第五章授课(5.1、5.2)
畜禽解剖生理第五章教案
第5章消化系统一、授课章节5.1概述 5.2消化器官 5.3消化生理二、学时安排2学时三、教学目标1．消化系统的组成，消化、吸收的概念。
2．各消化器官的形态、位置、构造及生理机能。
3．消化的方式及三大营养物质消化吸收的机理和过程。
四、教学重点、难点分析重点：1.消化系统的组成，消化、吸收。
2.消化吸收的机理。
难点：五、教具实习动物标本、模型六、教学方法讲授法，多媒体课件。
七、教学过程Ⅰ.导入复习旧课：1．内脏的一般结构。
2．腹腔、骨盆腔与腹膜的位置。
3．腹腔的划分意义。
本次课的学习要介绍的是：消化吸收的概念、消化系统的组成、口腔、咽、食管、胃、小肠、肝和胰、大肠、肛门及消化方式、消化道的消化特点和吸收特点。
II.新课一、概述提示：主要包括口腔、咽、食管、胃、小肠、大肠、肛门；另有消化腺。
动物把摄自外界的物质在消化管内转变为结构相对简单，能被机体吸收的物质的过程称为消化；而被分解消化了的物质透过消化管黏膜上皮进入血液、淋巴，参与机体新陈代谢的过程称为吸收。
机体内完成消化和吸收的器官。
消化腺又分为壁内腺和壁外腺。
如唾液腺、肝脏、胰脏等。
它们的分泌物可经特定的排泄管排入消化管内，参与消化过程。
二、消化器官注意：不同动物口腔中的齿数不一样。
一、口腔口腔为消化器官的起始部，具有采食、咀嚼、辨味、吞咽和分泌消化液等功能。
其前壁为唇；两侧壁为颊；顶壁为硬腭；底壁为下颌骨和舌；后壁为软腭。
通过咽峡与咽相连。
(一)唇唇表面被覆皮肤，内面衬以黏膜，中层为环行肌。
牛唇坚实、短厚、不灵活。
上唇中部和两鼻孔之间的无毛区，称鼻唇镜，是鼻唇腺的开口处，健康牛此处湿润、低温，常作为牛体是否健康的标志之一。
羊唇薄而灵活，上唇中部有明显的纵沟，两鼻孔之间形成无毛区，称为鼻镜。
猪的上唇短厚，与鼻连在一起构成吻突，下唇尖小，口裂很大。
马唇长而灵活，是采食的主要工具。
(二)颊颊位于口腔两侧，主要由颊肌构成。
牛羊的颊黏膜上有许多尖端向后的锥状乳头。
2022秋八年级数学上册 第5章 二次根式5.1 二次根式1二次根式及其性质授课课件湘教版
感悟新知
要点精析：
知2－讲
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件
是：各个二次根式中根式又含有分式，那么它有意
义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式
的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有
谢谢观赏
You made my day!
之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数 g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
知1－导
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方
根，一个记作 a ，称为a的算术平方根；另一个是 a－ .
感悟新知
结论
知1－讲
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的
①
13；②
－3；③－
3
x2＋1；④ 8；⑤
132；⑥ x2－2.
A．2 B．3 C．4 D．5
感悟新知
知识点 2 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a 0 )
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 知2－导
为二次根式的前提条件.式子 就 2不是二次根式，但式 子 ( 2却) 2 又是二次根式．
数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式；
知1－讲
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界
定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 2 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式
第五章 5.1-5.2创新思维障碍及方法训练
容并蓄才能立于不败之地。
• 过于依赖习惯的顽症
习惯像一把双刃剑
30岁以前人养成习惯，
30岁以后习惯养成人。 ——someone
• 过于依赖习惯的顽症
我们每天的活动，从清晨起床到晚上睡觉， 90%以上纯粹是下意识的、习惯性的。
习惯有助于日常生活和工作，可以让我们 驾轻就熟，提高效率，习惯可以帮助我们 解决90%以上甚至95%以上的问题。
第五章 创新思维障碍及方法训练
学习要点： 1.思维定势以及其积极性和消极性 2.创新思维障碍类型 3.创新思维训练 学习要求： 1.掌握各种创新思维训练方法。 2.熟悉思维定势的积极性和消极性，以及各种类型 的创新思维障碍类型。 3.了解思维定势的概念。
游戏：老鹰抓小鸡
思维定势小测验（一）
如果有人问你：“什么老鼠两条腿走路？”你如何回答？
因为令很多人感到有些荒谬的是，这次打架竟然以空手道 冠军失败作为结局！
这究竟是怎么一回事呢？
案例点评：
事后通过记者的采访，人们才知道了事情的原因。原来空 手道运动有这样一种规则，就是不能打头部，腰部以下也不 能打。可是普通人没有学过空手道，因此不会受到制度与约 定的束缚，那个普通人直直地一勾拳就击在空手道冠军的鼻 梁，冠军就此倒地不起，被彻底击晕了。 我们需要规则，但不需要僵化。而僵化就是不假思索，仅 仅按照惯性的力量去推动，而不去体会外界环境是否有了彻 底的改变，自然难免在竞争中失利。所谓的高手，只有一种 剑法和一个套路，是不能行走江湖的，还必须应时而动，兼
女人最想要什么?
5、自我中心思维定断地不顾他人的存在 和感觉。
案例一：公司职员下岗… 案例二：翡翠戒指的故事８万…
练习：请最前一排的一位同学说一段话，依次
第五章电子邮件营销技术
每周平均发 出电子邮件
9.1 8.2 6.8 5.3 5.5 5.3 4.1 4.3 3.6 3.7
5.1.2 电子邮件营销的分类
按照是否经过用户许可分类
许可电子邮件营销 未经许可的电子邮件营销
按照电子邮件地址资源的所有权分类
内部电子邮件营销 外部电子邮件营销
按照电子邮件营销的功能分类
顾客服务电子邮件营销 顾客关系电子邮件营销 在线调查电子邮件营销 产品促销电子邮件营销
使用户认识某一品牌 使用户形成对某一产品或服务的兴趣或偏好 使用户能与发送方取得联系，获取信息或购买产品、 服务 管理客户关系或实现其他相关的营销目标
表5-1
项目
2001.1 2001.7 2002.1 2002.7 2003.1 2003.7 2004.1 2004.7 2005.1 2005.7
称呼 邮件正文 发件人签名
最好采用纯文本格式的文档，内容充满人性， 词语亲切
5.2.2.3 发送电子邮件，收集反馈信息 并及时回复
注意特定计划的总体反应率（例如点击率和转化率）并跟 踪顾客的反应，从而根据顾客过去的反应行为进行未来的 市场细分 。
接到业务问询时，应及时做出回复，最好在24小时以内。 4小时内得到回复，顾客感觉棒极了。
开展电子邮件营销的步骤
获得用户电子邮件地址资源的方法
开展电子邮件营销的一般过程
5.1.4.1 开展电子邮件营销的步骤
5.1.4.2 获得用户电子邮件地址资源的方法
（1）现有用户。 （2）网站的浏览者。 （3）他人推荐。 （4）在线与离线广告。 （5）发布新闻。 （6）会员组织。 （7）直接回复邮件。 （8）其他。
由与打算 “新江南”公司的网络营销现状 网络营销活动计划 网络营销活动效果 分析问题
化工基础_第五章_5.1 -5.2
b、液体分布器
作用：使液体能够均匀地分布在填料层上。 类型：多孔型、溢流型。
(a)莲蓬头式
(b)多孔环管式
(c)溢流管式
化学与材料工程学院
（d）排管式
化学与材料工程学院
C、液体收集及再分布装置 作用：将上段填料层流下的液体收集充分混合后，重新分 布在下段填料层上。 形式：
(a)截锥型
(b) “罗赛脱”型
b．漏液
气体通过筛孔的速度较小时，气体通过筛孔的动
压不足以阻止板上液体的流下，液体会直接从孔口落下，这种 现象称为漏液。正常操作时，一般控制漏液量不大于液体流量 的10％。相应的孔流气速为漏液点气速 。
稀溶液，气液两相的平衡关系遵循亨利(Henry)定律； 理想溶液的气液相间符合拉乌尔(Raoult)定律。
相间传质过程的方向和极限的判断：
①若物质在一相中(A相)实际浓度大于其在另一相 (B相)实际浓度所要求的平衡浓度，则物质将由A相向 B相传递；
P A ＞ P A*
②物质在A相实际浓度小于其在B相实际浓度所要求
②板式塔上流体力学状况 塔板形式多样，下面介绍塔板上气液接触状态、漏液、 雾沫夹带、液泛等流体力学规律。
a.气液接触状态 孔速较低时,气体以鼓泡形式通过液层， 板上气液两相呈鼓泡接触，图(a). 随孔速的增大气泡的 数量而增加,气泡表面连成一片发生合并与破裂,板上液体 以泡沫形式存在于气泡之中,但液体为连续相,气体为分散 相,图5(b).孔速继续增大,气体从孔口喷出,液体由连续相 变为分散相,气体则由分散相变为连续相,图©.
3. 塔设备简介
传质过程有共同的规律，也有通用的传质设备。 气体吸收和液体精馏两种气液传质过程通常在塔设 备内进行。提供气、液两相充分接触的机会。 根据塔内气液接触部件的结构型式，分为填料塔与
八年级物理上册第五章物态变化5.2熔化和凝固教学设计(新版)教科版
4.科学应用能力：通过实际案例的引入和分析，让学生了解熔化和凝固在生活和工业中的应用，提高学生运用知识解决实际问题的能力。
重点难点及解决办法
1.重点：
-熔化和凝固的概念及其过程。
5.例题五：熔化和凝固的温度记录
题目：实验室中，一块冰被放置在恒温箱中，记录了冰熔化的过程温度变化。在0℃时，冰开始熔化，经过10分钟，温度上升到1℃，然后保持不变。又过了10分钟，温度下降到0℃，冰完全熔化。求冰熔化过程中的平均温度变化速率。
解答：
冰熔化过程中的温度变化ΔT = 1℃ - 0℃ = 1℃。
-讨论法：分组讨论熔化和凝固过程中的热量变化、实际应用等问题，促进学生思考和交流。
-问题驱动法：提出问题引导学生探究，激发学生的求知欲和解决问题的能力。
-案例分析法：分析生活实例和工业应用案例，让学生了解熔化和凝固的实际意义。
2.教学手段：
-多媒体设备：使用PPT、视频动画等展示熔化和凝固的微观机制和实验过程，增强直观性。
课堂
-在课堂讲解过程中，我通过提问的方式，了解学生对熔化和凝固概念的理解程度。通过观察学生的反应和参与程度，我能够及时发现问题并进行解决。例如，我发现有些学生在理解熔化和凝固的温度变化特点时存在困难，我立即进行了详细的解释和举例，帮助他们更好地理解这个知识点。
-设计计算题，让学生运用热量变化公式计算实际问题，提高学生的应用能力。
-提供生活实例和工业应用案例，让学生了解熔化和凝固的实际意义。
-分组讨论和小组合作，鼓励学生交流思考，共同解决问题。
教学方法与手段
相交线与平行线
5.2.2 平行线的判定
判定1 两条直线被第三条直线所截，如果同位 角相等，那么这两条直线平行。简称：同位 角相等，两直线平行。 判定2 两条直线被第三条直线所截，如果内错 角相等，那么这两条直线平行。简称：内错 角相等，两直线平行。
判定3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁 内角互补，那么这两条直线平行。简称：同 同旁内角互补，两直线平行。 判定4 如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行。
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5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质 5.3.2 命题、定理
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5.3.1 平行线的性质
平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补。 平行线间的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两 条垂线的画法 （1）过直线上一点作已知直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的垂线。 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长 度，叫做点到直线的距离
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5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
同位角
∠1与∠5，这两个角分别在直线a, b的下方，并且在直线l的右侧， 像这样位置的一对角叫做同位角。
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5.4 平移
平移的定义 在平面内，将一个图形整体沿某一方向 移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平 移变换，简称平移。 平移的性质 （1）把一个图形整体沿某一方向平移，会得到 一个新的图形，新图形与原图形的形状和大 小完全相同，即平移前后两图形完全重合。
第五章 留数及其应用
第五章留数及其应用(Residue and application)第一讲授课题目：§5.1 孤立奇点教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态学时安排：2学时教学目标：1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点：孤立奇点的分类教学难点：各类奇点的特征教学方式：多媒体与板书相结合P习题五：1-5作业布置：133132板书设计：一、孤立奇点的分类二、各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：§5.1 孤立奇点(Isolated singular point)一、孤立奇点的分类（Isolated singular points of ） 设函数)(z f 在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么我们称0z 为)(z f 的孤立奇点.在D 内，)(z f 有洛朗展式,)()(0∑+∞-∞=-=n n nz z z f α其中,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+ρζζζπαC n n n d z f iρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ.,)(00∑+∞-=-n n nz z α为)(z f 的解析部分，,)(10∑+∞=---n n nz z α为)(z f 的主要部分.例1 0是z e z z 1,sin ，z1的孤立奇点. 例2()zz f 1sin 1=，()Λ,2,110==n n z π是它的孤立奇点. 一般地，对于上述函数)(z f ，按照它的洛朗展式含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：定义（Definition ）5.1(1) 若 )(z f 在0z 的主要部分为零， 则称 0z 为)(z f 的可去奇点.(2) 若 )(z f 在 0z 点的主要部分为有限多项. 即110)1(0)()(z z z z z z m m mm-++-+------αααΛ (0≠-m α)则称 0z 为)(z f 的m 阶极点.(3) 若 )(z f 在 0z 点的主要部分有无限多项, 则称 0z 为 )(z f 的本性奇点.二、各类奇点的特征(The characteristics of various types of singularities)1、可去奇点(Removable singularity) 我们说0z 是)(z f 的可去奇点，或者说)(z f 在0z 有可去奇点.这是因为令00)(α=z f ，就得到在整个圆盘R z z <-||0内的解析函数)(z f .定理(Theorem)5.1函数)(z f 在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z 是)(z f 的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，0)(lim 0α=→z f z z ，其中0α是一个复数.证明：（必要性）.已知0z 是)(z f 的可去奇点，在R z z <-<||00内，)(z f 有洛朗展式：...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ，所以它的和函数在R z z <-||0内解析，于是显然存在着0)(lim 0α=→z f z z .（充分性）设在R z z <-<||00内，)(z f 的洛朗展式是,)()(0∑+∞-∞=-=n n nz z z f α其中,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+γζζζπαn d z f i n n 已知0)(lim 0α=→z f z z ，所以存在着两个正数M 及)(0R ≤ρ，使得在00||0ρ<-<z z 内，,|)(|M z f <那么取ρ，使得00ρρ<<，我们有,...)2,1,0(221||1±±==≤+n MM n n n ρρπρπα 当0<n 时，在上式中令ρ趋近于0，就得到,...)3,2,1(0---==n n α.于是0z 是)(z f 的可去奇点.定理(Theorem)1.5'设0z 为)(z f 的孤立奇点，则0z 是)(z f 的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数)(0R ≤ρ，使得)(z f 在00||0ρ<-<z z 内有界.2. 极点(Pole)设0z 是)(z f 的m 阶极点.当1=m 时，称0z 是)(z f 的单极点，当1>m 时，称0z 是)(z f 的m 重极点.0z 是)(z f 的)1(≥m 阶极点，那么在R z z <-<||00内，)(z f 有洛朗展式：...)(...)(...)()()(0010011010+-++-++-++-+-=--+--n n m m mm z z z z z z z z z z z f αααααα在这里0≠-m α.于是在R z z <-<||00内()()z z z z z z z z z z z z z z f mn n m m mmϕαααααα000100110101...)(...)(...)()()(-=+-++-++-++-+-=--+--其中)(z ϕ是一个在R z z <-||0内解析的函数，并且0)(0≠z ϕ.反之，如果函数)(z f 在R z z <-<||00内可以表示成为上式右端的形状，而)(z ϕ是一个在R z z <-||0内解析的函数，并且0)(0≠z ϕ，那么可以推出0z 是)(z f 的m 阶极点.这样我们就得到： 0z 是)(z f 的m 阶极点充要条件是：()()z z z z f mϕ01)(-=（1） 其中)(z ϕ在0z 解析，并且0)(0≠z ϕ. 由此可得如下定理：定理(Theorem)5.2设函数)(z f 在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z 是)(z f 的极点的充分必要条件是：∞=→)(lim 0z f z z .推论设函数)(z f 在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z 是)(z f 的m 阶极点的充分必要条件是：m m z z z f z z -→=-α)()(lim 00，在这里m 是一个正整数，m -α是一个不等于0的复常数.3. 本性奇点 (Essential singularity) 定理(Theorem)5.3设函数)(z f 在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z 是)(z f 的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限)(lim 0z f z z →.例3 研究是函数()ze zf 1=孤立奇点的类型 解：0=z 是函数()ze zf 1=的孤立奇点.当z 沿正实轴趋近于0时，ze 1趋近于∞+； 当z 沿负实轴趋近于0时，ze 1趋近于0；所以zz e 1lim →不存在，故0=z 是函数()ze zf 1=的本性奇点.例4 研究是函数()zzz f sin =孤立奇点的类型 解：0=z 是函数()zzz f sin =的孤立奇点.因为函数()zz z f sin =在+∞<<||0z 内的洛朗展式为...)!12()1(...!5!31sin 242++-+-+-=n z z z z z nn 由于展式中负幂项系数均为0，故故0=z 是函数()zzz f sin =的可去奇点.例5 求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点也要加以讨论：（1）3sin )(z z z z f -= （2）25)1()(z z z f -=解（1）（法一）)(z f 以0=z 为奇点 先求)(z f 在+∞<<||0z 的洛朗展式：∑∑+∞=++∞=++-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=112301233)!12()1(1)!1()1(1sin )(n n n n n n n z z z zn z z z z z z f 由此，)(z f 在0=z 的负幂项部分为零；故0=z 为)(z f 的可去奇点.（法二） 因为616sin lim 31cos lim sin lim02030-=-=-=-→→→z z z z z z z z z z 故0=z 为)(z f 可去的奇点（2）显然1=z 是)(z f 的二级极点. 三、函数的零点与极点的关系(Function relationship between the zero and pole) 定义(Definition)5.2若()()z z z z f mϕ0)(-=，其中)(z ϕ在0z 解析，且0)(0≠z ϕ，m 是一正整数，则称0z 为)(z f 的m 阶零点.定理(Theorem)5.4若)(z f 在0z 解析，则0z 为)(z f 的m 阶零点充分必要条件是()()()()0,1,1,00)(00≠-==z fm n z fm n Λ证明：（必要性）若0z 为)(z f 的m 阶零点，则 ()()z z z z f mϕ0)(-=设)(z ϕ在0z 的泰勒展式为...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z αααϕ 其中0)(00≠=z ϕα，从而)(z f 在0z 的泰勒展式为()()Λ+-+-=+10100)(m mz z z z z f αα由此式推知()()()()0,1,1,00)(00≠-==z fm n z fm n Λ（充分性）课后作业注1：不恒为零的解析函数的零点是孤立的(Analytic function is not identically zero zero is isolated)零点与极点有如下关系定理(Theorem)5.5 0z 为)(z f 的m 阶极点，则0z 是()z f 1的m 阶零点，反之亦然.例6函数()zz f sin 1=有什么奇点？如果是极点，指出它们的阶.解：()Λ,2,1,00sin ±±==⇒=k k z z π是函数)(z f 的孤立奇点，由于()Λ,2,1,00)(sin ±±=≠'=k z k z π，所以()Λ,2,1,0±±==k k z π都是z sin 的一阶零点，也就是()zz f sin 1=一阶极点. 四、函数在无穷远点的性态(Function in the behavior of Infinity)定义(Definition)5.3设函数)(z f 在无穷远点的邻域+∞<<||z R 内解析，则称无穷远点为)(z f 的孤立奇点.在+∞<<||z R 内，)(z f 有洛朗级数展式：∑+∞-∞==n n nz z f α)( （2）其中,...)2,1,0,(,)()(2110±±=>-=⎰=+ρςρζζζπαn R d z f i n n 令w z 1=，按照0>R 或0=R ，我们得到在Rw 1||0<<或+∞<<||0w 内解析的函数)1()(w f w =ϕ，在Rw 1||0<<内其洛朗级数展式是：∑+∞-∞==n n n w b w )(ϕ再用zw 1=代入，得到在+∞<<||z R 内 ∑+∞-∞=-=n n nz bz f )( （3）（3）与（2）对比得()Λ,2,1,0,±±==-n b n n α 因此，有（1）在（2）中，如果当时Λ,3,2,1=n 时，0=n α，那么∞=z 是)(z f 的可去奇点.（2）在（2）中，如果只有有限个（至少一个）整数0>n ，使得0≠n α，那么∞=z 是)(z f 的极点.设对于正整数m ，0≠m α，而当m n >时，0=n α，那么我们称∞=z 是)(z f 的m 阶极点. （3）在（2）中，如果有无限个整数0>n ，使得0≠n α，那么称∞=z是)(z f 的本性奇点.注2：我们也称,,1∑∑+∞=-∞=n nn n nn z z αα分别为级数,∑+∞-∞=n n n z α的解析部分和主要部分.注3：若∞=z 为)(z f 的可去奇点，也说)(z f 在无穷远点解析.注4：有限点的结论都可以推广到无穷远点的情形，有 定理(Theorem)5.6设函数)(z f 在无穷远点的邻域+∞<<||z R （0≥R ）内解析，则孤立奇点∞=z 为)(z f 的可去奇点、极点、本性奇点的充分必要条件是存在着有限、无穷极限)(lim z f z ∞→、不存在有限或无穷的极限)(lim z f z ∞→.例7 求函数)1(1)(-=z z z f 在∞的去心邻域内的洛朗展式，并指出其收级域.解：因)(z f 在+∞<<||1z 内解析，故在此领域内展为洛朗级数.∑∑∑+∞=+∞=++∞===-=--=--=-1210111111111.1111)1(1n n n n n n z z z z z z zz z z z z例8 函数324321)(z z z z f +++=是否以∞=z 为孤立奇点？若是，属于哪一类？解：函数324321)(z z z z f +++=在全平面上解析，式子本身就是)(z f 在无穷远点的邻域+∞<||z 内的洛朗展式，所以∞=z 是函数)(z f 的孤立奇点且为三阶极点.例9 函数z z f sin 1)(=是否以∞=z 为孤立奇点？ 解：函数zz f sin 1)(=在全平面上除z sin 的零点以外为解析，但z sin 的零点()Λ,2,1,0±±==k k z k π，它们都是zz f sin 1)(=的极点，且在扩充复平面上，序列{}kz 以∞=z 为聚点，因此∞=z 不是函数zz f sin 1)(=的孤立奇点.2 1 §5.2 留数留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数.1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数3、了解留数的概念留数定理留数的求法讲授法多媒体与板书相结合P思考题：1，2，3.习题五：6-8133132一、留数定理二、留数的求法三、函数在无穷远点的的留数[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、会求留数2、能理解留数的概念3、课后要答疑第二讲授课题目：§5.2留数教学内容：留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数.学时安排：2学时教学目标：1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数3、了解留数的概念教学重点：留数定理教学难点：留数的求法教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1，2，3.习题五：6-8作业布置：133132板书设计：一、留数定理二、留数的求法三、函数在无穷远点的的留数参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求留数2、能理解留数的概念3、课后要答疑教学过程：§5.2 留数 (Residue)一、 留数的概念及留数定理（The concept of the residue and the residue theorem ）设函数)(z f 在点0z 解析.作圆r z z C =-|:|0，使)(z f 在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分0)(=⎰Cdz z f设函数)(z f 在区域R z z <-<||00内解析.选取r，使R r <<0，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果)(z f 在0z 也解析，则0)(=⎰Cdz z f ；如果0z 是)(z f 的孤立奇点，则积分⎰Cdz z f )(就不一定等于零；关于⎰Cdz z f )(的计算有定义（Definition ）5.4如果0z 是)(z f 的孤立奇点，函数)(z f 在区域R z z <-<||00内解析.则称积分⎰C dz z f i)(21π为)(z f 在孤立奇点0z 的留数，记作())],[Res 0z z f ，这里积分是沿着C 按逆时针方向取的.注1:我们定义的留数())],[Res 0z z f 与圆C 的半径r 无关. 事实上:在R z z <-<||00内，)(z f 有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n n nz z z f )()(0α，当1-=n 时，⎰=-C dz z f i)(211πα 有 12)(-=⎰απi dz z f C即， ()10)],[Res -=αz z f . （1）这就是说)(z f 在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数.注2：如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么()0)],[Res 0=z z f 例1 求zze z f 1)(=在孤立奇点0=z 处的留数 解：在+∞<<||0z 内Λ++++==21!31!211)(z z z ze z f z所以 ()!21)]0,[Res 1==-αz f 定理(Theorem)5.7（柯西留数定理）(Cauchy residue theorem)设)(z f 在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么()],,[Res 2)(1k nk Cz z f i dz z f ∑⎰==π （2）证明：以D 内每一个孤立奇点()n k z k Λ,2,1=为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点.根据柯西定理有,)()(1∑⎰⎰==nk Ckdz z f dz z f γ由此得,)(21)(211∑⎰⎰==nk C kdz z f i dz z f i γππ 即()⇒∑⎰=],[Res )(211k nk C z z f dz z f i π()],,[Res 2)(1k nk Cz z f i dz z f ∑⎰==π二、留数的求法(Method of Calculating the residue) 法则1：设0z 是)(z f 的一个一阶极点.则 ())()(lim ],[Res 000z f z z z z f z z -=→ （3）证明：0z 是)(z f 的一个一阶极点.因此在去掉中心0z 的某一圆盘内（0z z ≠），)(1)(0z z z z f ϕ-=其中)(z ϕ在这个圆盘内包括0z z =解析，其泰勒级数展式是：,)()(00∑+∞=-=n n n z z z αϕ而且0)(00≠=z ϕα.显然，在)(z f 的洛朗级数中01z z -的系数等于)(0z ϕ，因此()()())()(lim lim ],[Res 0000z f z z z z z z f z z z z -===→→ϕϕ例2 求函数()()521)(+-=z z z z f 在各孤立奇点处的留数解：由于52,0-=z 是)(z f 的一阶极点，有()()()101521lim)(lim ]0,[Res 0-=+-==→→z z z zf z f z z()()14151lim)()2(lim ]2,[Res 22=+=-=→→z z z f z z f z z()()35121lim)()5(lim ]5,[Res 55=-=+=--→-→z z z f z z f z z法则2：设)()()(z Q z P z f =其中)(z P 及)(z Q 在0z z =解析，0)(0≠z P ，0z 是)(z Q 的一阶零点，那么0z 是)(z f 的一阶极点，且()()()000],[Res z Q z P z z f '=（4） 证明：利用法则1注意下面式子()()()000000 )()()()(lim )()(lim ],[Res 00z Q z P z Q z Q z P z z z f z z z z f z z z z '=--=-=→→ 即可得证.例3 函数21)(ze zf iz+=在极点处的留数 解：因为函数,1)(2z e z f iz+=有两个一阶极点i z ±=，且,21)(')(iz e zz Q z P = 由法则2 ()ei ze i zf iz iz22],[Res -===().22],[Res e i ze i zf iz iz==--= 法则3： 设0z 是)(z f 的一个m 阶极点.则().)]()[(lim )!1(1],[Res 10100--→--=m m m z z dzz f z z d m z z f （5） 例4 求函数2)(ze zf z-=在0=z 处的留数解：因0=z 是)(z f 的二阶极点，则有公式（5）有()()1lim )]()0[(lim )!12(1]0,[Res 0122120-=-=--=-→--→z z z e dzz f z d z f 三、函数在无穷远点的的留数(Function Infinity residue) 定义(Definition)5.5 设∞=z 为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在+∞<<||z R 内解析，则称⎰-Γ>=Γ):(,)(21R z dz z f i ρπ 为)(z f 在点∞=z 的留数.记为]),([Re ∞z f s .这里-Γ是指顺时针方向.注3：若)(z f 在+∞<<||z R 内的洛朗展式为∑+∞-∞==n n nz z f α)(则有1]),([Re --=∞αz f s注4： )(z f 的有限可去奇点a 处，有0]),([Re =a z f s ，但是如果点∞为)(z f 的可去奇点（或解析点），则]),([Re ∞z f s 可以不是零.例如 1],1[Re -=∞zs定理(Theorem)5.8如果)(z f 在扩充z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为∞,,,21n a a a Λ，则)(z f 在各点的留数总和为零.证明：对于充分大的正数R ,使n a a a Λ,,21全在R z <||内，由留数定理得()],[Res )(211k nk Rz a z f dz z f i ∑⎰===π而]),([Re )(21∞-=⎰=z f s dz z f i Rz π故得()+∑=],[Res 1k nk a z f 0]),([Re =∞z f s .法则4：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re ]),([Re 2z f z s z f s证明：在无穷远点留数定义中，令θρi e z =.并令ς1=z ，经过化简即可得证. 例5 求函数()324102)2()(-+=z z z z f 在它各有限奇点的留数总和.解：函数的有限奇点是2及)3,2,1,0(24124==+k ez i k k π，共五个.其中2是三阶极点，每个k z 是二阶极点，显然，逐个求出在各奇点的留数，不论用规则2或展开洛朗级数，都是十分麻烦的，现在我们利用定理5.8来求：()[]()[]()[]()[]()()()()121211lim 0,21211Re 0,11Re ,Re 0,Re ,Re 2,Re 324032423-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⋅-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=∞++→=∑z z z z z z z s z z f s z f s z f s z z f s z f s z k k 而所以欲求的留数之和为1注5：定理5.8为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法.如下例例6 计算积分()()()⎰--+Cz z i z dz3110，其中C 为正向圆周2=z解：除∞外，被积函数的奇点是3,1,i z -=，据定理 5.8有()[]()[]()[]()[],0,Re 3,Re 1,Re ,Re =∞+++-z f s z f s z f s i z f s 其中 ()()()()31110--+=z z i z z f由于,1,i z -=都在C 的内部，所以从上式、留数定理与法则4得到，()()()()[]()[]{}()[]{}()[]()()101010303212,Re 3,Re 21,Re ,Re 231i i i i z f s z f s i z f s i z f s i z z i z dzC+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∞+-=+-=--+⎰ππππ2 1 §5.3 留数在定积分中的应用*§5.4 对数留数与辐角原理 形如⎰=π20)cos ,(sin dt t t R I 的积分、形如 ⎰+∞∞-dx x R )( 型积分、形如dx e x R imx⎰+∞∞-)( 的积分.对数留数、辐角原理、儒歇（Rouche ）定理.1、熟练掌握⎰=π20)cos ,(sin dt t t R I 、⎰+∞∞-dx x R )(、dx e x R imx ⎰+∞∞-)( 的计算方法 2、掌握儒歇（Rouche ）定理及其应用 3、正确应用辐角原理 4、了解对数留数 形如⎰=π20)cos ,(sin dt t t R I 的积分，辐角原理形如dx e x R imx⎰+∞∞-)( 的积分，辐角原理讲授法 多媒体与板书相结合133132-P 思考题：1，2，3.习题五：6-8一、形如⎰=π20)cos ,(sin dt t t R I 的积分二、形如⎰+∞∞-dx x R )( 型积分三、形如dx e x R imx⎰+∞∞-)( 的积分 四、对数留数五、辐角原理六、儒歇（Rouche ）定理[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. [2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社. [3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005. [4]《复变函数与积分变换》,苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008.1、不能正确掌握dx e x R imx⎰+∞∞-)( 2、会求形如⎰=π20)cos ,(sin dt t t R I 的积分3、能正确运用儒歇（Rouche ）定理4、辐角原理掌握不太好5、课后要答疑第三讲§5.3 留数在定积分中的应用(Residue in the application of definite integral) 在数学分析中往往要计算一些定积分或反常积分，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者可以求出原函数，但计算也非常繁琐.在这种情况下把这些定积分的计算问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数.下面通过例子进行讨论.一、 形如⎰=πθθθ20d R I )cos ,(sin 的积分，令θi e z=，则izdz d d ie dz i =⇒=θθθ i z z 2sin 1--=θ，2cos 1-+=z z θ其中()θθcos ,sin R 是θθcos ,sin 的有理分式，当πθ20≤≤时，z 沿单位圆1=z 的正向绕行一周，因此有izdzi z z z z R d R z )2,2()cos ,(sin 20111⎰⎰=---+=πθθθ （1）例1 计算积分⎰+=πθθ20,sin a d I其中常数1>a .解：令θi e z =，则izdz d d ie dz i =⇒=θθθ由（1）,12212⎰=-+=z iaz z dzI于是应用留数定理，只需计算122)(2-+=iaz z z f 在|z |<1内极点处的留数，就可求出.上面的被积函数有两个极点：121-+-=a i ia z 及122---=a i ia z .显然1||,1||21><z z .因此被积函数在1||<z 内只有一个极点1z ，122)(2-+=iaz z z f 在极点1z 的留数为 ()11222],[Res 211-=+=a i ia z z z f于是求得.1211222-=-=a a i iI ππ二、 形如 ⎰+∞∞-dx x R )( 型积分其中 ())()(z Q z P z R =为有理分式函数. 定理5.9设 ())()(z Q z P z R =为有理分式, 其中 0,)(0110≠+++=-c a z a z a z P m m m Λ; 0,)(0110≠+++=-b b z b z b z Q n n n Λ为互质多项式, 且合条件:(1) 2≥-m n ,即()z Q 比()z P 至少高两次， (2) ()z Q 在实轴上无零点，(3) )(z R 在上半平面0>z Im 内的极点为),,(n k z k Λ21=, 则∑⎰>+∞∞-=0Im )),((Re 2)(k z kzz R s i dx x R π （2）例2 计算积分⎰∞++0222)1(x dxx解：因为被积分函数是一个偶函数，所以⎰⎰∞+∞-∞++=+=+222222222)1()()1(21)1(z z z f dxx x x dx x它一共有两个二阶极点i z ±=，在上半平面只有i z =一个极点，由公式().)]()[(lim )!1(1],[Res 10100--→--=m m m z z dz z f z z d m z z f 得 ()=)],[Res i z f 4)(lim 22ii z z i z -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→ 由（2）得 ⎰⎰∞+∞-∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=+=+44221)1(21)1(2220222ππi i dx x x x dx x例3计算积分⎰∞+=022,)1(x dxI解：因为被积分函数是一个偶函数，所以 ⎰⎰+∞∞-+∞+=+=+2222022)1(1)()1(121)1(z z f dxx x dx它一共有两个二级极点i z ±=，在上半平面只有i z =一个极点，由公式().)]()[(lim )!1(1],[Res 10100--→--=m m m z z dz z f z z d m z z f 得 ()=)],[Res i z f 4)(1lim 2ii z i z -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→ 由（2）得 ⎰⎰∞+∞-∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=+=+44221)1(121)1(22022ππi i dx x x dx 注1：通过上述二例，一般形如,)(⎰+∞∞-=dx x R I的积分，其中()x R 是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次.都可以用上述方法来计算.三、 形如 dx e x R imx ⎰+∞∞-)( 的积分.其中 ())()(z Q z P z R =为有理分式函数. 定理(Theorem) 5.10 设 ())()(z Q z P z R =为有理分式函数. 其中 ()z Q 与()z P 为互质多项式,且满足条件: (1) ()z Q 的次数比()z P 的次数高，(2)()z Q 在实轴上无零点， (3)0>m 则有),)((Re 2)(0Im k a imzimxa ez R s i dx e x R k ∑⎰>+∞∞-=π （3）注2：将上式实,虚部分开,得到形如:mxdx x Q x P cos )()(⋅⎰+∞∞- 和 mxdx x Q x P sin )()(⋅⎰+∞∞- 的积分. 例 4 计算积分 dx xmxI ⎰+∞+=021cos 解: 因为被积函数为偶函数. 所以dx x mxdx xmx I ⎰⎰+∞∞-+∞+=+=2021cos 211cos 而由（3）m imiimz imx e i e i i z e s i dx xe -+∞∞-=⋅=+=+⎰πππ22],1[Re 2122 比较等式两端的实,虚部得m e I -=2π .同时也可求得: 01sin 2=+⎰+∞∞-dx xmx . 注3：公式（2）与（3）都要求()z Q 在实轴上无零点，即()z R 在实轴上无孤立奇点，若()z R 在实轴上有孤立奇点，则()∑∑⎰=>+∞∞-+=nk k z k x z f s z z f s i dx x f k 10Im ],[Re 21)),((Re 2)(π （4） 其中k z 是上半平面的奇点，k x 是实轴上的奇点.例5 计算积分⎰+∞=0sin dx xx I 解：因为被积函数为偶函数. 所以⎰+∞==0sin dx x x I ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=dx x e dx x x ix Im 21sin 21 而()zz z R sin =在上半平面内无奇点，k x 是实轴上有奇点0=z 由公式（4）i z e z i z e s i dx x e izz iz ix πππ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→∞+∞-⎰0lim 0,Re 2102 比较等式两端的实,虚部得π=⎰+∞∞-dx x x sin . ⎰+∞==02sin πdx x x I 所以 *§5.4 对数留数与辐角原理(Logarithmic residue and argument principle)一、对数留数（Residual of logarithm ）定义（Define ）5.6 形如⎰'C dz z f z f i )()(21π的积分称为()z f 的对数留数，注1：函数()z f 的零点和奇点都可能是)()(z f z f '的奇点. 引理（Lemma ）（1）设a 是()z f 的n 阶零点，则a 必为函数)()(z f z f '的一阶极点，并且 n a z f z f s ='],)()([Re （2）设b 为()z f 的m 阶极点.则b 必为函数)()(z f z f '的一阶极点，并且m b z f z f s -='],)()([Re 定理(Theorem)5.11设()z f 在简单闭曲线C 的内部除可能有极点外是解析,并在C 上解析且不为零， 则有),(),()()(21C f P C f N dz z f z f i C -='⎰π 其中()C f N ,表示C 内部零点的总个数，()C f P ,表示C 内部极点的总个数， m 阶零点或极点算m 个零点或极点证明；由已知条件，可知()z f 在C 内部至多有有限个零点和极点，设)2,1(,p k a k Λ=为()z f 在C 内部的不同零点，其阶为k n ；)2,1(q j b j Λ=为()z f 在C 内部的不同极点，其阶为j m 由上述引理知)()(z f z f '在C 内部及C 上除去在C 内部有一级极点)2,1(,p k a k Λ=及)2,1(q j b j Λ=外均是解析的，故有留数定理及引理得),(),()(],)()([Re ],)()([Re )()(211111C f P C f N m n b z f z f s a z f z f s dz z f z f i p k q j j k p k q j j kC k -=-+='+'='∑∑∑∑⎰====π二、辐角原理（Angle principle of the spoke ）为了说明对数留数的几何意义，我们将对数留数写成 ⎰'C dz z f z f i )()(21π=⎰C dz z f dz d i )]([ln 21π=⎰Cz f d i )(ln 21π =⎰⎰+C Cz f d i z f d i )](arg )(ln [21π 函数)(ln z f 是z 的单值函数，当0z z 从起沿简单闭曲线C 一周回到0z 时有 )(ln )(ln )(ln 00z f z f z f d C-=⎰=0 另一方面，当0z z 从起沿正方向绕行简单闭曲线一周回到0z 时，)(arg z f 的值可能改变.于是⎰'C dz z f z f i )()(21π=ππϕϕ2)(arg 2)(01z f i i C ∆=- 式中)(arg z f C ∆表示z 沿C 正方向绕行一周后()z f arg 的改变量，是π2的整倍数.定理(Theorem)5.12（辐角原理）在定理5.11的条件下，()z f 在闭曲线C 的内部的零点个数与极点个数之差，等于当z 沿C 正方向绕行一周后()z f arg 的改变量)(arg z f C ∆除以π2，即=-),(),(C f P C f N π2)(arg z f C ∆ 特别，如()z f 在C 的内部及C 上均解析，且()z f 在C 上不为零时，则=),(C f N π2)(arg z f C ∆. 三、 儒歇（Rouche ）定理（Theorem that Confucianism has a rest (Rouche)）定理(Theorem)5.13（儒歇定理）设函数()z f 及()z g 在简单闭曲线C 的内部及C 上均解析,并且在C 上，()()z g z f >，那么C 的内部()z f 及()()z g z f +的零点的个数相同.注2:选择()z f 及()z g 的原则是:()z f 在内的零点个数好计算.例1 方程,012558=+--z z z在1<z 内根的个数.解：取,2)(,15)(85z z z g z z f -=+-= 由于当1=z 时，我们有,41|5||)(|5=--≥z z f而 ,3|2||||)(|8=+≤z z z g 由此可知：在1=z 上，有()()z g z f >，根据儒歇定理 已给方程在1<z 内根的个数与155+-z 在1<z 内根的个数相同，即5个.例2 问方程01085=+-z z（1）在圆1<z 有几个根.（2）在圆环31<<z 各有几个根.解：（1）取10)(-=z f ，z z z g 8)(5-= 在1=z 上，)()(z g z f >，根据儒歇定理：)(z f 与)()(z f z g +在1<z 内的零点的个数相同，即01085=+-z z 在1<z 内无根（2）取z z g z z f 810)()(5-==，， 在3=z 上，)()(z g z f >，根据儒歇定理：方程0)(5==z z f 的五个根全在3<z 的内部，即01085=+-z z 在31<≤z 上有五个根，但在1=z 上0810*******55>--≥--≥+-z z z z z z所以方程01085=+-z z 在1=z 上无根，故01085=+-z z 的根全在31<<z 内例3 如果e a >，求证方程n z az e =在单位圆1<z 内有n 个根.证明：取,)(,)(n z az z f e z g =-= 由于当1||=z 时，,|||)(|,|||)(|Re e a az z f e ee e z g n z z z >===≤=-=根据儒歇定理：z n e az -在1<z 内的零点的个数与n az 相同，即n 个，因此方程n z az e =在单位圆内有n 个根.例4 试用儒歇定理证明代数学基本定理：n 次方程 0001110≠=++++--a a z a z a z a n n n n Λ有且只有n 个根（几重根就算作几个根）证明：取n n n a z a z g z a z f ++==-Λ110)()(，，当z 在充分大的圆周R z C =:上时，例如取 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++>1max 01，a a a R n Λ 有 11111)()(---++<+++≤n n n n n R a a a R a R a z g ΛΛ )(0z f R a n =<根据儒歇定理定理，在R z <内，方程0110=+++-n n n a z a z a Λ与00=n z a有相同个数的根，而00=n z a 在R z <内有一个n 重根：0=z ，因此n 次方程0001110≠=++++--a a z a z a z a n n n n Λ有n 个根，另外，在圆周R z =上，或其它外部，任取一点0z ，则R R z ≥=00，于是 0000010210010100101000110100=->+++->++-≥++-≥++++-----n n n n n n n n n n n nn n n R a R a R )a a a (R a )a R a (R a a z a z a a z a z a z a ΛΛΛΛ这说明原n 次方程在R z =是及其外部没有根，所以原n 次方程在z 平面上有且只有n 个根.小结：重点掌握孤立奇点分类，留数计算方法，灵活运用留数计算实积分.。
不定积分教案
第五章不定积分教学安排说明章节题目：5.1 不定积分的概念5.2 不定积分的性质5.3 换元积分法5.4 分部积分法学时分配：共6学时。
5.1 不定积分的概念1学时5.2 不定积分的性质1学时5.3 换元积分法2学时5.4 分部积分法2学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。
课堂教学方案（一）课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。
教学内容5.1 不定积分的概念1.原函数与不定积分在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。
但是，在科学、技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。
这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。
定义1 如果函数)(x f 与)(x F 为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有 )()('x f x F =或d ()()d F x f x x =,则称)(x F 是)(x f 的一个．．原函数. 根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如x x cos )(sin ='， 故x sin 是x cos 的一个原函数；x x cos )1(sin ='+， 故1sin +x 也是x cos 的一个原函数；x x 2)(2='， 故2x 是x 2的一个原函数；x x 2)2(2='+， 故2x 也是x 2的一个原函数.．．．．．．由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明：第一，若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数，即)()(x f x F =',则对任意常数C , 由于)())((x f C x F ='+,所以函数C x F +)(都是)(x f 的原函数.这说明如果函数)(x f 有原函数,那么它就有无限多个原函数.第二，若在某区间内)(x F 为)(x f 的一个原函数，那么，)(x f 的其它原函数和)(x F 有什么关系？设()x Φ是)(x f 在同一区间上的另一个原函数，即()()x f x 'Φ=，于是有[()()]()()0,x F x x F x '''Φ-=Φ-=由于导数恒为零的函数必为常数，因此11()()()x F x C C Φ-=为某个常数，即1()().x F x C Φ=+这说明)(x f 的任意两个原函数之间只差一个常数.因此,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)(x f 的全体原函数可以表示为C x F +)( (其中C 为任意常数).为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念定义2 函数)(x f 在某区间内的全体原函数称为)(x f 在该区间内的不定积分,记为()d f x x ，其中记号⎰称为积分号,)(x f 称为被积函数,()d f x x 称为被积表达式,x 称为积分变量.即 ()d ()f x x F x C =+⎰.这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数C 就可以了.例1 求x x f 2)(=的不定积分.解：因为x x 2)(2=',所以2()d 2d .f x x x x x C ==+⎰⎰例2 求x e x f =)(的不定积分.解：因为x x e e =')(,所以()d d .x x f x x e x e C ==+⎰⎰3.不定积分学的几何意义不定积分的几何意义:若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x F y =的图象为)(x f 的一条积分曲线.于是,)(x f 的不定积分在几何上表示)(x f 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图４-1),任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数C 的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线．例3设曲线通过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程．解：设所求的曲线方程为)(x f y =,按题设，曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为,2d d x xy = 说明)(x f y =是x 2的一个原函数.因为x 2的全体原函数为C x x x +=⎰2d 2， 所以曲线方程为C x x f y +==2)(,又由于曲线过点)2,1(,故2)1(=f , ,21=+C 解得1=C ,于是所求曲线为 2()1y f x x ==+.例4 一物体作直线运动，速度为时，物体所经过的当s t s m t t v 1,/12)(2=+=路程为3m ，求物体的运动方程。
29-30第五章搬运机器人系统工作站(5.1工业机器人系统工作站概述;5.2搬运机器人系统工作站认识
由于搬运的工件是平面板材,所以采用真空吸盘来夹持
工件。故在安川MH6机器人本体上安装了电磁阀组、真空
发生器、真空吸盘等装置。MH6机器人本体及末端执行器
如下图所示。
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DX100控制柜与本体
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5.2.1 搬运工作站的组成
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2.输送线系统 输送线系统的主要功能是把上料位置处的工件传送到
5.2.1 搬运工作站的组成
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搬运工作站的组成 工业机器人搬运工作站由工业机器人系统、PLC控
制柜、机器人安装底座、输送线系统、平面仓库、操作 按钮盒等组成。整体布置如下图所示。
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机器人搬运工作站整体布置图
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1-输送线 2-平面仓库 3-机器人本体 4-PLC控制柜 5-机器人控制柜 6-机器人安装底座
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学习目标
▪ 目标一 ▪ 目标二 ▪ 目标三 ▪ 目标四 ▪ 目标五
掌握搬运机器人定义
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掌握搬运机器人系统工作站特点
掌握搬运机器人系统工作站组成
熟悉搬运工作站的工作过程
熟悉接口技术
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机器人系统工作站
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5.1 工业机器人工作站系统概述
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5.2.1 搬运工作站的组成
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3.平面仓库
平面仓库用于存储工件,平面仓库如下图所示。平面仓 库有一个反射式光纤传感器用于检测仓库是否已满,若仓库 已满,将不允许机器人向仓库中搬运工件。
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平面仓库
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5.2.1 搬运工作站的组成
【2019版新教材】统编人教版高中地理第一册第五章《植被与土壤》全章节PPT课件(5.1-5.2+章末综合)图文
• 5．该山地丘陵区最可能位于( B )
• A．四川盆地
• B．山东半岛
• C．长江中下游平原
• D．两广丘陵
• 6．下列关A于影响该地土壤厚度因素的叙述，正
确的是( )
• A．与植被覆盖度呈正相关
• B．与坡度呈正相关
• C．与坡面光照呈正相关
• D．与降水量呈正相关
A
• 7．阳坡与阴坡土壤厚度不同的原因是( )
植物
动物
腐殖质 微生物
3.气候与土壤
亚寒带 针叶林
思考：岩石风化的速度和强度与气温和降水量的关系？
呈正相关： 湿热>干冷
南方的红壤和东北的黑土有机质含量高的是哪一种？ 为什么？
探究二
• 材料一 下图为亚马孙热带雨林生 态系统的养分循环示意图
• 材料二 生物炭，指在缺氧的条件下把生物质进行 高温处理，生物质中的油和气燃烧掉，剩下的就 是生物炭。生物炭几乎是纯碳，埋到地下后可以 有几百至上千年不会消失，等于把碳封存进了土 壤，同时减少二氧化氮和甲烷等温室气体的排放， 有助于减缓全球变暖；生物炭富含微孔，可以补 充土壤的有机质含量，移除土壤污染物，有效保 存水分和养料，提高土壤肥力。
观察土壤
• 1.土壤颜色 • 2.土壤质地 • 3.土壤剖面构造
红壤
黑土
棕壤
黑钙土
成分
砂比例适中
黏 土
黏粒
通气、透水 性能
强
蓄水、保肥 耕作情
性能
况
弱
易耕作
强
强
理想
差
强
不易耕作
森 林
有机质层
土 壤
腐殖质层 ——黑色
剖 面
淋溶层 ——浅色
必修1 第五章 三角函数 5.1-5.2节
《任意角和弧度制》；《三角函数的概念》任意角和弧度制重点任意角的概念，各类角的概念，掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角。
理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题。
了解弧度制，明确1弧度的含义、掌握弧度与角度的互化、理解弧度数的计算公式及其应用。
难点掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角。
理解弧度数的计算公式及其应用。
考试要求考试➢题型选择题、填空题➢难度简单、中等核心知识点一：任意角1. 任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点。
角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”。
（3）角的分类名称 定义图形正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转形成的角2. 象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
3. 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
核心知识点二：弧度制1. 角的单位制 （1）角度制 规定周角的3601为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
（2）弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad ，读作弧度，通常略去不写。
（3）角的弧度数的求法正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝rl。
2. 角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π_rad 2π rad ＝360° 180°＝π_radπ rad ＝180° 1°＝180πrad≈0. 017 45 rad 1 rad ＝（π180）°≈57.30°度数×180π＝弧度数 弧度数×（π180）°＝度数3. 扇形的弧长及面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制 l ＝180rn π S ＝3602r n π弧度制l ＝|α|·rS ＝21lr ＝21|α|r 2典例一：任意角的概念给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角。
【第五章】Spring表达式语言之5.1概述5.2SpEL基础——跟我学spring3
【第五章】Spring表达式语言之 5.1 概述 5.2 SpEL基础——跟我学spring35.1 概述5.1.1 概述Spring表达式语言全称为“Spring Expression Language”，缩写为“SpEL”，类似于Struts2x 中使用的OGNL表达式语言，能在运行时构建复杂表达式、存取对象图属性、对象方法调用等等，并且能与Spring功能完美整合，如能用来配置Bean定义。
表达式语言给静态Java语言增加了动态功能。
SpEL是单独模块，只依赖于core模块，不依赖于其他模块，可以单独使用。
5.1.2 能干什么表达式语言一般是用最简单的形式完成最主要的工作，减少我们的工作量。
SpEL支持如下表达式：一、基本表达式：字面量表达式、关系，逻辑与算数运算表达式、字符串连接及截取表达式、三目运算及Elivis表达式、正则表达式、括号优先级表达式；二、类相关表达式：类类型表达式、类实例化、instanceof表达式、变量定义及引用、赋值表达式、自定义函数、对象属性存取及安全导航表达式、对象方法调用、Bean引用；三、集合相关表达式：内联List、内联数组、集合，字典访问、列表，字典，数组修改、集合投影、集合选择；不支持多维内联数组初始化；不支持内联字典定义；四、其他表达式：模板表达式。
注：SpEL表达式中的关键字是不区分大小写的。
5.2 SpEL基础5.2.1 HelloWorld首先准备支持SpEL的Jar包：“org.springframework.expression-3.0.5.RELEASE.jar”将其添加到类路径中。
SpEL在求表达式值时一般分为四步，其中第三步可选：首先构造一个解析器，其次解析器解析字符串表达式，在此构造上下文，最后根据上下文得到表达式运算后的值。
让我们看下代码片段吧：java代码：Java代码接下来让我们分析下代码：1）创建解析器：SpEL使用ExpressionParser接口表示解析器，提供SpelExpressionParser 默认实现；2）解析表达式：使用ExpressionParser的parseExpression来解析相应的表达式为Expression 对象。
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第五章核燃料后处理5.1 概述5.2 后处理工艺发展状况5.3 首端处理过程5.4 溶剂萃取分离过程5.4.1 溶剂萃取过程中的基本概念和基本参数5.4.2 TBP萃取铀、钍、钚、镎和裂片元素的化学行为及其影响因素5.4.3 TBP萃取铀、钚、HNO3和裂片元素的平衡分配及其数学模型5.4.4 Purex流程及其工艺条件分析5.4.5 Purex流程工艺参数优化计算实例5.4.6 从Purex流程种回收镎5.4.7 Purex流程对处理不同乏燃料的适应性5.4.8 溶剂降解及其对萃取过程的影响5.4.9 水法后处理过程中常用的萃取设备5.5 尾端处理过程5.1 概述5.1.1乏燃料和核燃料后处理●对反应堆中用过的核燃料所进行的化学处理，以除去裂变产物等杂质并回收易裂变核素和可转换核素以及一些其他可利用物质的过程，称为核燃料后处理（nuclear fuel reprocessing）。
☞其目的从中除去裂变产物，回收未用尽的和新生成的核燃料物资。
☞核燃料在反应堆中燃烧，不是一次烧尽的，为维持反应堆的正常运行，堆中要留有最低数量的核燃料；积累的裂变产物也会吸收中子而影响反应堆的正常运行。
因此，核燃料在反应堆中燃烧一段时间后，就应从反应堆中卸出。
☞卸出的核燃料经过后处理才有可能重新利用其中有用的物资。
☞对核燃料循环来说，核燃料后处理是一个不可缺少的环节。
☞所谓乏燃料是指在核反应堆中，辐照达到计划卸料的比燃耗后从堆中卸出，且不再在该堆中使用的核燃料。
●核燃料在反应堆中燃烧的过程实质上就是核燃料中的易裂变核素（如铀－235、钚－239或铀－233）在中子流的轰击下发生自持的核裂变反应的过程。
☞随着核反应的进行，初期核燃料中的易裂变核素逐渐减少，俘获中子的裂变产物逐渐增加；☞随着燃耗的加深，反应性逐步降低，为了维持反应堆中全活性区的有效增殖系数大于1，需调整控制棒位臵以增加反应性。
☞当最后调整控制棒不能维持链式反应时，这个时间就是核燃料的物理寿命，核燃料必需从堆内卸出。
☞同时，随着燃耗的加深，燃料包壳受热和中子影响以及裂变产物积累的影响而变形，因此还要考虑包壳的寿命。
☞但实际上核燃料从堆内卸出的时间，要根据燃料的辐照性能、力学性能以及燃料的浓缩度的相互匹配，提出最经济的燃耗值来确定的。
☞因此，为了维持反应堆的正常运行，卸出的乏燃料必需留有最低数量的易裂变核素。
●国外资料中把核燃料后处理称为Reprocessing of spent fuel，●实际上，乏燃料并不是烧尽的废燃料，在乏燃料中还有许多有价值的物质，☞一定量的未裂变和新生成的易裂变核素，如铀－235、钚－239、铀－233，大量的未用完的可转换核素，☞铀－238、钍－232以及在辐照过程中产生的超铀元素，如镎－237、镅－241、锔－242☞核裂变产生的有用的裂片元素，锶－90、铯－137、锝－99、钜－147等。
☞这些物质可以通过乏燃料后处理和相应的分离流程予以回收和纯化。
●核燃料后处理起源于军事目的。
☞二十世纪四十年代，为了取得核武器装料钚－239，建立了以天然铀为燃料的反应堆。
并用沉淀法从辐照天然铀中提取了武器级钚。
☞1944年首次大规模地使用了磷酸铋沉淀流程从辐照天然铀提取了钚，但其严重缺点是不能回收铀。
☞1948到1949年期间，在美国橡树岭实验室对以甲基异丁基酮作萃取剂的雷道克斯（Redox）流程进行中间工厂试验，并于1952年在汉福特开始大规模运行，这个流程既能同时回收铀和钚，同时又可以连续操作并大大减少了废物量。
☞1950到1952年在橡树岭实验室进行了普雷克斯（Purex）流程的中间工厂试验，并于1954年和1956年先后在萨凡那河工厂和汉福特工厂投入运行。
●随着核能和平利用的发展，世界上陆续建造了各种用途的反应堆，如核电站动力用堆、研究试验用堆、船舶推进用堆等。
☞核燃料后处理的对象也发生了变化，其中主要的是电站用堆卸下的辐照燃料。
☞如今，普雷克斯流程已取代了其他溶剂萃取流程，它不仅可以用于生产堆、动力堆燃料的后处理，而且有可能性用于燃耗更深的快中子增殖堆的燃料后处理，是现今最有效、最成功的核燃料后处理流程。
5.1.2核燃料后处理在核工业中的重要性●如上所述，核燃料后处理是核燃料循环中的一个重要组成部分，同时它又是军民两用技术。
●它在整个核燃料工业中的地位和作用表现在以下四个方面：1.后处理对于充分利用核能资源关系极大。
☞核电是我国能源的重要组成部分之一。
对动力堆乏燃料进行后处理，实现核燃料闭路循环，对有效地利用铀资源、实现我国核能可持续发展，起着举足轻重的作用。
我国已探明的铀资源量有限，且铀矿品位低、规模小，如果不搞后处理，铀资源将会限制我国核能的发展。
☞核燃料通过反应堆使用一次，往往只能利用燃料总量（包括易裂变材料和可转换材料）的很少一部分。
如生产堆仅用了千分之几，比较先进的动力堆，燃料的利用率也只有百分之几。
☞由此可见，在乏燃料中不仅含有大量的尚未反应的可转换材料，而且含有相当数量的剩余易裂变材料。
这些剩余燃料和可转换材料只有经后处理离净化后才能得到回收复用。
☞对低加浓铀乏燃料中尚含有易裂变核素235U～0.9％、可转换核素238U～95％和新生成的易裂变物质Pu～1％，经过后处理可以从中回收有用的铀和钚，再制成UO2、PuO2或UO2＋PuO2（MOX）燃料返回热堆或快堆使用，使核燃料得以有效利用，缓解发展核电与铀资源不足的矛盾。
☞对于燃料的初始235U富集度为3.3％、燃耗为33000MWd/t 的1000MWe 的压水堆核电站，若燃料用过后不再循环，每年需要天然铀（以U3O8计）约200t；而通过后处理使铀可节约天然铀约15％，铀、钚同时循环使用，可以节约天然铀40％。
此外，实现铀循环还可节约分离功6-10％，实现铀、钚同时循环可节约分离功约40％。
如果使用混合氧化物燃料的快中子增殖堆核燃料闭路循环，对铀资源的利用率从热堆的0.5-1％而达到60-70％。
2.后处理过程对核电经济性有重要影响。
☞为了保护天然资源，今后的反应堆将不断提高可转换材料的利用率，发展先进的增殖反应堆，同时实现工业钚的复用。
☞因此天然铀提炼费和同位素富集费在核电成本中所占比重将逐渐下降，而后处理和元件再制造这两个环节占燃料循环费的比例将明显上升。
☞为了适应上述变化，必须在后处理工厂中不断降低每公斤燃料的处理费用。
3.后处理对保障核燃料工业环境安全其关键作用。
☞利用核裂变能的一个缺点是人为地产生大量放射性废物。
☞大致说来，人们每从核电站得到一度电能，同时也就有3.7×1010Bq放射性物质从反应堆中排出。
当然这些放射性物质一开始就很快衰变，但其中长寿命放射性核素的数量仍然是极其可观的。
☞一座10万kW的核电站，每年要产生2.2×1017Bq的137Cs、90Sr，它们的半衰期均在30a左右；☞与此同时，还要产生3.7×1013Bq的长寿命锕系元素，它们的半衰期要以万年到百万年计算。
☞在后处理过程中，元件的包壳被剥去，燃料被溶解，整个工厂要操作大量放射性物质，最后产生各种形式的放射性废物。
☞也可以说，整个核工业中产生的放射性物质，极大部分要由后处理工厂进行分离、处理并将废物以安全、可靠的方式永久处臵。
☞这个责任十分重大，后处理厂的安全性、密封性以及对三废处臵的好坏直接影响到核能发电能否大规模的发展。
4.后处理是生产发展核武器所需239Pu必经的一个生产环节。
☞核工业肩负着保持、加强我国战略核威慑力量的重要使命，而国家的核威慑力量不仅仅体现在弹头数量、核材料储备上，同样也体现在保持一定的生产能力以及先进的核技术水平上。
☞一个国家的核威慑力量主要由下列几个部分组成：现有核武器、运载工具、军用核材料和核材料生产技术(铀浓缩和后处理)。
正因为如此，世界上很多国家都积极发展后处理技术。
可以说，谁掌握了后处理技术，谁就可以拥有小型化核武器的装料。
☞至今为止，核弹头的主要装料是239Pu和235U。
☞与235U的生产相比较，用天然铀作原料，在反应堆内将238U转换为239Pu，然后通过后处理提取军用钚是发展核武器的更加经济而有效的途径。
☞此外，从核弹性能来说，钚弹的临界质量要比铀弹要小，同样威力的原子弹用钚量只有用铀量的1/3－1/4左右，这也是钚燃料的又一优点。
☞因此，可以说，谁掌握了后处理技术，谁就有可能制造更经济的核武器。
5.1.3 核燃料后处理的主要过程●核燃料后处理过程主要是以被回收的燃料元素与裂变产物等各种杂质元素进行复杂的化学分离、纯化过程为主的所采用的一系列技术和设备（施）的系统工程。
●主要过程包括：1.冷却过程：从反应堆卸出的核燃料，在进行化学处理之前，通常要经历一个“冷却”过程。
☞即要在特殊设计的水池中放臵一段时间（或称冷却时间）。
☞放臵的作用是让短寿命核素衰变，以利于后续过程的进行，从而确保回收核素的纯度和回收率；2. 首端处理过程：辐照核燃料在进行化学分离纯化之前，还需进行首端处理。
☞其任务是燃料束的机械解体和燃料芯和包壳材料的分离。
☞根据包壳材料的不同可采用化学法、机械法等不同首端处理方法。
☞然后制成针对不同分离流程所需要的物料。
3. 化学分离过程：核燃料化学分离纯化过程是核燃料后处理的主要工艺阶段。
☞它的任务是除去裂变产物，高收率地回收核燃料物质。
☞后处理的化学分离纯化流程基于是否在水介质中进行而分为水法和干法两大类。
☞水法流程指采用诸如沉淀、溶剂萃取、离子交换等在水溶液中进行的化学分离纯化过程；☞干法流程则指采用诸如氟化挥发流程、高温冶金处理、高温化学处理、液态金属过程、熔盐电解流程等在无水状态下进行的化学分离方法。
☞目前，工业上应用的后处理流程都是水法流程。
☞历史上曾采用沉淀法流程从辐照天然铀中提取核武器用钚。
但不久即被可以连续操作、更为有效的萃取法流程所代替。
☞研究较多或工业上曾先后使用过的主要流程有磷酸铋流程、Redox流程、Butex流程、Thorex流程和Purex流程。
而在各种萃取流程中性能最好、使用最成功的是以磷酸三丁酯（TBP）为萃取剂的普雷克斯流程。
☞它是目前世界各国用来处理电站辐照核燃料的工艺流程。
而离子交换法则是用于尾端处理，作为钚或镎产品的纯化、浓缩手段。
☞干法后处理流程有其独到之处，其优点是废物量少，没有试剂的辐射降解问题，可以处理比放高、冷却时间短的乏燃料，同时设备紧凑、处理能力大、临界安全好。
但由于干法过程还存在很多问题，如设备材料腐蚀严重，工程问题较多，铀钚分离较差，综合提取同位素较困难等，目前尚未被实际应用。
4.尾端处理过程经溶剂萃取分离和净化得到的硝酸钚或硝酸铀酰溶液，无论在纯度或存放形式上有时还不能完全满足要求，因而在铀、钚主体萃取循环之后，还需要采取一些尾端处理步骤。