(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.5

讲案4.5三角函数的性质课前自主研习温故而知新 可以为师矣知 识 导 读三角函数的性质(填表)导读校对：按从左向右的顺序答案如下：R R⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2k ∈Z [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π22k π，π2＋2k π，(k ∈Z )上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，(k ∈Z )上递减 在[－π＋2k π，2k π]，(k ∈Z )上递增，在[2k π，2k π＋π]，(k ∈Z )上递减 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2k π，π2＋k π，(k ∈Z )上递增 最大值1，最小值－1 最大值1，最小值－1 没有最大值和最小值的定义域是( ) A ．[0,1]B ．x ∈RC ．[k π－π2，k π＋π2](k ∈Z )D ．[2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z )解析：∵－1≤cos x ≤1，只有0≤cos x ≤1时sin(cos x )≥0， ∴2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .答案：D2．下列函数中，以π为最小正周期的函数是()A．y＝sin22x B．y ＝sin2x(x≤0)C．y＝tan x(－2π＜x＜2π) D．y＝cos2x－2解析：A中y＝1－cos4x2，T＝π2，B不是周期函数，C不是周期函数，D中y＝1＋cos2x22，T＝π.答案：D3．函数y＝x cosx2是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：∵x∈R且f(－x)＝－x cos x2＝－f(x)∴是奇函数．答案：A4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π40)对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：由T ＝π，得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋π3)，则其对称中心为(k π2－π6，0)(k ∈Z )，其对称轴为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )． 答案：A5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析：∵f (x )既是偶函数，又是周期函数，且最小正周期为π.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 答案：D思维互动启迪博学而笃志 切问而近思疑难精讲1.求三角函数的最小正周期是高考中的一个热点，解决这类问题的办法是化标准型．即通常将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数化为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期公式来求解．2．判断函数的奇偶性，应先判断定义域是否关于原点对称，这是判断函数奇偶性的重要条件之一，必须首先考虑．一般情况下，须先对函数式进行等价变形(化简)，再判断奇偶性．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.互动探究题型1求三角函数的定义域例1函数y ＝lg sin x －cos x sin x ＋cos x的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ k π＋π4＜x ＜k π＋3π4，k ∈Z 【解析】 由sin x －cos x sin x ＋cos x＞0，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π42cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0， 即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，∴k π＜x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )， ∴k π＋π4＜x ＜k π＋3π4(k ∈Z )． 【答案】 D题型2求三角函数的值域例2求下列函数的值域：(1)y ＝cos x 2cos x ＋1； (2)y ＝2sin x cos 2x 1＋sin x； (3)y ＝log 23－sin x 3＋sin x ； (4)y ＝1＋sin x 3＋cos x.【解析】 (1)由y ＝cos x 2cos x ＋1可得 (1－2y )cos x ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≠12，∴cos x ＝y 1－2y. ∵|cos x |≤1，∴cos 2x ≤1. 即y 2(1－2y )2≤1，即3y 2－4y ＋1≥0， ∴y ≤13或y ≥1. 故y ＝cos x 2cos x ＋1的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[1，＋∞)．(2)∵y ＝2sin x (1－sin 2x )1＋sin x，又∵－1＜sin x ≤1，∴y ＝2sin x (1－sin x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋12，∴－4＜y ≤12.故函数y ＝2sin x cos 2x 1＋sin x的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－4，12. (3)∵sin x ∈[－1,1]，又3－sin x 3＋sin x＝63＋sin x－1， ∴12≤3－sin x 3＋sin x≤2，∴－1≤y ≤1. 即y ＝log 23－sin x 3＋sin x的值域为[－1,1]． (4)由y ＝1＋sin x 3＋cos x得sin x －y cos x ＝3y －1. ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝3y －1.这里cos φ＝11＋y 2，sin φ＝－y 1＋y2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，∴|3y －1|≤y 2＋1，解得0≤y ≤34，故y ＝1＋sin x 3＋cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.题型3考查三角函数的单调性例3求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2；(2)y ＝log 12cos(x 3＋π4)． 【解析】 (1)f (x )＝sin2x －(1＋cos2x )＋2＝sin2x －cos2x ＋1＝2sin(2x －π4)＋1由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π ∴递减区间[3π8＋k π，7π8＋k π]，k ∈Z 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π∴f (x )的递增区间为[－π8＋k π，3π8＋k π]，k ∈Z .(2)∵y ＝log 12x 为减函数，∴原函数的单调增区间由下列条件决定⎩⎪⎨⎪⎧cos (x 3＋π4)>02k π≤x 3＋π4≤2k π＋π ⇒2k π≤x 3＋π4<2k π＋π2解得单调递增区间是[6k π－3π4，6k π＋3π4)，k ∈Z同理可得，单调递减区间为[6k π－9π4，6k π－3π4).题型考查三角函数的奇偶性 例4判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(5π－x )；(2)f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )．【解析】 (1)f (x )＝x sin(π－x )＝x sin xf (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x ) ∴f (x )为偶函数．(2)函数的定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }又f (x )＝lg[tan(－x )＋1＋tan 2(－x )]＝lg(－tan x ＋1＋tan 2x )＝lg 11＋tan 2x ＋tan x＝－lg(tan x ＋1＋tan 2x )＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．题型5求三角函数的最值例5已知f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a .(a ∈R ，a 为常数)(1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6上最大值与最小值之和为3，求a 的值．【解析】 f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)最小正周期T ＝2π2π.(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6⇒2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3⇒2x＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 即⎩⎪⎨⎪⎧f (x )max ＝2＋a ＋1，f (x )min ＝－1＋a ＋1.∴2a ＋3＝3⇒a ＝0.错解辨析例6求函数y ＝tan x1－tan 2x 的最小正周期．【错解】 由于y ＝tan x 1－tan 2x ＝12tan2x .所以函数y ＝tan x1－tan 2x的最小正周期为π2.【错因】由于y＝tan x1－tan2x与y＝12tan2x的定义域分别为：{x|x≠kπ2＋π2且x≠kπ＋π2且x≠kπ＋π2，k∈Z，x∈R}，{x|x≠kπ2＋π4，k∈Z，x∈R}．所以这两个函数的定义域不相同，故它们不是同一函数．只有当y＝12tan2x增加了限制条件x≠kπ＋π2(k∈Z)后才表示同一函数，因此要确定原函数的最正周期，就应结合函数y＝12tan2x(x≠kπ＋π2(k∈Z))的图象进行考虑．【正解】∵y＝tan x1－tan2x＝12tan2x(x≠kπ＋π2，k∈Z)．作出y＝12tan2x(x≠kπ＋π2，k∈Z)的图象．如图：从图象上面可以看出函数y＝tan x1－tan2x的最小正周期为π.。