论文_正交矩阵

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练正交矩阵系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号： 2009031114学生姓名：曹悫成绩：2012 年６月正交矩阵曹悫长沙学院 信息与计算科学系 湖南长沙 410022摘要：正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 它的应用非常广泛. 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.关键词: 矩阵,正交矩阵,标准正交基,集合,特征根,行列式1 正交矩阵的定义及其简单性质1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1.1[1] n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 判定1 A 为正交矩阵1'-=⇔A A .判定2 A 为正交矩阵⇔'1,,,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=⎧==⎨≠⎩ . 判定3 A 为正交矩阵⇔'1,,1,2,...0,,i j i j i j n i j ββ=⎧===⎨≠⎩.1.2 正交矩阵的性质设A 为正交矩阵, 它有如下性质:性质1[5] 1A =±, 1A -存在, 并且1A -也为正交矩阵; 性质2[5] 'A ,*A 也是正交矩阵; 当1A =时, '*A A =, 即ij ij a A =; 当1A =-时. '*A A =-, 即ij ij a A =-.性质3[5] 若B 也是正交矩阵, 则''11,,,AB A B AB A B AB --都为正交矩阵. 证明 性质1 显然1A =±, ()()()'11''1A A A ---==所以1A -也是正交矩阵.性质2 '1A A -=, 显然'A 为正交矩阵.由*'11,A A A A A-=±==,当1A =时, '*A A =, 即ij ij a A =; 当1A =-时, '*A A =-, 即ij ij a A =-; 所以*A 为正交矩阵.性质3 由'1'1,A A B B --==可知()()'1''11AB B A B A AB ---===,故AB 为正交矩阵. 由性质1, 性质2推知''11,,,A B AB A B AB --均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么1λ也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵T , 使112A T T λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1,...,n λλ为A 的全部特征值, 即()11,2,...,i i n λ==. 这些性质这里就不再证明了.2 正交矩阵的应用2.1 正交矩阵在线性代数中的应用在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens 矩阵. 这里, 我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积, 给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量()'21,n w w w W = , 令()i j w w s j i >+=22,sw d sw c ji==,, 则称n 阶矩阵行行j i c d d c T ij ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11 i 列 j 列 为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T , 是由向量W 的第j i ,两个元素定义的, 与单位矩阵只在第j i ,行和第j i ,列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()i j >, 则有如下的性质: <1> ij T 是正交矩阵;<2> 设()',21,,n ij u u u W T =, 则有()j i k w u u s u k k j i ,,0,≠===;<3> 用ij T 左乘任一矩阵A ,ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元素（用ij T 右乘任一矩阵A ,A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 <1> ()122222=+=+sw wdc j i , 故E TT ijij=', ij T 是正交矩阵.<2> 由ij T 得定义知, 用ij T 左乘向量W , 只改变W 的第j i ,两个元素, 且22=+-=+-==+=+=sw w s w w cw dw u ss w s w dw cw u ji i j j i j ji j i i 所以ij T 左乘W , 使ij T W 的第i 个分量非负, 第j 个分量为0, 其余分量不变.<3> 根据 <2> 及矩阵乘法即可以得出结论.引理 2.1.1[7] 任何n 阶实非奇异矩阵()n n ij a A ⨯=, 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理 2.1.1[7] 设P 是n 阶正交矩阵<1> 若1=P , 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即r P P P P 21=;<2> 若1-=P , 则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即n r E P P P P -= 21, 其中),2,1(r i P i =是初等旋转矩阵.nn nE ⨯-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1111证明 由于P 是n 阶正交矩阵, 根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵, 而且R 得对角线上的元素除最后一个外都是正的, 所以有R S S S P r ''2'1 = (2.1)由P 是正交矩阵和(2.1)式得E R S S S S R P P r r ==''11'' 即 E R R =' (2.2)设 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n r r r r r r R 22211211其中,()12,10-=>n i r ii ,则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1112221121121221211'nn n n nn nnr r r r r r r r r r r r R R由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=1P 11P 11,2,1,;1;0且且n j i n j i n j i j i j i r ij所以⎩⎨⎧-===1P ,E 1P E R n-当，当 (2.3)于是由(2.1)(2.3)式得<1> 当1=P 时, ''2'1r S S S P =; <2> 当1-=P 时, n r E S S S P -=''2'1 . 记()r i S P i i ,,2,1' ==, i P 是初等旋转矩阵, 故定理1结论成立.引理 2.1.2[7] 设()m n ij a A ⨯=, 秩()m A =, 则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵, 把'A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式, 其中R 是m 阶上三角阵, O 是()m m n ⨯-矩阵.证明 由引理2知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O R P A 1, 其中P 是n 阶正交矩阵, 1R 是m 阶上三角阵, 又根据定理1知:⎩⎨⎧-===-1,1,11P E P P P P P P n r r 其中()r i P i ,2,1=是初等旋转矩阵.<1> 当1=P 时, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O R P P P A r 121 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==O R A P P R R r '1'1, <2> 当1-=P 时, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-O R E P P P A n r 121 于是有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-O R O R E A P P n r1'1'显然, R 是m 阶上三角阵, 当m n =时R 与1R 除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外, 其余元素对应相等. 当m n >时,1R R =, 所以由<1>、<2>知本定理的结论成立.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm m m m n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα是欧式空间n R 的子空间m V 的一组基, 记()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nm n n m m m a a a a a a a a a A 21222211121121ααα是秩为m 的m n ⨯矩阵.若()m n ij a A ⨯=满足定理2的条件, 则存在初等旋转矩阵r P P P 21使⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O R A P P r'1' (2.4)且()()'1'2'21',,,,,,P P P P P P PP E r r ==所以''1'2''1'2'1'P P P P E P P P P r r r ==- (2.5)由(2.4)、(2.5)两式知, 对E A 、做同样的旋转变换, 在把A 化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的同时,就将E 化成了'P , 而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧式空间的子空间m V 的一组基:()()m i a a a ni i i i m ,,2,1,,,,,,'2121 ==αααα为一组标准正交基德方法为:<1> 由已知基m ααα ,,21为列向量构成矩阵()m n ij a A ⨯=;<2> 对矩阵()E A 施行初等旋转变换, 化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R , 同时E 就被化为正交矩阵'P , 这里R 是m 阶上三角阵;<3> 取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然, 上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面, 我们通过实例说明此方法的应用.例 2.1.1 求以向量()()()'3'2'11,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1-=-=-=ααα为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==100010001111321αααA对分块矩阵()E A 依次左乘342312,,T T T , 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21230023210000100001,10000313200323100001,1000100002222002222342312T T T 得()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=2121212100233213213213320002361616123000212121212122334 E A T T T 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=21230021321320213216*********121,21212121233213213210326161002121'P P 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23321321321,0326161,002121321P P P 则321,,P P P 就是由321,,ααα得到 的3V 的一组标准正交基.2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3] 设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、结合G 与空集φ属于R ; 2、R 中任意个集的并集属于R ; 3、R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3] 如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算 :u G G G →⨯; 求逆运算 :v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.<1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群.<3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以()ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E , 也就是将()ij a A =对应于2nE 的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2n E 的子集族, 则2n E 和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间. ()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10 ()n O C B A ∈∀,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB → 20 ()st O E n n ,∈∃ ()A AE A E O A n n n ==∈∀,30 ()st A A O A n ,,'1=∃∈∀- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →⨯:设()()ij ij b B a A ==∀,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ik b a 1现在M 具有乘积空间111E E E ⨯⨯⨯ (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,, 我们有投影映射1:E M M M m ij →→⨯π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →⨯:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈∀A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈∀映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>,AA A *'=, 所以A A a ji ji =, 即()A A A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4] 设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g g G g g ∈∀21, 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie群.定理 2.2.1[4] 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 M A ∈∀(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A det 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O 为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理内容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2n E 内的有界闭集. 设()n O A ∈∀, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈∀ ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3] 设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使X B A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO , 在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO =()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.2.3 正交矩阵在物理中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量. 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线()()()(){}1111r t x t y t z t = 与曲线()()()(){}r t x t y t z t = 只差一个运动, 从曲线()1r t到曲线()1r t的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.6) 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵, 123,,b b b 是常数.对(2.6)两边求n 阶导数得()()()()()()111n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有111121312122231313233m m mmmm m m m mm m m m m x x a x a y a z y A y a xa y a z z z a x a y a z⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2.7) 因为A 是正交矩阵, 所以也有()()1r t r t =(2.8)另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵''''''111''''''''''''111''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z A x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式, 由det 1A =±得'''''''''111''''''''''''''''''111'''''''''''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z x y z A x y z x y z x y z x y z ==± 现在取()()()()()()()()111r t r t r t r t r t r t =可类似地讨论.因为'''111''''''''''''''''111111111111'''''''''''''''''''''111111111mx y z y z z x x y xy z x y z y z z x x y xy z =++ (2.9) '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''x y z y z z x x y xyz x yzyzzxxyx y z =++ (2.10)(2.7)代入(2.9)的右边得()()()''''''''''''''''''''''''111111111213212223313233''''''''''''111111mmmy z z x x y ax a y a za x a y a za x a y a zyz zx zy ++++++++'''''''''''''''111111112131''''''''''''111111y z z x x y a x a xa xy zzxx y ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭''''''''''''111111122232''''''''''''111111m y z z x x y a y a ya yy z z x xy ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭'''''''''''''''111111132333''''''''''''111111y z z x x y a z a za zy zzxx y ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭（2.11） 因(2.9)与(2.10)右边相等, 有(2.10)右边与(2.11)式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质2知, ij ij a A =且由1(,1,2,3)njikj jk i AA j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z A A A y z ''++''''+21122221222311()z x A A A z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数, 即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可推得111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1] 张凯院, 徐仲．矩阵论同步学习辅导[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2002. 10．160-164 [2] 赵大成等．物质机构[M]．人民教育出版社 1982.9 219-226[3] 熊金城. 点集拓扑讲义[M]. 高等教育出版社, 1998.5 110-111, 193-195 [4] 严志达等. 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