最新九年级数学上第三章证明三
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九年级数学上第三章证明 三
九年级数学(上)第三章 证明(三)
3.1 平行四边形(三） 三角形的中位线及性质
我思,我进步3
三角形中位线的性质
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的 一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. A
∴FE∥AB,FE 1 AB. MN∥AB,MN 1 AB. C
2
2
∴ FE∥MN,FE=MN.
∴四边形FENM是平行四边形.
FG
∴MG=GE,NG=GF.
M●
∴AM=MG=GE,BN=NG=GF.
A
D
∴同G同E∶理G,AG=DG∶FG∶CG=B1=∶12∶..2.
∴GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2
求证：AF= 1 FC,
1 EF= BE
G
2
3
A
F E
B
D
C
下课了! 结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
E B
别平行或一组对边平行且相等来证明. H
证明:连接AC.
F
∵E,F,G,H分别为各边的中点, D ∴EF∥AC,EF 1 AC.
G
C
2
HG∥AC,HG 1 AC.
2
∴四边形EFGH是平行四边形.
我思,我进步5
做一做,想一想
1、已知，如图,A,B两地被
A
池塘隔开,在没有任何测量
工具的情况下,有通过学习 M
怎么样,在老师的帮助下,你可A 以写出证明过程了吗? 由此你又悟出了些什么?
C
FG M●
D
E
●N B
已知.如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交于 点G.求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.
证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接 FE,EN,NM,MF.
∵F,E是AC,BC的中点,
D
G
C
独立
作业
知识的升华
P79习题3.3 1,2,3,4题.
祝你成功！
思考题？
A
E
1、如图，在△ABC中，AB=AC，E为AB中点，
延长AB到D，使BD=AB，连接CD、CE，
B
C
求证：CD=2CE
2、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， D E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点 F，DG是△BCF的中位线。
驶向胜 利的彼
岸
三角形重心的几何性质
已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交 于点G.求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.
分析:要证明GE∶GA=1∶2,可以考虑折半法(如取 GA的中点M,GB的中点N).
转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF. 分别连接FE,EN,NM,MF. 从而借助于三角形的中位线构 造平行四边形来获得证明.
.
E
●N B
已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交 于点G.求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.
你还能用另外的方法证明吗？ C
FG
E
A
D
B
回顾 思考 三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三
边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位,
∴DE∥BC,DE 1 BC. 2
这个定理提供了证明线段平行,和线
D
E
′
段成倍分关系的根据.
模型:连接任意四边形各边中点
B
C
所成的四边形是平行四边形.
A
要重视这个模型的证明过程反映出来的
规律:对角线的关系是关键.改变四边形
E B
的形状后,对角线具有的关系(对角线相 H 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决
F
定了各中点所成四边形的形状.
求证: △ABC≌△ABC≌△ABC.
分析:利用三角形中位线性质,可 D
E
转化用(SSS)来证明三角形全等.
证明:
B
∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
F
C
D EB FF.C EF AD D.B FD C EE.A
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进
行下去得到四边形AnBnCnDn .
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长.
A
A1
D2
D1
D3
C3
B A2 B1
A3 B2
B3
C2
C1
D
C
三角形的重心
我们知道,三角形的三条中线交于一点. 这一点叫做三角形的重心.
三角形的重心有一个重要的几何性质:
三角形的重心分每一条中线的比为 1∶2(重心到每边的中点距离∶重心 到所对角的顶点的距离).
F
你能证明这个命题吗?
C
G
E
A
D
B
心动 不如行动
与同伴交流你的想法和具 体的证明方法.
驶向胜利 的彼岸
我思,我进步4
三角形中位线性质的应用
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH 是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
A
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利 用三角形的中位线可转化两组对边分
方法估测出了A,B两地之间 的距离:先在AB外选一点C, C ′ 然后步测出AC,BC的中点
N
B
M,N,并测出MN的长,由此他
就知道了A,B间的距离.你 能说出其中的道理吗?
驶向胜利 的彼岸
做一做,想一想
如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四
边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四
九年级数学(上)第三章 证明(三)
3.1 平行四边形(三） 三角形的中位线及性质
我思,我进步3
三角形中位线的性质
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的 一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. A
∴FE∥AB,FE 1 AB. MN∥AB,MN 1 AB. C
2
2
∴ FE∥MN,FE=MN.
∴四边形FENM是平行四边形.
FG
∴MG=GE,NG=GF.
M●
∴AM=MG=GE,BN=NG=GF.
A
D
∴同G同E∶理G,AG=DG∶FG∶CG=B1=∶12∶..2.
∴GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2
求证：AF= 1 FC,
1 EF= BE
G
2
3
A
F E
B
D
C
下课了! 结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
E B
别平行或一组对边平行且相等来证明. H
证明:连接AC.
F
∵E,F,G,H分别为各边的中点, D ∴EF∥AC,EF 1 AC.
G
C
2
HG∥AC,HG 1 AC.
2
∴四边形EFGH是平行四边形.
我思,我进步5
做一做,想一想
1、已知，如图,A,B两地被
A
池塘隔开,在没有任何测量
工具的情况下,有通过学习 M
怎么样,在老师的帮助下,你可A 以写出证明过程了吗? 由此你又悟出了些什么?
C
FG M●
D
E
●N B
已知.如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交于 点G.求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.
证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接 FE,EN,NM,MF.
∵F,E是AC,BC的中点,
D
G
C
独立
作业
知识的升华
P79习题3.3 1,2,3,4题.
祝你成功！
思考题？
A
E
1、如图，在△ABC中，AB=AC，E为AB中点，
延长AB到D，使BD=AB，连接CD、CE，
B
C
求证：CD=2CE
2、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， D E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点 F，DG是△BCF的中位线。
驶向胜 利的彼
岸
三角形重心的几何性质
已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交 于点G.求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.
分析:要证明GE∶GA=1∶2,可以考虑折半法(如取 GA的中点M,GB的中点N).
转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF. 分别连接FE,EN,NM,MF. 从而借助于三角形的中位线构 造平行四边形来获得证明.
.
E
●N B
已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交 于点G.求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.
你还能用另外的方法证明吗？ C
FG
E
A
D
B
回顾 思考 三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三
边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位,
∴DE∥BC,DE 1 BC. 2
这个定理提供了证明线段平行,和线
D
E
′
段成倍分关系的根据.
模型:连接任意四边形各边中点
B
C
所成的四边形是平行四边形.
A
要重视这个模型的证明过程反映出来的
规律:对角线的关系是关键.改变四边形
E B
的形状后,对角线具有的关系(对角线相 H 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决
F
定了各中点所成四边形的形状.
求证: △ABC≌△ABC≌△ABC.
分析:利用三角形中位线性质,可 D
E
转化用(SSS)来证明三角形全等.
证明:
B
∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
F
C
D EB FF.C EF AD D.B FD C EE.A
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进
行下去得到四边形AnBnCnDn .
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长.
A
A1
D2
D1
D3
C3
B A2 B1
A3 B2
B3
C2
C1
D
C
三角形的重心
我们知道,三角形的三条中线交于一点. 这一点叫做三角形的重心.
三角形的重心有一个重要的几何性质:
三角形的重心分每一条中线的比为 1∶2(重心到每边的中点距离∶重心 到所对角的顶点的距离).
F
你能证明这个命题吗?
C
G
E
A
D
B
心动 不如行动
与同伴交流你的想法和具 体的证明方法.
驶向胜利 的彼岸
我思,我进步4
三角形中位线性质的应用
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH 是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
A
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利 用三角形的中位线可转化两组对边分
方法估测出了A,B两地之间 的距离:先在AB外选一点C, C ′ 然后步测出AC,BC的中点
N
B
M,N,并测出MN的长,由此他
就知道了A,B间的距离.你 能说出其中的道理吗?
驶向胜利 的彼岸
做一做,想一想
如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四
边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四