心轴的强及刚计算

Fs
NA
l
l
a
F
M laFx l
若取m-m截面右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左
段截面上等值、反向的剪力Ｆs′和弯矩M′，与左段截面上的剪力
Fs和弯矩M互为作用与反作用的关系。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
剪力符号规定：使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动的
剪力方向为正，反之为负；
弯矩符号规定：使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反
ql
根据平衡条件：
(c)
0
Fs-qx=0 Fs=qx (0≤x≤l)
M
M qx x 0 2
M 1 qx2 2
(0≤x≤l)
(d)
0
1 ql2 2
q m1
B
m
x
l
m M Fs
m
q B
lx x
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
四、剪力图和弯矩图
利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系，可不比列出剪力和弯矩方程即可画 出剪力图和弯矩图。
工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、T 字形和工字形等。
y
y
y
y
z
z
z
z
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 二、作用在心轴上载荷的分类
心轴横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与梁的 轴线组成的平面称为纵向对称平面。
集中力偶
纵 向 对称 面
均布载荷
q
M
F
对称轴
轴线
NA 弯 曲 后的 轴 线
之为负。
(＋ )
(－ )
Fs
Fs
Fs
Fs
剪力符号规定
M (＋ ) M
(－ )
M
M
弯矩符号规定
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
梁内任一截面上的剪力，等于截面任一侧梁上外力的代 数和；梁内任一截面上的弯矩，等于截面任一侧梁上外力对该 截面形心力矩的代数和。
计算剪力时：截面左侧向上的外力、右侧向下的外力取正号； 计算弯矩时：无论截面左侧或右侧，向上的外力取正号，向下
的外力取负号。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 四、剪力图和弯矩图
工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。
若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs 和弯矩M可以写成x的函数：
Fs=Fs(x)
剪力方程
M=M(x)
弯矩方程
为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变
化规律，可根据剪力方程和弯矩方程, 用横坐标x表示梁的横截 面的位置, 纵坐标分别表示剪力Fs和弯矩M的大小而画出的图形， 分别称为剪力图和弯矩图。
图 6.3
集中力
N B
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
梁的简化
A
B
(a)
简支梁： 梁的一端为固定铰链支座， 另一端为活动铰链支座。
A
B
(b)
悬臂梁：梁的一端为固定端支座， 另一端为自由端。
A
B
(c)
外伸梁：梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
三、剪力与弯矩
F
A
m
B
NA
NB
M l
F s
(b)
0
(2) 列剪力方程和弯矩方程。
1-1截面，剪力方程为：Fs1
M l
M
弯矩方程为：M1
M l
x1
(c)
A 0
M/l (l－a)·M/l
C
B x
B x
(0≤x1<a)
M·a/l
例3-2图
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
2-2截面，剪力方程为：
F
s 2
M l
弯矩方程为：
M2
M 2 24 8x2 (2 x2 3)
(3) 绘制剪力图和弯矩图。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
M
1
2
【例3-2】 如图（a）所 示 ， 简 支 梁 AB 上 作 用 一
A
C
B
1
(a)
NA
x1
2 NB
集中力偶M，试绘出梁
a
x
2
AB的剪力图和弯矩图。
l
解 (1) 求AB的支座反力，由力偶系平衡可得
M
M l
Байду номын сангаас
x2
(a<x2≤l)
(3) 绘制剪力图和弯矩图。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
【例3-3】 如图(a)所示，悬(a)
A
臂 梁 AB 受 均 布 载 荷 作 用 , 试
绘制其剪力图和弯矩图。
解
设
截
面
m-m与
B
端
之 (b)
间的距离为x，取m-m截面的
右段为研究对象，画出受力
Fs
图，如图（b）所示。
②纵向线（包括轴线）都变成 了弧线；
③梁横截面的宽度发生了(b微) 小 变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区 则变窄了些。
0
M
(e)
A 0
2m
x1 x2
C1
M1
x1
Fs1
x2
F 1m B
C NB
例3-1图
F
C2
M2
Fs2
4 kN
C
B
x
－ 8 kN
8 k N·m
C
Bx
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 (2) 列剪力方程与弯矩方程。 ① 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图(b) 所示。列平衡方程： Fs1 N A 0
(a)
m x
NA
a
l
NB
A (b)
NA
C1 m
M
m
Fs
M Fs m F
B
(c)
m
NB
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为：
NA
l
l
a
F,
NB
a l
F
用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段进行分析：
F N A Fs 0 mC1 M N A x
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
五、平面弯曲梁的强度与刚度计算
1、纯弯曲试验
P
A B
纯弯曲：只有弯矩没有剪力。
l
P D
C
l
Fs A
剪切弯曲：既有剪力又有弯矩。 0
M
P B
Pl
C
D
x
－P
A
0
B
C
Dx
3.2.3 心轴的强度和刚度计算
纯弯曲梁的变形特征：
(a)
①横向线仍是直线且仍与梁的 轴线正交，只是相互倾斜了一个角度；
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 A
【例3-1】如图 (a)所 示，简支梁AB受集中
(a) NA
截荷 F=12kN， 试 画
出其剪力图和弯矩图。 (b) NA
解 (1) 求A、B的支座反力。
mB N A 3 F 1 0(c) NA
NA
1 3
F
4kN
NB F N A 8kN
F s
A (d)
Fs1 N A 4kN
mC1 M1 N A x 0
M1 4x1 (0 x1 2) ②对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图(c)所
示。列平衡方程： Fs2 F N A 0 Fs2 N A F 4 12 8kN
mC2 M 2 F ( x2 2) N A x2 0
3.2.3 心轴的强度和刚度计算 一、心轴弯曲的概念与实例
q
F
(a)
(b)
心轴：工作时仅承受弯矩而不传递转矩。
受力特点：梁轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的 外力 作用。
变形特征：构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为弯 曲变形。以弯曲变形为主的构件习惯上称为梁。
3.2.3 心轴的强度和刚度计算