精选推荐K12东营专版2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第五节直角三角

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【配套K12】东营专版2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第六节解直角三角形及其应用练习

第六节解直角三角形及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·天津中考)cos 30°的值等于( ) A.22B.32C ．1D. 32．(2018·云南中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠A 的正切值为( ) A ．3B.13C.1010D.310103．(2019·易错题)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米4．(2018·孝感中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于( )A.35B.45C.34D.435．(2018·宜昌中考)如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA 等于( )A ．100sin 35°米B ．100sin 55°米C ．100tan 35°米D ．100tan 55°米6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1＝22，则∠2的度数为( )A ．120°B ．135°C ．145°D ．150°7．(2018·天水中考)已知在Rt △ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝1213，则tan B 的值为________．8．(2019·原创题)如图，已知△ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos C 的值为________．9．(2018·咸宁中考)如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为___________(结果保留整数，3≈1.73)10．(2019·原创题)某条道路上有学校，为了保证师生的交通安全，通行车辆限速为40千米/时，在离道路100米的点P 处建一个监测点，道路AB 段为检测区(如图)．在△ABP 中，∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．(2018·恩施州中考)如图所示，为测量旗台A 与图书馆C 之间的直线距离，小明在A 处测得C 在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B 处，测得此时C 在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．(结果精确到1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73)12．(2019·原创题)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A>32，则下列各式成立的是( )A ．cos A>12B ．sin B<12C ．tan B> 3D ．tan A< 313．(2018·重庆中考B 卷)如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度(或坡比)为i ＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( )A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米14．(2018·眉山中考)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________．15．(2017·黑龙江中考)△ABC中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，则△ABC的面积是______________．16．(2018·湘西州中考)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A，B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10 km.(1)求景点B与C的距离；(2)为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)17．(2018·安徽中考)为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．如图所示，该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan 84.3°≈10.02)18．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；si n(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin15°的值是________．参考答案【基础训练】1．B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.B 7.512 8.229.300 10．解：如图，作PC⊥AB 于点C.在Rt△APC 中，tan∠PAC＝PC AC ，则AC ＝PCtan∠PAC ＝1003≈173(米)．同理，BC ＝PCtan∠PBA ＝PC ＝100(米)，则AB ＝AC ＋BC ＝273(米)． ∵40千米/时＝1009米/秒，则273÷1009≈24.6(秒)．答：车辆通过AB 段的时间在24.6秒内时，可认定为超速． 11．解：如图，由题意知∠MAC＝30°，∠NBC＝15°，∴∠BAC＝60°， ∠ABC＝75°，∴∠C＝45°.过点B 作BE⊥AC，垂足为E. 在Rt△AEB 中，∵∠BAC＝60°，AB ＝100米，∴AE＝cos∠BAC·AB＝12×100＝50(米)，BE ＝sin∠BAC·AB＝32×100＝503(米)．在Rt△CEB 中，∵∠C＝45°，BE ＝503米， ∴CE＝BE ＝503米，∴AC＝AE ＋CE ＝50＋503≈137(米)．答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．【拔高训练】 12．B 13.A14．2 15.153或21 316．解：(1)如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°， ∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB ＝10 km ，即景点B ，C 相距的路程为10 km.(2)如图，过点C 作CE⊥AB 于点E.∵BC＝10 km ，C 位于B 的北偏东30°的方向上， ∴∠CBE＝60°. 在Rt△CBE 中，CE ＝32BC ＝53(km)． 17．解：由题意可得∠FED＝45°.在Rt△DEF 中，∵∠FDE＝90°，∠FED＝45°， ∴DE＝DF ＝1.8米，EF ＝2DE ＝925(米)．∵∠AEB＝∠FED＝45°，∴∠AEF＝180°－∠AEB－∠FED＝90°.在Rt△AE F 中，∵∠AEF＝90°，∠AFE＝39.3°＋45°＝84.3°， ∴AE＝EF·tan∠AFE≈925×10.02＝18.0362(米)．在Rt△ABE 中，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°， ∴AB＝AE·sin∠AEB≈18.0362×22≈18(米)．答：旗杆AB 的高度约为18米．【培优训练】 18.6－24。

(东营专版)2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线练习

第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·武威中考)若一个角为65°，则它的补角的度数为( )A．25° B．35° C．115° D．125°2．(2018·邵阳中考)如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为( )A．20° B．60° C．70° D．160°3．如图所示，点P到直线l的距离是( )A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度4．(2018·利津一模)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有( )A．4个B．3个C．2个 D．1个5．(2018·眉山中考改编)下列命题为真命题的是( )A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B．若AM＝BM，则点M为线段AB的中点C．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行6．(2018·广州中考)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )A．∠4，∠2 B．∠2，∠6C．∠5，∠4 D．∠2，∠47．(2018·北京中考)如图所示的网格是正方形网格，∠BAC______∠DAE.(填“＞”“＝”或“＜”)8．(2018·岳阳中考)如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝________．9．(2019·原创题)已知∠AOB＝45°，OC是∠AOB的一条三等分线，则∠AOC的度数是__________________．10．(2018·重庆中考A卷)如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．11．(2018·泸州中考)如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝50°，则∠2的度数是( )A．50° B．70° C．80° D．110°12．(2018·黄冈中考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )A．50° B．70° C．75° D．80°13．(2018·盐城中考)将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝__________．14．(2019·原创题)如图，将一副含有45°和30°的两个三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB的度数为____________．15．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.(1)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．(2)拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)，其中区域③④位于直线AB上方，P是位于以上4个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求证明)．16．阅读下面的材料【材料一】异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．(2)特点：既不相交，也不平行．(3)理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”．③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．例如：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1D1所在直线与棱AB所在直线是异面直线，棱A1D1所在直线与棱BC 所在直线就不是异面直线．【材料二】我们知道“由平行公理，进一步可以得到如下结论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．”其实，这个结论不仅在平面内成立，在空间内仍然成立．利用材料中的信息，解答下列问题．(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱A1A所在直线成异面直线的是( )A．棱A1D1所在直线B．棱B1C1所在直线C．棱C1C所在直线D．棱B1B所在直线(2)在空间内，两条直线的位置关系有________、________、________．(重合除外)(3)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别为BC，AB的中点．求证：EF∥A1C1.参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.B7．＞8.80°9.15°或30°10．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝54°.∵BC平分∠ABD，∴∠CBD＝∠ABC＝54°.∵∠1＝54°，∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠1＝72°.∵∠BDC＝∠2，∴∠2＝72°.【拔高训练】11．C 12.B13．85°14.180°15．解：(1)①∠AED＝70°.②∠AED＝80°.③猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC.证明：如图，延长AE交DC于点F.∵AB∥DC，∴∠EAB＝∠EFD.∵∠AED为△EDF的外角，∴∠AED＝∠EFD＋∠EDF＝∠EAB＋∠EDC.(2)当点P在区域①时，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；当点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；当点P在区域③时，∠EP F＝∠PEB－∠PFC；当点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC－∠PEB.【培优训练】16．解：(1)B.(2)相交平行异面(3)证明：如图，连接AC.∵E，F分别为BC，AB的中点，∴EF∥AC.∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，∴四边形A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC，∴EF∥A1C1.。

【配套K12】[学习](东营专版)2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第六节解直角三

第六节解直角三角形及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·天津中考)cos 30°的值等于( ) A.22B.32C ．1D. 32．(2018·云南中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠A 的正切值为( ) A ．3B.13C.1010D.310103．(2019·易错题)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米4．(2018·孝感中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于( )A.35B.45C.34D.435．(2018·宜昌中考)如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA 等于( )A ．100sin 35°米B ．100sin 55°米C ．100tan 35°米D ．100tan 55°米6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1＝22，则∠2的度数为( )A ．120°B ．135°C ．145°D ．150°7．(2018·天水中考)已知在Rt △ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝1213，则tan B 的值为________．8．(2019·原创题)如图，已知△ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos C 的值为________．9．(2018·咸宁中考)如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为___________(结果保留整数，3≈1.73)10．(2019·原创题)某条道路上有学校，为了保证师生的交通安全，通行车辆限速为40千米/时，在离道路100米的点P 处建一个监测点，道路AB 段为检测区(如图)．在△ABP 中，∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．(2018·恩施州中考)如图所示，为测量旗台A 与图书馆C 之间的直线距离，小明在A 处测得C 在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B 处，测得此时C 在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．(结果精确到1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73)12．(2019·原创题)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A>32，则下列各式成立的是( )A ．cos A>12B ．sin B<12C ．tan B> 3D ．tan A< 313．(2018·重庆中考B 卷)如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度(或坡比)为i ＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( )A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米14．(2018·眉山中考)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________．15．(2017·黑龙江中考)△ABC中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，则△ABC的面积是______________．16．(2018·湘西州中考)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A，B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10 km.(1)求景点B与C的距离；(2)为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)17．(2018·安徽中考)为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．如图所示，该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan 84.3°≈10.02)18．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；si n(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin15°的值是________．参考答案【基础训练】1．B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.B 7.512 8.229.300 10．解：如图，作PC⊥AB 于点C.在Rt△APC 中，tan∠PAC＝PC AC ，则AC ＝PCtan∠PAC ＝1003≈173(米)．同理，BC ＝PCtan∠PBA ＝PC ＝100(米)，则AB ＝AC ＋BC ＝273(米)． ∵40千米/时＝1009米/秒，则273÷1009≈24.6(秒)．答：车辆通过AB 段的时间在24.6秒内时，可认定为超速． 11．解：如图，由题意知∠MAC＝30°，∠NBC＝15°，∴∠BAC＝60°， ∠ABC＝75°，∴∠C＝45°.过点B 作BE⊥AC，垂足为E. 在Rt△AEB 中，∵∠BAC＝60°，AB ＝100米，∴AE＝cos∠BAC·AB＝12×100＝50(米)，BE ＝sin∠BAC·AB＝32×100＝503(米)．在Rt△CEB 中，∵∠C＝45°，BE ＝503米， ∴CE＝BE ＝503米，∴AC＝AE ＋CE ＝50＋503≈137(米)．答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．【拔高训练】 12．B 13.A14．2 15.153或21 316．解：(1)如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°， ∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°， ∴∠CAB ＝∠C＝30°，∴BC＝AB ＝10 km ，即景点B ，C 相距的路程为10 km.(2)如图，过点C 作CE⊥AB 于点E.∵BC＝10 km ，C 位于B 的北偏东30°的方向上， ∴∠CBE＝60°. 在Rt△CBE 中，CE ＝32BC ＝53(km)． 17．解：由题意可得∠FED＝45°.在Rt△DEF 中，∵∠FDE＝90°，∠FED＝45°， ∴DE＝DF ＝1.8米，EF ＝2DE ＝925(米)．∵∠AEB＝∠FED＝45°，∴∠AEF＝180°－∠AEB－∠FED＝90°.在Rt△AE F 中，∵∠AEF＝90°，∠AFE＝39.3°＋45°＝84.3°， ∴AE＝EF·tan∠AFE≈925×10.02＝18.0362(米)．在Rt△ABE 中，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°， ∴AB＝AE·sin∠AEB≈18.0362×22≈18(米)．答：旗杆AB 的高度约为18米．【培优训练】 18.6－24。

山东东营市七年级数学上册第四章《几何图形初步》知识点复习(含解析)

山东东营市七年级数学上册第四章《几何图形初步》知识点复习（含解析）一、选择题1．如图，已知点C为线段AB的中点，则①AC＝BC；②AC＝12AB；③BC＝12AB；④AB＝2AC；⑤AB＝2BC，其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5D 解析：D【分析】根据线段中点的定义解答．【详解】∵点C为线段AB的中点，∴AC＝BC，AC＝12AB，BC＝12AB，AB＝2AC，AB＝2BC，故选：D．【点睛】此题考查线段中点的定义及计算，掌握线段中点是将线段两等分的点是解题的关键．2．下列说法错误的是（）A．若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等B．n棱柱有n个面，n个顶点C．长方体，正方体都是四棱柱D．三棱柱的底面是三角形B解析：B【解析】A、若直棱柱的底面边长都相等，则它的各个侧面面积相等，说法正确；B、n棱柱有n+2个面，n个顶点，故原题说法错误；C、长方体，正方体都是四棱柱，说法正确；D、三棱柱的底面是三角形，说法正确；故选B．3．如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，∠BOE＝13∠EOC，则下列四个结论正确的个数有（）①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．A．1个B．2个C．3个D．4个D解析：D【分析】根据题意首先计算出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．【详解】解：由题意设∠BOE=x，∠EOC=3x，∵∠DOE＝60°，OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD =60°-x，根据题意得：2（60°-x）+4x=180°，解得x=30°，∴∠EOC=∠AOE＝90°，∠BOE＝30°，∴∠BOD=∠AOD＝30°，故①正确；∵∠BOD＝∠AOD＝30°，∴射线OE平分∠AOC，故②正确；∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；∵∠AOE＝∠EOC＝90°，∴∠AOE+∠EOC＝180°，∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，∴图中互补的角有6对，故④正确，正确的有4个，故选：D．【点睛】本题主要考查角平分线以及补角和余角，解答的关键是正确计算出图中各角的度数．4．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是()A．B．C．D． C解析：C【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，根据看到的图形进行比较即可解答．【详解】解：A、主视图看到的是2行，3列，最下1行是3个，上面一行是1个，第2列是2个；左视图是2行，上下各1个；B．主视图看到的是3行，最下1行是2个，上面2行在下面1行的中间，各1个，左视图是3行，每行各一个；C．主视图是2行2列，下面1行是2个，上面1行1个，左面1列是2个；左视图是2行2列，下面1行是2个，上面1行1个，左面1列是2个，故主视图和左视图相同；D．主视图是2行2列，下面1行2个，上面1行1个，右面1列2个，左视图也是2行2列，下面1行2个，上面1行1个，左面1列2个．故选：C．【点睛】此题考查了从不同方向观察物体，重点是看清有几行几列，每行每列各有几个．5．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（）A．B．C．D． C解析：C【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．【详解】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；C、∠α与∠β互余，故本选项正确；D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角的应用，掌握余角和补角的定义是解题的关键．6．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（）A．20°B．30°C．10°D．15°A解析：A【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】∵∠BAC=60°，∠C=80°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°，又∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=30°，∴∠BAD=12∴∠ADE=∠B+∠BAD=70°，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=90°-∠ODE=90°-70°=20°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义等知识，此类题要首先明确解题思路，再利用相关知识解答．7．一根直木棒长10厘米，棒上有刻度如图，若把它作为尺子，只测量一次，能测量的长度共有（）A．7种B．6种C．5种D．4种B解析：B【分析】根据棒上标的数字，找出这根木棒被2、7两点分成的线段的条数即可．【详解】如图，∵线段AD被B、C两点分成AB、AC、AD、BC、BD、CD六条的线段∴能量的长度有：2、3、5、7、8、10，共6个，故选B．【点睛】本题考查的实质是找出已知图形上线段的条数．8．如图所示，在∠AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为()．A．10 B．15 C．5 D．20A解析：A【分析】根据图形写出各角即可求解.【详解】图中的角有∠AOB、∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠EOB、∠EOD、∠EOC、∠COB、∠COD、∠DOB，共10个.故选A.【点睛】此题主要考查角的个数，解题的关键是依次写出各角.9．由A站到G站的某次列车，运行途中停靠的车站依次是A站——B站—C站——D站——E站——F站——G站，那么要为这次列车制作的火车票有（）A．6种B．12种C．21种D．42种C解析：C【解析】【分析】从A出发要经过6个车站，所以要制作6种车票，从B出发要经过5个车站，所以要制作5种车票，从C出发要经过4个车站，所以要制作4种车票，从D出发要经过3个车站，所以要制作3种车票，从E出发要经过2个车站，所以要制作2种车票，从F出发要经过1个车站，所以要制作1种车票，把车票数相加即可得解．【详解】共需制作的车票数为：6+5+4+3+2+1=21（种）．故选C．【点睛】本题从A站出发，逐站求解即可得到所有可能的情况，不要遗漏.10．用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是（）A．B．C．D． D解析：D【解析】【分析】圆锥是由圆和扇形围成的几何体，圆锥的底面是圆，侧面是曲面，截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，据此对所给选项一一进行判断.【详解】圆锥的轴截面是B，平行于底面的截面是C，当截面与轴截面斜交时截面是A；无论如何截，截面都不可能是D.故选D.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键是掌握圆锥的特点进行求解.二、填空题11．已知一个角的补角是它余角的3倍，则这个角的度数为_____．45°【分析】根据互为余角的和等于90°互为补角的和等于180°用这个角表示出它的余角与补角然后列方程求解即可【详解】设这个角为α则它的余角为90°﹣α补角为180°﹣α根据题意得180°-α＝3（解析：45°【分析】根据互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°用这个角表示出它的余角与补角，然后列方程求解即可．【详解】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，根据题意得，180°-α＝3（90°-α），解得α＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了余角与补角，能分别用这个角表示出它的余角与补角是解题的关键． 12．如图，若AOB ∠是直角，OM 平分AOC ∠，ON 平分COB ∠，则MON ∠=________.45°【分析】结合图形根据角的和差以及角平分线的定义找到∠MON 与∠AOB 的关系即可求出∠MON 的度数【详解】解：∵OM 平分∠AOCON 平分∠BOC ∴∠MOC=∠AOC ∠NOC=∠BOC ∴∠MON=解析：45°【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON 与∠AOB 的关系，即可求出∠MON 的度数.【详解】解：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC=12∠AOC ，∠NOC=12∠BOC ， ∴∠MON=∠MOC-∠NOC =12（∠AOC-∠BOC ） =12（∠AOB+∠B0C-∠BOC ） =12∠AOB =45°.故选答案为45°.【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，此类问题，注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解.13．已知线段AB的长度为16厘米，C是线段AB上任意一点，E，F分别是AC，CB的中点，则E，F两点间的距离为_______.8厘米【解析】【分析】根据线段的中点即把线段分成相等的两部分的点进行解答【详解】解：∵C是线段AB的中点∴AC=CB=AB=8∵EF分别是ACCB的中点∴CE=AC=4CF=CB=4∴EF=8（cm解析：8厘米【解析】【分析】根据线段的中点即把线段分成相等的两部分的点进行解答．【详解】解：∵C是线段AB的中点,∴AC=CB=12AB=8,∵E、F分别是AC、CB的中点,∴CE=12AC=4,CF=12CB=4，∴EF=8（cm）,故答案为:8cm．【点睛】本题主要考查了线段的中点的概念和性质,解决本题的关键是要能够根据中点准确运用式子表示并进行计算．14．36.275︒=_____度______分______秒.1630【解析】【分析】利用度分秒的换算1度＝60分1分=60秒来计算【详解】36度16分30秒故答案为:361630【点睛】此题考查度分秒的换算解题关键在于掌握换算法则解析：16 30【解析】【分析】利用度分秒的换算1度＝ 60分，1分=60秒，来计算.【详解】36.275︒=36度16分30秒故答案为:36,16,30.【点睛】此题考查度分秒的换算，解题关键在于掌握换算法则.15．按照图填空：(1)可用一个大写字母表示的角有____________.(2)必须用三个大写字母表示的角有_____________________.(3)以B为顶点的角共有______个，分别表示为_______________________.3【解析】【分析】根据角的表示方法：即角可以用一个大写字母表示也可以用三个大写字母表示其中顶点字母要写在中间唯有在顶点处只有一个角的情况才可用顶点处的一个字母来记这个角否则分不清这个字母究竟表示哪个解析：A ∠，C ∠ ABD ∠，ABC ∠，DBC ∠，ADB ∠，BDC ∠ 3 ABD ∠，ABC ∠，DBC ∠【解析】【分析】根据角的表示方法：即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．【详解】（1）∵以A 、 C 为顶点的角有两个，∴能用一个大写字母表示的角有A ∠，C ∠ ；（2）∵只要角的顶点及两边均有大写字母，则此角可用三个大写字母表示， ∴可用三个大写字母表示的角是ABD ∠，ABC ∠，DBC ∠，ADB ∠，BDC ∠ ；（3）由图可知以B 为顶点的角共有3个，分别是ABD ∠，ABC ∠，DBC ∠.【点睛】此题考查角的概念，解题关键在于掌握其概念.16．车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了_______；直角三角形绕它的直角边旋转一周形成了一个圆锥体，这说明了________．线动成面面动成体【解析】【分析】车轮上有线看起来像一个整体的圆面所以是线动成面；直角三角形是一个面形成圆锥体所以是面动成体【详解】车轮旋转时看起来像一个整体的圆面这说明了线动成面；直角三角形绕它的直解析：线动成面面动成体【解析】【分析】车轮上有线，看起来像一个整体的圆面，所以是线动成面；直角三角形是一个面，形成圆锥体，所以是面动成体．【详解】车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了线动成面；直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，这说明了面动成体.故答案为线动成面，面动成体.【点睛】此题考查点、线、面、体，解题关键在于掌握其定义.17．如图，折一张长方形纸的一角，使角的顶点落在A′处，且使得∠ABA′＝90°，BC 为折痕，若BD 为∠A′BE 的平分线，则∠CBD ＝________°．90【分析】根据折叠的性质及平角的定义求出根据BD 为∠A′BE 的平分线得到根据角的和差计算求出答案【详解】∵∠ABA′＝90°∴∵BD 为∠A′BE 的平分线∴∴故答案为：90【点睛】此题考查折叠的性质解析：90【分析】根据折叠的性质及平角的定义求出45ABC A BC '∠=∠=︒，18090A BE ABA ''∠=︒-∠=︒，根据BD 为∠A′BE 的平分线，得到45A BD '∠=︒，根据角的和差计算求出答案．【详解】∵∠ABA′＝90°，∴45ABC A BC '∠=∠=︒，18090A BE ABA ''∠=︒-∠=︒，∵BD 为∠A′BE 的平分线，∴45A BD '∠=︒，∴90CBD A BC A BD ∠∠∠=+=''︒故答案为：90．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角角相等，利用平角求角的度数，角平分线的性质，掌握图形中各角的位置关系是解题的关键．18．如图所示，直线AB ，CD 交于点O ，∠1＝30°，则∠AOD ＝________°，∠2＝________°．30【分析】根据邻补角和对顶角的定义解答【详解】∠AOD ＝180°-∠1=180°-30°=150°∠2＝180°-∠AOD=180°-150°=30°故答案为:15030【点睛】此题考查邻补角的定解析：30【分析】根据邻补角和对顶角的定义解答．【详解】∠AOD＝180°-∠1=180°-30°=150°，∠2＝180°-∠AOD=180°-150°=30°．故答案为:150,30．【点睛】此题考查邻补角的定义，正确理解图形中角的位置关系是解题的关键．19．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠后，若∠1＝50°，则∠2的度数为______．65°【解析】∵把一张长方形纸片沿AB折叠∴∠2=∠3∵∠1+∠2+∠3=180°∠1=50°∴∠2=（180°-∠1）2=65°解析：65°【解析】∵把一张长方形纸片沿AB折叠，∴∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=50°，∴∠2=（180°-∠1） 2=65°.20．如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD +∠COB的度数为___________度．180【分析】根据角度的关系∠AOD+∠COB=∠COD+∠AOB据此即可求解【详解】∠AOD+∠COB=∠COD+∠AOC+∠COB=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°故答案是：180【解析：180【分析】根据角度的关系∠AOD+∠COB=∠COD+∠AOB，据此即可求解．【详解】∠AOD+∠COB=∠COD+∠AOC+∠COB =∠COD+∠AOB=90°+90°=180°．故答案是：180．【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，正确把∠AOD+∠COB转化成∠COD+∠AOB是解决本题的关键．三、解答题21．如图所示，已知射线OC将∠AOB分成1∶3的两部分，射线OD将∠AOB分成5∶7的两部分，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数．解析：90°【分析】设∠AOB的度数为x，根据题意用含x的式子表示出∠AOC，∠AOD，根据角的关键列出方程即可求解．【详解】解：设∠AOB的度数为x．因为射线OC将∠AOB分成1∶3两部分，所以∠AOC＝14 x．因为射线OD将∠AOB分成5∶7两部分，所以∠AOD＝512x．又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，∠COD＝15°，所以15°＝512x－14x．解得x＝90°，即∠AOB的度数为90°．【点睛】本题考查了角的和差，设出未知数，表示出∠AOC，∠AOD，列出方程是解题关键．22．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）解析：见解析．【分析】根据正方体展开图直接画图即可．【详解】解：【点睛】正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．23．已知，A、B是线段EF上两点，已知EA：AB：BF=1：2：3，M、N分别为EA、BF的中点，且MN=8cm，求EF的长．解析：12cm【解析】【分析】由已知设设EA=x，AB=2x，BF=3x，根据线段中点性质得MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12.【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，∴MA=12EA，NB=12BF，∴MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x，∵MN=8cm，∴4x=8，∴x=2，∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF的长为12cm．【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.24．已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，BC＝6cm，M为线段AB的中点，N为线段BC的中点，求线段MN的长．解析：2cm或8cm【分析】分两种情况：（1）点C在线段AB上时，（2）点C在AB的延长线上时，分别求出线段MN的值，即可．【详解】解：（1）若为图1情形，∵M为AB的中点，∴MB＝MA＝5cm，∵N为BC的中点，∴NB＝NC＝3cm，∴MN＝MB﹣NB＝2cm；（2）若为图2情形，∵M为AB的中点，∴MB＝AB＝5cm，∵N为BC的中点，∴NB＝NC＝3cm，∴MN＝MB+BN＝8cm．【点睛】本题主要考查线段的和差倍分和线段的中点概念，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键．25．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．解析：120°【分析】此题可以设∠AOC=x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．【详解】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．∴x＝40°∴∠AOB＝120°．【点睛】此题考查角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解题的关键．26．如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．解析：（1）见解析；（2）72°【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．27．如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．解析：画图见详解.【分析】分别画出从正面看、左面看、上面看的图形，注意所有看到的棱都要表示到三视图中.【详解】如图所示：【点睛】本题主要考查了三视图的画法，所有看到的棱都要在三视图中表示出来是画图的关键. 28．如图，C，D，E为直线AB上的三点.（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；（2）若一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.（2）(1)2n n条线段，2n条射线.【解析】【分析】对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.【详解】解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.能用大写字母表示的射线：射线AC、射线CD、射线DE、射线EB、射线CA、射线DC、射线ED、射线BE.（2）因为n个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，所以n个点就组成n(n-1)条线段.因为其中有一半重合的线段，如线段AC与线段CA，所以这条直线上共有(1)2n n条线段.因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线，所以当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.【点睛】此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法.。

山东省2019中考数学第四章几何初步与三角形第五节直角三角形课件PPT

A．4 B．6 C．4
D．8
11
5．(2015·滨州中考)如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB.当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动．如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′ 处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是( B ) A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
4
2．(2014·滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角
三角形的是( B )
A．4，5，6
B．1.5，2，2.5
C．2，3，4
D．1，，3
5
3．(2018·黔西南州中考)如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE 交于点F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为 60．
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【分析】 (1)利用等腰直角三角形的性质，连接AD，构造△BDE和△ADF，通过
ASA证明全等即可得出结论； (2)类比(1)，通过连接AD，仍然可以构造△BDE和△ADF，通过ASA证明全等得出
结论．
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【自主解答】 (1)如图，连接AD. ∵∠BDA＝∠EDF＝90°， ∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF， ∴∠BDE＝∠ADF. 又∵D为BC中点，△ABC是等腰直角三角形， ∴BD＝AD，∠B＝∠DAC＝45°，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF.
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6．(2018·枣庄中考)如图是由8个全等的小矩形组成的大正
方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个
小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角
形的点P的个数是( B )
A．2个
B．3个
C．4个

【配套K12】东营专版2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第五节直角三角形练习

第五节直角三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．(2018·宜宾中考)在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．5 cm4．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是( )A．(32＋8)cm B．10 cmC．14 cm D．无法确定5．(2018·贺州中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为( )A．3 2 B．3 3 C．6 D．6 26．(2018·哈尔滨中考)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为____________________．7．(2018·福建中考)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________．8．如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP＝________．9．(2018·深圳中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，且AF＝4，EF＝2，则AC＝________．10．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，CE是△ABC的角平分线．(1)求∠DCE的度数．(2)若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC.11．(2018·南充中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC ＝2，则EF 的长度为( )A.12B ．1C.32D. 312．(2018·枣庄中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D ，AF 平分∠CAB，交CD 于点E ，交CB 于点F.若AC ＝3，AB ＝5，则CE 的长为( )A.32B.43C.53D.8513．(2018·泰州中考)如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠ACD ＝∠ABC＝90°，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，∠D＝α，则∠BEF 的度数为__________________(用含α的式子表示)．14．(2019·原创题)如图，四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB ＝3，CD ＝1，则边BC ＝__________．15．(2018·盐城中考)如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝________．16．(2019·易错题)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__________．17．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.(1)如图1，求证：CD⊥AB；(2)将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示)．18．(2019·改编题)如图，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段A B 的勾股分割点．若AM ＝3，MN ＝5，求BN 的长为________．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.A 4.B 5.D6．130°或90° 7.3－1 8.522 9.810510．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB 于D ， ∴∠DCB＝90°－∠B＝60°. ∵CE 平分∠ACB，∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝12∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠DCB－∠ECB＝60°－45°＝15°. (2)证明：∵∠CEF＝135°，∠ECB＝12∠ACB＝45°，∴∠CEF＋∠ECB＝180°， ∴EF∥BC. 【拔高训练】 11．B 12.A13．270°－3α 14.33－2 15.154或307 16.43或417．(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°. ∵∠ACD＝∠B， ∴∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB.(2)解：①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝34°.由(1)知，∠BCD＋∠B＝90°，∴∠BCD＝56°.由折叠知∠A′CD＝∠ACD＝34°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝56°－34°＝22°.②当∠B＝n°时，同①的方法得∠A′CD＝n°，∠BCD＝90°－n°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝90°－n°－n°＝90°－2n°.【培优训练】18．4或34。

东营专版2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第五节直角三角形课件

属丝，则这圈金属丝的周长最小为__4 __2d_m__．
12
命题角度❸ 勾股定理的应用例3 (2014·东营中考)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米．
13
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【自主解答】大树高为AB＝12米，小树高CD＝6米．如图，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，
长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正
方形的边长为( D )
A．9
B．6
C．4
D．3
6
2．(2017·安顺中考)三角形三边长分别为3，4，5，那么 2.5
最长边上的中线长等于______． 3．(2018·襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝
3 ，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为_2__3_或__2_7___．
为( D )
A. 2
C. 3 －1
B．3－ 2
D．3－ 3
32
27
【自主解答】 (1)如图，连接AD. ∵∠BDA＝∠EDF＝90°， ∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF， ∴∠BDE＝∠ADF. 又∵D为BC中点，△ABC是等腰直角三角形， ∴BD＝AD，∠B＝∠DAC＝45°， ∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF.
28
(2)BE＝AF.理由如下：如图，连接AD. ∵∠BDA＝∠EDF＝90°， ∴∠BDE＋∠BDF＝∠BDF＋∠ADF， ∴∠BDE＝∠ADF.
19
【自主解答】 ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5. ∵AD＝2，∴DE＝3. ∵CD为AB边上的高，

推荐学习K12(东营专版)2019年中考数学复习专题类型突破专题四几何变换综合题训练

专题四几何变换综合题类型一涉及一个动点的几何问题(2018·长春中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ ＝60°，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段DC的长；(2)当点Q与点C重合时，求t的值；(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．【分析】 (1)先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；(2)利用AD＋DQ＝AC，即可得出结论；(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；(4)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【自主解答】1．(2018·江西中考)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．类型二涉及两个动点的几何问题(2018·青岛中考)已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝ 16 cm，BC＝6 cm，CD＝8 cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.点P 和点Q 同时出发，以QA ，QP 为边作平行四边形AQPE ，设运动的时间为t(s)，0＜t ＜5. 根据题意解答下列问题： (1)用含t 的代数式表示AP ；(2)设四边形CPQB 的面积为S(cm 2)，求S 与t 的函数关系式； (3)当QP⊥BD 时，求t 的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点E 在∠ABD 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】 (1)作DH⊥AB 于点H ，则四边形DHBC 是矩形，利用勾股定理求出AD 的长即可解决问题； (2)作PN⊥AB 于N ，连接PB ，根据S ＝S △PQB ＋S △BCP 计算即可；(3)当QP⊥BD 时，∠PQN ＋∠DBA＝90°，∠QPN＋∠PQN＝90°，推出∠QPN＝∠DBA，由此利用三角函数即可解决问题；(4)连接BE 交DH 于点K ，作KM⊥BD 于点M.当BE 平分∠ABD 时，△KBH≌△KBM，推出KH ＝KM.作EF⊥AB 于点F ，则△AEF≌△QPN，推出EF ＝PN ，AF ＝QN ，由KH∥EF 可得KH EF ＝BHBF ，由此构建方程即可解决问题．【自主解答】2．(2018·黄冈中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，点B ，C 在第一象限，∠C＝120°，边长OA ＝8.点M 从原点O 出发沿x 轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N 从A 出发沿边AB －BC －CO 以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M 作直线MP 垂直于x 轴并交折线OCB 于P ，交对角线OB 于Q ，点M 和点N 同时出发，分别沿各自路线运动，点N 运动到原点O 时，M 和N 两点同时停止运动．(1)当t ＝2时，求线段PQ 的长； (2)求t 为何值时，点P 与N 重合；(3)设△APN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式及t 的取值范围．类型三图形的平移变换(2017·扬州中考)如图，将△ABC 沿着射线BC 方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB 的外角平分线CD 上，连接AA′.(1)判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；(2)在△ABC 中，∠B＝90°，AB ＝24，cos∠BAC＝1213，求CB′的长．【分析】 (1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形ACC′A′是平行四边形．再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形ACC′A′是菱形．(2)通过解直角△ABC得到AC，BC的长度，由(1)中菱形ACC′A′的性质推知AC＝AA′，由平移的性质得四边形ABB′A′是平行四边形，则AA′＝BB′，所以CB′＝BB′－BC.【自主解答】平移变换命题的呈现形式主要有：(1)坐标系中的点、函数图象的平移问题；(2)涉及基本图形平移的几何问题；(3)利用平移变换作为工具解题．其解题思路：(1)特殊点法：解题的关键是学会运用转化的思想，如坐标系中图象的平移问题，一般是通过图象上一个关键(特殊)点的平移来研究整个图象的平移；(2)集中条件法：通过平移变换添加辅助线，集中条件，使问题获得解决；(3)综合法：已知条件中涉及基本图形的平移或要求利用平移作图的问题时，要注意找准对应点，看清对应边，注意变换性质的理解和运用．3．(2018·安徽中考)如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1.正方形ABCD的边长为2，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为( )4．如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(0，1)，点C 为边AB 的中点，正方形OBDE 的顶点E 在x 轴的正半轴上，连接CO ，CD ，CE.(1)线段OC 的长为________； (2)求证：△CBD≌△COE；(3)将正方形OBDE 沿x 轴正方向平移得到正方形O 1B 1D 1E 1，其中点O ，B ，D ，E 的对应点分别为点O 1，B 1，D 1，E 1，连接CD 1，CE 1，设点E 1的坐标为(a ，0)，其中a≠2，△CD 1E 1的面积为S. ①当1＜a ＜2时，请直接写出S 与a 之间的函数解析式； ②在平移过程中，当S ＝14时，请直接写出a 的值．类型四图形的旋转变换(2017·潍坊中考)边长为6的等边△ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DE∥AB，EC＝2 3. (1)如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．(2)如图2，将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)图1 图2【分析】 (1)先判断出四边形M CND′为平行四边形，可得△MCE′和△NCC′为等边三角形，即可求出CC′，得出CN＝CM，即证四边形MCND′为菱形；(2)①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD′≌△BCE′，即可得出结论；②先判断出点A，C，P三点共线，求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论．【自主解答】旋转变换问题的解题思路：(1)以旋转为背景的问题，要根据题意，找准对应点，看清对应边，注意对旋转的性质的理解和运用，想象其中基本元素，如点、线(角)之间的变化规律，再结合几何图形的性质，大胆地猜想结果并加以证明来解决问题；(2)利用旋转变换工具解决问题，要注意观察，通过旋转图形中的部分，运用旋转的性质，将复杂问题简单化．5．(2018·菏泽中考)问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm.操作发现：(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________．(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．类型五图形的翻折变换(2017·德州中考)如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使B点落在边AD 上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．【分析】 (1)由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；(2)①由矩形的性质得出BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5 cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4 cm，得出AE＝AD－DE＝1 cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝53cm即可；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1 cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3 cm，即可得出答案．【自主解答】翻折变换问题的解题思路：以翻折变换为载体，考查几何图形的判定和性质问题．一般先作出折叠前、后的图形位置，考虑折叠前、后哪些线段、角对应相等，哪些量发生了变化．然后再利用轴对称的性质和相关图形的性质推出相等的线段、角、全等三角形等，当有直角三角形出现时，考虑利用勾股定理以及方程思想来解决．6．(2017·兰州中考)如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．类型六图形的相似变换【探究证明】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图1，矩形ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.求证：EF GH ＝ADAB ；【结论应用】(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若EF GH ＝1115，则BNAM的值为________；【联系拓展】(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM⊥DN，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DNAM的值．【分析】 (1)过点A 作AP∥EF，交CD 于点P ，过点B 作BQ∥GH，交AD 于点Q ，易证AP ＝EF ，GH ＝BQ ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可以解决问题； (2)只需运用(1)中的结论，就可得到EF GH ＝AD AB ＝BNAM，就可以解决问题；(3)过D 作AB 的平行线，交BC 的延长线于点E ，作AF⊥AB 交直线DE 于点F ，易证得四边形ABEF 是矩形，通过等量代换，得∠1＝∠3，进而得到△ADF∽△DCE，根据相似三角形的性质，得出线段DE ，AF ，DC ，AD 之间的关系，再通过设未知数及勾股定理求出AF ，最后根据(1)中的结论，即可解决问题．【自主解答】求两条线段的比，一般有两种方法：一是根据定义，求出两条线段的长度，再求两条线段的比；二是利用比例线段，等比转换，能够产生比例线段的是相似三角形和平行线，可以利用相似三角形和平行线的性质去寻找比例线段．在含有比值与相似的问题中，关键是证明三角形相似．判定三角形相似的方法一般有：(1)条件中若有平行线，可采用找角相等证两个三角形相似；(2)条件中若有一组对应角相等，可再找一组对应角相等或再找此角所在的两边对应成比例；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一组直角，可考虑再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找对应底角相等或底和腰对应成比例．7．(2018·湖州中考)已知在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点(不包括端点)，且DC BE ＝ACBC ＝m ，连接AE ，过点D 作D M⊥AE，垂足为点M ，延长DM 交AB 于点F.(1)如图1，过点E 作EH⊥AB 于点H ，连接DH.①求证：四边形DHEC 是平行四边形； ②若m ＝22，求证：AE ＝DF ； (2)如图2，若m ＝35，求DFAE的值．类型七类比、拓展类探究问题(2018·淄博中考)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC ，其中AB ＝AC ，在△ABC 的外侧分别以AB ，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ，ACE.分别取BD ，CE ，BC 的中点M ，N ，G.连接GM ，GN.小明发现了：线段GM 与GN 的数量关系是________；位置关系是________．(2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形．其中AB>AC ，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3)深入探究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究，向△ABC 的内侧分别作等腰直角三角形ABD ，ACE.其他条件不变，试判断△GMN 的形状，并给予证明．【分析】 (1)利用SAS 判断出△AEB≌△ACD，得出EB ＝CD ，∠AEB＝∠ACD，进而判断出EB⊥CD，最后用三角形中位线定理即可得出结论； (2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出MG ＝NG ，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【自主解答】8．(2018·日照中考)问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则AC ＝12AB.探究结论：小明同学对以上结论作了进一步探究．(1)如图1，连接AB 边上中线CE ，由于CE ＝12AB ，易得结论：①△ACE 为等边三角形；②BE 与CE 之间的数量关系为________；(2)如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论________；拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－3，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC.当C点在第一象限内，且B(2，0)时，求C点的坐标．参考答案类型一【例1】 (1)∵在Rt△ABC 中，∠A＝30°，AB ＝4， ∴AC＝2 3.∵PD⊥AC，∴∠ADP＝∠CDP＝90°. 在Rt△ADP 中，AP ＝2t ，∴DP＝t ，AD ＝3t ，∴CD＝AC －AD ＝23－3t(0＜t ＜2)． (2)在Rt △PDQ 中，∵∠DPQ＝60°，∴∠PQD＝30°＝∠A，∴PA＝PQ. ∵PD⊥AC，∴AD＝DQ.∵点Q 和点C 重合，∴AD＋DQ ＝AC ，∴23t ＝23，∴t＝1. (3)当0＜t≤1时，S ＝S △PDQ ＝12DQ·DP＝12×3t·t＝32t 2.如图，当1＜t ＜2时，CQ ＝AQ －AC ＝2AD －AC ＝ 23t －23＝23(t －1)．在Rt△CEQ 中，∠CQE＝30°，∴CE＝CQ·tan∠CQE＝23(t －1)×33＝2(t －1)， ∴S＝S △PDQ －S △ECQ ＝12×3t·t－12×23(t －1)×2(t－1)＝－332t 2＋43t －23，∴S＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2（0<t≤1），－332t 2＋43t －23（1<t<2）.(4)①如图，当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，∴∠PGF＝90°，PG ＝12PQ ＝12AP ＝t ，AF ＝12AB ＝2. ∵∠A ＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG ＝2t ， ∴AP＋PF ＝2t ＋2t ＝2， ∴t＝12.②如图，当PQ 的垂直平分线过AC 的中点N 时，∴∠QMN＝90°， AN ＝12AC ＝3，QM ＝12PQ ＝12AP ＝t.在Rt△NMQ 中，NQ ＝MQ cos 30°＝233t.∵AN＋NQ ＝AQ ，∴3＋233t ＝23t ， ∴t＝34.③如图，当PQ 的垂直平分线过BC 的中点F 时，∴BF＝12BC ＝1，PE ＝12PQ ＝t ，∠H＝30°.∵∠ABC＝60°， ∴∠BFH＝30°＝∠H， ∴BH＝BF ＝1.在Rt△PEH 中，PH ＝2PE ＝2t.∵AH＝AP ＋PH ＝AB ＋BH ，∴2t＋2t ＝5， ∴t＝54.即当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为12或34或54.变式训练1．解：(1)BP ＝CE CE⊥AD 提示：如图，连接AC.∵四边形ABCD 是菱形， ∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD 都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC. 又∵△APE 是等边三角形，∴AP＝AE ，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE， ∴△BAP≌△CAE，∴BP ＝CE ，∠ABP＝∠ACE＝30°. 延长CE 交AD 于点H. ∵∠CAH＝60°， ∴∠CAH＋∠ACH＝90°， ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD. (2)结论仍然成立．理由：如图，连接AC 交BD 于点O ，设CE 交AD 于点H.∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD 都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AB＝AC.∵△APE 是等边三角形，∴AP＝AE ，∠BAC＝∠PAE＝60°， ∴∠BAP＝∠CAE， ∴△BAP≌△CAE，∴BP＝CE ，∠ABP＝∠ACE＝30°. ∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°， ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD. 也可选用图3进行证明，方法同上．(3)如图，连接AC 交BD 于点O ，连接CE 交AD 于点H ，由(2)可知EC⊥AD，CE ＝BP. 在菱形ABCD 中，AD∥BC， ∴EC⊥BC.∵BC＝AB ＝23，BE ＝219，在Rt△BCE 中，EC ＝（219）2－（23）2＝8， ∴BP＝CE ＝8.∵AC 与BD 是菱形的对角线， ∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，∴BD＝2BO ＝2AB·cos 30°＝6，∴OA＝12AB ＝3，DP ＝BP －BD ＝8－6＝2，∴OP＝OD ＋DP ＝5.在Rt△AOP 中，AP ＝AO 2＋OP 2＝27，∴S 四边形ADPE ＝S △ADP ＋S △AEP ＝12×2×3＋34×(27)2＝8 3.类型二【例2】 (1)如图，作DH⊥AB 于点H ，则四边形DHBC 是矩形， ∴CD＝BH ＝8，DH ＝BC ＝6. ∵AH＝AB －BH ＝8， ∴AD＝DH 2＋AH 2＝10， ∴AP＝AD －DP ＝10－2t.(2)如图，作PN⊥AB 于点N ，连接PB. 在Rt△APN 中，PA ＝10－2t ， ∴PN＝PA·sin∠DAH＝35(10－2t)，AN ＝PA·cos∠DAH＝45(10－2t)，∴BN＝16－AN ＝16－45(10－2t)，∴S＝S △PQB ＋S △BCP ＝12·(16－2t)·35(10－2t)＋12×6×[16－45(10－2t)]＝65t 2－545t ＋72.(3)当QP⊥BD 时，∠PQ N ＋∠DBA＝90°. ∵∠QPN＋∠PQN＝90°，∴∠QPN＝∠DBA， ∴tan∠QPN＝QN PN ＝34，∴45（10－2t ）－2t 35（10－2t ）＝34，解得t ＝3527.经检验，t ＝3527是分式方程的解，且符合题意，∴当t ＝3527时，QP⊥BD.(4)存在．理由如下：如图，连接BE 交DH 于点K ，作KM⊥BD 于点M. 当BE 平分∠ABD 时，△KBH≌△KBM，∴KH＝KM ，BH ＝BM ＝8. ∵BD＝CD 2＋BC 2＝10，∴DM＝2.设KH ＝KM ＝x ，在Rt△DKM 中，(6－x)2＝22＋x 2，解得x ＝83. 如图，作EF⊥AB 于点F ，则△AEF≌△QPN，∴EF＝PN ＝35(10－2t)，AF ＝QN ＝45(10－2t)－2t. ∴BF＝16－[45(10－2t)－2t]． ∵KH∥EF，∴KH EF ＝BH BF， ∴8335（10－2t ）＝816－[45（10－2t ）－2t]，解得t ＝2518. 经检验，t ＝2518是分式方程的解，且符合题意， ∴当t ＝2518时，点E 在∠ABD 的平分线上．变式训练2．解：(1)当t ＝2时，OM ＝2，在Rt△OPM 中，∠POM＝60°，∴PM＝OM·tan 60°＝2 3.在Rt△OMQ 中，∠QOM＝30°， ∴QM＝OM·tan 30°＝233， ∴PQ＝PM －QM ＝23－233＝433.(2)当t≤4时，AN ＝PO ＝2OM ＝2t ，t ＝4时，P 到达C 点，N 到达B 点，点P ，N 在边BC 上相遇．设t 秒时，点P 与N 重合，则(t －4)＋2(t －4)＝8，解得t ＝203，即t ＝203秒时，点P 与N 重合． (3)①当0＜t≤4时，S ＝12·2t·43＝43t. ②当4<t≤203时，S ＝12×[8－(t －4)－(2t －8)]×4 3 ＝403－63t.③当203<t ≤8时，S ＝12×[(t－4)＋(2t －8)－8]×4 3 ＝63t －40 3.④当8<t≤12时，S ＝S 菱形ABCO －S △AON －S △ABP －S △CPN＝323－12·(24－2t)·43－12·[8－(t －4)]·43－12(t －4)·32·(2t－16) ＝－32t 2＋123t －56 3. 综上所述，S 与t 的函数关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧43t （0<t≤4），403－63t （4<t≤203），63t －403（203<t≤8），－32t 2＋123t －563（8<t ≤12）. 类型三【例3】 (1)四边形ACC′A′是菱形．理由如下：由平移的性质得到AC∥A′C′，且AC ＝A′C′，则四边形ACC′A′是平行四边形，∴∠ACC′＝∠AA′C′.又∵CD 平分∠ACB 的外角，即CD 平分∠ACC′，易证CD 也平分∠AA′C′，∴四边形ACC′A′是菱形．(2)∵在△ABC 中，∠B＝90°，AB ＝24，cos∠BAC＝1213，∴cos∠BAC＝AB AC ＝1213，即24AC ＝1213，∴AC＝26， ∴由勾股定理知BC ＝AC 2－AB 2＝262－242＝10.又由(1)知，四边形ACC′A′是菱形，∴AC＝AA′＝26.由平移的性质得到AB∥A′B′，AB ＝A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，∴AA′＝BB′＝26，∴CB′＝BB′－BC ＝26－10＝16.变式训练3．A4．解：(1)172 (2)∵∠AOB＝90°，点C 是AB 的中点，∴OC＝BC ＝12AB ，∴∠CBO＝∠COB. ∵四边形OBDE 是正方形，∴BD＝OE ，∠DB O ＝∠EOB＝90°，∴∠CBD＝∠COE.在△CBD 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CO ，∠CBD＝∠COE，BD ＝OE ，∴△CBD≌△COE(SAS)． (3)①S＝－12a ＋1. ②a＝32或52. 类型四【例4】 (1)当CC′＝3时，四边形MCND′为菱形．理由：由平移的性质得CD∥C′D′，DE∥D′E′.∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝∠AC B ＝60°，∴∠ACC′＝180°－60°＝120°.∵CN 是∠ACC′的角平分线，∴∠NCC′＝60°.∵AB∥DE，DE∥D′E′，∴AB∥D′E′，∴∠D′E′C′＝∠B＝60°，∴∠D′E′C′＝∠NCC′，∴D′E′∥CN，∴四边形MCND′为平行四边形．∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′为等边三角形，∴MC＝CE′，NC＝CC′.又∵E′C′＝23，CC′＝3，∴CE′＝CC′＝3，∴MC＝CN，∴四边形MCND′为菱形．(2)①AD′＝BE′.理由：当α≠180°时，由旋转的性质得∠ACD′＝∠BCE′.由(1)知AC＝BC，CD′＝CE′，∴△ACD′≌△BCE′，∴AD′＝BE′.当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′，即AD′＝BE′.综上可知，AD′＝BE′.②如图，连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得AP<AC＋CP，∴当A，C，P三点共线时AP最大．此时，AP＝AC＋CP.在△D′CE′中，由P为D′E′中点得AP⊥D′E′，PD′＝3，∴CP＝3，∴AP＝6＋3＝9.在Rt△APD′中，由勾股定理得AD′＝AP2＋PD′2＝92＋（3）2＝221.变式训练5．(1)解：菱形(2)证明：∵点F是CC′的中点，∴CF＝FC′.∵FG＝AF，∴四边形ACGC′是平行四边形．∵在Rt△ABC 和Rt△AC′D 中，∠BAC＋∠ACB＝90°，∠ACB＝∠DAC′，∴∠BAC＋∠DAC′＝90°.又∵B，A ，D 三点在同一条直线上，∴∠CAC′＝90°，∴四边形ACGC′是矩形．∵AC＝AC′，∴四边形ACGC′是正方形．(3)解：在Rt△A′BC 和Rt△BC′D 中，BC ＝BD ＝42－22＝2 3.∵Rt△A′BC≌Rt△BC′D，∴∠DBC′＋∠BA′C＝90°，∴∠BHA′＝90°，∴BC′⊥A′C.在Rt△A′BC 中，A′C·BH＝BC·A′B，即4BH ＝2×23， ∴BH＝3，∴C′H＝BC′－BH ＝4－ 3.在Rt△A′BH 中，A′H＝A′B 2－BH 2＝22－（3）2＝1，∴CH＝4－1＝3，∴tan∠C′CH＝C′H CH ＝4－33， ∴tan∠C′CH 的值为4－33. 类型五【例5】 (1)∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ 对称，∴PB＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF＝∠EPF.又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF ＝∠EFP，∴EP＝EF ，∴BP＝BF ＝FE ＝EP ，∴四边形BFEP 为菱形．(2)①如图1，图1∵四边形ABCD 为矩形，∴BC＝AD ＝5 cm ，CD ＝AB ＝3 cm ，∠A＝∠D＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称，∴CE＝BC ＝5 cm.在Rt△CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2，即DE 2＝52－32，∴DE＝4 cm ，∴AE＝AD －DE ＝5－4＝1(cm)．在Rt△APE 中，AE ＝1，AP ＝3－PB ＝3－PE ，∴EP 2＝12＋(3－EP)2，解得EP ＝53cm ， ∴菱形BFEP 的边长为53cm. ②图2当点Q 与点C 重合时，如图1，点E 离A 点最近，由①知，此时AE ＝1 cm.当点P 与点A 重合时，如图2，点E 离A 点最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3 cm ，∴点E 在边AD 上移动的最大距离为2 cm.变式训练6．(1)证明：根据折叠的性质知∠DBC＝∠DBE.又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形．(2)解：①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG.又∵DG∥BE，∴四边形BFDG 是平行四边形．∵DF＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形．②∵AB＝6，AD ＝8，∴BD＝10，∴OB＝12BD ＝5. 假设DF ＝BF ＝x ，则AF ＝AD －DF ＝8－x ，∴在Rt△ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254， ∴FO＝BF 2－OB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154， ∴FG＝2FO ＝152. 类型六【例6】 (1)如图，过点A 作AP∥EF，交CD 于点P ，过点B 作BQ∥GH，交AD 于点Q ，交AP 于点T.∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴四边形AEFP 和四边形BHGQ 都是平行四边形，∴AP＝EF ，GH ＝BQ.∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°. ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°， ∴∠DAP＋∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA，∴△PDA∽△QAB，∴AP BQ ＝AD BA ，∴EF GH ＝AD AB. (2)1115. 提示：∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由(1)结论可得EF GH ＝AD AB ，BN AM ＝AD AB ， ∴BN AM ＝EF GH ＝1115. (3)如图，过D 作AB 的平行线，交BC 的延长线于E ，作AF⊥AB 交ED 延长线于点F.∵∠BAF＝∠B＝∠E ＝90°，∴四边形ABEF 是矩形．连接AC ，由已知条件得△ADC≌△ABC，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∠1＋∠2＝90°.又∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△ADF∽△DCE，∴DE AF ＝DC AD ＝510＝12. 设DE ＝x ，则AF ＝2x ，DF ＝10－x.在Rt△ADF 中，AF 2＋DF 2＝AD 2，即(2x)2＋(10－x)2＝100，解得x 1＝4，x 2＝0(舍去)，∴AF＝2x ＝8，∴DN AM ＝AF AB ＝810＝45. 变式训练7．(1)①证明：∵EH⊥AB，∠BAC＝90°，∴EH∥CA，∴△BHE∽△BAC，∴BE BC ＝HE AC. ∵DC BE ＝AC BC ，∴BE BC ＝DC AC ， ∴HE AC ＝DC AC，∴HE＝DC. ∵EH∥DC，∴四边形DHEC 是平行四边形．②证明：∵AC BC ＝22，∠BAC＝90°，∴AC＝AB. ∵DC BE ＝22，HE ＝DC ，∴HE BE ＝22. ∵∠BHE ＝90°，∴BH＝HE.∵HE＝DC ，∴BH＝CD ，∴AH＝AD.∵DM⊥AE，EH⊥AB，∴∠EHA＝∠AMF＝90°，∴∠HAE＋∠HEA＝∠HAE＋∠AFM＝90°，∴∠HEA＝∠AFD.∵∠EHA＝∠FAD＝90°，∴△HEA≌△AFD，∴AE＝DF.(2)解：如图，过点E 作EG⊥AB 于点G.∵CA⊥AB，∴EG∥CA，∴△EGB∽△CAB，∴EG CA ＝BE BC ，∴EG BE ＝CA BC ＝35. ∵CD BE ＝35，∴EG＝CD. 设EG ＝CD ＝3x ，AC ＝3y ，∴BE＝5x ，BC ＝5y ，∴BG＝4x ，AB ＝4y.∵∠EGA＝∠AMF＝90°，∴∠GEA＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM，∴∠AFM＝∠AEG.∵∠FAD＝∠EGA＝90°，∴△FAD∽△EGA，∴DF AE ＝AD AG ＝3y －3x 4y －4x ＝34. 类型七【例7】 (1)MG ＝NG MG⊥NG提示：如图，连接EB ，DC ，EB ，DC 交于点F.∵AE＝AC ，AB ＝AD ，∠EAC＝∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠CAD，∴△AEB≌△ACD，∴EB＝CD ，∠AEB＝∠ACD.∵∠AHE＝∠FHC，∴∠EFC＝∠EAC＝90°，∴EB⊥CD.∵M，N ，G 分别是BD ，CE ，BC 的中点，∴NG∥EB，且NG ＝12EB ，MG∥CD，且MG ＝12CD ， ∴MG＝NG ，MG⊥NG.(2)成立．理由：类似于(1)的证明方法，可以得出△ADC≌△ABE，从而得出EB⊥CD，再利用三角形中位线定理可证明结论还成立．(3)△GMN 是等腰直角三角形．证明：如图，连接EB ，DC ，并分别延长交于点F.∵AE＝AC ，AB ＝AD ，∠EAB＝∠CAD，∴△AEB≌△ACD，∴EB＝CD ，∠AEB＝∠ACD，∴∠AEB＋∠ACF＝180°.又∠EAC＝90°，∴∠F＝90°，∴EB⊥CD.∵M，N ，G 分别是BD ，CE ，BC 的中点，∴NG∥EB，且NG ＝12EB ， MG∥CD，且MG ＝12CD ， ∴MG＝NG ，MG⊥NG，∴△GMN 是等腰直角三角形．变式训练8．解：(1)BE ＝CE(2)BE ＝DE.证明如下：如图，取AB 的中点P ，连接EP.由(1)结论可知△CPA 为等边三角形，∴∠CAP＝60°，CA ＝PA.∵△ADE 为等边三角形，推荐学习K12资料推荐学习K12资料 ∴∠DAE＝60°，AD ＝AE ，∴∠CAP＝∠DAE，∴∠CAP－∠DAB＝∠DAE－∠DAB，∴∠CAD＝∠PAE，∴△ACD≌△APE(SAS)，∴∠APE＝∠ACD＝90°，∴EP⊥AB.∵P 为AB 的中点，∴AE＝BE.∵DE＝AE ，∴BE＝DE.(3)BE ＝DE拓展应用：如图，连接OA ，OC ，过点A 作AH⊥x 轴于点H.∵A 的坐标为(－3，1)，∴∠AOH＝30°.由探究结论(3)可知CO ＝CB.∵O(0，0)，B(2，0)，∴点C 的横坐标为1.设C(1，m)．∵CO 2＝CB 2＝12＋m 2，AB 2＝12＋(2＋3)2，AB ＝CB ， ∴12＋m 2＝12＋(2＋3)2，∴m＝2＋3，∴C 点的坐标是(1，2＋3)．。

【配套K12】东营专版2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第三节全等三角形练习

第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·黔南州中考)下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙2．(2019·易错题)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD3．(2019·改编题)下列说法正确的是( )A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等4．(2018·垦利模拟)如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝12，AC＝8，则CD的长为( )A．5.5 B．4 C．4.5 D．35．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN.其中正确的结论有( )A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝________．7．(2018·永州中考)现有A，B两个大型储油罐，它们相距2 km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A，B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5 km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有______种.8.(2018·河口模拟)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.9．(2019·改编题)如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，点C的坐标为(－1，0)，点A的坐标为(－4，3)，求点B的坐标．10. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并延长交边BC于M′，N′两点，则图中的全等三角形共有( )A．2对B．3对 C．4对 D．5对11．(2018·黑龙江中考)如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD 的面积为( )A．15 B．12.5 C．14.5 D．1712．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为____________．13．(2019·改编题)如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.下列说法：①CE＝BF；②∠BAD＝∠CAD；③△ABD和△ACD的面积相等；④BF∥CE；⑤△BDF≌△CDE.其中正确的是____________．14. 已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.(1)求证：BD＝CE；(2)求证：∠M＝∠N.15．(2018·黄冈中考)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.(1)求证：△ABF≌△EDA；(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.16．(2019·原创题)如图，点B，F，C，E在同一直线上，∠A＝∠D，BF＝CE，AB∥DE.求证：AC∥DF.参考答案【基础训练】1．B 2.D 3.C 4.B 5.B6．57.48．证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB＝∠CFA＝90°.∵AE＝BF ，∴AF＝BE. 在△DEB 和△CFA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CF ，∠DEB＝∠CFA，AF ＝BE ，∴△DEB≌△CFA(SAS)，∴∠A＝∠B，∴AC∥DB. 9．解：如图，过点A ，B 分别作AD⊥x 轴于点D ，BE⊥x 轴于点E ， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠CAD＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE. 在△ADC 和△CEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC ＝CB ，∴△ADC≌△CEB(AAS)， ∴CD＝BE ，AD ＝CE.∵点C 的坐标为(－1，0)，点A 的坐标为(－4，3)， ∴OC ＝1，CE ＝AD ＝3，OD ＝4，∴CD＝OD －OC ＝3，OE ＝CE －OC ＝3－1＝2， ∴BE＝3，∴点B 的坐标是(2，3)．【拔高训练】 10．C 11.B12．(3，4)或(3，－4)或(0，－4) 13.①③④⑤ 14．证明：(1)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE. (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE， ∴∠BAN＝∠CAM.∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C. 在△ACM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠C＝∠B，AC ＝AB ，∠CAM＝∠BAN，∴△ACM≌△ABN，∴∠M＝∠N.15．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD ，AD ＝BC ，∠ABC＝∠ADC. ∵BC＝BF ，CD ＝DE ， ∴BF＝AD ，AB ＝DE.∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF， ∴∠ADE＝∠ABF， ∴△ABF≌△EDA.(2)如图，延长FB 交AD 于点H.∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°. ∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB.∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°， ∴∠AHF ＝90°，即BF⊥AD. ∵AD∥BC，∴BF⊥BC.【培优训练】16．证明：∵BF＝CE ，∴BF＋FC ＝FC ＋CE ，∴BC＝EF. ∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF. 在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，∠ABC＝∠DEF，BC ＝EF ，∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴∠ACB＝∠DFE， ∴AC∥DF.。

东营专版2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第三节全等三角形要题随堂演练

全等三角形要题随堂演练1．(2018·成都中考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是( )A ．∠A＝∠DB ．∠ACB＝∠DBC C ．AC ＝DBD ．AB ＝DC2．(2018·南京中考)如图，AB⊥CD，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE⊥AD，BF ⊥AD.若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD ＝CD ，AB ＝CB ，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO ＝12AC ； ③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．(2018·济宁中考)在△ABC 中，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在BC边上，连接DE ，DF ，EF ，请你添加一个条件__________，使△BED 与△FDE 全等．5．(2017·利津模拟)如图，在△ABC 中，已知∠1＝∠2，BE ＝CD ，AB ＝5，AE ＝2，则CE ＝________．6．(2018·泸州中考)如图，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB.求证：∠F＝∠C.7．(2018·温州中考)如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.(1)求证：△A ED≌△EBC.(2)当AB ＝6时，求CD 的长．参考答案1．C 2.D 3.D4．BD ＝EF(答案不唯一) 5.36．证明：∵DA＝BE ， ∴D E ＝AB.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴△ABC≌△DEF(SSS )，∴∠F＝∠C.7．(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC.∵E 是AB 中点，∴AE＝EB. ∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC.(2)解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.∵AD∥EC，∴四边形AECD 是平行四边形，∴C D ＝AE.∵AB＝6，∴CD＝12AB ＝3.。

[推荐学习]东营专版2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第二节三角形的有关概念及性质练习

第二节三角形的有关概念及性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·福建中考)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B．1，2，4C．2，3，4 D．2，3，52．(2018·河北中考)下列图形具有稳定性的是( )3．(2017·衢州中考)如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )A．30° B．40°C．60° D．70°4．(2018·贵阳中考)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )A．线段DE B．线段BEC．线段EF D．线段FG5．(2017·成都中考)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__________．6．(2017·福建中考)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE.若DE＝3，则线段BC的长等于______．7．(2019·易错题)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是________．8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°.求∠DAC的度数．9．(2018·河北中考)已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C10．(2018·黄石中考)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )A．75° B．80° C．85° D．90°11．(2018·白银中考)已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c ＝________．12．(2019·原创题)如图，在△ABC中，E是底边BC上一点，且满足EC＝2BE，BD是AC边上的中线，若S△ABC＝15，则S△ADF－S△BEF＝________．13．(2018·宜昌中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．14．(2019·创新题)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．参考答案【基础训练】1．C 2.A 3.A 4.B 5．40° 6.6 7.13 8．解：∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°.∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－50°＝40°， ∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝60°－40°＝20°. 【拔高训练】 9．B 10.A 11．7 12.5213．解：(1)∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°. 【培优训练】14．解：应用：①若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB＝∠PBC. ∵CD 为等边三角形的高，∴AD＝BD ，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°， ∴PD＝33DB ＝36AB ，与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB≠PC.②若PA ＝PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC. ③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝AD ，∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°. 探究：∵BC＝5，AB ＝3， ∴AC＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x 2＋32＝(4－x)2，解得x ＝78，即PA ＝78.②若PA ＝PC ，则PA ＝2.③若PA ＝PB ，由图知，在Rt△PAB 中，PA 为直角边，PB 为斜边， ∴PA≠PB.综上所述，PA ＝2或78.。

(东营专版)2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第五节直角三角形要题随堂演练

第五节直角三角形要题随堂演练1．(2018·滨州中考)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A．5 B．6 C．7 D．82．(2018·扬州中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC3．(2018·长沙中考)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米4．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？( )A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.85．(2018·包头中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为( )A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°6．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝86，AD＝83，BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面积为____________ __．7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18 cm，BC＝12 cm，BF＝10 cm，点M在棱AB上，且AM＝6 cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_____________．8．将n＋1个腰长为1的等腰直角三角形按如图所示放在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n＋1D n C n的面积为S n，则S n＝________．参考答案1．A 2.C 3.A 4.D 5.D6．84＋96 2 7.20 cm 8.n2n＋2。

【配套K12】[学习](东营专版)2019年中考数学复习第五章四边形第二节矩形、菱形、正方形

第二节矩形、菱形、正方形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·荆州中考)菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2018·湘潭中考)如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形3．(2019·易错题)下列命题正确的是( )A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4．(2018·上海中考)已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC5．(2018·淮安中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A．20 B．24 C．40 D．486．(2018·宜昌中考)如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于( )A ．1B.12C.13D.147．(2018·广州中考)如图，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D 在y 轴上，则点C 的坐标是________________．8．(2018·株洲中考)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝10，P ，Q 分别为AO ，AD 的中点，则PQ 的长度为________．9．(2019·改编题)对于▱ABCD ，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB＝BC ；②∠BAD＝90°；③AC＝BD ；④AC⊥BD；⑤∠DAB＝∠ABC.能判定▱ABCD 是矩形的序号是__________．10．(2018·南京中考)如图，在四边形ABCD 中，BC ＝CD ，∠C＝2∠BAD.O 是四边形ABCD 内一点，且OA ＝OB ＝OD.求证： (1)∠BOD＝∠C； (2)四边形OBCD 是菱形．11．(2018·宿迁中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是( )A. 3B ．2C ．2 3D ．412．(2017·陕西中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3.若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为( )A.3102B.3105C.105D.35513．(2018·泸州中考)如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF的值是( )A.43B.54C.65D.7614．(2018·连云港中考)如图，E ，F ，G ，H 分别为矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，连接AC ，HE ，EC ，GA ，GF.已知AG⊥GF，AC ＝6，则AB 的长为______．15．(2018·白银中考)已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点． (1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD ＝a ，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．16．(2019·原创题)如图1，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA的延长线于点F.(1)求证：△APE∽△FPA；(2)猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由；(3)如果将正方形变为菱形，如图2所示，其他条件不变，(2)中线段PC，PE，PF之间的关系还成立吗？如果成立，请直接写出结果；如果不成立，请说明理由．17．(2019·创新题)已知：对于任意实数a，b，总有a2＋b2≥2ab，且当a＝b时，代数式a2＋b2取得最小值为2ab.若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由．参考答案【基础训练】1．B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7．(－5，4) 8.529.②③⑤10．证明：(1)如图，延长AO ，交CD 于点E. ∵OA＝OB ，∴∠ABO＝∠BAO. 又∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO. 同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO ＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD＝2∠BAD.又∵∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.(2)如图，连接OC. ∵OB＝OD ，CB ＝CD ， OC ＝OC ， ∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC， ∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，∴∠BOC＝12∠BOD ，∠BCO＝12∠BCD.又∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC ＝∠BCO，∴BO＝BC. 又∵OB＝OD ，BC ＝CD ，∴OB＝BC ＝CD ＝DO ， ∴四边形OBCD 是菱形．【拔高训练】 11．A 12.B 13.C 14．215．(1)证明：∵点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点， ∴BF＝CF ，FH∥BE，FH ＝12BE ，∴FH＝BG ，∠CFH＝∠CBG，∴△BGF≌△FHC.(2)解：当四边形EGFH 是正方形时，可得EF⊥GH 且EF ＝GH. ∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，CE 的中点， ∴GH＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH∥BC，∴EF⊥BC.∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF ＝GH ＝12a ，∴矩形ABCD 的面积＝12a·a＝12a 2.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝DC. ∵BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠ADP＝∠CDP＝45°.又∵DP＝DP ，∴△DPA≌△DPC(SAS)， ∴∠EAP＝∠DCP.∵DC∥AB，∴∠DCP＝∠F，∴∠EAP＝∠F. 又∵∠EPA＝∠FPA，∴△APE∽△FPA.(2)解：线段PC ，PE ，PF 之间满足PC 2＝PE·PF.理由如下： ∵△DPA≌△DPC，∴PA＝PC.∵△APE∽△FPA，∴AP∶PF＝PE∶PA， ∴PA 2＝PE·PF，∴PC 2＝PE·PF. (3)解：成立．PC 2＝PE·PF. 【培优训练】17．解：设矩形的长为a ，宽为b(a≥b＞0)，周长C＝2(a＋b)≥4ab＝4n，且当a＝b时，代数式2(a＋b)取得最小值为4n，此时a＝b＝n.故若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为4n，此时矩形的长和宽均为n.。