4.2黄金分割
4.2黄金分割课件使用版
越南
二
探索美
AC AB
AB AC BC 1、在图中，分别量出线段 、 、 的长度。
2、分别计算 3、
AC AB
与
BC AC
的值(精确到0. 1cm).
与
Bபைடு நூலகம் AC
相等吗？
A C B
黄
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
(
长
全
短 长
)
AC2=AB
作法:
1、经过点B作BD⊥AB,使BD
1 2 AB .
2、连接AD,在DA上截取 DE=DB . 3、在AB上截取 AC=AE. 点C即为线段AB的黄金分割点.
思考：
1．如果设AB=2,那么 BD,AD,AC,BC分别等于多少 ? BD= 1 AD= 5 AC=
2．计算
AC AB
5 1
AC AB
这幅《蒙娜丽莎的 微笑》给了数以亿万计的 人们美的艺术享受，备受 推崇。意大利画家达芬奇 在创作中大量运用了黄金 矩形来构图。整个画面使 人觉得和谐自然，优雅安 宁。
找一找：画中有几个 黄金矩形？
建筑与黄金分割
文明古国埃及的 金字塔，形似方锥， 大小各异。但这些金 字塔底面的边长与高 这比都接近于0.618.
——以数学的视角感受美
一
发现美
摄影作品之美
你觉得哪张照片的构图最合理？更能体 现小松鼠若有所思的在凝视前方？
东方明珠塔， 塔高462.85米。 设计师将在 295米处设计 了一个上球体， 使平直单调的 塔身变得丰富 多彩，非常协 调、美观。
4.2黄金分割(公开课) 完整版课件PPT
观察 欣赏
应用 黄金分割
你知道芭蕾舞演员跳 舞时为什么要掂起脚 尖吗?
芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比 值也只有0.58左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm.这时比 值就接近0.618了,给人以 更为优美的艺术形象.
∵ AC2 BC• AB ∴C点为AB的黄金分割点
∴BC= 15 5 5
试一试
应用 黄金分割
利用黄金分割求值：
问题3
A
B
DC
把窗台看成线段AB，现把原放置在窗台上点A处的一 盆花，移到该线段的黄金分割点上，若AB=2a米，试 计算这盆花移动后应离A点几米？
注意：一条线段有两个黄金分割点 分两种情况：
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 AC = BC
AB AC
或
AC2=AB ∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section), 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
思考：黄金比是多少?
议一议
领悟 黄金分割
说一说
应用 黄金分割
判断黄金分割点：
作法:1、经过点B作BD⊥AB, 1
使BD=2 AB 2、连在接DAAD上, 截取 3、在ABD上E截=D取BAC=AE.
根据上述作图点C是线段AB的黄金分割点吗？
试一试
应用 黄金分割
判断黄金分割点：
作法:1、经过点B作BD⊥AB, 1
使BD=2 AB 2、连在接DAAD上, 截取
E
D
∟
A
CB
3、在ABD上E截=D取BAC=AE.
4.2黄金分割
1.黄金分割
A
C B
1.黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两
AC BC 或AC 2 AB BC 条线段AC和B被点C黄金分割。
2.黄金分割点：点C叫做线段AB的黄金分割点。
3.黄金比：AC与AB的比称为黄金比。
AC 5 1 黄金比： 0.618 AB 2
2.黄金分割的作图
方法一:如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
1 1.经过点B作BD⊥AB,使 BD AB 2
2.连接AD,在AD上截取DE=DB 3.在AB上截取AC=AE
A
D
E
C
B
根据上述作图回答下列问题:
(1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？ (2)点C是线段AB的黄金分割点吗？
黄金分割
作业
《课时分层》作业本B第26课时
2.黄金分割的作图
方法二:如图，设AB是已知线段，在AB上 作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB； 延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的黄金分割点。
任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的 黄金分割点．你能说说这种方法的道理吗？
理由如下 : 设AB 2, 那么在RtBAE中, BE AB 2 AE 2 2 2 12 5 于是EF BE 5 , AH AF BE AE 5 1 AH BH BH AB AH 3 5.因此 , 点H是AB的黄金分割点 AB AH
每天课前一练(3 分钟）
a2 b c5 若 3 4 6 且2a b 3c 21, 试求a : b : c
4.2 黄金分割
4.2 黄金分割
本节课主要内容
4.2黄金分割全面版
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
说课稿北师大八年级数学《4.2 黄金分割》
北师大版八年级数学下册第四章《4.2黄金分割》说课稿一、教材分析：《黄金分割》是北师大版八年级数学下册第四章《相似图形》第2节的内容。
本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，它与前后有关几何部分的内容都有着密切的关系，是对图形全等内容的进一步拓广与发展。
整个设计力图引导学生观察、分析生活现实和数学现实中的相似现象，总结图形相似的有关特征并自觉的应用到现实之中，逐步形成正确的数学观。
同时，通过“图形的相似”进一步丰富学生的数学活动经验，有意识的培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进学生观察、分析、归纳、概括的一般能力和审美意识的发展。
《黄金分割》这一节内容通过建筑、艺术等方面的实例让学生进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，同时在教学中让学生学会观察、操作、实验、合作与交流以及学会学习就变得更为重要。
二、学生学习情况分析：我校是一所乡级的普通中学，学生都来自乡镇和农村，大部分学生合作探究的意识薄弱，自己分析解决问题的能力也较弱，所以我要鼓励学生上课大胆发言，积极动手，精心营造自主、合作、探究交流气氛，让学生在宽松的环境中发挥自己的聪明才智，使学生在课堂交流方面获得长足的发展。
三、教法分析：1、在教法上树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，启发引导学生观察—分析—猜想—概括，培养学生积极思考，勇于探索的精神，充分发挥其自主能动性。
2、学法指导是培养学生学习能力的关键，本节课针对学生的认知规律，指导他们动手操作、交流合作，体验发现问题、探索问题和解决问题的学习过程。
3、教学手段上采用多媒体辅助教学，通过直观演示，更好地实现了“数形结合”的教学，切实有效地提高了课堂教学的效果。
四、教学目标：（一）知识目标：1.通过黄金分割的定义来感受黄金分割的发现和黄金分割的美。
2.在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。
（二）能力目标：通过找一条线段的黄金分割，培养学生的理解与动手能力。
北师大版4.2_黄金分割课件
黄金身材比例
人 体肚 脐 不 但是 黄 金 点美 化身型，有时还是医疗效果黄 金点，许多民间名医在肚脐上 贴药治好了某些疾病。人体最 感舒适的温度是23℃(体温)， 也是正常人体温（37℃）的黄 金点（23=37×0.618）。这说 明医学与0.618有千丝万缕联系 ,尚待开拓研究。人体还有几个 黄金点：肚脐上部分的黄金点 在咽喉，肚脐以下部分的黄金 点在膝盖，上肢的黄金点在肘 关节。上肢与下肢长文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。 但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
读一读
耐人寻味的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地 大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的 极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰 好在此纬度上。这不免让人联想起许多与 北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀 水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山， 吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金 分割的纬度上。
正五角星形,有庄严雄健之美.
A
C
B
度量C到点A、B的距离,
AC AB
与
BC AC
相等吗？
A
C B
A C B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
AC = BC
AB AC
AC2=AB
∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
实际 应用
知识的升华
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金 比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时 室内温度调到什么温度最适合。 2．在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618， 越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾 舞演员也达不到如此的完美。某女士身高1.68米， 下半身1.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来 更美呢？
《4.1线段的比4.2黄金分割》
AC BABC D= 《4.1线段的比、4.2黄金分割》复习导学案 姓名学习目标：1掌握线段的比、成比例线段、黄金分割的定义 2会计算两线段的比，利用比例性质、黄金分割解题重点：利用两线段的比、比例性质解题、理解黄金分割的定义 难点：比例性质应用，找黄金分割点一、知识梳理： （1）两条线段的比：线段AB=m 厘米、线段CD=n 厘米，则AB ：CD= 或 （2）四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a=（或a:b=c:d ）那么这四条线段a,b,c,d 叫做 ，简称 .反过来，如果四条线段a,b,c,d 成比例线段，则可以记作 . （3）比例的基本性质:若a ,b ,c ,d 满足dc b a =,那么ad =bc ；若ad=bc （a ,b ,c ,d ≠0）,那么 （4）合比性质:若dc b a =,则 ; 等比性质：若dc ba ==…=nm(b +d +…+n ≠0),则（5）黄金分割:，C 是线段AB 上一点，若 或=2AC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割, 点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 . 其中ABAC = ≈ 。
二、巩固练习1.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度(单位：cm)，判断它们是否成比例？(1).a =1 ,b =2 ,c =3 ,d =4 (2).a =8 ,b =5 ,c =6 ,d =10 (3).a =16 ,b =8 ,c =5, d =102.四条线段a 、c 、b 、d 成比例，其中b=3cm ，c=2cm ，d=6cm ，则线段a 的长为 cm.3．把mn=pq(mn ≠0)写成比例式,写错的是（ ）A.m qpn =B.pnmq=C.qnmp=D.m pnq=4.(1)已知ba =23，则=+bb a ，bb a -= .(2)若fe dc ba===2（ ),则5.如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>PB ，则下列说法正确的是______（仅填序号）。
(公开课)4.2黄金分割课件
一副成功的摄影作品，构图非常重要。而在摄影中最常 用的一种构图方法就是“三分法”(又称井字形分割法） 其中隐藏着一个数学的秘密,其基本规律是在黄
金分割基础上演变而来的。
。
扇子中的黄金分割
炎炎夏日，最环保的方法， 是用扇子扇走暑气. 从数学的观点，我们应用黄 金比例(0.618)来设计一把张 开角Ａ１为137.5 度的纸扇才 会最富美感.
大自然的魅力
建筑与黄金分割
古埃及胡夫金字塔 古希腊巴台农神庙
文明古国埃及的金字塔， 形似方锥，大小各异。 但这些金字塔底面的边长 与高这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在 建筑时高和宽也是按黄 金比0.618来建立，他 们认为这样的长方形看 来是较美观；其大理石 柱廓，就是根据黄金分 割律分割整个神庙的.
宽
2
黄 金 分 割
• 学无止境
• 没有最好,只有更 好
P113
习题 4.3
1、2.
P113
3、4题
填空:
（1）已知线段AB=2cm,点C是线段AB的黄金分割点，
则AC=
5 1 或 3 5 。
(2)一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然 得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现在站 在A处，则它应至少再走 (30–10 5)米才最理想。
(3)已知线段AB=a，在线段AB上有一点C， 若AC= 3 5 则点C是线段AB的黄金分割 点 a 2
学而不思则罔 回 头 一 看 ， 我 想 说 …
我有哪些收获呢？ 与大家共分享！
全
知识回顾
A
长 C 短
B
AC
BC = AB AC
长 = 短 = 5 1 １.黄金分割比的定义: 全 长 2 2.黄金分割比的画法
数学：4.2黄金分割说课课件(北师大版八年级下)
你能给黄金分割下个定义吗？（如果……，那么……．）
活动一：建立黄金分割的概念
第五步：用数学语言和符号表示概念
A C B
如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB = BC AC
, 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，
活动二：用方程思想探究黄金比
A AC AB BC AC C B
如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
=
, 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，
点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比 . 设 AB=1，AC = x，则 BC= 由
AC AB
， ， ，
=
BC AC
一、教材分析
知识与技能目标： （1）通过实例了解黄金分割，并能简单应用； （2）在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容． 过程与方法目标： （1）经历黄金分割概念的建立过程，发展学生归纳概括的能力，逐步养 成主动的通过归纳概括发现概念的学习策略； （2）经历黄金分割概念的印证和拓展过程，培养学生演绎推理的能力． 情感与态度目标： （1）通过经历概念的建立、印证和拓展过程，培养良好的数学思维品 质 （2）在探索交流的过程中获得成功的体验，增强自信心； （3）感受数学美，体会数学的应用价值．
活动一：建立黄金分割的概念
第二步：分化出各种刺激模式的属性 2．请同学们观察表1，找一找： （1）是否有比值为常数； （2）是否存在一个比例式． 3．在表2中有这样的关系吗？
=
活动一：建立黄金分割的概念
第三步：抽象出各种刺激模式的共同属性，提出猜想
4.2黄金分割
黄金分割
黄金分割的定义
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
如果
AC BC AB AC
,那么称线段AB被点C黄金
分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB
的比叫做黄金比.
A
C
AC BC 5 1 0.618 AB AC 2
B
经典的黄金分割：松鼠的前面 留出空地，若有所思的生态跃 然纸上，令人忍俊不禁
22.3 ℃~22.8℃
耐人寻味的 0.618
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与 长之比也接近0.618; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是 站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置 才是最佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来 舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对 开、8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
耐人寻味的0.618
下课了!
结束寄语
数学来源于生活
数学的知识有的是我们生活实际中已经会的，但还 没有找到规律，我们可以运用经验，通过实践活动把 经验提炼为数学。 黄金分割”的实质就是０．６１８ 这个神奇的数字。只要留心，就会在生活的方方面面 发现其“魅影”。黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉 斯留心生活发现1：0.618的这个黄金比例最优美，和 谐。数学在每个人身边，要有心去体验，发现。
实际 应用
知识的升华
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 ℃ ~37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天 使用空调时室内温度调到什么温度最适合？ 36℃×0.618=22.3 ℃ 37℃×0.618=22.8 ℃
2、伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618 优选法”，把黄金分割原理应用于生产、生活 实际以及科学实验中，为国家节约了大量的人 力和能源。
4.2黄金分割
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 AC BC = , 那么称线段AB被点C黄 AB AC 金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与 AB的比称为黄金比. A
黄金比： AC : AB =
C
5 1 2
B
: 1 0 . 618
A AC AB BC AC
AC AB
5一 1 2
=
，
AC AB
∵点C是线段AB的黄金分割点， ∴
=
).
5一 1 2
，
∴ AC=
5一 1 2
AB =
5一 1 2
×4
= ２(
5 1
1.经过点B作BD⊥AB,使
1 BD = AB . 2
D
E
2.连接AD,在AD上截 取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.
古希腊巴台农神庙
巴黎圣母院
联合国总部大厦
黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在 古典及现代建筑中都有广泛的应用．
巴台农神庙
A E B
D
F
C
如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD， 那么我们可以惊奇地发现，BC =
A C B
根据上述作图回答下列问题: (1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于什么？ (2)点C是线段AB的黄金分割点吗？
答 : (1 ) BD = 1， AD = AC = 5 1， BC = 3
5， 5． , 因为通过计算可以发现 AC AB = BC AC .
（1）以下3张图片，哪张构图最美？
（2）脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？
4.2&4.3黄金分割和相似图形
黄金分割【复习检测】1．把长为10cm 的线段黄金分割后，较长线段的长等于 cm ．2.已知点M 为线段AB 的黄金分割点，且AB=54，求较短线段BM 的长.3.已知线段AB=1，M 为AB 的黄金分割点，求线段AM 的近似值.【高效课堂】知识点一：黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中ABAC≈0．618．黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C 就是线段AB 的一个黄金分割点．作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割．黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面．如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0．618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等．黄金分割在工厂里也有着普遍的应用．如“优选法”中常用的“0．618法”就是黄金分割的一种应用．例1：舞台上的报幕员站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
若舞台AB 长为20米，试计算报幕员应走到离A 点至少 米处？如果他向B 点再走 米，也处于最美观，声音传播的最好的位置？（结果精确到0.1米）变式题：科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为168cm ，下肢长为102cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为____________cm 。
（精确到0.1cm ）知识点二：黄金分割的画法图4－7如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB ． （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB ．（3）在AB 上截取AC =AE ．则点C 为线段AB 的黄金分割点．若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足ACBCAB AC．下面请大家进行验证．自己有困难时可以互相交流．为了计算方便，可设AB =1．证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21C BA ∴AD =x +21 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x +21）2=12+（21）2 ∴x 2+x +41=1+41∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x ） ∴AC 2=AB ·BC 即：ACBCAB AC =即点C 是线段AB 的一个黄金分割点， 在x 2=1－x 中 整理，得x 2+x －1=0 ∴x =2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正 ∴AC =215-≈0．618 ∴ABAC≈0．618 ∴黄金比约为0．618．【随堂训练】 一、选择题:1、如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果A C B CA B A C=,那么下列说法错误的是 ( ) A 、线段AB 被点C 黄金分割 B 、点C 叫做线段AB 的黄金分割点 C 、AB 与AC 的比叫做黄金比 D 、AC 与AB 的比叫做黄金比2、黄金分割比是 ( ) A 、512+ B 、512- C 、512± D 、0.618 3、如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( )C BA CB A A 、512+,512- B 、512-,512+ C 、512-,512- D 、512+,512+二、填空题:4、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C ）的黄金比值时,人体感到最舒适。
4.2黄金分割
$4.2黄金分割目标导航：⒈知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比：⒉会找一条线段的黄金分割点。
⒊加深理解与掌握线段的比、成比例线段等有关知识。
学法指导：线段的黄金分割是成比例线段具体应用的一个典型例子，学习本节知识，首先要弄清线段黄金分割的意义，在此基础上通过动手操作，会将线段黄金分割。
新知探究：㈠、黄金分割的定义：1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空：度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ，计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与ACBC 的值相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB的比叫做 。
其中ABAC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。
⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。
2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则ABAC = 。
㈡、确定黄金分割点：1、如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.2、想一想问题：⑴如果设AB=1，则BD= ，AD= ，AC= ，BC= 。
⑵点C 是线段AB 的黄金分割点吗？你知道为什么吗？㈢、黄金矩形：宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。
【绿色通道】 黄金分割是一种特殊的分割线段的方法，分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，知道其中一条线段的长度，可以求出另外两条线段的长度；一条线段有两个黄金分割点。
课堂消化诊测：⒈已知线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC= 。
⒉已知如图，AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，点D 在AB 上，且AD2=BD ·AB ，求ACCD 的值。
北师大版-数学-八年级下册-4.2 黄金分割
◆教学过程设计［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、AC BC ,它们的值相等吗？［生］相等. ［师］所以ACBC AB AC =. 1.黄金分割的定义 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中ABAC ≈0.618. 投影片（§4.2 A ） 黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C 就是线段AB 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.［师］既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.2.作一条线段的黄金分割点.图4－7如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.［师］你知道为什么吗？ 若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足AC BC AB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1.证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21∴AD =x +21 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x +21）2=12+（21）2 ∴x 2+x +41=1+41 ∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x ）∴AC 2=AB ·BC 即：ACBC AB AC = 即点C 是线段AB 的一个黄金分割点，在x 2=1－x 中整理，得x 2+x －1=0 ∴x =2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正 ∴AC =215-≈0.618 ∴ABAC ≈0.618 ∴黄金比约为0.618.3.想一想图4－8古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BC AB BE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？［师］请大家互相交流.［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AE AB BE AE =,即AEBE AB AE =,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比. ［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？4.课堂练习1.解：设AB =a ,根据题意，得AE =2a , 由勾股定理，得 EF =EB =22AE AB ++ =422a a + =25a ∴AF =AH =BE －AE =215-a BH =AB －AH =a －a a 253215-=- ∴=AB AH 215215-=-a a 2151553215253-=--=--=a a AH BH ∴AHBH AB AH = ∴点H 是AB 的黄金分割点.5.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金分割点C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC 的黄金分割点D ，D 的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.6.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点◆课堂板书设计。
八年级数学下册《4.2 黄金分割》教学设计
《4.2 黄金分割》一、教学内容及其分析一、教学内容：黄金分割二、内容分析：本节课要学的内容是黄金分割，指得是线段的比、成比例线段，其核心是线段的比，明白得它关键是把握成比例线段的特点，来明白得黄金分割的内容。
学生已经学过了大体作图，知道了作图的方式。
又在学习本章第一节后，把握了线段的比、成比例线段的概念，比例的大体性质，求比的计算和比例尺的计算等知识，本节课的内容黄金分割，确实是成比例线段的应用。
由于学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求，更是表现数学的文化价值，0.618的意义，表现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。
因此在本学科有超级重要文化价值，并有美化生活的作用，是相似形这一章的基础内容。
教学的重点是了解黄金分割的意义并能运用，解决重点的关键是通过建筑、艺术上实例欣赏，应用中进一步强化线段的比、成比例线段的特点，来明白得黄金分割的内含。
二、目标及其分析（一）教学目标1.了解黄金分割，会找一条线段的黄金分割点，会判定某一点是不是为一条线段的黄金分割点；2.通过找一条线段的黄金分割点，培育学生明白得与动手能力。
3.明白得黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生熟悉数学与人类生活的紧密联系。
（二）目标分析1.了解成比例线段，确实是是指结合具体事例，从它们的表示形式上对它们有所了解，并非给出它们的概念，更不涉及其图像或性质。
2.明白得比例的大体性质确实是指对性质的推理要明白，明白依据是什么。
由于本节课的教学内容重点是比例的性质，后续内容还涉及其运算，因此对照例的性质的定位应该是明白得层次，并能简单应用。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能碰到的问题是找出黄金分割点和黄金矩形，产生这一问题的缘故是对照例性质的明白得，和性质推理的熟悉。
要解决这一问题，确实是要用等式性质及方程的观点处置问题，关键是把握“比值k ”的方式将比例的性质加以证明，把握其内在的联系。
四、教学进程问题1：什么缘故女同胞们穿高跟鞋更有魅力？设计用意：通过创设一个有趣的情景，将同窗的注意力引向本章的学习当中，并引出黄金比解决实际问题。
4.2黄金分割(教案)
-应用黄金分割的实例：通过实例分析，使学生了解黄金分割在自然界、艺术和建筑等领域的应用，培养学生的实际应用能力。
举例解释：在教学过程中，可以借助图形、实际物体（如树叶、建筑物）等，让学生直观感受黄金分割的美，并引导他们运用黄金比值进行计算和设计。
其次，在实践活动环节，我发现学生们在讨论与黄金分割相关的实际问题时，思维较为局限，不能充分展开。这可能是因为他们对黄金分割在实际生活中的应用还不够熟悉。在今后的教学中，我应增加一些关于黄金分割在各个领域应用的案例，激发学生的创新思维和想象力。
此外，小组讨论环节，部分学生在分享成果时，表达不够清晰，逻辑性不强。为了提高学生的表达能力和逻辑思维，我可以在教学中加入一些口语表达和逻辑训练，帮助他们更好地组织语言，阐述观点。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间观念：通过黄金分割的学习，使学生能够运用几何知识分析并解决实际问题，提高对几何图形的观察、理解和创造能力。
2.提升学生的数据分析能力：引导学生通过实际案例，收集、整理和分析黄金分割在各个领域的应用，培养学生运用数据进行推理、论证和解决问题的能力。
3.增强学生的审美观念和创造力：让学生了解黄金分割在艺术和建筑领域的应用，激发学生对美的感知和创造潜能，提高审美素养。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了黄金分割的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对黄金分割的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和创作中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《相似图形——4.2黄金分割》优质课件
想一想
根据上述作图回答下列问题:
(1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？
(2)计算：AC:AB=
,BC:AC=
.
(3)点C是线段AB的黄金分割点吗？
答：(1)BD = 1, AD = 5
AC = 5 1, BC = 3 5
(2)点C是AB的黄金分割点。 因为通过计算可以发现：
AC = BC = 5 1 AB AC 2
一条线段有两个黄金分割点。
练一练 线段的黄金分割点做法二:
如图,设AB是已知线段,在AB上 作正方形ABCD;取AD的中点E,
F
连接EB;延长DA至F,使EF=EB;以
线段AF为边作正方形AFGH.点H A
就是AB的黄金分割点.
E
D
G HB
C
练一练
F
G
AB AH
三、延伸拓展，深化概念
找一找：下列矩形中，那个看起来最美？
（1） （3）
（2） （4）
想一想
三、延伸拓展，深化概念 巴台农神庙
A
E
B
D
F
C
如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，
那么我们可以惊奇的发现，BC = AB 。点E是AB的
==1205410 2
5A，BBADB=
40
=40
5
580
1
40，=
5 1， 2
ADBC= 1=20AB40 A5C== 15201，40点D5是AB的黄金分割点。
BD 40 5 1 2
四、深化提高，继续探索
希腊巴台农神 黄
埃及金字塔
4.2 黄金分割
A
是AB的黄金分割点.请说
明理由.
2、查资料制做一份“神
E
秘的0.618”知识小报，
D
G H
B
C
古巴 智利
越南
土耳其
中国
苏里南
这些国旗上的正五角星形, 有庄严雄健之美.
A
C
D
B
有5盆红花和5盆蓝花，计划摆成5行，每行4盆 （红、蓝各两盆），如何摆呢？
想 一 想
乐器中的“黄金分割”
摄影中的“黄金分割”
在现在生活中，黄金比例也一直被使用 着，例如国旗、明信片、报纸、邮票等 等，其长宽之比均接近黃金比，据统计 黄金比也是被使用最多的比例。
黄金分割的定义
A
C
B
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
如果 AC BC ,那么称线段AB被点C黄 AB AC
金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC
与AB的比叫做黄金比.
一条线段有几个黄金分割点
学习一元二次方程之后，我们可以求出:
AC AB
BC AC
5 1 0.618 2
5 1 0.618 2
全
B
C
长
短
则:
长＝ 5 -1 全 2
短＝ 5 -1 长 2
短＝ 3 - 5 全 2
3 5 0.382 2
练一练
(1)、把长度为20cm的线段黄金分割成两段，
则较长的一段长度为
10( ；5 较1)短cm的一
段长度为
10(3 5 )cm
(2)、已知AB=10cm，点P和点Q是线段AB 的两个黄金分割点，则1P0(Q=5 2)cm .
黄金分割是一个伟大的自然法则和美的 定律,它存在于世界的每一个角落，并逐 步被人们认识和广泛应用．
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张崾先镇学校 八 年级 数学 导学案
执笔人：陈菊 审核人： 时间：
集 体 备 课
备注
课题： §4.2黄金分割
学习目标：
1.探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在各个领域有价值的运用; 2、会找一条线段的黄金分割点；
3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段. 重点:了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义. 难点:怎样找一条线段的黄金分割点. 内容设计： 一、课前热身：
1、欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以
匀称、协调的美感，请量出图中线段AB 、AC 的长度，并求出
线段AB 与AC 的比值；
2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB 、AC 的长度，并求出线段AB 与AC 的比值；
3、观察“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？ 二、课内探究： （一）创设情境： 活动一：
计算AC AB （或AB
BC ）的值，引入黄金分割的概念.
把矩形ABCD 的长AB 与宽BC 画在同一条直线上，此时点B 把线段AC 分成两部分，如果AC AB =AB
BC
，那么线段AC 被点B
黄金分割.（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段
的比等于较大的线段与整个线段之比）
BC 与AC （或AC 与AB ）的比值约为0.168，这个比值称为黄
金比.
注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；
（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称
C
B
A
A
B
C
①
③
②
④
A C
B
为黄金矩形.
（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？
活动二:
认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）
1、作顶角为36°的等腰△ABC ；
2、分别量出底边BC 与腰AB 的长度；
3、作∠B 的平分线，交AC 于点D ，量出△BCD 的底边CD 的长度；
最后，分别求出△ABC 与△BCD 的底边与腰的长度的比值（精确到0.001） 问：比值是多少？
（二）、交流展示：
所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它
具有如下的性质：（1）618.0AB
BC
； （2）设BD 是△ABC 的底角的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点；
（3）如再作∠C 的平分线，交BD 于点E ，则△CDE 也是黄金
三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形； 自主学习：
如图，五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角也相等，
（1）找出图中的黄金三角形；
（2）图中的点F 、G 、H 、M 、N 分别是那些线段的黄金分割点？
你能说明理由吗？
（三）、巩固提升：
1、若线段AB ＝4cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点，
A B
H F
G
N
M E
D
C A
C
B
D A
B
C
A
B
C
D
E
F
则AC的长为多少？
2、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于多少？（结果保留根号）
（四）、达标检测：
例3、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割
点，AB=1，求CD的长. (五)、课后延伸：
（1）二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳；（2）据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值
时 , 人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? （人的正常体温36.2℃～37.2℃）“人体舒适指数”----36.5℃×0.618≈23℃，“人体舒适指数”为22℃∽24℃；
（3）植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰（360—137.5）≈0.618；……
（六）、教（学）后反思：
D C B A。