要求离心率，就是要列出关于,,a b c 的一个等式，题设条件是1FC AB ⊥，即11F C AB k k ⋅=-，求1F C k ，必须求得C 的坐标，由已知写出2BF 方程，与椭圆方程联立可解得A 点坐标11(,)x y ，则11(,)C x y -，由此1F C k 可得，代入11F C A Bk k⋅=-可得关于,,a b c 的等式，再由可得e 的方程，可求得e . 试题解析：（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b，，解得1b =．∴椭圆方程为 （2）直线2BF 方程为联立方程组，解得A 点坐标为，则C 点坐标为又，由1F C A B ⊥得，即4223b a c c =+，∴22222()3a c a c c -=+，化简得【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系．2．（I （II 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（I ）由直线AF 求得2a =，再利用222b a c =-求b ，进而可确定椭圆E 的方程；（II ）依题意直线l 的斜率存在，故可设直线l 方程为2y kx =-，和椭圆方程联立得22(14k )x 16120kx +-+=．利用弦长公式表示利用点到直线l 的距离求OPQ ∆的高从而三角形OPQ ∆的面积可表示为关于变量k 的函数解析式()f k ，再求函数最大值及相应的k 值，故直线l 的方程确定．试题解析：（I ）设右焦点(c,0)F ，由条件知，，所以2a =，222b ac =-1=．故椭圆E 的方程为（II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设直线:l 2y kx =-，1122(x ,y ),Q(x ,y )P ．将2y kx =-得22(14k )x 16120kx +-+=．当216(4k 3)0∆=->，即又点O 到直线PQ 的距离d =所以OPQ ∆的面积则0t >，，当且仅当2t =时，0∆>．所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为 【考点定位】1、椭圆的标准方程及简单几何性质；2、弦长公式；3、函数的最值．3．（2）(3,0)T - 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析）【解析】试题分析：（1）因为焦距为4，所以2c =，由此可求出,a b 的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=.（ⅰ）设PQ 的中点为00(,)M x y ，求出,OM OT k k ，只要O M O T k k=，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用m 表示出PQ ，TF 可得：再根据取等号的条件，可得T 的坐标.试题解答：（1）2c =，又（2）椭圆方程化为2236x y +=.（ⅰ）设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 设PQ 的中点为00(,)M x y ，则又TF 的方程为0(2)y m x -=-+，则3x =-得y m =，OT 过PQ 的中点，即OT 平分线段PQ.当1m =±时取等号，此时T 的坐标为(3,1)T -±.【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4．(1)证明见解析；（2（3）证明见解析. 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析） 【解析】试题分析：本题属于新定义问题，（1）我们只要利用题设定义求出η的值，若0η<，则结论就可得证；（2）直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，首先直线与曲线无交点，即直线方程与曲线方程联立方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩，方程组应无实解，方程组变形为22(14)10k x --=，此方程就无实解，注意分类讨论，按二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线y kx =的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹E 的设其方程为y kx =，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数22()(1)44F x k x kx =+-+与的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断．()y F x =是开口方向向上的二次函数，()y G x =是幂函数，其图象一定有交点，因此直线y kx =不是E 的分隔线，过原点的直线还有一条就是0x =，它显然与曲线E 无交点，又曲线E 上两点(1,2),(1,2)-一定在直线0x =两侧，故它是分隔线，结论得证．试题解析：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔. （2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴ 又对任意点(1,0)和(1,0)-在曲线2221x y -=上，满足20k η=-<，被直线y kx =分隔，所以所求k 的范围是（3）由题得，设(,)M x y ，∴ 化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅= ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =. 联立方程，2222432[(2)]1(1)4410x y x k x kx x y kx⎧+-⋅=⇒+-+-=⎨=⎩.令2432()(1)441F x k x kx x =+-+-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0F F k =-⋅-+<， 所以方程()0F x =有实解，直线y kx =与曲线E 有交点．直线y kx =不是曲线E 的分隔线． ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.显然0x =与曲线222[(2)]1x y x +-⋅=没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线0x =是E 分隔线．综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线. 【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.5．（1）2a =，1b =；【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷带解析） 【解析】试题分析：（1）由上半椭圆和部分抛物22:1(0)C y x y =-+≤公共点为,A B ，得1b =，设2C 的半焦距为c ，由2221a c b -==，解得2a =；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为，(1,0)B ，易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，故可设其方程为(1)(0)y k x k =-≠，并代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-=，，又(1,0)B ，得得点P 的坐标同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----，最后由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ,故直线l试题解析：（1）在1C 方程中，令0y =，得(,0),(,0)A b B b - 在2C 方程中，令0y =，得(1,0),(1,0)A B - 所以1b =设2C 的半焦距为c ，由及2221a c b -==，解得2a = 所以2a =，1b =（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为，(1,0)B 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= （*）设点P 的坐标(,)P P x y又(1,0)B ，得所以点P 的坐标为同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- ，(1,2)AQ k k =-+u u u rAP AQ ⊥Q0AP AQ ∴⋅=u u u r u u u r ,0k ≠Q ，4(2)0k k ∴-+=，解得故直线l 的方程为考点：椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题.6．（I ）24y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16. 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析） 【解析】试题分析：（I 解得3t p =+或3t =-（舍去）.得2p =.抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，可得02D x x =+，即0(2,0)D x +，直线AB 根据直线1l和直线AB 平行，可设直线1l 的方程为直线AE 恒过点(1,0)F .注意当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，得到结论：直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 设直线AE 的方程为+1x my =，根据点00(,)A x y 在直线AE 上， ，再设11(,)B x y ，直线AB应用点B 到直线AE从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值. 试题解析：（I设(,0)(0)D t t >，则FD因为||||FA FD =， 解得3t p =+或3t =-（舍去）. ，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>， 因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为设(,)E E E x y ，则当204y ≠时， 可得直线AE由2004y x =，直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ，设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上，设11(,)B x y ，直线AB由于00y≠，所以点B到直线AE的距离为则ABE∆的面积即01x=时等号成立.所以ABE∆的面积的最小值为16.考点：抛物线的定义及其几何性质，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用.7．（12【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷带解析）【解析】试题分析：（1）求双曲线ξ的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：1b轴，2112,a a b b ξη=-=-∥3n =，即可得：直线OBOAAB ⊥OB ，解得23a =，故双曲线C2）本题证.分别用坐标表示直线l 与AF及直线l 与直线的交点为)，并利用化简.： 试题解析：（1）设(,0)F c ，因为1b =，所以直线OB又直线OA又因为AB ⊥OB ，解得23a =，故双曲线C （2）由（1，则直线l 的方程为因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF直线l 与直线因为是C考点：双曲线方程，直线的交点8．（1（2）220013x y +=.【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）【解析】 试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. 试题解析：（1解得2b =，因此椭圆C 的标准方程为（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 化简得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k k x y y --+-=的两根，则化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题. 9．存在【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷带解析） 【解析】试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==,(2)首先分类讨论直线l 的位置..再讨论直线l 不垂直于x 轴,由OAB ∆的面积恒为8,由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线l 有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.所以从而双曲线E (2)由(1)知,双曲线E设直线l 与x 轴相交于点C.当l x ⊥轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,又因为OAB ∆的面积为8,此时双曲线E 的方程为 若存在满足条件的双曲线E,则E 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E.设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k>2或k<-2.记1122(,),(,)Ax y Bx y .由2y x y kx m=⎧⎨=+⎩,得,同理得.由得,由得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<,所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,又因为224(4)m k =-.所以∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E,且E考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.10．（1（2【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析）【解析】试题分析：（1）由题设知()()12,0,,0F c F c -其中222c ab =- 结合条件12DF F ∆的面积为，可求c 的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得,a b 的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点为()()111222,,,P x y P x y 由圆的对称性可知1212,x x y y =-=，利用()()111222,,,P x y P x y 在圆上及11220PF P F ⋅=u u u u r u u u u r确定交点的坐标，进而得到圆的方程.解：（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，故1c =.，由112DF F F ⊥得（2）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--u u u u r u u u u r ，再由11F P ⊥22F P得()221110x y -++=，即211340x x +=，10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C . 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C 的半考点：1、圆的标准方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量的数量积的应用.11．（1）点P 的坐标为（2）详见解析． 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷带解析） 【解析】试题分析：（1）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标，由已知椭圆动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，可设出直线l 的方程为()0y kx m k =+<，结合椭圆方程，得，消去y 得，()22222222220ba kxa kmx a m ab +++-=，令0∆=，得22220b m a k -+=，即2222b a k m +=，代入原式得点P 的坐标为，再由点P 在第一象，可得点P 的坐标为（2）点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -，由直线1l 过原点O 且与l 垂直，得直线1l 的方程为0x ky +=，利用点到直线距离公式可得，即，由式子特点，需消去k 即可，注意到即可证明．（1）设直线l 的方程为()0y k x m k =+<，由，消去y 得，()22222222220ba kxa kmx a m ab +++-=，由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为，由点P 在第一象限，故点P 的坐标为 （2）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l 的距离，整理得，因为时等号成立，所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.点评：本题主要考查椭圆的几何性质，点单直线距离，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何得基本思想方法，基本不等式应用等综合解题能力。
2014全国各地数学高考试题圆锥曲线、数列、导数专项训练答案
考点14 圆锥曲线及其标准方程【4】（A ，新课标Ⅰ，理10）、C 解析：如图所示,过点Q 作QM l ⊥ 于M ，则||||QM QF =， ∵4FP FQ = ∴||3||4PQ PF = 由相似三角形的性质，可知||||||4PQ QM PF =，∴||||3QF QM ==. 【5】（A ，广东，文8）、D 解析：05k <<，∴50k ->，160k ->，从而两曲线都为双曲线，又16(5)(16)5k k +-=-+，故两双曲线的焦距相等.【6】（A ，广东，理4）、D 解析：09k <<，∴90k ->，250k ->，故两曲线都为双曲线，又25(9)(9)k k +-=-+，故两双曲线的焦距相等.【9】（B ，全国大纲，文9理6）、A解析：1AF B ∆的周长为11||||||AF AB F B ++1221||||||||AF AF F B F B =+++ 1221(||||)(||||)AF AF F B F B =+++ 224433a a a a =+==⇒=.而离心率33331333c e c a a ==⇒=⨯=⨯=， 所以222312b a c =-=-=， 从而所求椭圆的方程为22132x y +=. 【10】（B ，全国大纲，理9）、A解析：根据双曲线定义可得12||||2F A F A a -=，又因为12||2||F A F A =，所以21||2,||4AF a AF a ==，而离心率22ce c a a==⇒=，所以12||4F F a =，在12AF F ∆中，由余弦定理得222212121212||||||cos 2||||AF F F AF AF F AF F F +-∠=2224161612244a a a a a +-==⨯⨯.【11】（B ，全国大纲，文11）、C解析：设双曲线右焦点坐标为(,0)c ，由双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=得：223bc a b =+，结合222a b c +=和2ca=得：2c =，所以24c =. 【12】（B ，天津，文6理5）、AQ (2,0)Px y F O M第4题图解析：∵渐近线斜率为2，∴2=b a，∵焦点为（-5，0），∴5c =，∵222+=a b c ，∴225,20==a b .【13】（B ，重庆，文8）、D解析：由题意223,12|PF |-|PF b ab =-（|）得,3422ab b a -=得b a =4，4=ab， 所以1722222=+===ab a ac a c e . 【14】（B ，重庆，理8）、B解析：设P 在右支上，12||||2PF PF a -=，因12129||||3,||.||,4PF PF b PF PF ab +==所以 212(||||)PF PF -=212(||||)PF PF +-124PF PF ⋅，即ab b a 99422-=，由222c b a =+得35=a c . 【16】（B ，山东，理10）、A 解析：由已知得2231()1()2b b aa-⋅+=， 所以12b a =，双曲线的渐近线方程为12y x =±， 即20x y ±=.【17】(B ，辽宁，理10)、D 解析：∵点()2,3A -在抛物线2:2C y px =的准线上，∴2,42pp -=-=，∴()2,0F ，设过A 的切线的斜率为k ，则切线方程为()32y k x -=+.解方程组()2328y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩， 得23208y k y k ⋅-++=. ∵方程组只有一组解，∴方程有一个解()()2142308kk ∆=--⨯+=， ∴()2230k k -+=，∴22320k k +-=，∴12k =，或2k =-(负值舍去). AB O Fyx第17题图∴214028y y ⋅-+=，∴216640y y -+=， ∴()8,8B ，∴804823k -==-. 【18】（C ，湖北，理9）、A解析：设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=， 所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为6021=∠PF F ，由余弦定理得))(()()(41121212a a a a a a a a c -+--++=，所以212234a a c +=，即221134e e +=， 由柯西不等式知：111433e e +≤. 【19】（C ，福建，理9）、D解析：圆22(6)2x y +-=的圆心(0,6)C ,半径2r =，设 00(,)Q x y ，则2200110x y +=， 22220000(6)1010(6)CQ x y y y =+-=-+- 2029()503y =-++，当023y =-时，CQ 取得最大值52，所以PQ 的最大值是5262r +=.【20】（A ，北京，文10）、221x y -=解析：由题意知双曲线焦点在x 轴上，2=c ，据顶点坐标知1a =.由221c a +=求得1b =，则双曲线C 的方程为221x y -=.【21】（A ，北京，理11）、22-=1312x y ；2y x =±． 解析：双曲线1422=-x y 的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为x y 2±=.设C ：mx y =-224并将点()2,2代入C 的方程，解得3-=m 故C 的方程为3422-=-x y ，即112322=-yx ．【22】（A ，上海，文4理3）、2x =-解析：因椭圆 22195x y +=的2c =，所以22p=，所以抛物线的准线方程为2x =-. 【23】（A ，四川，文11）、52解析：由题意，1,2==b a ，所以5=c所以，25==a c e . 【24】（A ，陕西，文11）、1-=x解析：由抛物线准线定义知，准线方程为：1-=x .【25】（B ，江西，文14）、33解析：设点O 为坐标原点，在12Rt F F B ∆中，O 为12F F 的中点，2BF x ⊥轴，OD x ⊥轴，所以点D 为1F B 的中点，又1AD F B ⊥，所以1AF AB =，由椭圆对称性知122AF AB AF ==，通径22b AB a =，所以21232b AF AF a a +==，易得33e =. 【26】（B ，安徽，理14）、12322=+y x解析：由题意，22b AF =，)3,35(2b c B --代入椭圆方程中得：32,3122==b c ，所以:E 12322=+y x .【27】(B ，辽宁，文15理15)、12解析：设线段MN 的中点为P ，连结12,PF PF .∵M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ， ∴1222412AN BN F P F P a +=+==.OxyBANF 1F 2MPE FG xyAB CD O第27题图 第28题图【28】（B ，湖南，理15）、2+1解析：如图，因为原点O 为AD 的中点，抛物线()2:20M y px p =>经过点C ，所以点D为抛物线M 的焦点、直线AB 为抛物线M 的准线.又因为点F 在抛物线M 上，所以DF a b =+，即2b a b =+，解得21ba=+. 【29】（C ，山东，文15）、y x =±解析：由题意知2224p a c +=，所以2p b =，所以 由点(,)c b -在双曲线上可得222c a =，即a b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±.【30】（B ，重庆，理21）解析：（I ）设).0,(),0,(21c F c F -其中222b ac -=由22121=DF F F 得.2222211c F F DF ==从而.222221221121==⋅=∆c F F DF S F DF 故1=c 从而.221=DF 由211F F DF ⊥得292212122=+=F F DF DF 因此.2232=DF 所以22221=+=DF DF a ，故2=a ，.1222=-=c ab 因此，所求椭圆的标准方程为.1222=+y x （II ）如下页图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆222x y +1=相交，111(,)P x y ，222(,)P x y 是两个交点，10y >,20y >.2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥.由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，121||2||PP x =. 由（I ）知).0,1(),0,1(21F F -所以1111(1,)FP x y =+， 2211(1,)F P x y =--. 再由2211P F P F ⊥得0)1(2121=++-y x .由椭圆方程,122121=+y x 知1)1(22121=++x x ， 即043121=+x x 解得 143x =-或10x =.当01=x 时，21,P P 重合，此时题设要求的圆不存在.当341-=x 时，过21,P P 分别与2211,P F P F 垂直的直线的交点即为圆心C . 由2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥，21CP CP ⊥，又.21CP CP =故圆C 的半径.2342221211===x P P CP 【31】（C ，重庆，文21）解析：（I ）设12(,0),(,0)F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得1212222F F DF c ==从而，c F F DF S F ΔDF 222221221121===1c = 从而22DF 1=，112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，所以2322DF = yxP 1P 2DF 1F 2OC第30(II)、31(II)题图所以12222a DF DF =+=，故2a =，2b =221a c -=.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=.（II ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，111222(,),(,)P x y P x y 是两个交点，01>y ，02>y ，1122,F P F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥.由圆和椭圆的对称性易知2112,x x y y =-=由（I ）知12(1,0),(1,0)F F -. 所以11112211(1,),(1,)F P x y F P x y =+=-- 再由1122F P F P ⊥得2211(1)0x y -++=.由椭圆方程得2121)1(21+=-x x ，即043121=+x x ，解得341-=x ，或01=x . 当10x =时，12,P P 重合，题设要求的圆不存在.当143x =-时，过12,P P 分别与1122,F P F P 垂直的直线的交点即为圆心C .由2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥，21CP CP ⊥，又.21CP CP =故圆C 的半径.2342221211===x P P CP 设0(0,)C y ,由111CP F P ⊥,得10111 1.1y y y x x -⋅=-+ 而11113y x =+=，故05.3y =综上，存在满足题设条件的圆，其方程为22532()39x y +-=. 考点15 直线与圆锥曲线【1】（B ，新课标II ，文10）、C解析：法1 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线方程得3(,0)4F ，依题设直线AB 方程为33()34y x =-，由方程组233()343y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消y 得2219216x x -+0=， ∴21AB k a =+V 144191344=+-12=.法2 易得抛物线23y x =的焦点()3,04F ，从而直线AB 的方程为：33()34y x =-. 由233()343x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩消y 得21616890x x -+=，所以12212x x +=，12||=3122x x AB ++=.【2】（B ，新课标II ，理10）、D解析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线方程得3(,0)4F ，依题意设直线AB 方程为33()34y x =-，由方程组233()343y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消x 得293304y y --=，∴1233y y +=，1294y y =-， ∴12y y -21212()46y y y y =+-=，012113962244A B S OF y y ∆∴=⨯⨯-=⨯⨯=.【3】（B ，湖北，文8）、A 解析：由于b a ,是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，所以sin cos a b θθ+=-，0ab =过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点 的直线为222()b a y a x a b a--=--， 即y =(b+a)x -ab ，即sin cos y x θθ=-，因为双曲线22221cos sin x y θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-，所以过),(2a a A ),(2b b B ，两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为0．【4】（C ，四川，文10理10）、B解析：由题意)0,41(F ，设),(),,(222121y y B y y A ，由2=⋅OB OA ，知2212221=+y y y y ，所以221-=y y 或1，又点B A ,在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以221-=y y .而AFO ∆的面积⨯=211S ||81||4111y y =⨯，设直线AB 与x 轴的交点为C ，直线AB 的方程为)(212122121y x y y y y y y ---=-，令0=y ，知21y y x -=，即2||=OC ，所以ABO ∆的面积|2|||22111122y y y y S +=-⨯⨯=，故=+21S S |2|||89||81|2|11111y y y y y +=++3≥，当且仅当|2|||8911y y =，即34||1=y 时等号成立.【5】（B ，江西，理15）、22解析：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则2A B x x +=，2A B y y +=，将,A B 两点代入椭圆方程得222222221(1)1(2)A AB B x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由(1)(2)-得 22()()()()0A B A B A B A B x x x x y y y y a b +-+-+=则22221()02a b +⋅-=，即222222()a b a c ==-，可得离心率22e =. 【6】（B ，浙江，文17理16）、52解析：不妨设A 点为直线30x y m -+=与渐近线b y x a =的交点，联立30x y m by x a -+=⎧⎪⎨=⎪⎩可得：33am x b abm y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即A 点的坐标为,33am bm A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，同理可得,33am bm B b a b a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.令AB 中点为C ，则()()()()223,3333ma mb C b a b a b a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭.由PA PB =，所以PC AB ⊥，即1PC AB k k ⋅=-.因为13AB k =，所以3PC k =-.因为点(),0P m ，所以()()()()()2222223333=3933mb b a b a b ma a b a m b a b a +-=----+- 所以，222554542c a e e =⇒=⇒=. 【7】（B ，湖南，文14）、()1(1)-∞-+∞，，解析：机器人的运动轨迹方程为24y x =，设过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =+，代入24y x =，整理得2222(24)0k x k x k +-+=，所以22222(24)416160k k k k ∆=--⨯⨯=-+<，解得：()1(1)k ∈-∞-+∞，，.【8】（B ，新课标I ，理20）解析：（I ）设(,0)F c ，∵2233c =∴3c = 又∵32c a =∴2a =∴2222(3)1b =-=故E 的方程为2214x y +=. （II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设:2l y kx =-，()11,P x y ，22(,)Q x y ，由22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得 22(14)16120k x kx +-+=. ∵直线l 与E 交于P 、Q 两点∴()222=(16)412(14)16430k k k ∆--⋅⋅+=->即234k >∴222224143=11441k k PQ k k k ∆+⋅-+=++ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+.∴OPQ ∆的面积221443241OPQk S d PQ k ∆-=⋅=+ 设243(0)k t t -=>，则2243k t =+∴244414424OPQ t S t t t ∆==≤=++ 当且仅当2t =即72k =±时等号成立所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为722y x =-或722y x =--. 【9】（B ，新课标II ，文20理20）解析：(I)根据22c a b =-及题设知2(,)b M c a，223b ac =，将222b ac =-代入223b ac =，解得12c a =，2c a =-（舍去）.故C 的离心率是12.(II)由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =……①，由 15MN F N =得112DF F N =.设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112(),22,c x c y --=⎧⎨-=⎩即113,21,x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程，得2229114c a b +=. ②将①及22c a b =-代入②得229(4)1144a a a a-+=，解得7a =，2428b a ==故，7a =，27b =. 【10】（B ，湖北，文22理21）解析：（I ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+，即22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（II ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<. 依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+ 由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =.故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①216(21)k k ∆=-+- ②，设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，得kk x 120+-=. ③ （i ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1-<k ，或21>k .即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l与轨迹C 恰好有一个公共点.（ii ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（iii ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（I ）（II ）可知，当(,1)k ∈-∞-1(,)2+∞ {0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.【11】（B ，江西，文20） 解析：（I ）设直线AB 方程为2y kx =+，代入24x y =，得24(2)x kx =+，即2480x kx --=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：128x x =-，直线AO的方程为11yy x x =；BD 的方程为2x x =.解得交点D 的坐标为2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.由于128x x =-，2114x y =，则有121122112y x y x x y x x ===-， 因此动点D 在定直线2y =-上（0x ≠）.（II ）依题意知切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为(0)y ax b a =+≠，代入24x y =得24()x ax b =+，即2440x ax b --=，由2(4)160a a ∆=+=，化简整理得2b a =-，故切线l 的方程可写为2y ax a =-.分别令2 2y y ==-、得 1222(,2), (,2) N a N a a a+-+-，则222222122()4()8MN MN a a a a-=-+-+=，即2221MN MN -为定值8.【12】（B ，江苏，文理17） 解析：（I ）22==a BF ，又⎪⎭⎫ ⎝⎛3134，C ，∴131234222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b ，解得1=b .所以椭圆方程为1222=+y x ； （II ）直线2BF 方程为1=+byc x ，与椭圆方程12222=+b y a x 联立方程组，解得A 的坐标为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+223222,2c a b c a c a ， 则C 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++223222,2c a b c a c a .∴13233F C b k a c c=+，又c bk AB -=， 由AB C F ⊥1得32313b b a c c c ⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭即42243b a c c =+，∴()4222223c c a c a +=-，化简得55==a c e . 【13】（B ，安徽，理19）解析：（I ）设直线21,l l 的方程分别为)0,(,2121≠==k k x k y x k y ，则由,1x k y =x p y 122=联立得).2,2(112111k p k p A 由,1x k y =x p y 222=联立得).2,2(122122k p k p A 同理可得),2,2(212211k p k p B ).2,2(222222k p k p B 所以)22,22(112121122111k p k p k p k p B A --= ),11,11(21221221k k k k p --= )22,22(122221222222k pk p k p k p B A --=),11,11(21221222k k k k p --=故,222111B A p pB A =所以，.//2211B A B A（II ）由（I ）知，.//2211B A B A 同理可得 .//,//22112211A C A C C B C B所以111222~A B C A B C ∆∆因此，2221121)(B A B A S S =.又由（I ）中的 ,222111B A p p B A =知.212211p p B A B A =故.222121p p S S =【14】（B ，辽宁，文20）解析：（I ）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由于22000042x y x y +=≥，知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为()2,2.（II ）设C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>.点()()1122,,,A x y B x y .由点P 在C 上知22221a b +=，并由222213x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b ++-=， 又12,x x 是方程的根，因此12221224362x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.由11223,3y x y x =+=+，得241224824822b b AB x x b -+=-=⋅. 由点P 到直线l 的距离为32及13222PAB S AB ==△得429180b b -+=， 解得26b =或3，因此236,3b a ==(舍去)或223,6b a ==.从而所求的C 的方程为22163x y +=. 【15】（B ，辽宁，理20）解析：（I ）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>， 则切线斜率为0x y -，切线方程为 ()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=， 此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为000014482S x y x y =⋅⋅=. 由于22000042x y x y +=≥，知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此P 点的坐标为()2,2.由题意知222222213a b a b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221,2a b ==，故1C 的方程为2212y x -=. （II ）由（I ）知2C 的焦点坐标为()()3,0,3,0-，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >. 由()2,2P在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 的方程22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l 的方程为3x my =+，点()11,A x y ，()22,B x y .由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得 ()2222330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此11212223232m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②由113x my =+，223x my =+，得1222122432662x x m m x x m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩③④因为()112,2AP x y =--，()222,2BP x y =--，由题意知0AP BP ⋅=，所以()12122x x x x -+ ()1212240y y y y +-++= ⑤ 将①②③④代入⑤整理得222646110m m -+-=，解得3612m =-或612m =-+. 因此直线l 的方程为36(1)302x y ---=或 6(1)302x y ++-=.【16】（B ，陕西，文20）解析：（I ）由题设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===，，，222213c a b a c b 解得1,3,2===c b a ，∴椭圆的方程为13422=+y x . （II ）由题设，以21,F F 为直径的圆的方程为122=+y x ，圆心到直线l 的距离52m d =，由1<d 得25<m .(*)∴212d CD -= 2245525412m m -=-=.设),(11y x A ，),(22y x B ，由221,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得 0322=-+-m mx x ，由求根公式可得m x x =+21，3221-=m x x .∴[])3(4)21(1222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=m m AB24215m -=.由435=CD AB 得 145422=--mm ，解得33±=m ，满足(*).∴直线l 的方程为3321+-=x y 或3321--=x y .【17】（B ，陕西，理20）解析：（I ）在1C ，2C 的方程中，令0=y ，可得1=b ，且)0,1(-A ，)0,1(B 是上半椭圆1C 的左右顶点.设1C 的半焦距为c ，由23=a c 及1222==-b c a 得 2=a .2=∴a ，1=b .（II ）法1 由（I ）知，上半椭圆1C 的方程为)0(1422≥=+y x y .易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为)0)(1(≠-=k x k y ，代入1C 的方程，整理得042)4(2222=-+-+k x k x k （*）.设点P 的坐标为),(P P y x ， 直线l 过点B ，∴1=x 是（*）的一个根.由求根公式，得，4422+-=k k x P ，从而482+-=k k y P ，点P 的坐标为)48,44(222+-+-k kk k .同理，由2(1)(0),1(0),y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为)2,1(2k k k ----. )4,(422-+=∴k k kAP ， )2,1(+-=k k AQ .AQ AP ⊥ ∴0=⋅AQ AP ，即[]0)2(44222=+-+-k k k k ，0≠k ，0)2(4=+-∴k k ，解得38-=k .经检验，38-=k 符合题意，故直线l 的方程为)1(38--=x y .法2 设直线l 的方程为)0(1≠+=m my x ，其余同解法1.【18】（C ，全国大纲，文22理21）解析：（I ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=， 所以8PQ p =，0822p p QF x p=+=+， 由题设得85824p p p+=⨯.解得2p =-或2p =， 所以C 的方程为24y x =.（II ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠），代入24y x =得2440y my --=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-，故AB 的中点为2(21,2)D m m +.222114(1)AB m y y m =+-=+.又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入24y x =，并整理得：2244(23)0y y m m +-+=. 设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m+=-，2344(23)y y m =-+.故MN 的中点为2222(23,)E m m m++-.22432214(1)211m m MN y y m m ++=+-=， 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=，即22222224(1)(2)(2)m m m m+++++222224(1)(21)m m m++= 化简得210m -=，解得1m =或1m =-.所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=.【19】（C ，北京，文19）解析：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为12422=+y x . 所以42=a ，22=b ，从而2222=-=b a c . 因此2=a ，2=c .故椭圆C 的离心率22==a c e . （II ）法1 设点A ，B 的坐标分别为()2,t ，()00,y x ，其中00≠x . 因为OB OA ⊥，所以0=⋅OB OA 即0200=+y tx ，解得02x y t -=，又422020=+y x ，所以()()202022-+-=y t x AB=()20200022-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x =4420202020+++x y y x=4822020++x x （4020≤<x ）. 4822020≥+x x （4020≤<x ），且当420=x 时等号成立. ∴28AB ≥.故线段AB 长度的最小值为22. （II ）法2 设00(,)A x y ，00(,)B y x λλ-，则02200224x x y λ=⎧⎨+=⎩ ∴ 2024x λ=2202220y λλ-=≥ ∴ 2220021||2(1)OA x y λ=+=+∴ 22||2(1)OB λ=+∴ 2222222(1)||||||AB OA OB λλ+=+=2212(2)2(22)8λλ=++≥+=当且仅当21λ=时取等号，故线段AB 长度的最小值为22. 【20】（C ，北京，理19）解析：（I ）椭圆的标准方程为：12422=+y x ，2=a ，2=b ，则2=c ，离心率22==a c e ． （II ）由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为kx y =．又OB OA ⊥.法1：①当0=k 时，()0,2±A ，易知)2,0(B ，此时直线AB 的方程为2=+y x 或2=+-y x ．原点到直线AB 的距离为2，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．②当0≠k 时，直线OB 的方程为x ky 1-=， 联立⎩⎨⎧=+=4222y x kx y 得点A 的坐标 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k k或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-22212,212k k k ； 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=21y x k y 得点B 的坐标()2,2k -，由点A 的坐标的对称性知，无妨取点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k kA 进行计算，于是直线AB 的方程为：()222212222212kk y x k kk-+-=+++=()k x kk k k 22112122++++-，即02221121222=++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k y k k x k k ，原点到直线AB 的距离 2211212222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=k k k k k d ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．综上知，直线AB 一定与圆222=+y x 相切．法2：①当0=k 时，()0,2±A ，易知)2,0(B ，此时2=OA ，2=OB ，222222=+=AB ，原点到直线AB 的距离22222=⨯=⋅=AB OBOA d ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．②当0≠k 时，直线OB 的方程为x ky 1-=，设()11,y x A ，()22,y x B ，则121x k OA +=， ()221y k OB -+=212k +=，联立⎩⎨⎧=+=4222y x kx y 得点A 的坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k k或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-22212,212k k k ； 于是22221121k k x k OA A ++=+=，212k OB +=．()()()2222221122142114kk k k k AB ++=++++=． 所以()22112212211222222=+++⋅++=⋅=k k k kk ABOB OA d ，直线AB 与圆222=+y x 相切．综上知，直线AB 一定与圆222=+y x 相切． （II ）法3：设00(,)A x y ，00(,)B y x λλ-，则02200224x x y λ=⎧⎨+=⎩ ∴ 2024x λ=2202220y λλ-=≥即21λ≥ ∴ 2220021||2(1)OA x y λ=+=+∴ 22||2(1)OB λ=+∴ 2222222(1)||||||AB OA OB λλ+=+=设点O 到直线AB 的距离为d ，则2222||||2||OA OB d AB ⋅==即2d = 所以直线AB 与圆222xy +=相切.【21】（C ，天津，文18）解析：（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为（c ，0）.由1232=AB F F ，可得2223a b c +=，又 222b ac =-，则2212c a =.所以椭圆离心率22e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212+=x y c c，设00(,)P x y 由1(,0)F c -，(0,)B c 有100(,)F P x c y =+，1(,)F B c c =，由已知，110FB FP ⋅=，即00()0x c c y c ++=又0c ≠，故有000x y c ++=. ①，因为点P 在椭圆上，故22002212+=x y c c. ②.由①②可得200340x cx +=，而点P 不是椭圆顶点， 故043x =-代入①得03c y =即点P 的坐标为4(,)33c c-. 设圆的圆心为11(,)T x y ，则142323c c c x -+==-，12323c ccy +==，进而圆的半径22115(0)()3r x y c c =-+-=.由已知有22222TF MF r =+，又222MF =，故有222225()(0)8339c c c c ++-=+，解得23c =所以，所求椭圆为22163+=x y .【22】（C ，天津，理18）解析：（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为)0,(c 由1232=AB F F ，可得2223a b c +=， 又222b ac =-，则2212c a =. 所以椭圆离心率e =22. （II ）由（I ）知222a c =，22b =c .故椭圆方程为222212+=x y c c，设00P x ,y .（）由1F c 0,B(0,c)（-，），有100F P =x +c,y （），1F B =c,c （），因为以线段PB 为直径的圆经过点1F ，所以11F P F B =0⋅，即00()0x c c y c ++=，又0c ≠，故有000x y c ++=①，因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+= ②.由①②可得043020=+cx x . 而点P 不是椭圆顶点，故c x 340-=代入①得30cy =即点P 的坐标为)3,34(cc -.设圆的圆心为),(11y x T ，则1402323c c x -+==-，12323c cc y +==，进而圆的半径22115(0)()3r x y c c =-+-= 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =，由l 与圆相切，可得1121kx y r k -=+，即222()53331c k c c k --=+,整理得2810k k -+=，解得154±=k .所以，直线l 的斜率为415+或415-. 【23】（C ，上海，文22理22）解析：理解点被直线分割、直线为曲线的一条分割线是解题的关键.（I ）、（II ）只需直接用题设的定义即可.（I ）因(121)(12)0+-⋅--<，所以又定义知，点A 、B 被直线10x y +-=分割. （II ）双曲线的渐近线为12y x =±，当12k ≤-或12k ≥时，把y kx =代入双曲线2241x y -=得22(14)1k x -=.因2140k -≤，故上述方程无实数解，即直线y kx =与双曲线2241x y -=不相交，又存在两点(1,0),(1,0)-满足20k η=-<，根据分割线的定义，12k ≤-或12k ≥.（Ⅲ）法1 设(,)M x y ，根据题设得E 方程是22(2)||1x y x +-⋅=(0)x ≠.因0x =不满足上述方程，且以x -代x 上述方程不变知曲线关于y 对称，所以直线0x =是的一条分割线.若y kx =是E 的另一条分割线，代入E 的方程得222[(2)]1x kx x +-⋅=. 要直接证明这个方程有解是困难的，变形为2221(2)x kx x +-=，记221(2)y x kx =+-，221y x =，则1y 是开口向上的二次函数，2y 是关于y 轴对称的幂函数，它们总有交点，即直线y kx =与E 有交点，与分隔线的定义矛盾.所以E 有且仅有一条分割线0x =. （Ⅲ）法2（数形结合法）曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=满足：由(,)(,)F x y F x y -=知，曲线E 关于y 轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =-知，曲线E 关于y =2轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =--知，曲线E 关于点(0,2)中心对称；222221(2)10(2)=0x y x y x x+-⋅-=⇒--≥， [)(]1,00,1,x ∈-取曲线E 在y 右侧且20x →时y 趋于无穷大，可得y 轴为曲线E 的渐近线，得曲线E 上点的纵坐标范围为y ∈R ，数形结合可得曲线E 上任意一点与原点连线的斜率范围为R ，即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线.即通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分割线.（Ⅲ）法3（函数方程思想1）对于任意一条直线()y a a =∈R 与曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=，由22(),(2)10.y a a x y x =∈⎧⎪⎨+-⋅-=⎪⎩R 得 422(2)10x a x +--=，令2t x =，得 22(2)10t a t +--=.因2(2)40a ∆=-+>恒成立，且1210t t =-<，所以方程有正实数解0t ，存在与之相应的00x ≠，从而在E 上存在00(,)x y ，其与原点连线的直线斜率存在.即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线.所以，通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分割线.（Ⅲ）法4（函数方程思想2）对于任意一条直线()y kx k =∈R 与曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=，由22(2)10.y kx x y x =⎧⎪⎨+-⋅-=⎪⎩得 222(1)2410k x kx x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，得方程2432(1)2410,k x kx x +-+-=令2432()(1)241f x k x kx x =+-+-，22(0)1,(1)(1)30,(1)(1)10(0)(1)0,(0)(1)0f f k f k f f f f =--=++>=-+><-<由函数的零点存在性定理，无论k 取何实数，函数()f x 在区间(0,1)(1,0)-和有实根，则过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线. 【24】（C ，江西，理20）解析：（I ）设(,0)F c ，可知21c a =+，直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 方程为1()y x c a =-，直线OA 的方程为1y x a=，则(,)c A c a ，(,)22c c B a -，()322AB c c a a k c a c --==-.又因为AB OB ⊥，所以31()1a a⋅-=-，解得 23a =，故双曲线C 的方程为2213x y -=.（II ）由（I ）知直线l 的方程为0013x xy y -=0(0)y ≠与直线AF ：2x =交点0023(2,)3x M y -；与直线32x =的交点0363(,)26x N y -. 则202220022200020(23)(3)(23)4(36)1333(2)4(6)x MF y x x y x NF y --==⋅-+-+ 由220013x y -=，代入整理得2243MF NF=，所求定值 为233MF NF=. 【25】（C ，四川，文20）解析：（I ）由已知可得，236==c a c ，， 所以6=a . 又由222c b a +=，解得2=b ，所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . （II ）设T 点的坐标为()m ,3-，则直线TF 的斜率m m k TF -=----=)2(30.当0≠m 时，直线PQ 的斜率mk PQ 1=，直线PQ 方程是2-=my x . 当0=m 时，直线PQ 方程是2-=x ，也符合2-=my x 的形式.设()()2211,,,y x Q y x P ，将直线PQ 的方程与椭圆方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x m y x ，消去x ，得()024322=--+my y m，其判别式为 ()0381622>++=∆m m .所以32,34221221+-=⋅+=+m y y m m y y ， ()312422121+-=-+=+m y y m x x .因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以QT OP =，即()()2211,3,y m x y x ---=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=+343312221221m m y y m x x解得1±=m .此时，四边形OPTQ 的面积 212122y y OF S S OPQ OPTQ -⋅⋅⨯==32324)34(2222=+-⋅-+=m m m .【26】（C ，四川，理20）解析：（I ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧=-==+42222222b a c b b a ，解得2,622==b a .所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . （II ）（i ）由（I ）可得F 的坐标是)0,2(-，设T 点的坐标是),3(m -，则直线TF 的斜率m m k TF -=----=)2(30.当0≠m 时，直线PQ 的斜率mk PQ 1=，直线PQ 的方程是2-=my x . 当0=m 时，直线PQ 的方程是2-=x ，也符合2-=my x 的形式.设),(),,(2211y x Q y x P ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x my x . 消去x ，得024)3(22=--+my y m ， 其判别式0)3(81622>++=m m ∆.所以32,34221221+-=+=+m y y m m y y ， 3124)(22121+-=-+=+m y y m x x .所以PQ 的中点M 的坐标为)32,36(22++-m mm 直线OM 的斜率3mk OM -=.又直线OT 的斜率3mk OT -=，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . （ii ）由（i ）可得，1||2+=m TF ，221221)()(||y y x x PQ -+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+-⋅-++=m m m m3)1(2422++=m m . 所以，222||1(3)||241TF m PQ m +=⋅+ 33)44(241)4141(24122=+⋅≥++++⋅=m m 当且仅当14122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值.所以当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是)1,3(-或)1,3(--.【27】（C ，广东，文20理20） 解析：（I ）依题可知5c =，53c e a ==， 3a ∴=，222b a c =-=.∴椭圆C 的标准方程为22194x y += ①. （II ）法1 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标为(32±±，）；当切线的斜率存在且不为0时，设切线的方程为00()y y k x x -=- ②. 联立①②消去y ，得220049()36x kx y kx ++-=，即2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=因为直线与椭圆相切，所以0∆=，即2220000[18()]4(49)[9()36]0k y kx k y kx --+--=化简得2220000(9)2(4)0x k x y k y --+-= ③， 过点P 的两条切线互相垂直，∴③中的两根满足：121k k =-，∴2020419y x -=--，即220013x y += ④当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标满足④，所以点P 的轨迹方程为2213x y +=.（II ）法2 记两切线为12l l ，，依题意可设010cos :sin x x t l y y t θθ=+⎧⎨=+⎩ ②， 020cos()2:sin()2x x t l y y t πθπθ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ③，联立①②，消去x y ，，得 22004(cos )9(sin )36x t y t θθ+++=，即2200(45sin )(8cos 18sin )t x y t θθθ+++220049360x y ++-=，由0∆=，得200)sin 18cos 8(y x θθ+222004(45sin )(4936)x y θ=++-，化简得 200(4cos 9sin )x y θ+20(45sin )(4x θ=++ 20936)y - ④同理，得200[4cos()9sin()]22x y ππθθ+++22200[45sin ()](4936)2x y πθ=+++-，即)3694)(cos 9sin 4(20000-++-=y x y x θθ ⑤④+⑤，得)3694(1381620202020-+=+y x y x ， 化简，得132020=+y x .所以点P 的轨迹方程为2213x y +=.（II ）法3 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标为(32±±，）；当切线的斜率存在且不为0时，设切线的方程为00()y y k x x -=-.令3x X =，2yY =，则3x X =，2y Y =. 于是椭圆22194x y +=转化为圆221X Y +=，切线00()y y k x x -=-转化为00320kX Y kx y --+=.由于伸缩变换后圆与直线仍是相切的，故圆心到直线的距离00221(3)(2)kx y d k -+==+-，即2200()94kx y k -+=+，化简得2220000(9)240x k x y k y --+-= ②，过点P 的两条切线互相垂直，∴②中的两根满足：121k k =-，∴2020419y x -=--，即220013x y += ③， 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标满足③，所以点P 的轨迹方程为2213x y +=. 【28】（C ，山东，文21）解析：（Ｉ）由题意知2232a b a -=，可得 224a b =，椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=，将y x =代入可得55ax =±，因此 25410255a ⨯=，可得2a =，因此1b =，所 以椭圆C 的方程为2214x y +=． （II ）（i ）设11(,)A x y 11(0)x y ≠，22(,)D x y ，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又 AD AB ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-．设直线 AD 的方程是y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠．由2214y kx mx y =++=⎧⎪⎨⎪⎩可得 222(14)8440k x mkx m +++-=，所以221418k mkx x +-=+，因此221214122)(k mm x x k y y +=++=+，由题意12x x ≠-，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，所以直线BD 的方程为1111()4yy y x x x +=+，令0y =得13x x =，即1(3,0)M x ,可得1212yk x =-,所以1212k k =-，即12λ=-，因此，存在常数12λ=-使得结论成立．（ii ）直线BD 的方程1111()4yy y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -，由（i ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393248S x y x y =⋅⋅=，因为22111114x x y y ≤+=，当且仅当 11222x y ==时取等号，此时S 取最大值98，所以OMN ∆面积的最大值为98． 【29】（C ，山东，理21） 解析：（I ）由题意知(,0)2p F ，即32pAF =+，代 入cos 323p AF π+⋅=得2p =，即C 的方程是24y x =； （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ．设00(,)A x y0(0)x ≠，11(,0)(1)D x x >，由FA FD =知1011x x -=+，即102x x =+，也即0(2,0)D x +，所以00012AB y yk x x ==--．设直线1l 的方程是02y y x b =-+，代入抛物线24y x =有22200(4)04y x by x b -++=，由0∆=知020by +=，解得20044(,)E y y - （1）若204y ≠时，0E AE E y y k x x -==-02020444y y y y --=-02044y y -，直线AE 的方程为00204()4y y y x x y -=--，整理得0204(1)4yy x y =--，恒过定点(1,0)；（2）若204y =时，直线AE 的方程为1x =，也过(1,0)； 综上所述，直线AE 恒过定点(1,0)F ． （ii ）由（i ）知直线AE 恒过定点(1,0)F ，所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为1x my =+，因为点00(,)A x y 在直线AE 上，代入得001x m y -=，设22(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--，因为00y ≠，所以0022x y x y =-++， 代入抛物线24y x =有2008840y y x y +--=， 所以0208y y y +=-，2008y y y =--，20044x x x =++，所以点B 到直线AE 的距离是000002484()14(1)1x m y x y x d x m ++++-+==+ 0014()x x =+，则ABE ∆的面积 00001114()(2)162S x x x x =⋅+++≥，当且仅当001x x =，即01x =时取等号．所以ABE ∆的面积最小值为16.【30】（C ，安徽，文21）。
【名师原创 全国通用】2014-2015学年高三寒假作业 数学(二)Word版含答案
【原创】高三数学寒假作业（二）一、选择题，每小题只有一项是正确的。
1.设集合{}{}212,log 2A x x B x x =-≤=<，则A B ⋃=A. []1,3-B. [)1,4-C. (]0,3D. (),4-∞ 2.已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)32(f 的值为 A. 21- B. 23- C. 21 D. 23 3.已知函数f (x)＝267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋f (-1)＝ （ ） (A) 9 (B)7110 (C) 3 (D) 1110 4.已知函数()22x f x =-，则函数|()|y f x =的图像可能是………………………………..（ ）5.若互不相等的实数c b a ,,成等差数列，b a c ,,成等比数列，且103=++c b a ，则=a （ ）A. 4B. 2C. -2D. -46.下列各式中值为的是（ ）A ． sin45°cos15°+cos45°sin15°B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15°C ． cos75°cos30°+sin75°sin30°D ．7.设实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00820104y x y x y x ,若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则23a b +的最小值为()8.已知函数()f x 满足1()()f x f x =, 当[]1,3x ∈时,()ln f x x =,若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内,曲线()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ( ) A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.ln 31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为() A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2二、填空题10.已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是__________ .11.理：已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M .12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1533a a a +=，1014a =，则12S =13.抛物线241x y -=上的动点M 到两定点（0，-1）、（1，-3）的距离之和的最小值为三、计算题14.（本小题满分13分） 已知函数)12(log )(21--=x ax x f (a 为常数).(1)若常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;(2)若()f x 在区间(2,4)上是减函数,求a 的取值范围.15.（本小题满分12分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点．（1）求证：DE ∥平面ABC ；（2）求证：F B 1⊥平面AEF ；（3）求二面角F AE B --1的余弦值．16.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，短轴端点到焦点的距离为2。
2014高考突破 数学学科(二)——圆锥曲线压轴题
2014高考突破 数学学科（二）——圆锥曲线压轴1. 高考命题回顾例1（轨迹问题）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （2009宁夏、海南） (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,λ=||||OM OP ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线例2（轨迹方程问题）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。
（2010全国新课标） （1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程例3（圆锥曲线中的切线，距离问题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA u u u r u u r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C 。
（2011全国新课标）（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
例4（距离问题）设抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
（2012全国新课标） (1)若∠BFD=90°，ABD △的面积为p 的值及圆F 的方程；(2)若F B A ,,三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 之有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。
例5（弦长问题）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.例6（面积最值问题）平面直角坐标系x Oy 中，过椭圆M ： x 2—a 2 + y 2—b2=1(a > b > 0)的右焦点的直线x + y- 3 = 0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为 12.（Ι）求M 的方程（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值.2．圆锥曲线方程及性质 ①椭圆与双曲线椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x ya b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
2014年全国高考十、圆锥曲线(逐题详解)
2014年全国高考数学试题分类汇圆锥曲线1.【2014年重庆卷（理08）】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3【答案】B【解析】由于22121212(||||)(||||)4||||PF PF PF PF PF PF +--=⋅，所以22949b a ab -= 分解因式得(34)(3)0433,4,5b a b a a b a b c λλλ-+=⇒=⇒=== 所以离心率53c e a ==，选择B2.【2014年福建卷（理09）】设P ，Q 分别为圆x 2+（y ﹣6）2=2和椭圆+y 2=1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ． 5 B ． + C ． 7+ D ． 6【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x ，y ），则∵圆x 2+（y ﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为， ∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P ，Q 两点间的最大距离是5+=6．故选：D3.【2014年辽宁卷（理10）】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．43【答案】D【解析】∵点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p ＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C ：y 2=8x ，在第一象限的方程为y=2，设切点B （m ，n ），则n=2，又导数y ′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B （8，8），又F （2，0），∴直线BF 的斜率为，故选D4.【2014年全国大纲卷（06）】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A【解析】∵△AF 1B 的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A5.【2014年全国大纲卷（09）】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ） A ．14 B ．13 C ．24 D ．23【答案】A【解析】∵双曲线C 的离心率为2，∴e=，即c=2a ，点A 在双曲线上，则|F 1A|﹣|F 2A|=2a ，又|F 1A|=2|F 2A|，∴解得|F 1A|=4a ，|F 2A|=2a ，||F 1F 2|=2c ，则由余弦定理得cos ∠AF 2F 1===，故选：A6.【2014年山东卷（理10）】已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+by a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±【答案】A【解析】()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==+==-∴==∴=∴=±7.【2014年四川卷（理10）】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是A ．2B ．3C ．1728D ．10 【答案】B 【解析】 方法1：设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，直线AB 与x轴的交点(0,)M m （不妨假设10y >）由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m = 于是121111111192922()2322488ABO AFO S S y y y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯⨯=+≥⋅= 当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=” 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3方法2：8.【2014年天津卷（理05）】已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.9.【2014年全国新课标Ⅰ（理04）】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+ 设()33,0Fm +，一条渐近线33y x m=，即0x my -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离331m d m+=+=3，选A. .10.【2014年全国新课标Ⅰ（理10）】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2【答案】：C【解析】：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==11.【2014年全国新课标Ⅱ（理10）】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.334 B.938C. 6332D. 94【答案】 D 【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===12.【2014年广东卷（理04）】若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.13.【2014年湖北卷（理09）】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.433 B.233C.3D.2 【答案】 A【解析】 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为123F PF π∠=，由余弦定理得22211114()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，所以212234aa c +=，即2122122221)(2124ca c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e-≤+， 利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为433.第II 部分14.【2014年上海卷（理03）】若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【答案】2x =-【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =-15.【2014年上海卷（理14）】 已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0A P A Q +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]m ∈【解析】：根据题意，A 是PQ 中点，即622P QP x x x m ++==，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈16.【2014年浙江卷（理16）】设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>两条渐近线分别交于点A 、B ，若点(P m ，0)满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是__________. 【答案】【解析】双曲线（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线方程为y=±x ，则与直线x ﹣3y+m=0联立，可得A （，），B （﹣，），∴AB 中点坐标为（，），∵点P （m ，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b ，∴=b ，∴e==．故答案为：17.【2014年江西卷（理15）】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 【答案】22【解析】()()()()()()112222112222222212121212222222,,11012220222A x yB x y x y a b x y a bx x x x y y y y a b a b a b e +=+=-+-+∴+=-⨯∴+=∴=∴=设则18.【2014年北京卷（理11）】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 【答案】y=±2x 【解析】与﹣x 2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x 2=m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x 2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x ，故答案为：，y=±2x19.【2014年安徽卷（理14）】设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF B F AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____________．【答案】12322=+y x yOF F A【解析】设)0,(),0,(21c F c F -，由x AF ⊥2轴得),(2b c A ，又由B F AF 113=得)3,35(2b c B --代入椭圆 得92522=+b c ，将221b c -=代入得12332222=+⇒=y x b20.【2014年湖南卷（理15）】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________.【答案】21+ 【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+.21.【2014年辽宁卷（理15）】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【答案】12【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得，，∵Q 在椭圆C 上，∴|QF 1|+|QF 2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．第III 部分22.【2014年陕西卷（理20）】（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.解 （I ）在C 1,C 2 的方程中，令y=0，可得b=1，且A （- 1 ，0），B(1，0)是上班椭圆C 1的左右顶点。
北京宏志中学2014年高二数学(理科)寒假作业——圆锥曲线答案
曲线与方程答案一、选择题1．已知|AB|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ＝13OA ＋23OB ，则动点P 的轨迹方程是()A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y 29＝1 解析：设A (0，y 0)，B (x 0,0)，P (x ，y )，则由|AB |＝3得x 20＋y 20＝9，又因为OP ＝(x ，y )，OA ＝(0，y 0)，OB ＝(x 0,0)，由OP ＝13OA ＋23OB 得x ＝2x 03，y ＝y 03，因此x 0＝3x 2，y 0＝3y ，将其代入x 20＋y 20＝9得x 24＋y 2＝1.答案：A2．已知两个定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设P (x ，y )，则|PA |2＝(x ＋2)2＋y 2，|PB |2＝(x －1)2＋y 2，又|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4，表示圆，∴S ＝πr 2＝4π. 答案：B3．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝λ1OA ＋λ2OB(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )，OA＝(3,1)， OB＝(－1,3)，∵OC ＝λ1OA ＋λ2OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案：A4．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1(y ≥1)C ．x 2－y 248＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 248＝1(x ≥1)解析：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14， 又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c ＝7，a ＝1，b 2＝ 48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．答案：A5．给出以下方程：①2x ＋y 2＝0；②3x 2＋5y 2＝1；③3x 2－5y 2＝1；④|x |＋|y |＝2；⑤|x －y |＝2，则其对应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：所给出的方程中，①2x ＋y 2＝0是抛物线，②3x 2＋5y 2＝1是椭圆，③3x 2－5y 2＝1是双曲线，④|x |＋|y |＝2是一个正方形，⑤|x －y |＝2是两条平行直线，只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线，可以放进一个足够大的圆内．答案：B6．圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2,0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN ，于是|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |.过O 作OP ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OP 是中位线，故有|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|OP |＝8>4＝|AB |.根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆． 答案：B 二、填空题 7．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是____________．解析：(参数法)设直线xa ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)8．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)．9．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是____．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③ 三、解答题10．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点．求动点P 的轨迹C 的方程．解：设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点，∴y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .又|AB |＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12. ∴12y 2＋43x 2＝12.∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.11．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3.b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]． 由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得 9x 2＋11216x 2＋y 2＝λ2， 整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4 ≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1， 其中x ∈[－4,4]；当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程．解：如图，可得直线l ：x ＝－2与x 轴交于点A (－2,0)，设P (－2，m )，(1)当m ＝0时，点P 与点A 重合，这时OP 的垂直平分线为x ＝－1，由∠AOP ＝∠MPO ＝0°，得M (－1,0)；(2)当m ≠0时，设M (x 0，y 0)，①若x 0>－1，由∠MPO ＝∠AOP 得MP ∥OA ，有y 0＝m ， 又k OP ＝－m 2，OP 的中点为(－1，m2)，∴OP 的垂直平分线为y －m 2＝2m (x ＋1)，而点M 在OP 的垂直平分线上，∴y 0－m 2＝2m(x 0＋1)，又m ＝y 0，于是y 0－y 02＝2y 0(x 0＋1)，即y 20＝4(x 0＋1)(x 0>－1)．②若x 0<－1，如图，由∠MPO ＝∠AOP 得点M 为OP 的垂直平分线与x 轴的交点，在y －m2＝2m (x ＋1)中，令y ＝0，有x ＝－m 24－1<－1，即M (－ m24－1,0)， ∴点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)和y ＝0(x <－1)椭圆一、选择题1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为() A ．6B ．5C ．4 D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为()A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个． 答案：B3．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则() A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：如图所示设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为(a35，2a35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且1MF ²2MF＝0，则点M 到y 轴的距离为()A.233 B.263 C.33D. 3 解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则1MF ²2MF ＝(－3－x ，－y )²(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24②.将②代入 ①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.答案：B5．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若31DF ＝DA＋22DF ，则该椭圆的离心率为()A.12B.13C.14D.15解析：设点D (0，b ),则1DF ＝(－c ，－b )，DA＝(－a ，－b )，2DF ＝(c ，－b )，由31DF ＝DA ＋22DF 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：D6．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；C 选项中，当k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等．答案：D 二、填空题7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________．解析：∵∠BAO ＋∠BFO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠FBO . ∴OB OA ＝OFOB. 即OB 2＝OA ²OF ， ∴b 2＝ac . ∴a 2－c 2－ac ＝0. ∴e 2＋e －1＝0.∴e ＝－1±1＋42＝－1±52.又∵0<e <1， ∴e ＝5－12. 答案：5－128．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2³5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5， 所以|PM |＋|PF 1|≤2³5＋5＝15. 答案：159．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝52F B，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n )2F B ＝(c －2，d )．∵1F A ＝52F B，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，m ＋62523＋(n5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案： (0，±1) 三、解答题10．设椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k >0，求证：PA ⊥PB .解：由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为(－1，－22)． 由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22. (2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P (23，43)，A (－23，－43)．于是C (23，0)，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝|23－43－23|12＋12＝223.(3)证明：法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2记μ＝21＋2k2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k 2(x －μ), 代入椭圆方程并由μ＝21＋2k2得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ3k 2＋22＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ3k 2＋22＋k 2，μk32＋k2)．于是直线PB 的斜率k 1＝uk 32＋k 2－μk μ3k 2＋22＋k2－μ＝k 3－k 2＋k 23k 2＋2－2＋k 2＝－1k. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－－y 1x 1－－x 1＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2²y 2－y 1x 2－x 1²y 2－－y 1x 2－－x 1＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .12．已知椭圆G ∶x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k 2[64k 4m21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2]＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2双曲线一、选择题1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的()A ．必要但不充分条件B ．充分但不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b＝1表示双曲线，则c 2ab <0，这就是说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件．答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.3x 24－y 24＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－4y23＝1 解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a 3＋9＝1，解得a ＝2.又ba ＝33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 24－3y 24＝1. 答案：A3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D ．3解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2³b 2a ＝2³2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝ca＝ 3.答案：B4．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ²2PF的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)、F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，1PA ²2PF ＝(－1－x ，－y )²(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4(x －18)2－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1PA ²2PF 取得最小值－2.答案：A5．设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值为()A.14B.13C.23D ．－13解析：由题意可知m －2＝3＋1，解得m ＝6.法一：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)，F 2(0,2)，联立x 22＋y 26＝1与y 23－x 2＝1组成方程组，解得P (22，322)．所以由两点距离公式计算得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－ 3.又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝13.法二：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)．F 2(0,2)，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，|F 1F 2|＝4，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，同上由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝13.答案：B6．已知双曲线mx 2－y 2＝1(m >0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B 、C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为()A.12B ．1C ．2D ．3 解析：由题意可得，点A 的坐标为(1m，0)，设直线AB 的方程为y ＝tan 45°(x －1m)，即x ＝y ＋1m，与双曲线方程联立可得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1mmx 2－y 2＝1，则(m －1)y 2＋2my ＝0，解得y ＝0或y ＝2m 1－m .由题意知y ＝2m 1－m 为B 点的纵坐标，且满足2m1－m>0，即0<m <1，根据选项知． 答案：A 二、填空题7．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2.答案：28．已知双曲线kx 2－y 2＝1(k >0)的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．解析：双曲线kx 2－y 2＝1的渐近线方程是y ＝±kx .∵双曲线的一条渐近线与直线2x＋y ＋1＝0垂直，∴k ＝12，k ＝14，∴双曲线的离心率为 e ＝1k＋11k＝52，渐近线方程为12x ±y ＝0.答案：52 12x ±y ＝0 9．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：5 三、解答题10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1.11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0. 解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴e 的取值范围是[52，5]． 12． P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC ＝λOA ＋OB，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x ≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ²y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， 则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设OC ＝(x 3，y 3)，OC ＝λOA ＋OB ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2， 有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝ －4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4 A抛物线一、选择题1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 等于() A ．1B ．4C ．8 D ．16解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2, 解得a ＝8.答案：C2．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是() A ．－1716B ．－1516C.716D.1516解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.答案：B3．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A. 34B ．1C.54D.74解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C4．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是() A ．相离 B ．相交C ．相切 D ．不确定解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切．答案：C5．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于()A ．42B ．8C ．82D ．16解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝144－16＝8 2.答案：C6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B 二、填空题7．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝648．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)， 则准线为y ＝－a4.∵Q (－3，m )在抛物线上， ∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a代入，得|9a ＋a4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18， ∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y . 答案：x 2＝±2y 或x 2＝±18y9．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么|FA |＋|FB|＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以|FA |＋|FB|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7答案：7 三、解答题10．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．解：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .11．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM 与OP 的夹角为π4，求△POM 的面积．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线， ∴k AM ＝k PM ， 即y 1y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224， 即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2， ∴y 1y 2＝4.∴OM ²OP ＝y 214²y 224＋y 1y 2＝5.∵向量OM 与OP 的夹角为π4，∴|OM |²|OP |²cos π4＝5.∴S △POM ＝12|OM |²|OP |²sin π4＝52.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB∥OA ，MA ²AB ＝MB ²BA，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 解：(1)设M (x ，y )由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以MA ＝(－x ，－1－y )，MB＝(0，－3－y )， AB＝(x ，－2)．再由题意可知(MA ＋MB )²AB＝0，即(－x ，－4－2y )²(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此曲线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d＝12x20＋4x20＋4＝12(x20＋4＋4x20＋4)≥2，当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.。
吉林省2014届高三数学寒假作业6
高三数学寒假作业（圆锥曲线）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.圆222210x y x y +-++=的圆心到直线10x y -+=的距离是( )A ．12B ．32C ．2D ．22.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ）A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =± D.y x =±3.抛物线212=y x 截直线62-=x y 所得的弦长等于（ ）A C ．154.双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=（ ） A.3 B.2 C.3 D.65.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上，则该抛物线的准线方程为（ ）A.2x =-B. 4=xC. 8-=xD. 4-=y6.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 （ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x7.已知抛物线22(0)y px p ，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为 A ．x=l B ．2x C ．1x D ．2x8.双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点为12,F F ,若双曲线上存在一点P ,满足122PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为 （ ） A ．(]1,3 B ．()13， C ．()3+∞， D ．[)3,+∞9.已知点(1,3)A ，(2,1)B --，若直线l ：(2)1y k x =-+与线段AB 没有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≥ B ．2k ≤- C ．12k ≥或2k ≤- D ．122k -≤≤10.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b+=（0a b >>）焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 A ．13 B ．12C D ．211.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．3212.如果方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 所表示的曲线关于x y =对称，则必有( )。
(上海版 第03期)2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题10 圆锥曲线 理(含解析)苏教版
（上海版 第03期）2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题10 圆锥曲线 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知双曲线12222=-b y a x （0>a ，0>b ）满足021=ba ，且双曲线的右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．2. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，一个顶点的坐标为)2,0(，则此椭圆方程为 ．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】双曲线19422=-y x 的焦点到渐近线的距离等于 ．4. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .5. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .6. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】在平面直角坐标系中，动点P 和点M (-2，0)、N (2，0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点P (x ，y )的轨迹方程为 . 【答案】28y x =- 【解析】试题分析：本题可用求轨迹方程的基本方法—直接法来求，把已知条件等式0MN MP MN NP ⋅+⋅=用坐标表示出来， 4(2)0x -=，化简变形即得．考点：用基本法求轨迹方程．7. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】双曲线2221(0)y x bb-=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.二．拔高题组1. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量)1,2(=d的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，求证：22||||PB PA +为定值．出直线l 的方程，把它与椭圆方程联立方程组，可求出,A B 两点的坐标，从而求出22||||PB PA +的值，看它与m 有没有关系（是不是常数），当然在求22||||PB PA +时，不一定要把,A B 两点的坐标直接求出（如直接求出，对下面的计算没有帮助），而是采取设而不求的思想，即设1122(,),(,)A x y B x y ，然后求出12x x +，12x x ，而再把22||||PB PA +用12x x +，12x x 表示出来然后代入计算，可使计算过程简化．（写到倒数第2行，最后1分可不扣）考点：(1)椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交问题．2. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知圆C 过定点)1,0(A ，圆心C 在抛物线y x 22=上，M 、N 为圆C 与x 轴的交点． （1）当圆心C 是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长． （2）当圆心C 在抛物线上运动时，MN 是否为一定值？请证明你的结论． （3）当圆心C 在抛物线上运动时，记m AM =，n AN =，求mnn m +的最大值，并求出此时圆C 的方程．令0=y ，得01222=-+-a ax x ，得11-=a x ，12+=a x ，∴212=-=x x MN 是定值．………………8分3. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程； （2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.，得------②------------------------------8分由①②得，又，故，所以点坐标为．-----10分4. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且m ≠①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线，其中1l 交圆ψ于T 、R 两点，2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:12l y x =±- ……16分 考点：(1) ①动直线中的定点问题；②三角形的面积，线段比与点的坐标之间的关系；(2) 直线与圆相交弦长，直线与椭圆相交的弦长，基本不等式.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C ：x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标；（2）求||PQ 的最小值.试题解析：设),(y x Q （0,0>>y x ），x y 22=（1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分。
专题08 圆锥曲线(理)(测试)-2014年高考数学二轮复习精品资料(解析版)
（一） 选择题（12*5=60分）1. 【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】设a ∈R ，则“1a =”是“直线10ax y -+=与直线10x ay --=平行”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 【改编自广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α（ ） A ．4π B.3πC. 23πD. 34π3. 【改编自2012年高考陕西卷理科】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(1,1)P 的直线，则（ ）（A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能４．【江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期月考高三数学】当且仅当m r n ≤≤时，两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点，则n m -的值为 ．５．【广东省六校2014届高三第一次联考试题】若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切，则此圆恒过定点（ ） A.(0,2)B.(0,3)-C.(0,3)D.(0,6)６．【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级第三次模拟考试】经过点1(1,)2，渐近线与圆22(3)1x y -+=相切的双曲线的标准方程为( )A ．2281x y -= B ．22241x y -= C ．2281y x -= D ．22421x y -=７．【改编自2012年高考安徽卷理科】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若A 点到准线的距离为3,则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C2()D８．【江西省2014届新课程高三第三次适应性测试】设,P Q 是双曲线22x y -=上关于原点O 对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角，则折叠后线段PQ 长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．4９．【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】抛物线x y 122=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆ 为等边三角形时，则FPM ∆的外接圆的方程为( )A.. 5)5()3(22=±+-y x B. 48)34()3(22=±+-y xC. 9)3()3(22=±+-y x D. 28)72()3(22=±+-y x10．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线11．【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A.2 B.3 C.23 D.2612．【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．1D（二） 填空题（4*5=20分）13. 【江西抚州一中2013-2014学年高三年级第四次同步考试】已知实数y x ,满足01422=+-+x y x ，则xy的最大值为 .14．【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.15．【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .16．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为（三） 解答题（10+5*12=70分）17. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18．【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A M B M =-，求点M 的轨迹方程．将2y =代入c x y =得210516x c x +=，19．【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】设F 为抛物线px y 22= (0>p )的焦点，,,R S T 为该抛物线上三点，若=++，且6=++ （Ⅰ）求抛物线22y px =的方程；（Ⅱ）M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标均不为m ，连结AM 、BM 并延长交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．若421=k k ，求m 的值.20．【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点12,F F 和上下两个顶点12,B B 是一个边长为2且∠F 1B 1F 2为60的菱形的四个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2 ，斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE 、AF 分别交直线3x =于点M 、N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '.求证:k k '⋅为定值.21．【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线x y +M 于A,B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (Ι)求M 的方程；（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形面积的最大值所以可得22．【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M.(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．化简得227m <，解得m -<<.（四）附加题（15分）23. 【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】已知椭圆：22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点到两焦点距离之和为，左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是右准线上任意一点，过2F 作直 线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点H ，满足MP MH PN HN=，试证明点H 恒在一定直线上．所以点H 恒在直线2320x y +-=上．。
福建 安徽版02期 2014届高三名校数学理试题分省分项汇编 专题09 圆锥曲线 含解析
一．基础题组1.【福建莆田一中2014段考(理）】已知抛物线243x y=的准线过双曲线2221xym-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A。
324B.62C。
3 D. 332.【2013合肥二模（理）】过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的左焦点F（﹣c，0）(c＞0），作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P,若=（+），且•=0则双曲线的离心率为（) A．B．+1 C．D．∵=（+），．点评：本小题主要考查双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系,属于基础题．3。
【福建莆田四中2014高三上期中考试(理)】设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近垂直，那么此双曲线的离心率为( ）2331Ｄ．512+ 【答案】D.4.【安徽省寿县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学（理)试卷（实验A班月考)】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点,若a PF PF 6||||21=+，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．23C ．3D ．26 【答案】C5。
【安徽省望江二中2014届高三复习班上学期第一次月考数学（理)试题】若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为（ ) A ．2- B ．2 C ．4 D ．4-【答案】C6。
【安徽省江南十校2014届新高三摸底联考数学理试题】双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在右支上,且PF 1与圆x 2+y 2=a 2相切,切点为PF 1的中点，F 2到一条渐近线的距离为3,则的面积为( )A ．9B ．3C ．3D ．1【答案】A7。
【安徽省阜阳一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题】抛物线2x y =上的任意一点到直线02=--y x 的最短距离为( ）A ．2B ．827C ．22D ．以上答案都不对【答案】B8.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学(理)试题】若双曲线()222103x y a a-=>的离心率为2，则a 等于 （ )A ．2B ．3C ．32D ．1【答案】D ．【解析】由22213x y a -=知3b =，而232c a e a a+===,解得1a =，选 D ．9。
圆锥曲线寒假作业
圆锥曲线寒假作业圆锥曲线一、高考要求理科：二、本章知识所蕴含的数学思想和方法1、紧扣定义，灵活解题2、引入参数，简捷明快3、数形结合，直观显示4、应用平面向量，简化解题5、巧用点差，简捷易行二、典型例习题(一)求曲线方程例1已知椭圆C : 4+^=1 (a>b>0)的离心率e=¥ ,原点到过点A(a,0) , B(0,-b)的直线的距离是学5解：因为£「，a—2,所以a=2b .a 2 1 1因为原点到直线AB：―討的距离山丄$=竿a b寸a +b 5解得 a =4 , b =2 .故所求椭圆C的方程为16 ^1.16 4方法归纳：利用待定系数法求曲线方程.四、知识点以焦点在x轴上的方程为例:五、1、直线与椭圆的交点问题2、椭圆的弦长问题3、椭圆中的面积问题4、双曲线离心率的取值范围问题5、抛物线的最值问题六、练习（一）选择题（共10小题）1. [2012高考真题新课标理 8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x方程为7.【2012高考真题全国卷理 8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上, |PF 1|=|2PF 2|，的准线交于 A,B 两点,AB =4:3 ;贝从C 的实轴长为(2.3. (A) .2(B) 2 2(C)-22[2012高考真题新课标理4】设F 1F 2是椭圆E :笃•爲=1(a b 0)的左、右焦点，P 为直a b3a x上一点，■ :F 2 PF 1是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为(21 2 (A)-(B)- 2 3 34(C)二(D) —4 5xOM (2, y 0)。
若点M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 | OM |=(、2.3、252x4.【2012高考真题山东理10】已知椭圆C ：飞2為=1(a b0)的离心学率为 b 2丄双曲线22 2x -y=1的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16, 则椭圆C 的2x(A)22xy(B)2 2x y(C )12x 丿(D )15.【2012高考真题福建理8】已知双曲线2y2二1的右焦点与抛物线x 2y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. 75 B.4迈 C.3 D.56.【2012高考真题安徽理9】过抛物线 =4x 的焦点F 的直线交抛物线于 A,B 两点，点O 是原点,若AF =3，则 MOB 的面积为( (A )F(B)耳(C)竽2014-2015年度北京陈经纶中学高二数学知识梳理 则 cos / F i PF 2=1 /、3 c34 (A(B)(C)(D)45452 28. 【2012高考真题湖南理 5】已知双曲线 C : x 2 - y 2 =1的焦距为10，点P （ 2,1 ）在C 的渐近线a bA.痘 B 。
2014-2-11圆锥曲线题目及答案范文
2014-2-11圆锥曲线题目及答案一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221xmy +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B3 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22ypx=的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于 （ ）A ．12 B ．2C ．2D ．1【答案】A5 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -= 6．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】27．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =± 8．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-9．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___【答案】310．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221xky -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;11．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】12．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______.【答案】3(未排除4-,给3分)13．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24xy=上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±14．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.15．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.16 ．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）曲线21y axax =-+ (0)a ≠在点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = （ ）A ．13B ． 13-C ．12D ．12-17 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为（ ）A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 18 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知F 是抛物线2y x =的焦点,,A B 是抛物线上的两点,3AF BF +=,则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为 （ ）A ．34B ．1C ．54D ．7419 ．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ．B 两点,若ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ） A ．(1,+∞)B ．(1,2)C ．(1,1+2)D ．(2,1+2)20 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）已知抛物线241y x =的焦点是C 的圆心,且该圆与直线0643=++y x 相切,则圆C 的方程为 （ ） A ．2)1(22=+-y xB ．4)1(22=-+y xC ．)1(22+-y x 21 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线,切点为E ,延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点,若()OP OF OE +=21,则双曲线的离心率为 （ ）A ．333+ B ．251+ C ．25 D ．231+ 22 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）已知抛物线22px y =(p>0)的准线与圆05422=--+y y x 相切,则p 的值为（ ）A ．10B ．6C ．81 D ．241 23 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知抛物线22y px=的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且AK =AFK 的面积为 （ ）A ．4B ．8C ．16D ．3224 ．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）设双曲线2221(0)9y x a a -=>的渐近线方程为340x y ±=,则双曲线的离心率为 （ ）A ．54B ．53C D 25．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）已知互相垂直的两条直线y=kx 和y=-kx分别与双曲线2x 2-y 2=1交于点A,B,点P 在线段AB 上,且满足..=则所有的点P 在（ ）A ．双曲线2x 2-y 2=1上B ．圆x 2+y 2=1上C ．椭圆1222=+y x 上D ．|x|+|y|=1上26．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称相异两点A B 、,则||AB 等于（ ）A ．3B ．4C ．D ．27．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,以线段12F F 为边作正12MF F ∆,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( ) （ ）A ．4+B 1C D28．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版，含答案） ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点O 为双曲线的中心,点P 在双曲线右支上,12PF F ∆的内切圆圆心为Q ,圆Q 与x 轴相切于点A,过2F 作直线PQ 的垂线,垂足为B,则下列结论成立的是 （ ）A ．||||OA OB >B ．||||OA OB <C ．||||OA OB =D ．||||OA OB 与的大小关系不确定本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.29．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点到准线的距离为41, 且C 上的两点()()2211,,,y x B y x A 关于直线m x y +=对称, 并且2121-=x x , 那么m = （ ）A ．23B ．25 C ．2 D ．330．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若2ABF ∆是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C ．()21,1+ D ．()+∞+,2131．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A ,B 两点,设双曲线的左顶点为M ,若∆MAB 是直角三角形,则此双曲线的离心率e 的值为 （ ） A ．32B ．2CD32．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 （ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭33．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为12,F F ,两条曲线在第一象限的交点记为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =,椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ,则12e e ⋅的取值范围是（ ）A ．)51,0(B ．)31,51(C ．1(,)3+∞D ．1(,)5+∞34．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切,则双曲线的离心率为 （ ）ABC ．2D ．335．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 的右焦点为F ,直线:x=ca 2与两条渐近线交于,P Q 两点,如果PQF ∆是等边三角形,则双曲线的离心率e 的值为（ ）A ．12B ．32C ．3D ．236．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.下列方程:①221x y -=;②2||y x x =-,③3sin 4cos y x x =+;④||1x +=对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④37．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c,离心率为e,若点(-1,0)与点(1,0)到直线1=-b y a x 的距离之和为S,且S c 54≥,则离心率e 的取值范围是 （ ）A ．]5,25[B ．]7,2[C ．]7,25[D ．]5,2[38．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ,在长轴12A A 上任取一点M ,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ,则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为 （ ）A B C D ．1239．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）过抛物线22(0)ypx p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ,直线l 与抛物线的准线的交点为B ,点A 在抛物线的准线上的摄影为C ,若AF FB =,36BA BC ⋅=,则抛物线的方程为 （ ）A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．2y =40．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆4222a y x =+的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若)(21+=,则双曲线的离心率为 （ ）A ．210 B ．510 C ．10D ．241．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）抛物线24y px =(0p >)与双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)有相同的焦点为F ,点A 是两曲线的交点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为（ ）A B 1C 1D 一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. B 5. B 6. B7. C8. D9. B10. B11. C12. D13. C14. A15. C16. B17. C18. C19. C20. D21. B22. A23. B24. D25. A26. B。
2014圆锥曲线答案
专题二十二 圆锥曲线解答题1.解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，∵直线20x y -+=与圆相切，∴22d b ==，即1b =，又22c e a ==，及，得2a =，所以椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）①当直线AB 的斜率为0时，A （2-，0），B （2，0）时，=-1 ②当直线AB 的斜率不为0时，不妨设AB 的方程为：1x my +=由22112x myx y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(2)210m y my +--=设则：12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 11221122(1,)(1,)(2,)(2,)x y x y my y my y =-∙-=-∙-2225194122m m m --=+=-+++7(1,]2∈- 由①、②得：的取值范围为[71,2-]．2.解：(Ⅰ) 椭圆1C ：116422=+y x ；联立方程组解得)32,1(),32,1(-B A ，所以34=AB . (Ⅱ)假设存在，由题意将F E ,坐标带入1C 做差得0416y x k EF -=，将N M ,坐标带入3C 得06y k MN =，00201224,1x x y k k MN EF >=∴-=⋅ ，故满足条件的P 点在抛物线3C 外，所以不存在这样的点P .3.解（Ⅰ）由点(2,)M t 在直线2a x c =上，得，故， ∴1c =． 从而．所以椭圆方程为．（Ⅱ）以OM 为直径的圆的方程为． 其圆心为,半径222x y b +=222a b c =+22F A F B11122()()A x y B x y ，，，，22F A F B22F A F B 22a c =212c c +=2a =2212x y +=(2)()0x x y y t -+-=(1,)2t 214t r =+因为以OM 为直径的圆被直线截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离212td r =-=． 所以，解得．所求圆的方程为．（Ⅲ）由平几知：， 直线:OM ，直线:FN ， 由得∴2224||(1)2244t ON t =+⋅⋅=+．以线段ON 的长为定值．4.解(Ⅰ) ∵||||8a b += ，则2222(2)(2)8x y x y ++++-=，2211612y x +=(Ⅱ)因抛物线方程为：)3(122--=y x ，故)0,0(),3,0(F P .当直线x l ⊥轴时，不合题意。
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2014年高三理科数学寒假作业――圆锥曲线
班级___________ 姓名_________________座号_________
一．选择题
1.已知椭圆的离心率为1
2
,方程为2214x y m +=,则m 的值是 ( )
B.3
C.
或
16
3
D.3或
163
2．若AB 是过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM.BM
与坐标轴不平行，K Am ，K Bm 分别是直线AM 与BN 的斜率，则K Am K Bm ＝( )
A. 22a b -
B. 22b a -
C. 22c a -
D. 2
2c b -
3．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b
-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=
且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）
A B C
D 4. 已知点P 在曲线y ＝
4
e x
＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )．
A.⎣⎡⎭⎫0，π4
B.⎣⎡⎭⎫π4，π2
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π 5．设O 是坐标原点，F 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA
与x
轴正向的夹角为60
，则OA
为（ ）
A ．
214
p
B C p D ．
1336
p 6．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ,在双曲线右支上存在一点
P 满足12PF PF ⊥且126
PF F π
∠=
,那么双曲线的离心率是 （ ）
A
B
C
1 D
1
7.
已知双曲线的两个焦点分别为12(F F ，P 是双曲线上一点，且12PF PF ⊥，
122PF PF =，则双曲线方程是 （ ）
A ．22
123
x y -=
B ．22
132x y -=
C ．2214x y -=
D ．22
14
y x -=
8．设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A B C ，，
为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0
，则FA FB FC ++=
（ ）
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
9．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的左、
右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为 A B C ．2 D 10．设直线系M ：x cos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四 个命题：
（1）存在一个圆与所有直线相交 （2）存在一个圆与所有直线不相交 （3）存在一个圆与所有直线相切 （4）M 中的直线都过一定点。
其中真命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 二．解答题
11. 若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是_________．
12.若函数y ＝ax ＋8与y ＝－1
2
x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________.
13．已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==t
y t x 882
(t 为参数),焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一
点,l PA ⊥,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为3-,那么=PF _________ . 14．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上两点，若三角形ABC 为等边三角形，则m 的取值范围是 .
x
y O
A B
F 1
F 2
(第9题图)
15．在△ABC中，B(10，0)，点A不在坐标轴上，直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)2＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为．三．解答题
C c任作一直线，与抛物线16．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)
2
=相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:l y c
y x
=-交于,P Q，（1）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（2）试问（1）的逆命题是否成立？说明理由.
17．如图，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 与过点A （2，0）、B （0，1）的直线有且只有一个
公共点T ，且椭圆的离心率2
3
=
e ，（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）设F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠A TM=∠AF 1T
18．已知中心在坐标原点,焦点在x
轴上的椭圆过点P ,且它的离心率2
1=
e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)与圆22
(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点,若椭圆上一点C 满足λ=+,求实数λ的取值范围.。