2012福建省质检数学理科答案1
2012高考福建理科数学精彩试题及问题详解(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( )A ．x 0∈R ，0e 0x≤ B ．x ∈R ，2x＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．2111x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A ．14 B ．15 C ．16 D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )AB．．3 D ．59．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1］上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11． (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n }的通项公式πcos12n n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22c o s,2s i nxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1． A 由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2． B ∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3． D ∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1⇒ab＞1．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5． C ∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6． C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7． C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．8． A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =2y x =±20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d == 9． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．10． D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3)．故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］． 又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1， ∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确．11．答案：2 解析：∵T r ＋1＝4C ra r x4－r，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3．13．答案：4-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，2a ，故最大角的余弦值是2222cos 4θ===-． 14．答案：3 018 解析：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝50311+1=503++个…；a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋…＋(－2 010＋1)＝－1－5－…－2 009＝503(12009)2--＝－503×1 005；a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝50311+1=503++个…；a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2 012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1009；故S 2 012＝503－503×1 005＋503＋503×1 009 ＝503×(1－1 005＋1＋1 009)＝3 018．15．答案：，0)解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0， 于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是314x =．故123(14m x x x =．设h (m )＝m (1，∵h ′(m )＝(1＋［m()］＝10<，∴函数h (m )单调递减． 故x 1x 2x 3的取值范围为，0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则231()5010P A +==． (2)依题意得，X 1X 2的分布列为(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34． 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2ααα－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP ＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )． 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a－az 0＝0，解得012z =．又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ． ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD ＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则11·cos ||||a aAD AD θ--==n n ．∵二面角A －B1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos303a =， 解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2． 又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1． 所以b故椭圆E 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m --，3m)，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )， 由0MP MQ ⋅=，得211141612430kx k k x x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)k m＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m =此时P (0)，Q (4)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )， 从而1212330k kMP MQ m m⋅=--++=， 故恒有MP MQ ⊥，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f (x )＝e x－e x ．此时f ′(x )＝e x－e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0． 所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．(1)若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0．故g(x)只有唯一零点x＝x0．由P的任意性，a≥0不合题意．(2)若a＜0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a．令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x′＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0，知g(x)在R上单调递增．所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*．②若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0．又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝e x＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＜e x1＋ax2－［e＋f′(x0)］x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，其中b＝－［e＋f′(x0)］，c＝e x1－f(x0)＋x0f′(x0)．由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax22＋bx2＋c＜0．所以g(x2)＜0．故g(x)在(x2，x1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点．③若x0＜x*，仿②并利用3e6xx>，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21． (1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a＞0，所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知，1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A，21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A，所以|A2|＝1，(A2)－1＝1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，3)，故直线OP 的平面直角坐标方程为3y x =．②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)，所以直线l 30y +-=．又圆C 的圆心坐标为(2，)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离32d r ==<，故直线l 与圆C 相交． (3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1． ②由①知111123a b c++=，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(11123a b c++)≥29＝．。
2012年5月福州市高中毕业班数学综合质检试卷(理科)(带答案)
2012年5月福州市高中毕业班数学综合质检试卷(理科)（带答案）2012年福州市高中毕业班综合练习理科数学试卷参考答案及评分参考一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.B2.A3.C4.D5.B6.D7.C8.B9.D10.D二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.212.1213.14.15.①④三、解答题(本大题共6小题，共80分)16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率”为，则．6分（Ⅱ）（元），7分（元）．8分，9分．10分选择甲部门：因为，说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙部门小，竞争压力没有乙部门大，比较安稳．13分选择乙部门：因为，说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲部门大，岗位工资拉的比较开，工作比较有挑战性，能更好地体现工作价值．13分17．（本小题满分13分）解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．2分（Ⅰ）证明：由平面可知为平面的一个法向量．∴．3分∴直线与平面不平行．4分（Ⅱ）设平面的法向量为，则，5分取，则，故．6分∴，7分解得．∴．8分（Ⅲ）在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线．9分∵，，∴．∴，∴．11分由（Ⅱ）知，，故，∴．12分∴直线与所成的角的余弦值为．13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．1分∵∴，解得．3分∴圆的方程为．5分（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即点，．6分（1）当轴时，由椭圆对称性可知．7分（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．联立方程，消去得，．8分设直线交椭圆于两点，则，．9分∵，∴．10分∵，11分∴，．12分综上所述，．13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，∴，1分∴，所以所求的切线的斜率为3.2分又∵，所以切点为.3分故所求的切线方程为：.4分（Ⅱ）∵，∴．5分①当时，∵，∴；6分②当时，由，得；由，得；7分综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增．8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当时，在上单调递增．9分∴当时，，即．10分令（），则．11分另一方面，∵，即,∴．12分∴（）．13分方法二：构造函数，9分∴，10分∴当时,；∴函数在单调递增．11分∴函数，即∴，，即12分令（），则有．13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）已知是锐角，根据三角函数的定义，得1分又，且是锐角，所以．2分所以．4分（Ⅱ）证明：依题意得，，，因为，所以，，于是有，①6分又∵，，②7分同理，，③由①，②，③可得，线段MA、NB、PC能构成一个三角形.8分（III）第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为.不妨设的边长分别为，其中角、、的对边分别为.则由余弦定理，得：9分11分因为，所以，所以，12分设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，∴，13分所以的外接圆的面积为.14分21．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换解：（Ⅰ）由条件得矩阵．2分（Ⅱ）因为矩阵的特征多项式为，令，解得特征值为，，4分设属于特征值的矩阵M的一个特征向量为，则，解得，取，得，5分同理，对于特征值，解得，取，得，6分所以是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值的一个特征向量．7分（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程解：（Ⅰ）∵点、的极坐标分别为、，∴点、的直角坐标分别为、，2分∴直线的直角坐标方程为．4分（Ⅱ）由曲线的参数方程化为普通方程为，5分∵直线和曲线C只有一个交点，∴半径．7分（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵关于的不等式对于任意的恒成立1分根据柯西不等式，有所以，当且仅当时等号成立，故．3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则∴5分当且仅当，即时取等号，6分所以函数的最小值为．7分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1.若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2.等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）.侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）.侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）.侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）.侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5.下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性.奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8.双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10.函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11.4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13.已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14.数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15.对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三.解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲.乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车my =中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18.（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA得：1111111111,,AD A D AD A B A D A B A A D ⊥⊥=⇔⊥ 面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A D AD O = ，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH 1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19.（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=-- （*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20.（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21.本题设有（1）.（2）.（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =.32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化.圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式.柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。
2012福州质检数学理试题
福建省福州市2012届高三3月质量检查数学试题(理)（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题【本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．抛物线y2=4x的准线方程为A．x=－1 B．x=1C．y=－1 D．y=12．命题“x∈R，e x 〉0"的否定是A．x∈R，e x ≤0B．x∈R，e x ≤0C．x∈R，e x〉0D．x∈R，e x < 03．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①z=12i；②z=－14+34i；③z=22+12i; ④z=12－32i．那么输出的复数是A．① B．②C．③D．④4．用m 、n 表示两条不同的直线，仪表示平面，则下列命题正确的是A ．若m ∥n ,n α，则m ∥αB ．若m ∥α，n α，则m ∥nC ．若m ⊥n ，n α，则m ⊥αD ．若m ⊥α，n α，则m⊥n5．设随机变量ξ服从正态分布N （1，σ 2 ）,则函数f （x ）=x 2+2x +ξ不存在零点的概率为A ．14B ．13C ．12D ．236．在△ABC 中．点O 在线段BC 的延长线上。
且与点C 不重合,若AO =x AB +（1－x ）AC ，则实数x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．（0，+∞）C ．（－1，0）D ．（0，1)7．如图所示2×2方格,在每一个方格中填人一个数字,数字可以是l 、2、3、4中的任何一个,允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有 A ．192种B ．128种C ．96种D ．12种8．函数f （x ）=2cos （ωx +φ)（ω〉0，0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A 、B 分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为42,则函数f （x ）图象的一条对称轴的A BC D方程为A ．x =4B ．x = 2C ．x =4D ．x =29．过双曲线2222x y ab =1（a 〉0,b 〉0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ,若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为A ．x ±y =0B ．2x ±y =0C ．4x ±y =0D ．x ±2y =010．若将有理数集Q 分成两个非空的子集M 与N ,且满足M ∪N =Q ，M ∩N =，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割（M ，N ） ，下列选项中，不可能．．．成立的是A ．M 没有最大元素,N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素,N 没有最小元素第Ⅱ卷（非选择题 共100分)二、填空题（本大题共5小题,每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．)11．sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于__________l2．函数f （x ）=x 3+ax （x ∈R ）在x =l 处有极值，则曲线y = f （x )在原点处的切线方程是_____13．在约束条件1,2,10,x y x y ，下，目标函数z=ax+by （a 〉0，b 〉0）的最大值为1，则ab 的最大值等于_______14．设函数f （x ）=1(1)2x(x ∈Z ）．给出以下三个判断:①f （x )为偶函数；②f （x ）为周期函数；③f （x +1）+ f （x ）=1．其中正确判断的序号是________(填写所有正确判断的序号)．15．一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点A 、B 与边a 所对应的三个数分别为___________三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．（本小题满分13分）在数列{a n ｝中，a 1=2，点（a n ,a n +1）（n ∈N ＊）在直线y =2x 上． （Ⅰ)求数列｛ a n ｝的通项公式；（Ⅱ）若b n =log 2 a n ,求数列11n n b b 的前n 项和T n ．l7．(本小题满分13分）假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞开或被关闭,且概率均为0．5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y ,求y 的数学期望．18．（本小题满分13分)如图，椭圆22221x y ab(a>b 〉0）的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y =－1上，且椭圆的离心率e =32． （Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证:OM⊥MN．19．（本小题满分l 4分）如图，在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合,EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFE D．（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；(Ⅱ)当PB取得最小值时,请解答以下问题：（i）求四棱锥P—BDEF的体积;（ii)若点Q满足AQ=λQP(λ >0)，试探究:直线OQ与平面PBD所?并说明理由．成角的大小是否一定大于4第19题图20．（本小题满分1 3分）如图①，一条宽为l km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元／km、4万元／km．（Ⅰ)已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造,旧电缆的改造费用是0．5万元／km．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（Ⅱ)如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、E B．若∠DCE=θ（0≤θ≤）,试用θ表示出总施工3费用y（万元）的解析式，并求y的最小值．第20题图21．本题有(1）、(2)、（3）三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分l4分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填人括号中．(1）（本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换 利用矩阵解二元一次方程组32,423x y x y ．（2）(本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ)=1．圆的参数方程为1cos ,1sinx r y r (θ为参数，r 〉0）,若直线l 与圆C 相切，求r 的值．（3）（本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲已知a 2+b 2+c 2=1（a ，b ，c ∈R ）,求a +b +c 的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．B10．C二、填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分．） 11．212．30x y += 13．1814．①②③ 15．3、6、3三、解答题(本大题共6小题,共80分．) 16．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由已知得12n naa +=,所以12n na a+= 又12a=,所以数列{}na 是首项为2，公比为2的等比数列, 3分所以1*122()n n naa n -=⋅=∈N ．5分(Ⅱ）由(Ⅰ）知，2nna =，所以2log ,nn ba n == 7分所以11111(1)1nn b bn n n n +==-⋅⋅++, 10分所以111111111223341nTn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++． 13分17．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）∵X 的所有可能取值为0，1，2，3,4,(4,0.5)X B ，1分∴40411(0)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，41411(1)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，42413(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，43411(3)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 44411(4)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，6分X∴的分布列为7分 (Ⅱ)Y 的所有可能取值为3,4，则8分1(3)(3)4P Y P X ====，9分 3(4)1(3)4P Y P Y ==-==， 11分Y ∴的期望值1315()34444E Y =⨯+⨯=．答：Y 的期望值()E Y 等于154．13分 18．(本小题满分13分)解：(Ⅰ）依题意，得1b =．1分 ∵c e a==，2221ac b -==,∴24a =．3分 ∴椭圆的标准方程为2214x y +=．4分（Ⅱ）(法一） 证明：设()0,P x y ，0x≠，则0(0,)Q y ，且220014x y +=．∵M 为线段PQ 中点, ∴0,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭．5分又()0,1A ，∴直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+．000,1,x y ≠∴≠令1y =-，得00,11xC y⎛⎫-⎪-⎝⎭． 8分又()0,1B -，N 为线段BC 的中点,∴0,12(1)xN y ⎛⎫-⎪-⎝⎭． 9分∴0,122(1)x xNM y y ⎛⎫=-+⎪-⎝⎭． 10分∴22200000000000(1)222(1)44(1)x x x x x OM NM y y y y y y ⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪--⎝⎭ =2220000000()1(1)044(1)x x y y y y y +-+=-++=-． 12分∴OM MN ⊥． 13分 （法二)同（法一）得: 00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭，0,12(1)xN y ⎛⎫-⎪-⎝⎭． 9分当0y =时，02x=，此时()()()2,0,1,0,1,1P M N -，∴0OMk =，MNk 不存在，∴OM MN ⊥．10分当00y≠时,000022OMy y kx x ==，()()()200000000000002111221221MNy y y x k x x x y x y y y y -------====---，∵1OMMN kk ⋅=-，∴OM MN ⊥ 12分 综上得OM MN ⊥． 13分19．(本小题满分14分）（Ⅰ）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥，1分∵EF AC⊥,∴PO EF ⊥．∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =， 且PO ⊂平面PEF ， ∴ PO ⊥平面ABFED ， 2分∵ BD ⊂平面ABFED ,∴ PO BD⊥． 3分∵ AO PO O=，∴BD ⊥平面POA ．4分（Ⅱ）如图，以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -． 5分 （ⅰ）设.AOBD H =因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形， 故4BD =，2,23HB HC ==． 又设PO x =，则23OH x =-,43OA x=-．所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x ，(23,2,0)B x -,故(23,2,)PB OB OP x x =-=--， 6分所以2222(23)22(3)10PB x x x =-++=-+,当3x =时，min10PB =．此时3PO =, 3.OH =7分 由（Ⅰ)知，PO ⊥平面,BFED所以221133(42)333344P BFEDBFED VS PO -=⋅⋅=⋅⨯-⨯⨯=四棱锥梯形．8分（ⅱ)设点Q 的坐标为(),0,a c ，由（i)知，3OP =，则(33,0,0)A ，(3,2,0)B ，(3,2,0)D -，(0,0,3)P ．所以()AQ a c=-,()QP a c=-， 9分∵AQ=QP λ，∴,a a c cλλ⎧--⎪⎨-⎪⎩⇒a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴Q , ∴3(OQ λ=+． 10分设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PB n BD ⋅=⋅=．∵(3,2,PB =，()0,4,0BD =-，∴20,40y y +=-=⎪⎩ ， 取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n =． 11分设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ，∴sin cos ,2OQ n OQ n OQ nθ⋅=<>===⋅= 12分 又∵0λ>∴sin θ>．13分∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>．因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于4π，即结论成立． 14分20．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知可得ABC △为等边三角形． 因为CD AD ⊥，所以水下电缆的最短线路为CD ．过D 作DE AB ⊥于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB ． 3分又31,,22CD DE AB ===，故该方案的总费用为314220.52⨯+⨯+⨯53=+（万元) …………6分（Ⅱ）因为0,3DCE πθθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭所以1,tan ,3tan cos CE EB ED AE θθθ====-．7分 则()113sin 423tan 2223cos cos cos y θθθθθ-=⨯+⨯+-⨯=⨯+,9分 令()3sin ,cos g θθθ-=则()()()222cos 3sin sin 3sin 1cos cos g θθθθθθθ-----'==,10分因为03πθ≤≤，所以30sin 2θ≤≤，记001sin ,(0,),33πθθ=∈ 当10sin 3θ≤<，即0≤0θθ<时,()0g θ'<， 当13sin 32θ<≤，即0θ〈θ≤3π时， ()0g θ'>，所以()0min133()22223g g θθ-===，从而4223y ≥+， 12分此时02tan 4ED θ==,因此施工总费用的最小值为（4223+)万元，其中24ED =． 13分21．（本小题满分7分) 选修4—2，矩阵与变换解:方程组可写为312423x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2分系数行列式为32412⨯-⨯=，方程组有唯一解． 利用矩阵求逆公式得11131242322-⎛⎫- ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭， 5分因此原方程组的解为111222331222x y ⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1,21.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 7分（2）（本小题满分7分） 选修4—4:坐标系与参数方程 解：∵直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=, ∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=， 2分又圆C 的普通方程为222(1)(1)x y r -+-=,所以圆心为(1,1),半径为r ． 4分因为圆心到直线l的距离d ==， 6分 又因为直线l 与圆C相切，所以r =． 7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲（法一）解：∵ a ，b ，R c ∈,2221a b c ++=，∴22222222()(111)()(111)3a b c a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅≤++++=． 5分当且仅当a b c ===时，a b c ++7分（法二)解:∵222a b ab +≥，222bc bc+≥，222ac ac+≥ ∴ 2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++222222222()()()a b c a b b c a c ≤+++++++++3分∵2221a b c ++=,∴2()3a b c ++≤，当且仅当a b c ===时等号成立， 6分∴a b c ++7分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1、若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2、等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3、下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5、下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8、双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10、函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11、4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12、阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13、已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14、数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15、对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三、解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16、（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17、（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18、（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A DAD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19、（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20、（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21、本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想、（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =、32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交、 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。
2012年普通高等学校招生全国统一考试福建卷(数学理)Word版
2012年普通高等学校招生全国统一考试福建卷（数学理）Word版第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i2.等差数列{a n}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A.1B.2C.3D.43.下列命题中，真命题是A.B.C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.a>1,b>1是ab>1的充分条件4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱5.下列不等式一定成立的是A.B.C.D.6.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.177.设函数则下列结论错误的是A.D（x）的值域为{0,1}B. D（x）是偶函数C. D（x）不是周期函数D. D（x）不是单调函数8.已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C.3 D.59.若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为A．12B.1C.32D.210.函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P。
设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；②f（x2）在上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有其中真命题的序号是A.①②B.①③C.②④D.③④第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1.若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2.等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5.下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8.双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10.函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11.4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13.已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14.数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15.对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三、解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18.（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A DAD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19.（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20.（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =.32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，解析版）第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i2.等差数列{a n}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A.1B.2C.3D.43.下列命题中，真命题是A. B.C.a+b=0的充要条件是ab=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件【解析】A，B，C 均错，D正确【答案】D【考点定位】此题主要考查逻辑用语中的充分必要条件，考查逻辑推理能力、分析判断能力、必然与或然的能力.4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【解析】分别比较ABC的三视图不符合条件，D符合.【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力.5.下列不等式一定成立的是A. B.C. D.6.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.177.设函数则下列结论错误的是A.D（x）的值域为{0,1}B. D（x）是偶函数C. D（x）不是周期函数D. D（x）不是单调函数【解析】A,B.D 均正确，C错误。
【答案】C【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.8.已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【解析】∵抛物线的焦点是F（3,0），∴双曲线的半焦距c=3，9.若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为A．12B.1C.32D.210.函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P。
2012年全国高考福建理科数学试题详细解析
S′ 1 x 2 x2 1 2 1 1 − ) = − = ，点 P 恰好取自阴影部分的概率 p = = . 【解析】 S ′ = ∫ ( x − x)dx = ( 0 3 2 0 3 2 6 S 6 2
【点评】本题考查微积分基本原理，定积分．同时考察学生正确运算微积分的能力，正确写出原函数，是 解决本题的关键．本题考查微积分基本原理，定积分．同时考察学生正确运算微积分的能力，正确写出原 函数，是解决本题的关键．
7．设函数 D ( x) =
1, x为有理数 ，则下列结论错误的是： 0, x为无理数
B． D( x) 是偶函数 D． D( x) 不是单调函数
A． D( x) 的值域为 {0, 1} C． D( x) 不是周期函数 【答案】C
【解析】显然，A，D 是对的；若 x 是无理数，则 − x 也是无数理，则 D(− x) = D( x) ，所以 D( x) 是偶函 数，同理，对于任意有理数 T ， f ( x + T ) = f ( x) （若 x 是无理数，则 x + T − x 也是无理数；若 x 是有理 数，则 x + T 也是有理数）
【答案】 −3 【解析】进入循环体，第一次， s = 1 ， k = 2 ;第二次， s = 0 ， k = 3 ;第三次， s = −3 ， k = 4 . 然后，退出循环，输出 s = −3 . 【点评】本题考查了程序框图的阅读．考察学生的逻辑运算能力．一一推导是解决本题的前提．处理程序 框图问题，要耐着性子，按流程线的方向逐一演算，合理取舍． 13．已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列，则其最大角的余弦值为_____．
2012 年高考福建理科数学- 2 -
【点评】主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键,能利用定义法 求解问题．
2012福州质检数学答案
2012年福州市初中毕业班质量检查数学试卷参考答案及评分标准一、选择题1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．A 9．B 10．C二、填空题：11．(3)(3)x x +- 12．8 13．2914.1 15．3 三、解答题：16．（1）解：1011( 3.14)2-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=11122+⨯- ························································································ 4分················································································································ 7分 （2）解：()()212x x x ++-=22212x x x x +++- ·························································································· 4分=221x +, ············································································································· 5分当x ==221⨯+=5．······························································ 7分17．（1）证明：∵AB 与CD 是平行四边形ABC D 的对边，∴AB ∥CD ， ······························································································· 2分∴∠F =∠F AB ． ···························································································· 4分∵E 是BC 的中点， ∴BE=CE , ·································································· 5分又∵ ∠AEB =∠FEC ， ·············································································· 6分∴ △ABE ≌△FCE ． ·················································································· 7分（2）解：如图，a = 45°，β= 60°， AD ＝80．在Rt △ADB 中, ∵tan BD ADα=， ∴tan 80tan 45=80BD AD α==⨯︒ ． ············· 2分 在Rt △ADC 中, ∵tan CD ADβ=,∴tan 80tan60CD AD β==⨯︒ ········ 5分∴80218.6BC BD CD =+=+．答：这栋楼高约为218.6m ． ···················· 7分18．（1）a = 25 %， 90º ． ················································································· 2分补全条形图. ············································································································· 4分（2）众数是5，中位数是5． ················································································ 8分（3）该市初一学生第一学期社会实践活动时间不少于5天的人数约是：20000(30%25%20%)15000⨯++=（人）． ··················································· 12分 19．（1）证法一：连接AE, ····································· 1分∵AC 为⊙O 的直径,∴∠AEC =90º,即AE ⊥BC. ······························· 4分∵AB =AC,∴BE =CE ，即点E 为BC 的中点． ·················· 6分证法二：连接OE ， ········································ 1分∵OE =OC,∴∠C =∠OEC.∵AB =AC,∴∠C =∠B,∴∠B =∠OEC,∴OE ∥AB. ···················································· 4分 ∴1EC OC BE AO==, ∴EC =BE ,即点E 为BC 的中点. ··················· 6分⑵∵∠COD =80º,∴∠DAC =40º . ·············································· 8分∵∠DAC +∠DEC =180º,∠BED +∠DEC =180º,∴∠BED =∠DAC =40º． ····························· 11分20．解：（1）设A 型计算器进价是x 元，B 型计算器进价是y 元， ··························· 1分 得 10888025380.x y x y +=⎧⎨+=⎩······················································································ 3分 解得40,60.x y =⎧⎨=⎩····························································································· 5分 答：每只A 型计算器进价是40元，每只B 型计算器进价是60元． ·················· 6分（2）设购进A 型计算器为z 只，则购进B 型计算器为（50-z ）只，得4060(50)2520,1015(50)620.z z z z +-≤⎧⎨+-≥⎩··········································································· 9分 解得24≤z ≤26,因为z 是正整数，所以z =24,25,26. ························································ 11分答：该经销商有3种进货方案：①进24只A 型计算器，26只B 型计算器；②进25只A 型计算器，25只B 型计算器；③进26只A 型计算器，24只B 型计算器. ································ 12分21．解：（1）()4cm BE t =+， ····················································································· 1分()54cm 8EF t =+. ····················································································· 4分 （2）分三种情况讨论：①当DF EF =时，有,EDF DEF B ∠=∠=∠ ∴点B 与点D 重合，∴0.t = ········································· 5分②当DE EF =时,∴()5448t =+, 解得：12.5t =······························· 7分 ③当DE DF =时,有,DFE DEF B C ∠=∠=∠=∠ ∴△DEF ∽△ABC. ∴DE EF AB BC=, 即()54481016t +=, 解得：15625t =. ··························· 9分 综上所述，当=0t 、125或15625秒时，△DEF 为等腰三角形．（3）设P 是AC 的中点，连接BP ，∵EF ∥,AC∴△FBE ∽△ABC . ∴,EF BE AC BC = ∴.EN BE CP BC= 又,BEN C ∠=∠ ∴△NBE ∽△,PBC ∴.NBE PBC ∠=∠ ··································································································· 10分∴点N 沿直线BP 运动，MN 也随之平移.如图，设MN 从ST 位置运动到PQ 位置，则四边形PQST 是平行四边形. ········· 11分∵M 、N 分别是DF 、EF 的中点，∴MN ∥DE ，且ST =MN =1 2.2DE = 分别过点T 、P 作TK ⊥BC ，垂足为K ，PL ⊥BC ，垂足为L ，延长ST 交PL 于点R ，则四边形TKLR 是矩形，当t =0时，EF =58（0+4）=5,2TK =12EF ·1sin 2DEF ∠=·52·33;54= 当t =12时，EF =AC =10，PL =12AC ·1sin 2C =·10·3 3.5= ∴PR=PL-RL=PL-TK=3-39.44= ∴PQST S ST = ·PR=2×99.42= ∴整个运动过程中，MN 所扫过的面积为92cm 2. ··················································· 13分 解得：16,34,b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 22．解：（1）由题意得： ∴抛物线解析式为2416433y x x =-+. ·································································· 3分 （2）令0y =，得241640.33x x -+=4,4930,3c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩………1分 ………2分解得：11x =，2x =3.∴C 点坐标为（1，0）. ··········································· 4分作CQ ⊥AB ，垂足为Q ，延长CQ ，使CQ='C Q ，则点'C就是点C 关于直线AB 的对称点．由△ABC 的面积得：1122CQ AB CA OB ⋅=⋅,∵5,AB =CA =2，∴CQ =85，'CC =165. ······················································································ 6分 作'C T ⊥x 轴，垂足为T ，则△'CTC ∽△BOA. ∴''C T CC CT OA AB OB == ∴'C T =4825，CT =6425∴OT =1+6425=8925 ∴'C 点的坐标为（8925，4825） ··································· 8分 （3）设⊙D 的半径为r ，∴AE =r +3，BF =4－r ，HB =BF =4－r .∵AB =5，且AE =AH,∴r +3=5+4－r ,∴r =3． ········································· 10分HB =4－3=1.作HN ⊥y 轴，垂足为N ， 则HN HB OA AB =，BN HB OB AB=, ∴HN =35，BN =45, ∴H 点坐标为（35-，245）. ··············· 12分 根据抛物线的对称性，得P A =PC, ∵PH PA PH PC HC -=-≤,∴当H 、C 、P 三点共线时，PH PC -最大.∵HC∴PH PA - ······································································ 14分。
福建省2012年高中毕业班质量检查考试理科数学试卷
福建省2012年高中毕业班质量检查考试理科数学试卷2012 年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第21 题为选考题，其他题为必考题．本试卷共 5 页．满分150 分．考试时间120 分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据X1 , X2 , …，X n的标准差锥体体积公式一4 C. 1£=—亍）'+（x2-x）2 +・・・ + （x” _可其中〒为样本平均数面积，方为咼柱体体积公式公式V=Sh其中S为底面面积，〃为高V=^Sh3其中S为底面球的表面积.体积S = 4K/?2F4V = -nR33球的半径第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面上，复数"”的对应点所在象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.平面向量“（2,1）, n若。
与方共线，则加的值为A. -1D. 42 23 •双曲线a b 1（a 0，b 0）的渐近线方程是2x y 0，则其离心率为（）A. 5B.兰C. 3D. 524.若集合 A {x|x2 x 2 0} , B {x| 2 x a},则“ AI B "的充要条件是A. a 2 B . a 2 C ・ a 1D. a 15.某几何体的三视图如图所示，几何体的体积是3，则正视图中的值是A. 2 B . 9C26 •已知a n是公差为2的等差数列，且a i,a3,a4成等比数列, 则数列a n的前9项和等于A・0C. 144 D . 1627.执行如图所示的程序框图, 结果是8,则输入的数是A. 2 或 2 2 B . 2 2 或 2 2 CB・8若输出的/输2/*b-J^/输出祥/ /输出b /.2 或2、2D・2或2,2&设a 0，若关于x的不等式x 4 5在x (1,)恒成立，则x 1 7a的最小值为A. 16B. 9 C ・ 4 D ・ 29•有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是_124110•定义在R上的函数f(x)及其导函数f(x)的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a,b(a b)，有f (a) 0, f (b) 0 •现给出如下结论:① X o [a,b], f (x o)=O ；② x [a,b], f(x o) f (b)；③ x o [a,b], f (x o) f (a):④ x [a,b], f (a) f (b) f (x°)(a b).其中结论正确的个数是B・ 2 C・3D・4第口卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11 ・：X3 1 dx _______________________12・(x3 A)5展开式的常数项是x12・13•圆C过坐标原点，圆心在x轴的正半轴上•若圆 C 被直线x y 0截得的弦长为22,则圆C的方程是x 2y 0,14•在平面直角坐标系中，不等式组2x y 0, （ a 0 ）表示x a的平面区域的面积为5,直线mx-y+m=O过该平面区域，则m的最大值是 ________________ .15.对于非空实数集A，记A* {y x A,y x}.设非空实数集合M P，若m 1时，则m P .现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有P* M* ；②对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有M* P ；③对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有M P* ；④对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必存在常数a，使得对任意的b M*，恒有a b P* ,其中正确的命题是.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有令 A, （I ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦 公式，证明：A B AB.cos A cosB 2sin -------------- sin -------- ;2 2 '(n )若 ABC 的三个内角 A,B,C 满足 COS2A cos2B 1 cos2C ,试 判断ABC 的形状.（提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及（I ） 中的结论）17.（本小题满分13分） 在直角梯形 ABCD 中，AD BC ,BC 2AD 2AB 2血，ABC 90。
2012年高考理科数学福建卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足i 1i z =-,则z 等于（ ）A .1i --B .1i -C .1i -+D .1i +2. 等差数列{}n a 中,1510a a +=,47a =,则数列{}n a 的公差为（ ）A .1B .2C .3D .4 3. 下列命题中,真命题是（ ）A .0x ∃∈R ,0e 0x ≤B .x ∀∈R ,22x x ＞C .0a b +=的充要条件是1ab=-D .1a ＞,1b ＞是1ab ＞的充分条件4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ）A .球B .三棱锥C .正方体D . 圆柱 5. 下列不等式一定成立的是（ ）A .21lg()lg (0)4x x x +＞＞B .1sin 2(π,k )sin x x k x +≠∈≥ZC .22||(x x x ∈+1≥R)D .211()1x x ∈+＞R6. 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A .14 B .15 C .16D .177. 设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是 （ ）A .()D x 的值域为{0,1}B .()D x 是偶函数C .()D x 不是周期函数D .()D x 不是单调函数8. 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）AB.C .3D .59. 若函数2x y =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的最大值为（ ）A .12 B .1 C .32D .210. 函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x ++≤,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题： ①()f x 在[1,3]上的图象是连续不断的； ②2()f x在上具有性质P ；③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1f x =,[1,3]x ∈； ④对任意1x ,2x ,3x ,4[1,3]x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x ++++++≤.其中真命题的序号是（ ）A .①②B .①③C .②④D .③④第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_______. 12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于________.13.已知ABC △的等比数列,则其最大角的余弦值为________.14.数列{}n a 的通项公式ππcos12n n a =+,前n 项和为n S ,则2012S =________.15.对于实数a 和b ,定义运算“*”；22,,*,.a ab a b a b b ab a b ⎧-=⎨-⎩≤＞设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程()(f x m m =∈R)恰有三个互不相等的实数根1x ,2x ,3x ,则123x x x 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已将频率视为概率,解答下列问题：（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列；（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应产生哪种品牌的轿车？说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）17.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)22sin 13cos 17sin13cos17+-； (2)22sin 15cos 15sin15cos15+-； (3)22sin 18cos 12sin18cos12+-； (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--； (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.18.（本小题满分13分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AA AD ==,E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ,使得DP ∥平面1B AE ？若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由；（Ⅲ）若二面角11A B E A --的大小为30，求AB 的长.19.（本小题满分13分）如图,椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,且2ABF △的周长为8. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线l ：y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数2()e e x f x ax x =+-,a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换设曲线22221x xy y ++=在矩阵01a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)a ＞对应的变换作用下得到的曲线为221x y +=.（Ⅰ）求实数a ,b 的值；（Ⅱ）求2A 的逆矩阵.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为(2,0),π)2,圆C的参数方程为22cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|f x m x =--（）,m ∈R ,且2()0f x +≥的解集为[1,1]-. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c ∈R ,且11123m a b c++=,求证：239a b c ++≥.2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题(理工农医类)答案解析又双曲线的渐近线方程故选B．30x y+-≤⎧数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）(2)1f =，又42x f +⎛ ⎝又()1f x ≤1≤，所以对于④，f ⎛⎛ ⎝4)()]f x +216，1()E X >可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）21315cos 15sin15cos151sin3024+-=-=；3(30)sin cos(30)4ααα---=，(30)sin cos(30)ααα---2131⎫⎛【提示】（Ⅰ）选择②，由22sin 15cos 15sin15cos151sin3024+-=-=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=，直接利用两角(0,1,1)AD ∴=，a B E ⎛=- ，(,0,1)AB a =，,1,0a AE ⎛= 1101102aAD B E =-⨯+⨯+，11B E AD ∴⊥；（Ⅱ）假设在棱，使得DP ∥平面此时(0,DP =-的法向量(,,)n x y z =n ⊥平面1B AE ，n AB ⊥，n AE ⊥，得，02ax y +=⎩取1x =，得平面AE 的一个法向量1,,2a n ⎛=- ⎝⎭，只要n DP ⊥，有2a n DP =-1AP =； 11B C A D ∥1AD B ∴⊥11EB C B =1AD ∴⊥平面平面11A B CD ，AD ∴是平面的一个法向量，此时(0,1,1)AD =，设AD 与n 所成的角为11cos ||||n AD n AD θ==，二面角A -的大小为30， cos30，即y 轴，可求出向量AD 与B E 的坐标，验证其数量积为30建立关于||F =0MP MQ =①，①对0(0,2)x ∈数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）③当0<x x '时，同理可证，与条件不符；∴当<0a 时，存在唯一的点[]ln(2),ln(2)P a f a ⎡⎤--⎣⎦使该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．【提示】（Ⅰ）求导函数，利用曲线()f x 在点[]1,(1)f 处的切线平行于x 轴，可求a 的值，令()e e 0xf x '=-<，可得函数()f x 的单调减区间；令()0f x '>，可得单调增区间；（Ⅱ）设点[]00,()P x f x ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+， 令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于()g x 有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（Ⅰ）若0a ≥，()g x 只有唯一零点0x x =，由P 的任意性0a ≥不合题意；（Ⅱ）若<0a ，令00()e e 2()x xh x a x x =-+-，则()0h x =，()e 2xh x a '=+，可得函数的单调性，进而可研究()g x 的零点，由此可得结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性 21.【答案】（Ⅰ）1a =1b =（Ⅱ）2110()21-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A【解析】（Ⅰ）设曲线22221x xy y ++=上任一点(,)P x y ，在矩阵A 对应变换下的项是(),P x y '''，则220()()11x a x ax x axax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎧⎛⎫⎛⎫==⇒⇒++=⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 2222()21a b x bxy y ∴+++=， 222a b ∴+=，22b =，1a ∴=，1b =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ， 2110||1()21-⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭A A ．【提示】（Ⅰ）确定点在矩阵0(0)1a a b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭A 对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A ；23.【答案】（Ⅰ）(2)||0f x m x +=-≥，||x m ∴≤，>0<<m m x m ⇒-，(2)011f x x +≥⇒-≤≤，1m ∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知111123a b c++=，a ，b ，c ∈R ， 由柯西不等式得：211123(23)2392323a b c a b c a bc a b c a bc ⎛⎫+++++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎭． 【提示】（Ⅰ）由条件可得(2)||f x m x +=-，故有||0m x -≥的解集为[]1,1-，即||x m ≤的解集为[]1,1-，故1m =；（Ⅱ）根据111233223(23111232233)a b c a c a b a b c a b c a b a b b c c c ⎛⎫++=++++++++ ⎪⎝⎭++=++，利用基本不等式证明它大于或等于9．【考点】带绝对值的函数，不等式的证明数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。