高考数学基础知识总复习教案

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数学复习高考教案

数学复习高考教案教学对象：高三学生教学目标：1.复习高考数学知识点，巩固基础知识。

2.提高学生对高考数学解题技巧的理解和掌握能力。

3.培养学生的数学思维能力，提高解决问题的能力。

教学内容：本教案将侧重于复习以下数学知识点：1.函数与方程：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

2.三角函数：正弦、余弦、正切等。

3.数列与数学归纳法。

4.几何与概率：直线、平面几何，排列组合、概率等。

教学步骤：Step 1: 复习函数与方程知识点（400字左右）1.一次函数：复习一次函数的定义、性质和相关题型。

2.二次函数：复习二次函数的定义、性质和相关题型，特别是直线与二次函数的交点。

3.指数函数与对数函数：复习指数函数和对数函数的定义、性质和相关题型。

Step 2: 复习三角函数知识点（400字左右）1.正弦、余弦、正切等三角函数的定义与性质。

2.解三角函数方程的方法与技巧。

3.三角函数的图像与性质。

Step 3: 复习数列与数学归纳法（200字左右）1.数列的概念与性质：等差数列、等比数列等。

2.数学归纳法的基本原理与应用。

3.数列问题的解题思路与方法。

Step 4: 复习几何与概率知识点（200字左右）1.平面几何：复习三角形、四边形等的性质，特别是面积和周长的计算。

2.概率：复习排列组合、概率等相关概念，特别是概率问题的计算方法。

Step 5: 解答相关题目，进行课堂练习（100字左右）1.教师出示一些典型高考数学题目，学生解答，并逐步讲解解题思路和方法。

2.鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

3.根据学生的实际情况，调整难易程度，提供个性化的辅导与指导。

Step 6: 进行小组合作，完成综合性问题（100字左右）1.将课堂练习的知识点与方法进行综合运用，设计一到两个综合性问题。

2.学生分组讨论和解答问题，鼓励学生合作、互帮互助，并鼓励学生提出自己的解题思路和方法。

3.每组选择一名代表，展示分组答案，并对答案的正确性进行讨论。

高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案

高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC2、变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3、三角形中的常见结论(1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．二、基础自测1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．三、典例分析例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝22，又0＜B ＜π，所以B ＝π4. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A2，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3，于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.② 由①②联立，得b ＝c ＝2.四、练习变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思。

高考数学知识点总复习教案空间几何体的结构、三视图和直观图

第八篇立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故③中不能组成正六棱锥；④显然错误，故选A.答案 A2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()．A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．答案 A3．(2012·陕西)将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()．解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A 的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．答案 B4．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号)．解析B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应分别在边CC1和DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．答案②6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析显然，三棱锥、圆锥的正视图可以是三角形；三棱柱的正视图也可以是三角形(把三棱柱放倒，使一侧面贴在地面上，并让其底面面对我们，如图所示)；只要形状合适、摆放适当(如一个侧面正对着观察者的正四棱锥)，四棱锥的正视图也可以是三角形(当然，不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形)，即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，正视图都不可能是三角形(可以验证，随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形，圆柱的正视图可以是圆或四边形)．综上所述，应填①②③⑤.答案 ①②③⑤三、解答题(共25分)7．(12分)已知：图a 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图b 是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解图a 几何体的三视图为：图b 所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．8．(13分)已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，且正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x .∵△VA 1C 1∽△VMN ， ∴2x 2r ＝h －x h ，∴x ＝2rh 2r ＋2h.即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·温州质检)下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是()．解析∵在这个正方体的展开图中，与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后，这三条直线互相平行，∴选B.答案 B2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()．解析选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案①4．图(a)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图(b)中的三视图表示的实物为________．图(a)图(b)解析(1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成．(2)由三视图可知几何体为圆锥．答案4圆锥三、解答题(共25分)5．(12分)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，在Rt△SOA中，OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.6．(13分)(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？解 (1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的侧视图应是图2.(2)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中OA 、OB 、OC 两两垂直，∴△OAB 、△OAC 、△OBC 都是直角三角形，但△ABC 是锐角三角形．设AO ＝a ，OC ＝c ，OB ＝b ，则AC ＝a 2＋c 2，BC ＝c 2＋b 2，AB ＝a 2＋b 2，∴cos ∠BAC ＝a 2a 2＋b 2·c 2＋a 2>0，∴∠BAC 为锐角．同理，∠ABC 、∠ACB 也是锐角．综上所述，该几何体的面中共有三个直角三角形．(3)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BD ⊥CD ，∴DC ⊥面ABD ，∴DC ⊥AD ，∴△ACD 也是直角三角形．∴该几何体的面中共有四个直角三角形.。

高考数学复习知识点讲解教案第36讲等比数列及其前n项和

故15 = 12 + 16 = 28.
探究点一等比数列的基本运算
例1（1）
[2023·全国甲卷] 设等比数列{ }的各项均为正数，前项和为，
若1 = 1，5 = 53 − 4，则4 =(
15
A.
8
65
B.
8
C
)
C.15
D.40
［思路点拨］（1）根据题意列出关于公比的方程,求出,注意 = 1时的情况，
1,3,9或9,3,1
等比数列为______________.

+
+

=
13,

=
3,
= 3,

1 或ቊ
[解析] 设这个等比数列为，，，则൞
解得൝

= 3,
=
⋅ ⋅ = 27,
3

∴ 这个等比数列为1,3,9或9,3,1.
题组二常错题
◆ 索引：忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性质不熟导致出错.
2
∗
⋅
若 + = + = 2 , , , , ∈ ，则 ⋅ =_________=____.
（2）
（3）若数列{ }，{ }（项数相同）是等比数列，则{ }
{ ⋅

}，{ }仍然是等比数列.

≠0
1
2
，{ }，{ }，
所以数列{ − 1}是首项为1，公比为2的等比数列.
∗

.
（2）
1
求证：
1
+
1
2
+ ⋯+
1

高考数学复习知识点讲解教案第62讲随机事件的相互独立性与条件概率

概率的积,则事件,为相互独立事件.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定两个事件是相互独立的;
（2）确定两个事件可以同时发生;
（3）求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题（1）
（多选题）[2023·新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0，1信号，信号
的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 0 < < 1 ，收到0的概率为1 − ；
由相互独立事件的概率公式得，所求概率为 1 −
2 ，故B正确.
对于C，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到的译码为1，
则收到的信号可能为 1,1,0 ， 1,0,1 ， 0,1,1 ， 1,1,1 ，
故所求概率为3ሺ1 −
2
ሻ
+ 1−
3 ，故C错误.
对于D，若采用三次传输方案，发送0，收到的译码为0，
5
1 2
别为，，则该谜题被破解的概率为___.
6
2
3
[解析] 设“甲独立地破解出该谜题”为事件，“乙独立地破解出该谜题”为事件，
“该谜题被破解”为事件，且事件与相互独立，
则 = 1 − = 1 − 1 −
1
2
× 1−
2
3
=
5
.
6
3.［教材改编］
交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，发现该地区上
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
◆ 知识聚焦 ◆
1.事件的相互独立性
（1）定义：对任意两个事件与,如果

=____________成立,则称事件与
事件相互独立.
（2）判断方法：
①根据定义；

高考数学复习知识点讲解教案第25讲三角函数的图象与性质

π
− 或0
2
<<
π
，
2
∴ 函数 = lg sin 2 + 9 −
π
2 的定义域为[−3, − )
2
∪
π
0,
2
.
探究点二三角函数的值域或最值
例2（1）
[2024·天津和平区期中] 函数 = sin + 3cos
最小值为(
C
π
在区间[0, ]上的
2
)
A. 3
B. 2
C.1
D.2
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）
π
,
1
在函数 = sin ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,0 ，_______,
2
3π
,
−1
π, 0 ,___________，
2π, 0 .
2
（2）
π
,
0
在函数 = cos ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,1 ，_______，
π
2
所以 = − + 2π , ∈ ，
所以cos = cos
π
2
− + 2π = sin =
2 5
，
5
∈ ,故选A.
（2）已知函数
3
+
2
___________.
= sin + cos + 2sin cos + 2，则的最大值为A.π ቚπ−
6
C.
π
ቚ2π−
6
< < π +
5π
,∈

数学总复习高考教案七篇

数学总复习高考教案七篇数学总复习高考教案篇1一教材分析本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。

情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

二教法根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。

突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。

另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。

突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点三学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。

高考数学复习知识点讲解教案第5讲一元二次方程、不等式

[解析] 由 + 1 2 − ≥ 0,得 + 1)( − 2 ≤ 0,
故原不等式的解集为{| − 1 ≤ ≤ 2}.
2
若关于的不等式
6.
−∞, 1
+ 2 + 1 < 0有实数解，则的取值范围是___________.
[解析] 当 = 0时，不等式为2 + 1 < 0，有实数解，满足题意；
≤ 0,即 3 − 2 − 3 ≤ 0,且 − 3 ≠ 0,
2
3
≤<3 .
（2）
不等式组0 <
2

[−2, −1) ∪ (2,3]
− − 2 ≤ 4的解集为___________________.
［思路点拨］（2）解两个一元二次不等式0 <
2

−−
2
2和
− − 2 ≤ 4,
然后求交集.
例4
是(
对任意的 ∈ 1,4
D
A.[1, +∞)
2
，不等式
− 2 + 2 > 0恒成立，则实数的取值范围
)
B.
1
,1
2
［思路点拨］分离参数得 >
1,4 上的最大值即可.
1
C.[ , +∞)
2
2−2
对任意的
2

∈ 1,4
D.
1
, +∞
2
2−2
恒成立，则求出 2 在区间

[解析] ∵ 对任意的 ∈ 1,4
数进行分类讨论，若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论.
②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次

高考数学复习知识点讲解教案第9讲二次函数与幂函数

7
[解析] 设.由，得的图象关于直线对称，则，即①.设的图象与轴交点的横坐标为,，则由题意得，得 ②.由已知得③.由①②③解得，，，， .
探究点三二次函数的图象与性质
例3（1） [2024·江苏南通模拟] 记函数在区间上的最大值为，则的最小值为( )
A
A. B. C. D.1
②
（ⅲ）当时，画出的大致图象，如图③④，当时，，易知当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，则在上单调递增，所以.所以当时，.因为，所以综上可知，的最小值为 .故选A.
③
④
（2） [2024·浙江名校协作体联考] 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为( )
变式题（1） [2024·黑龙江省实验中学月考] 函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且，，则的值( )
B
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
[解析] 因为函数对任意，，且，满足，所以在上单调递减.由是幂函数，可得，解得或.当时，，在上单调递增，不满足题意.当时，，在上单调递减，满足题意，故，且为奇函数.因为，，所以，所以，所以，所以 .故选B.
[解析] 当时，函数在给定区间上单调递增，不符合题意；当时，函数是二次函数，其图象的对称轴为直线，依题意知解得 .
6.已知幂函数，若，则的取值范围为_______.
[解析] 幂函数在定义域上单调递减，由，得解得 .
探究点一幂函数的图象和性质
例1（1）已知幂函数,,, 在第一象限内的图象如图所示，则( )
（2）写出一个满足条件“函数的图象与轴、轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数: _ ___________________.

高考数学复习知识点讲解教案第48讲两直线的位置关系

所以是的既不充分也不必要条件.故选D.
（2）
[2023·北京东城区二模] 已知三条直线1 : − 2 + 2 = 0，2 : − 2 = 0，
3 : + = 0将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有(
A.1个
B.2个
C.3个
C
)
D.无数个
− 2 + 2 = 0,
解：当 = −6时，直线1 的方程为−3 + 5 = 23，2 的方程为 = 4，
显然两直线相交；当 ≠
+3
−6时，由
2
≠
5
，解得
+6
综上，当 ≠ −1且 ≠ −8时，直线1 与2 相交.
≠ −1， ≠ −8.
（2）
平行；
解：由（1）知当 = −6时，直线1 与2 相交.
直线1 ： = 1 + 1 ,2 ： = 2 + 2 ,3 ：1 + 1 + 1 = 0,
4 ：2 + 2 + 2 = 0的位置关系如下表：
位置关系
1 ,2 满足的条件
3 ,4 满足的条件
1 2 − 2 1 = 0且1 2 − 2 1 ，
高考数学复习知识点讲解教案
第48讲两直线的位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究教师备用习题
作业手册
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线
间的距离.
◆ 知识聚焦 ◆
1.两条直线的位置关系
能表示2 )表示过1 和2 的交点的直线系方程.

高考数学复习知识点讲解教案第22讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

sin
（2）
5
−
π
1
[2023·全国乙卷] 若 ∈ 0, ,tan = ,则sin − cos =_______.
5
2
2
sin
1
[解析] 方法一：因为tan =
= ，所以cos = 2sin ，
cos
2
1
2
2
2
代入sin + cos = 1得sin = ，
5
π
5
2 5
5
因为 ∈ 0, ，所以sin = ，则cos =
，所以sin − cos = − .
2
5
5
5
2sin cos
2tan
2
方法二： sin − cos = 1 − 2sin cos = 1 − 2
=1−
2
sin +cos
1+tan2
1
π
π
cos
−cos
sin
−sin
_________
正切
tan
tan
_______
−tan
−tan
续表
公式一
口诀
记忆规
律
公式二
公式三
公式四
函数名不变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
公式五
公式六
函数名改变，符号
看象限
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形
2
2
（1）sin = 1 − cos = 1 + cos 1 − cos ;
3
π
2
+ = −cos =

高考数学知识点总复习教案简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则()．A．命题“綈p∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题解析由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.答案 C2．(2012·吉林模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则()．A．綈p：有的三角形不是等边三角形B．綈p：有的三角形是不等边三角形C．綈p：所有的三角形都是等边三角形D．綈p：所有的三角形都不是等边三角形解析命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.答案 D3．(2012·开封二模)下列命题中的真命题是()．A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x的图象上方，故C 错误；因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时有sin x <cos x ，故D 错误．所以选B.答案 B4．(2012·潍坊模拟)已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12＜0的解集是{x |3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是________．A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析因为命题p 和命题q 都是真命题，所以命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧綈q ”是假命题，命题“綈p ∨q ”是真命题，命题“綈p ∨綈q ”是假命题．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0成立”的否定是________．答案对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠06．(2012·南通调研)存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值范围是________．解析要使x 2－4bx ＋3b <0成立，只要方程x 2－4bx ＋3b ＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b 2－12b >0，解得b <0或b >34.答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 三、解答题(共25分)7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两个实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．解(1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p∧q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；綈p：2不是4的约数，假命题．(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p：矩形的对角线不相等，假命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p∧q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；綈p：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号不同，真命题．8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形．解(1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2)存在一个素数不是奇数，真命题．(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题．(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·吉林二模)给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，cos x＋sin x＝2”的否定是“∃x∈R，cos x＋sin x≠2”；②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x <2”；③对于∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2； ④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2.其中正确的为( )． A ．③ B ．③④ C ．②③④ D ．①②③④解析根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]知④正确．答案 C2．(2012·江西六校联考)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )． A ．(－∞，－2] B ．(－2,1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞) 解析若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p ∧q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.答案 [－8,0]4．(2012·长沙调研)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝33；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案 ①③三、解答题(共25分)5．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．解由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1. 6．(13分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧Δ＝m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.因“p ∨q ”为真，所以p ，q 至少有一个为真，又“p ∧q ”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．∴⎩⎨⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧m ≤2，1＜m ＜3.解得：m ≥3或1＜m ≤2，即实数m 的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2].。

高考数学复习知识点讲解教案第3讲等式与不等式

> 1，，， >

0，则

0，则

>
<
+
+
+
+
< 1；
> 1.
◆ 对点演练 ◆
题组一常识题
1.［教材改编］
设 = + 2， = +
[解析] ∵ − = +
2

2

+ 1 − + 2 =
≥
+ 1，则与的大小关系是_______.
2

− 2 + 1 = − 1
不等式中不成立的是(
)
D

D.

A. + > +
B. >
C. <
>
［思路点拨］（1）利用不等式的性质判断选项A，B，利用平方法判断选项C，
进而判断选项D即可.
[解析] ∵ > > > > 0，∴ + > + ， > ，故A，B中不等式成立；
< 0，可得 < < 0，即能推出 > ；反之，
1
0.所以“

<
1

< 0”是“ > ”的充分不必要条件，故B正确.
对于C，若 > ，则当 = −2， = 1时，满足 > ，但 < ；反之，
若 > ，则当 = 2， = −3时，满足 > ，但 < .
<
（2）传递性: > , > ⇒ > （单向性）.

总复习数学教案高中

总复习数学教案高中
主题：高中数学总复习
时间：2周
教学目标：
1. 复习高中数学的重点知识点
2. 提高学生解题能力和思维逻辑
3. 为高考做好最后一次综合性的复习
教学内容：
第一周：
1. 复习代数与方程部分：包括多项式、一元二次方程、不等式、函数等
2. 复习几何部分：包括平面几何和立体几何的知识点
3. 复习概率与统计部分：包括概率的基本概念、排列组合、统计图表等
第二周：
1. 复习三角函数部分：包括三角函数的基本概念、常用公式等
2. 复习数列与数学归纳法：包括等差数列、等比数列、数学归纳法的应用等
3. 复习解析几何部分：包括直线、平面、圆的方程、三角形的性质等
教学方法：
1. 教师讲解复习重点知识点，引导学生理清思路，掌握解题方法
2. 组织学生进行针对性的练习，加强对知识点的巩固
3. 布置作业，督促学生独立思考、解题
4. 定期组织模拟考试，检验学生学习效果
教学资源：
1. 教材、课外辅导书等书籍
2. 论坛、网络资源等
3. 模拟试题、习题等
评价方式：
1. 平时作业的表现
2. 模拟考试成绩
3. 课堂表现和参与度
注意事项：
1. 保持良好的学习状态，认真对待每一堂课
2. 积极主动地找老师请教问题
3. 涉及重要知识点的内容要重点掌握
以上是本次高中数学总复习教案的大体框架，希望同学们在此次复习中能够全力以赴，取得优异的成绩。

祝愿大家高考顺利，取得理想的成绩！。

高考数学知识点总复习教案平面向量的概念及其线性运算

第1讲平面向量的概念及其线性运算A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD → D ．2AO→＝OD → 解析由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )．A ．a －b ＋c －d ＝0B ．a －b －c ＋d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案－16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD→|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA→＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →，又因为AB→，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2，若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP→＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析设AB 的中点为D ，由5AM→＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．答案直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2 三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM→＋λMC →，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→. 而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。

高考数学复习知识点讲解教案第4讲基本不等式

− 2 = 3 ≤
2
3 + 2
,
4
2
≤ 8,即 + ≤ 2 2,故C正确;对于D,由 > 0, > 0, + − = 2，
（当且仅当 =
2
时,等号成立）,得
≤ 4,故D错误.故选BC.
+
2

− 2 = ≤
2
2
+
2
,
探究点二变形用基本不等式求最值
微点1 配凑法
4
（简记：和定积最大）
常用结论
1.若 > 0， > 0，则1
2
1
+

≤ ≤
2.当 > 0时，函数 = +
数 = +

+
2
≤
2 +2
，当且仅当
2
= 时，等号成立.
> 0 在 = 处取得最小值2 ；当 < 0时，函
> 0 在 = − 处取得最大值−2 .
=
2
2
⋅ 2 2 1 − 2 2 ，再利用基本不等式求解.
> 0，
2
2
⋅
2
2
1−
2
2
1
时等号成立，故
2
1−
≤
2
2
⋅
2
2
2 +1−2
2
=
2
2
2 的最大值为 .
4
2
，
4
[总结反思]
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用

高考数学复习知识点讲解教案第38讲数列的综合问题

◆ 索引：数列实际问题的易错点为项数.
4.某商场为了满足广大数码爱好者的需求，开展商品分期付款活动.已知某商品一次性付款的金额为元，计划以分期付款的形式等额分成期付清，每期期末所付款是元，每期利率为，则 _ _________.
[解析] 由题意得，， .
5.假设每次用相同体积的清水清洗一件衣服,且每次能洗去污垢的 ,那么至少要清洗___次才能使存留的污垢在以下.
3.［教材改编］假设某银行的活期存款年利率为，某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存.如果不考虑利息税及利率的变化，经过年到期时的存款余额为万元，那么 ________________________.
,
[解析] 由题意得，，，，则易知 .
题组二常错题
（1）求数列的通项公式；
解：因为，所以,，故,，所以等比数列的公比，故，所以，即等比数列的通项公式为 .
（2）记，的前项和分别为，，求满足的所有数对 .
解：由已知得，由（1）可知，因为，所以，则，可得，因为为正整数，，所以,8,10,则当时,，当时, ,当时,，故满足条件的所有数对为,, .
[总结反思]解决与数列有关的实际问题的一般步骤:首先要认真阅读,学会翻译（数学化）,其次考虑用熟悉的数列知识建立数学模型,然后求出问题的解,最后还需验证求得的解是否符合实际.
变式题（1）某牧场2022年年初牛的存栏数为1200头，计划以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计_______年年初牛的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）
所以数列是公比为2的等比数列，又 ,，所以，即 ,所以,可得.因为,所以，则，由，得，可得，所以不等式的解有无限个,故D正确.故选 .

高考数学知识点总复习教案直线与圆锥曲线的位置关系

第7讲直线与圆锥曲线的位置关系A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·潍坊一模)直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )． A.74B ．2C.94D ．4 解析直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94. 答案 C2．(2012·台州质检)设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )．A.33B.12C.22D.13解析由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22b 2a ＝|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝22. 答案 C3．(2012·临沂二模)抛物线y 2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|F A |＋|FB |的值等于( )． A ．7B ．3 5C ．6D ．5解析点A (1,2)在抛物线y 2＝2px 和直线2x ＋y ＋a ＝0上，则p ＝2，a ＝－4，F (1,0)，则B (4，－4)，故|F A |＋|FB |＝7. 答案 A4．(2013·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( )． A ．1＋2 2 B ．4－2 2 C ．5－2 2D ．3＋2 2解析如图，设|AF1|＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m －2a ＋2m －2a ＝m ，得m ＝22a ，又由|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，可得m 2＋(m －2a )2＝4c 2，即得(20－82)a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5－22，故应选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)， ∵x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即直线AB 的斜率为－12. ∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即该弦所在直线的方程为2x ＋4y －3＝0. 答案 2x ＋4y －3＝06．(2013·东北三省联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝1 三、解答题(共25分)7．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点． (1)解由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点．8．(13分)给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0. (2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy，①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线，得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，②由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y ＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0. (3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·皖南八校联考)已知直线l ：y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝2|BF |，则k 的值是 ( )． A.13B.223C ．2 2D.24解析法一据题意画图，作AA1⊥l ′，BB 1⊥l ′，BD ⊥AA 1.设直线l 的倾斜角为θ，|AF |＝2|BF |＝2r ，则|AA 1|＝2|BB 1|＝2|AD |＝2r ，所以有|AB |＝3r ，|AD |＝r ，则|BD |＝22r ，k ＝tan θ＝tan ∠BAD ＝|BD ||AD |＝2 2.法二直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －2)，可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|F A |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B .则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k ，所以y B ＝－8k ，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±2 2.又k >0，故k ＝2 2. 答案 C2．(2012·沈阳二模)过双曲线x 2a 2－y 25－a 2＝1(a >0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )．A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ．(5,52)解析令b ＝5－a 2，c ＝a 2＋b 2，则双曲线的离心率为e ＝ca ，双曲线的渐近线的斜率为±ba .据题意，2<ba <3，如图所示． ∵ba ＝e 2－1， ∴2<e 2－1<3， ∴5<e 2<10， ∴5<e <10. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·揭阳模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63. 答案 634．已知曲线x 2a －y 2b ＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ→＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b .OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2aa －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2. 答案 2 三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．(1)解双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．6．(13分)(2012·临沂二模)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且|DP |＝2|DM |，点P 在圆上运动． (1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点C (－1,0)的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使NA →·NB →为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝x ，y 0＝2y .∵P (x 0，y 0)在x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4.∴x 2＋2y 2＝4，即x 24＋y 22＝1.点M 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1(x ≠±2)． (2)假设存在．当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (n,0)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 22＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.∴NA →·NB →＝(x 1－n ，y 1)·(x 2－n ，y 2) ＝(1＋k 2)x 1·x 2＋(x 1＋x 2)(k 2－n )＋n 2＋k 2 ＝(1＋k 2)×2k 2－41＋2k 2＋(k 2－n )×－4k 21＋2k2＋k 2＋n 2 ＝k 2(4n －1)－41＋2k2＋n 2 ＝12(2k 2＋1)(4n －1)－12(4n －1)－41＋2k 2＋n 2 ＝12(2n 2＋4n －1)－2n ＋721＋2k 2.∵NA →·NB→是与k 无关的常数，∴2n ＋72＝0. ∴n ＝－74，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0，此时NA →·NB→＝－1516.当直线AB 与x 轴垂直时，若n ＝－74，则NA →·NB →＝－1516.综上所述，在x 轴上存在定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0，使NA →·NB →为常数．。

高考数学复习知识点讲解教案第24讲简单的三角恒等变换

4
1
cos
2
3
∘
10 − sin
2
10∘
=
sin 20∘
4sin 30∘ −10∘
=
1
，故选B.
4
[总结反思]
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,
或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
变式题（1）
cos 20∘
计算：
cos 35∘ 1−sin 20∘
− sin
∘
10
［思路点拨］（1）利用正弦、余弦的二倍角公式化简即可.
[解析] 原式=
∘
1+cos 20∘
2
∘
+ 1 − sin
∘
∘
20
∘
=
1+ 2cos2 10∘ −1
2
∘
cos 10 + cos 10 − sin 10 = 2cos 10 − sin 10 .故选D.
+ 1 − 2sin
∘
10 cos
2
（2）
2
2

sin ± cos
2
2
1 ± sin =___________________.（升幂公式）

2tan
2

2
1+tan
2

2
1−tan
2

2
1+tan
=_________,tan
2

2tan
2

2
1−tan
=_________.（万能公式）
2
（3）
sin =

第高考数学复习知识点讲解教案63讲全概率公式及应用

20
设 =“将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球”，
1 =“取到的球是甲盒子中的”，2 =“取到的球是乙盒子中的”，
3 =“取到的球是丙盒子中的”，则 = 1 ∪ 2 ∪ 3 ,且1 ,2 ,3 两两互斥.
根据题意得 = 1 |1 + 2 (|2 ) + 3 |3 =
2 为“第二天选择一餐厅就餐”，
则 1 = 1 = 0.5, 2 |1 = 0.6, 2 |1 = 0.7,
由全概率公式可知 2 = 1 2 |1 + 1 2 1 =
0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.7 = 0.65.
2.［教材改编］
某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启
所以接收的信号为0的概率 =
| + (|) = 0.5 × 0.9 + 0.5 × 0.05 = 0.475，
所以接收的信号为1的概率 = 1 − = 1 − 0.475 = 0.525.故选B.
（2）
[2024·南京模拟] 某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、
5
6
[解析] 记事件1 ，2 ，3 分别表示此人选自甲、乙、丙三个地区，
事件 =“此人被录取”，
则 1 = 2 = 3 =
1
，
3
|1 =
1
，
3
故 = 1 |1 + 2 |2 +
1
6
=
7
.
30
1
|2 = ， |3
5
1
1
1
所以 2 = 1 2 |1 + 1 2 |1 = 0.5 × 0.3 + 0.5 × 0.2 = 0.25.

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