3.5数列的求和

( 2 ) S n 1 n 2 ( n 1) 3 ( n 2 ) n 1
a k = k ( n + 1 - k ) = ( n + 1 ) k - k ,1 k n
Sn n ( n 1)( n 2 ) 6
2
方法三、并项法(分组转化法) 求和
n
1
35
1
( 4 ) s n = C n + 2 C n + 3 C n + +( n + 1 ) C n; (5) sn = 2 + 22 + 222 + + 22 2.
提示及答案： (1)拆项分组求和 Sn=n(n+1)2; (2) 拆项分组求和
(3)裂项相消法 s n (5)转化法 a n =
an =
( 2 )求 a n
1 n
-
1 n +1
2
2n 1 [ n ( n 1 )]
的 前 n的 和 S n
n (n + 1) 2 (2n) ( 3 )a n 的 前 n的 和 S n ( 2 n 1)( 2 n 1) an = 1 + [ ] 2 (2n - 1) 2n + 1 1 1 1
;
方法六、倒序相加法求和
一个数列如果距首末两端等距离的两项之和相等， 那么这个数列求和就可采用倒序相加法。这种方法的 实质就是等差数列的求和思想。 将数列的倒数第k项（k=1,2,3,…）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加。 如等差数列求和公式的推导
再 如 求 S n C n 4 C n 7 C n 1 0 C n ( 3 n 2 )C n
an =
1
2
-
1
2
方法五、 错位相减法求和
如果数列{ an}为等差数列，{bn}为等比数列，则求 数列{an·bn}的前n项和，用错位相减法求和。这种方法 的实质就是等比数列的求和思想。 如等比数列求和公式的推导；
再 如 求 Sn 1 2 x 3 x n x
2 n1
将数列相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组） 得到一个新且更容易求和的数列。
例 如 S n 1 2 3 4 5 6 ( 1)
n1
n
方法四、裂项相消法求和
将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负 项能互相抵消，剩下首尾若干项。 常用裂项技巧有：
2 9
n 2n + 1
n
n个2
sn 145
1021 1536
n -1
;
;
(4)倒序相加法 s n = ( n + 2 )× 2
(10 - 1)
sn
2 (1 0
n 1
10 9n)
.
81
1 1 1 = ( ); n(n + k) k n n + k 1 n+k + n = 1 k ( n+k n ); 1
k×k ! = ( k + 1 ) ! - k !
注意：正负项相消后，所剩正数项与负数项的项数必 是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的 项有前后对称的特点。
例如：
(1 ) S n 1 1 2 1 2 3 1 n( n 1)
数列的求和关键在于数列通项公式的表达 形式,只有根据通项公式的形式特点,才能采取相 应的求和方法；在求和时还应注意数列的项数。 数列的求和通常有以下几种方法：
方法一、公式法求和
1、等差数列的求和公式 Sn n (a1 a n ) 2 na 1 n( n 1) 2 d
na 1 2、等比数列的求和公式 S n a 1 (1 q n ) 1 q n n( n 1) 3、 k 1 2 3 n ; 2 k 1 (q 1) (q 1)
0 1 2 3 n
典型例题
求：1 ) s n = 1 4 + 2 7 + 3 1 0 + + n ( 3 n + 1 ) ; (
(2) 数列 1 (3) sn = 1 3 1 13
0
,4 +
1 6
,7 1
1 12 +
2
, 前 1 0 项和 ； 1 57 + + ; (2n－ 1)(2n＋ 1)
( q 1)
方法二、拆项法(分组转化法)求和
将一个数列拆成若干个易求和的简单数列（等差数 列、等比数列、常数数列等），然后分别求和,再合并。
例 如 : (1) S n 1 2 2 3 n ( n 1);
an = n
Sn
2
+ n
n ( n 1 )( n 2 ) 3
k
k 1 n
n
2
1 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 n
2 2 2 2
n ( n 1 )( 2 n 1 ) 6
；

k
3
k 1
n( n 1) 3 3 3 3 1 2 3 n 2
2
无穷递缩等比数列各项的和 S
a1 1 q