广州47中高二上期期中考试试题

广州市第四十七中学高二（1）班期中考试试题 命题人：周平波 2011.11.3 姓名： 学号： 一、选择题（10题×5分=50分）答案统一写在题号处
（ ）1．已知{}|0M x x a =-=，{}|10N x ax =-=，若M N N = ，则实数a 的值为
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．0或1或－1 （ ）2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（ ）3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为
12
，乙获胜的概率为
13
，则下列说法正确的是
A ．甲获胜的概率是16
B ．甲不输的概率是12
C ．乙输了的概率是
23
D ．乙不输的概率是
12
（ ）4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，14611,6a a a =-+=-，当n S 取最小值时，n 等于
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
（ ）5．一束光线从点()1,1A -出发经x 轴反射到圆:C ()()2
2
231x y -+-=上的最短路程是
A ．4
B ．5
C ．32－1
D ．2 6
（ ）6．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△PAB 与△ABC 的面积之比是
A ．1
3
B ．1
2
C ．2
3
D ．34
（ ）7．已知F 1、F 2为双曲线C ：2
2
1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，
则12||||PF PF ＝
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
（ ）8．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积
的
A ．
116 B ．316 C ．112 D ．18
（ ）9．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
（ ）10．若方程2
210ax x --=在()0,1内恰有一个解，则a 的取值范围是( )
A ．1a <-
B ．1a >
C ．－1<a <1
D ．0≤a <1
A1
C 1
B1
B
C A
D
第（11）题
二、填空题（4题×5分=20分） 11．已知一个算法：
(1) .m a =
(2) 如果b m <，则m b =，输出m ；否则执行第3步． (3) 如果c m <，则m c =，输出m .
如果3a =，6b =，2c =，那么执行这个算法的结果是 12．在区间()0,1上任取两个数，则两个数之和小于65
的概率是
13．设0ω>，函数sin 23y x πω⎛
⎫
=+
+ ⎪
⎝⎭
的图象向右平移43π
个单位后与原图象重合，则ω的最小值是
14.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点，若截面D BC 1∆是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .
三、解答题（6题，共80分）
15．(本小题满分12分) 设函数()2
cos 2sin 3f x x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝⎭
. (1) 求函数()f x 的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=3
1，1()2
4
c f =-
，且C 为锐角，求sinA.
16．(本小题满分12分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2
<+的概率．
n m
17．(本小题满分14分) 如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
姓名： 学号：
18．(本小题满分14分) 已知x x f 3)(=，并且(2)18f a +=，()34ax x g x =-的定义域为区间]1,1[-．
①求函数)(x g 的解析式； ②判断)(x g 的单调性；
③若方程m x g =)(有解，求m 的取值范围.
19．(本小题满分14分) 设椭圆M ：
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的离心率为
2
，
点A （a ，0），B （0，b -），原点O 到直线A B 3
．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设点C 为（a -，0），点P 在椭圆M 上（与A 、C 均不重合），点E 在直线P C 上，
若直线P A 的方程为4y kx =-，且0CP BE ⋅=
，试求直线B E 的方程．
20. (本小题满分14分) 已知数列{}n a 的前n 项和为11,4
n S a =
且1112
n n n S S a --=++
，数列
{}n b 满足11194
b =-
且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．（１）求{}n a 的通项公式；（２）求
证：数列{}n n b a -为等比数列;（３）求{}n b 前n 项和的最小值．
广州市第四十七中学高二（1）班期中考试答案 命题人：周平波 2011.11.3
1．已知{}|0M x x a =-=，{}|10N x ax =-=，若M N N = ，则实数a 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．0或1或－1
解析：选D.由M ∩N ＝N 得N ⊆M .当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a ≠0时，M ＝{a }，N ＝{1a }，由N ⊆M 得1
a
＝a ，解得a ＝±1，故选D.
2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.a >b ac 2
>bc 2
，原因是c 可能为0，而若ac 2
>bc 2
，则可以推出a >b ，故“a >b ”
是“ac 2
>bc 2
”的必要不充分条件，故选B. 3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为
12
，乙获胜的概率为
13
，则下列说法正确的是( )
A ．甲获胜的概率是16
B ．甲不输的概率是12
C ．乙输了的概率是
23
D ．乙不输的概率是
12
解析：选A.“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－12－13＝16
；设事件A 为“甲不输”，则A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23；乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为16；乙不输的概率为1－16＝5
6.
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14611,6a a a =-+=-，则当n S 取最小值时，n 等于( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选A.设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，
∴a 5＝－3. 又∵a 1＝－11， ∴－3＝－11＋4d ， ∴d ＝2，
∴S n ＝－11n ＋n (n －1)
2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值，故选A.
5．一束光线从点()1,1A -出发经x 轴反射到圆:C ()()2
2
231x y -+-=上的最短路程是
A ．4
B ．5
C ．32－1
D ．2 6
解析：选A.圆C 的圆心C 的坐标为(2,3)，半径r ＝1.点A (－1,1)关于x 轴的对称点A ′的坐标为(－1，－1)．因A ′在反射线上，所以最短距离为|A ′C |－r ，
即[2－(－1)]2＋[3－(－1)]2
－1＝4.
6．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△PAB 与△ABC 的面积之比是( )
A ．1
3
B ．12
C ．23
D ．34
解析：选A.∵PA →＋PB →＋PC →＝AB →，∴PC →＝AB →－PB →－PA →＝2AP →
，
∴A 、P 、C 共线且P 为AC 的三等分点，∴S △PAB S △ABC ＝AP AC ＝1
3
.
7．已知F 1、F 2为双曲线C ：2
2
1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则
12||||PF PF ＝
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B.如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .则
⎩⎨⎧
|m －n |＝2，(22)2＝m 2＋n 2
－2mn cos ∠F 1PF 2.∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－2mn ＋n 2
＝4，m 2－mn ＋n 2＝8. ∴mn ＝4.∴|PF 1|·|PF 2|＝4.
8．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的( )
A.116
B.316
C.112
D.18
解析：选B.由题意可得截面圆半径为32R (R 为球的半径)，所以截面面积为π(32R )2＝
3
4
πR 2，又球的表面积为4πR 2
，则34πR 24πR 2＝316，故选B.
9．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为( )
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
解析：选 C.前3组的频率之和等于1－(0.0125＋
0.0375)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×2
1＋2＋3
＝0.25，
设样本容量为n ，则10
n
0.25，即n ＝40.
10．若方程2210ax x --=在()0,1内恰有一个解，则a 的取值范围是( )
A ．a <－1
B ．a >1
C ．－1<a <1
D ．0≤a <1
解析：选B.当a ＝0时，x ＝－1不合题意，故排除C 、D.当a ＝－2时，方程可化为4x 2
＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16<0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.
11．已知一个算法：
(1) .m a =
(2)如果b m <，则m b =，输出m ；否则执行第3步． (3)如果c m <，则m c =，输出m .
如果3a =，6b =，2c =，那么执行这个算法的结果是 2 解析：当a ＝3，b ＝6，c ＝2时，依据算法设计，执行后，m ＝a ＝3<b ＝6，c ＝2<a ＝3＝m ，∴c ＝2＝m ，即输出m 的值为2，
12．在区间()0,1上任取两个数，则两个数之和小于
65
的概率是
1725
解析设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域是⎩⎨
⎧
0<x <10<
y
<1
确定的平面区域，
A1
C 1
B1
B
C A
D 第（11）题
所求事件包含的基本事件是由⎩⎨
⎧
0<x <1
0<y <1
x ＋y <65
确定的平面区域，如图阴影部分所示． 阴影部分的面积是1－12×(45)2＝1725，所以两个数之和小于6
5
的概
率是1725
.
13．设0ω>，函数sin 23y x πω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移43
π个单位后与原图象重合，则ω
的最小值是 32
解析：选C.由函数图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4
3π是此函数周期的整数
倍．
又ω>0，∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝3
2
.
14.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点，若截面D BC 1∆是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 . 答案 38
15．(本小题满分12分)设函数()2
cos 2sin 3f x x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
.
(3) 求函数()f x 的最大值和最小正周期. (4) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=
3
1，1()2
4
c f =-
，且C 为锐角，求sinA.
解: （
1）f(x)=cos(2x+
3
π
)+sin 2x.=1cos 21cos 2cos
sin 2sin
23
3
2
2
2
x
x x
x π
π
--+
=-
所以函数f(x)2
最小正周期π.
（2）()2
c f =
1sin
2
2
C -
=－
4
1, 所以sin 2
C =
, 因为C 为锐角, 所以3
C π
=
,
又因为在∆ABC 中
, cosB=3
1, 所以 s i n B =
所以
11sin sin()sin cos cos sin 2
3
2
6
A B C B C B C +
=
+=+=+
⨯
=
.
16．(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求
事件的概率为P ＝26＝1
3
.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n ≥m ＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝3
16
.
故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝13
16.
17．(本小题满分14分)如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是
菱形，B 1C ⊥A 1B .
(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；
(2)设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值． 解：(1)证明：因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1.又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.
(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 因为A 1B ∥平面B 1CD ， 所以A 1B ∥DE . 又E 是BC 1的
中点，
所以D 为A 1C 1的中点， 即A 1D ∶DC 1＝1.
18．(本小题满分14分)已知x
x f 3)(=，并且(2)18f a +=，
()3
4ax
x
g x =-的定义域为区间]1,1[-．
①求函数)(x g 的解析式；
②判断)(x g 的单调性；
③若方程m x g =)(有解，求m 的取值范围. 解：（1）依题意得：23183
2
=⇒=+a
a
∴ ]1,1[,424)3()(-∈-=-=x x g x
x
x
x
a
……4分 （2）4
1)2
12(2)2()(2
2
+
-
-=+-=x
x
x
x g 当]1,1[-∈x 时，]2,2
1
[2∈x
，令x
t 2=
由二次函数单调性知当]2,2
1
[∈t 时是减函数， ……6分
∴函数)(x g 在]1,1[-是减函数。

……8分 （3）由（2）知x t 2=，]2,2
1
[2∈x ，则方程m x g =)(有解
⇒x
x m 42-=，在]1,1[-内有解 ……10分
]2,2
1[
,4
1)2
1(2
2
∈+
-
-=-=⇒t t t
t m ，∴m 的取值范围是]4
1,
2[- ……14分
19．(本小题满分14分)设椭圆M ：
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x
2
，
点A （a ，0），B （0，b -），原点O 到直线A B
3
．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点C 为（a -，0），点P 在椭圆M 上（与A 、C 均不
重合），点E 在直线P C 上，若直线P A 的方程为4y kx =-，且0CP B E ⋅=
，试求直线B E 的方程． 解 （Ⅰ）由222
22
2
2
2
112
c a b b e a
a
a
-=
=
=-
=
得a =
由点A （a ，0），B （0，b -）知直线A B 的方程为1x y a
b
+=-，
于是可得直线A B
的方程为0x -
-=
3
=
=
，得b =，22b =，2
4a =，
所以椭圆M 的方程为
2
2
14
2
x
y
+
=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A 、B 的坐标依次为（2，0）
、(0,， 因为直线P A 经过点(2,0)A ，所以024k =-，得2k =， 即得直线P A 的方程为24y x =-
因为0CP BE ⋅= ，所以1C P BE k k ⋅=-，即1BE C P
k k =-
设P 的坐标为00(,)x y ，则
2
2000
21222
4
4
2
C P y y y k x x x ⋅
=
=-
=-
=-+-
得14C P
k -
=，即直线B E 的斜率为4
又点B
的坐标为(0,，因此直线B E
的方程为4y x =-
20. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为11,4
n S a =
且1112
n n n S S a --=++
，数列
{}n b 满足11194
b =-
且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．（１）求{}n a 的通项公式；（２）求
证：数列{}n n b a -为等比数列;（３）求{}n b 前n 项和的最小值． 解： (1)由112221n n n S S a --=++得1221n n a a -=+, 112
n n a a --=
∴111(1)24n a a n d n =+-=
-
(2)∵13n n b b n --=,∴1113
3
n n b b n -=+
,
∴1111111111113()3324
3
64324n n n n n b a b n n b n b n ----=
+
-
+
=-
+
=-
+
;
11111113(1)2
4
2
4
n n n n b a b n b n -----=-
-+
=-
+
∴由上面两式得
11
13
n n
n n b a b a ---=-,又1111913044
b a -=-
-=-
∴数列{}n n b a -是以-30为首项,13
为公比的等比数列.
(3)由(2)得1
1
30()
3
n n n b a --=-⨯，∴1
1
1
11
130()
30()3
2
43
n n n n b a n --=-⨯=
-
-⨯ 12
111
111130()(1)30()243243
n n n n b b n n ----=
-
-⨯--++⨯ =
22
1
111130()(1)20()023323
n n --+⨯-=+⨯> ，∴{}n b 是递增数列 当n =1时, 11194
b =-<0；当n =2时, 23104
b =
-<0；当n =3时, 35104
3
b =
-
<0；当n =4
时, 47104
9
b =
-
>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且
31101(135)301041
4
312
S =
++---
=-。