知识点13 一元二次方程的代数应用2018--1

一、选择题1. （2018四川绵阳，8，3分） 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为A.9人B.10人C.11人D.12人【答案】C.【解析】解：设这次参加酒会的人数为x 人，根据题意可得552)1(=-x x ，解得x 1=11，x 2= -10（舍去）.故选C. 【知识点】一元二次方程的应用1. （2018江苏省宿迁市，8，3） 在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l ．若直线l 与两坐标轴围成的面积为4，则满足条件的直线l 的条数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【思路分析】设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵l 过点（1，2），∴2＝k ＋b ，b ＝2－k ．∴y ＝kx ＋2－k ．与x 轴的交点为（k k 2-，0），与y 轴的交点为（0，2－k ）．∴与坐标轴围成的面积S ＝21丨丨丨丨k k 2-·丨2－k 丨＝8．解得k 1＝－2，k 2＝6＋42，k 3＝6－42，故选C ．【知识点】一次函数，一元二次方程2. （2018山东省泰安市，10，3）一元二次方程(1)(3)25x x x +-=-根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于3D ．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。

解法一：整理得：24+20x x -=，解得：122x x =； D.解法二：设12(1)(3);25y x x y x =+-=- ，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选D【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.（2018山东省日照市，14，4分）为创建“国家生态园林城市”某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米.设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为. 【答案】x(x+40)=1 200【解析】设绿地宽为x米，则绿地长为（x+40）米. 根据矩形的面积公式，可列方程为x(x+40)=1 200.【知识点】一元二次方程的应用2. （2018贵州安顺，T14，F4）若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =_______.【答案】7或-1【解析】∵22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，∴（m-3）²=16.解得m=7或-1.【知识点】完全平方式的特点，解一元二次方程.3. （2018四川自贡，15，4分）若函数2y x 2x m =+-的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 .【答案】－1【解析】∵函数m x x y -+=22的图象与x 轴有且只有一个交点，∴一元二次方程022=-+m x x 有两个相等的实根，即044)(1422=+=-⨯⨯-=∆m m ，∴1-=m .【知识点】函数与方程，一元二次方程根与系数的关系4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.34.35.36.37.38.39.三、解答题1. （2018四川省南充市，第20题，8分）已知关于x 的一元二次方程22(22)(2)0x m x m m --+-=. （1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）如果方程的两实数根为1x ，2x ，且221210x x +=，求m 的值.【思路分析】(1)根据题意，利用根的判别式公式可得代数式，整理化简即可.(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，用含m 的式子表示出x 1+x 2和x 1x 2的值，再代入221210x x +=，化简整理即可.【解题过程】解：(1)根据题意，得：∆=[－(2m －2)]2－4(m 2－2m)＝4＞0， --------- 3分∴方程有两个不相等第实数根. ---------------------------------------------------------------------- 4分(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：x 1+x 2=2m －2，x 1x 2=m 2－2m ， ------------------------------------------------------------------------ 5分∵221210x x +=，∴()21212210x x x x +-=. --------------------------------------------------------- 6分 ∴(2m －2)2－2(m 2－2m )=10.化简，得m 2－2m －3=0，解得：m 1=3，m 2=－1.∴m 的值为3或－1. ------------------------------------------------------------------------------------- 8分【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数第关系；完全平方公式2. （2018·重庆B 卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底前，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1﹕2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a %，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a %，5a %，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a %，8a %．求a 的值．【思路分析】（1）根据“沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出到2018年5月底前，该县修建的沼气池40个，修建垃圾集中处理点10个；再求出前5个月修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用；最后根据题意，列出关于a 的一元二次方程，解方程即可求出a 的值．【解题过程】23．解：（1）设2018年前5个月要修建x 个沼气池，则修建垃圾集中处理点(50－x )个，根据题意，得x ≥4(50－x )，解得x ≥40．答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．（2）由题意可知，到2018年5月底前，该县修建的沼气池40个，修建垃圾集中处理点10个，若令修建的沼气池每个y 元，则修建的垃圾集中处理点的每个2y 元，从而由题意得40y ＋10×2y ＝78，解得y ＝1.3，即到2018年5月底前，修建的每个沼气池与垃圾集中处理点的费用分别为1.3万元和2.6万元．根据题意，得40•(1＋5a%)•1.3(1＋a%)＋10•(1＋8a%)•2.6(1＋5a%)＝78•(1＋10a%)．令a%＝t，则52(1＋5t)(1＋t)＋26(1＋8t)(1＋5t)＝78(1＋10t)，整理，得10t2－t＝0，解得t1＝0.1，t2＝0（不合题意，舍去），从而a%＝0.1，a＝10．答：a的值为10．【知识点】一元一次不等式的应用一元二次方程的应用3.（2018江苏省盐城市，23，10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为___________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【思路分析】（1）由题意得，20+2×3＝26，所以若降价3元，则平均每天销售数量为26件；（2）本题中的相等关系：每天每件的盈利×每天的销量＝每天销售利润【解题过程】解：（1）26；（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．由题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200．整理，得x 2－30 x＋200＝0．（x－10）（x－20）＝0．x1＝10，x2＝20．又每件盈利不少于25元，∴x＝20．不合题意舍去答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【知识点】一元二次方程的应用4.（2018四川省宜宾市，6，3分）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业。

据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元。

预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A.2%B.4.4%C.20%D.44%【答案】C【解析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去），故选择C.【知识点】一元二次方程的实际应用1.（2018·重庆A卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1﹕2，且里程数之比为2﹕1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府经费在2017年的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．【思路分析】（1）根据“道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出2017年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米的经费，最后根据题意，列出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．【解析】23．解：（1）设今年1至5月道路硬化的里程为x千米，则道路拓宽的里程为(50－x)千米，根据题意，得x ≥4(50－x)，解得x≥40．答：今年1至5月道路硬化的里程为40千米．（2）∵2017年道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，且里程数之比为2﹕1，∴道路硬化为30千米，道路拓宽为15千米．设2017年道路硬化每千米的经费为y 万元，则道路拓宽每千米的经费为2y 万元，根据题意，得30y ＋15×2y ＝780，解得y ＝13．从而2017年道路硬化每千米的经费为13万元，道路拓宽每千米的经费为26万元． 根据题意，得13•(1＋a %)•40(1＋5a %)＋26•(1＋5a %)•10(1＋8a %)＝780•(1＋10a %)．令a %＝t ，则520 (1＋5t )(1＋t )＋260 (1＋8t )(1＋5t )＝780 (1＋10t )，整理，得10t 2－t ＝0，解得t 1＝0.1，t 2＝0（不合题意，舍去），从而a %＝0.1，a ＝10．答：a 的值为10．【知识点】一元一次不等式的应用 一元二次方程的应用2. （2018湖北宜昌，22，10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”( 下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12. 经过三年治理，境内长江水质明显改善.(1)求的n 值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a . 在(2)的情况下， 第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年因甲方案治理降低的Q 值相等.第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值.【思路分析】数.解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数;(2)∵从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，∴可得方程24040(1)40(1)190m m ++++=，计算出增长率m ；(3)设第一年用甲方案整理降低的Q 值为x ，据题建立二元一次方程组30239.5x a x a +=⎧⎨+=⎩，解出方程组，写出答案.【解析】解：(1)4012n =Q 0.3n ∴=(2)24040(1)40(1)190m m ++++=Q 解得：1217,22m m ==-（舍去） ∴第二年用乙方案治理的工厂数量为40(1)40(150%)60m +=⨯+=（家）(3)设第一年用甲方案整理降低的Q 值为x ，第二年Q 值因乙方案治理降低了1001000.330n =⨯=，由题得：30239.5x a x a +=⎧⎨+=⎩20.5x ∴=，9.5a =∴Q 值为20.5，a 的值为9.5.【知识点】平均数，增长率，用二元一次方程组解决问题.3. （2018山东德州，23，12分）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x (单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?【思路分析】(1)将有序实数对（40，600）、（45，550）代入()0y kx b k =+≠求解即可；(2)根据相等关系“年总利润=每台利润×年销售量”列方程计算即可.【解析】解：（1）∵此设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x （单位：万元）成一次函数关系. ∵可设()0y kx b k =+≠，将数据代入可得：4060045550k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：101000k b =-⎧⎨=⎩， ∵一次函数关系式是101000y x =--；（2）此设备的销售单价是x 万元，成本价是30方元，∵该设备的单件利润为()30x -万元，由题意得：()()3010100010000x x --+=，解得：12=80,=50x x ，∵销售单价不得高于70万元，即70x ≤，∵180x ＝不合题意，故舍去，∵50x ＝．答：该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元．【知识点】待定系数法，一元二次方程的应用4. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，17，8）先化简，再求值：21(1)11x x x +÷--，其中x 是方程x 2＋3x ＝0的根．【思路分析】（1）按分式的运算法则和运算顺序进行计算即可，注意结果的化简；（2）解一元二次方程x 2＋3x ＝0；（3）将方程的根代入化简后的式子进行计算，注意要使分式有意义．【解析】解：原式＝11(1)(1)1x x x x x +-+-⋅-＝(1)(1)1x x x x x+-⋅-＝x ＋1， ∵x 是方程x 2＋3x ＝0的根，∴x 1＝0，x 2＝－3．∴当x ＝0时，原式无意义；当x ＝－3时，原式＝－3＋1＝－2．【知识点】分式的运算；一元二次方程的解法；分式有意义的条件5. （2018贵州安顺，T23，F12）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金 逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先 搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天 奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.【思路分析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据2015年投入的资金×（1+平均增长率）²=2017年投入的资金，列出方程求解即可;(2)设2017年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据前1000户活的的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥5000000，列出不等式求解即可.【解题过程】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意得1280（1+x ）²=1280+1600，解得x=0.5或x=-2.5（舍）.答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.（2）设2017年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，∵8×1000×400=3200000＜5000000， ∴a ＞1000.根据题意得1000×8×400+（a-1000）×5×400≥5000000，解得a ≥1900.答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.【知识点】一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用.6.（2018湖北省孝感市，21，9分）已知关于x 的一元二次方程(3)(2)(1)x x p p --=+.（1）试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值.【思路分析】（1）将原方程化成一般形式，利用判别式∆≥0即可证明无论p 取何值此方程总有两个实数根.（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得出125x x +=，2126x x p p =--，再结合222121231x x x x p +-=+即可求出p 的值.【解题过程】（1）证明：∵(3)(2)(1)x x p p --=+，∴22560x x p p -+--=. ∴22(5)4(6)p p ∆=----22252444441p p p p =-++=++=2（21）p+≥0. ∴无论p 取何值此方程总有两个实数根.（2）解：由（1）知：原方程可化为22560x x p p -+--=，∴125x x +=，2126x x p p =--.又∵222121231x x x x p +-=+，∴221212()331x x x x p +-=+.∴22253(6)31p p p ---=+，2225183331p p p -++=+.∴36p =-，∴2p =-.【知识点】一元二次方程的应用；判别式法；一元二次方程根与系数的关系.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.。