七年级数学下册第2章二元一次方程组2.5三元一次方程组及其解法教案新版浙教版
七年级数学课件：2.5《三元一次方程组及其解法》(浙教版下册)
代入消元法
x 2y z 1 2 x y z 2 x yz
① ② ③
课内练习1（1）
加减消元法
3 x 2 y z 13 x 5 y 2z 7 2 x 3 y z 12
① ② ③
课内练习1（2）
第二章
二元一次方程组
2.5 三元一次方程组及其解法
什么叫做三元一次方程 什么叫做二元一次方程? 含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都 是一次的方程叫做三元一次方程 是一次的方程叫做二元一次方程. 什么叫做二元一次方程组? ? 什么叫做三元一次方程组 由两成 并且含有两个未知数的方 程组，叫做二元一次方程组. 程组，叫做三元一次方程组 什么叫做二元一次方程组的解 什么叫做三元一次方程组的解? ? 同时满足二元一次方程组中各个方程的解 同时满足三元一次方程组中各个方程的解. 解二元一次方程组有哪几种方法 ？它们的基本 解三元一次方程组有哪几种方法 ？它们的基本 思想是什么？ 消元 消元 消元 二元一次方程组 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 一元一次方程 加减
浙教版七年级下册数学 第2章 2.3解二元一次方程组(1) 教学设计 教案
课题名称 2.3二元一次方程组（1）所属章节七下册二（单元） 1 节（课）教学目标1、理解消元思想和代入消元法；2 、会运用代入消元法解二元一次方程组．3、感受数学知识的形成与应用过程，体验参与的乐趣；学情分析学生上学期已经学过一元一次方程及其解法，本节课就是要学生通过消元转化，把二元一次方程组变成一元一次方程，进而求解。
重难点重点：会用代入消元法解二元一次方程组。
难点：将一个方程作适当变形后，再代入消元，过程较为复杂。
教学环节活动一课题：预习作业内容：熟读教科书中本节内容（第38页至40页），试着完成以下题目：问题一：已知方程4321-=+yx①用含y的代数式表示x: .②用含x的代数式表示y: .问题二：1.用代入法解方程组可将②代入①，得一元一次方程。
⎧⎩⎨-==+yx231y23x①②2.用代入法解方程组可先将①式变形成，再代入②式，得到一元一次方程。
问题三：填空：解方程组解把②代入①，得。
解得y= 。
把解得的y的值代入②，得。
∴原方程组的解是知识形成：解方程组的基本思想是“消元”，也就是把解元一次方程组，通过法转化为解方程。
像上题这种消元方法是“”，这种解方程组的方法称为，简称。
通过本节课的预习，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：。
活动二课题：课堂导学内容：⎧⎩⎨=-=+5341b2aba①②⎧⎩⎨-==-1372yxxy①②⎩⎨⎧==yx用代入法解方程组：(1) (2)归纳总结：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：1.将方程组中的一个方程，使得一个未知数能用含有的代数式表示。
2.用这个代数式代替另一个方程中，得到一个方程，求得一个未知数的值。
3.把这个未知数的代入代数式，求得的值。
4.写出方程组的解。
活动三课题：基础达标内容：A组：1.已知方程组把②代入①，正确的是（）A.4y-2-3y=4B.2x-6x+1=4C.2x-6x-1=4D.2x-6x+3=42.用代入法解方程组(1) (2)⎩⎨⎧=-+-=-1425232yxyx⎩⎨⎧=-=+82332yxyx⎩⎨⎧=+=+6432yxyx⎩⎨⎧=--=+1252234yxyxB 组：1. ⎩⎨⎧=--+=--+1)(2)(53)()(2y x y x y x y x活动四课题：课堂小结 内容：1.本堂课我们学习了哪些内容？试着总结一下。
七年级数学下册第2章二元一次方程2.5三元一次方程组及其解法练习新版浙教版
2.5 三元一次方程组及其解法(选学)知识点 解三元一次方程组基本思路：用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组．[点拨] 一般步骤：三元(方程组)――→消元二元(方程组)――→消元一元(方程)． 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝9，x ＋y －z ＝7，2x －3y ＋z ＝12.一 方程组中每个方程都是三元一次方程的三元一次方程组的解法教材例1变式题解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y －3z ＝9，3x －2y －4z ＝8，5x －6y －5z ＝7.[归纳总结] 当三元一次方程组中的每一个方程都是三元一次方程(即每个方程含三个未知数)时，有两种解法．解法一(代入法)：首先选择未知数的系数的绝对值较小的方程，在这个方程中，用其他两个未知数表示这个系数绝对值较小的未知数，然后分别代入另外两个方程，得到一个二元一次方程组，并解之；解法二(加减法)：当方程组中相同未知数的系数的绝对值之间存在相等或成整数倍数关系或最小公倍数较小时，就可消去这个未知数，转化为二元一次方程组．二 用特殊的方法解三元一次方程组教材补充题解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，y ＋z ＝8，z ＋x ＝9；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x∶y＝3∶2，y ∶z ＝5∶4，x ＋y ＋z ＝66.[反思] 本节学习的数学知识是三元一次方程组的概念及其解法，数学思想是消元思想和转化思想．若x 3＝y 4＝z 5≠0，则 x ＋2y ＋3z 2x＝________．一、选择题1．下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A .⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，b －c ＝3 B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＋z ＝1，z ＋c ＝3 C .⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝7，5x －2y ＝14，2x －y ＝4 D .⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋z ＝3，x ＋yz ＝5，xz ＋y ＝7 2．解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝2的方程组是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝4，2x ＋y －z ＝1，3x ＋2y －4z ＝－3B .⎩⎪⎨⎪⎧x －y －z ＝0，z ＋y －x ＝1，2x ＋y －2z ＝5 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＋z ＝5，x ＋z ＝6 D .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －z ＝5，x ＋y ＋z ＝4，x －y ＋2z ＝2 3．三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＋z ＝5，z ＋x ＝6的解是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，z ＝5B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝4 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，z ＝4 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，z ＝04．解三元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －c ＝1，①a ＋2b －c ＝3，②2a －3b ＋2c ＝5.③具体过程如下：(1)②－①，得b ＝2，(2)①×2＋③，得4a －2b ＝7.(3)所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，4a －2b ＝7.(4)把b ＝2代入4a －2b ＝7，得4a －2×2＝7(以下求解过程略)．其中错误的一步是( )A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ．(4)5．若x ，y 同时满足下列三个等式：①5x＋2y ＝a ，②3x －2y ＝7a ，③4x ＋y ＝a ＋1，则a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 二、填空题6．已知三元一次方程2x －3y ＋4z ＝8，用含x ，y 的代数式表示z 是______________．7．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，z ＝1是关于x ，y ，z 的方程3x ＋2y ＋mz ＝0的解，则m ＝________．8．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，y ＋z ＝－2，z ＋x ＝3，则x ＋y ＋z ＝________．9．解三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －z ＝3，2x ＋y ＋z ＝5，3x ＋4y ＋z ＝10时，先消去z ，得二元一次方程组__________，再消去y ，得一元一次方程________，解得 ________，从而得y ＝________，z ＝________．三、解答题10．解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3z ＝3，3x －y ＋2z ＝－1，x －y －z ＝5；(2)x ＋3y ＝y －2z ＝x ＋z ＝5；(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝6，x －y ＋2z ＝－1，x ＋2y －z ＝5.11．若|x －2|＋|3x －6y|＋(3y ＋z)2＝0，求x ＋y ＋z 的值．12．某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组和的14，甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和，问每组各植树多少棵？13．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文―→密文(加密)，接收方由密文―→明文(解密)．已知加密规则为明文x ，y ，z 对应密文2x ＋3y ，3x ＋4y ，3z.例如：明文1，2，3对应密文8，11，9.当接收方收到密文12，17，27时，请你求解密得到的明文．14．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac bd ＝ad －bc ，如⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 -13 0＝2×0－3×(－1)＝3.解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y 2x ＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x z -3 5＝8， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 z 6y ＝－3.[技巧性题目] 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3a ，y ＋z ＝5a ，z ＋x ＝4a 的解使代数式x －2y ＋3z 的值等于－10，求a 的值．详解详析【预习效果检测】[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝9，①x ＋y －z ＝7，②2x －3y ＋z ＝12，③①中缺少未知数z ，解法一：由①得x ＝2y ＋9，把x ＝2y＋9分别代入②③，得到一个关于y ，z 的二元一次方程组；解法二：既然①中不含z ，那么在②和③中消去z 后，得到一个关于x ，y 的方程3x －2y ＝19与①联立，得到一个关于x ，y 的二元一次方程组．解：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝9，①x ＋y －z ＝7，②2x －3y ＋z ＝12，③解法一：由①，得x ＝2y ＋9.④把④分别代入②③，得⎩⎪⎨⎪⎧3y －z ＝－2，y ＋z ＝－6.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2，z ＝－4.把y ＝－2代入④，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2，z ＝－4.解法二：②＋③，得3x －2y ＝19.④联立①与④，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝9，3x －2y ＝19.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.把x ＝5，y ＝－2代入②，得5－2－z ＝7， 所以z ＝－4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2，z ＝－4.【重难互动探究】例1 [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y －3z ＝9，①3x －2y －4z ＝8，②5x －6y －5z ＝7，③解法一(用代入法)：方程组中，未知数的系数绝对值较小的方程有①和②.若选用①，则用含y ，z 的式子表示x ，并分别代入②③消去x ，得关于y ，z 的二元一次方程组；若选用②，则用含x ，z 的式子表示y ，并分别代入①③，消去y ，得到关于x ，z 的二元一次方程组，其中选用先消去y 的解法较简单；解法二(用加减法)：方程组中，相同未知数的系数绝对值之间存在相等或成整数倍的关系时，可用加减法．如本题可消去y.解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y －3z ＝9，①3x －2y －4z ＝8，②5x －6y －5z ＝7，③解法一(用代入法)：由②， 得－2y ＝8－3x ＋4z ， y ＝－4＋32x －2z.④把④代入①，得2x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32x －2z －3z ＝9， 即8x －11z ＝25.⑤把④代入③，得5x －6⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32x －2z －5z ＝7， 即－4x ＋7z ＝－17.⑥⑤与⑥组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧8x －11z ＝25，－4x ＋7z ＝－17，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝－3.把x ＝－1，z ＝－3代入④，得y ＝12，所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝12，z ＝－3.解法二(用加减法)：②×2，得6x －4y －8z ＝16.④①＋④，得8x －11z ＝25.⑤ ②×(－3)，得－9x ＋6y ＋12z ＝－24.⑥③＋⑥，得－4x ＋7z ＝－17.⑦ 以下解法同解法一，略．例2 [解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，①y ＋z ＝8，②z ＋x ＝9，③因为三个方程相同未知数的系数之和相等，所以三个方程相加，除以2后，再分别与①②③相减，依次得到z ，x ，y 的值；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x∶y＝3∶2，①y ∶z ＝5∶4，②x ＋y ＋z ＝66，③解法一：由比例的性质，将①②分别变形为2x ＝3y 和4y ＝5z ；解法二：因为①②中的y 的份数分别为2份、5份，其最小公倍数为10份，所以将①化为x∶y＝15∶10，将②化为y∶z＝10∶8，则x∶y∶z＝15∶10∶8，故可设x ＝15k ，y ＝10k ，z ＝8k(k≠0)，然后代入③中，求出k 的值，即可求出x ，y ，z 的值．解： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，①y ＋z ＝8，②z ＋x ＝9，③①＋②＋③，得2x ＋2y ＋2z ＝24，x ＋y ＋z ＝12.④ ④－①，得z ＝5.④－②，得x ＝4.④－③，得y ＝3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，z ＝5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x∶y＝3∶2，①y ∶z ＝5∶4，②x ＋y ＋z ＝66，③由①，得x∶y＝15∶10， 由②，得y∶z＝10∶8， 所以x∶y∶z＝15∶10∶8.设x ＝15k ，y ＝10k ，z ＝8k ，并代入③，得 15k ＋10k ＋8k ＝66，所以k ＝2， 所以x ＝30，y ＝20，z ＝16. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝20，z ＝16.【课堂总结反思】 [反思] 133[解析] 解法一：设x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k(k≠0)，代入 x ＋2y ＋3z 2x ，得3k ＋8k ＋15k6k ＝133. 解法二：特值法(仅针对填空、选择题)：假设x ＝3，y ＝4，z ＝5，代入求得x ＋2y ＋3x2x ＝133. 【作业高效训练】 [课堂达标] 1．A2．[解析] A 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝2代入四个选项逐一检验．3．[解析] A 把三个方程的两边分别相加，再除以2，得x ＋y ＋z ＝6或将选项逐一代入方程组验证．前一种解法称之为直接法；后一种解法称之为逆推验证法．4．[解析] B ①×2＋③，得4a －b ＝7.⑤ 故(2)错，选择B . 5．C6．[答案] z ＝2－12x ＋34y[解析] 4z ＝8－2x ＋3y ，z ＝2－12x ＋34y.7．[答案] －1[解析] 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，z ＝1代入方程，得3×(－1)＋2×2＋m·1＝0，得m ＝－1.8．[答案] 3[解析] 三个方程相加得2x ＋2y ＋2z ＝6，所以x ＋y ＋z ＝3.9．[答案] (答案不唯一)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝8，x ＋3y ＝5 2x ＝3x ＝32 76 5610．[解析] 利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行解答．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3z ＝3，①3x －y ＋2z ＝－1，②x －y －z ＝5，③由①＋③，得3x －4x ＝8.④由②－③，得2x ＋3z ＝－6.⑤联立④⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4z ＝8，④2x ＋3z ＝－6，⑤解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－2.把x ＝0，z ＝－2代入③，得y ＝－3. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，z ＝－2.(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝5，y －2z ＝5，x ＋z ＝5，①②③②＋③×2，得2x ＋y ＝15.④由①④组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝5，2x ＋y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－1.把x ＝8代入③，得z ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－1，z ＝－3.(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝6，①x －y ＋2z ＝－1，②x ＋2y －z ＝5，③③＋①，得3x ＋5y ＝11.④③×2＋②，得3x ＋3y ＝9.⑤④－⑤，得2y ＝2，y ＝1.将y ＝1代入⑤，得3x ＝6，x ＝2.将x ＝2，y ＝1代入①，得z ＝－1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，z ＝－1.11．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，3x －6y ＝0，3y ＋z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，z ＝－3，所以x ＋y ＋z ＝2＋1＋(－3)＝0.12．解：设甲、乙、丙三个小组分别植树x 棵、y 棵和z 棵．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝50，14()x ＋z ＝y ，x ＝y ＋z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝10，z ＝15.答：甲、乙、丙三个小组各植树25棵、10棵和15棵．13．解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝12，3x ＋4y ＝17，3z ＝27， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，z ＝9.答：解密得到的明文是3，2，9.14．解：根据规定得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 y 2 x ＝3x －2y ＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x z -3 5＝5x ＋3z ＝8，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 z 6y ＝3y －6z ＝－3.所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，①5x ＋3z ＝8，②3y －6z ＝－3，③②×2＋③，得10x ＋3y ＝13.④①与④组成二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，10x ＋3y ＝13， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.把y ＝1代入③，得z ＝1， 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1.[数学活动]解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3a ，①y ＋z ＝5a ，②z ＋x ＝4a ，③解法1：②－①，得z －x ＝2a.④③＋④，得2z ＝6a ，z ＝3a.把z ＝3a 分别代入②和③，得y ＝2a ，x ＝a.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a.将其代入x －2y ＋3z ＝－10，得a －2×2a＋3×3a＝－10，解得a ＝－53. 解法2(技巧解法)：①＋②＋③，得2(x ＋y ＋z)＝12a ，即x ＋y ＋z ＝6a.⑤⑤－①，得z ＝3a ；⑤－②，得x ＝a ；⑤－③，得y ＝2a.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a.以下同解法1.。
新版浙教版七年级数学下册第二章二元一次方程组课件
x ＝ b ， 是 则 ab 的值为________． y＝1
【解析】
x ＝ b ， x＋y＝3， 把 代入 y＝1 2x－ay＝5，
b＋1＝3，① 得 由①，得 b＝2． 2 b － a ＝ 5. ②
把 b＝2 代入②，得 4－a＝5，∴a＝－1． ∴ab＝(－1)2＝1．
学 习 指 要
知识要点
1．二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两 个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．
2．二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各 个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解．
重要提示
1 ． 二 元 一次 方 程 组的 概 念 并不 要 求 每个 方 程 都是 二 元 的 ， 如
【答案】 1
【例 3】 某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每 组 7 人，则余下 3 人；若每组 8 人，则少 5 人，求课 外小组的人数和应分成的组数．
【解析】 利用课外小组总人数不变的等量关系列出方程组．设课 外小组的人数为 x，应分成的组数为
x＝7y＋3， y，由题意，得 x＝8y－5.
知 识 结 构
重 点 回 顾
专题一 二元一次方程(组)的有关概念
1．二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都 是一次的方程． 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的一对未知 数的值． 2．二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数 的方程组． 二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的 解． 3．二元一次方程的解与二元一次方程组的解有何区别？ 一个二元一次方程一般有无数个解，而二元一次方程组一般只 有一组解．
【解析】
－x＋y＝4，① 即 x＋y＝－6.②
初中数学浙教版七年级下册《第二章 二元一次方程组 25 三元一次方程组及其解法》教材教案
课题：三元一次方程组及其解法●教学目标：知识与技能目标：1.能正确说出三元一次方程（组）及其解的概念，能正确判别一组数是否是三元一次方程（组）的解；2.会根据实际问题列出简单的三元一次方程或三元一次方程组。
过程与方法目标：1.通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识。
2.能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。
情感态度与价值观目标：1.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
●重点：1.掌握三元一次方程及三元一次方程组的概念，理解它们解的含义；2.判断一组数是不是某个三元一次方程组的解.●难点：从实际问题中抽象出三元一次方程组的过程，体会数学方程的建模思想。
●教学流程：一、课前回顾我们在前面的学习中，已经知道了二元一次方程组的相关知识：1、解二元一次方程组有哪几种方法？代入消元法和加减消元法2、它们的实质是什么？①消元法②加减法【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
二、活动探究一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友. 甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张. 问老师分给甲、乙、丙各几张牌？讨论：这个问题中要求的未知数有几个？你能得到几个等式关系？请试一试.3个未知数. 甲的牌数=2倍乙的牌数12丙的牌数+乙的牌数=甲的牌数+2设甲、乙、丙的牌数分别为x 、y 、z,根据题意得设1元、2元、5元的张数分别为x 、y 、z,根据题意得①x+y+z=54②x=2y 即{ x+y+z=54 ①x=2y ②12z +y=x+2③③12z +y=x+2(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？试一试.解：（1）所得方程：{ x+y+z=54 ①x=2y ②12z +y=x+2③①-②×2，得x-y=54-2x-4,即3x =50+y.得到方程组：{x =2y 3x =50+y,解得{x =20y =10. 把{x =20y =10带入①，得z=24. 所以，甲的牌数为20张，乙的牌数伟10张，丙的牌数为24张.活动讨论：1.观察 x+y+z=54，具有怎样的特征？特征：①3个未知数；②1个等式； ③未知数的项的次数都为1次.2.观察方程组即{ x+y+z=54 ①x=2y ②12z+y=x+2③，具有怎样的特征？ 特征：①3个等式； ②3个未知数；③未知数的项的次数都为1次.【设计意图】引发思考，使得学生对今天上的课有一定的了解。
七年级数学下册 《二元一次方程组》教案2 浙教版
4.2 二元一次方程组浙教版七年级（下）一、〖教学目标〗◆1、知识与技能目标：(1)、理解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义。
（2）、会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。
（3）、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力。
◆2、过程与方法目标：从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过“辩一辩”、“填一填”、“试一试”、“做一做”，加深学生对“二元一次方程组”和“二元一次方程组的解”的概念的理解；并使学生初步了解用列表尝试的方法求二元一次方程组的解，并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程。
◆3、情感与态度目标：从学生的生活实际提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人，培养一种社会的责任感。
二、【教学重点、难点】重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念。
难点是利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。
【教学准备】多媒体、实物投影仪。
三、〖教学方法和手段〗基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合。
与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。
在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。
四、【教学过程】教学环节教师活动学生活动设计意图创设情境提出问题课前4分钟开始播放音乐《龙泉之歌》介绍我的儿子丁丁。
丁丁想利用家里的天平称出一个苹果和一个梨的质量分别是多少？问题展示：一个苹果和一个梨的质量合计200g。
这个问题中，如果设苹果和梨的质量分别为x g和y g，你能列出方程吗？学生欣赏音乐交流讨论得出：方程200x y+=为例题改编为去龙泉山旅游创设情境。
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组（解析版）2.5三元一次方程组及其解法（选学）【知识重点】 1．三元一次方程含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程. 2．三元一次方程组概念由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 3．三元一次方程组的解同时满足三元一次方程组中各个方程的解，叫做这个三元一次方程组的解. 4．解三元一次方程组基本步骤为解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 【经典例题】【例1】解方程组{2x −3y +4z =12x −y +3z =44x +y −3z =−2【答案】解：{2x −3y +4z =12(1)x −y +3z =4(2)4x +y −3z =−2(3)（2）+（3）得： 5x=2，∴x=25，由（2）得： y=x+3z-4 （4），将（4）代入（1）得： 2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，解得：z=-225，将x=25，z=-225代入（4）得：y=-9625， ∴原方程组的解为：{x =25y =−9625z =−225.【解析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程②③中y ，z 的系数都互为相反数，因此由（2）+（3）消去y ，z 可求出x 的值；然后求出y ，z 的值，即可得到方程组的解.【例2】解方程组 {2x +y +z =−7①x +2y +z =−8②x +y +2z =−9③【答案】解：{2x +y +z =−7①x +2y +z =−8②x +y +2z =−9③由①+②+③得：4x+4y+4z=-24； x+y+z=-6④由①-④得：x=-1； 由②-④得：y=-2由③-④得：z=-3∴原方程组的解为：{x =−1y =−2z =−3.【解析】观察方程组中同一个未知数的系数和特点：①②③相加之后，x 、y 、z 的系数和相等，从而可以得出x+y+z 的值。
2019年春七年级数学下册第2章二元一次方程2.5三元一次方程组及其解法课件新版浙教版20190119280
2.5 三元一次方程组及其解法
(选学)
第2章
二元一次方程组
第2章 二元一次方程组
2.5 三元一次方程组及其解法(选学)
学知识
筑方法
勤反思
学知识
知识点 三元一次方程(组)及其相关概念
和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程．由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组．
类型一 方程组中每个方程都是三元一次方程的三元一次方程组的解法筑方法
类型二 三元一次方程组的简单应用
小结
勤反思
实际
问题
定义三元一
次方程组解法
基本
思路
三元一
次方程
组
消元
转化
二元一
次方程
组
消元
转化
一元一
次方程
反思。
数学浙教版七年级下册《第二章 二元一次方程组 25 三元一次方程组及其解法》教材教案
课题：三元一次方程组及其解法●教学目标：知识与技能目标：1.能正确说出三元一次方程（组）及其解的概念，能正确判别一组数是否是三元一次方程（组）的解；2.会根据实际问题列出简单的三元一次方程或三元一次方程组。
过程与方法目标：1.通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识。
2.能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。
情感态度与价值观目标：1.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
●重点：1.掌握三元一次方程及三元一次方程组的概念，理解它们解的含义；2.判断一组数是不是某个三元一次方程组的解.●难点：从实际问题中抽象出三元一次方程组的过程，体会数学方程的建模思想。
●教学流程：一、课前回顾我们在前面的学习中，已经知道了二元一次方程组的相关知识：1、解二元一次方程组有哪几种方法？代入消元法和加减消元法2、它们的实质是什么？①消元法②加减法【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
二、活动探究一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友. 甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张. 问老师分给甲、乙、丙各几张牌？讨论：这个问题中要求的未知数有几个？你能得到几个等式关系？请试一试.3个未知数. 甲的牌数=2倍乙的牌数12丙的牌数+乙的牌数=甲的牌数+2设甲、乙、丙的牌数分别为x 、y 、z,根据题意得设1元、2元、5元的张数分别为x 、y 、z,根据题意得①x+y+z=54②x=2y 即{ x+y+z=54 ①x=2y ②12z +y=x+2③③12z +y=x+2(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？试一试.解：（1）所得方程：{ x+y+z=54 ①x=2y ②12z +y=x+2③①-②×2，得x-y=54-2x-4,即3x =50+y.得到方程组：{x =2y 3x =50+y,解得{x =20y =10. 把{x =20y =10带入①，得z=24. 所以，甲的牌数为20张，乙的牌数伟10张，丙的牌数为24张.活动讨论：1.观察 x+y+z=54，具有怎样的特征？特征：①3个未知数；②1个等式； ③未知数的项的次数都为1次.2.观察方程组即{ x+y+z=54 ①x=2y ②12z+y=x+2③，具有怎样的特征？ 特征：①3个等式； ②3个未知数；③未知数的项的次数都为1次.【设计意图】引发思考，使得学生对今天上的课有一定的了解。
七年级数学下册 第2章 二元一次方程组 2.1 二元一次方程教案 (新版)浙教版
2.1 二元一次方程●教学目标：一、知识与技能目标：1.理解二元一次方程的定义；2.能够准确叙述处二元一次方程的解的概念；3.能熟练的求出二元一次方程的一个解。
二、过程与方法目标：经历探索二元一次方程的解的过程，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；三、情感态度与价值观目标：体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。
●重点：1.探索二元一次方程的解的过程；2.利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。
●难点：二元一次方程的解的求解。
●教学流程：一、课前回顾我们在前面的学习中，已经知道了一元一次方程的概念，主要讲了一元一次方程的定义的相关概念。
我们一起回忆一下相关概念。
一元一次方程是指“含有一个未知数，并且未知数的的项的次数为一次的方程”。
例如“x=3x 、2x=6x-1 、9x-6=2x”都是一元一次方程，特别注意的是这里的一元是指含有一个未知数，一次是指未知数的次数为一次。
那么如果含有两个未知数，那又是什么方程呢？那么这节课，我们将进一步走近方程，来学习有两个未知数的方程的相关知识。
二、活动探究同学们，我们首先探究一下有未知数的时候该怎么列方程呢？探究①大家先看下这个例子：例子里有多少个未知数，我们又是如何列方程的呢？学生活动：看例子并思考问题。
发现这里有一个未知数，于是我们根据“总价=单价×数量”，可得：20=2×数量，在设数量为x以后，可以列出方程20=2x。
这里有一个未知数，我们列出了一个一元一次方程。
探究②大家继续看这个例子，仍然思考这里有几个未知数，而又该列怎样的方程？学生活动：看例子思考回答问题。
同学们，根据“总价=第一种贺卡总价+第二种贺卡总价”可以得到“10.8=2×数量 + 1.2×数量”，这里有两个未知数。
那如何列出有两个未知数的式子呢？探究③我们一起继续探究，大家继续看这个例子，仍然思考刚刚大家思考的问题，并重点思考怎么设未知数怎么列方程呢。
2.5 三元一次方程组及其解法(选学) 教学设计2020-2021学年浙教版七年级数学下册
《2.5 三元一次方程组及其解法（选学）》教学设计一.教材分析浙教版初中数学教科书七年级下册《2.5三元一次方程组及其解法》（选学）。
二.学情分析1.在学习本课之前应具备的基本知识和技能：①一元一次方程、二元一次方程（组）的概念。
②消元思想。
③求解二元一次方程组的方法。
2.学习者对即将学习的内容已经具备的水平：在学习三元一次方程组之前，学生已经能够求解二元一次方程组，同时根据导学案的要求，已经预习了三元一次方程组的相关概念。
这节课的目的就是让学生通过阅读教材，类比二元一次方程组的解题思考三元一次方程组的解题思想，掌握解题方法，以及归纳出解三元一次方程组的解题步骤。
三.教学目标（一）知识与技能：1.经历探索三元一次方程组的过程，进一步发展计算和推力能力。
2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组。
（二）过程与方法：1.经历从具体情境中抽象出方程的过程，；掌握必要的运算技能；探索具体问题中的数量关系，并能运用代数式、方程等进行描述。
2.能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
（三）情感、态度和价值观：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。
四.重点难点重点：三元一次方程组的求解。
难点：教材例2消元过程较复杂，学生理解比较困难。
五.教学过程（一）预习新知1.什么是三元一次方程？请举例。
生：含有三个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1次的整式方程叫做三元一次方程．五个三元一次方程的实例。
2.什么是三元一次方程组？生：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的方程组，叫做三元一次方程组．【设计意图】预习新课中的三元一次方程的相关定义，体现学生的自学能力，促使课前回顾学过的知识的同时，又提高学习新课的动力。
七年级数学 第2章 二元一次方程组 2.5 三元一次方程组及其解法教学 数学
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍 （2）这个问题中包含有 个三未知数:
1元、2元、5元纸币的张数
12/8/2021
第五页，共十八页。
自主探究
小明手头有12张面额分别(fēnbié)为1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍。求1元、 2元、5元纸币各多少张。
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5x－9y＋7z=8 ③
x5
y z
1
3 2
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三元(sān yuán)一次方 程组
消
元
二元一次方程组
消 元
一元(yī yuán)一次方程
求出第三个未知数的值
求出第二个未知数的值
求出第一个未知数的值
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当堂训练，达标(dá biāo)测评
x 2
2
.
y
3
z
1
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解下列(xiàliè)三元一次方程组：
x 2y 9
⑴ yx3
⑵
2z x 47
x y7 y z8 z x 13
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说说你的 收获
(shōuhuò)
课堂小结
(1)解三元一次方程组的基本方法(fāngfǎ)是代入法和加减法 ，加 减法比较常用.
化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法。x+2y+5z=22, ②。—— 史密斯
Image
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自主探究
进入新课
小明手头有12张面额分别(fēnbié)为1元、2元、5元的纸币，共计 22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍。求1元、 2元、5元纸币各多少张。
(word版)浙教版数学七年级下《三元一次方程组及其解法》精品教案
7.3三元一次方程组及其解法教案许宝川教学目标：（1）了解三元一次方程组的概念.（2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． （3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路． （4）通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本 思路. 教学重难点： 教学重点：（1）使学生会解简单的三元一次方程组．（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想． 教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 教学过程：一、回顾旧知，引入新课在7.2节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在我们的小世界杯足球赛第一轮比赛中胜与平的场数。
问题回顾 暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛。
比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。
勇士队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分。
那么这个队胜了几场？又平了几场呢？⎩⎨⎧=+=++17392y x y x 解得⎩⎨⎧==25y x 提出问题：在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分。
已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中，胜、负、平的场数各是多少？解：设勇士队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，则⎪⎩⎪⎨⎧+==+=++z y x y x z y x 18310 引出定义：像这种含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程组。
一般情况下，三元一次方程组有三个方程，但不一定每个方程都出现三个未知数。
二、探究三元一次方程组的解法怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言)解方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+=++③②①z y x y x z y x 18310解:把③分别带入①②得⎩⎨⎧=++=+++18)(310y z y z y z y 整理得⎩⎨⎧=+=+⑤④18341022z y z y由⎩⎨⎧⨯⨯12⑤④得⎩⎨⎧=+=+⑦⑥18342044z y z y由⑦⑥-得2=z把2=z 代入④得1042=+y ， 即 3=y 把2=z ，3=y 代入③ 得5=x所以⎪⎩⎪⎨⎧===235z y x试一试:你能用其他的方法来解上面的三元一次方程吗？学生练习：解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧==++=++yx z y x z y x 4225212（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=+-1327233432z y x z y x z y x三、课堂小结1.解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．消元消元四、布置作业1. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+211920z x z y y x ，你能有多少种方法求解它？本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。
初中数学浙教版七年级下册《第二章 二元一次方程组 2.3 解二元一次方程组》教材教案
课题：解二元一次方程组●教学目标：一、知识与技能目标：1.会用代入消元法解二元一次方程组；2.会用加减消元法解二元一次方程组；3.理解解二元一次方程组的消元的概念。
二、过程与方法目标：1.了解解二元一次方程组的消元思想；2.初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想,从而“变陌生为熟悉”。
三、情感态度与价值观目标：1.在探索交流中，发展从图中获取信息的能力，渗透数形结合的思想方法；2.通过对实际问题的分析解决，让学生体验数学的价值，培养学生对数学的兴趣。
●重点：1.二元一次方程组的解法；2.求二元一次方程组的解。
●难点：用二元一次方程组的求解。
●教学流程：一、课前回顾我们在前面的学习中，已经知道了二元一次方程和二元一次方程的解的概念，现在我们一起回忆一下相关概念。
回顾1：二元一次方程组①定义：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．②解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解叫作二元一次方程组的解.③求解的方法：列表尝试法.回顾2：将二元一次方程变形成为指定的形式：x+2y=100①用含有x的式子表示y:=②用含有y的式子表示x:=那么，如果两个二元一次方程的解到底该怎么求解呢？那么，今天我们将进一步的走进二元一次方程组，一起学习求解二元一次方程组的方法。
【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
二、活动探究探究1：已知方程组：，将②带入①可得到什么方程？解：对于该方程组的而言，相同字母表示同一未知数∴将②带入①时，即∴得到方程：x+x+10=200探究2：求的解.解：对于该方程组的而言，y表示同一个同一未知数当y=10时，通过方程x+y=200，可得x+10=200解得x=190∴当y=10时，x=190.∴此时方程组的解是：探究3：填空：解方程组：解：对于该方程组的而言，相同字母表示同一未知数∴将②带入①时，即∴得到方程：x+x+10=200 .解得x=95 .把解得的x的值带入①，得95+y=200 ，y= 105 .∴原方程组的解为：问题：观察解方程组和时，有什么特点？特点：用某一个方程带入到另一个方程；化成一元一次方程.三、讲解新课解二元一次方程组的方法一：解方程组的基本思想是“消元”，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.上面这种消元方法是“代入”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.四、例题讲解例1：解方程组解：把②代入①，得2y-3（y-1）=1，即 2y-3y+3=1，解得 y=2.把y=2代入②，得x=2-1=1.∴原方程组的解是例2：解方程组解：由①，得2x = 8+7y,即x=把③代入②，得3×-10=0∴1-10=0∴y=把y=带入③，得x==∴方程组的解是:填空：解方程组：将②带入①时，得到2y-(3y-1)=7 .解得y= -6 .把解得的y的值带入①，得-12-x=7 .解得x= -19 .∴原方程组的解为：小结：用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：(1)变形：将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；(2)代替：用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值;(3)回代：把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；(3)写出解（检验）：写出方程组的解，并口算检验.．【设计意图】讲解例题，使得学生很好的掌握刚讲的新的知识。
浙教版七年级下册数学第二章《2.5三元一次方程组及其解法》课件
的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一 起．
学以致用
某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，
则需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，则需要205元．
所以原方程组的解是 y 5，
z 7.
代入消元
学以致用
【例2】解方程组
+ + = ①
+ + = ②
+ − = ③
解：①+③，得
5x+5y= 25.
④
①×2 -②，得
5x - y= 19.
⑤
④-⑤，得6y=6，所以y=1.
方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸
箱．（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各
加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形
纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且120＜n＜136，且一个竖式纸箱成本300元，
元一次方程
组
代入法
加减法
（消元）
数学问题的解
（三元一次方程组的解）
作业布置
1. 作业本1：2.5三元一次方程组及其解法
2. 全效学习B：2.5三元一次方程组及其解法
3. 作业订正和自主练习.
把y=1代入⑤，得 x=4.
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解：②×3+③，得11x+10z=35．
3x 4z 7,
x 5,
①与④组成方程组
11x
10
z
35.
解得
z
2.
把x=5，z=-2代入②，得y= 1 ． 3
x 5,
因此，三元一次方程组的解为
y
1
,
3
z 2.
归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从
②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之用代入法运算
25a 5b c 60.
②-①，得a+b=1，④
③-①，得4a+b=10． ⑤
a b 1, ④与⑤组成二元一次方程组 4a b 10. ．
a 3, 解得 b 2 把a=3，b=-2代入①，得c=-5．
a 3, 因此 b 2, ，
c 5.
答：a=3，b=-2，c=-5．
知能训练
共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
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怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知
数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
(学生小组交流，探索如何消元．)
较烦琐． 例2：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，
c的值．
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(师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．)
a b c 0, 解：由题意，得三元一次方程组 4a 2b c 3,
学生成果展示：
1．设1元，2元，5元各x张，y张， z张．(共三个未知数)
2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．
x y z 12,
3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组
x
2
y
5z
22,
x 4y.
师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一
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2.5 三元一次方程组及其解法（选学）
教学目标
1．理解三元一次方程组的含义．
2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．[来
重点难点
减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，
进而转化为解一元一次方程．
即三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
二、例题讲解
3x 4z 7, 例1：解三元一次方程组 2x 3y z 9,
5x 9 y 7z 8.
(让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．)
可以把③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元了：
4 4
y y
y 2
z 12, y 5z 22,
5 y 即6 y
z 12, 5z 22.
x 解得 y
z
8, 2, 2.
解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x．
教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加
一、研究探讨
出示引入问题
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2
元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
1．题目中有几个未知数，你如何去设？
2．根据题意你能找到等量关系吗？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
请大家分组讨论上述问题．
(教师对学生进行巡回指导)
3
2
三个数．
x y z 35, x 10,
解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则
2
x
y
5,
解得
y
15,
y
z
,
3 2
z 10.
即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．
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课堂小结 1．学会三元一次方程组的基本解法． 2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想．
重点
1．使学生会解简单的三元一次方程组．
2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
难点
针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
教学设计
前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一
次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题．
1．解下列三元一次方程组：
x 2y 9,
(1)
y
z
3,
2z x 47;
3x y z 4, (2) 2x 3y z 12,
x y z 6.
x 22, x 2,
解
:
(1)
y
15.5,
(2)
y
3,
z 12.5; z 1.
1
1
2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的 等于丙数的 ，求这