苏教版函数单调性
函数的单调性-高一数学课件(苏教版2019必修第一册)
(2)当 x≤0 时,如果取 x1<x2≤0, f(x1) 与 f(x2)哪个大? (2) 当x>0 呢?
(1) 当 x≤0 时, 图象左高右低.
自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 减小.
x1<x2≤0 时, f(x1)>f(x2).
函数 f(x)=x2 在(-∞, 0]上是减函数.
(-,-1), (-1,0), (0,1), (1,+)
y
o
1
23Biblioteka 4x题型建构
例6. 设 f(x) 是定义在区间 [-6, 11] 上的函数, 如果 f(x) 在区间 [-6, 2] 上递减, 在区间 [-2, 11] 上递增, 画出 f(x) 的一个大致的图象, 从
图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x) 的一个 最小值 .
解: (1) 图象开口向上, 顶点 ( , - ).
函数在 (-∞, 0]上是增函数,
5
函数在 (-, ] 上是减函数,
2
5
在 [ 2 , + y ) 上是增函数.
2
4
在 [0, +∞)上是减函数.
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
-1
o
-1
-5
4
1
2
3
4
x
·
·
-3 -2 -1 o
·x
1 2 3
提升建构
∴ f(x1) - f(x2)>0,
∴ f(x1) - f(x2)<0,
即f(x1) > f(x2),
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
新教材苏教版高中数学必修第一册5.3函数的单调性 精品教学课件
单调性.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数f(x)=x2,因为-1<2,且f(-1)<f(2),则函数是增函数. ( )
(2)函数f(x)= 3 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
()
x
(3)函数f(x)在某一区间D上要么是增函数要么是减函数. ( )
提示:(1)×.函数f(x)=x2在R上不具有单调性.
3.已知函数f(x)= x2 a 1 x 7(x 1)，是定义在R上的减函数,则实数a的取值范 围是________. a 4 x 5x 1 【必解有析a】1根据≥题1,意且,a函-4数<0f,(且x)1=-(a+xa12 )+47a≥x1(5ax-x47)(+1x5 ,解1)，得是1R≤上a的≤减3,函即数a的,取值范围
3.选D.y=|x|(1-x)=
x2 x, x 0，
x
x
2
,
x
0，
再结合二次函数图象可知函数y=|x|(1-x)的减区间是(-∞,0), (1 , ).
2
【解题策略】 图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图:作出函数的图象. (2)结论:上升图象对应增区间,下降图象对应减区间.
【补偿训练】
(1)y=f(x)在区间I上是_增__函__数__
(1)y=f(x)在区间I上是_减__函__数__
(2)I称为y=f(x)的增区间
(2)I称为y=f(x)的减区间
(2)本质:函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律,定量地刻画了函数 在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质. (3)应用:证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.
函数的单调性课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数使等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝ f（x0）
至少有一个交点.
高中数学
示例
必修第一册
配套江苏版教材
1 + 2 +
＝
1 + 2 +
则f（x1）-f（x2）＝
1+
−
1 +
- 1+
−
2 +
＝
− −
− 2 −1
＝
1 + 2 +
1 + 2 +
.
∵ a>b>0，x2>x1>-b，∴ a-b>0，x2-x1>0，x2+b>0，x1+b>0，
∴ f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（0）＝-1.
（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.
综 上 ， f （ x ）
−1, < 0,
综上，函数y＝f （x）在（0， ］上是减函数，在［ ，+∞）上是增函数.
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
【方法总结】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.
函数的单调性苏教版
单调函数的奇偶性可以 通过函数的定义域和函 数值的性质来判断。
03
函数的单调性应用
利用单调性求函数的最值
单调性定义
函数在某区间内单调递增或递减，即对于该区间内任意两 点x1, x2，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)（递增）；当x1<x2 时，f(x1)>f(x2)（递减）。
单调性求最值
利用单调性，可以找到函数的最大值或最小值。例如，对 于递增函数，其最大值出现在区间的左端点；对于递减函 数，其最小值出现在区间的左端点。
举例
解不等式f(x)=x^2-2x>0。由于 f(x)=(x-1)^2-1在区间(-∞,1)上 递减，在区间(1,+∞)上递增， 所以解集为(-∞,0)∪(2,+∞)。
利用单调性研究函数的零点
80%
单调性与零点
利用函数的单调性，可以研究函 数的零点个数、位置以及性质。
100%
研究零点方法
根据函数单调性，判断函数在某 区间内的符号变化情况，从而确 定零点的个数和位置。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调 性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函 数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图 像是上升的，则函数单调递增；如果图像是下降的 ，则函数单调递减。
02
函数的单调性性质
单调函数的连续性
单调函数在其定义域内是连续的，即函数在定义域 内的每一点都满足连续的条件。
单调函数在定义域内的每一点都有左右极限，且极 限值相等。
单调函数在定义域内的每一点都有定义，且函数值 在定义域内是唯一的。
高中数学苏教版必修一《2.2.1函数的单调性》课件
• 四级 • 五级
2023/9/15
16
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• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
2023/9/15
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• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
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2.2.1
函数的单 调性
数学苏教版 高中数学
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•【单知击识此目处标编】辑：母使版学文生本从样形式与数两方面理解函数单调性的概念，学 会•利二•用级三函级数图像理解和研究函数的性质，初步掌控利用函数图象 和单调性• 四定级义判定
三级
• y四级
x
2,
y
x 2,
y
x2,
y
1
• 五级
x
的图象，并且视察自变量变化时，函数值有
什么变化规律？
2023/9/15
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单击问题此1处：分编别辑作出母函版数标题样式 y x 2, y x 2, y x2, y 1
• 单击此的处图编象辑，母并版且文本视样察式自变量变化x时，函数值有 • 二•级什三级么变化规律？
• 四级 • 五级
2023/9/15
9
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• 二级 问题2：能不能根据自己的理解说说什 • 三级 • 么四级是增函数、减函数? • 五级
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10
单击问此题处1：编下辑图是母函版数标y 题x样 2x式(x 0)
• 单击此处的编图辑象母,版能文说本出样这式个函数分别在哪个区间为增 • 二级函数和减函数吗？
函数的单调性教案苏教版必修
函数的单调性教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用函数单调性解决实际问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与性质2. 常见函数的单调性3. 利用函数单调性解决问题三、教学重点与难点：1. 重点：函数单调性的概念及判断方法，利用函数单调性解决问题。
2. 难点：函数单调性的证明，复杂函数单调性的判断。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义、性质及判断方法。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的函数单调性。
3. 运用数形结合法，直观展示函数单调性。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如购物时的折扣问题，引导学生思考函数单调性的意义。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义、性质及判断方法，引导学生理解并掌握。
3. 案例分析：分析实际问题中的函数单调性，如物体运动过程中的速度与时间的关系。
4. 练习：让学生自主探究常见函数的单调性，如正弦函数、余弦函数等。
5. 巩固：通过课后习题，巩固所学知识，提高学生的数学运算能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固函数单调性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：检查学生对常见函数单调性的判断和应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况及运用能力。
七、教学反思：1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，以便更好地传授知识。
2. 针对学生的疑难问题，进行讲解和辅导，确保学生掌握函数单调性。
3. 结合学生的实际应用情况，丰富教学案例，提高学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生探究函数单调性与导数的关系。
2. 探讨函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
3. 推荐相关阅读材料，引导学生深入研究函数单调性。
苏教版 高中数学必修第一册 函数的单调性 课件1
设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)+f
x2 x1
=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f
上是增函数.
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单 调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区 间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在 单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.
跟踪训练1 函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示， 试写出它的单调区间，并指出单调性.
判断函数单调性的常用方法
1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结 论”进行判断. 单调性判断的等价结论:
当x∈D时, f(x)是增函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔ f (x1) f (x2)>0.
x1 x2
当x∈D时, f(x)是减函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ f (x1) f (x2)<0.
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数
的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中 y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]
③若y=f(x)是定义在区间(a,b)或R上的连续函数,则函数y=f(x)的最大(小)值要
根据具体函数而定. (4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个.
新教材苏教版必修第一册53第一课时函数的单调性课件1
新课程标准解读
核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、 直观想象、数学运算、
最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义
逻辑推理
第一课时 函数的单调性
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关 记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持 量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．
∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝（x2－x1）x21（ x22 x2＋x1）. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数．
∵
f（x1）－f（x2） x1－x2
<0
等 价 于 [f(x1) － f(x2)]·(x1 － x2)<0 ， 而 此 式 又 等 价 于
f（x1）－f（x2）>0， x1－x2<0
或
f（x1）－f（x2）<0， x1－x2>0，
即
f（x1）>f（x2）， x1<x2
或
fx（1>xx12），<f（x2），∴f(x)在(a，b)上单调递减，②是真命题，同理可得③也是真命题．
若要说明函数 f(x)在某个区间上不是单调递增(减)的，只需在该区间上找到两个值 x1，
第5章-5.3-函数的单调性高中数学必修第一册苏教版
是(-1.5，-1.5),所以当 = 1.5时,函数 = 取得最大值,即 = 1.5;当 = −1.5时,
函数 = 取得最小值,即 = −1.5.根据函数单调性的几何意义,图象从左到右
上升的部分对应的区间是增区间,从左到右下降的部分对应的区间是减区间，因此,函
C.−1
2
D.1
+ − 1在[3, +∞)上单调递增，且 在[3, +∞)上的
最小值为1，所以 3 = 1，即 = −2.
+ 3, < 1,
5
（2）函数 = ቊ
的最大值为___.
− + 6, ≥ 1
【解析】当 < 1时，函数 = + 3单调递增，且有 < 4，无最大值;当 ≥ 1时，
（2）求证当 ∈ 时，恒有 > 0;
【解析】由题意知当 > 0时，0 < < 1.
当 = 0时， 0 = 1 > 0,
当 < 0时，− > 0,∴ 0 < − < 1.
∵ + −
∴ =
1
−
= − ,∴ − = 1.
2
1
2 + 1
2
+（大于0的途径→
3 2
配方） 1 ].（3.变形.）
4
∵ 1 < 2 ,∴ 2 − 1 > 0,而
若 2 +
2
1
2 1
2
1
2 + 1
2
+
3 2
4 1
≥ 0,
3
4
+ 12 = 0,
苏教版高中数学必修一课题 函数的单调性.docx
课题 函数的单调性【考点聚焦】1、理解函数单调性的定义，并学会利用定义去判断或证明函数在给定区间上的单调性2、理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值3、能利用函数的单调性解决其他一些综合问题.【考情预测】1、函数单调性仍将会是2016年高考的重点，特别要注意函数单调性的应用.2、常见题型有：（1）求函数的单调区间；（2）用定义判断函数在所给区间上的单调性；（3）单调性的应用的意识，特别是求函数最值，（4）已知函数的单调性求参数的范围等【重点难点】研究函数的单调性的工具选择：图像、定义、导数【教学过程】一、知识要点（1）单调增函数 关键词：任意两个值（2）单调减函数（3）单调性、单调区间（4）几何意义：二、基础训练1、已知函数t x m x f +-=)12()(在区间R 是减函数.则m 的范围2、已知函数14)(2+=mx x x f －在区间).2[∞+-是增函数.则m 的范围3、函数||)3(x x y -=的单调递减区间是______4、函数1212)(+-=x x x f 在R 上为 函数（增减性） 5、已知函数12)(-+=x a x x f 在),1(+∞上是减函数.则a 的范围 6、函数xx y 1ln -=的单调增区间7、已知函数xa x x f +=)(在),1(+∞上是增函数. 则a 的范围 8、已知函数,1()(3)4,1x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，若对任意的12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成 立，则a 的取值范围为______________9、函数x x x f --+=11)(的最大值M ,最小值m ，则m M = 10、已知函数2()cos f x x x =-，对于]2,2[ππ-上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >；③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 三、典型例题例1、求82)(2--=x x x f 的单调增区间例2、确定函数x x f 211)(-=在定义域上的单调性 例3、若()f x 对任意的,m n R ∈都有()()()1,f m n f m f n +=+-且0,x >恒有()1f x >.（1）求证：()f x 在R 上是增函数 （2）若(3)4f =，解不等式2(2)2f a a +-< 例4、已知函数11lg )(--=x kx x f (1) 求函数)(x f 的定义域； (2) 若函数)(x f 在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围例5、已知(]1,0,12)(2∈-=x xax x f （1）若()x f 在区间]1,0(是增函数，求a 的取值范围（2）求()x f 在区间]1,0(上的最大值小结：（1）利用定义证明函数单调性的步骤：⑴取值 ⑵作差 ⑶作差 ⑷化积与0比较 ⑸结论.（2）判定函数的单调性的工具：（1）图象法；（2）定义法；（3）导数四、课堂检测1、已知函数2)(2+++=m x mx x f 在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的范围_______2、函数43()21x f x x -=+的单调减区间为 3、已知函数)(x f 在)1,1(-上是减函数，若)9()3(2a f a f -<-，则a 的范围4、已知函数2)(+-=b x a x f 在),1(+∞上是增函数. 则a 的范围 b 范围5、已知函数()f x 为定义在(2,2)-上的偶函数，且()f x 在(2,0]-上递增，则满足不等式 (1)(2)f a f a ->的a 的取值范围为___________6、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=0,)1(0,2)(x x k x k e x f x 是R 上的增函数，则实数k 的取值范围_______7、函数⎩⎨⎧<-≥+=0,)1(0,1)(22x e a x ax x f ax 在R 上单调，则a 的取值范围是_____ 8、若函数2()log ()a f x x ax =-在区间1(,0)2-内递增，则a 的取值范围为_________ 9、讨论函数1)(2-=x ax x f 在)1,1(-上的单调性，并证明 10、已知函数2()21x x m f x +=-为奇函数. (1) 求实数m 的值 (2) 用定义证明函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数(3) 若关于x 的不等式()0f x a +<对区间[]1,3上的任意实数x 都成立，求实数a 的范围11、是否存在实数a ，使函数)(log )(2x ax x f a -=在区间]4,2[上是增函数？如果存在，说明a 可取哪些值；如果不存在，请说明理由12、设函数a ax x e x f x++=2)(其中a 为实数(1) 若)(x f 定义域为R ，求a 的范围 （2）当)(x f 定义域为R 时，求)(x f 的单调减区间。
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的单调性
成果交流
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
0, 上的单调性.
（教材P43/7(4))
并给出证明
主要步骤
描点作图
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
1 3、证明函数 f（x）= x 在 x 单调递增的。(选做)
0,1
上是
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离. ——华罗庚
y ax
2
b bx c(a 0) 的对称轴为 x 2a
b
x
y
y g ( x)
O
a
m
n
b
x
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
y x 1
y x2
o x o x o x
函数的这种性质称为函数的单调性 能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标 在某一区间内， 关系来说明上升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
y y
o1
x
o 1
x
a 解：二次函数 f ( x) x ax 4 的对称轴为 x , 2 a 由图象可知只要 x 1 ，即 a 2 即可. 2
2
，且 x1
变 形
x1, x2 1,
x2 x1 x2 0, x1 x2 1 0
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ) 1 所以函数 y x 在区间上 1, 是增函数. x
定号
结论 返回
f ( x) 是定义在R上的单调函数，且 f ( x) 的图
y x2 +2的单调增区间是 ( , 0] _______;
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y=-x2+2
y x +2的单调减区间是_______.
2
[0, )
2
1
2
x
变式1：讨论 变式2：讨论
y ax (a 0) 的单调性
y ax bx c(a 0)
13.5
赛季
得分
02-03 03-04
13.5 17.5
04-05
18.3
05-06
22.3
篮板
8.2
9
8.4
10.2
篮板
10.2 9 8.4
8.2
02 03
03 04
04 05 05 06
赛季
02 03
03 04
04 05 05 06
赛季
y
y f ( x)
O
a
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
单调增区间 单调减区间
y ax2 bx c
a>0
b , 2a
b , 2a
b , 2a
a<0
b , 2a
返回
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
？
讨论1：根据函数单调性的定义，
能不能说y 1 ( x 0)在定义域(, 0) (0, )上 x 是单调减函数?
k (k 0) 在 ,0和 0, 上的单调性？ x
2试讨论 f ( x)
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2.
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2)
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
y
10 8 6 4
2
O -2 2 4
I
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
I x 1
当x1<x2时，
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
y
y x2
o x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
江苏省通州高级中学 张春明
永 远 联 系 莫 分 华 离
罗 庚
切 莫 忘 几 何 代 数 统 一 体
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 无 形 时 少 直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
,
,
——
姚明数 据统计 表
得 分
22.3 18.3 17.5
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
f(2) f(1) O 1 2x
例1、下图为函数 y = f x , x [4, 7] 的图像， 指出它的单调区间。
1 1 ) ( x2 ) x1 x2
取值
则 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1
作差
1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 )( ) x1 x2
( A) y 2 x 1
2 (C ) y x
( B) y 3x
x 1 x 0 x 1 x 0
________
成果运用
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。
都 当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x1,x2，
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
1 试用定义法证明函数 f ( x) 1 x 在区间 0, 上是单调增函数。
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？ 2.判断函数单调性有哪些常用方法？ 3.你学会了哪些数学思想方法？ 作业
2、证明函数 f（x）=-x2在 0, 上是 减函数。 1、教材 p37 /5，6，7
y 3
-1.5
2 1 -1 -2
1 2 3 4 5 6 7x
-4 -3
-2 -1 o
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y
y
1 y x
1 ( x 0); x
x
1 (, 0) (0, , y 的单调减区间是 _____________ ) x
象过点A（0，2）和B（3，0） （1）解方程 f ( x) f (1 x) （2）解不等式 f (2 x) f (1 x) （3）求适合 f ( x) 2或f ( x) 0 的 x 的 取值范围
返回
成果运用
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。
变式1
若二次函数 f ( x) x ax 4 的单调增区间是 ,1 ， 则a的取值情况是 （ ）