高中数学选修4-4北师大版 平面直角坐标系学案2 Word版

§1 平面直角坐标系 1.1 平面直角坐标系与曲线方程

1．通过回顾平面直角坐标系，体会借助坐标系研究曲线和方程的关系． 2．了解曲线和方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法． 3．能利用已知条件求出曲线方程．

1．平面直角坐标系

(1)在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，如图所示．

在平面直角坐标系中，有序实数对与坐标平面内的点具有________关系，如图，有序实数对(x ，y )与点P 相对应，这时(x ，y )称作点P 的________，并记为P (x ，y )，其中，x 称为点P 的横坐标，y 称为点P 的纵坐标．

(2)曲线可看做是满足某些条件的点的____或____，由此我们可借助坐标系，研究曲线与方程间的关系．

(1)建立平面直角坐标系的意义：平面图形都是二维图形，建立直角坐标系就能准确表示一个点所处的位置．

(2)水平轴为x 轴，垂直轴为y 轴，x 轴、y 轴统称为坐标轴．在x ，y 轴上，单位长度一般相同．

【做一做1－1】已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是__________． 【做一做1－2】已知点A (－1,3)，B (3,1)，点C 在坐标轴上，∠ACB ＝90°，则满足条件的点C 的个数是( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 2．曲线与方程

在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线C 上的________都是方程f (x ，y )＝0的解； (2)以方程f (x ，y )＝0的________的点都在曲线C 上．

那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线． 【做一做2】已知B ，C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长为16，顶点A 的轨迹方程是( )．

A ．x 216＋y 225＝1(y ≠0)

B ．x 225＋y 216

＝1(y ≠0) C ．x 2

16＋y 2

25＝1(x ≠0) D ．x 2

25＋y 2

16＝1(x ≠0)

1．建立直角坐标系的作用 剖析：坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上，起过划时代的作用．坐

标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究．

2．建立适当的坐标系的一些规则

剖析：(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上． 答案：

1．(1)一一对应 坐标 (2)集合 轨迹

【做一做1－1】－3＜m ＜1

2

∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

－1＋2m <0，－3－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧

m <12，

m >－3.

∴－3＜m ＜1

2

.

【做一做1－2】C 若点C 在x 轴上，可设点C (x,0)，

由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2

，

∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x ＋1)2＋32＋(x －3)2

＋1，解得x 1＝0，x 2＝2. 故点C 的坐标为(0,0)或(2,0)．

若点C 在y 轴上，可设点C 为(0，y )，

由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2

，

∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(3－y )2＋(0－3)2＋(y －1)2

， 解之，得y 1＝0，y 2＝4.

故点C 的坐标为(0,0)或(0,4)．

∴这样的点C 有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点． 2．(1)点的坐标 (2)解为坐标

【做一做2】B ∵△ABC 的周长为16，|BC |＝6， ∴|AB |＋|AC |＝10.

以BC 所在的直线为x 轴，过BC 的中点做BC 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－3,0)， C (3,0)，

设A (x ，y )(y ≠0)，

则 x ＋3 2＋y 2＋ x －3 2＋y 2

＝10(y ≠0)，

化简得顶点A 的轨迹方程是

x 225＋y 2

16

＝1(y ≠0)．

题型一 利用坐标系解决代数问题

【例1】已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM :MB ＝1:2，求动点M 的轨迹方程．

分析：利用平面直角坐标系，设出A ，B ，M 三点的坐标，再利用定比分点公式表示出点M 的坐标关系，即点M 的轨迹方程．

反思：利用点在平面直角坐标系中的关系，找到其关系式，并用代入法解出相关点的轨迹方程是常见题型．

题型二 利用坐标系解决几何问题

【例2】已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2

最小，并求出此最小值．

分析：此题是平面几何最值问题，用平面几何法不易解决，考虑用坐标法来解决． 反思：(1)也可以以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，计算也不复杂． (2)配方法是求最值的重要方法，应掌握好． 题型三 利用坐标系解决实际问题

【例3】我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 正东方向80海里的B 处．沿东西方向