第8讲：函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的对应关系。
在函数的研究中，周期性与对称性是两个重要的性质。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数的周期性与对称性。
一、周期性函数的周期性是指在一定的范围内，函数的值以一定的规律重复出现。
如果存在一个正数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T是函数的周期。
周期性在数学中广泛应用于波动现象的研究中，如正弦函数和余弦函数就是典型的周期性函数。
以正弦函数为例，函数f(x) = sin(x)的周期为2π，即在每一个2π的区间内，函数的值重复出现。
这种周期性的特征在物理学中非常重要，可以用于描述电磁波、声波等的传播规律。
在实际应用中，周期性函数经常用于天文学、物理学、电路分析等领域。
例如，利用函数的周期性可以预测天体运动的规律，分析电子元件的交流电路，优化信号处理等。
二、对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的值保持不变。
常见的对称性有奇偶对称性和轴对称性。
1. 奇偶对称性函数f(x)具有奇对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)。
奇对称函数在坐标系中以原点为对称中心，左右两侧关于y轴对称。
以奇对称函数f(x) = sin(x)为例，可以观察到f(x)关于原点对称。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在负半轴上取负值。
函数的奇对称性在数学和工程中都具有广泛应用。
例如在电力系统中，交流电流的正弦波形就是一种典型的奇对称函数。
2. 轴对称性函数f(x)具有轴对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)。
轴对称函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
以轴对称函数f(x) = x^2为例，可以观察到函数图像在y轴上是对称的。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在正半轴上同样取正值。
轴对称函数在几何学和图像处理中有广泛应用。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。
在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。
一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。
在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。
1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。
其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。
1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。
定义域上的这条轴称为对称轴。
轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。
1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。
中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。
二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。
对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。
具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。
结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。
它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性函数周期性和对称性是数学中重要的概念，它们在函数的图像以及数学建模中都起着关键的作用。
在本文中，我将详细介绍函数的周期性和对称性，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、周期性周期性是指函数具有重复性质，在一定区间内的函数值是相同的或者是呈规律性变化的。
如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期T。
例如，正弦函数sin(x)是一个周期为2π的函数。
无论x取何值，sin(x+2π)的值与sin(x)的值相同。
同样地，余弦函数cos(x)也是一个周期为2π的函数。
周期性在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，声音波动、机械振动和电信号的周期性都可以用周期函数进行建模。
通过分析周期性可以得到这些现象的规律和特性。
二、对称性对称性是指函数图像在某种变换下具有不变性。
常见的对称性有轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=f(x)，则称函数f具有轴对称。
例如，抛物线函数y=x^2是一个关于y轴对称的函数。
对于任意的x，有x^2=(-x)^2，即函数值关于y轴对称。
2. 中心对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=-f(x)，则称函数f具有中心对称。
例如，奇函数f(x)=sin(x)是一个关于原点对称的函数。
对于任意的x，有sin(-x)=-sin(x)，即函数值关于原点对称。
对称性在几何学、物理学和图像处理等领域中有重要的应用。
例如，通过分析图像的对称性，可以简化计算或者提取图像中的关键特征。
综上所述，函数周期性和对称性是数学中两个重要的概念。
周期性描述了函数重复规律的特性，对于模拟和分析周期性现象非常有用；而对称性则描述了函数图像在变换下不变的性质，对于建模和处理图像有重要应用。
通过理解和应用函数周期性和对称性，我们能更好地理解数学背后的规律，并将其用于实际问题的解决。
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
函数的对称性和周期性结论总结
函数的对称性和周期性结论总结函数是数学中最基础的概念，它是描述两个数量之间关系的方程。
函数的对称性和周期性是函数的重要性质，它们的研究可以帮助我们理解更多有关函数的属性。
本文综述了函数的对称性和周期性的结论，以及它们在实际应用中的重要性。
首先，让我们看看函数的对称性。
函数的对称性是指函数的曲线在某些特定的平行线上具有相同的形状，或者说函数曲线具有对称性。
函数的对称性可以分为三类：对称、半对称和反对称。
称类型的函数具有正负对称性，这意味着函数的曲线在直线上的形状是完全一样的。
半对称的函数具有正值或负值的对称性，这意味着函数的曲线在正负一侧的形状是一样的。
反对称的函数具有不正或不负的对称性，这意味着它的曲线在正负一侧的形状是不一样的。
因此，函数的对称性是指函数曲线在一些特定的平行线上具有特定的形状特性。
其次，让我们看看函数的周期性。
函数的周期性是指函数曲线在某一特定的时间间隔内重复出现的性质。
一般情况下，函数的周期性可以用来表示这个时间间隔中某些特征的变化。
一般来说，函数的周期性也可以用来描述函数曲线在一定时间内变化的情况。
函数的周期性主要包括正弦周期性、余弦周期性、正弦余弦和正弦角周期性。
正弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如正弦函数曲线一样，产生正弦波形。
余弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如余弦函数曲线一样，产生余弦波形。
正弦余弦型是指，函数曲线同时包含正弦和余弦波形，在特定间隔内变化如正弦余弦数列一样。
正弦角周期性的特点是，函数曲线在特定间隔内变化如正弦角函数一样，产生正弦角波形。
最后，让我们看看函数对称性和周期性在实际应用中的重要性。
函数对称性和周期性都在很多领域中有广泛的应用，如物理学、机械工程和电子信息等。
物理学中，函数的对称性和周期性可用于研究力学系统的运动，从而有助于我们更好地理解动力学中的某些问题。
在机械工程中，函数的对称性和周期性对计算机的性能也有很大的影响，可以帮助我们更好地把握计算机的运行状态。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
函数对称性、周期性全解析
函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性根本知识 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进展拓展？答案是肯定的 探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+、、(异号考虑对称) )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -=或)2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过bx f x a f 2)()2(=+-可知，bx f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
(完整版)函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。
又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。
从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。
命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。
当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性补充高一数学知识点——函数的对称性与周期性一、对称性（轴对称、中心对称）函数的对称性是指函数自身具有的对称性，可以分为轴对称和中心对称两种类型。
命题1：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。
特别地，当f(x) = f(-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称；当f(a+x) = f(a-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
命题2：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b/c,0)成中心对称图形。
特别地，当f(x) + f(-x) = 0时，函数y=f(x)的图象关于原点对称；当f(x) + f(2a-x) = 2b时，函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
二、周期性1.定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，则称T为这个函数的一个周期。
2.如果函数f(x)是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么f(x)=f(-x)。
关于函数的周期性的几个重要性质：1）如果y=f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x±nT)=f(x)(n∈Z)。
2）如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a；如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a/T。
三、例题讲解例1]若f(x+a)=f(x)-f(x-a)，则f(x)的周期T=6a，请推导。
例2]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=-5.5.例3]已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(105.5)=103.5.例4]设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x)图象关于直线x=1/2对称，y=f(x+1)的图象关于y轴对称。
函数的对称性和周期性
函数的对称性和周期性函数的对称性是对整个定义域而言，是函数的一个整体性质1．一个函数的对称轴⑴若函数y = f (x)恒满足f (m + x) = f (m－x)，（m 为常数）则它的图像关于直线x = m对称⑵若函数y = f (x)恒满足f (２m－x) = f (x)，（m为常数）则它的图像关于直线x = m对称⑶特殊地，当m=0时，函数y = f (x)恒满足f (－x) = f (x)，即f (x)是偶函数，图像关于y轴对称⑷若函数y = f (x)恒满足f (a + x) = f (b－x)，（a，b为常数）则y = f (x)的图像关于直线x =2ba+对称例：设函数f (x)满足条件f (x) = f (2－x) ，(x∈R)，当x>1时，f (x)是增函数，则a = f(0)，b = f (log 241)，c = f (π)的大小关系是__________例：已知f (x)为偶函数，当－１≤x<0时，f (x) = x + 1，求０<x ≤1时，f (x)的表达式例：已知函数y = f (x)的图像关于直线x = 1对称，且x ≤1时函数解析式为y = x 2 + 1，求x ≥1时函数的解析式．例：已知函数y = f (x)在其定义域上满足f (4 + x) = f (4－x) 且f (x) = 0有且只有６个不同的根，求这６个根的和．例：已知函数y = sin2x +acos2x (a ≠0)的图像关于直线x ＝－8π对称，a ＝ ______2． y = f (|x|) 的图像是去掉y 轴左侧部分，将y 轴右侧图像沿着y 轴翻折得到，它一定是偶函数y = f (|x－b|)的对称轴是x＝b，是由y = f (|x|)左右平移得到的例：画出y = x2－2|x|－１的图像例：函数y = ３| x – b |是偶函数，则b=_____例：函数y = log a |ax－1| (a>0且a≠1)的图像关于直线x = 2 对称，则a 等于______例：若函数f (x)＝a|x－b|+2在[),0上为增函数，+∞求实数a、b的取值范围答案：显然a≠0 f (x) 的对称轴是x＝b，所以b≤0，又由单调性知a>03．⑴若一个函数关于点（a，b）对称，则f (a－x)－b＝b－f (a＋x)，即f (a－x) + f (a＋x) = 2b⑵若一个函数关于点（a，0）对称，则f (a－x)＝－f (a＋x)，即f (a－x) + f (a＋x) = 0⑶特殊地，若一个函数关于点（０，０）对称，则f (－x)＝－f (x)，即f (－x) + f (x) =０，即此函数为奇函数，图像关于原点对称例：f (x+3)为奇函数，可得到函数f (x )的什么性质例：函数y = 121+-x x的图像的对称中心的坐标是___________，渐近线方程为__________（y = 121+-x x =132++-x ）例：已知定义域为R 的函数f (x)满足f (—x) = —f (x+4)，且当x>2时，f (x)单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1－2）(x 2 －2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值（ ） Ａ．恒小于０ Ｂ．恒大于０Ｃ．可能为０ Ｄ．可正可负答案：Ａ 数形结合 由f (—x) = —f (x+4)知中心为：（２，０）４．周期性⑴f (x+T) = f (x) 周期：T⑵f (x+T) = －f (x)f (x+T) =)(1x f f (x+T) =)(1x f - 周期：２T⑶f (x+T) = f (x －T) 周期：２T ⑷f (x+T) = －f (x －T) 周期：４T ⑸⎩⎨⎧-=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期： ２(b-a ）特殊地， ⎩⎨⎧-=+是偶函数)()()(x f x a f x a f 周期： ２a⑹⎩⎨⎧--=+--=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期： ２(b-a ）特殊地， ⎩⎨⎧--=+是奇函数)()()(x f x a f x a f 周期： ２a⑺⎩⎨⎧--=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期： ４(b －a ）例：偶函数定义域为Ｒ，恒满足f (2+x) = f (2－x)．已知x ∈[－２，２]时，f (x) =－x 2 + 1．求当x ∈[－６，－２]时，f (x)的表达式．例：已知f (x )是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f (3)成立，若f (1)=2，则f (2005)等于（ ）A ．2005B ．2C ．1D ．0答案：B 令x=－３，由题意则有f (3)＝f (－3)＝０，所以f (x +6)=f (x )，６是一个周期。
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数的周期性与对称性是数学中非常重要且有趣的一个概念。
在数学中，周期性指的是函数在某个固定的间隔内重复出现相同的模式。
而对称性则是指函数图像关于某一条直线或一个点的对称性。
周期性是函数最基本的性质之一。
在数学中，一般指的是函数在某个固定的间隔内重复出现相同的模式。
周期性可以分为有限周期和无限周期两种。
一个函数的周期可以通过求解函数的周期性方程找到。
对于一个有限周期的函数，它的周期可以用一个有理数来表示，例如正弦函数的周期为2π。
周期性函数有很多重要的应用，例如正弦函数和余弦函数在物理领域中经常被用来表示振动和波动的模式。
在电工学中，交流电的周期性是通过正弦函数进行描述的。
周期性函数还在信号处理、音乐、图像处理等领域中有着广泛的应用。
对称性是函数图像关于某一条直线或一个点的对称性。
常见的对称性有水平对称、垂直对称和中心对称三种。
水平对称指的是函数图像关于x轴对称；垂直对称指的是函数图像关于y轴对称；中心对称指的是函数图像关于原点对称。
对称性函数在数学中也有着广泛的应用。
例如，切比雪夫多项式和勒让德多项式是对称性函数的一种具体形式。
对称性函数还在图形的绘制和建模中起到重要的作用。
周期性和对称性在数学中是密切相关的。
事实上，有些周期性函数同时具有对称性。
例如，正弦函数就是一个具有水平对称的周期性函数。
当函数满足周期性和对称性时，其图像会表现出一些特殊的形式和规律，这为我们研究和理解函数的性质提供了很大的帮助。
总之，函数的周期性与对称性是数学中非常重要的概念。
它们不仅在数学理论研究中具有重要意义，还在实际应用中有着广泛的应用。
通过对周期性和对称性函数的研究和理解，我们可以更好地理解和应用数学知识，深入探索数学的奥秘。
函数的周期性与对称性.
函数的周期性与对称性1函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y= f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x + a) = f(x —a)② f(x + a) = —f(x) ③f(x + a) = 1/f(x) ④ f(x + a) =—1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x= a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a —b|性质6、若函数y= f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 2|a —b|性质7、若函数y= f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 4|a —b|3. 函数y二f (x)图象本身的对称性(自身对称)若f (x • a)二f (x b)，贝U f (x)具有周期性；若f (a • x)二f (b - x)，贝U f (x)具有对称性："内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1: f (a • x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论2、f (x) = f (2a —x) ：= y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论3、f (-x) = f (2a • x) ：= y = f(x)的图象关于直线x = a对称推论1、f (a x) f (a - x) = 2b =推论2、f(x) f (2a -x) =2b = 推论3、f (-x) f (2a x) = 2b :二例题分析：1 .设f (x)是(Y「：：)上的奇函数，f(47.5)等于(A) 0.5 ( B) -0.52、(山东)已知定义在R上的奇函数A . —1B . 03•设f (x)是定义在R上的奇函数，y = f(x)的图象关于点(a,b)对称y = f (x)的图象关于点(a,b)对称y = f(x)的图象关于点(a,b)对称f(x 2) = — f(x)，当0 乞x ^1 时，f(x)二x，则( )(C) 1.5 ( D) -1.5f (x)满足f (x • 2) = -f(x)，贝y f(6)的值为( ) C. 1 D . 2f(1)=2, f(x 1) = f (x 6),求f(10).4•函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x • 2)1，若f(l)二-5，贝y f[f(5)]二f (x)5•已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x = 1对称。
函数的周期性和对称性
函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c ba +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称例题分析：1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．23．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___5．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。
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第8讲：函数的周期性和对称性
◆考纲要求：
1、了解函数的周期性及对称性，了解最小正周期的含义；
2、会判断、应用简单函数的周期性。
◆基础复习：
1.周期函数的定义：
对于D x x f y ∈=，)(，如果存在常数0T ≠，使得当D x ∈时，有 ，
则函数)(x f y =叫做以T 为周期的周期函数。
2.周期性重要结论：
（1）若)()(x f a x f =+，则()y f x =是以 为周期的周期函数；
（2）若)()(x f a x f -=+，则()y f x =是以 为周期的周期函数；
（3）若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以 为周期的周期函数；
（4）若函数)()(b x f a x f +=+，则()x f 是以 为周期的周期函数；
（5）若y=f(x)满足f(x+a)=()
x f 1 , 则f(x)为周期函数且 是它的一个周期； （6）若y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-
, 则f(x)为周期函数且 是它的一个周期； （7）若y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且它的周期为
（8）若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且它的周期为
（9）若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且它的周期为
（10）正弦函数x y sin =的周期为 ；余弦函数x y cos =的周期为 ； 正切函数x y tan =的周期为 ；
形如函数)cos()sin(ϕϕ+=+=wx A y wx A y 或的周期为 ；
形如函数)tan(ϕ+=wx A y 的周期为 ；
3.对称性的定义：
①对于D x x f y ∈=，)(，如果存在常数a ，使得当D x ∈时，有)()(x a f x a f -=+
则函数)(x f y =关于直线 成轴对称。
特别地，当0=a 时，)(x f y =为 函数；
②对于D x x f y ∈=，)(，如果存在常数a ，使得当D x ∈时，有)(-)(x a f x a f -=+
则函数)(x f y =关于点 成中心对称。
特别地，当0=a 时，)(x f y =为 函数；
4.对称性重要结论：
（1）函数)(x f y =图像关于a x =对称=
⇔-=+⇔)()()(x f x a f x a f （2）若)()(x b f x a f -=+，则()y f x =关于 对称；
=⇔-=+)()()(x f x b f x a f
（3）)(x f y =图像关于 对称=
⇔--=+⇔)()()(x f x a f x a f
（4）若)()(x b f x a f --=+，则()y f x =关于 对称；
=
⇔--=+)()()(x f x b f x a f ◆纠错思考：
1、若T 为()y f x =的一个周期，那么，)(Z n nT ∈也是函数)(x f 的周期。
（ ）
2、已知某函数为周期函数，那么此函数一定有最小正周期。
（ ）
◆问题探究：
问题1：设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时， ()x x f =，则()=5.7f （ ）
A.0.5
B.－0.5
C.1.5
D.－1.5
问题2：)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0 在区间()6,0内解的个数的最小值是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
问题3：定义在R 上的偶函数)(x f 满足=+)1(x f )(x f -，且在]0,1[-上单调递增， 设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是( )
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a
c b >> D ．a b c >>
问题4：设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在[0,7] 上，只有f (1)＝f (3)＝0.
(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；
(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2009,2009]上的根的个数，并证明你的结论．
◆练习反馈：
1.函数)32tan(π
+=x y 的周期为
2.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
3. 函数)x (f 对任意R ∈x 满足)
x (f 1)2x (f =+，若5)1(f -=，则))5((f f =( ) A. 5 B. 5- C. 51 D. 5
1- 4. 偶函数()f x 是以2为周期的函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为( )
.A 35 .B 85 .C 38
- .D 53 5.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x >， 则(119)f = ________
6. 在R 上定义的函数()x f 是奇函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函 数，则函数()x f （ ）
A.在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是增函数
B.在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是减函数
C.在区间[]2,3--上是减函数，区间[]1,0上是增函数
D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数
7. 已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,4
3(-成中心对称，且满足 =)(x f 1)1(),2
3(=-+-f x f ,f (0)=–2，则f (1)+f (2) + … +f (2010)的值为 （ ） A ．–2 B ．–1 C ．0 D ．1
◆反思小结：本节课你收获了什么知识和方法?。