2018届高中数学北师大版 导数 单元测试2 Word版 含答案

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2018届高中数学北师大版 变化率与导数 单元测试 Word版 含答案

2018届高中数学北师大版 变化率与导数 单元测试 Word版 含答案

题组层级快练(十五)1.y =ln(-x)的导函数为( ) A .y ′=-1xB .y ′=1xC .y ′=ln(x)D .y ′=-ln(-x)答案 B2.(2017·广东五校协作体联考)曲线y =x +1x -1在点(3,2)处的切线的斜率是( ) A .2 B .-2 C.12 D .-12答案 D 解析 y ′=(x +1)′(x -1)-(x +1)(x -1)′(x -1)2=-2(x -1)2,故曲线在(3,2)处的切线的斜率k =y ′|x =3=-2(3-1)2=-12,故选D. 3.曲线f(x)=2e x sinx 在点(0,f(0))处的切线方程为( ) A .y =0 B .y =2x C .y =x D .y =-2x答案 B解析 ∵f(x)=2e x sinx ,∴f(0)=0,f ′(x)=2e x (sinx +cosx),∴f ′(0)=2,∴所求切线方程为y =2x.4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为s =13t 3-32t 2+2t ,那么速度为零的时刻是( ) A .0秒 B .1秒末C .2秒末D .1秒末和2秒末 答案 D解析 ∵s =13t 3-32t 2+2t ,∴v =s ′(t)=t 2-3t +2.令v =0,得t 2-3t +2=0,t 1=1或t 2=2.5.设正弦函数y =sinx 在x =0和x =π2附近的平均变化率为k 1,k 2,则k 1,k 2的大小关系为( ) A .k 1>k 2 B .k 1<k 2 C .k 1=k 2D .不确定答案 A解析 ∵y =sinx ,∴y ′=(sinx)′=cosx.k 1=cos0=1,k 2=cos π2=0,∴k 1>k 2.6.(2017·湖南雅礼中学月考)曲线y =a x 在x =0处的切线方程是xln2+y -1=0,则a =( ) A.12 B .2 C .ln2 D .ln 12答案 A解析 由题知,y ′=a x lna ,y ′|x =0=lna ,又切点为(0,1),故切线方程为xlna -y +1=0,∴a =12,故选A.7.若函数f(x)=x 2+bx +c 的图像的顶点在第四象限,则函数f ′(x)的图像是( )答案 A解析 由题意知⎩⎨⎧-b2>0,4c -b 24<0,即⎩⎪⎨⎪⎧b <0,b 2>4c.又f ′(x)=2x +b ,∴f ′(x)的图像为A.8.f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f ′(x)=g ′(x),则f(x)与g(x)满足( ) A .f(x)=g(x)B .f(x)=g(x)=0C .f(x)-g(x)为常数函数D .f(x)+g(x)为常数函数答案 C9.设a ∈R ,函数f(x)=e x +a·e -x的导函数是f ′(x),且f ′(x)是奇函数,则a 的值为( )A .1B .-12C.12 D .-1答案 A解析 因为f ′(x)=e x -ae -x ,由奇函数的性质可得f ′(0)=1-a =0,解得a =1.故选A.10.(2017·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x )=x +e x ,则f ′(2 017)=( )A .1B .2 C.12 017 D.2 0182 017答案 D解析 令e x =t ,则x =lnt ,所以f(t)=lnt +t ,故f(x)=lnx +x. 求导得f ′(x)=1x +1,故f ′(2 017)=12 017+1=2 0182 017.故选D.11.若P 为曲线y =lnx 上一动点,Q 为直线y =x +1上一动点,则|PQ|min =( ) A .0 B.22C. 2 D .2答案 C解析 如图所示,直线l 与y =lnx 相切且与y =x +1平行时,切点P 到直线y =x +1的距离|PQ|即为所求最小值.(lnx)′=1x ,令1x =1,得x =1.故P(1,0).故|PQ|min =22= 2.故选C. 12.y =x·tanx 的导数为y ′=________. 答案 tanx +xcos 2x解析 y ′=(x·tanx)′=x ′tanx +x(tanx)′=tanx +x·(sinxcosx )′=tanx +x·cos 2x +sin 2x cos 2x =tanx+xcos 2x. 13.已知y =13x 3-x -1+1,则其导函数的值域为________.答案 [2,+∞)14.已知函数f(x)=x(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5),则f ′(0)=________. 答案 -120解析 f ′(x)=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5)+x[(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5)]′,所以f ′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.15.已知函数f(x)=f ′(π4)cosx +sinx ,所以f(π4)的值为________.答案 1解析 因为f ′(x)=-f ′(π4)sinx +cosx ,所以f ′(π4)=-f ′(π4)sin π4+cos π4,所以f ′(π4)=2-1.故f(π4)=f ′(π4)cos π4+sin π4=1.16.(1)(2015·广东,文)若曲线y =ax 2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于x 轴,则a =________. 答案 12解析 因为y ′=2ax -1x ,依题意得y ′|x =1=2a -1=0,所以a =12.(2)若曲线f(x)=ax 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________. 答案 (-∞,0)解析 由题意,可知f ′(x)=3ax 2+1x ,又存在垂直于y 轴的切线,所以3ax 2+1x =0,即a =-13x 3(x>0),故a ∈(-∞,0). 17.设f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f(x)=2x 2. (1)求x<0时,f(x)的表达式;(2)令g(x)=lnx ,问是否存在x 0,使得f(x),g(x)在x =x 0处的切线互相平行?若存在,求出x 0的值;若不存在,请说明理由. 答案 (1)f(x)=-2x 2(x<0) (2)存在,x 0=12解析 (1)当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x 2. ∴当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=-2x 2.(2)若f(x),g(x)在x 0处的切线互相平行,则f ′(x 0)=g ′(x 0),当x>0时,f ′(x 0)=4x 0=g ′(x 0)=1x 0,解得,x 0=±12.故存在x 0=12满足条件.18.已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且直线l 与曲线C 相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标. 答案 y =-14x 切点为(32,-38)解析 ∵直线过原点,则k =y 0x 0(x 0≠0).由点(x 0,y 0)在曲线C 上,则y 0=x 03-3x 02+2x 0, ∴y 0x 0=x 02-3x 0+2.又y ′=3x 2-6x +2, ∴在(x 0,y 0)处曲线C 的切线斜率应为k ==3x 02-6x 0+2. ∴x 02-3x 0+2=3x 02-6x 0+2. 整理得2x 02-3x 0=0. 解得x 0=32(x 0≠0).这时,y 0=-38,k =-14.。

2018届高中数学北师大版 不等式 单元测试2 Word版 含答案

2018届高中数学北师大版 不等式 单元测试2 Word版 含答案

一、选择题1. 【2016东北师大附中月考】设点(),M x y 满足约束条件13300x y x y x y ì-?ïï-?ïí³ïï³ïî,且点()1,2N -,则OM ON ×的取值范围是( )A .[]4,1-B .[]2,0-C .[]1,2D .[]3,3- 【答案】A 【解析】考点:向量的数量积,简单的线性规划的应用.2. 【2016重庆巴蜀中学月考】若正数b a ,满足)(log log 3log 2632b a b a +=+=+,则ba 11+的值为( ) A .36 B .72 C .108 D .721 【答案】C【解析】试题分析:设2362log 3log log ()a b a b t +=+=+=,则22t a -=,33t b -=,6t a b +=,所以2323232323t t t t ab --⋅=⋅=⋅6108108t a b +==,所以11108a b a b ab++==.故选C . 考点:对数式与指数式的互化,指数的运算.3. 【2016大连双基测试】已知点(,)x y 满足不等式组43021032190x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩,则2z x y =-的最大值为( )(A )7- (B )1- (C )1 (D )2 【答案】C4. 【2016吉林实验中学月考】已知实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥+-012012y x x y x ,122--=y x z ,则z 的取值范围是______. 【答案】5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析:由已知的不等式组,画出可行域如图阴影部分,三角形三个顶点坐标分别为3(2,)2,(2,1)-,12(,)33,当z 取不同值时, 122--=y x z 表示的是斜率为1的平行直线系,经过点12(,)33时,z 取最小值53-,在经过点(2,1)-时,取最大值5,由于不等式2x <表示的区域不包括直线2x =,所以不能取到最大值5,故z 的取值范围是5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.考点:1.不等式组所表示的区域;2.简单的线性规划.5. 【2016甘肃张掖一模】已知M 是△ABC 内的一点,且=2,∠BAC=30°,若△MBC ,△MCA 和△MAB的面积分别为,x ,y,则+的最小值是( )A .20B .18C .16D .9【答案】B二、填空题1. 【2016甘肃兰州模拟】已知变量,x y 满足:202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为 . 【答案】4 【解析】试题分析:如下图所示,画出不等式组所表示的区域,作直线l :20x y +=,平移l ,则可知当1x =,2y =时,max 4z =,故填:4.考点:本题主要考查线性规划.2. 【2016山东实验中学月考】若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为(,)m n (0)n <,且(,)m n 中只有一个整数,则实数a 的取值范围是( )A .221[,)32e e B .221[,)3e e C .221(,)32e e D .221(,)3e e【答案】A考点:函数零点3. 【2016山东实验中学月考】若实数,x y 满足约束条件2110y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则3z x y =+的最大值为___________. 【答案】37 【解析】试题分析:可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中112(,1),(2,1),(,)233A B C ---,则直线3z x y =+过C 点时取最大值37考点:线性规划求最值4. 【2016山东实验中学月考】已知正数,x y 满足111x y +=,则4911x yx y +--的最小值为___________. 【答案】25 【解析】。

(常考题)北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(包含答案解析)

(常考题)北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1.已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩,若0a b >≥,()()f a f b =,则()bf a 的取值范围是( )A .3,24⎛⎤⎥⎝⎦B .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .(]1,2D .3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.已知函数()32f x x =-,2()2g x x x =-,(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩,则( )A .()F x 的最大值为3,最小值为1B .()F x的最大值为2 C .()F x的最大值为7- D .()F x 的最大值为3,最小值为-13.已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数,()0,2A ,()2,2B -是其函数图像上的两点,则不等式()12f x ->的解集为( ) A .()1,3 B .()(),31,-∞-⋃+∞ C .()1,1-D .()(),13,-∞+∞4.已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2,则函数(13)f x -的定义域是( ) A .21(,)33-B .11(,)63-C .(0,3)D .7(,1)2-5.已知函数()3221xf x x =-+,且()()20f a f b ++<,则( ) A .0a b +<B .0a b +>C .10a b -+>D .20a b ++<6.设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ,若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值,则实数b 的取值范围是( ) A .(,2]-∞B .(,0]-∞C .(,0][2,)-∞+∞D .[2,)+∞7.设()f x 是奇函数,且在(0,)+∞内是增函数,又(2)0f -=,则()0f x x<的解集是( )A .{2002}xx x -<<<<∣或 B .{22}xx x <->∣或 C .{202}xx x <-<<∣或 D .{202}xx x -<<>∣或 8.若函数()f x =的值域为0,,则实数m 的取值范围是( ) A .()1,4 B .()(),14,-∞⋃+∞C .(][)0,14,+∞ D .[][)0,14,+∞9.已知定义在R 上的奇函数()y f x =,当0x ≥时,22()f x x a a =--,若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立,则正数a 的取值范围为( )A .)1,4⎡+∞⎢⎣B .)1,2⎡+∞⎢⎣C .(10,4⎤⎥⎦D .(10,2⎤⎥⎦10.已知函数f x ()满足当4x ≥时,f x ()=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭;当4x <时,1f x f x =+()(),则22log 3f +()=A .124 B .112C .18D .3811.若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值,则实数a 的取值范围为( ) A .34a >-B .53a <-C .5334a -<<- D .5334a -≤≤- 12.若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( )A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13.已知1()1x f x x +=-,则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________14.设函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈R 都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,则f (-3)与f (-π)的大小关系是________.15.函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________.16.若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数,且()20f =,则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .17.如果定义在区间[3+a ,5]上的函数f(x)为奇函数,那么a 的值为________. 18.如图,是某个函数的图象,则该函数的解析式y =__________;19.已知函数()1f x x x =+,()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若[]11,2x ∀∈,[]21,1x ∃∈-,使()()12f x g x ≥,则实数m 的取值范围是______.20.已知(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数,则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21.已知二次函数()2(f x ax bx c a R =++∈且2a >-),(1)1f =,且对任意的x ∈R ,(5)(3)f x f x -+=-均成立,且方程()42f x x =-有唯一实数解.(1)求()f x 的解析式;(2)若当(10,)x ∈+∞时,不等式()2160f x kx k +--<恒成立,求实数k 的取值范围;(3)是否存在区间[],()m n m n <,使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ?若存在,请求出区间[],m n ,若不存在,请说明理由.22.已知函数()y f x =是[]1,1-上的奇函数,当10x ≤<时,()2112x f x x =-+. (1)判断并证明()y f x =在[)1,0-上的单调性; (2)求()y f x =的值域.23.已知函数f (x )=x 2+(1-x )·|x -a |. (1)若a =0,解不等式f (x )>3;(2)若函数f (x )在[2a ,a +2]上的最小值为g (a ),求g (a )的解析式. 24.已知函数()y f x =的定义域为D ,若存在区间[],a b D ⊆,使得()[]{}[],,,y y f x x a b a b =∈=,则称区间[],a b 为函数()y f x =的“和谐区间”.(1)请直接写出函数()3f x x =的所有的“和谐区间”;(2)若[]()0,0m m >为函数()312f x x =-的一个“和谐区间”,求m 的值;(3)求函数()22f x x x =-的所有的“和谐区间”.25.已知函数()bf x ax x=+的是定义在()0,∞+上的函数,且图象经过点()1,1A ,()2,1B -.(1)求函数()f x 的解析式;(2)证明:函数()f x 在()0,∞+上是减函数; (3)求函数()f x 在[]2,5的最大值和最小值. 26.已知二次函数2()23=-+f x x x .(Ⅰ)求函数()2log 2y f x =+,1,44x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的值域;(Ⅱ)若对任意互不相同的21,(2,4)x x ∈,都有()()1212f x f x k x x -<-成立,求实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】由()f x 在每一段上单调递增可知01b a ≤<≤,由()f x 每一段上的值域可知()3,22f b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,进一步确定112b ≤<,由()()()1bf a bf b b b ==+,根据二次函数的值域得到结果. 【详解】()f x 在[)0,1和[)1,+∞上单调递增,∴由()()f a f b =得:01b a ≤<≤,当[)0,1x ∈时,()[)1,2f x ∈;当[)1,x ∈+∞时,()3,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,若()()f a f b =,则()3,22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,即()31,22f b b ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭,解得:112b ≤<, ()()()2211124bf a bf b b b b b b ⎛⎫==+=+=+- ⎪⎝⎭,∴当112b ≤<时,()3,24bf a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】易错点点睛:本题解题关键是能够将()bf a 转化为关于b 的函数,易错点是没有对b 的范围进行细化,造成函数值域求解错误.2.C解析:C 【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象,然后根据定义画出()F x ,就容易看出()F x 有最大值,无最小值,解出两个函数的交点,即可求得最大值. 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象,如图然后根据定义画出()F x ,就容易看出()F x 有最大值,无最小值. 由图象可知,当0x <时,()y F x =取得最大值, 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-.结合函数图象可知当27x =-时,函数()F x 有最大值727-,无最小值. 故选:C .【点睛】关键点睛:本题主要考查了函数的图象,以及利用函数求最值,解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象,根据图象得出函数的最值,由232||2x x x -=-得27x =27x =. 3.D解析:D 【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-,从而得出()f x 在R 上为减函数,从而根据不等式()12f x ->得,(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->,从而得出12x ->或10x -<,解出x 的范围解:由题意得(0)2,(2)2f f ==-, 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数, 所以()f x 在R 上为减函数,由()12f x ->,得(1)2f x ->或(1)2f x -<-, 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<, 所以10x -<或12x ->, 解得1x <或3x >,所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞,故选:D 【点睛】关键点点睛:此题考查函数单调性的应用,考查绝对值不等式的解法,解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<,再利用()f x 在R 上为减函数,得10x -<或12x ->,考查数学转化思想,属于中档题4.A解析:A 【分析】先求出函数()f x 的定义域(0,3),再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】函数(2)f x 的定义域为3(0,)2,则302x <<,所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3),则0133x <-<解得2133x -<< 函数(13)f x -的定义域为21(,)33- 故选:A 【点睛】对于抽象函数定义域的求解方法:(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ,,则复合函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出;(2)若已知函数()()f g x 的定义域为[]a b ,,则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈,上的值域.5.A解析:A 【分析】求得函数的单调性,构造奇函数利用单调性得解由函数单调性性质得:3y x =,21x y =+在R 上单调递增 所以()3221x f x x =-+在R 上单调递增, 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+,()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数,且在R 上单调递增,故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<. 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.6.C解析:C 【分析】由于参数b 的不确定性,可进行分类讨论,再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时,()2f x x =,()[)0,f x ∈+∞,()()[)0,ff x ∈+∞,符合题意;当0b <时,22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭,对称轴为02b x =->,画出大致图像,令()t f x =,min 0t <,则()()()f f x f t =,[)min,t t∈+∞,显然能取到相同的最小值,符合;当0b >时,对称轴为b x 02=-<,()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令()t f x =,2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭,要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值,则需满足:242b b -≤-,解得[2,)b ∈+∞综上所述,则b ∈(-∞,0]∪[2,+∞) 故选:C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论,同时结合最值与对称轴的关系解决问题.7.A解析:A 【分析】 由()0f x x <对0x >或0x <进行讨论,把不等式()0f x x<转化为()0f x >或()0f x <的问题解决,根据()f x 是奇函数,且在(0,)+∞内是增函数,又(2)0f -=,把函数值不等式转化为自变量不等式,求得结果. 【详解】 解:()f x 是R 上的奇函数,且在(0,)+∞内是增函数,∴在(,0)-∞内()f x 也是增函数,又(2)0f -=,()20f ∴=,∴当(x ∈-∞,2)(0-⋃,2)时,()0f x <;当(2x ∈-,0)(2⋃,)+∞时,()0f x >;∴()0f x x<的解集是{|20x x -<<或02}x <<. 故选:A . 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用,解决此类问题的关键是理解奇偶函数在关于原点对称的区间的单调性,奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;8.D解析:D 【分析】 令22(2)1t mx m x =+-+()0,t ∈+∞()22(2)0,1mx m x +-++∞,记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ,则()0,A +∞⊆,进而分0m =和0m ≠两种情况,分别讨论,可求出m 的取值范围. 【详解】 令22(2)1t mxm x =+-+,则1y t=的值域为0,,根据反比例函数的性质,可知()0,t ∈+∞,即()22(2)0,1mx m x +-+∈+∞, 记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ,则()0,A +∞⊆,若0m =,则()41g x x =-+,其值域为R ,满足()0,A +∞⊆;若0m ≠,则00m >⎧⎨∆≥⎩,即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩,解得4m ≥或01m <≤. 综上所述,实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选:D.9.C解析:C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值,分情况考虑2x a ≥和2x a <,再由()y f x =是奇函数画出图象,再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得, 当0x ≥时,22()f x x a a =--,故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩,化简得222,0()2,x x a f x x a x a⎧-≤≤=⎨->⎩, 又()y f x =为奇函数,故可画出图像:又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得,若()()f x a f x -≤恒成立,则222(2)a a a ≥--,即24a a ≤,又a 为正数,故解得104a <≤. 故选:C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换,图象的平移,属于中档题.10.A解析:A 【分析】根据232log 34<+<,()()222log 33log 3f f +=+可得,又有23log 34+> 知,符合4?x >时的解析式,代入即得结果.【详解】因为函数f x ()满足当4x ≥时,f x ()=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭; 当4x <时,1f x f x =+()(),所()()()()22222log 3log 121log 12log 24f f f f +==+=以=21log 242=124,故选A . 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、对数的运算法则,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.11.C解析:C 【详解】分析:函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值,则极大值在()1,2之间,一阶导函数有根在()1,2,且左侧函数值小于0,右侧函数值大于0,列不等式求解 详解:f ′(x )=3ax 2+4x +1,x ∈(1,2).a =0时,f ′(x )=4x +1>0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去. a ≠0时,△=16﹣12a . 由△≤0,解得43a ≥,此时f ′(x )≥0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去.由△>0,解得a 43<(a ≠0),由f ′(x )=0,解得x 123a--=,x 2=.当403a <<时,x 1<0,x 2<0,因此f ′(x )≥0,函数f (x )在x ∈(1,2)内单调递增,无极值,舍去.当a <0时,x 1>0,x 2<0,∵函数f (x )=ax 3+2x 2+x +1在(1,2)上有最大值无最小值,∴必然有f ′(x 1)=0,∴12,a <0.解得:53-<a 34-<.综上可得:53-<a 34-<. 故选:C .点睛:极值转化为最值的性质:若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值,且无极大值,那么极小值为()f x 的最小值;若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值,且无极小值,那么极大值为()f x 的最大值;12.C解析:C 【分析】由函数是R 上的减函数,列出不等式,解出实数a 的取值范围. 【详解】因为()f x 是R 上的减函数,故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩,故2334a <≤,故选:C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用,考查分段函数,属于中档题.二、填空题13.100【分析】分析得出得解【详解】∴故答案为:100【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键解析:100 【分析】分析得出(2)()2f x f x -+=得解. 【详解】1()1x f x x +=- 211211(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=++=--- ∴135199()()()()100100100100f f f f ++++1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100f f f f f f =+++++ 250100=⨯=故答案为:100. 【点睛】由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.14.f(-3)>f(-π)【解析】由得是上的单调递增函数又解析:f (-3)>f (-π)由()()1212()[]0x x f x f x >-- 得()f x 是R 上的单调递增函数,又3(3)()f f ππ>∴>--,-- .15.【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为:【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确解析:33(,],[0,]44-∞-【分析】讨论x 的符号去绝对值,得到()f x 的分段函数形式,根据其函数图象及对称轴,即可确定单调递减区间 【详解】函数22223,0()23||23,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知,()f x 的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞- 故答案为:33(,],[0,]44-∞- 【点睛】本题考查了函数的单调区间,利用函数的图象及其对称性确定单调区间,属于简单题16.7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解解析:7由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =, 从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中, 令32x =-,得出33()()22f f -=,又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出33()-()22f f -=, 从而得到33()-()22f f =,即3()02f =, 故933()(+3)()=0222f f f ==,从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022f f f f f f f ======,共7个解.17.-8【解析】∵f(x)定义域为3+a5且为奇函数∴3+a =-5∴a =-8点睛:利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值:利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值:在定义域关于解析:-8 【解析】∵f(x)定义域为[3+a ,5],且为奇函数, ∴3+a =-5,∴a =-8.点睛:利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值:利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值,进而得解.(2)求参数值:在定义域关于原点对称的前提下,根据奇函数满足f(-x)=-f(x)或偶函数满足f(-x)=f(x)列等式,根据等式两侧对应相等确定参数的值.特别要注意的是:若能够确定奇函数的定义域中包含0,可以根据f(0)=0列式求解,若不能确定则不可用此法.18.【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得;当时设函数为当时时解得所以故答案为:【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题解析:2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象,用待定系数法求解即可.当01x ≤<时,设函数为y kx =,当1x =时2y =,解得2k =; 当13x ≤≤时,设函数为y ax b =+, 当1x =时3y =,3x =时0y =,解得32a =-,92b =. 所以2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. 故答案为:2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【点睛】本题考查利用函数图象求解析式,考查待定系数法,是基础题.19.【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为:【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化:解析:3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】转化为()()12min min f x g x ≥可求得结果. 【详解】因为()f x 在[1,2]上单调递增, 所以当[]11,2x ∈时,()1522f x ≤≤, 因为()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1,1]-上单调递减, 所以当[]21,1x ∈-时,()2122m g x m -≤≤-. 若[]11,2x ∀∈,[]21,1x ∃∈-,使()()12f x g x ≥, 只要使()()12min min f x g x ≥即可. 即122m -≤,解得32m ≥-,所以实数m 的取值范围为3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为:3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数()[],,y f x x a b =∈,()[],,y g x x c d =∈ (1)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∀∈,总有()()12f x g x <成立,故()()2max min f x g x <; (2)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2max max f x g x <; (3)若[]1,x a b ∃∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x <成立,故()()2min min f x g x <; (4)若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈,有()()12f x g x =,则()f x 的值域是()g x 值域的子集 .20.【分析】根据分段函数的单调性在各个分段上递增且在衔接点处也要递增列式即可得解【详解】由是上的增函数则:解得故答案为:【点睛】本题考查了分段函数单调性问题考查了一次函数的单调性属于中档题求分段函数递增 解析:[1,6)【分析】根据分段函数的单调性,在各个分段上递增,且在衔接点处也要递增,列式即可得解. 【详解】由(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数, 则:60065a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩,解得16a ≤<,故答案为:[1,6). 【点睛】本题考查了分段函数单调性问题,考查了一次函数的单调性,属于中档题. 求分段函数递增(递减)要注意以下两点: (1)在各个分段上分别递增(递减);(2)在衔接点处也要递增(递减),此处为易错点.三、解答题21.(1)()22f x x x =-+;(2)()12-∞,;(3)存在,所求区间为:[]4,0-. 【分析】(1)根据题意,用待定系数法,列方程组,求出解析式;(2)恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值,即可求实数k 的取值范围; (3)对于存在性问题,可先假设存在区间[],m n ,再利用二次函数的单调性,求出m 、n 的值,如果出现矛盾,说明假设不成立,即不存在. 【详解】(1)对于()2f x ax bx c =++,由(1)1f =得到:0a b c ++=①;∵对任意的x ∈R ,(5)(3)f x f x -+=-均成立,取x =3,得:(2)(0)f f = 即42=a b c c ++②又方程()42f x x =-有唯一实数解,得:()()2=2440b a c ∆+--=③①②③联立,解得:1,2,0a b c =-==(其中259a =-舍去) 所以()22f x x x =-+.(2)不等式不等式()2160f x kx k +--<可化为:不等式()22216k x x x -<-+∴当(10,)x ∈+∞时,不等式()2160f x kx k +--<恒成立,∴26()2161=22,21,20x x k x x x x -+<-++--∈+∞记()1622,2(10,)g x x x x -++=∈+∞-,只需()min k g x < 对于()16222g x x x =-++-在(10,)+∞上单调递增,∴()()min =10=12g x g ∴12k <,即k 的取值范围为()12-∞,. (3)假设存在区间[],()m n m n <符合题意。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(2)

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1.已知函数y =f (x )的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是y =x +2,则f (1)+f ′(1)=( )A .1B .3C .4D .52.已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行,若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ,则2019S 的值为( ) A .20192020 B .20182019 C .20172018 D .20182017 3.若函数f (x )=alnx (a ∈R )与函数g (x )x =在公共点处有共同的切线,则实数a 的值为( )A .4B .12C .2eD .e 4.函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是( ) A . B .C .D .5.已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=,则()2018f '-=( ) A .6-B .8-C .6D .86.函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为( )A .B .C .D .7.已知函数()ln ln x x f x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点,则a=( )A .e -B .eC .1e e ---D .1e -8.函数()(cos )x f x a x e =+,若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴,则实数a =( ) A 31-B 13-C 31+ D .31+9.已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =,()21g x x =+的图象上的两个动点,则当MN 达到最小时,t 的值为 ( )A .1B .2C .12D .35510.对任意的a ∈R ,曲线y =e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线l 与圆C :(x-1)2+y 2=16的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .以上均有可能 11.设正弦曲线y =sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( )A .30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B .[0,π) C .3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .[0,4π]∪[2π,34π] 12.已知ln 0a b -=,1c d -=,则22()()a c b d -+-的最小值是( ).A .1BC .2D .二、填空题13.设l 是2y x=图象的一条切线,问l 与坐标轴所围成的三角形面积为______. 14.已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩,若函数1()2y f x kx =-+有4个零点,则实数k 的取值范围是______.15.已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>,则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________.16.已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α,则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 17.已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ,过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ,PN ,切点分别为M ,N ,则直线MN 的斜率等于____.18.已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为__________. 19.已知()f x 的导函数为'()f x ,且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+,则(1)f '的值为___. 20.已知点P 在曲线sin y x =上,a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则a 的取值范围是__________.三、解答题21.已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++.(1)当1a =-时,求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程;(2)设函数()()2g x f x x =--,函数()g x 有且仅有一个零点.(i )求a 的值;(ii )若2e x e -<<时,()g x m ≤恒成立,求m 的取值范围.22.已知函数()1x f x e ax =+-(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积; (Ⅱ)若2()f x x ≥在区间(0,1)上恒成立,求实数a 的取值范围.23.已知函数()()()11ln x ax a f x x x--+=-. (1)当1a =时,求曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程;(2)当0x >且1x ≠,不等式()11ln 1a x x x x +-<-恒成立,求实数a 的值. 24.已知函数()()3123f x x ax a a R =-+∈. ()1当1a =时,求曲线()f x 在()()2,2f 处的切线方程;()2过点()2,0作()y f x =的切线,若所有切线的斜率之和为1,求实数a 的值.25.已知函数图象上一点,且在点处的切线与直线平行.(1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最大值和最小值; (3)关于的方程在区间上恰有两个相异的实根,求实数的取值范围. 26.已知函数3()16f x x x =+-.(1)求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程;(2)直线l 为曲线()y f x =的切线且过原点,求直线l 方程.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C 【分析】根据切线的定义得到()13f =,()'11f =,相加得到答案.【详解】根据题意知:()1123f =+=,()'11f =,故()()'114f f +=. 故选:C.【点睛】本题考查了切线方程,属于简单题.2.A解析:A【分析】利用导数的几何意义,可求出直线l 的斜率,进而由l 与直线320x y -+=平行,可求出b ,从而可得到()1111f n n n =-+,进而求出2019S 即可. 【详解】由题意,()2f x x b '=-,则()12f b '=-,所以直线l 的斜率为2b -,又直线320x y -+=的斜率为3,所以23b -=,解得1b =-.则()2f x x x =+,故()211111f n n n n n ==-++, 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:A.【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用,考查平行直线的性质,考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和,属于中档题. 3.C解析:C【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标,问题可解.【详解】由已知得()()a f x g x x ''==,, 设切点横坐标为t ,∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得22e t e a ==,. 故选:C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法,以及利用方程思想解决问题的能力,属于中档题.4.C解析:C【分析】将函数()y f x =的解析式化简,求出其导数()1sin 3f x x x '=+,,然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-,()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时,103x >,sin 0x >,则()1sin 03f x x x '=+>; 当3x >时,113x >,1sin 1x -≤≤,则()1sin 03f x x x '=+>.所以,当0x >时,()1sin 03f x x x '=+>,排除ABD 选项, 故选:C.【点睛】 本题考查函数图象的识别,给定函数解析式,一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性(导数)、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.5.D解析:D【分析】分析()f x 的导函数()f x ',构造关于()f x '的新函数,借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-,所以()34sin 7f x ax b x '=-+,所以()374sin f x ax b x '-=-,令()()374sin g x f x ax b x '=-=-,所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称, 所以()g x 是奇函数,所以()()201820180g g +-=,所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以()20181468f '-=-=.故选:D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,难度一般.一般地,形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中,已知()f x 为奇函数,根据()f a 的值求解()f a -的值的方法:构造新函数()g x c -,根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.6.A解析:A【分析】 根据解析式判断函数的奇偶性,2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负,以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负,即可进行选择. 【详解】 因为()221x sinx f x x =+,()221x sinx f x x -=-+,且定义域关于原点对称, 故()f x 是奇函数,排除选项C ;因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故排除选项D ; 因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+',故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数,故排除选项B ; 故选:A.【点睛】本题考查函数图像的识别,涉及函数的奇偶性,特值的把握,利用导数研究函数某点处切线的斜率,属综合中档题.7.A解析:A【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程,再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值.【详解】 ()ln ln x x f x e x e a x =-+,()1f e ∴=-,切点为()1,T e -,()ln x xx e a f x e x e x x '=+-+,()1f a '=, 所以,函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-,由于该直线过原点,则a e -=,解得a e =-,故选A.【点睛】本题考查切线过点的问题,一般先利用导数求出切线方程,再将所过点的坐标代入切线方程求解,考查运算求解能力,属于中等题.8.A解析:A【解析】【分析】首先求得导函数的解析式,然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程,解方程即可确定a 的值.【详解】由函数的解析式可得:()(cos sin )x f x a x x e '=+-,曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴,则:310322f a e ππ'⎛⎛⎫=+-⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,解得:a =. 故选A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义,导函数与函数切线的关系等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.C解析:C【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标,即是t 的值.【详解】依题意可知,当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时,MN 取得最小值,令()'12f x x ==,解得12x =,故12t =,所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数,考查切线斜率与导数的对应关系,属于基础题.10.A解析:A【解析】【分析】求出曲线y =e x (x 2+ax +1﹣2a )在点P (0,1﹣2a )处的切线l 恒过定点(﹣2,﹣1),代入:(x ﹣1)2+y 2﹣16,可得9+1﹣16<0,即定点在圆内,即可得出结论.【详解】∵y=e x (x 2+ax+1-2a ),∴y′=e x (x 2+ax+2x+1-a ),x=0时,y′=1-a ,∴曲线y=e x (x 2+ax+1-2a )在点P (0,1-2a )处的切线y-1+2a=(1-a )x ,恒过定点(-2,-1),代入:(x-1)2+y 2=16,可得9+1-16<0,即定点在圆内, ∴切线l 与圆C :(x-1)2+y 2=16的位置关系是相交.故选:A .【点睛】本题考查导数的几何运用,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.11.A解析:A【解析】由题得cos y x '=,设切线的倾斜角为α,则,3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃,故选A. 12.C解析:C【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点,点()d c ,是直线:1l y x =+上的点;()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方.然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方,直接对函数ln y x =求导,令导数为零,可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点,然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离,从而得出答案.【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点,()d c ,是直线:1l y x =+上的点;()()22a c b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方. 对函数ln y x =求导得1y x '=,令1y '=,得1x =, 所以,曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10,, 该点到直线l的距离为 因此,()()22a c b d -+-的最小值为22=. 故选C . 【点睛】本题考查距离的最值问题,将问题进行转化是解本题的关键,属于中等题.二、填空题13.4【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程进而求得轴上的截距即可求得结果【详解】因为故可得设切点为则过切点的切线方程为且则切线在轴上的截距分别为则与坐标轴所围成的三角形面积故答案为:4【点睛】本题考 解析:4【分析】根据导数的几何意义,求出切线的方程,进而求得,x y 轴上的截距,即可求得结果.【详解】 因为2y x =,故可得22y x'=-,设切点为()00,x y , 则过切点的切线方程为()00202y y x x x -=--,且002x y =, 则切线在,x y 轴上的截距分别为0042,x x ,则l 与坐标轴所围成的三角形面积0014242S x x =⨯⨯=. 故答案为:4.【点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线的方程,属中档题.14.【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点;当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析:1(2 【分析】 转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-,画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时,函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点;当k 在两者范围之间时,满足条件,利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】 由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-,则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭, ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点,在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象,如图, 由图象可知,当12k <时,函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点; 当函数()g x 过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,0时,12k =,此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点; 当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时,设切点为(),ln a a ,1y x'=, ∴1k a =,∴1ln 12a a a +=,解得a =∴e k e=,此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点;当ek e>时,两函数图象至多有两个交点; ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点,则1(,)2k e e∈.故答案为:1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义,考查了数形结合思想,属于中档题.15.2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以(b )所以斜率的最小值是2故答案是:2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析:2 【解析】 【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数,根据限制性条件0a >,0b >和基本不等式 进行解答. 【详解】 因为()()f x g x alnx a'=+, 所以2()a x b g x x a-'=+. 又因为0a >,0b >, 所以g '(b )22a b b a ab a b b-=+=+, 所以斜率的最小值是2. 故答案是:2.【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值,根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键.16.【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为:【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析:87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==,222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+,求导得到()221ln 2x f x x x -=+',函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α,则得到()tan 13f α'==,222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为:87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义,三角函数化简求值,本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识,注意切弦互化这一转化思想的应用;同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍;注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.17.2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛:本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析:2 【解析】设11(,)M x y ,22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ,PN∴2111PM k x =-,2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--,直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+,2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--,22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=,222210x x +-=,即1x ,2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-,121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛:本题主要考查利用导数求切线斜率,属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=;(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=;(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18.【解析】解得故故答案为 解析:1【解析】()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭,''sin cos 4444ff ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得'14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,故)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为1.19.【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得:∴解得:∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析:14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x ',令2x =可得 ()124f '=-, 然后把x=1代入即可. 【详解】由()()3'2ln f x xf x =+,可得: ()()132f x f x''=+, ∴()()12322f f ''=+,解得: ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为 14【点睛】本题考查函数的导数的应用,属基础题.20.【解析】由题意可得:即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析:3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,,【解析】由题意可得:[]'cos 1,1y x =∈-,即切线的斜率取值范围为[]1,1-,据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,,. 三、解答题21.(1)340x y (2)(ⅰ)a=1(ⅱ)223m e e ≥-【解析】试题分析:(1)当a=﹣1时,函数f (x )=(x 2﹣2x )lnx+ax 2+2=(x 2﹣2x )lnx ﹣x 2+2,求出f′(x ),则k=f′(1),代入直线方程的点斜式可得切线的方程. (2)①令g (x )=f (x )﹣x ﹣2=0,则(x 2﹣2x )•lnx+ax 2+2=x+2,即()12ln x xa x--⋅=,构造函数h (x )=()12ln x xx--⋅,确定h (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,可得h (x )max =h (1)=1,即可求a 的值; ②当a=1时,g (x )=(x 2﹣2x )•lnx+x 2﹣x ,若2e x e -<<,g (x )≥m ,只需g (x )min ≥m .试题(1)当1a =-时,()()222ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞,∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-,又()11f = ∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=.(2)(ⅰ)令()()20g x f x x =--=,则()222ln 22x x x ax x -++=+∴()12ln x xa x--⋅=令()()12ln x xh x x--⋅=, 则()2221122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()221x t x x x'--=--= ()0,x ∈+∞, ()0t x '<,∴()t x 在()0,+∞上是减函数 又()()110t h '==,∴当01x <<时,()0h x '>,当1x <时,()0h x '<, ∴()h x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,()()max 11h x h ∴==,∴当函数()g x 有且只有一个零点时,1a =.(ⅱ)当1a =,()()222ln g x x x x x x =-+-,若2e x e -<<时,()g x m ≤恒成立,只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或32x e -=,2e x e -<<,∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在()1,e 上单调递增.又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, ()223g e e e =-()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭.∴()()2max 23g x g e e e ==-,223m e e ∴≥-.22.(Ⅰ)12(1)e +(Ⅱ)2a e ≥-【解析】试题分析:(I )当a=1时,f (x )=e x +x-1,根据导数的几何意义可求得在点(1,f (1))处的切线的斜率,再由点斜式即可得切线方程,分别求出切线与x 轴、y 轴的交点A 、B ,利用直角三角形的面积公式即可求得;(II )将f (x )≥x 2在(0,1)上恒成立利用参变量分离法转化为21xx ea x+-≥在(0,1)上恒成立,再利用导数研究不等式右边的函数的单调性,从而求出函数的最大值,即可求出a 的取值范围. 试题(Ⅰ)∵当1a =时,()1xf x e x =+-,()1111f e e =+-=,()'1x f x e =+,()1'111f e e =+=+,∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x -=+-, 即()11y e x =+-.设切线与,x y 轴的交点分别为,A B , 令0x =得,1y =-,令0y =得,11x e =+, ∴1,01A e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,()0,1B -,∴()11112121OAB S e e ∆=⨯⨯=++, ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()121e +.(Ⅱ)由()()()20,1f x x x ≥∈得,21x x ea x+-≥.令()211x xx e e h x x x x x+-==+-,则()()2211'1x e x h x x x -=-- ()()211x x x ex-+-=, 令()1xk x x e =+-,则()'1xk x e =-.∵()0,1x ∈,∴()'10xk x e =-<,()k x 在区间()0,1上为减函数,∴()()00k x k <=.又10x -<,20x >,∴()()()211'0x x x e h x x-+-=>,∴()h x 在区间()0,1上为增函数,()()12h x h e <=-, 因此只需2a e ≥-即可满足题意. 点睛:函数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为min ()0f x > ,若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<;(3)若()()f x g x > 恒成立,可转化为min max ()()f x g x >(需在同一处取得最值). 23.(1)()10e x ey e -+-=(2)12a = 【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得切线斜率为()f e ',再根据点斜式得切线方程(2)根据分母符号转化为:1x >时()0max f x <,01x <<时()0min f x >,研究()f x ,其导函数有两个零点1x =或11x a =-,根据11a-与0,1大小分类讨论,确定函数单调性,进而确定函数最值,解对应不等式可得实数a 的值.试题(1)1a =时,()ln 1f x x x =-+,()2f e e =- ∴切点为(),2e e -()11f x x '=-,()11f e e '=- ∴切线方程为11e y x e-=+ 即曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程()10e x ey e -+-= (2)∵当0x >且1x ≠时,不等式()11ln 1a x x x x+-<-恒成立 ∴x e =时()11ln 1a e e e e+-<- ∴()2101a e >>- 又()()111ln 01x ax a x x x ⎡⎤--+-<⎢⎥-⎣⎦即()101f x x <-对0x >且1x ≠恒成立 等价于1x >时()0f x <,01x <<时()0f x >恒成立 ∵()()0,11,x ∈⋃+∞()()()222111x ax a ax x af x x x --+-+-'-=-= 令()0f x '= ∵0a > ∴1x =或11x a=- ①111a ->时,即102a <<时,11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f >=,∴102a <<不符合题意②当111a -=时,即12a =时,()0,1x ∈时()0f x '<∴()f x 在()0,1单调递减 ∴()()10f x f >=;()1,x ∈+∞时()0f x '<∴()f x 在()1,+∞单调递减∴()()10f x f <= ∴12a =符合题意 ③当1011a <-<时,即112a <<时,11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f <=∴112a <<不符合题意④当110a-<时,即1a >时,()0,1x ∈时,()0f x '>∴()f x 在()0,1单调递增 ∴()()10f x f <= ∴1a >不符合题意 综上,12a =. 点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件. 24.(I)93100x y --=;(Ⅱ)4. 【解析】试题分析:(1)根据曲线的解析式求出导函数,把P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率根据点斜式可得切线的方程;(2)设出曲线过点P 切线方程的切点坐标,把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出斜率,根据切点坐标和表示出的斜率,写出切线的方程,把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程,解方程方即可得到切点横坐标的值,分别代入所设的切线方程即可的结果. 试题(Ⅰ)当a =1时,()3123f x x x =-+,∴f'(x )=x 2-1, ∴k 切=f'(2)=4-1=3. ∵()823f =, 所以切线方程为()8323y x -=-,整理得9x -3y -10=0. (Ⅱ)设曲线的切点为(x 0,y 0),则3212'3k x ax a x a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭切, 所以切线方程为()()202y x ax =--.又因为切点(x 0,y 0)既在曲线f (x )上,又在切线上,所以联立得()()200030002,]123y x a x y x ax a⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩可得x 0=0或x 0=3,所以两切线的斜率之和为-a +(9-a )=9-2a =1,∴a =4.【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求曲线切线,属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出()y f x =在0x x =处的导数,即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率(当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为0x x =);(2)由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-. 25.(1)(2)答案见解析 (3)【解析】 试题分析:(1)由及曲线在处的切线斜率为,即可求得,又函数过点,即可求的. (2)由(1)易知,令可得或,然后对进行分类讨论,确定函数在的单调性,即可求出函数在上的最大值和最小值; (3)构造函数,研究函数的单调性,列出该方程有两个相异的实根的不等式组,求出实数的取值范围.试题 (1)因为,曲线在处的切线斜率为,即,所以.又函数过点,即,所以.所以. (2)由,.由,得或. ①当时,在区间上,在上是减函数,所以,.②当时,当变化时,、的变化情况见下表:2-++2-2,为与中较大的一个.. 所以.(3)令,. 在上,;在上,.要使在上恰有两个相异的实根,则解得.考点:利用导数求函数的最值;利用导数求参数的范围. 26.(1)4180x y --=;(2)130x y -=. 【分析】(1)求出原函数的导函数,得到函数在x =1时的导数,即切线的斜率,然后由直线方程的点斜式得答案;(2)设出切点坐标,求出函数过切点的切线方程,由切线过原点求得切点横坐标,即可求得直线方程. 【详解】(1)(1)14f =-,2()31f x x '=+(1)4f '=,144(1)y x +=-所以曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程为:4180x y --=(2)设直线l 与曲线()y f x =相切的切点坐标为()00,x y 即:()3000,16x x x +-则切线方程为()()()3200001631y x x x x x -+-=+-把(0,0)代入得308x =-,所以02x =-此时026y =-,切点(2,26)-- 所以直线l 方程为:130x y -= 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法,关键是区分切线所经过的点是否为切点,属于中档题.。

(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案

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第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。

(A))()(x g x f +;(B))()(x h x f +;(C ))]()()[(x h x g x f +;(D ))()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。

(A)α是比β高阶的无穷小; (B)α是比β低阶的无穷小; (C )α与β是同阶无穷小; (D )βα~。

2018届北师大版 函数、导数及其应用 2 检测卷

2018届北师大版    函数、导数及其应用 2    检测卷

第二章 第二讲A 组基础巩固一、选择题1.(2017·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( D )A .y =11-xB .y =cos xC .y =ln(x +1)D .y =2-x[解析] 根据函数单调性的定义,余弦函数单调性,以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(-1,1)上的单调性,从而找出正确选项.解:A.x 增大时,-x 减小,1-x 减小,∴11-x 增大;∴函数y =11-x 在(-1,1)上为增函数,即该选项错误;B .y =cos x 在(-1,1)上没有单调性,∴该选项错误;C .x 增大时,x +1增大,ln(x +1)增大,∴y =ln(x +1)在(-1,1)上为增函数,即该选项错误;D .y =2-x =(12)x ;∴根据指数函数单调性知,该函数在(-1,1)上为减函数,∴该选项正确.故选D. 2.(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)偶函数y =f (x )在区间[0,4]上单调递减,则有 ( A )A .f (-1)>f (π3)>f (-π)B .f (π3)>f (-1)>f (-π)C .f (-π)>f (-1)>f (π3)D .f (-1)>f (-π)>f (π3)[解析] 由题意得,0<1<π3<π<4⇒f (-1)=f (1)>f (π3)>f (π)=f (-π),故选A.3.(2016·宁夏模拟)若函数f (x )是R 上的增函数,对实数a 、b ,若a +b >0,则有 ( A ) A .f (a )+f (b )>f (-a )+f (-b ) B .f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b ) C .f (a )-f (b )>f (-a )-f (-b )D .f (a )-f (b )<f (-a )-f (-b )[解析] ∵a +b >0,∴a >-b ,b >-a .∴f (a )>f (-b ),f (b )>f (-a ),∴选A.4.若函数y =f (x )在R 上单调递增,且f (m 2+1)>f (-m +1),则实数m 的取值范围是 ( D )A .(-∞,-1)B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,-1)∪(0,+∞)[解析] 由题意得m 2+1>-m +1,故m 2+m >0,故m <-1或m >0.5.(2017·陕西省西安一中大学区高三上学期期中数学试题)已知f (x )=2+log 3x (1≤x ≤9),则函数y =[f (x )]2+f (x 2)的最大值为 ( B )A .6B .13C .22D .33[解析] 将f (x )=2+log 3x (1≤x ≤9)代入y =[f (x )]2+f (x 2)中,整理化简为关于log 3x 的函数,利用换元法求最值.解:y =[f (x )]2+f (x 2)=(log 3x )2+6log 3x +6, ∵f (x )=2+log 3x (1≤x ≤9),∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤91≤x 2≤9 ∴y =[f (x )]2+f (x 2)=(log 3x )2+6log 3x +6,的定义域是{x |1≤x ≤3}. 令log 3x =t ,因为1≤x ≤3,所以0≤t ≤1,则上式变为y =t 2+6t +6,0≤t ≤1, y =t 2+6t +6在[0,1]上是增函数 当t =1时,y 取最大值13 故选B6.下列四个函数:①y =3-x ;②y =1x 2+1; ③y =x 2+2x -10;④y =⎩⎪⎨⎪⎧-x (x ≤0),-1x(x >0).其中值域为R 的函数有 ( B ) A .1个B .2个C .3个D .4个[解析] 依题意,注意到y =3-x 与函数y =⎩⎪⎨⎪⎧-x (x ≤0),-1x (x >0)的值域均是R ,函数y =1x 2+1的值域是(0,1],函数y =x 2+2x -10=(x +1)2-11的值域是[-11,+∞],因此选B.7.若函数f (x )=-x 2+2ax 与函数g (x )=ax +1在区间[1,2]上都是减函数,则实数a 的取值范围为 ( D )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1][解析] 注意到f (x )=-(x -a )2+a 2;依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1,a >0即0<a ≤1,故选D.8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x,x >1,(4-a2)x +2,x ≤1是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是 ( B )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)[解析] 由f (x )在R 上单调递增,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1,4-a 2>0,(4-a 2)+2≤a ,解得:4≤a <8. 二、填空题9.(2016·山东威海模拟)函数f (x )=lg x 2的单调递减区间是_(-∞,0)_.[解析] 函数f (x )=lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0,且y =x 2单调递减,故x ∈(-∞,0).10.若函数f (x )=|2x +a |的单调增区间是[3,+∞),则a =_-6_. [解析] 画图知a =-6.11.函数f (x )=(13)x -log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为_3_.[解析] 由于y =(13)x 在R 上单调递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.三、解答题12.(教材改编题)已知函数f (x )=x 2-2x +2.(1)求f (x )在区间[12,3]上的最大值和最小值;(2)若g (x )=f (x )-mx 在[2,4]上是单调函数,求m 的取值范围.[答案] (1)5 1 (2)(-∞,2]∪[6,+∞)[解析] (1)f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[12,3],所以f (x )的最小值是f (1)=1. 又f (12)=54,f (3)=5,所以f (x )的最大值是f (3)=5.所以f (x )在区间[12,3]上的最大值是5,最小值是1.(2)g (x )=f (x )-mx =x 2-(m +2)x +2.所以m +22≤2或m +22≥4,即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).13.函数f (x )的定义域为(0,+∞),且对一切x >0,y >0,都有f (xy )=f (x )-f (y ).当x >1时,有f (x )>0.(1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的单调性并加以证明; (3)若f (4)=2,求f (x )在[1,16]上的值域. [答案] (1)0 (2)见解析 (3)[0,4][解析] (1)因为当x >0,y >0时,f (xy )=f (x )-f (y ),所以令x =y >0,则f (1)=f (x )-f (x )=0. (2)设x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 2)-f (x 1)=f (x 2x 1).因为x 2>x 1>0,所以x 2x 1>1,所以f (x 2x 1)>0.所以f (x 2)>f (x 1),即f (x )在(0,+∞)上是增函数. (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数. 所以f (x )min =f (1)=0,f (x )max =f (16).因为f (4)=2,f (xy )=f (x )-f (y ),所以f (164)=f (16)-f (4),所以f (16)=2f (4)=4,所以f (x )在[1,16]上的值域为[0,4].B 组能力提升1.(2017·湖北省孝感市六校教学联盟高三上学期期末数学试题)已知定义域为R 的函数f (x )在(8,+∞)上为减函数,且函数y =f (x +8)函数为偶函数,则 ( D )A .f (6)>f (7)B .f (6)>f (9)C .f (7)>f (9)D .f (7)>f (10)[解析] 根据y =f (x +8)为偶函数,则f (x +8)=f (-x +8),即y =f (x )关于直线x =8对称.又f (x )在(8,+∞)上为减函数,故在(-∞,8)上为增函数,故可得答案.解:∵y =f (x +8)为偶函数,∴f (x +8)=f (-x +8),即y =f (x )关于直线x =8对称. 又∵f (x )在(8,+∞)上为减函数, ∴f (x )在(-∞,8)上为增函数.由f (8+2)=f (8-2),即f (10)=f (6),又由6<7<8,则有f (6)<f (7),即f (7)>f (10). 故选D.[点拨] 本题主要考查偶函数的性质.对偶函数要知道f (-x )=f (x ).2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,则不等式f (a 2-4)>f (3a )的解集为 ( B )A .(2,6)B .(-1,4)C .(1,4)D .(-3,5)[解析] 作出函数f (x )的图象,由图知,函数f (x )在R 上是单调递减的.由f (a 2-4)>f (3a ),可得a 2-4<3a ,整理得a 2-3a -4<0,即(a +1)(a -4)<0,解得-1<a <4,所以不等式的解集为(-1,4).3.(2017·河北省唐山市高考模拟数学试题)已知函数f (x )=xx -1+sinπx 在[0,1)上的最大值为m ,在(1,2]上的最小值为n ,则m +n = ( D )A .-2B .-1C .1D .2[解析] 通过变形可知f (x )=1+1x -1+sinπx ,进而可知当x ∈[0,1)时,函数g (x )=1x -1+sinπx 满足g (2-x )=-g (x ),由此可知在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f (x )关于点(1,1)中心对称,利用对称性即得结论.解:f (x )=x x -1+sinπx =1+1x -1+sinπx ,记g (x )=1x -1+sinπx ,则当x ∈[0,1)时, g (2-x )=12-x -1+sinπ(2-x )=11-x-si nπx ,即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f (x )关于点(1,1)中心对称, ∴m +n =2,故选D.4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是_[0,1)_.[解析] 由条件知g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1.其函数图象如图所示,其递减区间是[0,1).5.(2016·内蒙古巴彦淖尔第一中学10月月考)已知函数f (x )=x 2+mx +n 的图象过点(1,3),且f (-1+x )=f (-1-x )对任意实数都成立,函数y =g (x )与y =f (x )的图象关于原点对称.(1)求f (x )与g (x )的解析式;(2)若F (x )=g (x )-λf (x )在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围. [答案] (1)f (x )=x 2+2x ,g (x )=-x 2+2x (2)λ≤0 [解析] (1)因为f (1)=1+m +n =3,所以m +n =2.因为f (-1+x )=f (-1-x )对任意实数都成立,所以f (0)=n =f (-2)=4-2m +n ,解得m =2,n =0,所以f (x )=x 2+2x .因为函数y =g (x )与y =f (x )的图象关于原点对称,所以g (x )=-x 2+2x .(2)因为F (x )=g (x )-λf (x )=-(1+λ)x 2+2(1-λ)x 在[-1,1]上是增函数, 所以F ′(x )=(-2-2λ)x +2-2λ在[-1,1]上非负.所以⎩⎪⎨⎪⎧ F ′(1)≥0F ′(-1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧(-2-2λ)+2-2λ≥0(2+2λ)+2-2λ≥0解得λ≤0.。

2018届高中数学北师大版 导数 单元测试 Word版 含答案

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一.基础题组1. 【2008全国1,文4】曲线324y x x =-+在点(13),处的切线的倾斜角为( )A .30°B .45°C .60°D .120°【答案】B【解析】2. 【2005全国1,文3】函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =(A )2(B )3 (C )4 (D )5【答案】D 【解析】将函数求导,'2()323f x x ax =++,由函数在x=-3时取得极值, 得'(3)0f -= , a=5 3. 【2013课标全国Ⅰ,文20】(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值.当x =-2时,函数f (x )取得极大值,极大值为f (-2)=4(1-e -2). 4. 【2011全国1,文20】已知函数32()3(36)124f x x ax a x a =++---,a R ∈.(Ⅰ)证明:曲线()0y f x x ==在的切线过点(2,2);(Ⅱ)若00()f x x x x =∈在处取得最小值,(1,3),求a 的取值范围。

5. 【2010全国1,文21】已知函数f (x )=3ax 4-2(3a +1)x 2+4x .(1)当a =16时,求f (x )的极值; (2)若f (x )在(-1,1)上是增函数,求a 的取值范围. 【解析】:(1)f ′(x )=4(x -1)(3ax 2+3ax -1).当a =16时,f ′(x )=2(x +2)(x -1)2,f (x )在(-∞,-2)内单调递减,在(-2,+∞)内单调递增,在x =-2时,f (x )有极小值.所以f (-2)=-12是f (x )的极小值.(2)在(-1,1)上,f (x )单调增加,当且仅当f ′(x )=4(x -1)·(3ax 2+3ax -1)≥0,即3ax 2+3ax -1≤0, ①(ⅰ)当a =0时①恒成立;(ⅱ)当a >0时①成立,当且仅当3a ·12+3a ·1-1≤0,解得a ≤16. (ⅲ)当a <0时①成立,即3a (x +12)2-34a -1≤0成立,当且仅当-34a -1≤0.解得a ≥-43. 综上,a 的取值范围是[-43,16]. 6. 【2009全国卷Ⅰ,文21】已知函数)(x f =x 4-3x 2+6.(1)讨论)(x f 的单调性;(2)设点P 在曲线y=)(x f 上,若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点,求l 的方程.7. 【2007全国1,文20】(本小题满分12分)设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

北师版高中数学选择性必修第二册课后习题 复习课 第2课时 导数及其应用 (2)

北师版高中数学选择性必修第二册课后习题 复习课 第2课时 导数及其应用 (2)

第2课时导数及其应用课后训练巩固提升1.若函数f(x)=α2-cos x,则f'(α)等于( ).A.sin αB.cos αC.2α+sin αD.2α-sin α2.函数y=f(x)的导函数y'=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ).(第2题)y'=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3(其中x1<0<x2<x3),由导函数y'=f'(x)的图象易得当x∈(-∞,x1)∪(x2,x3)时,f'(x)<0;当x∈(x1,x2)∪(x3,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x1),(x2,x3)上单调递减,在(x1,x2),(x3,+∞)上单调递增,观察各选项,只有D选项符合.3.已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是( ).A.(0,1)B.(-1,0)∪(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)f(x)>x可化为f(x)-x>0.设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,由题意知g'(x)=f'(x)-1>0,∴函数g(x)在R上单调递增.又g(1)=f(1)-1=0,∴g(x)>g(1),即f(x)-x>0的解集为(1,+∞).故选C.4.经过点(2,0)且与曲线y=1x相切的直线方程为 .解析:设切点坐标为x 0,1x 0,x 0≠0,则1x 0x 0-2=-1x 02,解得x 0=1,所以切点为(1,1),斜率为-1.故直线方程为x+y-2=0.5.若函数f(x)=ax 2-1x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 解析:f'(x)=ax-1x'=a+1x2,由题意得,a+1x2≥0对x ∈(0,+∞)恒成立,即a≥-1x2对x ∈(0,+∞)恒成立,所以a≥0.6.某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒,其表面积为定值S.若罐头盒的底面半径为r,则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为 ;当r= 时,罐头盒的体积最大.解析:由题意得,罐头盒的高h=S -2πr 22πr,则V=πr 2·S -2πr 22πr=12Sr-πr 30<r<√2πS 2π.V'=12S-3πr 2. 令V'=0,得r=√6πS6π,令V'>0,得0<r<√6πS6π,令V'<0,得√6πS 6π<r<√2πS2π,所以函数V=12Sr-πr 3在区间0,√6πS 6π上单调递增,在区间√6πS 6π,√2πS2π上单调递减. 故当r=√6πS6π时,V 最大.答案:V=12Sr-πr 30<r<√2πS 2π√6πS6π7.求下列函数的导数: (1)y=sin x-x+1; (2)y=-2e x ·x 3; (3)y=lnx x+1-2x .(2)y'=(-2e x ·x 3)'=(-2e x )'·x 3+(-2e x )·(x 3)'=-2e x x 3-6x 2e x . (3)y'=lnx x+1-2x '=lnx x+1'-(2x )'= 1x(x+1)-lnx (x+1)2-2xln2=1x−1x+1−lnx (x+1)2-2x ln2.8.设函数f(x)=aln x+12x+32x+1,其中a ∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值;(2)求函数f(x)的极值.因为f(x)=alnx+12x+32x+1,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax −12x2+32.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线的斜率为0,则f'(1)=a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-lnx+12x +32x+1(x>0),f'(x)=-1x−12x2+32=3x2-2x-12x2=(3x+1)(x-1)2x2.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13(舍去).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.1.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( ).A.1B.2C.±1D.ef(x)=xlnx,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A.2.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( ).A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=x-9x.又x>0,由f'(x)=x-9x≤0,得0<x≤3.因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以{a-1>0,a+1≤3,解得1<a≤2.3.函数f(x)=xe x的图象为( ).f(x)=xe x ,所以f'(x)=1-xe x.当x<1时,f'(x)>0,函数f(x)=xe x在区间(-∞,1)上单调递增;当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)=xe x在区间(1,+∞)上单调递减,只有选项A 中图象符合,故选A.4.若函数f(x)在区间(0,+∞)上可导,且满足f(x)>-xf'(x),则一定有( ). A.函数F(x)=f (x )x 在区间(0,+∞)上单调递增 B.函数F(x)=f (x )x 在区间(0,+∞)上单调递减C.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增D.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递减则x>0时,G'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故选C.5.已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( ). A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e]D.[1,e]时,f(x)=x 2-2ax+2a≥0恒成立,且f(in =f(a)=2a-a 2≥0,解得0≤a<1. 综上,a≥0.当x>1时,由f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤xlnx恒成立.设g(x)=xlnx,则g'(x)=lnx -1(lnx )2.令g'(x)=0,得x=e,且当1<x<e时,g'(x)<0,当x>e时,g'(in=g(e)=e,故a≤e.综上,a的取值范围是[0,e].6.已知函数y=f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示,记k1=f'(1),k2=f'(2),k3=f(2)-f(1),则k1,k2,k3之间的大小关系为.(请用“>”连接)(第6题)k1=f'(1)与k2=f'(2)分别表示曲线在点A与点B处的切线的斜率,而k3=f(2)-f(1)=f(2)-f(1)表示直线AB的斜率,结合2-1图象知k1>k3>k2.>k21>k37.设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示实数a,b,c.f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.由g(t)=0,得bt2+c=0,即c=ab.又因为函数f(x),g(x)的图象在点(t,0)处有相同的切线,所以f'(t)=g'(t).而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t,从而c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.8.设函数f(x)=ln x-a(x-1)e x,其中a∈R.(1)若a≤0,讨论f(x)的单调性;(2)若0<a<1e,求证:f(x)恰有两个零点.f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1x -[ae x+a(x-1)e x]=1-ax2e xx.因为当a≤0时,1-ax2e x>0,从而f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(1)知,f'(x)=1-ax 2e xx. 设g(x)=1-ax2e x(x>0).因为g'(x)=-axe x(2+x),且0<a<1e,所以g'(x)<0,从而函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又g(1)=1-ae>0,且ln1a >1,g ln1a=1-a ln1a21a=1-ln1a2<0,所以方程g(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解,从而f'(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解,不妨设为x0,则1<x0<ln1a.当x∈(0,x0)时,f'(x)=g(x)x >g(x0)x=0,所以f(x)在区间(0,x0)上单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)=g(x)x <g(x0)x=0,所以f(x)在区间(x0,+∞)上单调递减,因此x0是函数f(x)的极大值点,也是唯一的极值点.设h(x)=lnx-x+1(x>0),当x>1时,h'(x)=1x-1<0,则h(x)在区间(1,+∞)上单调递减,从而当x>1时,h(x)<h(1)=0,所以当x>1时,lnx<x-1.所以f ln1a =ln ln1a-a ln1a-1e ln1a=ln ln1a-ln1a+1=h ln1a<0,又因为f(x0)>f(1)=0,所以f(x)在区间(x0,+∞)上有唯一零点.又因为f(x)在区间(0,x0)上有唯一零点1,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点.。

高中数学北师大版选修2-2教师用书第2章 §3 计算导数 Word版含答案

高中数学北师大版选修2-2教师用书第2章 §3 计算导数 Word版含答案

§计算导数
.理解导数的概念.(重点)
.会用导数定义求简单函数的导数.
.记住基本初等函数的求导公式,并能用它们求简单函数的导数.(难点)
教材整理导函数的概念
阅读教材~“练习”以上部分,完成下列问题.一般地,如果一个函数()在区间(,)上的每一点处都有导数,导数值记为′():′()=,则′()是关于的函数,称′()为()的导函数,通常也简称为导数.
若函数()=(-),那么′()=.
【提示】∵()=-+,
∴==+Δ-.
故′()==(+Δ-)=-.
【答案】-
教材整理导数公式表
阅读教材“习题-”以上部分,完成下列问题.
给出下列命题:
①=,则′=;
②=,则′=-;③=,则′=;
④=,则′=).
其中正确命题的个数为( )
【解析】对于①,′=,故①错误;显然②③④正确,故选.
【答案】
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问:
解惑:
疑问:
解惑:
疑问:
解惑:
()=;()=;()=;()=.
【精彩点拨】首先观察函数解析式是否符合求导形式,若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式.
【自主解答】()′=()′=.
()′=′=(-)′=--=-.
()′=()′= .
()′=()′=).。

北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测卷(答案解析)(2)

北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测卷(答案解析)(2)

一、选择题1.已知函数()f x 的定义域是[]2,3-,则()23f x -的定义域是( ) A .[]7,3-B .[]3,7-C .1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x ),且x R ∈,当x ∈[-1,0)时,f (x )=-2x -2x +3,则当x ∈[1,2)时,f (x )的最大值为( ) A .52B .1C .0D .-13.方程2x y +=所表示的曲线大致形状为( )A .B .C .D .4.函数()21xf x x=-的图象大致是( ) A .B .C .D .5.已知2()2af x x ax =-+在区间[0,1]上的最大值为g (a ),则g (a )的最小值为( ) A .0B .12C .1D .26.若函数2()2(2)1f x mx m x =+-+0,,则实数m 的取值范围是( ) A .()1,4 B .()(),14,-∞⋃+∞C .(][)0,14,+∞ D .[][)0,14,+∞7.已知函数()y f x =的定义域为[]0,4,则函数0(2)1y x x =--的定义域是( ) A .[1,5]B .((1,2)(2,5) C .(1,2)(2,3]⋃D .[1,2)(2,3]⋃8.已知函数()f x 的定义域为R ,(1)f x -是奇函数,(1)f x +为偶函数,当11x -≤≤时,()13131x x f x +-=+,则以下各项中最小的是( )A .()2018fB .()2019fC .()2020fD .()2021f9.如图是定义在区间[]5,5-上的函数()y f x =的图象,则下列关于函数()f x 的说法错误的是( )A .函数在区间[]53-,-上单调递增 B .函数在区间[]1,4上单调递增 C .函数在区间][3,14,5⎡⎤⋃⎣⎦-上单调递减 D .函数在区间[]5,5-上没有单调性10.已知函数()2f x x ax b =-+-(a ,b 为实数)在区间[]22-,上最大值为M ,最小值为m ,则M m -( ) A .与a 有关,且与b 有关 B .与a 有关,但与b 无关 C .与a 无关,但与b 有关 D .与a 无关,且与b 无关11.函数2log xy x x=的大致图象是( ) A . B . C . D .12.若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值,则实数a 的取值范围为( ) A .34a >-B .53a <-C .5334a -<<- D .5334a -≤≤- 二、填空题13.已知1()1x f x x +=-,则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________14.函数()12x f x -的定义域是__________.15.已知对于任意实数x ,函数f (x )都满足f (x )+2f (2-x )=x ,则f (x )的解析式为______.16.对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,不等式224t mt m +>+恒成立,则实数t 的取值范围是________________.17.设函数2222,0(),0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩,若(())2f f a =,则a =___________.18.设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭,1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,函数()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩,若()()0f f x A ∈,则0x 的取值范围是__________.19.已知函数2()2f x x x a =-++,21()7log g x x=+,若对任意1[0,3]x ∈,总存在24x ⎤∈⎦,使得12()()f x g x ≤成立,则实数a 的取值范围是___________.20.设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数,2()()g x f x x =-,若函数()y g x =在区间[0,)+∞上是严格增函数,则不等式2(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.三、解答题21.已知函数2()7f x x mx m =++-,m R ∈.(1)若()f x 在区间[2,4]上单调递增,求m 的取值范围; (2)求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ;22.已知函数()f x 为二次函数,满足()()139f f -==,且()03f =.(1)求函数()f x 的解析式;(2)设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数,求实数m 的取值范围. 23.已知函数()0ky x k x=+>在区间(单调递减,在区间)+∞单调递增.(1)求函数2y x x=+在区间(),0-∞的单调性;(只写出结果,不需要证明) (2)已知函数()()2131x ax f x a x ++=∈+R ,若对于任意的x N *∈,有()5f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.24.已知函数()2x x f x e ke -=--为偶函数. (1)求k 的值及函数()f x 的最小值;(2)设()(2)2(()2)g x f x m f x =-+,当0x >时,()0>g x ,求m 的取值范围.25.已知函数12()12x xa f x -⋅=+是R 上的奇函数(a 为常数),()22.g x x x m m R =-∈+, (1)求实数a 的值;(2)若对任意12[]1x -∈,,总存在2]3[0x ∈,,使得12()()f x g x =成立,求实数m 的取值范围.26.已知函数()2342()log log 16a f x x x=⋅⋅.(1)若1a =,求方程()1f x =-的解集;(2)当[]2,4x ∈时,求函数()f x 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-,所以23x -≤≤, 要使()23f x -有意义,只需2233x -≤-≤,解得132x ≤≤。

第一章导数及其应用单元测试_A———高中数学选修2-2

第一章导数及其应用单元测试_A———高中数学选修2-2
(2)若对任意的 x1 , x2 Î [1,e ] ( e 为自然对数的底数)都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值 范围.
第一章导数及其应用单元测试(A)参考答案
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一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B
第 3 页 共 8 页
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = x - 3 x.
3
(1)求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m) ( m ¹ -2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
a2 , g ( x ) = x + ln x ,其中 a > 0 . 22. (本小题满分14分)已知函数 f ( x ) = x + x (1)若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;
第一章导数及其应用单元测试(A)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. f ( x) = x , f '( x0 ) = 6 ,则 x0 = (
3
) D. ±1
b
A. 2 2.设连续函数
B. - 2
C. ± 2
f ( x) > 0 ,则当 a < b 时,定积分 òa f ( x )dx 的符号
2 3 21.解(1) f ¢( x ) = 3 x - 3, f ¢(2) = 9, f (2) = 2 - 3 ´ 2 = 2
………………………2 分

导数与积分(2) Word版(含答案)

导数与积分(2) Word版(含答案)

广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编17:导数与积分(2)一、选择题1 .(广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模))由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是( )A .1B .4πC .3D .2【答案】D2 .(广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)如图所示,图中曲线方程为21y x =-,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是【答案】C3 .(广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版))曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为( )A .y=2x+2B .y=2x-2C .y=x-1C .y=x+1【答案】C4 .(广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动,某时刻P 与坐标原点重合(如图),设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =,关于函数()y f x =的有下列说法:①()f x 的值域为[0,2];②()f x 是周期函数;③( 1.9)()(2013)f f f π-<<;④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为: ( )A .0B .C .2D .3【答案】C5 .(广东省广州市2013届高三4月综合测试(二)数学理试题(WORD 版))已知函数()yf x =的图象如图1所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是【答案】A二、填空题6 .(广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题)计算________.【答案】2e ;7 .(广东省江门市2013年高考模拟考试(即一模)数学(理)试题 )在平面直角坐标系Oxy中,直线a y =(0>a )与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328,则=a _______. 【答案】28 .(广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学(理)试题)不等式211x -<的解集为(),a b ,计算定积分)2b ax dx -=⎰_______.【答案】139.(广东省广州市2013届高三调研测试数学(理)试题)若直线2y x m =+是曲线ln y x x=图1A .B .C .D .O x P A 第8题图的切线,则实数m 的值为_________.【答案】e -分析:设切点为000(,ln )x x x ,由1(ln )ln ln 1y x x x x x x''==+=+ 得0ln 1k x =+, 故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-,整理得00(ln 1)y x x x =+-, 与2y x m =+比较得00ln 12x x m+=⎧⎨-=⎩,解得0e x =,故e m =-10.(广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题(一)数学(理)试题)10x cos ⎰d x =______________.【答案】1sin11.(广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学(理)试题)20(3sin )x x dx π+=⎰________________.【答案】2318π+解析:22220033(3sin )(cos )|128x x dx x x πππ+=-=+⎰.12.(广东省湛江市2013届高三4月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))曲线y= x 3-x + 3在点(1,3)处的切线方程为_______【答案】21x y -+13.(广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模))若直线y kx =与曲线ln y x =相切,则k =__________________.【答案】1e14.(广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题)计算= ________.【答案】2e .三、解答题15.(广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析))已知函数()ln f x x =,2()()g x f x ax bx =++,函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系;(2)试讨论函数()g x 的单调性; (3)证明:对任意*n N ∈,都有()211ln 1ni i n i=-+>∑成立.【答案】解:(1)依题意得2()ln g x x axbx =++,则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得:'(1)120g a b =++= ∴21b a =--(2)由(1)得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时,210ax -<在(0,)+∞上恒成立, 由'()0g x >得01x <<,由'()0g x <得1x >, 即函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当0a >时,令'()0g x =得1x =或12x a=, 若112a <,即12a >时,由'()0g x >得1x >或102x a <<,由'()0g x <得112x a<<,即函数()g x 在1(0,)2a ,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)2a单调递减;若112a >,即102a <<时,由'()0g x >得12x a>或01x <<,由'()0g x <得112x a<<, 即函数()g x 在(0,1),1(,)2a +∞上单调递增,在1(1,)2a单调递减;若112a =,即12a =时,在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥, 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,综上得:当0a ≤时,函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当102a <<时,函数()g x 在(0,1)单调递增,在1(1,)2a 单调递减;在1(,)2a+∞上单调递增;当12a =时,函数()g x 在(0,)+∞上单调递增, 当12a >时,函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增,在1(,1)2a单调递减;在(1,)+∞上单调递增.(3)证法一:由(2)知当1a =时,函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增,2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-,即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---,令*11,x n N n =+∈,则2111ln(1)n n n+>-, 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑ 【证法二:构造数列{}n a ,使其前n 项和ln(1)n T n =+, 则当2n ≥时,111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+, 显然1ln 2a =也满足该式, 故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=- 令1x n=,即证2ln(1)0x x x +-+>,记2()ln(1)h x x x x =+-+,0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x +=-+=-+=>+++,()h x 在(0,)+∞上单调递增,故()(0)0h x h >=,∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立,2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 【证法三:令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑,则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++ 令11,1x n =++则(1,2]x ∈,*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增, 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->, ∴数列()n ϕ单调递增,又(1)ln 20ϕ=>,∴()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 16.(广东省江门市2013年高考模拟考试(即一模)数学(理)试题 )已知x a a x a x x f ln )()12(21)(22+++-=(0>x ,a 是常数),若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =,)()(x g x f ≥恒成立,求a 的取值范围.江门市2013年高考模拟考【答案】解:依题意,xaa a x x f +++-=2/)12()()(00x f y =,曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为))((00/0x x x f y y -=- ,即))((00/0x x x f y y -+=,所以))(()(00/0x x x f y x g -+= 直接计算得)1)(ln ()12(21)(002200-++++--=x x x a a x a x x x x g , 直接计算得)()(x g x f ≥等价于0)1)(ln ()(2100220≥+-++-x xx x a a x x 记)1)(ln ()(21)(00220+-++-=x xx x a a x x x h ,则 )1)(()11)(()()(020020/xx aa x x x x a a x x x h +--=-++-=若02≤+a a ,则由0)(/=x h ,得0x x = ,且当00x x <<时,0)(/<x h ,当0x x >时,0)(/>x h ,所以)(x h 在0x x =处取得极小值,从而也是最小值,即0)()(0=≥x h x h ,从而)()(x g x f ≥恒成立 .若02>+a a ,取a a x +=20,则0)1)(()(020/≥+--=xx aa x x x h 且当01x x ≠时0)(/>x h ,)(x h 单调递增 ,所以当00x x <<时,0)()(0=<x h x h ,与)()(x g x f ≥恒成立矛盾,所以02≤+a a ,从而a 的取值范围为01≤≤-a17.(广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学(理)试题)(本小题满分14分)已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+ 都成立. 【答案】(本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识,考查化归转化、分类讨论、数形结和的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力) 解:(1)()'121,f x x x a=--+ 0x = 时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴=故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意 (2)由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+--由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增; 当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+(3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+,令()'0fx =得,0x =或32x =-(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当0x >时, ()'0fx <,()f x 单调递减.()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. ()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)对任意正整数n ,取10x n=> 得,2111ln 1,n n n⎛⎫+<+⎪⎝⎭ 211ln n n n n++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭.故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n++++++>++++=+ . 18.(广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题(一)数学(理)试题)已知二次函数()21fx x a x m =+++,关于x的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+,其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.(1)求a 的值;(2)k k (∈R )如何取值时,函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点,并求出极值点;(3)若1m =,且x 0>,求证:()()1122nn ng x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *). 【答案】(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+. ∴2a =-(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为11x ,=<21x ,=>则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-,则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点若k >时,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**)方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-.∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++令T 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++ , 则T 122412n nn n n n n n C xC x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x 0>, ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅ ()1212n n n n C C C -=+++()012102n n n n n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n =-∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立;② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22k ≥⋅-+122k +=-也就是说,当1n k =+时,不等式也成立.由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立19.(广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题)二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==,且最小值是14-.(1)求()f x 的解析式; (2)设常数1(0,)2t ∈,求直线l :2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ;(3)已知0m ≥,0n ≥,求证:211()()24m n m n +++≥【答案】解:(1)由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==.设()(1)(0)f x ax x a =-≠,则221()()24af x ax ax a x =-=--又()f x 的最小值是14-,故144a -=-.解得1a =.∴2()f x x x =-;(2)依题意,由22x x t t -=-,得x t =,或1x t =-.(1t - t) 由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232ttx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰(3)∵()f x 的最小值为14-,故14m -,14n -∴12m n +-≥-,故12m n ++≥∵1()02m n +,102m n ++, ∴11()()22m n m n +++=∴211()()24m n m n +++≥20.(2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学(理)试题)设()x g x e =,()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ,其中,a λ是常数,且01λ<<.(1)求函数()f x 的极值;(2)证明:对任意正数a ,存在正数x ,使不等式11x e a x--<成立; (3)设12,λλ∈+R ,且121λλ+=,证明:对任意正数21,a a 都有:12121122a a a a λλ≤λ+λ.【答案】解析:(1)∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--,由()0f x '>得,[(1)]()g x a g x λλ''+->,∴(1)x a x λλ+->,即(1)()0x a λ--<,解得x a <, 故当x a <时,()0f x '>;当x a >时,()0f x '<; ∴当x a =时,()f x 取极大值,但()f x 没有极小值(2)∵111x x e e x x x----=, 又当0x >时,令()1xh x e x =--,则()10xh x e '=->, 故()(0)0h x h >=,因此原不等式化为1x e x a x--<,即(1)10x e a x -+-<, 令()(1)1x g x e a x =-+-,则()(1)xg x e a '=-+, 由()0g x '=得:1xe a =+,解得ln(1)x a =+,当0ln(1)x a <<+时,()0g x '<;当ln(1)x a >+时,()0g x '>. 故当ln(1)x a =+时,()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++,令()ln(1),01a s a a a a =-+>+,则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++. 故()(0)0s a s <=,即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<.因此,存在正数ln(1)x a =+,使原不等式成立(3)对任意正数12,a a ,存在实数12,x x 使11x a e =,22x a e =, 则121122112212xx x x a a e ee λλλλλλ+=⋅=,12112212x x a a e e λλλλ+=+,原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+,11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+由(1)()(1)()f x g a λ≤-恒成立,故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-, 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=, 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+, 即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+,故所证不等式成立21.(广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学(理)试题)已知函数321,(1)()(1),(1)x x ax bx x f x c e x -⎧-++<⎪=⎨-≥⎪⎩在32,0==x x 处存在极值. (1)求实数b a ,的值;(2)函数)(x f y =的图像上存在两点B A ,使得AOB ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形,且斜边AB 的中点在y 轴上,求实数c 的取值范围; (3)当e c =时,讨论关于x 的方程()f x kx =()k R ∈的实根的个数.【答案】解(1)当1x <时,2()32f x x ax b '=-++.因为函数f(x)在20,3x x ==处存在极值,所以(0)0,2()0,3f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得1,0a b ==. (2) 由(1)得321,(1),()(1),(1),x x x x f x c e x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩根据条件知A,B 的横坐标互为相反数,不妨设32(,),(,()),(0)A t t t B t f t t -+>.若1t <,则32()f t t t =-+,由AOB ∠是直角得,0OA OB ⋅= ,即23232()()0t t t t t -++-+=,即4210t t -+=.此时无解;若1t ≥,则1()(1)t f t c e -=-. 由于AB 的中点在y 轴上,且AOB ∠是直角,所以B 点不可能在x 轴上,即1t ≠. 由0OA OB ⋅= ,即2321()(1)t t t t c e --++⋅-=0,即()11(1)1t c t e -=+-..因为函数()1(1)1t y t e -=+-在1t >上的值域是(0,)+∞,所以实数c 的取值范围是(0,)+∞.(3)由方程()f x kx =,知32,(1),(1)x x x x kx e e x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩,可知0一定是方程的根,所以仅就0x ≠时进行研究:方程等价于2,(10),,(1).x x x x x k e e x x ⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且构造函数2,(10),(),(1),x x x x x g x e e x x⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且对于10x x <≠且部分,函数2()g x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当12x =时取得最大值14,其值域是1(,0)(0,]4-∞ ; 对于1x ≥部分,函数()x e e g x x -=,由2(1)()0x e x e g x x-+'=>,知函数()g x 在()1,+∞上单调递增.所以,①当14k >或0k ≤时,方程()f x kx =有两个实根; ②当14k =时,方程()f x kx =有三个实根; ③当104k <<时,方程()f x kx =有四个实根.22.(广东省湛江市2013届高三4月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))已知a <2,(1) 求f(x)的单调区间; (2)若存在x 1∈[e,e2],使得对任意的x 2∈[—2,0],f (x 1)<g(x 2)恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】23.(广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模))定义(,)|||ln |x x y e y y x y ρ=---,其中,x R y R +∈∈.(1)设0a >,函数()(,)f x x a ρ=,试判断()f x 的定义域内零点的个数; (2)设0a b <<,函数()(,)(,)F x x a x b ρρ=-,求()F x 的最小值; (3)记(2)中最小值为(,)T a b ,若{}n a 是各项均为正数的单调递增数列,证明:1111(,)()ln 2nii n i T a aa a ++=<-∑.【答案】24.(广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题)设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间;(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M .【答案】设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M . 解:(1)由1()3f '=0,得a =b .当0a =时,则0b =,()f x c =不具备单调性 故f (x )= ax 3-2ax 2+ax +c .由()f x '=a (3x 2-4x +1)=0,得x 1=13,x 2=1列表:由表可得,函数f (x )的单调增区间是(-∞,13)及(1,+∞) .单调减区间是1[,1]3(2)当0a =时,()f x '=2bx b -+ 若0b = ()0f x '=,若0b >,或0b <,()f x '在[0,1]是单调函数,'(0)(1)f f '-=≤()f x '≤(0)f ',或'(1)f -=(0)f '≤()f x '≤(1)f '所以,()f x '≤M当0a >时,()f x '=3ax 2-2(a +b )x +b =3222()33a b a b aba x a a++---. ①当1,033a b a b a a++≥或≤时,则()f x '在[0,1]上是单调函数,所以(1)f '≤()f x '≤(0)f ',或(0)f '≤()f x '≤(1)f ',且(0)f '+(1)f '=a >0.所以M -()f x '<≤M②当013a ba +<<,即-a <b <2a ,则223a b ab a +--≤()f x '≤M . (i) 当-a <b ≤2a 时,则0<a +b ≤32a. 所以 (1)f '223a b ab a +--=22223a b ab a --=223()3a a b a -+≥214a >0.所以 M -()f x '<≤M (ii) 当2a <b <2a 时,则()(2)2a b b a --<0,即a 2+b 2-52ab <0. 所以223a b ab b a +--=2243ab a b a -->22523ab a b a-->0,即(0)f '>223a b ab a +-.所以 M -()f x '<≤M综上所述:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M25.(广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=.(1)若()()f x g x ≥对于定义域内的任意x 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ,且11(0,)2x ∈,证明:123()()ln 24h x h x ->-; (3)设1()()()2ax r x f x g +=+对于任意的(1,2)a ∈,总存在01[,1]2x ∈,使不等式2()(1)r x k a >- 成立,求实数k 的取值范围.【答案】解析:(Ⅰ)由题意:)()(x g x f ≥⇔≥-ax x 2x ln ,)0(>x分离参数a 可得:)0(ln >-≤x xx x a设x x x x ln )(-=φ,则22/1ln )(x x x x -+=φ由于函数2x y =,x y ln =在区间),0(+∞上都是增函数,所以函数1ln 2-+=x x y 在区间),0(+∞上也是增函数,显然1=x 时,该函数值为0 所以当)1,0(∈x 时,0)(/<x ϕ,当),1(+∞∈x 时,0)(/>x ϕ所以函数)(x φ在)1,0(∈x 上是减函数,在),1(+∞∈x 上是增函数 所以1)1()(min ==φφx ,所以1)(min =≤x a φ即]1,(-∞∈a(Ⅱ)由题意知道:x ax x x h ln )(2+-=,且)0(,12)(2|>+-=x x ax x x h所以方程)0(0122>=+-x ax x 有两个不相等的实数根21,x x ,且)21,0(1∈x , 又因为,2121=x x 所以),1(2112+∞∈=x x ,且)2,1(,122=+=i x ax i i而)ln ()()(112121x ax x x h x h +-=-)ln (2222x ax x +--]ln )12([12121x x x ++-=]ln )12([22222x x x ++--212122lnx x x x +-=22222221ln )21(x x x x +-=2222222ln 41x x x --=,)1(2>x设)1(,2ln 41)(222≥--=x x x x x u ,则02)12()(322/≥-=x x x u所以2ln 43)1()(-=>u x u ,即2ln 43)()(21->-x h x h(Ⅲ))21()()(ax g x f x r ++=21ln2++-=ax ax x 所以12)(|++-=ax a a x x r 12222++-=ax x x a ax 1)22(22+--=ax a a x ax 因为(1,2)a ∈,所以21212212222=-≤-=-a a a a 所以当),21(+∞∈x 时,)(x r 是增函数,所以当01[,1]2x ∈时, 21ln1)1()(max 0++-==a a r x r ,(1,2)a ∈所以,要满足题意就需要满足下面的条件:)1(21ln12a k a a ->++-,令)1(21ln 1)(2a k a a a --++-=ϕ,(1,2)a ∈即对任意(1,2)a ∈,)1(21ln1)(2a k a a a --++-=ϕ0>恒成立 因为)122(11222111)(2/-++=+-+=+++-=k ka a aa a ka ka ka a a ϕ分类讨论如下:(1)若0=k ,则1)(/+-=a aa ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意(2)若0<k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.(3)若0>k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,那么当1121>-k 时,假设t 为2与121-k中较小的一个数,即}121,2min{-=k t ,则)(a ϕ在区间})121,2min{,1(-k 上递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.综上可得⎪⎩⎪⎨⎧≤->11210k k 解得41≥k ,即实数k 的取值范围为),41[+∞26.(广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版))已知函数32(),()ln ,(0)f x x x bx g x a x a =-++=>.(1)若()f x 存在极值点,求实数b 的取值范围;(3)当b=0时,令(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩.P(11,()x F x ),Q(22,()x F x )为曲线y=()F x 上的两动点,O 为坐标原点,请完成下面两个问题:①能否使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y 轴上?请说明理由. ②当1<12x x <时,若存在012(,)x x x ∈,使得曲线y=F(x)在x=x 0处的切线l ∥PQ, 求证:1202x x x +<【答案】27.(广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a (1,2,n = ).(1)求12,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立.【答案】解:(1)解法1:∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---当1n =时,1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴1111()28a f ==, 当2n =时,2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴2211()216a f ==【解法2:当1n =时,21()(1)f x x x =-,则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=-- 当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减,∴1111()28a f ==, 当2n =时,222()(1)f x x x =-,则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减,∴2211()216a f ==】 (2)令'()0n f x =得1x =或2n x n =+,∵当3n ≥时,1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >,当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <, 故()n f x 在2nx n =+处取得最大值,即当3n ≥时,22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)nn n n +=+,------(*) 当2n =时(*)仍然成立,综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩(3)当2n ≥时,要证2241(2)(2)n n n n n +≤++,只需证明2(1)4n n +≥∵01222(1)()()n nnn n n C C C nnn+=+++ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=∴对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立 28.(广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题(WORD 版))已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =,1(),n n a f a n N *+=∈, 求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分.惠州市2013届高三第一次模拟考【答案】解: (1) f'(x)=2ax+b ,依题设,有`(3)5(3)7f f =⎧⎨=⎩,即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩2()=1f x x x ∴-+(2)方程()=k x f x e ∴,即21k xx x e -+=,得2k (1)xx x e -=-+, 记2F(x)(1)xx x e -=-+,则22F'(x)=(21)(1)(32)(1)(2)x x x x x e x x e x x e x x e -------+=--+=---令F'(x)=0,得121,2x x ==当x 变化时,F'(x)、F(x)的变化情况如下表:∴当1x =时,F(x)取极小值1e ;当2x =时,F(x)取极大值23e作出直线y x =和函数2F(x)(1)xx x e -=-+的大致图象,可知当1k e =或23k e =时,它们有两个不同的交点,因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,(3) 12(2)3a f ==,得1312a >>,又21()1n n n n a f a a a +==-+.22121(1)0n n n n n a a a a a +∴-=-+=->,11n n a a +∴>>由211n n n a a a +=-+,得11=(1)n n n a a a +--,111111(1)1n nnnnaa a a a+∴==----,即111111nnn aa a+=---122013122320132014111111111()()()111111S a aaa aaaaa∴=+++=-+-++-------12014201411111122a aa=-=-<---又1211242637211S a a>++==>即12S <<,故S 的整数部分为. l4分。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(包含答案解析)(2)

北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1.已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是( )A .0,1B .(),1-∞C .0,D .11,e ⎛⎫⎪⎝⎭2.已知函数()ln f x x x =-,则()f x 的图象大致为( )A .B .C .D .3.已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上,则实数k 的取值范围是( ) A .1(,1)2 B .1(2,2) C .(1,2)- D .(1,3)-4.已知定义在()1,+∞上的函数()f x ,()f x '为其导函数,满足()()1ln 20f x f x x x x++=′,且()2f e e =-,若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[),e +∞B .()2,2e -C .(),2e -D .[),e -+∞5.函数()2e e x x f x x--=的图像大致为 ( ) A . B .C .D .6.若直角坐标系内A ,B 两点满足:(1)点A ,B 都在()f x 图象上;(2)点A ,B 关于原点对称,则称点对()A B ,是函数()f x 的一个“和谐点对”,()A B ,与()B A ,可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“和谐点对”有( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.函数()ln sin f x x x =+(x ππ-≤≤且0x ≠)的大致图像是( )A .B .C .D . 8.已知f (x )=-x 3-ax 在(-∞,-1]上递减,且g (x )=2x-a x 在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则a 的取值范围是( )A .2a >-B .3a -≤C .32a -≤<-D .32a --≤≤ 9.函数()21x y x e =-的图象大致是( )A .B .C .D .10.若对于任意的120x x a <<<,都有211212ln ln 1x x x x x x ->-,则a 的最大值为( ) A .2e B .e C .1 D .1211.已知函数(),2021,0x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩,若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点,则实数k 等于(e 为自然对数的底数)( )A .1B .2C .eD .2e12.已知0a >,函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围为( )A .14a <<B .24a <<C .48a <<D .28a <<二、填空题13.已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点,则k 的取值范围为___________14.已知函数()ln 1f x x x =--,()ln g x x =,()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦,()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦,给出以下四个命题:(1)()y F x =是偶函数;(2)()y G x =是偶函数;(3)()y F x =的最小值为0;(4)()y G x =有两个零点;其中真命题的是______.15.关于x 的不等式2ln 0x x kx x -+≥恒成立,实数k 的取值范围是__________. 16.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,()f x '是()f x 的导函数,且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=,若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+,则整数m 的值是__________.17.已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数,则实数a 的取值范围是________.18.已知函数21()ln 2f x x a x =+,若对任意两个不等的正实数1x ,2x 都有()()12122f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是____ 19.下列五个命题:①“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件;②函数()3113f x x x =++有两个零点; ③集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是13; ④动圆C 即与定圆()2224x y -+=相外切,又与y 轴相切,则圆心C 的轨迹方程是()280y x x =≠⑤若对任意的正数x ,不等式x e x a ≥+ 恒成立,则实数的取值范围是1a ≤ 其中正确的命题序号是_____.20.设函数()2()1x f x x e =-,当0x ≥时,()1(0)f x ax a ≤+>恒成立,则a 的取值范围是________.三、解答题21.已知函数2(),()sin x f x ae x g x x bx =+=+,一条直线与()f x 相切于点(0,)a 且与()g x 相切于点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求a ,b 的值;(2)证明:不等式()()f x g x >恒成立.22.已知函数()321f x x bx cx =++-的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,4,且()f x 的一个极值点为-1.(1)求()f x 的极值;(2)已知方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根,求m 的取值范围. 23.已知函数()x f x e =,()215122g x x x =--(e 为自然对数的底数). (1)记()()ln F x x g x =+,求函数()F x 在区间[]1,3上的最大值与最小值;(2)若k ∈Z ,且()()0f x g x k +-≥对任意x ∈R 恒成立,求k 的最大值.24.已知函数()ln ()a f x x a R x=+∈. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时,若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是2,求a 的值.25.已知二次函数f (x )的最小值为-4,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |-1≤x ≤3,x ∈R}.(1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数g (x )=()f x x-4ln x 的零点个数. 26.已知函数()(2)()x f x x e alnx ax a R =-+-∈.(1)若1x =为()f x 的极大值点,求a 的取值范围;(2)当0a 时,判断()y f x =与x 轴交点个数,并给出证明.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】分离参数,求函数的导数,根据函数有两个零点可知函数的单调性,即可求解.【详解】 由题意得2ln x x a x+=有两个零点 2431(1)(ln (2)12ln x x x x x x x a x x +-+-='-=) 令()12ln (0)g x x x x =--> ,则2()10g x x'=--<且(1)0g = 所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>,2ln x x a x+=在(0,1)上为增函数, 可得),(1a ∈-∞, 当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<',2ln x x a x +=在(1,)+∞上单调递减,可得(0,1)∈a , 即要2ln x x a x +=有两个零点有两个零点,实数a 的取值范围是()0,1. 故选:A【点睛】方法点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 2.A解析:A【解析】函数的定义域为0x ≠ ,当0()ln()x f x x x <⇒=-- ,为增函数,故排除B ,D ,当0()ln x f x x x >⇒=-,'111()x xf x x --==,当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增;故选A .3.C解析:C【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程,然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值,进而求出k 得取值范围.【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y ', 则00,12y y x x +==-,所以02y y =--, 而P 在函数1y kx =-上,所以21y kx --=-,即1y kx =--,所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -,(1)当0x >时,()ln 3f x x x x =-,设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -,()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=, 整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+,解得1x =,所以ln122AC k k =-=-=-;(2)当0x ≤时,()23f x x x =+,设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +,()23123x x f x x k x++'=+=-=,整理可得222331(0)x x x x x +=++≤,解得1x =-,所以2(1)31AB k k =-=-+=,故21k -<-<,即12k -<<时,在0x >时,函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点;在0x ≤时,函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点,故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-.故选:C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称,以及直线与曲线相切的斜率,以及函数与方程的关系的综合应用,着重考查数形结合思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.4.D解析:D【分析】利用导数的运算法则,求出函数()f x 的解析式,然后参数分离,将不等式的恒成立问题转化为ln x a x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立,构造函数,利用导数研究函数的单调性,进而求出函数的最大值,从而得解.【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′, ()2ln f x x x C ∴+=,()2ln f e e e C ∴+=,()2f e e =-,∴22e e C -+=,解得0C =,()2ln 0f x x x ∴+=,()2ln x f x x ∴=-()1x >, 不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立, ∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立, 即ln x a x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立, 令()ln x g x x =-,则()()21ln ln x g x x -=′, 令()()21ln 0ln xg x x -==′,解得x e =,∴1x e <<时,()0g x '>,()g x 在()1,e 上单调递增;x e >时,()0g x '<,()g x 在(),e +∞上单调递减,∴当x e =时,()g x 取得极大值,也是最大值,()()max ln e g x g e e e==-=-, a e ∴≥-, ∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题,具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题,求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键,属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想,常见的有:()f x a >恒成立⇔()min f x a >;()f x a <恒成立⇔()max f x a <;()f x a >有解⇔()max f x a >;()f x a <有解⇔()min f x a <;()f x a >无解⇔()max f x a ≤;()f x a <无解⇔()min f x a ≥.5.B解析:B【解析】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像. 详解:20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数,舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>, 所以舍去C ;因此选B.点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.6.B解析:B【分析】问题转化为0,()x f x ≥关于原点对称的函数与2()2f x x x =+在(,0)-∞交点的个数,先求出0,()x f x ≥关于原点对称的函数()g x ,利用导数方法求出2()2g x x x =+在(,0)-∞解的个数,即可得出结论.【详解】设(,)(0)P x y x ≤是()(0)y f x x =≥关于原点对称函数图象上的点,则点P 关于原点的对称点为()P x y '--,在()(0)y f x x =≥上, 2,2x x y y e e--==-,设()2(0)x g x e x =-≤, “和谐点对”的个数即为()g x 与()f x 在(,0)-∞交点的个数,于是222x e x x -=+,化为2220(0)x e x x x ++=<,令2()22(0)x x e x x x ϕ=++<,下面证明方程()0x ϕ=有两解,由于20x e >,所以220x x +<,解得20x -<<,∴只要考虑(20)x ∈-,即可, ()222x x e x ϕ'=++,()x ϕ'在区间(20)-,上单调递增, 而2(2)2420e ϕ-'-=-+<,1(1)20e ϕ-'-=>,∴存在0(2,1)x ∈--使得0()0x ϕ'=,当0(2,),()0,()x x x x ϕϕ∈-'<单调递减,0(,0),()0,()x x x x ϕϕ∈'>单调递增,而2(2)20e ϕ--=>,10()(1)210x e ϕϕ-<-=-<,(0)20ϕ=>, ∴函数()ϕx 在区间(21)--,,(1,0)-分别各有一个零点, 即()f x 的“和谐点对”有2个.故选:B .【点睛】本题考查函数的新定义,等价转化为函数图象的交点,利用函数导数研究单调性,结合零点存在性定理是解题的关键,考查逻辑思维能力和运算求解能力,属于常考题. 7.D解析:D【分析】利用函数的奇偶性排除选项,能过导数求解函数极值点的个数,求出()f π的值,从而可判断选项【详解】 解:因为()ln sin()ln sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=,所以()f x 为偶函数,故排除B当0πx <≤时,()ln sin f x x x =+,则'1()cos f x x x=+, 令'()0f x =,则1cos x x =-, 作出1,cos y y x x==-的图像如图,可知两个函数图像有一个交点,就是函数的极值点,所以排除A因为()ln 1f ππ=>,所以排除C ,当0x x =时,'0()0f x =,故0(0,)x x ∈时,函数()f x 单调递增,当0(,)x x π∈时,函数()f x 单调递减,所以D 满足.故选:D【点睛】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别,利用了导数判断函数的单调性,考查数形结合的思想,属于中档题8.C解析:C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立,求出a 的范围,再由()2'2a g x x x =+在(]1,2上有零点,求出a 的范围,综合两种情况可得结果.【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减, 所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立, 得23,3x a a -≤∴≥-,又因为()2a g x x x =-在区间(]1,2上既有最大值,又有最小值,所以,可知()2'2a g x x x =+在(]1,2上有零点, 也就是极值点,即有解220a x x +=,在(]1,2上解得32a x =-, 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-,故选C.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围,属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法:① 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围.9.A解析:A【分析】 根据函数图象,当12x <时,()210x y x e =-<排除CD ,再求导研究函数单调性得()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,排除B 得答案. 【详解】 解:因为12x <时,()210x y x e =-<,所以C ,D 错误; 因为()'21x y x e =+, 所以当12x <-时,'0y <, 所以()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减, 所以A 正确,B 错误.故选:A.【点睛】 本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响,并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题.已知函数的解析式求函数的图像,常见的方法是,通过解析式得到函数的值域和定义域,进行排除,由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性,或者中心对称性,进行排除,还可以代入特殊点,或者取极限.10.C解析:C【分析】整理所给的不等式,构造新函数,结合导函数研究函数的单调性,即可求得结果.【详解】解:由已知可得,211212ln ln x x x x x x -<-,两边同时除以12x x , 则121221ln ln 11x x x x x x -<-,化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<, 而120x x <<,构造函数()ln 1x f x x +=,()2ln x f x x -'=, 令()0f x '>,则01x <<;令()0f x '<,则1x > ,所以函数()f x 在()0,1上为增函数,在()1,+∞上为减函数, 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立, 即()f x 在()0,a 为增函数,则01a <≤,故a 的最大值为1.故选:C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性,考查分析问题能力,属于中档题.11.C解析:C【分析】求得y kx =与x y e =的图象相切时的k 值,结合图象可得结论.【详解】()()0g x f x kx =-=,()f x kx =,作出()f x 的图象,及直线y kx =,如图,∵0x ≤时,221y x x =-++是增函数,0x =时,1y =,无论k 为何值,直线y kx =与()(0)y f x x =≤都有一个交点且只有一个交点,而()g x 有两个零点,∴直线y kx =与()(0)x f x e x =>只能有一个公共点即相切.设切点为00(,)x y ,()x f x e '=,00()x f x e '=,切线方程为000()-=-x x y e e x x ,切线过原点,∴000x x e e x -=-⋅,01x =,∴(1)k f e '==,故选:C .【点睛】方法点睛:本题考查函数零点个数问题,解题方法是把零点转化为直线与函数图象交点个数,再转化为求直线与函数图象相切问题.12.D解析:D【分析】根据分段函数,看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题,分0x =,0x ≤,0x >讨论求解.【详解】当0x =时,()502f a =,对于直线()2y a x =-,2y a =,因为0a >,所以无交点; 当0x ≤时,()2f x x '=,令2x a =-,解得 2a x =-,要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解,则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得 2a >; 当0x >时,()2f x x '=-,令2x a -=-,解得 2a x =,因为0x ≤时,方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解,则0x >时,无交点, 则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得 8a <, 综上:a 的取值范围为28a <<故选:D【点睛】关键点点睛:本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0,确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况:当0x ≤时,方程恰有2个互异的实数解,当0x >时,方程无实数解.二、填空题13.【分析】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解构造函数利用导数求出函数的取值情况即可求出k 的取值范围【详解】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解设则由解得此时函数单调递增由解得此时函数单调 解析:1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】直线y kx =与曲线ln y x =有公共点,等价于方程ln kx x =在0x >时有解,即ln x k x =有解,构造函数()ln x f x x=,利用导数求出函数的取值情况,即可求出k 的取值范围. 【详解】直线y kx =与曲线ln y x =有公共点, ∴等价于方程ln kx x =在0x >时有解, 即ln x k x=有解, 设()ln x f x x=, 则()21ln x f x x -'=, 由()0f x '>,解得0x e <<,此时函数单调递增,由()0f x '<,解得x e >,此时函数单调递减,当x e =时,函数()f x 取得极大值,同时也是最大值()ln 1e f e e e ==, 所以()1f x e ≤,1k e∴≤, 即k 的取值范围为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为:1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,考查了等价转化的思想,属于中档题.14.(1)(3)(4)【分析】利用函数奇偶性的定义可判断(1)(2)的正误;利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断(3)的正误;利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断(4)的正误综合可得出结论解析:(1)(3)(4)【分析】利用函数奇偶性的定义可判断(1)、(2)的正误;利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值,可判断(3)的正误;利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数,可判断(4)的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题(1),对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦,()ln 0g x x =>,即1x >,解得1x <-或1x >,所以,函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞,定义域关于原点对称,()()ln ln g x x x g x -=-==,则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦, 所以,函数()y F x =为偶函数,命题(1)正确;对于命题(2),对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦,()ln 10f x x x =--≠,()111x f x x x'-=-=,令()0f x '=,得1x =,且函数()y f x =的定义域为()0,+∞,当01x <<时,()0f x '<,此时函数()y f x =单调递减;当1x >时,()0f x '>,此时函数()y f x =单调递增.所以,()()min 10f x f ==,则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞,定义域不关于原点对称,所以,函数()y G x =是非奇非偶函数,命题(2)错误;对于命题(3),对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦,()ln 0g x x =>,由(2)知,函数()y f x =的最小值为0,则函数()y F x =的最小值为0,命题(3)正确;对于命题(4),令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦,可得()1f x =,则()1f x =或()1f x =-, 由(2)知,()()10f x f ≥=,所以方程()1f x =-无解;令()()1ln 2h x f x x x =-=--,由(2)可知,函数()y h x =在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增, 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()110h =-<,()42ln422ln20h =-=->, 由零点存在定理可知,函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点, 所以,方程()1f x =有两个实根,即函数()y G x =有两个零点,命题(4)正确.故答案为:(1)(3)(4).【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,复合函数最值以及零点个数的判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.15.【分析】根据不等式恒成立分离参数并构造函数求得导函数结合导数性质可判断的单调区间与最小值即可求得的取值范围【详解】在恒成立即恒成立即令则当即解得当即解得所以在上为减函数在上增函数所以所以故答案为:【 解析:1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【分析】根据不等式恒成立,分离参数并构造函数()ln 1g x x x =+,求得导函数()g x ',结合导数性质可判断()g x 的单调区间与最小值,即可求得k 的取值范围.【详解】2ln 0x x kx x -+≥在()0,∞+恒成立,即ln 10x x k -+≥恒成立,即ln 1k x x ≤+, 令()ln 1g x x x =+,则()ln 1g x x '=+,当()0g x '≥,即ln 10x +≥,解得1x e≥, 当()0g x '<,即ln 10x +<,解得10x e <<所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上增函数, 所以()min 1111ln 11g x g e e e e ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭, 所以11k e≤- 故答案为:1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了分离参数与构造函数法的应用,由导函数求函数的最值及参数的取值范围,属于中档题.16.2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或(舍去)所以所以所以所以函数在是增函数 解析:2【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--,再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点,函数()F x 的零点在(2,3)内,即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=,所以2()f x x -是一个定值,设2()f x x t -=,所以2()=+f x x t ,()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-(舍去).所以2()=+1,()2f x x f x x '=,所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--,所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-,所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数,在(0,1)是减函数,因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数, 所以函数()F x 的零点在(2,3)内,所以2m =.故答案为:2【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用,考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数研究零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减;当时单调递增;又故答案为:【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了 解析:2a ≥【分析】求导得2()321f x x ax '=++,转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立,令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭,求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】 32()1f x x ax x =+++,∴2()321f x x ax '=++,函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数, ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立,即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立,令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭,则()2221312232x x x xg -++='=-,∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时,()0g x '<,()g x 单调递减;当13x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增; 又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴()2g x <, ∴2a ≥.故答案为:2a ≥.【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力与推理能力,属于中档题.18.【分析】由条件不妨设恒成立即为恒成立构造函数只需在上为增函数即可即求恒成立时的取值范围【详解】依题意不妨设恒成立恒成立设即在上为增函数恒成立只需的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性求参 解析:[1,)+∞【分析】由条件不妨设12x x >,()()12122f x f x x x ->-恒成立,即为()()112222f x x f x x ->-恒成立,构造函数()()2g x f x x =-,只需()g x 在(0,)+∞上为增函数即可,即求()0g x '≥恒成立时a 的取值范围.【详解】依题意,不妨设12x x >,()()12122f x f x x x ->-恒成立, ()()112222f x x f x x ->-恒成立,设()()2g x f x x =-即12()(),()g x g x g x >在(0,)+∞上为增函数,2()2,()1220ln a g x x g x x x a x x'=-+-+=≥, 22,(0,)a x x x ≥-+∈+∞恒成立, 只需2max (2)1,(0,)a x x x ≥-+=∈+∞,a ∴的取值范围是[1,)+∞.故答案为:[1,)+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数范围,构造函数把问题等价转化为函数的单调性是解题的关键,属于中档题.19.①③⑤【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确;②利用导数可知函数为增函数函数最多一个零点;③根据古典概型求得概率为;④根据条件直接求得轨迹方程;⑤利用导数研究不等式恒成立可得的范围【详解】对解析:①③⑤【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确;②利用导数可知函数为增函数,函数最多一个零点;③根据古典概型求得概率为13; ④根据条件直接求得轨迹方程;⑤利用导数研究不等式恒成立,可得a 的范围.【详解】对于①,当2a >时,()cos f x a x '=-0>恒成立,所以,()sin f x ax x =-为R 上的增函数;而当12a ≤≤时,()cos f x a x '=-0>也恒成立,()sin f x ax x =-在R 上也是增函数,所以“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件是正确的; 对于②,2()10f x x '=+>恒成立,所以()f x 在R 上为增函数,最多只有一个零点,故②是错误的;对于③,所有基本事件为:21,22,23,31,32,33++++++共6个, 其中和为4的有22,31++共2个,根据古典概型可得所求概率为2163=,故③正确;对于④,设(,)(0)C x y x ≠||x =2+,两边平方并化简得244||y x x =+,当0x >时,得28y x =,当0x <时,得0y =,所以所求轨迹方程是:28(0)y x x =>或0,0y x =<,故④不正确;对于⑤,依题意得x a e x ≤-对任意的正数x 恒成立,令()x f x e x =-,则()1x f x e =-',因为0x >,所以()0f x '>,所以()x f x e x =-在(0,)+∞上为增函数,所以()(0)1f x f >=,所以1a ≤,故⑤时正确的.故答案为:①③⑤【点睛】本题考查了;利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数处理不等式恒成立,考查了古典概型,考查了两圆外切,考查了求曲线的轨迹方程,属于中档题.20.【分析】求得在处的切线的斜率结合图像求得的取值范围【详解】函数对于一次函数令解得(负根舍去)所以在上递增在上递减画出的图像如下图所示由图可知要使当时恒成立只需大于或等于在处切线的斜率而所以故答案为: 解析:[1,)+∞【分析】求得()f x 在0x =处的切线的斜率,结合图像,求得a 的取值范围.【详解】函数()2()1x f x x e =-,()01f =.对于一次函数()()10g x ax a =+>,()01g =.()()'221,0x f x x x e x =--+⋅≥,令'0f x ,解得021x =-(负根舍去),所以()f x 在()00,x 上递增,在()0,x +∞上递减,画出()f x 的图像如下图所示.由图可知,要使当0x ≥时,()1(0)f x ax a ≤+>恒成立,只需a 大于或等于()f x 在0x =处切线的斜率.而()'01f =,所以1a ≥.故答案为:[1,)+∞【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.三、解答题21.(1)1,1a b ==;(2)证明见解析.【分析】(1)利用导数的几何意义求出两条切线方程,根据两条切线重合可得结果;(2)转化为证明2sin x e x x x +->,不等式左边构造函数,利用导数求出其在0x =时取得最小值,又因为函数sin y x =在R 上最大值为1,当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 取到最大值,且函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到,所以所证不等式成立. 【详解】(1)由题知()2,()cos x f x ae x g x x b =+'=+',∴(0),2f a g b π⎛⎫'⎝'==⎪⎭, ∴()y f x =在点(0,)a 处的切线方程为:y ax a =+,()y g x =在点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为:122y b x b ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,即1y bx =+, ∵两条切线重合. ∴1,1a b ==.(2)证明:由(1)知要证不等式()()f x g x >恒成立,即证2sin x e x x x +>+恒成立, 即证2sin x e x x x +->恒成立,令2()x h x e x x =+-,则()21x h x e x '=+-. 易知()21x h x e x '=+-为增函数,且(0)0h '=.当(,0)x ∈-∞时,()(0)0h x h ''<=,函数()h x 在(,0)-∞上单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,()(0)0h x h ''>=,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ∴min ()(0)1h x h ==.又函数sin y x =在R 上最大值为1,当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 取到最大值.∵函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到. ∴不等式()()f x g x >恒成立. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式,属于中档题. 22.(1)()0f x =极大值,()3227f x -=极小值.(2)(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)首先求出函数的导函数,求出函数在()()1,1f 处的切线方程,由点()2,4过切线,即可得到321b c +=,再由函数的一个极值点为1-则()'1320f b c -=-+=,即可求出函数解析式,最后利用导数求出函数的极值;(2)依题意可得函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点,结合函数图象,即可得解; 【详解】解:(1)∵()2'32f x x bx c =++,∴()'132f b c =++,∴()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程为()()()321y b c b c x -+=++-. ∵该切线经过点()2,4,∴()()()43221b c b c -+=++-,即321b c +=①. 又∵()f x 的一个极值点为-1,∴()'1320f b c -=-+=②. 由①②可知1b =,1c =-,故()321f x x x x =+--.()2'321f x x x =+-,令()'0f x =,得1x =-或13x =.当x 变化时,()'f x ,()f x 的变化情况如下表:故()()10f x f =-=极大值,()327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值. (2)∵方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根, ∴函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点. ∵()23f -=-,()29f =, 结合函数()f x 的图象,∴(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,函数与方程思想,数形结合思想的应用,属于中档题. 23.(1)()min 4ln 2F x =-+,()max 4ln3F x =-+;(2)1-. 【分析】(1)对函数()F x 求导,根据导数的方法研究其在[]1,3上的单调性,进而可得出最值; (2)先将不等式恒成立转化为215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立,令()215122x h x e x x =+--,根据导数的方法求出最值,即可得出结果. 【详解】(1)∵()()215ln ln 122F x x g x x x x =+=+--,∴()()()2122x x F x x--'=,令()0F x '=,则112x =,22x =, 当()1,2x ∈时,()()()21202x x F x x--'=<,则函数()F x 在区间()1,2上单调递减;当()2,3x ∈时,()()()21202x x F x x--'=>,则函数()F x 在区间()2,3上单调递增;∴()()min 24ln2F x F ==-+,又()()33ln 143F F =-<=-+,所以()max 4ln3F x =-+; (2)∵()()0f x g x k +->对任意x ∈R 恒成立,∴2151022x e x x k +---≥对任意x ∈R 恒成立, ∴215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立. 令()215122xh x e x x =+--,则()52x h x e x '=+-. 由于()10xh x e '=+>,所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<',()3102h e =->',121202h e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭,3437044h e ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭,所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使得()00h x '=, 且当()0,x x ∈-∞时,()0h x '<,()0,x x ∈+∞时,()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减,在()0,x +∞上单调递增. ∴()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=,即00502xe x +-=,∴0052x e x =-. ∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+. ∵013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,∴()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又∵215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立,∴()0k h x ≤, 又k ∈Z ,∴max 1k =-. 【点睛】本题主要考查用导数的方法求函数的最值,考查导数的方法研究等式恒成立问题,属于常考题型.24.(1)见解析;(2),a e =. 【分析】 (1)求得()2x af x x='-,分类讨论,即可求解函数的单调性;(2)当1a ≤时,由(1)知()f x 在[]1,e 上单调递增,分1a e <<和a e ≥两种情况讨论,求得函数的最小值,即可求解. 【详解】(1)定义域为()0,+∞,求得()221a x a f x x x x='-=-, 当0a ≤时,()0f x '>,故()f x 在()0,+∞单调递增 ,当0a >时,令()0f x '=,得 x a =,所以当()0,x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减 当(),x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增.(2)当1a ≤时,由(1)知()f x 在[]1,e 上单调递增,所以 ()()min 12f x f a ===(舍去),当1a e <<时,由(1)知()f x 在[]1,a 单调递减,在[],a e 单调递增 所以()()min ln 12f x f a a ==+=,解得a e = (舍去), 当a e ≥时,由(1)知()f x 在[]1,e 单调递减, 所以()()min ln 12a af x f e e e e==+=+=,解得a e = , 综上所述,a e =. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用,其中解答中熟记函数的导数与函数的关系,准确判定函数的单调性,求得函数的最值是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.25.(1)f (x )=x 2-2x -3;(2)1个. 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集,可设f (x )=a (x +1)(x -3),再结合f (x )的最小值为-4即可求出a 的值,得到函数f (x )的解析式;(2)对g (x )求导可以得到g (x )的单调区间,在每个单调区间上研究函数g (x )的零点情况即可. 【详解】(1)∵f (x )是二次函数,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |-1≤x ≤3,x ∈R}, ∴设f (x )=a (x +1)(x -3)=ax 2-2ax -3a ,且a >0. ∴f (x )min =f (1)=-4a =-4,a =1. 故函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-2x -3.(2)由(1)知g (x )=223x x x---4ln x =x -3x -4ln x -2,∴g (x )的定义域为(0,+∞),g ′(x )=1+23x -4x=2(1)(3)x x x --, 令g ′(x )=0,得x 1=1,x 2=3.当x 变化时,g ′(x ),g (x )的取值变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) g ′(x ) +-+g (x )极大值 极小值当x >3时,g (e 5)=e 5-53e-20-2>25-1-22=9>0. 又因为g (x )在(3,+∞)上单调递增, 因而g (x )在(3,+∞)上只有1个零点, 故g (x )仅有1个零点. 【点睛】本题主要考查二次函数和导数在研究函数中的应用. 26.(1)a e >;(2)()f x 有唯一零点;证明见解析. 【分析】(1)先对函数求导,然后结合极值存在条件即可求解;(2)结合导数可判断函数的单调性,然后结合a 的范围及函数的性质可求. 【详解】解:(1)()(1)x e x af x x x-'=-,0x >,设()x g x xe a =-,()(1)0x g x x e '=+>,()g x 在R 递增, 故存在0x 使得0()0g x =,当a e =时,()(1)0x e x af x x x-'=-恒成立,故()f x 单调递增无极值,a e <时,易得0x x <时,()0f x '>,函数()f x 单调递增,01x x <<时,()0f x '<,函数单调递减,当1x >,()0f x '>,函数单调递增, 当1x =时,函数取得极小值,不满足题意;a e >时,易得1x <时,()0f x '>,函数()f x 单调递增,01x x <<,时,()0f x '<,函数单调递减,当0x x >,()0f x '>,函数单调递增,1x =为极大值点 综上:a e >,(2)由(1)知:①a e =时,()f x 在(0,)+∞单调递增,f (2)0<,f (3)0>,()f x 有唯一零点; ②a e <时,0x 满足()0g x =,01x <,()f x 在0(0,)x 递增,在0(x ,1)递减,在(1,)+∞递增,当(0,1)x ∈时,()0f x <恒成立,当(1,)x ∈+∞时,f (1)0<,2(2)(2)(2)0a f a ae aln a a a ++=++-+>,所以23a e a +>+,有唯一零点;③a e >,()f x 在(0,1)上单调递增,0(1,)x 单调递减,0(x ,)+∞单调递增, 0()f x f <(1)0<在0(0,)x 上无零点,在0(x ,)+∞上有唯一零点;综上:0a ,()f x 有唯一零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值及函数零点的研究,体现了分类讨论思想的应用,属于中档题.。

最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)

最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)

一、选择题1.已知函数()()ln 0f x ax x a =->有两个零点1x ,2x ,且122x x <,则a 的取值范围是( )A .2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B .20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .23,ln 3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D .230,ln 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2.已知函数()ln f x x x =-,则()f x 的图象大致为( )A .B .C .D .3.已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上,则实数k 的取值范围是( ) A .1(,1)2B .1(2,2)C .(1,2)-D .(1,3)-4.若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0,则b 的取值范围是( )A .(),8-∞-B .()8,-+∞C .(),8-∞D .()8,+∞5.已知函数()21x f x x-=,则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣>的解集是( )A .2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B .2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .(,0)-∞D .2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6.设12x <<,则ln x x ,2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22ln x x 的大小关系是( ) A .222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B .222ln ln ln x x x x x x⎛⎫<< ⎪⎝⎭C .222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D .222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭7.若实数a ,b 满足0a >,0b >,则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件8.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x ',满足()()f x f x <', 且(1)y f x =+为偶函数,(2)1f =,则不等式()x f x e <的解集为( ) A .4(,)e -∞B .4(,)e +∞C .(,0)-∞D .(0,)+∞9.已知f (x )=-x 3-ax 在(-∞,-1]上递减,且g (x )=2x-ax在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则a 的取值范围是( ) A .2a >-B .3a -≤C .32a -≤<-D .32a --≤≤10.已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++,则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为( ) A .(2,)-+∞B .(1,)-+∞C .(2,1)--D .(,1)-∞-11.函数()21xy x e =-的图象大致是( )A .B .C .D .12.对*n N ∈,设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根,[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=,其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数,则2320202019a a a ++=( )A .1011B .1012C .2019D .2020二、填空题13.现有一块边长为3的正方形铁片,在铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒,则该方盒容积的最大值是______.14.如图所示,ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A ,B ,C ,D 四个点重合于图中的点P ,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积3()V cm 最大,则EF 的长为________cm .15.设()ln f x x =,若函数()()h x f x ax =-在区间()0,8上有三个零点,则实数a 的取值范围______.16.有如下命题:①函数sin y x =与y x =的图象恰有三个交点;②函数sin y x =与y x =③函数sin y x =与2y x 的图象恰有两个交点;④函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点,其中真命题为_____ 17.已知函数2()f x x a =+,ln ()2e xg x x x=+,其中e 为自然对数的底数,若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点,则实数a 的取值范围是________.18.已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是______.19.设函数()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数, ()20f -=,当0x >时,()()0xf x f x '-<,则不等式()0f x >的解集为______________.20.已知函数()ln f x x x =-,若()10f x m -+≤恒成立,则m 的取值范围为__________.三、解答题21.已知函数321()13f x x ax =-+.(1)若函数()1y f x =-是奇函数,直接写出a 的值; (2)求函数()f x 的单调递减区间;(3)若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立,求a 的最大值. 22.已知函数()42ln af x ax x x=--. (1)当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程; (2)若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围; (3)设函数6()eg x x=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围.23.图①是一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形.点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ,M .已知HM = 5 m ,BC = 10 m ,梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍.设∠FMH = θ π(0)4θ<<. (1)求屋顶面积S 关于θ的函数关系式;(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k (k 为正的常数),下部主体造价与其 高度成正比,比例系数为16 k .现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅,试问:当θ为何值时,总造价最低?24.某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ,大棚II 内的地块形状为CDP ,要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜,大棚II 内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 25.设函数21()2x f x x e =. (1)求f (x )的单调区间;(2)若当x ∈[-2,2]时,不等式f (x )>m 恒成立,求实数m 的取值范围. 26.已知函数(),xf x e kx x R =-∈.(1)若k e =,试确定函数()f x 的单调区间; (2)若0k >,且对于任意x ∈R ,()0fx >恒成立,试确定实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】根据已知可进行分离参数后,构造函数,两个零点1x ,2x ,求解a 的范围和切点,可得1201x x <<<,且()()12f x f x =,结合1x 与2x 的大小关系及函数的性质可求1x 的范围,然后结合函数单调性进行求解即可. 【详解】解:函数()()ln 0f x ax x a =-> 有两个零点1x ,2x , 令()0f x =,可得e xa x=令()e xg x x=即()()2e 1x x g x x-'=, 令()0g x '=,可得1x =, 可得当()0,1x ∈时,则()0g x '<, 当()1,x ∈+∞时,则()0g x '>,()g x ∴在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增,可得1201x x <<<, (i )若1102x <<,则21120x x >>>,符合题意; (ii )若1112x <<,则2121x x >>, 根据单调性,可得()()122f x f x <, 即()()112f x f x <,可得1111ln 22ln ax x ax x -<-,1ln 2x ∴>,综合(i )(ii )得,1x 的取值范围是()ln 2,1. 又()g x 在()ln 2,1上单调递减,可得()()ln 2g x g >, 即2ln 2a. 故选:A . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解参数的取值范围,体现了转化思想的应用.导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.2.A解析:A 【解析】函数的定义域为0x ≠ ,当0()ln()x f x x x <⇒=-- ,为增函数,故排除B ,D ,当0()ln x f x x x >⇒=-,'111()x xf x x --==,当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增; 故选A .3.C解析:C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程,然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值,进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y ', 则00,12y y x x +==-,所以02y y =--, 而P 在函数1y kx =-上,所以21y kx --=-,即1y kx =--, 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -,(1)当0x >时,()ln 3f x x x x =-,设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -,()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=,整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+,解得1x =, 所以ln122AC k k =-=-=-; (2)当0x ≤时,()23f x x x =+,设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +,()23123x x f x x k x++'=+=-=,整理可得222331(0)x x x x x +=++≤,解得1x =-,所以2(1)31AB k k =-=-+=, 故21k -<-<,即12k -<<时,在0x >时,函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点; 在0x ≤时,函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点,故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选:C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称,以及直线与曲线相切的斜率,以及函数与方程的关系的综合应用,着重考查数形结合思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.4.B解析:B 【分析】对函数()f x 求导,得到()f x ',然后根据题意得到()0f x '>恒成立,得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++,定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++, 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0, 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立, 所以28b x x>--, 设()28g x x x=--,则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=,得到12x =,舍去负根, 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增, 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以12x =时,()g x 取最大值,为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 所以8b >-,【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率,不等式恒成立,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,属于中档题.5.B解析:B 【分析】由导数确定函数的单调性,利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-,可得21()1f x x '=+,0()x ∈+∞,时,()0f x '>,()f x 单调递增,∵12100x x e e -->>,,故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集. 121x x ->-.∴23x <. 故选:B . 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性,根据单调性解不等式,属于中档题.6.A解析:A 【解析】 试题分析:令,则,所以函数为增函数,所以,所以,即,所以;又因为,所以222ln ln ln ()x x x x x x<<,故应选.考点:1、导数在研究函数的单调性中的应用.7.C解析:C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ,故函数ln y x x =+在0,上单调递增,即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之,由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>”8.D解析:D 【详解】()()()()()0()x xf x f x f xg x g x g x e e '-'=∴=<∴单调递减(1)(1)(0)(2)1f x f x f f +=-+∴==因此()g()(0)0x f x e x g x <⇔<⇔> 故选:D9.C解析:C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立,求出a 的范围,再由()2'2ag x x x=+在(]1,2上有零点,求出a 的范围,综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减,所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立,得23,3x a a -≤∴≥-, 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值,又有最小值, 所以,可知()2'2ag x x x=+在(]1,2上有零点, 也就是极值点,即有解220ax x+=,在(]1,2上解得32a x =-, 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-,故选C. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围,属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法:① 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 10.C解析:C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数,然后求函数的导数,判断函数在[0,)+∞上的单调性,结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可. 【详解】解:2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=,则()f x 是偶函数,()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+,当0x 时,()0f x ',即函数在[0,)+∞上为增函数,则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<,即()()|23|1f x f +<, 则|23|1x +<,得1231x -<+<,得21x -<<-, 即不等式的解集为(2,1)--, 故选:C . 【点睛】本题主要考查不等式的求解,结合条件判断函数的奇偶性和单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键.属于中档题.11.A解析:A 【分析】根据函数图象,当12x <时,()210xy x e =-<排除CD ,再求导研究函数单调性得()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,排除B 得答案.【详解】 解:因为12x <时,()210xy x e =-<,所以C ,D 错误; 因为()'21xy x e =+, 所以当12x <-时,'0y <, 所以()21xy x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减, 所以A 正确,B 错误. 故选:A. 【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响,并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题.已知函数的解析式求函数的图像,常见的方法是,通过解析式得到函数的值域和定义域,进行排除,由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性,或者中心对称性,进行排除,还可以代入特殊点,或者取极限.12.A解析:A【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-,求得函数的导数,判断函数的导数,求出方程根的取值范围,进而结合等差数列的求和公式,即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-,则()232f x nx '=+,当n 时正整数时,可得()0f x '>,则()f x 为增函数, 因为当2n ≥时,()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++, 且()120f =>,所以当2n ≥时,方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+, 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=, 因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选:A. 【点睛】方法点睛:构造新函数()32f x nx x n =+-,结合导数和零点的存在定理,求得当2n ≥时,方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+是解答的关键. 二、填空题13.【分析】根据题意得到方盒底面是正方形边长为高为建立方盒容积的函数模型为再用导数法求解最值【详解】由题意得:方盒底面是正方形边长为高为所以方盒的容积为当时时所以当时取得最大值最大值为2故答案为:2【点 解析:2【分析】根据题意得到方盒底面是正方形,边长为32x -,高为x ,建立方盒容积的函数模型为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<,再用导数法求解最值. 【详解】由题意得:方盒底面是正方形,边长为32x -,高为x ,所以方盒的容积为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<, 213122491222V x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当102x <<时,0V '>,1322x <<时,0V '<,所以当12x =时,V 取得最大值,最大值为2. 故答案为:2 【点睛】本题主要考查导数的实际问题中的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.14.【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积 解析:10【分析】设EF x =cm ,根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式,利用导数研究体积(x)V 的最大值即可. 【详解】设EF x =cm ,则302x AE BF -== cm ,包装盒的高为22GE x = cm , 因为302x AE AH -==cm ,2A π∠=,所以包装盒的底面边长为2=(30)2HE x - cm ,所以包装盒的体积为232222()[(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+,030x <<, 则22()(3120900)4V x x x '=-+,令()0V x '=解得10x =, 当(0,10)x ∈时,()0V x '>,函数(x)V 单调递增;当(10,30)x ∈时,()0V x '<,函数(x)V 单调递减,所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=,即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为:10【点睛】本题考查柱体的体积,利用导数解决面积、体积最大值问题,属于中档题.15.【分析】画出函数图像计算直线和函数相切时和过点的斜率根据图像得到答案【详解】故画出图像如图所示:当直线与函数相切时设切点为此时故解得;当直线过点时斜率为故故答案为:【点睛】本题考查了根据函数零点个数解析:3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】()f x ax =,画出函数图像,计算直线和函数相切时和过点()8,ln8的斜率,根据图像得到答案. 【详解】()()0h x f x ax =-=,故()f x ax =,画出图像,如图所示:当直线与函数相切时,设切点为()00,x y ,此时()ln f x x =,()1'f x x=, 故01a x =,00y ax =,00ln y x =,解得0x e =,01y =,1a e=; 当直线过点()8,ln8时,斜率为3ln 28k =,故3ln 218a e<<. 故答案为:3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16.②③④【分析】①构造函数求出函数的导数研究函数的导数和单调性进行判断即可;②利用与x 的关系进行转化判断;③设函数利用导数研究其单调性根据零点存在原理得出零点个数判断其真假④设函数利用导数研究其单调性解析:②③④ 【分析】①构造函数()sin f x x x =-,求出函数的导数,研究函数的导数和单调性,进行判断即可;②x 的关系进行转化判断;③设函数()2sin g x x x =-,利用导数研究其单调性,根据零点存在原理得出零点个数,判断其真假.④设函数()3sin h x x x =-,利用导数研究其单调性,根据零点存在原理得出零点个数,判断其真假. 【详解】①设()sin f x x x =-,则()cos 10f x x '=-≤,即函数()f x 为减函数, ∵()0=0f ,∴函数()f x 只有一个零点,即函数sin y x =与y x =的图象恰有一个交点,故①错误, ②由①知当0x >时,sin x x <,当01x <≤sin x x >>,当1x >sin x >,当0x =sin x =,综上当0x >sin x >恒成立,函数sin y x =与y =②正确,③设函数()2sin g x x x =-,则()cos 2g x x x '=-, 又()sin 20g x x ''=--<,所以()g x '在R 上单调递减. 又()01g '=,02g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '= 即当0x x <时,()0g x '>,函数()g x 单调递增. 当0x x >时,()0g x '<,函数()g x 单调递减. 由函数()g x 在()0,x -∞上单调递增且()00g =,所以函数()g x 在(]0-∞,上有且只有一个零点. 由()00g =,函数()g x 在()0,x -∞上单调递增,则()00g x >又21024g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,且函数()g x 在()0x +∞,上单调递减. 所以()g x 在()0x +∞,上有且只有一个零点. 即()g x 在()0+∞,上有且只有一个零点. 所以()g x 有2个零点,即函数sin y x =与2yx 的图象恰有两个交点,故③正确.④设函数()3sin h x x x =-,()h x 为奇函数,且()00h =.所以只需研究()h x 在()0+∞,上的零点个数即可. 则()2cos 3h x x x '=-,则()sin 6h x x x ''=--,所以()cos 60h x x '''=--<,所以()h x ''在()0+∞,上单调递减. 所以当()0x ∈+∞,时,()()00h x h ''''<=,则()h x '在()0+∞,上单调递减. 又()01h '=,203024h ππ⎛⎫'=-⨯< ⎪⎝⎭. 所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00h x '=. 即当00x x <<时,()0h x '>,函数()h x 单调递增. 当0x x >时,()0h x '<,函数()h x 单调递减.()00h =,由函数()h x 在()00x ,上单调递增,则()00h x >又31028h ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,且函数()h x 在()0x +∞,上单调递减. 所以()h x 在()0x +∞,上有且只有一个零点. 即()h x 在()0+∞,上有且只有一个零点. 由()h x 为奇函数,所以()h x 在()0-∞,上有且只有一个零点,且()00h =. 所以()h x 有3个零点,即函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点,故④正确. 故答案为:②③④. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断,涉及函数零点个数,利用数形结合或构造函数,利用导数是解决本题的关键.属于中档题.17.【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析:21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点,分别作出图象,观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点,从而构建不等式,解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点,等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点, 对函数ln x y x =求导,得21ln xy x-'=,()0,x e ∈,0y '>, 函数ln xy x=单调递增;(),x e ∈+∞,0y '<, 函数ln xy x =单调递减,在x e =处取得极大值,也是最大值为1e, 对二次函数22y x ex a =-+,其对称轴为x e =,顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象,其若要有两个交点,则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为:21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围,属于中档题.18.【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数;当时函数为减函数;极大值为且;作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即;故答案为:【解析:1(0,)2【分析】作出函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象,结合图象可求实数m 的取值范围. 【详解】当0x >时,2ln ()xf x x'=-,当01x <<时,()0f x '>,函数为增函数; 当1x >时,()0f x '<,函数为减函数;极大值为(1)1f =,且x →+∞,()0f x →;作出函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象,如图,方程2()2()0()f x mf x m R -=∈,则()0f x =或()2f x m =,由图可知()0f x =时,有2个解,所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根,只需要021m <<,即102m <<; 故答案为:1(0,)2. 【点睛】本题主要考查导数的应用,利用研究方程根的问题,作出函数的简图是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.19.【分析】根据当时构造函数求导在上是减函数再根据是奇函数在上是增函数由写出的解集【详解】设所以因为当时则所以在上是减函数又因为是奇函数所以在上是增函数因为所以所以当或时所以不等式的解集为故答案为:【点 解析:(),2(0,2)-∞-⋃【分析】根据当0x >时,()()0xf x f x '-<,构造函数()()f x g x x=,求导 ()()()20xf x f x g x x'-'=<,()g x 在()0,∞+上是减函数,再根据()f x 是奇函数,()g x 在(),0-∞上是增函数,由()20f -=,()20f =,写出()0f x >的解集.【详解】 设()()f x g x x=, 所以()()()2xf x f x g x x '-'=,因为当0x >时,()()0xf x f x '-<,则()0g x '<, 所以()g x 在()0,∞+上是减函数,又因为()f x 是奇函数,所以()g x 在(),0-∞上是增函数, 因为()20f -=,所以()20f =, 所以当2x <- 或02x <<时,()0f x >, 所以不等式()0f x >的解集为(),2(0,2)-∞-⋃. 故答案为:(),2(0,2)-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查构造函数,用导数研究函数的单调性解不等式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20.【分析】把代入即恒成立构造利用导数研究最值即得解【详解】则恒成立等价于令因此在单调递增在单调递减故故答案为:【点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用考查了学生转化与划归数学运算的能力属于中 解析:[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-,代入()10f x m -+≤,即ln 1m x x ≥-+恒成立,构造()ln 1g x x x =-+,利用导数研究最值,即得解.【详解】()ln f x x x =-,则()10f x m -+≤恒成立,等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增,在(1)+∞,单调递减, 故max ()(1)00g x g m ==∴≥ 故答案为:[)0,+∞ 【点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用,考查了学生转化与划归,数学运算的能力,属于中档题.三、解答题21.(1)0;(2)当0a =时,无递减区间;当0a >时,()f x 的单调递减区间是(0,2)a ;当0a <时,()f x 的单调递减区间是(2,0)a ;(3)1.【分析】(1)令()32(113)x ax g x f x =-=-,根据函数()1y f x =-是奇函数,由()()g x g x -=-求解.(2)求导2()2f x x ax '=-,分0a =,0a >和0a <三种情况,由()0f x '<求解. (3)将()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立,转化为13a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立求解. 【详解】(1)已知函数321()13f x x ax =-+,所以()32(113)x ax g x f x =-=-, 因为函数()1y f x =-是奇函数, 所以()()g x g x -=-,即32321133x ax x ax ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭-, 所以220ax =, 解得0a =.(2)2()2f x x ax '=-.当0a =时,()0f x '≥,()f x 在(,)-∞+∞内单调递增; 当0a >时,由()0f x '<得:02x a <<; 当0a <时,由()0f x '<得:20a x <<.综上所述,当0a =时,无递减区间;当0a >时,()f x 的单调递减区间是(0,2)a ; 当0a <时,()f x 的单调递减区间是(2,0)a . (3)因为()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立,即32103x ax -≥在区间[3,)+∞上恒成立. 所以13a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立. 因为3x ≥,所以113x ≥. 所以1a ≤.所以若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立,a 的最大值为1. 【点睛】方法点睛:恒(能)成立问题的解法: 若()f x 在区间D 上有最值,则(1)恒成立:()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>;()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<; (2)能成立:()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>;()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数,即将问题转化为:()a f x >(或()a f x <),则 (1)恒成立:()()max a f x a f x >⇔>;()()min a f x a f x <⇔<; (2)能成立:()()min a f x a f x >⇔>;()()max a f x a f x <⇔<; 22.(1) 3y x = (2) 1[,)2+∞(3)28(,)41ee +∞- 【分析】(1)求出f (x )的导数,求出f′(1),f (1),代入切线方程即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性,从而求出a 的具体范围;(3)构造函数ϕ(x )=f (x )﹣g (x ),x ∈[1,e],只需ϕ(x )max >0,根据函数的单调性求出ϕ(x )max ,从而求出a 的范围. 【详解】(1)解: 当1a =时,()142ln f x x x x =--,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x=+-, 曲线()f x 在点()()1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =(2)解: ()222242'4a ax x a f x a x x x-+=+-=. 令()242h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时()242h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()211444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其对称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12时,()h x ≥0,()'f x ≥0,所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (3)解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由(2)可知a ≥12时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e e φφ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭,则2288214142eea e e e >>=>-,此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤2841e e -时,因为[]1,x e ∈,140x x->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤281642ln 41e ex x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤281642ln 041e ee e e e e⎛⎫---= ⎪-⎝⎭, 即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是28,41e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 23.(1)1600cos 4S πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭;(2)当θ为π6时该别墅总造价最低 【分析】(1)由题知FH ⊥HM ,在Rt △FHM 中,所以5FM cos θ=,得△FBC 的面积25cos θ,从而得到屋顶面积FBC ABFE 160S 2S2S cos θ梯形=+=;(2)别墅总造价为y S k h 16k =⋅+⋅=2sin θ80k 96k cos θ-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭,令()2sin θf θcos θ-=,求导求最值即可 【详解】(1)由题意FH ⊥平面ABCD ,FM ⊥BC , 又因为HM ⊂平面ABCD ,得FH ⊥HM .在Rt △FHM 中,HM = 5,FMH θ∠=,所以5FM cos θ=. 因此△FBC 的面积为1525102cos θcos θ⨯⨯=. 从而屋顶面积FBC ABFE S 2S2S =+梯形 252516022 2.2cos θcos θcos θ=⨯+⨯⨯=. 所以S 关于θ的函数关系式为160S cos θ=(π0θ4<<). (2)在Rt △FHM 中,FH 5tan θ=,所以主体高度为h 65tan θ=-. 所以别墅总造价为y S k h 16k =⋅+⋅()160k 65tan θ16k cos θ=⋅+-⋅ 16080sin θk k 96k cos θcos θ=-+ 2sin θ80k 96k cos θ-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭记()2sin θf θcos θ-=,π0θ4<<, 所以()22sin θ1f θcos θ-=', 令()f θ0'=,得1sin θ2=,又π0θ4<<,所以πθ6=. 列表:θπ06⎛⎫ ⎪⎝⎭, π6ππ64⎛⎫ ⎪⎝⎭, ()f θ'-+()f θ3所以当πθ6=时,()f θ有最小值. 答:当θ为π6时该别墅总造价最低. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题,将空间问题平面化,准确将S 表示为θ函数是关键,求最值要准确,是中档题24.(1)()8004cos cos sin θθθ+, ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭;(2)6π. 【解析】分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果,最后根据实际意义确定sin θ的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根据单调性确定函数最值取法.详解:解:(1)连结PO 并延长交MN 于H ,则PH ⊥MN ,所以OH =10.过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE =θ, 故OE =40cos θ,EC =40sin θ,则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10)=800(4sin θcos θ+cos θ), △CDP 的面积为12×2×40cos θ(40–40sin θ)=1600(cos θ–sin θcos θ). 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ,则GK =KN =10. 令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6). 当θ∈[θ0,π2)时,才能作出满足条件的矩形ABCD , 所以sin θ的取值范围是[14,1). 答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ),sin θ的取值范围是[14,1). (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ,乙的单位面积的年产值为3k (k >0), 则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ) =8000k (sin θcos θ+cos θ),θ∈[θ0,π2). 设f (θ)= sin θcos θ+cos θ,θ∈[θ0,π2), 则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+.令()'=0f θ,得θ=π6, 当θ∈(θ0,π6)时,()'>0f θ,所以f (θ)为增函数; 当θ∈(π6,π2)时,()'<0f θ,所以f (θ)为减函数, 因此,当θ=π6时,f (θ)取到最大值. 答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 点睛:解决实际应用题的步骤一般有两步:一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解决问题.25.(1)(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间,(2,0)()f x -为的减区间. (2)m <0 . 【详解】解:(1)21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间, (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. (2)x ∈[-2,2]时,不等式f (x )>m 恒成立等价于min ()f x >m,令:21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+=∴x=0和x=-2,由(1)知x=-2是极大值点,x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m <026.(1)增区间是()1,+∞,递减区间是(),1-∞;(2)0k e <<. 【详解】试题分析:(1)借助题设条件运用导数与函数单调性之间的关系求解;(2)借助题设运用等价转化的思想及导数的知识求解. 试题(1)由k e =得()xf x e ex =-,所以()x f x e e '=-.由()'0fx >得1x >,故()f x 的单调递增区间是()1,+∞, 由()'0f x <得1x <,故()f x 的单调递减区间是(),1-∞.(2)由()()fx f x -=可知()f x 是偶函数. 于是等价于()0f x >对任意0x ≥成立.由()0xf x e k ='-=得ln x k =.①当(]0,1k ∈时,()()100xf x e k k x =->-≥≥',此时()f x 在[)0,+∞上单调递增. 故()()010f x f ≥=>,符合题意. ②当()1,k ∈+∞时,ln 0k >.当x 变化时()'fx ,()f x 的变化情况如下表:由此可得,在0,+∞上,ln ln f x f k k k k ≥=- 依题意,ln 0k k k ->,又1,1k k e >∴<<.<<.综合①②得,实数k的取值范围是0k e也可以分离用最值研究.考点:导数与函数的单调性之间的关系及分析转化法等有关知识和方法的综合运用.。

【精品高中数学必修第二册】1.2 导数的计算1.2.1-1.2.2 Word版含答案

【精品高中数学必修第二册】1.2 导数的计算1.2.1-1.2.2 Word版含答案

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1.能根据定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.[知识链接]在前面,我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数,那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢?类比用导数定义求函数在某点处导数的方法,如何用定义求函数y=f(x)的导数?答(1)计算ΔyΔx,并化简;(2)观察当Δx趋近于0时,ΔyΔx趋近于哪个定值;(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y=f(x)的导数.[预习导引]1.几个常用函数的导数2.基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)=2 013x2的导数.解f′(x)=limΔx→02 013(x+Δx)2-2 013x2x+Δx-x=limΔx→02 013[x2+2x·Δx+(Δx)2]-2 013x2Δx=limΔx→04 026x·Δx+2 013(Δx)2Δx=limΔx→0(4 026x+2 013Δx)=4 026x.规律方法 解答此类问题,应注意以下几条: (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤. (2)当Δx 趋于0时,k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 跟踪演练1 用导数的定义求函数y =x 2+ax +b (a ,b 为常数)的导数. 解 y ′=lim Δx →0 (x +Δx )2+a (x +Δx )+b -(x 2+ax +b )Δx =lim Δx →0 x 2+2x ·Δx +(Δx )2+ax +a ·Δx +b -x 2-ax -b Δx =lim Δx →0 2x ·Δx +a ·Δx +(Δx )2Δx =lim Δx →0(2x +a +Δx )=2x +a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y =sin π3;(2)y =5x ;(3)y =1x 3;(4)y =4x 3;(5)y =log 3x . 解 (1)y ′=0; (2)y ′=(5x )′=5x ln 5; (3)y ′=(x -3)′=-3x -4;(4)y ′=⎝⎛⎭⎫4x 3′=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′=34x -14=344x ; (5)y ′=(log 3x )′=1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.跟踪演练2 求下列函数的导数:(1)y =x 8;(2)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ;(3)y =x x ;(4)y =log 13x .解 (1)y ′=8x 7;(2)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2;(3)∵y =x x =x 32,∴y ′=32x 12; (4) y ′=1x ln 13=-1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y =sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,12且与过这点的切线垂直的直线方程.解 ∵y =sin x ,∴y ′=cos x , 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,12处的切线斜率是:y ′|x =π6=cos π6=32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为-23, 故所求的直线方程为y -12=-23⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6,即2x +3y -32-π3=0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率;相互垂直的直线斜率乘积等于-1是解题的关键.跟踪演练3 已知点P (-1,1),点Q (2,4)是曲线y =x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y =x 2的切线方程.解 ∵y ′=(x 2)′=2x ,设切点为M (x 0,y 0), 则y ′|x =x 0=2x 0,又∵PQ 的斜率为k =4-12+1=1,而切线平行于PQ ,∴k =2x 0=1,即x 0=12,所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14.∴所求的切线方程为y -14=x -12,即4x -4y -1=0.1.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( )A .0B .2xC .6D .9答案 C解析 ∵f (x )=x 2,∴f ′(x )=2x ,∴f ′(3)=6. 2.函数f (x )=x ,则f ′(3)等于( ) A.36 B .0 C .12xD .32答案 A解析 ∵f ′(x )=(x )′=12x,∴f ′(3)=123=36. 3.设正弦曲线y =sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π B .[0,π)C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,3π4D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′=cos x ,∵k l =cos x ,∴-1≤k l ≤1, ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π.4.曲线y =e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 答案 12e 2解析 ∵y ′=(e x )′=e x ,∴k =e 2,∴曲线在点(2,e 2)处的切线方程为y -e 2=e 2(x -2), 即y =e 2x -e 2.当x =0时,y =-e 2,当y =0时,x =1. ∴S △=12×1×||-e 2=12e 2.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y =1-2sin 2x 2的导数.因为y =1-2sin 2x2=cos x , 所以y ′=(cos x )′=-sin x .3.对于正、余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.一、基础达标1.下列结论中正确的个数为( )①y =ln 2,则y ′=12;②y =1x 2,则y ′|x =3=-227;③y =2x ,则y ′=2x ln 2;④y =log 2x ,则y ′=1x ln 2. A .0 B .1 C .2 D .3答案 D解析 ①y =ln 2为常数,所以y ′=0.①错.②③④正确.2.过曲线y =1x 上一点P 的切线的斜率为-4,则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2或⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-2 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-2D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-2答案 B解析 y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′=-1x 2=-4,x =±12,故选B. 3.已知f (x )=x a ,若f ′(-1)=-4,则a 的值等于( ) A .4 B .-4 C .5 D .-5答案 A解析 f ′(x )=ax a -1,f ′(-1)=a (-1)a -1=-4,a =4.4.函数f (x )=x 3的斜率等于1的切线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .不确定答案 B解析 ∵f ′(x )=3x 2,设切点为(x 0,y 0),则3x 20=1,得x 0=±33,即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33,39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,-39处有斜率为1的切线.5.曲线y =9x 在点M (3,3)处的切线方程是________.答案 x +y -6=0解析 ∵y ′=-9x 2,∴y ′|x =3=-1, ∴过点(3,3)的斜率为-1的切线方程为: y -3=-(x -3)即x +y -6=0.6.若曲线y =x -12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,a -12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a =________. 答案 64解析 ∵y =x -12,∴y ′=-12x -32,∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,a -12处的切线斜率k =-12a -32,∴切线方程为y -a -12=-12a -32(x -a ). 令x =0得y =32a -12;令y =0得x =3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S =12·3a ·32a -12=94a 12=18,∴a =64. 7.求下列函数的导数:(1) y =5x 3;(2)y =1x 4;(3)y =-2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2cos 2x 4; (4)y =log 2x 2-log 2x .解 (1)y ′=⎝⎛⎭⎫5x 3′=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′=35x 35-1=35x -25=355x 2. (2)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′=(x -4)′=-4x -4-1=-4x -5=-4x 5.(3)∵y =-2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2cos 2x 4=2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4-1=2sin x 2cos x 2=sin x ,∴y ′=(sin x )′=cos x . (4)∵y =log 2x 2-log 2x =log 2x , ∴y ′=(log 2x )′=1x ·ln 2. 二、能力提升8.已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线,则实数k 的值为( ) A.1e B .-1e C .-e D .e答案 D解析y ′=e x ,设切点为(x 0,y 0),则⎩⎨⎧y 0=kx 0y 0=e x 0k =e x 0.∴e x 0=e x 0·x 0,∴x 0=1,∴k =e.9.曲线y =ln x 在x =a 处的切线倾斜角为π4,则a =________. 答案 1解析 y ′=1x ,∴y ′|x =a =1a =1,∴a =1.10.点P 是曲线y =e x 上任意一点,则点P 到直线y =x 的最小距离为________. 答案 22 解析根据题意设平行于直线y =x 的直线与曲线y =e x 相切于点(x 0,y 0),该切点即为与y =x 距离最近的点,如图.则在点(x 0,y 0)处的切线斜率为1,即y ′|x =x 0=1.∵y ′=(e x )′=e x ,∴e x 0=1,得x 0=0,代入y =e x ,得y 0=1,即P (0,1).利用点到直线的距离公式得距离为22.11.已知f (x )=cos x ,g (x )=x ,求适合f ′(x )+g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )=cos x ,g (x )=x ,∴f ′(x )=(cos x )′=-sin x ,g ′(x )=x ′=1, 由f ′(x )+g ′(x )≤0,得-sin x +1≤0, 即sin x ≥1,但sin x ∈[-1,1], ∴sin x =1,∴x =2k π+π2,k ∈Z .12.已知抛物线y =x 2,直线x -y -2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离. 解 根据题意可知与直线x -y -2=0平行的抛物线y =x 2的切线,对应的切点到直线x -y -2=0的距离最短,设切点坐标为(x 0,x 20),则y ′|x =x 0=2x 0=1,所以x 0=12,所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14,切点到直线x -y -2=0的距离 d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-14-22=728,所以抛物线上的点到直线x -y -2=0的最短距离为728. 三、探究与创新13.设f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f ′0(x ),f 2(x )=f ′1(x ),…,f n +1(x )=f ′n (x ),n ∈N ,试求f 2 014(x ).解 f 1(x )=(sin x )′=cos x ,f2(x)=(cos x)′=-sin x,f3(x)=(-sin x)′=-cos x,f4(x)=(-cos x)′=sin x,f5(x)=(sin x)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,f n+4(x)=f n(x),可知周期为4,∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x.1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式,这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松.我们已经会求f(x)=5和g(x)=1.05x等基本初等函数的导数,那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢?答利用导数的运算法则.[预习导引]1.导数运算法则2.复合函数的求导法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数:(1) y=x3-2x+3;(2)y=(x2+1)(x-1);(3)y=3x-lg x.解(1)y′=(x3)′-(2x)′+3′=3x2-2.(2)∵y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1,∴y′=(x3)′-(x2)′+x′-1′=3x2-2x+1.(3)函数y=3x-lg x是函数f(x)=3x与函数g(x)=lg x的差.由导数公式表分别得出f′(x)=3x ln 3,g′(x)=1x ln 10,利用函数差的求导法则可得(3x-lg x)′=f′(x)-g′(x)=3x ln 3-1x ln 10.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题,求导过程要紧扣求导法则,联系基本函数求导法则,对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数.跟踪演练1求下列函数的导数:(1)y=5-4x3;(2)y=3x2+x cos x;(3)y=e x·ln x;(4)y=lg x-1 x2.解(1)y′=-12x2;(2)y′=(3x2+x cos x)′=6x+cos x-x sin x;(3)y′=e xx+ex·ln x;(4)y′=1x ln 10+2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数:(1)y=ln(x+2);(2)y=(1+sin x)2;解(1)y=ln u,u=x+2∴y′x=y′u·u′x=(ln u)′·(x+2)′=1u·1=1x+2.(2)y=u2,u=1+sin x,∴y x′=y u′·u x′=(u2)′·(1+sin x)′=2u·cos x=2cos x(1+sin x).规律方法应用复合函数的求导法则求导,应注意以下几个方面:(1)中间变量的选取应是基本函数结构.(2)正确分析函数的复合层次,并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导.(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导.(4)善于把一部分表达式作为一个整体.(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后,就不必再写中间步骤.跟踪演练2(1)y=e2x+1;(2)y=(x-2)2.解(1)y=e u,u=2x+1,∴y′x=y′u·u′x=(e u)′·(2x+1)′=2e u=2e2x+1.(2)法一∵y=(x-2)2=x-4x+4,∴y′=x′-(4x)′+4′=1-4×12x-12=1-2x.法二 令u =x -2,则y x ′=y u ′·u x ′=2(x -2)·(x -2)′= 2(x -2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x -0=1-2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1,-1)与曲线f (x )=x 3-2x 相切的直线方程. 解 设P (x 0,y 0)为切点,则切线斜率为 k =f ′(x 0)=3x 20-2故切线方程为y -y 0=(3x 20-2)(x -x 0) ① ∵(x 0,y 0)在曲线上,∴y 0=x 30-2x 0 ②又∵(1,-1)在切线上, ∴将②式和(1,-1)代入①式得-1-(x 30-2x 0)=(3x 20-2)(1-x 0).解得x 0=1或x 0=-12.故所求的切线方程为y +1=x -1或y +1=-54(x -1). 即x -y -2=0或5x +4y -1=0.规律方法 (1,-1)虽然在曲线上,但是经过该点的切线不一定只有一条,即该点有可能是切点,也可能是切线与曲线的交点,解题时注意不要失解. 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )=t -1t 2+2t 2(位移单位:m ,时间单位:s),求t =3 s 时物体的瞬时速度. 解 ∵s (t )=t -1t 2+2t 2=t t 2-1t 2+2t 2=1t -1t 2+2t 2, ∴s ′(t )=-1t 2+2·1t 3+4t , ∴s ′(3)=-19+227+12=32327,即物体在t =3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1.下列结论不正确的是( )A .若y =3,则y ′=0B .若f (x )=3x +1,则f ′(1)=3C .若y =-x +x ,则y ′=-12x+1D .若y =sin x +cos x ,则y ′=cos x +sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解.D 项,∵y =sin x +cos x , ∴y ′=(sin x )′+(cos x )′=cos x -sin x . 2.函数y =cos x1-x的导数是( ) A.-sin x +x sin x(1-x )2B.x sin x -sin x -cos x(1-x )2C .cos x -sin x +x sin x(1-x )2D.cos x -sin x +x sin x1-x答案 C解析 y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1-x ′=(-sin x )(1-x )-cos x ·(-1)(1-x )2=cos x -sin x +x sin x(1-x )2.3.曲线y =xx +2在点(-1,-1)处的切线方程为( )A .y =2x +1B .y =2x -1C .y =-2x -3D .y =-2x +2答案 A解析∵y′=x′(x+2)-x(x+2)′(x+2)2=2(x+2)2,∴k=y′|x=-1=2(-1+2)2=2,∴切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.直线y=12x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=________.答案ln 2-1解析设切点为(x0,y0),∵y′=1x,∴12=1x0,∴x0=2,∴y0=ln 2,ln 2=12×2+b,∴b=ln 2-1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析出函数解析式的结构特征,根据导数运算法则,联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求导数,进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1.设y=-2e x sin x,则y′等于()A.-2e x cos x B.-2e x sin xC.2e x sin x D.-2e x(sin x+cos x)答案D解析y′=-2(e x sin x+e x cos x)=-2e x(sin x+cos x).2.当函数y=x2+a2x(a>0)在x=x0处的导数为0时,那么x0=()A.a B.±aC .-aD .a 2答案 B解析 y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+a 2x ′=2x ·x -(x 2+a 2)x 2=x 2-a 2x 2,由x 20-a 2=0得x 0=±a .3.设曲线y =x +1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a 等于( )A .2B .12 C .-12 D .-2答案 D解析 ∵y =x +1x -1=1+2x -1,∴y ′=-2(x -1)2.∴y ′|x =3=-12. ∴-a =2,即a =-2.4.已知曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为k ,则当k =3时的P 点坐标为( ) A .(-2,-8) B .(-1,-1)或(1,1) C .(2,8) D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-18答案 B解析 y ′=3x 2,∵k =3,∴3x 2=3,∴x =±1, 则P 点坐标为(-1,-1)或(1,1).5.设函数f (x )=g (x )+x 2,曲线y =g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为________. 答案 4解析 依题意得f ′(x )=g ′(x )+2x , f ′(1)=g ′(1)+2=4.6.已知f (x )=13x 3+3xf ′(0),则f ′(1)=________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数,所以f ′(x )=x 2+3f ′(0),令x =0,则f ′(0)=0, ∴f ′(1)=12+3f ′(0)=1. 7.求下列函数的导数: (1)y =(2x 2+3)(3x -1); (2)y =x -sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′=(2x 2+3)′(3x -1)+(2x 2+3)(3x -1)′=4x (3x -1)+3(2x 2+3)=18x 2-4x +9.法二 ∵y =(2x 2+3)(3x -1)=6x 3-2x 2+9x -3, ∴y ′=(6x 3-2x 2+9x -3)′=18x 2-4x +9. (2)∵y =x -sin x 2cos x 2=x -12sin x , ∴y ′=x ′-⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′=1-12cos x .二、能力提升8.曲线y =sin x sin x +cos x -12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0处的切线的斜率为( )A .-12 B .12 C .-22 D .22答案 B解析 y ′=cos x (sin x +cos x )-sin x (cos x -sin x )(sin x +cos x )2=1(sin x +cos x )2,故y ′|x =π4=12,∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0处的切线的斜率为12.9.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A .[0,π4)B .[π4,π2)C .(π2,3π4]D .[3π4,π)答案 D解析 y ′=-4e x (e x +1)2=-4e x e 2x +2e x +1,设t =e x∈(0,+∞),则y ′=-4t t 2+2t +1=-4t +1t +2,∵t +1t ≥2,∴y ′∈[-1,0),α∈[3π4,π).10.(2020·江西)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________. 答案 2解析 令t =e x ,则x =ln t ,所以函数为f (t )=ln t +t ,即f (x )=ln x +x ,所以f ′(x )=1x +1,即f ′(1)=11+1=2.11.求过点(2,0)且与曲线y =x 3相切的直线方程.解 点(2,0)不在曲线y =x 3上,可令切点坐标为(x 0,x 30).由题意,所求直线方程的斜率k =x 30-0x 0-2=y ′|x =x 0=3x 20,即x 30x 0-2=3x 20,解得x 0=0或x 0=3.当x 0=0时,得切点坐标是(0,0),斜率k =0,则所求直线方程是y =0; 当x 0=3时,得切点坐标是(3,27),斜率k =27, 则所求直线方程是y -27=27(x -3), 即27x -y -54=0.综上,所求的直线方程为y =0或27x -y -54=0.12.已知曲线f (x )=x 3-3x ,过点A (0,16)作曲线f (x )的切线,求曲线的切线方程. 解 设切点为(x 0,y 0),则由导数定义得切线的斜率k =f ′(x 0)=3x 20-3, ∴切线方程为y =(3x 20-3)x +16, 又切点(x 0,y 0)在切线上,∴y 0=3(x 20-1)x 0+16, 即x 30-3x 0=3(x 20-1)x 0+16,解得x 0=-2,∴切线方程为9x -y +16=0. 三、探究与创新13.设函数f (x )=ax -bx ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值. (1)解 由7x -4y -12=0得y =74x -3. 当x =2时,y =12,∴f (2)=12, ①又f ′(x )=a +bx 2, ∴f ′(2)=74, ② 由①,②得⎩⎪⎨⎪⎧2a -b 2=12a +b 4=74.解之得⎩⎨⎧a =1b =3.故f (x )=x -3x .(2)证明 设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3x 2知 曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为 y -y 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3x 20(x -x 0),即y -⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-3x 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3x 20(x -x 0). 令x =0得y =-6x 0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-6x 0.令y =x 得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0). 所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪-6x 0||2x 0=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1.能根据定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.[知识链接]在前面,我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数,那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢?类比用导数定义求函数在某点处导数的方法,如何用定义求函数y=f(x)的导数?答(1)计算ΔyΔx,并化简;(2)观察当Δx趋近于0时,ΔyΔx趋近于哪个定值;(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y=f(x)的导数.[预习导引]1.几个常用函数的导数2.基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)=2 013x2的导数.解f′(x)=limΔx→02 013(x+Δx)2-2 013x2x+Δx-x=limΔx→02 013[x2+2x·Δx+(Δx)2]-2 013x2Δx=limΔx→04 026x·Δx+2 013(Δx)2Δx=lim Δx →0 (4 026x +2 013Δx ) =4 026x .规律方法 解答此类问题,应注意以下几条: (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤. (2)当Δx 趋于0时,k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 跟踪演练1 用导数的定义求函数y =x 2+ax +b (a ,b 为常数)的导数. 解 y ′=lim Δx →0 (x +Δx )2+a (x +Δx )+b -(x 2+ax +b )Δx =lim Δx →0 x 2+2x ·Δx +(Δx )2+ax +a ·Δx +b -x 2-ax -b Δx =lim Δx →0 2x ·Δx +a ·Δx +(Δx )2Δx =lim Δx →0(2x +a +Δx )=2x +a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y =sin π3;(2)y =5x ;(3)y =1x 3;(4)y =4x 3;(5)y =log 3x . 解 (1)y ′=0; (2)y ′=(5x )′=5x ln 5; (3)y ′=(x -3)′=-3x -4;(4)y ′=⎝⎛⎭⎫4x 3′=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′=34x -14=344x ; (5)y ′=(log 3x )′=1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.跟踪演练2 求下列函数的导数:(1)y =x 8;(2)y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ;(3)y =x x ;(4)y =log 13x .解 (1)y ′=8x 7;(2)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2;(3)∵y =x x =x 32,∴y ′=32x 12; (4) y ′=1x ln 13=-1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y =sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,12且与过这点的切线垂直的直线方程.解 ∵y =sin x ,∴y ′=cos x , 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,12处的切线斜率是:y ′|x =π6=cos π6=32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为-23, 故所求的直线方程为y -12=-23⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6,即2x +3y -32-π3=0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率;相互垂直的直线斜率乘积等于-1是解题的关键.跟踪演练3 已知点P (-1,1),点Q (2,4)是曲线y =x 2上的两点,求与直线PQ 平行的曲线y =x 2的切线方程.解 ∵y ′=(x 2)′=2x ,设切点为M (x 0,y 0), 则y ′|x =x 0=2x 0, 又∵PQ 的斜率为k =4-12+1=1,而切线平行于PQ , ∴k =2x 0=1,即x 0=12,所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14.∴所求的切线方程为y -14=x -12,即4x -4y -1=0.1.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C .6 D .9答案 C解析 ∵f (x )=x 2,∴f ′(x )=2x ,∴f ′(3)=6. 2.函数f (x )=x ,则f ′(3)等于( ) A.36 B .0 C .12xD .32 答案 A解析 ∵f ′(x )=(x )′=12x,∴f ′(3)=123=36. 3.设正弦曲线y =sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π B .[0,π)C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,3π4D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′=cos x ,∵k l =cos x ,∴-1≤k l ≤1, ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π.4.曲线y =e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 答案 12e 2解析 ∵y ′=(e x )′=e x ,∴k =e 2,∴曲线在点(2,e 2)处的切线方程为y -e 2=e 2(x -2), 即y =e 2x -e 2.当x =0时,y =-e 2,当y =0时,x =1.∴S △=12×1×||-e 2=12e 2.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y =1-2sin 2x 2的导数.因为y =1-2sin 2x2=cos x , 所以y ′=(cos x )′=-sin x .3.对于正、余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.一、基础达标1.下列结论中正确的个数为( )①y =ln 2,则y ′=12;②y =1x 2,则y ′|x =3=-227;③y =2x ,则y ′=2x ln 2;④y =log 2x ,则y ′=1x ln 2. A .0 B .1 C .2 D .3答案 D解析 ①y =ln 2为常数,所以y ′=0.①错.②③④正确.2.过曲线y =1x 上一点P 的切线的斜率为-4,则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2或⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-2 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-2D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-2答案 B解析 y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′=-1x 2=-4,x =±12,故选B.3.已知f (x )=x a ,若f ′(-1)=-4,则a 的值等于( )A .4B .-4C .5D .-5答案 A解析 f ′(x )=ax a -1,f ′(-1)=a (-1)a -1=-4,a =4. 4.函数f (x )=x 3的斜率等于1的切线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .不确定答案 B解析 ∵f ′(x )=3x 2,设切点为(x 0,y 0),则3x 20=1,得x 0=±33,即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33,39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,-39处有斜率为1的切线.5.曲线y =9x 在点M (3,3)处的切线方程是________. 答案 x +y -6=0解析 ∵y ′=-9x 2,∴y ′|x =3=-1, ∴过点(3,3)的斜率为-1的切线方程为: y -3=-(x -3)即x +y -6=0.6.若曲线y =x -12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,a -12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a =________. 答案 64解析 ∵y =x -12,∴y ′=-12x -32,∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,a -12处的切线斜率k =-12a -32,∴切线方程为y -a -12=-12a -32(x -a ). 令x =0得y =32a -12;令y =0得x =3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S =12·3a ·32a -12=94a 12=18,∴a =64.7.求下列函数的导数:(1) y =5x 3;(2)y =1x 4;(3)y =-2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2cos 2x 4;(4)y =log 2x 2-log 2x .解 (1)y ′=⎝⎛⎭⎫5x 3′=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′=35x 35-1=35x -25=355x 2.(2)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′=(x -4)′=-4x -4-1=-4x -5=-4x 5.(3)∵y =-2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2cos 2x 4=2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4-1=2sin x 2cos x 2=sin x ,∴y ′=(sin x )′=cos x . (4)∵y =log 2x 2-log 2x =log 2x , ∴y ′=(log 2x )′=1x ·ln 2. 二、能力提升8.已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线,则实数k 的值为( ) A.1e B .-1e C .-e D .e答案 D解析y ′=e x ,设切点为(x 0,y 0),则⎩⎨⎧y 0=kx 0y 0=e x 0k =e x 0.∴e x 0=e x 0·x 0,∴x 0=1,∴k =e.9.曲线y =ln x 在x =a 处的切线倾斜角为π4,则a =________. 答案 1解析 y ′=1x ,∴y ′|x =a =1a =1,∴a =1.10.点P 是曲线y =e x 上任意一点,则点P 到直线y =x 的最小距离为________.答案 22 解析根据题意设平行于直线y =x 的直线与曲线y =e x 相切于点(x 0,y 0),该切点即为与y =x 距离最近的点,如图.则在点(x 0,y 0)处的切线斜率为1,即y ′|x =x 0=1.∵y ′=(e x )′=e x ,∴e x 0=1,得x 0=0,代入y =e x ,得y 0=1,即P (0,1).利用点到直线的距离公式得距离为22.11.已知f (x )=cos x ,g (x )=x ,求适合f ′(x )+g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )=cos x ,g (x )=x ,∴f ′(x )=(cos x )′=-sin x ,g ′(x )=x ′=1, 由f ′(x )+g ′(x )≤0,得-sin x +1≤0, 即sin x ≥1,但sin x ∈[-1,1], ∴sin x =1,∴x =2k π+π2,k ∈Z .12.已知抛物线y =x 2,直线x -y -2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离. 解 根据题意可知与直线x -y -2=0平行的抛物线y =x 2的切线,对应的切点到直线x -y -2=0的距离最短,设切点坐标为(x 0,x 20),则y ′|x =x 0=2x 0=1,所以x 0=12,所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14,切点到直线x -y -2=0的距离 d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-14-22=728,所以抛物线上的点到直线x -y -2=0的最短距离为728. 三、探究与创新13.设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,f n+1(x)=f′n(x),n∈N,试求f2 014(x).解f1(x)=(sin x)′=cos x,f2(x)=(cos x)′=-sin x,f3(x)=(-sin x)′=-cos x,f4(x)=(-cos x)′=sin x,f5(x)=(sin x)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,f n+4(x)=f n(x),可知周期为4,∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x.1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式,这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松.我们已经会求f(x)=5和g(x)=1.05x等基本初等函数的导数,那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢?答利用导数的运算法则.[预习导引]1.导数运算法则2.复合函数的求导法则要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数: (1) y =x 3-2x +3; (2)y =(x 2+1)(x -1); (3)y =3x -lg x .解 (1)y ′=(x 3)′-(2x )′+3′=3x 2-2. (2)∵y =(x 2+1)(x -1)=x 3-x 2+x -1, ∴y ′=(x 3)′-(x 2)′+x ′-1′=3x 2-2x +1.(3)函数y =3x -lg x 是函数f (x )=3x 与函数g (x )=lg x 的差.由导数公式表分别得出f ′(x )=3x ln 3,g ′(x )=1x ln 10,利用函数差的求导法则可得 (3x -lg x )′=f ′(x )-g ′(x )=3x ln 3-1x ln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题,求导过程要紧扣求导法则,联系基本函数求导法则,对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数. 跟踪演练1 求下列函数的导数:(1)y=5-4x3;(2)y=3x2+x cos x;(3)y=e x·ln x;(4)y=lg x-1 x2.解(1)y′=-12x2;(2)y′=(3x2+x cos x)′=6x+cos x-x sin x;(3)y′=e xx+ex·ln x;(4)y′=1x ln 10+2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数:(1)y=ln(x+2);(2)y=(1+sin x)2;解(1)y=ln u,u=x+2∴y′x=y′u·u′x=(ln u)′·(x+2)′=1u·1=1x+2.(2)y=u2,u=1+sin x,∴y x′=y u′·u x′=(u2)′·(1+sin x)′=2u·cos x=2cos x(1+sin x).规律方法应用复合函数的求导法则求导,应注意以下几个方面:(1)中间变量的选取应是基本函数结构.(2)正确分析函数的复合层次,并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导.(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导.(4)善于把一部分表达式作为一个整体.(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.熟练后,就不必再写中间步骤.跟踪演练2(1)y=e2x+1;(2)y=(x-2)2.解(1)y=e u,u=2x+1,∴y′x=y′u·u′x=(e u)′·(2x+1)′=2e u=2e2x+1.(2)法一∵y=(x-2)2=x-4x+4,∴y′=x′-(4x)′+4′=1-4×12x -12=1-2x .法二 令u =x -2,则y x ′=y u ′·u x ′=2(x -2)·(x -2)′= 2(x -2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x -0=1-2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1,-1)与曲线f (x )=x 3-2x 相切的直线方程. 解 设P (x 0,y 0)为切点,则切线斜率为 k =f ′(x 0)=3x 20-2故切线方程为y -y 0=(3x 20-2)(x -x 0) ① ∵(x 0,y 0)在曲线上,∴y 0=x 30-2x 0 ②又∵(1,-1)在切线上, ∴将②式和(1,-1)代入①式得-1-(x 30-2x 0)=(3x 20-2)(1-x 0).解得x 0=1或x 0=-12.故所求的切线方程为y +1=x -1或y +1=-54(x -1). 即x -y -2=0或5x +4y -1=0.规律方法 (1,-1)虽然在曲线上,但是经过该点的切线不一定只有一条,即该点有可能是切点,也可能是切线与曲线的交点,解题时注意不要失解. 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )=t -1t 2+2t 2(位移单位:m ,时间单位:s),求t =3 s 时物体的瞬时速度. 解 ∵s (t )=t -1t 2+2t 2=t t 2-1t 2+2t 2=1t -1t 2+2t 2, ∴s ′(t )=-1t 2+2·1t 3+4t , ∴s ′(3)=-19+227+12=32327,即物体在t =3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1.下列结论不正确的是( )A .若y =3,则y ′=0B .若f (x )=3x +1,则f ′(1)=3C .若y =-x +x ,则y ′=-12x+1D .若y =sin x +cos x ,则y ′=cos x +sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解.D 项,∵y =sin x +cos x , ∴y ′=(sin x )′+(cos x )′=cos x -sin x . 2.函数y =cos x1-x的导数是( ) A.-sin x +x sin x(1-x )2B.x sin x -sin x -cos x(1-x )2C .cos x -sin x +x sin x(1-x )2D.cos x -sin x +x sin x1-x答案 C解析 y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1-x ′=(-sin x )(1-x )-cos x ·(-1)(1-x )2=cos x -sin x +x sin x(1-x )2.3.曲线y =xx +2在点(-1,-1)处的切线方程为( )A .y =2x +1B .y =2x -1C .y =-2x -3D .y =-2x +2答案A解析∵y′=x′(x+2)-x(x+2)′(x+2)2=2(x+2)2,∴k=y′|x=-1=2(-1+2)2=2,∴切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.直线y=12x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=________.答案ln 2-1解析设切点为(x0,y0),∵y′=1x,∴12=1x0,∴x0=2,∴y0=ln 2,ln 2=12×2+b,∴b=ln 2-1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析出函数解析式的结构特征,根据导数运算法则,联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求导数,进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1.设y=-2e x sin x,则y′等于()A.-2e x cos x B.-2e x sin xC.2e x sin x D.-2e x(sin x+cos x)答案D解析y′=-2(e x sin x+e x cos x)=-2e x(sin x+cos x).2.当函数y=x2+a2x(a>0)在x=x0处的导数为0时,那么x0=()A .aB .±aC .-aD .a 2答案 B解析 y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+a 2x ′=2x ·x -(x 2+a 2)x 2=x 2-a 2x 2,由x 20-a 2=0得x 0=±a .3.设曲线y =x +1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a 等于( )A .2B .12C .-12D .-2答案 D解析 ∵y =x +1x -1=1+2x -1,∴y ′=-2(x -1)2.∴y ′|x =3=-12. ∴-a =2,即a =-2.4.已知曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为k ,则当k =3时的P 点坐标为( ) A .(-2,-8) B .(-1,-1)或(1,1) C .(2,8) D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-18答案 B解析 y ′=3x 2,∵k =3,∴3x 2=3,∴x =±1, 则P 点坐标为(-1,-1)或(1,1).5.设函数f (x )=g (x )+x 2,曲线y =g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为________. 答案 4解析 依题意得f ′(x )=g ′(x )+2x , f ′(1)=g ′(1)+2=4.6.已知f (x )=13x 3+3xf ′(0),则f ′(1)=________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数,所以f ′(x )=x 2+3f ′(0), 令x =0,则f ′(0)=0, ∴f ′(1)=12+3f ′(0)=1. 7.求下列函数的导数: (1)y =(2x 2+3)(3x -1); (2)y =x -sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′=(2x 2+3)′(3x -1)+(2x 2+3)(3x -1)′=4x (3x -1)+3(2x 2+3)=18x 2-4x +9.法二 ∵y =(2x 2+3)(3x -1)=6x 3-2x 2+9x -3, ∴y ′=(6x 3-2x 2+9x -3)′=18x 2-4x +9. (2)∵y =x -sin x 2cos x 2=x -12sin x , ∴y ′=x ′-⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′=1-12cos x .二、能力提升8.曲线y =sin x sin x +cos x -12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0处的切线的斜率为( )A .-12 B .12 C .-22 D .22答案 B 解析 y ′=cos x (sin x +cos x )-sin x (cos x -sin x )(sin x +cos x )2=1(sin x +cos x )2,故y ′|x =π4=12,∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0处的切线的斜率为12.9.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A .[0,π4)B .[π4,π2)C .(π2,3π4]D .[3π4,π)答案 D解析 y ′=-4e x (e x +1)2=-4e x e 2x +2e x +1,设t =e x∈(0,+∞),则y ′=-4t t 2+2t +1=-4t +1t +2,∵t +1t ≥2,∴y ′∈[-1,0),α∈[3π4,π).10.(2020·江西)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________. 答案 2解析 令t =e x ,则x =ln t ,所以函数为f (t )=ln t +t ,即f (x )=ln x +x ,所以f ′(x )=1x +1,即f ′(1)=11+1=2.11.求过点(2,0)且与曲线y =x 3相切的直线方程.解 点(2,0)不在曲线y =x 3上,可令切点坐标为(x 0,x 30).由题意,所求直线方程的斜率k =x 30-0x 0-2=y ′|x =x 0=3x 20,即x 30x 0-2=3x 20,解得x 0=0或x 0=3.当x 0=0时,得切点坐标是(0,0),斜率k =0,则所求直线方程是y =0; 当x 0=3时,得切点坐标是(3,27),斜率k =27, 则所求直线方程是y -27=27(x -3), 即27x -y -54=0.综上,所求的直线方程为y =0或27x -y -54=0.12.已知曲线f (x )=x 3-3x ,过点A (0,16)作曲线f (x )的切线,求曲线的切线方程. 解 设切点为(x 0,y 0),则由导数定义得切线的斜率k =f ′(x 0)=3x 20-3, ∴切线方程为y =(3x 20-3)x +16, 又切点(x 0,y 0)在切线上,∴y 0=3(x 20-1)x 0+16, 即x 30-3x 0=3(x 20-1)x 0+16,解得x 0=-2,∴切线方程为9x -y +16=0. 三、探究与创新13.设函数f (x )=ax -bx ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值. (1)解 由7x -4y -12=0得y =74x -3. 当x =2时,y =12,∴f (2)=12, ①又f ′(x )=a +bx 2, ∴f ′(2)=74, ② 由①,②得⎩⎪⎨⎪⎧2a -b 2=12a +b 4=74.解之得⎩⎨⎧a =1b =3.故f (x )=x -3x .(2)证明 设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3x 2知 曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为 y -y 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3x 20(x -x 0),即y -⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-3x 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3x 20(x -x 0). 令x =0得y =-6x 0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-6x 0.令y =x 得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0). 所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪-6x 0||2x 0=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。

2018高中数学学业分层测评18北师大版2-1Word版

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学业分层测评(十八)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.若点P (2,0)到双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一条渐近线的距离为2,则双曲线的离心率为( )A. 2 B . 3 C .2 2D .2 3【解析】 双曲线的渐近线方程为bx ±ay =0,点P (2,0)到渐近线的距离为|2b |a 2+b 2=2,所以a 2=b 2,所以双曲线的离心率为2,故选A. 【答案】 A2.过双曲线x 2-y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ,B 两点,则|AB |=( )A.433B .2 3C .6D .4 3【解析】 设A ,B 两点的坐标分别为(x ,y A ),(x ,y B ),将x =c =2代入渐近线方程y =±3x 得到y A ,y B ,进而求|AB |.由题意知,双曲线x 2-y 23=1的渐近线方程为y =±3x ,将x =c =2代入得y =±23,即A ,B 两点的坐标分别为(2,23),(2,-23),所以|AB |=4 3.【答案】 D3.下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是( ) A .x 2-y 24=1B .x 24-y 2=1C.y 24-x 2=1 D .y 2-x 24=1【解析】 由双曲线的性质利用排除法求解.由双曲线焦点在y 轴上,排除选项A 、B ,选项C 中双曲线的渐近线方程为y =±2x ,故选C.【答案】 C4.将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )A .对任意的a ,b ,e 1>e 2B .当a >b 时,e 1>e 2;当a <b 时,e 1<e 2C .对任意的a ,b ,e 1<e 2D .当a >b 时,e 1<e 2;当a <b 时,e 1>e 2【解析】 分别表示出e 1和e 2,利用作差法比较大小. 由题意e 1=a 2+b 2a 2=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2;双曲线C 2的实半轴长为a +m ,虚半轴长为b +m ,离心率e 2=a +m2+b +m 2a +m 2=1+⎝⎛⎭⎪⎫b +m a +m 2.因为b +m a +m -b a =m a -ba a +m,且a >0,b >0,m >0,a ≠b , 所以当a >b 时,m a -b a a +m >0,即b +m a +m >ba.又b +m a +m >0,ba>0, 所以由不等式的性质依次可得⎝⎛⎭⎪⎫b +m a +m 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b +m a +m 2>1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,所以1+⎝⎛⎭⎪⎫b +m a +m 2>1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,即e 2>e 1;同理,当a <b 时,m a -ba a +m<0,可推得e 2<e 1.综上,当a >b 时,e 1<e 2;当a <b 时,e 1>e 2.【答案】 D5.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )A. 2 B . 3 C.3+12D .5+12【解析】 设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),不妨设一个焦点为F (c,0),虚轴端点为B (0,b ),则k FB =-b c .又渐近线的斜率为±b a,所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫-b c ·b a=-1⎝ ⎛⎭⎪⎫-ba显然不符合,即b 2=ac ,又c 2-a 2=b 2,所以c 2-a 2=ac ,两边同除以a 2,整理得e2-e -1=0,解得e =5+12或e =1-52(舍去). 【答案】 D 二、填空题6.过双曲线x 24-y 23=1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ,N 两点,F 2为其右焦点,则|MF 2|+|NF 2|-|MN |的值为________.【解析】 |MF 2|+|NF 2|-|MN |=|MF 2|+|NF 2|-(|MF 1|+|NF 1|)=(|MF 2|-|MF 1|)+(|NF 2|-|NF 1|)=2a +2a =4a =8.【答案】 87.设F 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的一个焦点.若C 上存在点P, 使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为__________.【解析】 根据题意建立a ,c 间的联系,再利用离心率公式计算.不妨设F (-c,0),PF 的中点为(0,b ).由中点坐标公式可知P (c,2b ).又点P 在双曲线上,则c 2a 2-4b 2b 2=1,故c 2a 2=5,即e =ca= 5. 【答案】58.若双曲线x 2-y 2=1右支上一点P (a ,b )到直线y =x 的距离为3,则a +b =________.【导学号:32550089】【解析】 由于点P (a ,b )在右支上,所以a -b >0. 又∵|a -b |2=3,∴a -b =6,又∵a 2-b 2=1,∴a +b =a 2-b 2a -b =16=66.【答案】66三、解答题9.已知双曲线的方程是16x 2-9y 2=144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF 1|·|PF 2|=32,求∠F 1PF 2的大小.【解】 (1)由16x 2-9y 2=144得x 29-y 216=1,所以a =3,b =4,c =5,所以焦点坐标F 1(-5,0),F 2(5,0),离心率e =53,渐近线方程为y =±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|-|PF 2||=6, cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=|PF 1|-|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=36+64-10064=0,∴∠F 1PF 2=90°.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点P (4,-10).(1)求双曲线方程;(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→=0;(3)在(2)的条件下,求△F 1MF 2的面积. 【解】 (1)∵e =2,∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). ∵过点(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线方程为x 2-y 2=6.(2)证明:法一:由(1)可知,双曲线中a =b =6, ∴c =23,∴F 1(-23,0),F 2(23,0), ∴kMF 1=m 3+23,kMF 2=m3-23,kMF 1·kMF 2=m 29-12=-m 23.∵点(3,m )在双曲线上,∴9-m 2=6,m 2=3,故kMF 1·kMF 2=-1,∴MF 1⊥MF 2,∴MF 1→·MF 2→=0.法二:∵MF 1→=(-3-23,-m ), MF 2→=(23-3,-m ),∴MF 1→·MF 2→=(3+23)×(3-23)+m 2=-3+m 2. ∵M 点在双曲线上,∴9-m 2=6,即m 2-3=0, ∴MF 1→·MF 2→=0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|=43,△F 1MF 2的高h =|m |=3,∴S △F 1MF 2=6.[能力提升]1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2,且C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→=0,|PF 1→|=3,|PF 2→|=4,则双曲线C 的离心率为( )A.102B . 5 C.52D .5 【解析】 由双曲线的定义可得2a =||PF 2→|-|PF 1→||=1,所以a =12;因为PF 1→·PF 2→=0,所以PF 1→⊥PF 2→,所以(2c )2=|PF 1→|2+|PF 2→|2=25,解得c =52.所以此双曲线的离心率为e =c a=5.故D 正确.【答案】 D2.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=47x 的准线上,则双曲线的方程为( )A.x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1 C.x 23-y 24=1 D .x 24-y 23=1【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,列出方程组求解.由双曲线的渐近线y =b a x 过点(2,3),可得3=b a×2.①由双曲线的焦点(-a 2+b 2,0)在抛物线y 2=47x 的准线x =-7上,可得a 2+b 2=7.②由①②解得a =2,b =3,所以双曲线的方程为x 24-y 23=1.【答案】 D3.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1,y 2b 2-x 2a 2=1的离心率分别为e 1,e 2,则e 1+e 2的最小值为________.【解析】 由已知得e 1=a 2+b 2a ,e 2=a 2+b 2b ,则e 1+e 2=a 2+b 2a +a 2+b 2b=(a 2+b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b ≥2ab ·21ab=2 2.【答案】 2 24.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4105,3105在双曲线的右支上,且|PF 1|=3|PF 2|,PF 1→·PF 2→=0,求双曲线的标准方程.【解】∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF2|,∴|PF 1|=3a ,|PF 2|=a . 又PF 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎫-c -4105,-3105,PF 2→=⎝ ⎛⎭⎪⎫c -4105,-3105, ∵PF 1→·PF 2→=⎝ ⎛⎭⎪⎫41052-c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫31052=0, ∴c 2=10.又|PF 2|=a ,∴⎝⎛⎭⎪⎫c -41052+⎝ ⎛⎭⎪⎫31052=a 2.∴a 2=4, ∴b 2=c 2-a 2=6.故所求双曲线的标准方程为x 24-y 26=1.(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2教师用书:第3

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2教师用书:第3

§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.(重点、难点)3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)教材整理导数与函数单调性的关系阅读教材P57~P58“例1”以上部分,完成下列问题.一般地,在区间(a,b)内1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增.( )(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.( )(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.( ) 【答案】(1)×(2)×(3)√2.函数y=f(x)的图像如图3­1­1所示,则导函数y=f′(x)的图像可能是( )图3­1­1A B C D【解析】∵函数f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上都是减函数,∴当x>0时,f′(x)<0,当x<0时,f′(x)<0.【答案】 D预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑:疑问2:解惑:疑问3:解惑:图3­1­2①函数y=f(x)的定义域是;②函数y=f(x)的值域是(-∞,0]∪;③函数y=f(x)在定义域内是增函数;④函数y=f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.②④(2)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图3­1­3所示,则导函数y=f′(x)的图像可能为( )图3­1­3A B C D【精彩点拨】研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.【自主解答】(1)由图像可知,函数的定义域为,值域为(-∞,0]∪,故①②正确,选A.(2)由函数的图像可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,应选D.【答案】(1)A (2)D1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多,只需判断导数在该区间内的正负即可.2.通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势;(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点,分析导数的正负.1.(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,不正确的是( )A B C D(2)若函数y =f (x )的导函数在区间上是增函数,则函数y =f (x )在区间上的图像可能是( )A B C D【解析】 (1)A ,B ,C 均有可能;对于D ,若C 1为导函数,则y =f (x )应为增函数,不符合;若C 2为导函数,则y =f (x )应为减函数,也不符合.(2)因为y =f (x )的导函数在区间上是增函数,则从左到右函数f (x )图像上的点的切线斜率是递增的.【答案】 (1)D (2)A求函数f (x )=x +x(a ≠0)的单调区间.【导学号:94210055】【精彩点拨】 求出导数f ′(x ),分a >0和a <0两种情况.由f ′(x )>0求得单调增区间,由f ′(x )<0求得单调减区间.【自主解答】 f (x )=x +a x的定义域是 (-∞,0)∪(0,+∞),f ′(x )=1-a x2. 当a >0时,令f ′(x )=1-a x 2>0,解得x >a 或x <-a ;令f ′(x )=1-a x2<0,解得-a <x <0或0<x <a ;当a <0时,f ′(x )=1-a x2>0恒成立, 所以当a >0时,f (x )的单调递增区间为(-∞,-a )和(a ,+∞);单调递减区间为(-a ,0)和(0,a ).当a <0时,f (x )的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).利用导数求函数单调区间的步骤1.确定函数f (x )的定义域.2.求导数f ′(x ).3.由f ′(x )>0(或f ′(x )<0),解出相应的x 的范围.当f ′(x )>0时,f (x )在相应的区间上是增函数;当f ′(x )<0时,f (x )在相应区间上是减函数.4.结合定义域写出单调区间.2.(1)函数f (x )=e x-e x ,x ∈R 的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1)D.(1,+∞)(2)函数f (x )=ln x -x 的单调递增区间是( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(0,+∞)D.(1,+∞)【解析】 (1)∵f ′(x )=(e x-e x )′=e x-e , 由f ′(x )=e x-e>0,可得x >1.即函数f (x )=e x -e x ,x ∈R 的单调增区间为 (1,+∞),选D.(2)函数的定义域为(0,+∞),又f ′(x )=1x-1,由f ′(x )=1x-1>0,得0<x <1,所以函数f (x )=ln x -x 的单调递增区间是(0,1),选B. 【答案】 (1)D (2)B调性如何?【提示】 求函数的导函数f ′(x )=3x 2+2ax +b ,导函数对应方程f ′(x )=0的Δ=4(a 2-3b )<0,所以f ′(x )>0恒成立,故f (x )是增函数.探究2 若函数f (x )=x -p x +p2在(1,+∞)上是增函数,试求实数p 的取值范围.【提示】 f ′(x )=1+p x2≥0在(1,+∞)上恒成立,即x 2≥-p 在(1,+∞)上恒成立,∴1≥-p ,∴p ≥-1.已知关于x 的函数y =x 3-ax +b .(1)若函数y 在(1,+∞)内是增函数,求a 的取值范围; (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1,+∞),求a 的值.【精彩点拨】 (1)函数在区间(1,+∞)内是增函数,则必有y ′≥0在(1,+∞)上恒成立,由此即可求出a 的取值范围.(2)函数y 的一个单调递增区间为(1,+∞),即函数单调区间的端点值为1,由此可解得a 的值.【自主解答】 y ′=3x 2-a .(1)若函数y =x 3-ax +b 在(1,+∞)内是增函数. 则y ′=3x 2-a ≥0在x ∈(1,+∞)时恒成立, 即a ≤3x 2在x ∈(1,+∞)时恒成立, 则a ≤(3x 2)min . 因为x >1,所以3x 2>3.所以a ≤3,即a 的取值范围是(-∞,3]. (2)令y ′>0,得x 2>a3.若a ≤0,则x 2>a3恒成立,即y ′>0恒成立,此时,函数y =x 3-ax +b 在R 上是增函数,与题意不符. 若a >0,令y ′>0,得x >a3或x <-a3.因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,所以a3=1,即a =3.1.解答本题注意:可导函数f (x )在(a ,b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ,b )上恒成立,且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒等于0.2.已知f (x )在区间(a ,b )上的单调性,求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ,b )上单调递增(减)的问题,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集;(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ,b )上单调递增(减)的问题,则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ,b )内恒成立,注意验证等号是否成立.3.将上例(1)改为“若函数y 在(1,+∞)上不单调”,则a 的取值范围又如何? 【解】 y ′=3x 2-a ,当a <0时,y ′=3x 2-a >0,函数在(1,+∞)上单调递增,不符合题意.当a >0时,函数y 在(1,+∞)上不单调,即y ′=3x 2-a =0在区间(1,+∞)上有根.由3x 2-a =0可得x =a3或x =-a3(舍去). 依题意,有a3>1,∴a >3, 所以a 的取值范围是(3,+∞).函数的单调性与导数—⎪⎪⎪—f ′(x )>0,f (x )为单调递增—f ′(x )<0,f (x )为单调递减—f ′(x )=0,f (x )为常数函数1.命题甲:对任意x ∈(a ,b ),有f ′(x )>0;命题乙:f (x )在(a ,b )内是单调递增的,则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 f (x )=x 3在(-1,1)内是单调递增的,但f ′(x )=3x 2≥0(-1<x <1),故甲是乙的充分不必要条件.【答案】 A2.已知函数f (x )=x +ln x ,则有( ) A.f (2)<f (e)<f (3) B.f (e)<f (2)<f (3) C.f (3)<f (e)<f (2)D.f (e)<f (3)<f (2)【解析】 因为在定义域(0,+∞)上f ′(x )=12x+1x>0,所以f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以有f (2)<f (e)<f (3).故选A.【答案】 A3.函数f (x )=2x 3-9x 2+12x +1的单调减区间是________.【解析】 f ′(x )=6x 2-18x +12,令f ′(x )<0,即6x 2-18x +12<0,解得1<x <2.【答案】 (1,2) 4.已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+∞)内单调递减,则实数a 的取值范围为________. 【导学号:94210056】【解析】 f ′(x )=2a -1(x +2)2,由题意得f ′(x )≤0在(-2,+∞)内恒成立,∴解不等式得a ≤12,但当a =12时,f ′(x )=0恒成立,不合题意,应舍去,所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,125.已知函数f (x )=x 3-ax -1.(1)是否存在a ,使f (x )的单调减区间是(-1,1); (2)若f (x )在R 上是增函数,求a 的取值范围. 【解】 f ′(x )=3x 2-a .(1)∵f (x )的单调减区间是(-1,1), ∴-1<x <1是f ′(x )<0的解,∴x =±1是方程3x 2-a =0的两根,所以a =3. (2)∵f (x )在R 上是增函数,∴f ′(x )=3x 2-a ≥0对x ∈R 恒成立, 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立. ∵y =3x 2在R 上的最小值为0. ∴a ≤0,∴a 的取值范围是(-∞,0].我还有这些不足:(1) (2) 我的课下提升方案:(1) (2)。

高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性学业分层测评(含解析)北师大版选修2-2(

高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性学业分层测评(含解析)北师大版选修2-2(

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3.1。

1 导数与函数的单调性(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1。

函数y=x+x ln x的单调递减区间是( )A.(-∞,e-2)B.(0,e-2)C。

(e-2,+∞)D。

(e2,+∞)【解析】因为y=x+x ln x,所以定义域为(0,+∞)。

令y′=2+ln x〈0,解得0〈x〈e-2,即函数y=x+x ln x的单调递减区间是(0,e-2),故选B。

【答案】B2.(2016·深圳高二检测)如图3。

1.4是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是()图3­1­4A。

在区间(-2,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C。

在区间(4,5)上f(x)是增函数D.在区间(3,5)上f(x)是增函数【解析】由导函数f′(x)的图像知在区间(4,5)上,f′(x)>0,所以函数f(x)在(4,5)上单调递增。

故选C.【答案】C3。

若函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,则()A。

a≤0 B。

a<1C.a<2D.a≤错误!【解析】f′(x)=3ax2-1。

2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(北师大版)精练检测:三导数及其应用全国通用含解析

2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(北师大版)精练检测:三导数及其应用全国通用含解析

单元滚动检测三 导数及其应用考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟,满分150分.4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.单元滚动检测三第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016·北京朝阳区模拟)曲线f (x )=x ln x 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为( )A.π6B 。

错误! C.错误! D.错误!2.(2016·福建三明一中月考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+1n x ,则f ′(1)等于( )A .-eB .-1C .1D .e3.(2016·赣州第二中学模拟)已知函数f (x )=x 2-5x +2ln x ,则函数f (x )的单调递增区间是( )A.(0,错误!)和(1,+∞)B.(0,1)和(2,+∞)C.(0,错误!)和(2,+∞)D.(1,2)4.已知f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)为f(x)的导函数且满足f(x)<-xf′(x),则不等式(x+1)f(x+1)>f(x2-1)·f(x2-1)的解集是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)5.函数y=x-2sin x,x∈-错误!,错误!]的大致图像是()6.若函数y=cos x+ax在-错误!,错误!]上是增函数,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,1]C.-1,+∞)D.1,+∞)7.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为()A.0≤a<1 B.0<a<1C.-1<a<1 D.0<a<128.(2016·山师大附属中学高三上学期模拟)设函数f(x)=e x-e-x -2x,下列结论正确的是()A.f(2x)min=f(0)B.f(2x)max=f(0)C.f(2x)在(-∞,+∞)上是减少的,无极值D.f(2x)在(-∞,+∞)上是增加的,无极值9.(2016·长沙一模)若函数f(x)=x+错误!(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下列区间上是增加的是()A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-2)10.(2016·许昌模拟)已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有f′(x)+错误!>0,则对于任意的a,b∈(0,+∞),当a>b时,有( )A.af(a)<bf(b) B.af(a)>bf(b)C.af(b)>bf(a)D.af(b)<bf(a)11.ʃ错误!0错误!d x等于( )A.2(错误!-1)B。

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1.(2016·湛江模拟)若函数f (x )=x +b x(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点,则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A .(-2,0)B .(0,1)C .(1,+∞)D .(-∞,-2)解析:选D.由题意知,f ′(x )=1-b x 2,因为函数f (x )=x +b x(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点,所以当1-b x 2=0时,b =x 2,又x ∈(1,2),所以b ∈(1,4),令f ′(x )>0,解得x <-b 或x >b ,即f (x )的单调递增区间为(-∞,-b ),(b ,+∞),因为b ∈(1,4),所以(-∞,-2)符合题意,故选D.2.(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x >0时,xf ′(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1)∪(0,1)B .(-1,0)∪(1,+∞)C .(-∞,-1)∪(-1,0)D .(0,1)∪(1,+∞)解析:选A.设y =g (x )=f (x )x (x ≠0),则g ′(x )=xf ′(x )-f (x )x 2,当x >0时,xf ′(x )-f (x )<0,所以g ′(x )<0,所以g (x )在(0,+∞)上为减函数,且g (1)=f (1)=-f (-1)=0.因为 f (x )为奇函数,所以g (x )为偶函数,所以g (x )的图象的示意图如图所示.当x >0,g (x )>0时,f (x )>0,0<x <1,当x <0,g (x )<0时,f (x )>0,x <-1,所以使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选A.3.已知函数f (x )=1-x ax+ln x ,若函数f (x )在[1,+∞)上为增函数,则正实数a 的取值范围为________.解析:因为f (x )=1-x ax +ln x ,所以f ′(x )=ax -1ax 2(a >0). 因为函数f (x )在[1,+∞)上为增函数,所以f ′(x )=ax -1ax 2≥0对x ∈[1,+∞)恒成立,所以ax -1≥0对x ∈[1,+∞)恒成立,即a ≥1x对x ∈[1,+∞)恒成立,所以a ≥1. 答案:[1,+∞)4.若函数f (x )=2x 3-9x 2+12x -a 恰好有两个不同的零点,则a 的值为________. 解析:由题意得f ′(x )=6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2),由f ′(x )>0,得x <1或x >2,由f ′(x )<0,得1<x <2,所以函数f (x )在(-∞,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,从而可知f (x )的极大值和极小值分别为f (1),f (2),若欲使函数f (x )恰好有两个不同的零点,则需使f (1)=0或f (2)=0,解得a =5或a =4.答案:5或45.已知函数f (x )=x 3-3ax -1,a ≠0.(1)求f (x )的单调区间;(2)若f (x )在x =-1处取得极值,直线y =m 与y =f (x )的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围.解:(1)f ′(x )=3x 2-3a =3(x 2-a ),当a <0时,对x ∈R ,有f ′(x )>0,所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞);当a >0时,由f ′(x )>0,解得x <-a 或x >a ,由f ′(x )<0,解得-a <x <a ,所以当a >0时,f (x )的单调递增区间为(-∞,-a ],[a ,+∞),f (x )的单调递减区间为[-a ,a ].(2)因为f (x )在x =-1处取得极值,所以f ′(-1)=3×(-1)2-3a =0,则a =1,所以f (x )=x 3-3x -1,f ′(x )=3x 2-3.由f ′(x )=0解得x 1=-1,x 2=1.由(1)中f (x )的单调性可知,f (x )在x =-1处取得极大值f (-1)=1,在x =1处取得极小值f (1)=-3.因为直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个不同的交点,结合f (x )的单调性可知,m 的取值范围是(-3,1).6.(2015·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )=e 2x -a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数;(2)证明:当a >0时,f (x )≥2a +a ln 2a. 解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=2e 2x -a x(x >0). 当a ≤0时,f ′(x )>0,f ′(x )没有零点;当a >0时,设u (x )=e 2x ,v (x )=-a x, 因为u (x )=e 2x 在(0,+∞)上单调递增,v (x )=-a x在(0,+∞)上单调递增, 所以f ′(x )在(0,+∞)上单调递增.又f ′(a )>0,当b 满足0<b <a 4且b <14时,f ′(b )<0,故当a >0时,f ′(x )存在唯一零点.(2)证明:由(1),可设f ′(x )在(0,+∞)上的唯一零点为x 0,当x ∈(0,x 0)时,f ′(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0.故f (x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,所以当x =x 0时,f (x )取得最小值,最小值为f (x 0).由于2e2x 0-a x 0=0, 所以f (x 0)=a 2x 0+2ax 0+a ln 2a ≥2a +a ln 2a. 故当a >0时,f (x )≥2a +a ln 2a.1.(2016·太原模拟)已知函数f (x )=(x 2-ax +a )e x -x 2,a ∈R .(1)若函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,求a 的取值范围;(2)若函数f (x )在x =0处取得极小值,求a 的取值范围.解:(1)由题意得f ′(x )=x [(x +2-a )e x -2]=x e x ⎝⎛⎭⎫x +2-2e x -a ,x ∈R , 因为f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以f ′(x )≥0在(0,+∞)上恒成立,所以x +2-2e x ≥a 在(0,+∞)上恒成立, 又函数g (x )=x +2-2e x 在(0,+∞)上单调递增, 所以a ≤g (0)=0,所以a 的取值范围是(-∞,0].(2)由(1)得f ′(x )=x e x ⎝⎛⎭⎫x +2-2e x -a ,x ∈R , 令f ′(x )=0,则x =0或x +2-2e x -a =0,即x =0或g (x )=a , 因为g (x )=x +2-2e x 在(-∞,+∞)上单调递增,其值域为R ,所以存在唯一x 0∈R ,使得g (x 0)=a ,①若x 0>0,当x ∈(-∞,0)时,g (x )<a ,f ′(x )>0;当x ∈(0,x 0)时,g (x )<a ,f ′(x )<0,所以f (x )在x =0处取得极大值,这与题设矛盾.②若x 0=0,当x ∈(-∞,0)时,g (x )<a ,f ′(x )>0;当x ∈(0,+∞)时,g (x )>a ,f ′(x )>0,所以f (x )在x =0处不取极值,这与题设矛盾.③若x 0<0,当x ∈(x 0,0)时,g (x )>a ,f ′(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,g (x )>a ,f ′(x )>0,所以f (x )在x =0处取得极小值.综上所述,x 0<0,所以a =g (x 0)<g (0)=0,所以a 的取值范围是(-∞,0).2.(2015·高考福建卷)已知函数f (x )=ln x -(x -1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)证明:当x >1时,f (x )<x -1;(3)确定实数k 的所有可能取值,使得存在x 0>1,当x ∈(1,x 0)时,恒有f (x )>k (x -1).解:(1)f ′(x )=1x -x +1=-x 2+x +1x,x ∈(0,+∞). 由f ′(x )>0,得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-x 2+x +1>0,解得0<x <1+52. 故f (x )的单调递增区间是(0,1+52). (2)证明:令F (x )=f (x )-(x -1),x ∈(0,+∞),则有F ′(x )=1-x 2x . 当x ∈(1,+∞)时,F ′(x )<0,所以F (x )在(1,+∞)上单调递减,故当x >1时,F (x )<F (1)=0,即当x >1时,f (x )<x -1.(3)由(2)知,当k =1时,不存在x 0>1满足题意.当k >1时,对于x >1,有f (x )<x -1<k (x -1),则f (x )<k (x -1),从而不存在x 0>1满足题意.当k <1时,令G (x )=f (x )-k (x -1),x ∈(0,+∞),则有G ′(x )=1x -x +1-k =-x 2+(1-k )x +1x. 由G ′(x )=0,得-x 2+(1-k )x +1=0,解得x 1=1-k -(1-k )2+42<0, x 2=1-k +(1-k )2+42>1. 当x ∈(1,x 2)时,G ′(x )>0,故G (x )在[1,x 2)内单调递增.从而当x ∈(1,x 2)时,G (x )>G (1)=0,即f (x )>k (x -1),综上,k 的取值范围是(-∞,1).。

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