ch8.1 预备知识

平行于xy面的平面方程为 z = c(c为常数, 表示此平面 在 z 轴上的截距) 平行于xz面的平面方程为y=b(b为常数, 表示此平面 在 y 轴上的截距) 平行于yz面的平面方程为x=a(a为常数, 表示此平面 在 x 轴上的截距) 重要结论: 平面方程均为一次方程. 一般地,x, y, z的三元一次方程所表示的图形均是平面. 空间平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0 其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.
特殊地：当 p q 时，方程变为
x y z 2p 2p
2
2
( p 0)
旋转抛物面
xoz 面上的抛物线 x 2 2 pz 绕它的轴 （由 旋转而成的） 与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
注2 如果有一条平面曲线L，绕着同一平面内一条 已知直线 l 旋转一周形成的曲面称为旋转曲面.
z
L
l
x
曲线L称为此旋转曲面的母线, 已知直线 旋转曲面的轴.
l 称为此
故曲面 z x 2 y 2 是 一个旋转抛物面(如图).
x y z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
（
p与 q 同号） 椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设p>0, q<0 (1）用坐标面 xoy(z=0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点O(0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为椭圆.
2 x2 y 1 2 pz1 2qz1 z z 1
当 z1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 ( z1 0) 不相交. （2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
x 2 pz 截得抛物线 y 0
2
与平面 y y1 的交线为抛物线.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
第八章 多元函数微积分学
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 预备知识 多元函数的概念 偏导数与全微分 多元复合函数的微分法 与隐函数的微分法 §8.5 高阶偏导数 §8.6 多元函数的极值与最值 §8.7 二重积分
§8.1预备知识 一. 空间解析几何简介 要求大家了解空间解析几何的初步知识.下面仅简 要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念.
在xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第Ⅴ卦限; 以后依次称为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点 与有序数组(x, y, z)之间的对应关系. 对于空间中的任意点M, 过点M作三个平面分别垂直于 三条坐标轴. 且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、 R.(如图) P、Q、R三点在三个坐标轴上 的坐标依次为x、y、z;
2. 巳知曲面的方程, 研究方程的图形 通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于 一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定. 一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状. 但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截 曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就 会得出曲面S的全貌——这种方法称为 “平行截口”法.
用平面 x = a去截曲面, 其截痕为直线
z
o x
y
y R2 a2 xa
用平面 y = b去截曲面, 其截痕为直线
x R2 a2 yb
x z
o
y
注1 xy面上,定圆曲线 x 2 y 2 R 2 叫做此圆柱面的
平行于z轴的直线叫做此圆柱面的母线. 准线， 故该曲面为母线平行于z轴、准线为圆周 x 2 y 2 R 2
R z
z
M
O
y
Q
y
x
x P
然后过此三点作是三个平面分别垂直于 x轴、y轴、z轴， 这三个平面的交点M， 就是以数组(x, y, z)为坐标的点. 这样空间任一点M和一个三元有序数组(x, y, z)建立了
一一对应关系.
由以上规定知道: 坐标原点O的坐标为(0, 0, 0) x轴上点的坐标为(x , 0, 0) y轴上点的坐标为(0, y, 0) z轴上点的坐标为(0, 0, z) xy面上点的坐标为(x, y, 0)
表示双曲线.
4、 双曲面
2 a2 2 2 2 x y 2 (c z1 ) . c z z 1
截面上圆的方程
(2) a b c,
球面 方程可写为
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a a
x y z a .
2 2 2 2
3、 抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
的一个圆柱面.
2、 椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 2 x2 z 2 1 a c , y 0
2 x 2 a z 0
y b
2 2
1
,
z
2 2 y z 1 2 2 . b c x 0
x y z
yz面上点的坐标为(0, y, z) xz面上点的坐标为(x, 0, z)
二、空间任意两点间的距离 可证明 给定空间两点 M1 ( x1 , y1 , z1 )与 M 2 ( x2 , y2 , z2 )，
这两点间的距离d为
d M 1M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 .
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
它由椭圆
方程可写为
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
是旋转椭球面
x2 z2 2 1 绕 2 a c
z 轴旋转而成．
x2 y2 z2 2 1 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别： 前者与平面
z z1 (| z1 | c ) 的交线为圆.
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R 2
特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为
x 2 y 2 z 2 R 2如右下图
而z R 2 x 2 y 2 是此球面的上半部;
z
z R2 x2 y 2
o
x
y
是此球面的下半部.
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0, q 0
p 0, q 0
4 x 4 y 10 z 11 0 故M( x, y, z)的轨迹方程
(即A、B两点连线的垂直平分
4 x 4 y 10 z 11 0 因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0； 而凡满足z = 0的
面的方程)为
点又都在 x y平面上；故坐标平面的方程分别为 x y面的方程为 z = 0 y z面的方程为 x = 0 x z面的方程为 y = 0
常见曲面如下：
1、圆柱面 x 2 y 2 R 2
在xy面上，方程
x 2 y 2 R 2 表示以原点为圆心，
z
半径为R的圆.
y
o
x
在空间，因方程 x 2 y 2 R 2 不含z，则z可取 任意值, 用平面z=c去截曲面，其截口线为 圆
x2 y 2 R2 , 且圆的大小与c无关. zc
1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标
过空间中的一个定点O, 作三条相互垂直的直线 ox、oy、
oz. 再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定
ox、oy、oz 的正方向, 就构成
一个空间直角坐标系, 并记为
oxyz
其几何直观, 如图:
在空间直角坐标系 oxyz 中, 点O 称为坐标原点; ox、oy及oz 分别称为x轴(横轴) 、y轴(纵轴)及 z轴(竖轴), 并统称为坐标轴.
例3 求球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 半径为R的球面方程. 解 设球面上任意一点为M ( x, y, z ), 则动点M ( x, y, z )与
定点M 0 ( x0 , y0 , z0 )之 间的长度为 MM 0 R, 则
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R
x 3
z
3 2 1
21
O
1 2 3
y
任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面, 分别简称为 xy平面、yz平面及 zx平坐标面; 且它们将空间分割成 八个部分, 称每一个部分为一个卦限.
把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图:
z Ⅲ Ⅳ Ⅱ Ⅰ
Ⅵ y Ⅴ
x
Ⅷ
在xy坐标平面的上部, 依次称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限.
2 2 2
d
M1
M3
特别地,空间任一点M(x,y,z) 到原点O的距离为
x1
x
x2
y1
O
y2
m3
y
m1
OM x 2 y 2 z 2
例1 已知两点(-1, 0, 2),(3, -2, 4), 求此两点间的距离.
解 d (3 1) 2 (2 0) 2 (4 2) 2 24 2 6
三. 空间曲面与方程
与平面解几相仿,空间解几利用 空间坐标法, 把由点构成的几何图形 和代数方程联系起来. 定义1 若曲面S上任意一点的坐标 都满足方程F(x,y,z)=0； 而不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0, 则称方程F(x,y,z)=0 为曲面S的方程, 而称曲面S为方程 F(x,y,z)=0的图形.(右图)