5 相似三角形判定定理的证明.pptx
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【北师大版】九年级数学上册：4.5《相似三角形判定定理的证明》ppt课件
2
∴ AB CD . BC AC
D A
又∠B =∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴ BC AC . AC AD
∴AD= 25 . 4
B C
课堂小结
相似三角形判定 定理的证明
定理 证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
谢谢大家
A′
B′ A
D
∴ △ADE ≌ △A'B'C' .
B
∴ △ABC ∽△A'B'C' .
C′
E C
二 相似三角形判定定理的运用
例：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC = AD : AB,
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/4/302021/4/302021/4/30Fri day, April 30, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2021/4/302021/4/302021/4/302021/4/304/30/2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年4月30日 星期五 2021/4/302021/4/302021/4/30
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'， AB AC
相似三角形判定定理的证明课件
A
AB AC 边相交，截得的对应线段成比例）
A′
D
E
B
C B′
C′
过点D作AC的平行线，交BC于点F，
则 AD CF . （平行于三角形一边的直线与其他两边 AE CF .
AB CB 相交，截得的对应线段成比例）
AC CB
∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE＝CF.
A′
B
C B′
C′
已知：如图，△ABC和△
A′B′C′中，AABB
BC BC
=
AC AC
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′ 连接DE.
AB AC , AD AB, AB AC
A
AE AC,
AB AC . AD AE
AE DE . AC CB
AD AE DE . AB AC BC
A
A′
D
E
B
F
C B′
C′
而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C ∴△ADE∽△ABC ∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C'
A
A′
D
E
B
5 类似三角形判 定定理的证明
北师版九年级上册
复习导入
判定两个三角形类似的方法有哪些？
你能对它们进行证明吗？
探究新知
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角形类似.
图形的相似相似三角形判定定理的证明ppt
xx年xx月xx日
图形的相似相似三角形判定定理的证明
引言相似三角形的判定定理证明定理证明的运用其他相似三角形的判定方法结论
contents
目录
引言
01
探索相似三角形判定定理的证明方法和思路
了解三角形相似的定义和性质
目的和背景
相关定义和定理
面积比等于相似比的平方
对应边上的高、中线、角平分线对应成比例
对应角相等，对应边成比例
相似三角形的定义：两个三角形对应角相等，对应边成比例，则称它们为相似三角形
相似三角形的性质
相似三角形的判定定理证明
02
பைடு நூலகம்
证明过程
使用三边对应成比例进行证明的方法是，如果三角形的三边成比例，那么它们的对应角也相等。首先，假设两个三角形的三边对应成比例，即 $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$。然后，根据三角形内角和公式，我们有 $\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \angle A_2 + \angle B_2 + \angle C_2$
定理证明的运用
03
用于证明两个三角形相似
要点三
定理1
如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似。
要点一
要点二
定理2
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
定理3
如果一个三角形的两边和其中一边的对角与另一个三角形的对应边和对应角的比相等，那么这两个三角形相似。
使用平行四边形对角线互相平分进行判定
结论
05
三角形相似的定义和性质
【课件】4_5相似三角形判定定理的证明
夹 角相等，两三角形相似.
如果∠B
=∠B1
， AB
A1B1
BC B1C1
k,
B1
那么，△ABC∽△A1B1C1.
边S 角A
√ 边 S
A1
C1
A
你能证明吗？ 可要仔细哟！
B
C
思考
对于ABC和A' B'C'，如果
AB A' B'
AC , A'C'
B B'，这两个三角形一定会相似吗？
A
A′
你能证明吗？
B
C B′
C′
可要仔细哟！
应用
已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求 AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB ： AC=AD ： AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
边S A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
证求△已明证知：：：在线在A段BAAC'BB（∽C' 和 或△它A的A.''B延B''长CC线''中，AAA'BB
'
BC B'C
'
AC A'C
A'
'
.
上）截取A' D AB，过点D再作
DE ∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
如果∠B
=∠B1
， AB
A1B1
BC B1C1
k,
B1
那么，△ABC∽△A1B1C1.
边S 角A
√ 边 S
A1
C1
A
你能证明吗？ 可要仔细哟！
B
C
思考
对于ABC和A' B'C'，如果
AB A' B'
AC , A'C'
B B'，这两个三角形一定会相似吗？
A
A′
你能证明吗？
B
C B′
C′
可要仔细哟！
应用
已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求 AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB ： AC=AD ： AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
边S A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
证求△已明证知：：：在线在A段BAAC'BB（∽C' 和 或△它A的A.''B延B''长CC线''中，AAA'BB
'
BC B'C
'
AC A'C
A'
'
.
上）截取A' D AB，过点D再作
DE ∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
《相似三角形判定定理的证明》课件
在ΔABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B'，过D点 作DE//BC，交AC于E点，于是有：
AD AE DE ; ADE与ABC相似； AB AC BC
AD A ' B ', AD A ' B ' . AB AB
又 A'B' B'C ' C ' A' , AB BC CA
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC. ∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
D
E
B
C B′
C′
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：在△ABC 和△A ' B ' C ' 中，
A
A'
A A', A' B ' A'C '
AB
AC
D
E
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
考
证明
ΔABC，D，E分别在边AB、AC上，AADB
AE AC
,
A
求证：DE//BC
证明 过D点作DE'//BC，交AC于E'，根据
平行线分线段成比例定理的推论，
D
E
E'
AD AE ' AB AC
AD AE AB AC
B
C
所以：AE=AE'，E和E'重合，
因此，DE//BC.
由以上引理，就可以解决之前提出的：
已知两条边对应成比例，且夹角相等
证明这两个三角形相似.
A
A'
《相似三角形判定定理的证明》图形的相似PPT课件教学课件
4 cm
4.8 cm
D
2cm
2.4 cm
B
6 cm
E 3cm F
C
DE EF DF 1 AB BC AC 2
三边成比例
是否有△DEF ∽△ABC？
DA
D
E
F
E
F
B
∠E＝∠B C ∠D＝∠A
∠D＝∠A ∠E =∠B
△DEF ∽△ABC
A
4 cm
4.8 cm
D
2 cm
2.4 cm
B
6 cm
DE EF DF AB BC AC
C
E 3 cm F
△DEF ∽△ABC
三条边成比例的两个三角形相似！
【议一议】
两个等边三角形一定相似吗？
A
A′
c
b
c′
b′
B′
C′
Ba C
a′
△ABC与△A′B′C′都是等边三角形
是否有 △ABC∽△A′B′C′
A
c
b
A′
c′
b′
Ba
C
B′
C′
a′
△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，
由a b c且a' b' c'
A
D
E
B
C
“共角”型
D
B
C(E)
“共角共边” 型
“蝴蝶”型
A
D
B
CE
F
= △DEF ∽ △ABC
全等判定： (对应)边角
(6组量)
三角分别 相等, 三 边成比例
判定方法
角边角 角角边 边边边 边角边
1.两角分别相等 2.三边成比例 3.两边成比例且 夹角相等
4.8 cm
D
2cm
2.4 cm
B
6 cm
E 3cm F
C
DE EF DF 1 AB BC AC 2
三边成比例
是否有△DEF ∽△ABC？
DA
D
E
F
E
F
B
∠E＝∠B C ∠D＝∠A
∠D＝∠A ∠E =∠B
△DEF ∽△ABC
A
4 cm
4.8 cm
D
2 cm
2.4 cm
B
6 cm
DE EF DF AB BC AC
C
E 3 cm F
△DEF ∽△ABC
三条边成比例的两个三角形相似！
【议一议】
两个等边三角形一定相似吗？
A
A′
c
b
c′
b′
B′
C′
Ba C
a′
△ABC与△A′B′C′都是等边三角形
是否有 △ABC∽△A′B′C′
A
c
b
A′
c′
b′
Ba
C
B′
C′
a′
△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，
由a b c且a' b' c'
A
D
E
B
C
“共角”型
D
B
C(E)
“共角共边” 型
“蝴蝶”型
A
D
B
CE
F
= △DEF ∽ △ABC
全等判定： (对应)边角
(6组量)
三角分别 相等, 三 边成比例
判定方法
角边角 角角边 边边边 边角边
1.两角分别相等 2.三边成比例 3.两边成比例且 夹角相等
《相似三角形判定定理的证明》PPT课件
1、“读”是我们学习语文最基本的方法之一，古人说，读书时应该做到“眼到，口到，心到”。我看，你们今天达到了ห้องสมุดไป่ตู้个要求。 2、大家自由读书的这段时间里，教室里只听见琅琅书声，大家专注的神情让我感受到什么叫“求知若渴”，我很感动。 3、经过这么一读，这一段文字的意思就明白了，不需要再说明什么了。 4、请你们读一下，将你的感受从声音中表现出来。 5、读得很好，听得出你是将自己的理解读出来了。特别是这一句，请再读一遍。
∴△ABD∽△A1B1D1. ∴AA1BB1＝AA1DD1，∠ADB＝∠A1D1B1，∠DAB＝∠D1A1B1. ∴AA1BB1＝BB1CC1＝CC1DD1＝AA1DD1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝ ∠B1C1D1，∠ADC＝∠A1D1C1，∠DAB＝∠D1A1B1. ∴四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
①四条边成比例的两个凸四边形相似；(____命假题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(____命假题) ③两个大小不同的正方形相似．(________真命题)
(2)如图①，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，∠ABC
＝∠
A1B1C1，
∠BCD
＝∠
B1C1D1，
AB A1B1
＝BB1CC1＝
【答案】75；4 3
(2)请参考以上解决思路，解决问题： 如图③，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 点 O，AC⊥AD，AO＝3 3，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO： OD＝1：3，求 DC 的长．
∴△ABD∽△A1B1D1. ∴AA1BB1＝AA1DD1，∠ADB＝∠A1D1B1，∠DAB＝∠D1A1B1. ∴AA1BB1＝BB1CC1＝CC1DD1＝AA1DD1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝ ∠B1C1D1，∠ADC＝∠A1D1C1，∠DAB＝∠D1A1B1. ∴四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
①四条边成比例的两个凸四边形相似；(____命假题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(____命假题) ③两个大小不同的正方形相似．(________真命题)
(2)如图①，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，∠ABC
＝∠
A1B1C1，
∠BCD
＝∠
B1C1D1，
AB A1B1
＝BB1CC1＝
【答案】75；4 3
(2)请参考以上解决思路，解决问题： 如图③，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 点 O，AC⊥AD，AO＝3 3，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO： OD＝1：3，求 DC 的长．
相似三角形的判定ppt
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两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题
《相似三角形的性质和判定》PPT课件
全等三角形是特殊的相似三角形，当相似比为1时性质探究
对应角相等
01
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
02
性质
相似三角形的对应角相等，即 如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
则∠C = ∠C'。
03
示例
通过测量和比较两个三角形的 对应角度，可以判断它们是否
相似。
对应边成比例
03
定义
性质
示例
两个三角形如果它们的对应边成比例，则 称这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，即如果 AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
通过测量和比较两个三角形的对应边长， 可以判断它们是否相似。
面积比与边长比关系
01
平行线截割定理证明
平行线截割定理应用
在解决相似三角形问题时，可以利用 平行线截割定理来寻找相似三角形的 对应边。
通过相似三角形的性质，可以证明对 应线段之间的比例关系。
三角形中位线定理
三角形中位线定理内容
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理证明
通过相似三角形的性质和平行线截割定理，可以证明三角形中位线 与第三边的关系。
01
更高层次相似三角形知识
02
相似多边形的性质和判定方 法
03
相似三角形与相似多边形之 间的关系和联系
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
• 相似三角形在几何变换中的应用，如平移、旋转、对 称等
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识