巧求阴影部分面积

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六年级容斥原理阴影面积题型

求平面图形中阴影部分的面积，是每年小升初考试中得几何热点，思维能力要求高，学生失分率高。

由于阴影部分的图形常常不是以基本几何图形的形状出现，没法直接利用课本中的基本公式来计算，所以比较麻烦，有的甚至无法求解。

家长辅导孩子处理这类型的几何题，除了要让孩子熟练地掌握平面图形的概念和面积公式之外，关键还在于懂得如何“巧用方法、妙在变形”。

以下是小学阶段常见的求阴影面积的方法，家长可以让孩子边做边总结方法，逐一攻关。

求阴影部分的面积例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。

设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：最基本的方法之一。

用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。

阴影部分的面积

一、相加相减法【点拨】：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，相加求出整个图形的面积. 或者将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.【例题1】：求组合图形的面积。

（单位：厘米）【分析与解答】：上图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.4÷2=2（米）4×4+2×2×3.14÷2=22.28（平方厘米）【例题2】：长方形长6厘米，宽4厘米，求阴影部分的面积。

【分析与解答】：上图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.4÷2=2（米）6×4-2×2×3.14÷218.28（平方厘米）二、用比例知识求面积【点拨】：利用图形之间的比例关系解题。

【例题3】一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？【分析与解答】：因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d.直接按比例关系来理解。

因为（a×c）:(d×c)=(a×b):(d×b),a:d=15：18=阴影面积：30，阴影面积为15×30÷18＝25（公顷）。

三、等分法【点拨】：根据所求图形的对称性，将所求图形面积平均分成若干份，先求出其中的一份面积，然后求总面积。

【例题4】：求阴影部分的面积（单位：厘米）【分析与解答】：把原图平均分成八分，就得到下图，先求出每个小扇形面积中的阴影部分：3.14×22÷4－2×2÷2=1.14(平方厘米 )阴影部分总面积为：1.14×8=9.12(平方厘米 )四、等积变形【点拨】：将题中的条件或问题替换成面积相等的另外的条件或问题，使原来复杂的图形变为简单明了的图形。

专题8 巧求圆中阴影部分的面积（含答案）

专题8 巧求圆中阴影部分的面积【知识解读】求与圆有关的阴影部分的面积，能考查同学们的观察能力、随机应变能力和综合运用数学知识的能力，解答此类问题要注意观察和分析图形的形成，学会分解和组合图形，消除思路中的“阴影”，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，就能给解决问题带来一片光明，切勿盲目计算；下面介绍几种常用的解法．培优学案【典例示范】等积变换法：是在不改变图形面积的前提下，利用“等底、等高的两个三角形的面积相等”，将不规则图形转化为规则图形的面积来求解的方法．例1 如图1－8－1，点P 是半径为1的⊙O 外一点，OP ＝2，P A 切⊙O 于点A ，弦AB ∥OP ，连接PB ，则图中阴影部分的面积是．图181AB OP图182ABCDEMNO【跟踪训练】如图1－8－2，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，C 为切点，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ＝6，BC ＝3，求图中阴影部分的面积．【解答】和差法：是指将阴影部分看作两个规则图形的和或差．例2 如图1－8－3，扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，扇形半径为4，点C 在BC 上，CD ⊥OA ，垂足为点D ，当CD ＝OD 时，图中阴影部分的面积为．图183BCD图184CEF【跟踪训练】如图1－8－4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点A 、点B ，且AC ＝2，则图中阴影部分的面积为（结果不取近似值）．割补法：是在不改变图形面积的前提下，通过割补，将发散的图形面积集中在一起，把不规则的图形凑合成规则图形的方法．例3 如图1－8－5，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为cm 2．图185ABO图186A 'O 'O ABC【跟踪训练】如图1－8－6，将半圆O 绕直径AB 的端点B 逆时针旋转30°，得到半圆O ′，A ′B 交直径AB 于点C ，若BC ＝23，则图中阴影部分的面积为．【提示】连接O ′C ，A ′C ，将阴影部分的面积通过割补，转化为△BO ′C 的面积加上扇形O ′AC 的面积．特殊位置法：是在不改变题意的前提下，通过取特殊位置，将图形特殊化，以方便求解．例4 如图1－8－7，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a （a ＞3r ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是()A ．23r πB 233π- C ．()233r πD ．2r π【提示】解答本题的关键是搞清楚圆形纸片“不能接触到的部分”的面积，即圆形纸片与正三角形的相邻两边都相切时，两切点与正三角形的一个顶点形成的曲边三角形的面积．图187图188【跟踪训练】如图1－8－8，一张半径为1的圆形纸片在边长为a （a ≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（） A ．2a π-B ．()24a π-C ．πD ．4π-整体代换法：是指在解答过程中，可将某些不易求的且不发生变化的量看作整体处理．例5 如图1－8－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是．图189CBA【提示】直接求阴影部分的面积是不可能的，根据题意结合图形，知阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去三个扇形的面积，其中A ，B 两个扇形的面积无法直接求出，但若把它们看作一个“整体”，则问题易求．【跟踪训练】1.如图1-8-10，正方形的边长a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 . 【提示】图中阴影部分的面积可以看作四个半圆的面积之和与正方形的面积之差.CBAOFEDCBA2.如图1-8-11，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是2cm ，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是 cm 2.【提示】图中3个扇形正好拼成一个圆心角为180°的大扇形。

巧用割补法求阴影部分面积

巧用割补法求阴影部分面积作者：刘昆来源：《学苑创造·C版》2014年第02期九年级上册学完扇形的面积公式后，细心的同学一定会发现，与扇形有关的练习题常常以“与圆有关的求解阴影部分面积”的形式出现.这类题目看起来复杂，其实只要掌握好解题技巧，就能化繁为简. 下面通过几个例子详细介绍解决这类题目最常用的割补法.类型一：分割法例1 如图1所示的阴影部分，其形状称为“弓形”，其面积为所对扇形与三角形面积之差.即：S阴影=S扇形AOB-S△AOB【拓展练习】练习1 如图2所示，求阴影部分面积.【分析】阴影部分实际上是两个弓形，其面积可表示为半圆面积减去直角三角形的面积.解：S阴影=S半圆-S三角形=[12]π×52-6×8×[12]=12.5π-24练习2 如图3，正方形ABCD的边长为a，以顶点B，D为圆心，以边长a为半径分别画弧，求在正方形内两弧所围成的图形的面积.【分析】连接AC，将这阴影的图形，分割转化为两个相同的弓形求解。

解：S阴影=2（S扇形ADC-S△ADC）=2（[90πa2360-12][a2]）=[12πa2]-[a2]练习3 如图4，正方形的边长为2a，以各边为直径在正方形内分别作半圆，求四弧所围成的阴影部分图形的面积.【分析】方法一，可以将整个图形分割成4个练习2中的图形，然后按照练习2中的解题方法求解，解答略. 方法二，这个图形是正方形内4个半圆互相重叠，阴影部分刚好是正方形对角线在4个半圆中切出的8个弓形之和，因此阴影部分面积可表示为4个半圆面积减4个等腰直角三角形面积，而这4个等腰直角三角形面积之和正是该正方形的面积. 解答如下：解：S阴影=4S半圆-S正方形=4×[12]π[a2]-4[a2]=（2π-4）[a2]类型二：拼补法.此类题目一般是将几个图形进行拼、接补全后，形成较规则的图形，再解答.例2 （1）如图5，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为多少？（2）若在题（1）的条件下，增加一个圆，变成如图6所示图形，设这四个圆的半径都是r，则这四个圆中阴影部分面积之和为多少？（3）若在题（1）的条件下，有n个这样的半径都是r的圆，如图7所示，那么这n个圆中阴影部分的面积之和又为多少呢？请说明理由.【分析】这些扇形所在圆的半径均相同，但是各自圆心角度数不确定，但当我们将其拼接后，会发现图5中圆心角的度数之和就是△ABC的内角和，这样就可以化零为整，将阴影部分整合成一个图形求解. 问题（2）和问题（3）都可以按照此方法求解，只是阴影部分拼接成的图形圆心角度数变成了多边形的内角和.解：（1）[S阴影=180π×0.52360=0.125π]（2）[S阴影=360πr2360=πr2]（3）[S阴影=180（n-2）πr2360=（n-2）πr22]【拓展练习】练习4 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为多少？【分析】由于这两个扇形半径相等，且∠A+∠B=90°，可以将这两个扇形拼接在一起形成一个圆心角为90°的扇形.类型三：等积变形法，又可以分为平移法、对称法、等底同高法几类.例3 平移法.如图9，两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且弦AB与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积为多少？【分析】在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆平移至两个半圆共圆心，位置如图10所示.例4 对称法.如图11，PA，PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A，B分别为切点，∠APB=60°，OP 与弦AB交于点C，与⊙O交于点D. 求阴影部分的面积（结果保留π）.【分析】△ACO与△BCO关于直线OP对称，可将△BCO换为△ACO，即可将阴影部分合为一个扇形.[解：∵PA，PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A，B分别为切点∴PA=PB且OA⊥PA，∠APO=12∠APB=12×60°=30°又∵OA=OB∴OP垂直平分AB. 即AB⊥OC，AC=BC 又∵OC=OC∴△BCO≌△ACO（SAS）∴S△ACO=SΔBCO，即S阴影=S扇形AOD∵在Rt△APO中∠AOP=90°-30°=60°∴S阴影=60π×12360=16π]例5 等底同高法.如图12所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积的比例为多少？【分析】阴影部分图形不规则，需要将其进行图形变换，拼接在一起. 如图13，连接OD，OC，根据图形的轴对称性和等底等高的三角形的面积相等，易知阴影部分的面积即为扇形OCD的面积，再根据正方形的四个顶点是圆的四等分点，即可求解.用割补法求阴影部分面积，其核心的数学思想就是化归思想，即，将我们不熟悉的、不规则的图形，通过割补的方式转化为我们常见的、熟悉的、规则的图形来求解.下次再碰到这样的题目，同学们应该能轻松解决.。

求阴影部分的面积(一)ppt课件

A
D
精选
探讨二：太极图中，黑色部分的面积是多少呢？（π≈3）
精选
割补法：割、补的面积相等
探讨二：太极图中，黑色部分的面积怎么求呢？（π≈3）
S= S圆÷2 =3×10²÷2 =150（cm²）
精选
10cm 10cm
求阴影部分的面积是多少？
6cm
S阴影=4×6=24（cm²）
4cm
精选
等分法、拼组法
精选
探讨五：巧解法
已知大正方形的面积是80cm²，你会求圆的面积吗？
小正方形的边长=圆的半径
a
a=r
r
a²=r²
精选
小结
今天你有什么收获？
精选
2cm
精选
方法1：
2cm 2cm
5/29/2020
精选
方法1：
2cm 2cm
S空白=（S正方形－S圆）×2 S阴影=S正方形－S空白
5/29/2020
精选
方法2：
20
精选
方法2：
S阴影=2× S圆－ S正方形
5/29/2020
精选
求阴影部分的面积是多少？
5/29/2020
精选
5/29/2020
求阴影部分的面积（一）
数学人教版六年级上册
郑州市二七区大学路小学赵精选延芳
S=S大－S小
S=a²
1 2
S圆
S=πr²
1 4
S圆
S=ah
S=1 ah
2 S=1 (a+b)h
2
S=ab
精选
和差法
探讨一：涂油漆部分的面积是多少呢？
3dm
精选
E
6dm

阴影部分面积的多种求法

阴影部分面积的多种求法陕西延安市新区第一中学（716000）陈巧莲［摘要］求阴影部分面积，一方面考查了学生的基础知识、基本能力和基本方法，另一方面考查了学生观察分析能力、空间想象能力和运算能力.文章结合典型例题，提出求解阴影部分面积的方法：公式法、直接和差法、构造和差法、平移法、旋转法.［关键词］阴影部分；面积；求法［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）05-0027-02平面图形的面积计算问题是常见的数学题型，其中较难的是求平面图形阴影部分的面积，这类问题构思巧妙，属于综合类试题.其一方面考查了学生的基础知识、基本能力和基本方法，另一方面考查了学生的观察分析能力、空间想象能力和运算能力.一般所求阴影部分的图形为不规则图形，在解题时需进行分解组合，将不规则图形转化为规则图形.一、公式法某些阴影部分的图形是规则图形，求面积时可直接应用公式计算，如：S 三角形=12ah ，S 平行四边形=ah ，S 矩形=ab ，S 菱形=ah =12×对角线的乘积，S 正方形=a 2，S 扇形=n πr 2360，等等.［例1］如图1，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，将AD 边绕点A 顺时针旋转，使点D 恰好落在BC 边上的点D '处，则阴影部分的面积为（）.图1A .9B.3πC .9πD .18分析：∵线段AD '由线段AD 旋转而成，AD =6，∴AD '=AD =6.∵AB =3，∠B =90°，∴∠AD 'B =30°.∵AD ∥BC ，∴∠DAD '=∠AD 'B =30°，∴S 阴影=30×π×62360=3π.故选B .评注：本题平面图形的阴影部分是一个扇形，欲求扇形面积，需求得扇形圆心角的度数和半径长，然后直接利用扇形面积公式求解.分析出阴影部分是什么样的图形是求解问题的关键.二、直接和差法某些阴影部分，虽然是不规则图形，但是可直接看出它是哪些图形的和或差，无须作辅助线，这样就可以分别求出各个图形的面积，然后再求和或作差.［例2］如图2，在Rt△ACB 中，∠C =90°，AC =BC =2，点D 是AB 的中点，DE 是以点A 为圆心，以AD 为半径的弧， DF 是以点B 为圆心，以BD 为半径的弧，则图中由 DE 、 DF 、EC 、FC 围成的阴影部分的面积为.图2分析：在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AC =BC =2，∴AB =22，∠A =∠B =45°，∵D 是AB 的中点，∴AD =DB =2，∴S 阴影=S △ABC -2S 扇形ADE =12×2×2-2×45×π×(2)2360=2-π2，故答案为2-π2.评注：此题可直接看出阴影部分面积等于三角形面积减去两个扇形的面积.当然，某些阴影部分图形面积可能是若干个图形面积的和，或和与差的组合.这里实际上将一个问题转化为三个小问题，从而达到解决问题的目的.三、构造和差法某些阴影部分，从已知图形中无法看出它是哪些图形的和或差，需要作辅助线才能看出来，此时应使用构造和差法，通过辅助线，补上一些规则图形，再减去其他规则图形，从而达到化不规则图形为规则图形的目的.［例3］如图3，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB 交于点D ，以O 为圆心，OC的长为半径作CE 交OB 于点E ，若OA =4，∠AOB =120°，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）图3图4分析：如图4，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC =12OA =12OD ，∵CD ⊥OA ，∴∠CDO =30°，数学·解题研究∠DOC=60°，∴△ADO为等边三角形，∴CD=23，∴S扇形AOD=60×π×42360=83π，∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-(S扇形AOD-S△COD)=120×π·42360-120×π·22360-()83π-12×2×23=163π-43π-83π+23=43π+23.故答案为43π+23.评注：需注意的是，在有弧线的图形中，通常会用扇形面积公式，此题还用到了等边三角形的判定、直角三角形的性质等，综合性比较强，不要把它看成只是求面积这样简单的问题，这样的题常作为压轴题，有一定的难度.四、平移法某些阴影部分的图形虽是不规则图形，但是通过将一部分图形平移，可以拼合成规则的图形，这是利用了图形平移后，图形的形状、大小都未变，只是位置变化的性质.一个图形平移后能否与另一个图形重合，主要看几个关键点按相同的方法平移后能否与对应点重合.［例4］如图5，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）.若平移该抛物线，使其顶点P沿直线移动到点P'（2，-2），点A的对应点为A'，则图中抛物线上AP段、A'P'段、P P'、A A'围成的图形（阴影部分）面积为.图5图6分析：如图6，连接AP，A'P'，过点A作AD⊥PP'于点D，由题意可得出AP∥A'P'，AP=A'P'，∴四边形APP'A'是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P'（2，-2），∴PO=22+22=22，PP'=22×2=42，∠AOP=45°，又∵AD⊥OP，是等腰直角三角形，∴AD=DO=sin45°·OA=×3=322，∴抛物线上AP段扫过的区域（阴影部分）的面积=平行四边形APP'A'的面积=42×322=12.故答案为12.评注：抛物线也是图形，平移后其形状与大小都不变，所以图中弓形AP与弓形A'P'的形状与大小是相同的；图形平移后形成平行四边形，注意平行四边形面积公式的使用.五、旋转法某些阴影部分的图形虽是不规则图形，但是将其中的一部分图形旋转后，可以拼接成规则图形，这是利用旋转后的图形其形状、大小不变，只是位置变化的性质.一个图形旋转后能否与另一个图形重合，主要看几个关键点按相同的旋转方法旋转后能否与对应点重合.［例5］如图7，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为cm2（结果保留π）.图7分析：∵OA=OA'，OC=OC'，AC=A'C'，∴△AOC≌△A'OC'，∴雨刷器AC扫过的面积=S扇形AOA'-S扇形COC'=452-524×π=500π（cm2），故答案为500π.评注：此题相当于将一个三角形旋转后，求边AC扫过的面积.通过上述试题我们发现，它实际上是两个扇形面积的差，这是中考的高频题型.求阴影部分图形的面积，本质就是将不规则图形转化为规则图形，转化的方法有直接和差法、构造和差法、平移法、旋转法、对称法、等积替代法、覆盖法等，然后结合已知数量，将几何问题转化为代数运算.这是始终不变的主线.［参考文献］［1］于秀坤.求阴影部分面积的思路和方法［J］.中学生数理化（初中版·中考版），2020（8）:2-3.［2］王金伟.求阴影部分面积的方法技巧［J］.数理天地（初中版），2019（10）:12-13.［3］罗峻，段利芳.十招走出圆中面积阴影［J］.数理化学习（初中版），2019（7）:29-33.［4］王文智.利用对称性求解与扇形相关的阴影面积［J］.理科考试研究，2019（10）:27-28.（责任编辑陈昕）数学·解题研究。

巧求阴影部分面积

巧求阴影部分⾯积1、如下图：正⽅形边长为2厘⽶，求阴影部分⾯积。

思路引导：把“叶形”平均分成2份，然后拼成下⾯的图形。

即⼀个半圆减去⼀个三⾓形。

列式：2÷2＝1（厘⽶）1/2×3.14×12－2×1÷2＝1.57－1＝0.57（平⽅厘⽶）2、如下图，已知正⽅形⾯积为18平⽅厘⽶，求阴影部分的⾯积。

思路引导：很容易看出，要求阴影部分的⾯积只要⽤正⽅形的⾯积－圆的⾯积，但求圆的⾯积⽐较困难，因为我们不知道圆的半径，看似可以求出正⽅形的边长，就可以知道圆的直径了，但⼩学没有学过开⽅。

因此，我们只能想别的办法，⽤设未知数的⽅法试⼀试。

设圆的半径为r,那么正⽅形的⾯积＝2r×2r＝18，于是得到下⾯的等式：2r×2r＝184r2＝184r2＝18÷4r2＝4.5图中圆的⾯积：3.14×r2＝3.14×4.5＝14.13（平⽅厘⽶）阴影部分的⾯积：18－14.13＝3.87（平⽅厘⽶）3、如下图正⽅形的⾯积是18平⽅厘⽶。

求图中阴影部分的⾯积。

思路引导：很容易看出图中阴影部分⾯积＝正⽅形⾯积－四分之⼀圆的⾯积，然⽽我们发现圆的⾯积⽆法计算，因为我们不知道圆的半径或者直径，虽然说求出正⽅形的边长就能知道圆的直径，可是⼩学阶段没有学习开⽅，这条路⼦也⾏不通。

很容易联想到上⾯⼀题的做法，我们设圆的半径为r,那么正⽅形的⾯积＝r×r＝18，于是有下⾯的等式：r×r＝18r2＝18阴影部分⾯积：18－1/4×3.14×18＝18－14.13＝3.87（平⽅厘⽶）4、如右图：正⽅形的边长6分⽶，求图中阴影部分的⾯积。

怎么计算阴影部分的⾯积？思路引导：观察图形，如果把空⽩的四部分剪下，组合在⼀起，可以拼成⼀个半径是3分⽶的圆形，这样图中的四块阴影部分的⾯积就可以从正⽅形⾯积中减去这个圆的⾯积求出。

构造等效图形巧求阴影部分的面积

构造等效图形巧求阴影部分的面积通过旋转、平移、对称、拼图等方法，巧构造阴影部分的等效图形，把不规则图形面积求解问题转化成规则图形面积的求解问题。

从而提高解题的灵活性。

笔者就此抛一块砖以期引玉。

一、等效图形是半圆-直角三角形例1、如图1所示，⊙O 的半径为5cm ，弦AB=6cm ，CD=8cm ，求图中阴影部分的面积。

分析：将弓形CD 旋转，使CD 中的端点C 与B 重合，易得三角形ACD 是直角三角形。

所以，阴影部分的面积就等于半圆的面积减去三角形ACD 的面积。

解：如图2，将弓形CD 旋转，使CD 中的端点C 与B 重合，因为⊙O 的半径为5cm ，所以AD=10 cm ，又因为弦AB=6cm ，CD=8cm ，2228610+=，所以三角形ACD 是直角三角形，所以，阴影的面积为：2422586215212-=⨯⨯-⨯ππ（cm 2）。

二、等效图形是半圆环例2、如图3所示，从大半圆中剪去一个小半圆，小半圆的直径在大半圆的直径MN 上，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB ∥MN 。

已知AB=24cm ，求阴影部分的面积。

分析：阴影部分的面积是不规则图形，可以通过平移小半圆，将不规则图形面积转化成规则图形面积-------半圆环。

解：设大半圆、小半圆的半径分别为R 、r ，平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，如图4所示。

作OC ⊥AB ，垂足为点C ，则AC=BC=12cm ，连接OB ，在Rt △OCB 中，22212=-r R ，如图4BNMo所以S 阴影=ππ72)(2122=-r R （cm 2）。

三、等效图形是矩形例3、如图5所示，扇形AOB 的圆心角为90°，四边形OCDE 是边长为1的正方形，点C 、E 、D 分别在OA 、OB 、弧AB 上，过点A 作AF ⊥ED ，交ED 的延长线于点F ，求图形中阴影部分的面积。

小升初几何-用割补法巧求面积

小升初几何之---用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

求阴影面积的巧妙解法

求阴影面积的巧妙解法有很多，以下是一些常见的方法：
1. 平移法：将不规则的阴影部分通过平移、旋转等方式转化为规则图形，然后计算其面积。

2. 割补法：将阴影部分分割成若干个规则图形，然后计算它们的面积之和。

3. 等积变形法：通过等积变形，将阴影部分转化为与之等积的规则图形，然后计算其面积。

4. 容斥原理法：利用容斥原理，将阴影部分的面积转化为若干个规则图形的面积之差或和。

5. 比例法：利用相似三角形的性质，通过比例关系求出阴影部分的面积。

这些方法都需要根据具体的图形特点进行选择和运用，需要灵活运用数学知识和思维能力。

阴影面积的求法

方法二：割补法
通过割补使得一部分不规则图形与另一不规则图合到一块，使得它们成为规则图形例题 2
例题 3 求下面阴影部分的面积
练习 2：求下面图形的面积，右边为边长是 4cm 的正方形。
练习 3 如下图所示，OA，OB 分别是小半圆的直径，且 OA=OB=6cm， BOA 90 ，则阴影部分的面积是多少平
0
方厘米？
提示;图中阴影部分的形状不规则，将椭圆形的阴影通过切割分成相等的两部分，然后分别补到另一部分上，使得不规则图形变成规则图形，如下图所示：
阴影部分的面积
1 大圆的面积 --三角形 AOB 面积 4
练习 4 如下图所示，正方形的边长是 10cm，求阴影部分的面积
练习 5 等腰直角三角形的直角边长是 10cm，求阴影部题年级：辅导科目：数学课时数：学科教师：
阴影部分面积的求法
授课日期及时段
教学目的
教学内容
复习：
正方形的面积公式：长方形的面积公式; 三角形面积公式：圆的面积公式：梯形的面积公式：对于规则图形，我们可以直接运用公式求出它们的面积，那不规则图形的面积又是如何求得呢？我们知道，可以运用 S规则图形 - S另一种规则图形来得到不规则图形的面积，比如说：
三，分割法
该方法特别适用于阴影部分为对称的图形。例题 4 如下图，正方形的边长是 8cm，求阴影部分的面积。
解析：可以发现四个阴影部分的面积完全相同，每个小正方形内两个空白部分的面积相等。用正方形面积减去一个整圆的面积，得到空白部分面积的一半，用正方形的面积减去全部空白部分的面积，就得到阴影部分的面积你。
练习正方形的边长是 10cm，求阴影部分的面积
练习图中正方形的边长是 10cm,求阴影部分的面积。

小学数学常见几何模型典型例题解题思路

⼩学数学常见⼏何模型典型例题解题思路⼩学数学常见⼏何模型典型例题及解题思路（1）巧求⾯积常⽤⽅法：直接求；整体减空⽩；不规则转规则（平移、旋转等）；模型（鸟头、蝴蝶、漏⽃等模型）；差不变1、ABCG 是边长为12厘⽶的正⽅形，右上⾓是⼀个边长为6厘⽶的正⽅形FGDE ，求阴影部分的⾯积。

答案：72A H FE C B I D G思路：1）直接求，但是阴影部分的三⾓形和四边形⾯积都⽆法直接求；2）整体减空⽩。

关键在于如何找到整体，发现梯形BCEF 可求，且空⽩分别两个矩形⾯积的⼀半。

2、在长⽅形ABCD 中，BE=5，EC=4，CF=4，FD=1。

△AEF 的⾯积是多少？答案：20A DB FC E思路：1）直接求，⽆法直接求；2）由于知道了各个边的数据，因此空⽩部分的⾯积都可求3、如图所⽰的长⽅形中，E 、F 分别是AD 和DC 的中点。

（1）如果已知AB=10厘⽶，BC=6厘⽶，那么阴影部分⾯积是多少平⽅厘⽶？答案：22.5（2）如果已知长⽅形ABCD 的⾯积是64平⽅厘⽶，那么阴影部分的⾯积是多少平⽅厘⽶？答案：24B CDF E思路（1）直接求，⽆法直接求；2）已经知道了各个边的数据，因此可以求出空⽩的位置；3）也可以利⽤鸟头模型4、正⽅形ABCD 边长是6厘⽶，△AFD （甲）是正⽅形的⼀部分，△CEF （⼄）的⾯积⽐△AFD （甲）⼤6平⽅厘⽶。

请问CE 的长是多少厘⽶。

答案：8A B DC F思路：差不变5、把长为15厘⽶，宽为12厘⽶的长⽅形，分割成4个三⾓形，其⾯积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，且S 1=S 2=S 3+S 4。

求S 4。

答案：10DC E F S 1S 2S 3S 4思路：求S4需要知道FC 和EC 的长度；FC 不能直接求，但是DF 可求，DF 可以由三分之⼀矩形⾯积S1÷AD ×2得到，同理EC 也求。

最后⼀句三⾓形⾯积公式得到结果。

求下列图形阴影部分面积

一、阴影部分的面积=总面积—空白在一长方形草地里有一条宽1米的曲折小路，如图所示，小路的面积是平方米．∙ A.10∙ B.20∙ C.301、如图是创意广告公司为某商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色，若每个小长方形面积是1，则阴影面积是8.如图所示，每个小正方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是．2、求下列图形阴影部分的面积．3、如图，已知长方形面积是56平方厘米，A、B分别是长和宽的中点，则阴影部分的面积是多少平方厘米．4、.如图，阴影部分的面积为．（单位：厘米）．5、如图，图中阴影的面积是3 ．146、小丽用一张黄色纸剪了一个大写英文字母“M”，求它的面积是多少？（单位：cm）7、.如图，B、C分别是正方形边上的中点，己知正方形的周长是80厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米．8、图中长方形的面积是180平方厘米，S1与S2的面积都是60平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？二、等量代换1、.某小区有一块如图所示的梯形空地，根据图中的数据计算，空地的面积是多少平方米．2.如图，四边形ABCD的面积是多少平方厘米？2.如图是两个一样的直角三角形重叠在一起，图中阴影部分面积是多少？3.如图，长方形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，平行四边形BCEF的一边BF 交CD于G，若梯形CEFG的面积为64平方厘米，则DG长为多少厘米？4、如图，在平行四边形中，已知甲的面积8平方厘米，丙的面积15平方厘米，那么乙的面积是23平方厘米．5.如图是两个一样的直角三角形重叠在一起，图中阴影部分面积是多少？6、如图，长方形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，平行四边形BCEF的一边BF 交CD于G，若梯形CEFG的面积为64平方厘米，则DG长为_____．7.如图所示是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积．（单位：厘米）8、如图中阴影甲的面积比阴影乙的面积大多少三、同加同减差不变1、如图，甲、乙两个阴影部分的面积比较，结果是（）4.在图中的平行四边形中，甲的面积（）乙的面积．如图梯形ABCD中，两个阴影部分的面积关系是A. s1＝s2B. s1＞s2C. s1＜s22、如图，边长为4cm的正方形将边长为3cm的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于多少cm2．3、.如图中阴影甲的面积比阴影乙的面积大多少？4、如图ABCD是长方形，已知AB=4厘米，BC=6厘米，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED=（）厘米．5.如图，BCEF是平行四边形，三角形ABC是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米．求HC的长度．四、巧添辅助线1.如图，已知一个四边形的两条边的长度和它的三个角的度数．那么这个四边形的面积是多少平方厘米．五、巧妙利用“一半”1.比大小．（1）甲的周长（）乙的周长；（2）甲的面积（）乙的面积．2、如图：平行四边形的面积是16cm2，阴影部分的面积是多少cm2．3.如图所示，甲、乙两图中的两个大正方形和两个小正方形的边长分别相等，甲和乙两幅图的阴影面积相比，甲（）乙4、如图，涂色部分面积是长方形面积的（）5.如图阴影部分的面积与空白部分的面积相比较，它们（）6.如图，平行四边形的面积是3.6平方厘米，阴影部分的面积是7、图中阴影部分的面积是空白部分面积的（）8.如图，空白部分面积是阴影部分面积的（）9、如图，平行四边形的面积是28平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米．10.如图，星星家有一块平行四边形的菜地，面积是124平方米，其中阴影部分种黄瓜，那么黄瓜的种植面积是多少平方米．11.如图正方形边长为5厘米，长方形的面积是多少平方厘米．12.如图，正方形ABCD的边长是8厘米，长方形DEFG的长DG=10厘米，则它的宽DE的长是六、推导法1、求图中阴影部分的面积．（1）如图1（2）如图2 已知梯形的面积是60平方米．8m2、.如图，大小两个正方形拼在一起，阴影部分面积为28平方厘米，小正方形边长为4厘米，则图中空白部分的面积是（）平方厘米．3.如图，正方形的周长是16厘米，三角形的面积是多少平方厘米．4、如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？5、将边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是43.2平方厘米．6、.已知△ABC的面积是180平方厘米，AC长18厘米，CE长8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米．7.把一个梯形分成一个三角形和一个平行四边形（如图）．已知平行四边形的面积是12平方厘米，三角形的面积是平方厘米．8、如图，梯形的上底是8厘米，下底6厘米，阴影部分的面积是12平方厘米，空白部分的面积是多少平方厘米．9、求右图中直角三角形ABC中阴影部分面积以及BD长度（cm），AE=EF=FC．10、比较下面三个图形中阴影部分的面积大小，则A.甲与丙相等B.甲与乙相等C.乙与丙相等D.无法比较11、如图三个图都是由边长为4厘米和3厘米的两个正方形组成的，阴影部分的面积是A.①＞③＞②B.②＞①＞③C.③＞①＞②13、下图中的两个正方形的边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分的面积．14、如图，阴影部分的面积是多少平方厘米．15、.图中，将两个正方形放在一起，大正方形面积为94，则△ABC的面积为多少16、如图中，两个正方形的边长分别是5厘米和3厘米，阴影部分的面积是A.19平方厘米B.20平方厘米C.9.5平方厘米17、图中的两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积．18.已知如图阴影部分的面积是3平方厘米，则两个正方形中较小的正方形的面积为．6.如图中，小正方形边长为1分米，大正方形边长为2分米，阴影部分面积是多少？9.大正方形的边长10厘米，小正方形的边长5厘米，下面的图形中阴影部分面积一样大的图形有19.如图，直角梯形A BCD的上底与高相等，正方形DEFH的边长等于6厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米．20.如图，甲和乙是两个正方形，阴影部分的面积是平方厘米．21、在长方形ABCD中，E是AD边上的三等分点，DE=2AE，BD、CE将长方形分成四部分，两个三角形的面积已给出，则阴影部分的面积是多少？（答案11）21、如图所示：E、F、G和H分别是梯形每条边的中点，那么下面有图形的阴影部分面积是原来梯形面积的一半．A.4个B.3个C.2个D.1个22、长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积之和是68平方米，求长方形ABCD的面积．4.边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米．26.下面哪些图形的阴影部分面积是相等的？（每个小正方形的边长相等）7.图中阴影部分的面积是．8.求图形面积．（单位：厘米）6.求下列阴影部分的面积．（单位：厘米）四个正方形A、B、C、D如图放置，其中正方形A的周长是12厘米，正方形D 的周长是60厘米，则阴影部分的面积会为多少平方厘米．5.如图，长方形ABCD 中，AB=67，BC=30．E 、F 分别是AB 、BC 边上的两点，BE+BF=49．那么，三角形DEF 面积的最小值是（）．设AE=x ，则BE=67-x ，BF=49-（67-x ）=x-18，CF=30-（x-18）=48-x ．三个直角三角形面积和是21[30x+(67-x)(x-18)+(48-x)67]=21[2010+x(48-x)]，要想让三角形DEF 面积最小，只需三个直角三角形面积之和最大，显然x=24，则三个直角三角形面积和是21(2010+242)=1293，进行解答即可．解答设AE=x ，则BE=67-x ，BF=49-（67-x ）=x-18，CF=30-（x-18）=48-x ．三个直角三角形面积和是21[30x+(67-x)(x-18)+(48-x)67]=21[2010+x(48-x)]，当x=24，则三个直角三角形面积和是21(2010+242)=1293，则三角形DEF 面积是2010-1293=717；故答案为：717．点评此题较难，解答此题的关键是：要想让三角形DEF 面积最小，只需三个直角三角形面积之和最大，进而解答即可．。

巧求面积之加减法

看一看，你发现了什么？
求下图中阴影部分的面积
看一看，你发现了什么？
看一看，你发现了什么？
图中A、B两块阴影的面积关系是：A（） B
A B
图中正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。
求下图中阴影部分的面积
下图是一个圆心为O，半径是10厘米的圆。以C为圆心，CA为半径画一圆弧，求阴影部积与长方形面积相等,求阴影部分面积.
下图中各圆半径都是2厘米，求阴影部分的面积。
求下图中阴影部分的面积
10cm
5cm
求下图中阴影部分的面积
3cm
5cm
已知正方形的边长是5厘米，求阴影部分的面积。
看一看，你发现了什么？
图中正方形的边长是3厘米，求阴影部分的面积。
求下图中阴影部分的面积。单位：厘米
先用含a的式子表示阴影部分的面积，再求a=4时这个面积的大小。
求下图中阴影部分的面积
求下图中阴影部分的面积
图中阴影里的正方形对角线长 10厘米，求阴影部分的面积。
求下图中阴影部分的面积
之加减法
执教马洪杰
你看到了什么,想到了什么?
6 6
你看到了什么,想到了什么?
单位:厘米
6 8
你看到了什么,想到了什么?
4厘米
你看到了什么,想到了什么?
单位:分米
你看到了什么,想到了什么?
单位:米
6
计算图中蓝色部分的面积 8分米
3分米
15分米
下图中正方形边长6厘米，求阴影部分的面积。