2015高中数学精讲精练 第二章 函数 第3课 函数的单调性
高考数学第二章函数与导数第3课时函数的单调性
第二章函数与导数第3课时函数的单调性第三章(对应学生用书(文)、(理)11～12页)1. (必修1P54测试4)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，那么该函数的单调减区间是________．答案：[－3，－1]和[1，2] 2. (必修1P 44习题2改编)下列函数中，在区间(0，2)上是单调增函数的是________．(填序号)① y ＝1－3x ；② y＝－1x；③ y＝x 2＋1；④ y＝|x ＋1|.答案：②③④3. (必修1P 44习题4改编)函数y ＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a ＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________．答案：[－1，1)解析：由条件⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a<1.4. (必修1P 44习题3改编)函数y ＝(x －3)|x|的单调递减区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：y ＝(x －3)|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x （x －3），x<0，x （x －3），x ≥0，画图可知单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.5. (必修1P 54测试6改编)已知函数f(x)＝mx 2＋x ＋m ＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：当m ＝0时，f(x)＝x ＋2，符合；当m≠0时，必须⎩⎪⎨⎪⎧m<0，－12m ≥2，解得－14≤m<0.综上，实数m 的取值范围是－14≤m ≤0.1. 增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示)2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．3. 判断函数单调性的方法(1) 定义法：利用定义严格判断．(2) 利用函数的运算性质．如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 1f（x）为减函数(f(x)>0)；③ f（x）为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．(3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．[备课札记]题型1 函数单调性的判断例1 判断函数f(x)＝e x＋1e x 在区间(0，＋∞)上的单调性．解：(解法1)设0＜x 1＜x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫ex 1＋1ex 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ex 2＋1ex 2＝()ex 1－ex 2＋ex 2－ex 1ex 1·ex 2＝()ex 1－ex 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1ex 1＋x 2＝()ex 1－x 2－1·ex 1＋x 2－1ex 1.∵ 0＜x 1＜x 2，∴ x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，∴ ex 1－x 2＜1，ex 1＋x 2＞1，ex 1＞0， ∴ f(x 1)＜f(x 2)．∴ f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (解法2)对f(x)＝e x＋1e x 求导，得f′(x)＝e x－1e x ＝1e x (e 2x －1)，当x ＞0时，e x＞0，e 2x＞1， ∴ f ′(x)＞0,∴ f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 备选变式（教师专享）证明函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上是减函数．证明：设x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2.f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1（1＋x 22）－x 2（1＋x 21）（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）. ∵ x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)． ∴ f(x)＝x1＋x 2在[1，＋∞)上为减函数．题型2 已知函数的单调性求参数的值或范围 例2 已知函数f(x)＝lg kx －1x －1(k∈R ，且k>0)．(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 若函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围．解：(1) 由kx －1x －1>0，k>0，得x －1k x －1>0，当0<k<1时，得x<1或x>1k ；当k ＝1时，得x∈R且x ≠1；当k>1时，得x<1k或x>1.综上，当0<k<1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ；当k≥1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1.(2) 由函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，知10k －110－1>0，∴ k>110.又f(x)＝lg kx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，由题意，对任意的x 1、x 2，当10≤x 1<x 2，有f(x 1)<f(x 2)，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1， 得k －1x 1－1<k －1x 2－1(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. ∵ x 1<x 2，∴ 1x 1－1>1x 2－1，∴ k －1<0，即k<1.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. 变式训练已知函数f(x)＝2x －ax，x ∈(0，1]．(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 若函数y ＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝－1时，f(x)＝2x ＋1x ，因为0<x≤1，所以f(x)＝2x ＋1x≥22x ·1x ＝22，当且仅当x ＝22时，等号成立，所以函数y ＝f(x)的值域是[22，＋∞)．(2) (解法1)设0<x 1<x 2≤1，由f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－a x 2＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2－a x 1＝（x 1－x 2）（2x 1x 2＋a ）x 1x 2，因为函数y ＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，所以f(x 1)－f(x 2)>0恒成立，所以2x 1x 2＋a<0，即a<－2x 1x 2在x∈(0，1]上恒成立， 所以a≤－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (解法2)由f(x)＝2x －a x ，知f′(x)＝2＋ax 2，因为函数y ＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数， 所以f ′(x)＝2＋ax 2≤0在x∈(0，1]上恒成立，即a≤－2x 2在x∈(0，1]上恒成立，所以a≤－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2]． 题型3 函数的单调性与最值例3 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求f(x)的最小值；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x ＋2.设x 1＞x 2≥1，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.∵ x 1＞x 2≥1， ∴ f(x 1)＞f(x 2)，∴ f(x)在[1，＋∞)上为增函数． ∴ f (x)≥f(1)＝72，即f(x)的最小值为72.(2) ∵ f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0在[1，＋∞)上恒成立，∴ a ＞[－(x 2＋2x)]max .∵ t(x)＝－(x 2＋2x)在[1，＋∞)上为减函数， ∴ t(x)max ＝t(1)＝－3, ∴ a ＞－3. 备选变式（教师专享）已知a∈R 且a≠1，求函数f(x)＝ax ＋1x ＋1在[1，4]上的最值．解：由f(x)＝ax ＋1x ＋1＝a ＋1－ax ＋1.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数， ∴ f max (x)＝f(1)＝a ＋12，f min (x)＝f(4)＝4a ＋15；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数， ∴ f max (x)＝f(4)＝4a ＋15，f min (x)＝f(1)＝a ＋12.1. (2013·南京期初)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2k ，x ≤0（1－k ）x ，x>0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0－2k≤0，1－k>0，解得12≤k<1.2. 若函数f(x)＝a x(a>0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．答案：14解析：若a>1，有a 2＝4，a －1＝m ，所以a ＝2，m ＝12，此时g(x)＝－x 是[0，＋∞)上的减函数，不符合；当0<a<1，有a －1＝4，a 2＝m ，所以a ＝14，m ＝116，此时g(x)＝3x 4，符合．3. (2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间是(0，＋∞)内单调递增”的________条件．答案：充要解析：① 当a ＝0时，f(x)＝|x|在区间(0，＋∞)内单调递增；② 当a<0时，结合函数f(x)＝|ax 2－x|的图象知函数在(0，＋∞)内单调递增；③当a>0时，结合函数f(x)＝|ax 2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合．所以“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件．4. 已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ＞0，都有f(f(x)－lnx)＝1＋e ，则f(1)＝________．答案：e解析：f(x)－lnx 必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1＋e ，与单调函数矛盾．所以可设f(x)－lnx ＝c ，则f(x)＝lnx ＋c.将c 代入，得f(c)＝1＋e ，即lnc ＋c ＝1＋e.∵ y ＝lnx ＋x 是单调增函数，当c ＝e 时，lnc ＋c ＝1＋e 成立， ∴ f(x)＝lnx ＋e.则f(1)＝e.1. 给定函数：①y＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0，1)上单调递减的函数是____________．(填序号)答案：②③解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上是增函数，不符合；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因为原函数在(0，＋∞)上是减函数，故符合；③中的函数图象是由函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方，下方图象翻折到x 轴上方而得到的，故由其图象可知正确；④中函数显然是增函数，故不符合．2. 设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x 在R 上是减函数 ”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的__________条件．答案：充分不必要解析：函数f(x)＝a x 在R 上是减函数等价于0<a<1，函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数等价于0<a<1或1<a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数 ”，是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．3. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，（a 2－1）e ax，x ＜0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪(1，2]解析：若a>0，则f(x)＝ax 2＋1在[0，＋∞)上单调增，∴ f(x)＝(a 2－1)e ax在(－∞，0)上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1≤1，∴ 1<a ≤ 2.同理，当a<0时，可求得a≤－2，故a∈(－∞，－2]∪(1，2]．4. 是否存在实数a ，使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2，4]上是增函数？如果存在，说明a 可取哪些值；如果不存在，请说明理由．解：显然a>0且a≠1.当a>1时，则t(x)＝ax 2－x 的对称轴是x ＝12a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，只需t(2)＝4a －2＞0，即a＞12，所以a ＞1均成立； 当0＜a ＜1时，则t(x)＝ax 2－x 的对称轴是x ＝12a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，需要⎩⎪⎨⎪⎧12a≥4，t （4）＝16a －4＞0无解． 所以，存在实数a ＞1，满足条件．1. 求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是定义域的子集，常用方法有：定义法、图象法、导数法、复合函数法等．2. 函数单调性的应用(1) 比较函数值的大小；(2) 解不等式；(3) 求函数的值域或最值等．注意利用定义都是充要性命题，即若函数f(x)在区间D上递增(减)且f(x1)<f(x2)x1<x2(x1>x2)(x1、x2∈D)．请使用课时训练（B）第3课时（见活页）.[备课札记]。
学高中数学第二章函数的单调性讲解与例题北师大版必修1
3函数的单调性(1)函数y＝f(x)在区间A上的增加与减少及单调区间在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y ＝f(x)在区间A上是递减的．如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)函数y＝f(x)在数集A上的增加与减少及单调性一般地，对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是增加的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是减少的．如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．谈重点函数单调性的理解函数的单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)．正确理解单调性的定义，应抓住以下几个重要字眼：(1)“定义域内”．研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集，所以，在考察函数单调性时，必须先看函数的定义域．(2)“区间”．函数的单调性是对定义域内某个相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的增减性．我们不能说一个函数在x＝5时是增加的或减少的，因为这时没有一种可比性，没突出变化，所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增加的或是减少的．(3)“任意”和“都有”．“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．对“任意”二字不能忽视，如考查函数y＝x2在区间[－2,2]上的单调性，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞f(x2)，若由此判定y ＝x2在[－2,2]上是减少的，那就错了．原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．同样地，“都有”两个字也很重要，如函数y＝x2在[－2,2]上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)＞f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(x1)＜f(x2)．我们可以看到对于x1＜x2，f(x1)并没有始终小于(或者大于)f(x2)，因此就不能说y＝x2在[－2,2]上是增加的或是减少的．【例1－1】下列说法不正确的有( )．①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减少的；②函数1yx的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是增函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①函数y＝x2在(－∞，0]上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1yx=的单调区间，在这两个区间上函数是减少的，但1yx=在整个定义域上不是减函数，因为存在x1＝－1＜1＝x2，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，有f(x1)＜f(x2)成立，不符合减函数的定义；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )．A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )．A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图像上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义可知，0＜x＋1＜3，∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图像法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图像较容易画出，因此，可利用图像的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．谈重点函数单调区间的求解及书写12．书写函数的单调区间时应该注意以下几点：(1)如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝1x的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)．(2)确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子集区间．(3)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图像在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时，不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－1】已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )．解析：来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数．答案：B析规律 单调性图像的表现形式函数的单调性反映在图像上是函数图像在指定的区间上(也可以是定义域)从左到右越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C 中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图像上的直观表现．【例2－2】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：f (x )＝22230230.x x x x x x ⎧-++≥⎪⎨--+<⎪⎩，，，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1,4)，且f (3)＝0，f (0)＝3；当x ＜0时，f (x )＝－(x ＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f (－3)＝0.作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．解技巧 利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、形状，确定函数的单调区间．【例2－3】(1)证明函数f (x )＝在定义域上是减函数；(2)证明函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数； (3)证明函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数． 分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f (x 1)，f (x 2)的差f (x 1)－f (x 2)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)f (x )＝的定义域为[0，＋∞)， 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝((-=＝0=>，即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝在定义域[0，＋∞)上是减函数． (2)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 13＋x 1)－(x 23＋x 2)＝(x 13－x 23)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)2212213124x x x ⎡⎤⎛⎫+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． (3)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 1－x 2)＋2112x x x x -＝(x 1－x 2)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝121212()(1)x x x x x x --.∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． ∴由单调函数的定义可知，函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数． 警误区 证明函数单调性的常见错误在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤<函数y =的单调性，而y =的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增加的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减少的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：已知函数f (x )的单调性，比较两个函数值f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小，可以转化为判断a 2－a ＋1的取值范围以及a 2－a ＋1与34的大小关系．∵a2－a＋1＝2133244a⎛⎫-+≥>⎪⎝⎭，又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a≠时，a2－a＋1＞34，有f(a2－a＋1)＜34f⎛⎫⎪⎝⎭；当12a=时，a2－a＋1＝34，有f(a2－a＋1)＝34f⎛⎫⎪⎝⎭.综上可知，f(a2－a＋1)≤34f⎛⎫⎪⎝⎭.答案：f(a2－a＋1)≤34 f⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图像，会给我们研究问题带来很大方便．要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称轴x＝1－a≥4即可，解得a≤－3.谈重点分段函数的单调性求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系．【例4】已知函数f(x)＝(3)411a x a xaxx-+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．分析：函数f(x)是一个分段函数，其图像由两部分组成．当x＜1时，f(x)＝(3－a)x＋4a，其图像是一条射线；当x≥1时，f(x)＝ax，其图像由a的取值确定，若a＝0，则为一条与x轴重合的射线，若a≠0，则为反比例函数图像的一部分(曲线)．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x＜1时的图像位于x≥1时的图像的上方．解：由题意知，函数f(x)＝(3－a)x＋4a，x＜1与f(x)＝ax，x≥1都是减少的，且前者图像位于后者图像的上方(如图所示)．∴30(3)4aaa a a-<⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，，，即3,0,3.2aaa⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪≥-⎩∴a＞3.∴实数a的取值范围是{a|a＞3}．5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，即y max ＝f (b )；最小值在左端点a 处取得，即y min ＝f (a )．若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，即y max ＝f (a )；最小值在右端点b 处取得，即y min ＝f (b )．解题时也可结合函数的图像，得出问题的答案．以下是基本初等函数的最值： ①正比例函数y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[a ，b ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .②反比例函数y ＝kx(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值，但在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b ；当k ＜0时，函数y ＝kx的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝ka .③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[m ，n ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .【例5－1】求函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域．解：函数y ＝x 2＋x －1的对称轴为12x =-，开口方向向上． ①当a ＋1＜12-，即32a <-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的左侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递减．∴当x ＝a ＋1时，y min ＝a 2＋3a ＋1；当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1. ②当12a >-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的右侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递增．∴当x ＝a 时，y min ＝a 2＋a －1；当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1.③当a ≤12-≤a ＋1，即3122a -≤≤-时， 当12x =-时，y min ＝54-；当1122a a ≤-<+，即－1＜a ≤12-时，当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1； 当11122a a +≤-≤+，即32-≤a ≤－1时， 当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1.综上可知，函数y 在区间[a ，a ＋1]上的值域为当32a <-时，[a 2＋3a ＋1，a 2＋a －1]； 当32-≤a ≤－1时，25,14a a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦；当－1＜a≤12-时，25,314a a⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦；当a＞12-时，[a2＋a－1，a2＋3a＋1]．【例5－2】求f(x)＝x+的最小值．分析：求函数f(x)＝x+的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：f(x)＝x[1，＋∞)，任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(-)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·1⎛⎝.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.④二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最大值；当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最小值．求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的位置关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图像解答．以上基本初等函数的最值作为结论记住，可以提高解题速度．6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f(x)在区间D上是递增的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＞x2〔事实上，若x1≤x2，则f(x1)≤f(x2)，这与f(x1)＞f(x2)矛盾〕．类似地，若f(x)在区间D上是递减的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＜x2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域的要求，最后取几个不等式解集的交集即可．又∵1＋1x1－1＋x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.析规律利用单调性求最值利用函数的单调性求最值，其规律为：若f(x)在[a，b]上是递增的，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上是递减的，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a)，最小值为f(b)．【例6】已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．分析：由于函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈(－1,1)，a2－1∈(－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．解：由题意可得2211111111aaa a-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，①，②，③由①得0＜a＜2，由②得0＜a2＜2，∴0＜|a|，∴a<<，且a≠0.由③得a2＋a－2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，∴1020aa->⎧⎨+<⎩，，或1020aa-<⎧⎨+>⎩，，∴－2＜a＜1.综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}．一般地，如果f(x)，g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，1()yf x=与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y=具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若为一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y=的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y=有意义，需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴1030xx-≥⎧⎨+≥⎩，，或1030xx-≤⎧⎨+≤⎩，，∴x≥1，或x≤－3.∴函数y={x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则y=，易知u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y=的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．警误区函数的定义域与单调区间由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝23 -.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)令x＝y＝0得，f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x得，f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在[－3,3]上是减少的，∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝－2，最大值为f(－3)＝－f(3)＝2.。
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
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单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
(湖南)数学知识点精讲精练(书)(答案)
参考答案：第一章 集合与不等式第一节 集合的概念一．选择题:1.D2.C3.D4.C5.B6.A. 二．填空题：7..,,,,,,∉∈∈∉∉∈∈ 8. ()(]2,11,--∞- ， 9. 7. 三．解答题：10.解：（1） 若,,0φ==N m 满足题意，.0=∴m若,21},21{-==-=xm N 满足题意，.2-=∴m若,311},3{===x m N 满足题意，31=∴m 。
}.31,2,0{-=∴P（2）集合P 的子集的个数为8个，P 的非空真子集的个数为6个。
第二节 集合的运算一．选择题1.C2.A3.B4.C5.B6.B7.D. 二．填空题：8.{}5,2 9. ()(){}4,2,1,1- 10.()+∞,2 11.}102|{<<x x 三．解答题：12.}.3,2{},5,3{==B A 13. }6,3{},7,5,3,1{},8,7,6,5,4,3,2,1{===B A U}.8,4,2{)(},7,6,5,3,1{==B A B A C U 14. 解：.,A B B B A ⊆∴=若,42=x 得2±=x 当2-=x 时，}4,1{},4,1,2{=-=B A ，满足题意；当2=x 时，}4,1{},2,4,1{==B A ，满足题意； 若,2x x =得10==x x 或， 当0=x 时，}0,1{},0,4,1{==B A ，满足题意；当1=x 时，},1,4,1{=A 不满足集合元素的互异性，舍去。
}.0,2,2{-∈∴x15.解： 设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)830x x x -+-++=，解得3x =， 所以1512x -=，即 所求人数为12人。
注：最好作出韦恩图！第三节 充分必要条件一．选择题1.B2.B3.B4.B5.A6.A7.B8.B9.A 10.B.第四节 不等式性质一．选择题1.D2.D3.D. 二．解答题4. 解：（1）解不等式①，得2->x 解不等式②，得1≤x不等式组的解集为(].1,2-（2）解不等式①，得,3-≤x 解不等式②，得1->x∴不等式组的解集为.φ5. 解：,31)()(11+≤-++≤+-y x y x 420≤≤∴x ，即630≤≤x ,31)()(11+≤-++-≤+-y x y x ,420≤-≤∴y 即20≤-≤y .830≤-≤∴y x第五节 一元二次不等式一．选择题1.C2.B3.A4.C5.A. 二．填空题6. },32|{<<x x7.(]2,1-8.}1,1{-9.()1,-∞- 10..22- 三．解答题11. 解：由题意得:,0>a 令02=++c bx ax 两根为：.2,121=-=x x 02=+-∴c bx ax 两根为：.2,121-==x x02>+-∴c bx ax 的解集为}.1,2|{>-<x x x 或12. 解：（1）由题意得：.52,2)2(3,0-=∴=-+-<m m m（2）由题意得：⎩⎨⎧<⋅--=∆<064)2(02m m m 解得,66-<mm ∴的取值范围为}.66|{-<m m 第六节 含绝对值的不等式一．选择题1. C2. C3. D4. B5. C. 二 .解答题6. (1)}3,21|{>-<x x x 或 (2) ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-5,2721,2 (3) ),21(+∞7..135232=⨯+=+c a8.解：},51|{},44|{>-<=+<<+-=x x x B a x a x A 或（1）若}.13|{},53|{,1-<<-=∴<<-==x x B A x x A a（2）若R B A = 则⎩⎨⎧>+-<+-5414a a 得.31<<a∴ 实数a 的取值范围为}.31|{<<a a 9.原不等式可转化为02)(2>--x x ，令)0(,≥=t t x 得,022>--t t 解得,2)(1>-<t t 或舍 ,22,2>-<∴>∴x x x 或得原不等式解集为}.22|{>-<x x x 或 10.原不等式可转化为,)2()12(22+≥-x x得331,0)3)(13(≥-≤∴≥-+x x x x 或，得原不等式解集为}.331|{≥-≤x x x 或第七节 线性分式不等式一．选择题1.B2. B3. D4. D5.D.二．解下列不等式6.（1）(]3,2;（2）()()+∞-∞-,43, ;（3）(][)+∞-∞-,41,（4）()()2,01, -∞-;（5）}12|{≥-=x x x 或;（6）]21,0()0,21[ -7.()+∞-,4)2,3( 8.).21,1(--=B A第二章 函数 第一节 函数的概念一． 选择题1. B2. A3. C4. C5. D6. D7. A8. B9. C 10. B 二．填空题11. 9 12. (][)+∞⋃∞-,21, 13. 421三．解答题14. （1）()()()+∞⋃⋃∞-,66,11, （2）[)()+∞⋃,55,2 15. （1）f(0)=-1, f(3)=8 （2）值域为｛-1,5,8｝ 16. ()62=-f ()[]311=-f f第二节 函数的单调性与奇偶性一．选择题1. C2. B3. B4. A5. C6. D7. D8. D9. B 10. A 二．填空题11. 5 12. [)+∞,2 13. ⎥⎦⎤⎝⎛-∞-25,三．解答题14. （1）奇函数 （2）偶函数 15.m 的取值范围为（1,2）第三节 指数式运算及指数函数的图像和性质一． 选择题1. B2. C3. A4. C5. A6. B7. D8. B9. C 10. C 二．填空题11. 5 12. 2 13. [)+∞-,1 三．解答题14. 19 15. y 的最小值为4 16. 21=a第四节 对数式运算及对数函数的图像和性质一． 选择题1. D2. C3. A4. C5. D6. C7. C8. C9. B 10. C 二．填空题11. 1，1 12. (2,3) 13. (0，2) 三．解答题 14. 4 15.41 16. 定义域为：()()+∞⋃-,11,1 17. 定义域为：()2,6-单调递增区间为：()2,6-- 单调递减区间为：[)2,2-第三章 三角函数一.选择题1.B2.B3.D4.A5.A 二.填空题6.ππππαα56-54z k k 2524，，，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=7.S={}z k k ∈=，παα8.{}z k 180k 40∈︒+︒， 一或三 9.二 三.解答题10.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，11.若t ＞0则r=5t43-tan 54cos 53-sin ===ααα，，若t ＜0则r=-5t43-tan 54-cos 53sin ===ααα，，第二节 同角三角函数的基本关系及其诱导公式一.选择题1.D2.A3.C4.B5.C 二.填空题6.53±7.54 8.22 9.2 三.解答题 10.-111.（1）-61（2）-52412.135cos 1312sin 1312cos 135sin ====ϕϕϕϕ，或，第三节 三角函数的图象和性质一.选择题1.C2.B3.B4.D5.C 二.填空题7.10 8.奇函数 9.6π 10.3 三.解答题11.（1）⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk 265k 265-，（2）（0，π） 12.[-6,3]第四节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 一.选择题1.D2.B3.B4.B 二.填空题5.-7259 6.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4340， 7.257 8.2239.2x -153-x 54y =（54＜x ＜1）三.解答题 10.43π 11.2 12.-257第五节 解三角形和正弦型函数一.选择题1.C2.C3.D4.A5.C二.填空题6.12- 8.1932; 9.06C π<≤三.解答题10.解：∵3tan =B ，∴B=60° ∵31cos =C ，∴322sin =C b=AC=36，BC sin bsin c = 得：c=8sinA=sin （B+C ）=sinBcosC+cosBsinC =6223322213123+=⋅+⋅ ∴3826bcsin 21+==A S ABC △ 11.解：（1）-91 （2）49 12.解：）（π32x 2sin 2y +=第四章 数列第一节 数列的概念一.选择题：1.C2.D3.B4.C5.D6.C7.C8.C 二．填空题： ⒐251⒑ 110-=n n a ⒒ 12-=n a n ⒓ 161三.解答题13.（1）12-=n a n （2） 2)1(+=n n a n（3） 22+=n n a n （4）nn a n n 2)12()1(21--=+14.因为pn n S n +=2，n n T n 232-=所以p p p s s a +=--+=-=199811010091010 55182432030091010=+--=-=T T b又1010b a =，所以有19+p=55， 故 p=36.15.因为1322++=n n S n ，所以611==s a ；]1)1(3)1(2[132221+-+--++=-=-n n n n s s a n n n =4n+1所以 ⎩⎨⎧≥+==2,141,6n n n a n第二节 等差数列一.选择题1.D2.A3.A4.D5.C6.D7.B8.A 二.填空题⒐ d=2 ⒑24 ⒒ 4,6,8或8,6,4⒓3 ⒔ 60 三.解答题14.设等差数列}{n a 共有n 项，则由题意得34321=++a a a ，14612=++--n n n a a a 所以 1801463423121=+=+++++--n n n a a a a a a 又 23121--+=+=+n n n a a a a a a 所以601=+n a a ，所以3902602)(1==+=nn a a s n n 故 n=13.15. 设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=982131414010114111d a s d a a 解得 2,201-==d a所以n n d n a a n 222)1(220)1(1-=--=-+= 16.证明：由题意得ba cbc a +++=+112 即=+++++))()(())((2b a c b c a b a c b ++++++))()(())((b a c b c a b a c a ))()(())((b a c b c a c a c b +++++所以有))(())(())((2c a c b b a c a b a c b +++++=++整理得2222c a b +=所以222,,c b a 成等差数列第三节 等比数列一.选择题1.B2.D3.B4.A5.C6.B7.A8.B 二.填空题⒐ 3 ,1 ⒑ 240 ⒒ 55 三.解答题12.12-=n n a ，102310=s13.⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++=15)4)(1()1(22c b a c a b c a b 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-===1511c b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===852c b a所以1,5,11-===c b a 或8,5,2===c b a 14. 由题意得q=2所以nn a 2= 因为12222loglog 1+⋅=n nn b =)1(1+n n 所以)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯=n n s n =11141313121211+-++-+-+-n n =111+-n =1+n n 所以 1+=n n n s第四节 等差、等比数列的综合应用一．选择题1.A2.B3.B4.A 二.填空题⒌ 15个月 ⒍ 2400 ⒎ 20%⒏ 按五年期零存整取（按a(1+n×6.5%)计本利） 三.解答题9.（1）10600元 （2）元10.(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则S n ＝250n ＋－2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×(1.08)n －1.由题意可知a n >0.85b n ， 有250＋(n －1)×50>400×(1.08)n －1×0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6， ∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%11.（1）设每年还x 万元，则有10x=10+10×5%+（10-x ）5%+（10-2x ）5%+…+（10-9x ）5% 所以解得x ≈1.2245万元=12245元（2）设每年还x 万元，则有%)41(1]%)41(1[%)41(101010+-+-=+x所以2333.11%)41(%4%)41(101010≈-+⨯+=x 万元=12333元 所以第一种方案更好。
高二数学函数单调性课件
目录
• 函数单调性的定义 • 一次函数的单调性 • 二次函数的单调性 • 分段函数的单调性 • 复合函数的单调性
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
复合函数单调性取决于内层函数和外 层函数的单调性以及两者之间的对应 关系。
内层函数和外层函数单调性相同，复 合函数为增函数；内层函数和外层函 数单调性相反，复合函数为减函数。
复合函数单调性的判断
首先确定内层函数和外层函数的单调性，然后根据单调性相同或相反判断复合函数的单调性。
对于内层函数，可以通过求导数判断其单调性；对于外层函数，可以根据函数的增减性和导数符号判 断其单调性。
分段函数单调性的应用
解决实际问题
分段函数单调性可以用于 解决一些实际问题，如经 济问题、物理问题等。
数学分析
在数学分析中，分段函数 单调性可以用于研究函数 的极限、连续性和可导性 等性质。
计算机科学
在计算机科学中，分段函 数单调性可以用于算法设 计和数据结构分析等领域 。
05
复合函数的单调性
复合函数的单调性
判断二次函数的单调性，也可以通过观察二次函数的对称 轴和开口方向。如果二次项系数a>0，则对称轴为x=b/2a，开口向上；如果二次项系数a<0，则对称轴为x=b/2a，开口向下。
二次函数单调性的应用
利用二次函数的单调性判断函数的值域
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在对称轴上，即x=-b/2a处，此时函数值为y=-d/4a；对于 开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即x=-b/2a处，此时函数值为y=d/4a。
函数的单调性课件
1
一阶导数法
通过求导数来判断函数单调性，如导函
二阶导数法
2
数大于0，则函数单调递增；若导函数小 于0，则单调递减。
通过求导数的导数（二阶导数）来判断
函数单调性，如导函数大于0，则函数单
调递增；若导函数小于0，则单调递减。
3
拐点法
通过确定函数的拐点来判断函数单调性。
函数的单调性的性质
1 单调区间和区间端点
函数的单调性PPT课件
感谢大家的光临，今天我将与大家分享关于函数单调性的知识。我们将学习 什么是单调性以及如何用不同的方法判定函数的单调性。此外，我们还将探 讨函数单调性的性质和一些应用实例。
函数的定义与概念
定义
函数是一种数学对象，将一个集合（即定义域）的元素映射到另一个集合（即值域）的元素。
概念
市场需求量函数单调性
成本函数单调性
需求量函数通常为单调递减函数， 即价格上升，需求量下降。
如某个商家生产一种商品，其总 成本通常是单调递增的。
投资增长模型单调性
投资增长模型是单调递增的，即 更多的资本会使得投资回报更高。
函数的单调性的注意事项
函数的前提
要简要解释函数的本质和意义，让理解关键概念的人或学生更容易抓住。
函数表格、函数符号、函数曲线，函数图像等基本概念。
特点
每个自变量都对应一个唯一的函数值；每个函数值都可以通过某个自变量得出。
函数的单调性的定义
单调递增
在一个区间上，如果函数值随着自变量的增大而增 大，则函数单调递增。
ห้องสมุดไป่ตู้单调递减
在一个区间上，如果函数值随着自变量的增大而减 小，则函数单调递减。
函数的单调性的判定方法
学高中数学第二章函数函数的单调性教案北师大版必修第一册
第二章函数第２．３节函数的单调性教学设计本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。
在函数性质中具有举足轻重的地位。
本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。
一．教学目标１、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；２、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
二. 核心素养１．数学抽象：函数在区间上单调性概念的概述２．逻辑推理:本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象；通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。
３．数学运算：判断函数的单调性及证明４．直观想象：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。
５．数学建模:本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。
教学重点函数单调性的概念、判断及证明教学难点归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性PPT１．知识引入函数是刻画变量关系的.研究函数y=f （x ）时最关心的问题是：当自变量x 变化时，函数值f （x ）随之怎样变化.我们知道，一次函数y = kx+b,当k<0时，在R 上y 值随x 值的增大而减小；当k>0时，在R 上y 值随x 值的增大而增大.一元二次函数和反比例函数也有类似的性质.可见，用增大或减小来刻画函数在一个区间的变化是非常重要的.如下图分析：图２—9是函数f （x ）([6,9])x ∈-的图象,直观上可以看出，对于区间[—6, —５],[—２,１],[３,４．５]，[7,8],每个区间上函数值f （x ）都随x 值的增大而增大；对于区间 [—５ , —２] , [１,３] , [ ４．５,7] , [ 8,9],每个区间上函数值f （x ）都随x 值的增大而减小.一般地，在函数y=f （x ）定义域内的一个区间A 上,如果对于任意的12,x x A ∈,当x １<x ２时, 都有f （x １）<f （x ２）,那么就称函数y=f （x ）在区间A 上是增函数或递增的;如果对于任意的12,x x A ∈,当x １思考： 图2-9中，怎样用数学的符号语言表达函数值f(x)在区间[-6, -5]上隨x 值的增大而增大呢？<x ２时，都有f （x １）>f （x ２）,那么就称函数y=f （x ）在区间A 上是减函数或递减的.如果函数y=f （x ）在区间A 上是增函数或减函数,那么就称函数y=f （x ）在区间A 上是单调函数，或称函数y=f （x ）在区间A 上具有单调性.此时，区间A 为函数y=f （x ）的单调区间.备注：１．概念中应该注意问题：任意的12,x x A ∈（不能写成“存在12,x x A ∈”）２．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.知识扩充：例１设1()(0)f x x x=<,画出f （x+３）（x<—３）的图像，并通过图像直观判断 它的单调性。
第三节 函数的单调性(学生用)
第3课 函数的单调性【考点及要求】理解单调性，奇偶性及其几何意义，会判断函数的单调性，奇偶性【基础知识】1．函数单调性：一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，①若 则()f x 在区间I 上是增函数，②若 则()f x 在区间I 上是增函数2．若函数()f x 在区间I 上是增函数或减函数，则称函数()f x 在这个区间具有（严格的） ， 区间I 叫做()f x 的【基本训练】1．偶函数12+=x y 在（0，+∞）上为单调 函数，（∞-，0）上为单调 函数，奇函数x y 1=在（0，+∞）上为单调 函数，（∞-，0）上为单调 函数。
2．函数x y 2log =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y =在（0，+∞）上为单调 函数，则函数x x y 2log +=在（0，+∞）上为单调 函数；3．函数2x y =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y -=在（0，+∞）上为单调 函数；4.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-． 其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有______．【范例解析】例1.求下列函数的单调区间(1）2()231f x x x =-+- （2）3()2f x x x =-- （3）21()1x f x x -=+例2.确定函数()f x =【反馈演练】1.函数y x x =的递增区间是___ ___．2.函数2log y x =的递增区间是__________．3.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．4.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数；②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中准确命题的序号有___________．5．已知函数1()21x f x =+，则该函数在R 上单调递__ __，（填“增”“减”）值域为_________． 6．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =_____.7． “a =1”是“函数()||f x x a =-在区间[1，+∞)上为增函数”的______条件．8．在下列四个函数中，①1()f x x =； ②()||f x x =； ③()2x f x =； ④2()f x x =．满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的函数的序号有________．。
课件1：2.1.3 函数的单调性
上也是增函数，则f(x)在（a,c）上是增函数（。错误）
说明： 1、x1,x2必须同属于一个单调区间； 2、“任意”两个字不能去掉，不能用
特殊值替换； 3、x1,x2必须有大小，通常规定x2-x1>0。
例：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图 象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上， y=f(x)是增函 数还是减函数。
练习1：根据下列∞，0]， 减区间 [0，+∞）
y=x 3
y=x_1
增区间（-∞，+∞） 减区间（-∞，0）， （0，+∞）
证明函数f(x)=kx+b(k>0) 在(-∞,+∞）上是增函数。
f(x)
b -b/k
0
注意：我们在证明函数的单调性时，不能 “以图代证”，而是严格按照定义证明
就称函数y=f(x)在区间M上是增函数， 当 y f (x2 ) f (x1) 0 时，就称函数y=f(x)在 区间M上是减函数。
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函 数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性。 （区间M称为单调区间）
判断下列两个命题的正误：
1、已知f(x)是[a,b]上增函数，若存在x1,x2∈[a,b]且x2-
正确答案：增区间为：[-2，1]，[3，5] 减区间为：[-5，-2]，[1，3]
正确答案： 增区间：[-2，1]，[3，5] 减区间：[-5，-2]，[1，3]
。
增区间：[-2，1]，[3，5]
减区间：[-5，-2]，[1，3]
增区间：[-2，0]，（0，1]，
[3，5]
减区间：[-5，-2]，[1，3] 。
第二章 函数 2.1 函数
高中数学 第二章 函数 第3节 函数的单调性基础知识素
§3 函数的单调性1．理解函数单调性的定义．2．会用函数单调性的定义判断函数的单调性．3．能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间．1．增函数(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是增加的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0f x1－f x2x1－x2＞0.(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是____________的．(3)图示：如图所示．【做一做1】下列命题正确的是( )．A．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．如果f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数D．如果f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x22．减函数(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是减少的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0f x1－f x2x1－x2＜0.(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是__________的．(3)图示：如图所示．【做一做2－1】 设函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )．A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a ＞－12D ．a ＜12【做一做2－2】 函数f (x )在R 上是减函数，则有( )．A ．f (3)＜f (5)B ．f (3)≤f (5)C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)≥f (5) 3．单调性(1)定义：如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是______或是______，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．如果函数y ＝f (x )在__________内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．(2)几何意义：函数f (x )的图像在区间A 上是____或____的．一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．如函数y ＝1x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能说函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间．【做一做3－1】 函数y ＝－x 2的单调增区间为( )．A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【做一做3－2】 已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它的单调减区间为__________．4．最大值和最小值(1)定义：一般地，对于函数y ＝f (x )，其定义域为D ，如果存在x 0∈D ，f (x 0)＝M ，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )≤M [或f (x )≥M ]，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大(小)值，即当x ＝x 0时，f (x 0)是函数y ＝f (x )的最大(小)值，记作y max ＝f (x 0)[或y min ＝f (x 0)]．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大(小)值是其图像上最高(低)点的纵坐标． 【做一做4】 函数f (x )＝x －1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是( )． A ．6,3 B ．5,2 C ．9,3 D ．7,4答案：1．(1)f (x 1)＜f (x 2) (2)上升【做一做1】 D A ，B 项中的x 1，x 2不具有任意性，C 项中f (x )在I 1和I 2上均为增函数，但在I 1∪I 2上的单调性无法判定．2．(1)f (x 1)＞f (x 2) (2)下降【做一做2－1】 D ∵f (x )是R 上的减函数，∴2a －1＜0，即a ＜12.【做一做2－2】 C ∵函数f (x )在R 上是减函数，3＜5， ∴f (3)＞f (5)．3．(1)增加的 减少的 整个定义域 (2)上升 下降 【做一做3－1】 A【做一做3－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 【做一做4】 B 函数f (x )＝x －1在区间[3,6]上是增加的，则当3≤x ≤6时，f (3)≤f (x )≤f (6)，即2≤f (x )≤5，所以最大值和最小值分别是5,2.理解函数的单调性剖析：函数的单调性刻画了函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)；函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数(减函数)，等价于对于D 中任意的两个自变量x 1，x 2且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)〔f (x 1)＞f (x 2)〕，其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则会产生错误．比如函数f (x )＝1x，取x 1＝－1＜x 2＝1，f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，f (x 1)＜f (x 2)，如果由此推出f (x )＝1x是增函数就会产生错误，原因就在于x 1，x 2是定值，不具有任意性．另一方面，从反面考虑，由于存在x 1＝－1＜x 2＝1，f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，f (x 1)＜f (x 2)，我们可以下这样的结论：f (x )＝1x在整个定义域上肯定不是减函数；由定义还可以看出，函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个局部的性质，并且在考察单调性时，必须先看函数的定义域，如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”)．例如f (x )＝1x的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)；由于函数的单调性是反映函数图像变化趋势的，所以在一点处没法讨论函数的单调性，比如函数y ＝x 2的单调增区间可以写成(0，＋∞)，也可以写成[0，＋∞)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示；如果要证明一个函数的单调性，要严格按照定义进行，步骤如下：(1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x 1，x 2且x 1＜x 2； (2)变形：主要是配方或分解因式、通分等； (3)定号：判断f (x 1)－f (x 2)的符号； (4)结论：由定义给出结论．题型一 判断或证明函数的单调性【例1】 证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减少的．分析：在(0,1)上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，只需证明f (x 1)＞f (x 2)即可． 反思：证明函数单调性，主要有2种方法． (1)定义法．其步骤是：①在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；②比．较f (x 1)和f (x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；③再．归纳结论． (2)图像法．借助图像，依据函数单调性的几何意义来判断．此法适合客观题(选择题和填空题)．题型二 求函数的单调区间【例2】 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图像，并指出函数的单调区间．分析：只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间．反思：利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．题型三 函数单调性的应用【例3】 已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小．分析：要比较两函数值的大小，需先比较自变量的大小．反思：利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，当x 1＞x 2时，f (x 1)＞f (x 2)；另一方面是逆向应用，即若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2，当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，同理可得相应的结论．【例4】 已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围．分析：欲求x 的取值范围，需由f (x －2)＜f (1－x )得出x －2与1－x 的大小关系，同时要注意函数的定义域．反思：解答此类问题的关键是充分利用函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即将抽象不等式转化为具体不等式求解．题型四 单调性与最值的综合运用【例5】 已知函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 均有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大、最小值．分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用．反思：证明函数的单调性，必须用定义严格证明，不能用特殊值去检验，判断函数的最值，往往从单调性入手．题型五 易错辨析易错点 对单调区间与在区间上单调两个概念理解错误【例6】 若函数y ＝|x －a |在区间(－∞，4]上是减少的，则实数a 的取值范围是__________．错解：函数y ＝|x －a |的图像如图所示，由于函数在区间(－∞，4]上是减少的，因此a ＝4.错因分析：错解中把函数在区间(－∞，4]上是减少的误认为函数的单调减区间是(－∞，4]．若把原题目改为：函数y ＝|x －a |的单调减区间是(－∞，4]，则a ＝4符合题意．答案：【例1】 证明：设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2－1x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1－x 2＜0.则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减少的．【例2】 解：y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3＝－x －12＋4，x ≥0，－x 2－2x ＋3＝－x ＋12＋4，x <0.函数图像如图所示．函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增加的； 函数在[－1,0]和[1，＋∞)上是减少的．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．【例3】 解：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)． 【例4】 解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )， ∴x －2＜1－x .∴x ＜32.∴1≤x ＜32为满足题设条件的x 的取值范围．【例5】 解：(1)令x ＝y ＝0，可得f (0)＝0， 令y ＝－x 可得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0. 又∵x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．由定义可知f (x ) 在R 上为单调递减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上是减少的． ∴f (－3)最大，f (3)最小．f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. ∴f (－3)＝－f (3)＝2，即f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.【例6】 正解：函数y ＝|x －a |的图像如图所示，所以只要a ＝4或a 在4的右侧，都能保证函数y ＝|x －a |在区间(－∞，4]上是减少的，因此a ≥4.1 函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )．A ．递减函数B ．递增函数C ．先递增再递减D ．先递减再递增2 函数6y x=的单调递减区间是( )．A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 3 下列函数中，在区间(0,2)上增加的是( )．A ．y ＝3－xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝－x 2D ．y ＝x 2－2x －34 函数f (x )＝x 2－|x |的单调递减区间是__________．5 求证：函数f (x )＝11x +在(－1，＋∞)上是减少的．答案：1．D 由函数图像可知，函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上先递减再递增，选D.2．C 由y ＝6x的图像知，选C. 3．B (排除法)选项A ，y ＝3－x 在R 上是减函数；选项C ，y ＝－x 2在(0，＋∞)上是减少的；选项D ，y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，当x ≤1时，y 是x 的减函数，当x ≥1时，y 是x 的增函数，而在(0,2)上并不严格单调，故选B.4.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭和1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ，f (x )的单调减区间是10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ，f (x )的单调减区间是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.5．证明：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2112121111(1)(1)x x x x x x --=++++. ∵x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2， ∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝2112(1)(1)x x x x -++＞0.∴f (x )＝11x +在(－1，＋∞)上是减少的．。
高中数学知识点精讲精析 函数的单调性
2.3 函数的单调性在某一区间内，当x 的值增大时，函数值y 也增大图象在该区间内呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小图象在该区间内呈下降趋势 如何用x 与来描述上升的图象？在给定区间上任取如何用x 与来描述下降的图象？在给定区间上任取1.用数学语言表达函数值的增减变化：在函数y=f （x ）的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两个数x 1，x 2，当x 1<x 2时都有f （x 1）<f （x 2），那么就称函数y=f （x ）在区间A 上是增加的（或递增的）；在函数y=f （x ）的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两个数x 1，x 2，当x 1<x 2时都有f （x 1）>f （x 2），那么就称函数y=f （x ）在区间A 上是减少的（或递减的）；2.单调性与单调区间：如果函数y=f （x ）在区间A 上是增加的或者是减少的，那么就称函数y=f （x ）在这个子集上具有单调性；这个区间A 称为函数的一个单调区间；3.单调函数：如果函数y=f （x ）在整个定义域内是增加的（或是减少的），我们就称这个函数为增函数（或减函数），统称为单调函数；4.单调函数的图像特征：在单调增区间上，函数的图像是上升的；在单调减区间上，函数的图像是下降的；5.判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：⇔⇔f x ()x x 12，x x f x f x 1212<⇒<()()f x ()x x 12，x x f x f x 1212<⇒>()()① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；② 作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 6.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． (2) 单调区间:如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间.例1. 证明函数在R 上是增函数. 证明：（1）取值 设是R 上的任意两个实数，且，则 （2）作差（3）判断由，得： 于是（4）结论所以，在R 上是增函数.例2. 判断函数的单调性，并写出单调区间.解：此函数定义域为首先画出函数的图象f x x ()=+32x x 12，x x 12<()()()f x f x x x x x ()()12121232323-=+-+=-x x 12<x x 120-<()()f x f x 120-<f x x ()=+32()y x x =≠10()()-∞+∞，，00 y x =1从图象上观察，我们可知，函数在和上均为单调递减.∴函数的单调减区间为和 注意：我们能说函数在整个定义域内单调递减吗？为什么？例3. 求证：函数在区间上是单调增函数. 证明：（1）取值 设是上的任意两个实数，且，则（2）作差（3）判断又（4）结论所以在区间上是单调增函数. 例4. 如图，定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出的最大值.最小值及单调区间.yO xy x =1()-∞，0()0，+∞y x =1()-∞，0()0，+∞y x =1f x x ()=--11()-∞，0x x 12，()-∞，0xx 12<()()f x f x x x x x x x x x 1212211212111111-=--⎛⎝ ⎫⎭⎪---⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=- x x x x 121200<<∴-<，() x x x x 121200，，，∈-∞∴>()()()()∴-=-<∴<f x f x x x x x f x f x 121212120f x x ()=--11()-∞，0[]-66，y f x =()y f x =()解：函数的单调减区间为和，以及函数的单调增区间为和最大值为，最小值为例5. 已知函数的定义域是.当时，是单调增函数；当时，是单调减函数.试证明在时取得最大值.证明：因为当时，是单调增函数 所以对于任意都有又因为当时，是单调减函数所以对于任意的都有因此，对于任意都有即在时取得最大值.例6 下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是A.y =－x +1B.y =xC.y =x 2－4x +5D.y =x2 答案：B例7.函数y =log a （x 2＋2x －3），当x =2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是 A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）解析：当x =2时，y =log a 5＞0，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0⇒x ＜－3或x ＞1，易见函数t ＝x 2＋2x －3在（－∞，－3）上递减，故函数y =log a （x 2＋2x －3）（其中a ＞1）也在（－∞，－3）上递减.答案：A例8 （2003年北京朝阳区模拟题）函数y =log21|x －3|的单调递减区间是__________________.解析：令u =|x －3|，则在（－∞，3）上u 为x 的减函数，在（3，+∞）上u 为x 的增函数.又∵0＜21＜1，∴在区间（3，＋∞）上，y 为x 的减函数. y f x =()[]--63，[]03，[]56，y f x =()[]-30，[]35，f ()-6f ()3y f x =()[]a b a c b ，，<<[]x a c ∈，f x ()[]x c b ∈，f x ()f x ()x c =[]x a c ∈，f x ()[]x a c ∈，f x f c ()()≤[]x c b ∈，f x ()[]x c b ∈，f x f c ()()≤[]x a b ∈，f x f c ()()≤x c =答案：（3，+∞）。
高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性素材 北师大版必修1
2.3 函数的单调性一、教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．二、教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三、教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．（3）考虑到有些学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔。
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2015高中数学精讲精练 第二章 函数
第3课 函数的单调性
【考点导读】
1．理解函数单调性，最大（小）及其几何意义；
2．会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
【基础练习】
1．下列函数中：
①()12f x x =； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-． 其中，在区间()02，上是递增函数的序号有： ．
2．函数y x x =的递增区间是 ．
3．函数y 的递减区间是 ．
4．已知函数()y f x =在定义R 上是单调减函数，且()()12f a f a +>，则实数a 的取值范围 是 ．
5．已知下列命题：
①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；
③定义在R 上的函数()f x 在区间(]1-∞，上是增函数，在区间[)0+∞，上也是增函数，则函数()
f x 在R 上是增函数；
④定义在R 上的函数()f x 在区间(]0-∞，上是增函数，在区间()0+∞，上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．
其中正确命题的序号有 ．
例1 求证：（1）函数()2231f x x x =-+-在区间34⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦，上是单调递增函数； （2）函数()211
x f x x -=
+在区间()1-∞-，和()1-+∞，上都是单调递增函数． 例2 确定函数()
f x = 【反馈演练】
1．已知函数()121
x f x =+，则该函数在R 上单调递 ，（填“增”“减”）值域为 ．
2．已知函数()245f x x mx =-+在()2-∞-，上是减函数，在()2-+∞，上是增函数，则
()1f = ．
3．函数y 的单调递增区间为 ．
4．函数()21f x x x =-+的单调递减区间为 ．
5．已知函数()12ax f x x +=+在区间()2-+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围．。