第1章 1-1 集合
第1章 第1节 集合的概念与运算
B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
解析： 依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}，因为∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的
阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． 答案： D
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[同类练]
1．(2017·天津卷)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A
∪B)∩C＝( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析： 因为 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以 A∪B＝{1,2,4,6}，又 C＝{x∈R| －1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
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2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再 利用集合元素的特征判断集合关系． (3)数形结合法：利用数轴或 Venn 图．
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考向·分层突破
考向一 集合的基本概念 自主练透型
1．已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个
(2)∵B⊆A，
∴①若 B＝∅，则 2m－1<m＋1，此时 m<2.
②若 B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
注意集合的分类 讨论问题
解得 2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.
答案： (1)D (2)(－∞，3]
高中数学必修一必修1全章节ppt课件幻灯片
(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素. (3)组成单词china的字母组成一个集合.
【解题探究】 1.集合中的元素有哪些特性？ 2.集合中的元素能重复吗？
探究提示： 1.集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性. 2.构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性， 相同的元素只能算作一个. 【解析】1.①不正确.因为成绩较好没有明确的标准． ②正确．中国海洋大学2013级大一新生是确定的，明确的． ③正确．因为参加2012年伦敦奥运会的所有国家是确定的， 明确的． ④不正确．因为高科技产品的标准不确定． 答案：②③
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b， c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常 用来判断两个集合的关系．
3.元素和集合之间的关系 (1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a和集合A，在 a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系. 4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点
第一章 集合与函数概念 1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、元素与集合 1.定义： (1)元素：一般地，把所研究的_对__象_统称为元素，常用小写的 拉丁字母a,b,c，…表示. (2)集合：一些元素组成的总体，简称为_集_，常用大写拉丁字 母A,B,C，…表示. 2.集合相等：指构成两个集合的元素是_一__样_的. 3.集合中元素的特性：_确__定__性_、_互_异__性__和_无__序__性__.
类型 一 集合的判定
【典型例题】
1.下列说法中正确的序号是
.
①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合；
教材完全解读 必修1 第1章1.1.1 集合的含义与表示
第1章节 集合与函数概概念1．1．1 集合的含义与表示例题1 2011·湖北咸宁必修1过关检测题下列所给的对象能构成集合的___________。
（1）所有的正三角开；（2）高一数学必修1课本上的所有难题； （3）比较接近1的正整数全体；（4）某校高一年级的确16岁以下学生；（5）平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； （6）参加北京奥运会的年轻运动员； 例题2 2011·黄冈调考题含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,b aa ，也可表示为{}0,,2b a a +，求20112010b a+的值。
例题3 2011·东莞高一统考题 已知集合{}0322=--∈=x mxR x A ，若集合中A 中至多有一个元素，求实数m 的取值范围。
例题4 2011·岳阳高一统一考题已知集合{}{}Z n n x x N Z n n x x M ∈-==∈==,13,,3且,,,P c N b M a ∈∈∈设,c b a d +-=则（ ）例题5 2011·河源质检题已知集合{}{}2,,,2,,aq aq a B d a d a a A =++=（a 为常数），若A=B ，求d,q 的值. 例题6 2011·大同市高一调研进考试题用列举法表示下列集合:(1);,26⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-Z x Z x x(2) ⎩⎨⎧∈<∈=,,,*N b a a Z a ba x x 且b ≤}3;(3){N x x y y x ∈=,2),(且1≤x <}4. 例题7 2011·洛阳市质检题下面三个集合:①{};12+=x y x ②}{12+=x y y ；③{}1|),(2+=x y y x 。
（1）它们各自的含义是什么？ （2）它们是不是相同的集合？ 例题8 2011·安庆市高一质检题判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示； （1）被3除余1的自然数组成的集合；（2）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；（3）二次函数1022-+=x x y 图象上的所有点组成的集合；（4）设a 、b 是非零实数，求abab b b a a y ++=的所有值组成的集合。
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
第一章 §1 1.1 第1课时 集合的概念
§1集合1．1集合的概念与表示第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”与“不属于”关系.4.记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的、顺序任意的．思考某班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系关系说法记法属于a属于集合A a∈A不属于a不属于集合A a∉A思考符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？答案不能，符号“∈”和“∉”具有方向性，必须左边是元素，右边是集合．知识点三常见的数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋1．组成集合的元素一定是数．(×)2．接近于0的数可以组成集合．(×)3．元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相同的．(×)4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)一、对集合的理解例1(多选)考察下列每组对象，能构成集合的是()A．2 020年全国高考数学试卷中的所有难题B．中国各地美丽的乡村C．参加我市新冠防治的志愿者D．不小于3的自然数答案CD解析A中“难题”，B中“美丽的”标准不明确，不符合确定性；CD中的元素标准明确，均可构成集合，故选CD.反思感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列说法中，正确的是()A．“不超过20的非负数”构成一个集合B．用实数2,0,2,0组成的集合有4个元素C．“3的近似值的全体”构成一个集合D．由甲、乙、丙三人组成的集合与丙、乙、甲三人组成的集合不同答案 A二、元素与集合的关系例2(1)下列关系式中正确的个数为()①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z；⑤0∈N.A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确；⑤0是自然数，故⑤正确．(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为__________．答案2,1,0解析由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0，因此A中元素有2,1,0.反思感悟判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．三、集合中元素特性的简单应用例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.(学生)反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练3已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可答案 B解析由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾；当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.1．现有下列各组对象：①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点．其中能构成集合的是()A．①③B．②③C．③④D．③④⑤答案 D解析①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合．2．(多选)下列结论正确的是()A．0∈N＋ B.2－7∉QC．0∉Q D．8∈Z答案BD3．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案 D解析因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．答案10解析由集合元素的互异性知，集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．5．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．答案②④解析因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．(2)常用数集的表示．(3)集合中元素的特性及应用．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．1．下列各组对象能构成集合的有( ) ①接近于1的所有正整数； ②小于0的实数； ③(2 020,1)与(1,2 020)． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．0组答案 B解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合． 2．(多选)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B. 5 C.34 D ．－7 答案 BD解析 由题意知a 应为无理数．3．给出下列关系：①13∈R ；②7∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 13是实数，①正确；7是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.4．已知集合A 中的元素x 满足x －1<3，则下列各式正确的是( ) A ．3∈A 且－3∉A B ．－3∈A 且3∈A C ．3∉A 且－3∉A D ．3∉A 且－3∈A 答案 D解析 ∵3－1＝2>3，∴3∉A ， 又－3－1＝－4<3，∴－3∈A . 5．已知集合M 是由满足y ＝12x ⎝⎛⎭⎫其中x ∈N ＋，12x ∈Z 的实数y 组成的，则M 中含有的元素个数为( ) A ．4B ．6C．8 D．12答案 B解析由题意，可知y可取的值为1,2,3,4,6,12，共6个，故选B.6．用符号“∈”或“∉”填空：设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.答案∈∉解析矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.7．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．答案－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合中元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________. 答案 6解析∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a＝6.9．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．解(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2符合题意．故x＝－2.10．若集合A中含有a－2，a2＋4a,10三个元素，若－3∈A，求实数a的值．解由－3∈A得，a－2＝－3或a2＋4a＝－3.若a－2＝－3，解得a＝－1，此时a2＋4a＝1－4＝－3，集合A中的元素为－3，－3,10，不满足元素的互异性，所以a＝－1，舍去．若a2＋4a＝－3，解得a＝－3或a＝－1(舍去)．当a ＝－3时，a －2＝－5，此时集合A 中的元素为－5，－3,10，符合条件． 综上，a ＝－3.11．集合A 中只含有三个元素2,4,8，若a ∈A ，且8－a ∈A ，则a 为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．0答案 B解析 若a ＝2，则8－a ＝8－2＝6∉A ；若a ＝4，则8－a ＝8－4＝4∈A ；若a ＝8，则8－a ＝8－8＝0∉A ，故选B.12．(多选)已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．－1∈MB ．1∈MC ．2∈MD ．3∈M 答案 AD解析 ①当x ，y 均为正数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为3；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y |y |＋xy |xy |的值为－1；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为－1，所以集合M 的元素有－1,3.13．由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2 答案 C解析 由题意知a 2≠4,2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，结合选项知C 正确，故选C.14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________． 答案 1,2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A 中元素为0,1,2，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是1,2.15．已知集合M 有2个元素x ,2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________． ①2∈M ；②1∈M ；③x ≠3. 答案 ②解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，2－x ≠－1，x ≠2－x .解得x ≠－1，x ≠1且x ≠3，当x ＝2或2－x ＝2，即x ＝2或0时，M 中的元素为0,2，故①可能正确；当x ＝1或2－x ＝1，即x ＝1时，M 中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 16．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，根据上述条件求出实数a 的值． 解 ∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，a ＝－3.。
苏教版(2019)必修第一册 1-1 集合的概念与表示 课件(37张)
这个集合中就确定了.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.任何两个
相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.
（3）无序性：集合中的元素无先后顺序之分.
些对象的全体，而非个别对象.
【示例】中国古代四大发明组成一个集合，那么集合的元素就是造纸术、指南针、火药、印刷术.
二十一世纪中国有新四大发明：高铁、移动支付、共享单车和网购.这四大发明就组成了一个集合.
即时巩固
［多选题］下列所给对象能构成集合的是（AD）
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.《高中数学必修第一册》课本上的所有难题
两个集合相等，记作A＝B.
【提示】（1）两个集合相等时，其元素个数一定相等.
（2）当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相同.
如：集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等.
（3）两个集合是否相等，不能只看形式.
如：不等式0<x<1的解集与不等式 0<y<1的解集是两个相等的集合.
三、集合的表示方法
，即
∈{
}.
2.常用数集及其记法（要牢记）
数学中一些常用的数集及其记法：
全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N；
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.
【提示】（1）N比N*（或N+）多一个元素0；（2）N*中*在右上角，N+中+在右下角.
高一数学必修1第一章课件：1.1.1集合的含义与表示 课件(36张)
(2)列举法和描述法
列举法
描述法
把集合的元一素一列举
用集合所含元素的
_____________出来，并用
共同特征
概念
_______________表示集合的
花括号“{ }”括起来表示集
方法
合的方法
一般
形式 {a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ ) (2)高一·二班“数学成绩好的同学”能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) (4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合．(√ )
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A
3.常用的数集及其记法
常用的 自然数 数集 集 记法 N
正整数集 N*或N＋
有理数
整数集
实数集
集
Z
QR
4.集合的表示法 (1)自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述 清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的， 不能叙述成“正方形”．
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝___4_____，b＝ __－__1____．
集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)新华中学高一年级全体学生； (2)我国的大河流； (3)不大于 3 的所有自然数；
(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于 1 的点．
(链接教材P3思考) [解] (1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标 准；(3)能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合．
第1章 集合、映射与关系
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案含解析第一册
1．1 集合1．1。
1集合及其表示方法内容标准学科素养1。
通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。
授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。
2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。
3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。
人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1。
1。
1 集合的含义与表示¤知识要点：1。
把一些元素组成的总体叫作集合(set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种:列举法，即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“｛ ｝”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3。
通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to )，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈,2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数。
解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.(2）用描述法表示为:{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B 。
解：由3217k +=,解得5k Z =∈，所以17A ∈;由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉;由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈。
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； (2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3)反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合。
应用数学基础(第一册) 1-1 集合
空集是任何非空集合的真子集.
例2 说出集合A={a, b, c}的所有子集和真子集.
解
集合A={a, b, c}的所有子集为:
⌀, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
其中除{a, b, cห้องสมุดไป่ตู้外都是真子集.
A∪B={ x | x∈A, 或 x∈B}.
例如, 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7}, 则
A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
图中的阴影部分即表示集合A与B的并集.
求并集的运算称为并运算.
例5 设A= {x | x+2=0}, B={ x | x2 −1=0}, 求 A∪B.
(2) 描述法:
将集合中的元素所具有的特定属性描述出来, 写在大括号内.
例如:
方程 x2−3x+2=0的解集用描述法可以表示为{x|x2−3x+2=0};
不等式 x−3 >0 的解集可以表示为{x|x>3};
抛物线 y=x2−2上所有的点(x, y)组成的集合可以表示为{(x, y)|y=x2−2};
{等腰三角形}∩{直角三角形}={等腰直角三角形}.
图中的阴影部分即表示集合A与B的交集.
求交集的运算称为交运算.
例3
设A= { x |0 < x <3}, B={ x | 1 ≤ x < 5}, 求A∩B.
解 由定义,
A∩B={ x |0 < x < 3}∩{ x |1 ≤ x <5}
={ x|1≤ x < 3}.
湘教版高中数学必修第一册第1章1-1-1第1课时集合与元素课件
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1． (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0， 满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0．
三个元素．]
5
题号
1
√
2
3
D [由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数．故选D．]
4
5
题号
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1___∈_____B(填“∈”或 1
“∉”)．
2
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B．]
3
4
5
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的 值为___－__1_或__－__4___．
√A．一切很大的数
√B．好心人
题号
√C．漂亮的小女孩
D．不小于3的自然数
1 2
ABC [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A，3
4
B，C中的元素均不能构成集合．故选ABC．]
5
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
题号
A．1
B．2
1
√C．3
D．4
2
3
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 4
[母题探究] 本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． [解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．
反思领悟 根据集合中元素的基本属性求值的3个步骤
[跟进训练] 3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x． (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值．
北师大版高中数学必修一第一章第一节集合的含义课件 (共15张PPT)
§1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
高中数学必修1
学习目标
1．通过实例理解集合的有关概念. 2．初步理解集合中元素的三个特性. 3．体会元素与集合的属于关系. 4．了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．
预习清单 集合与元素的概念
1.集合与元素的定义 一般地，我们把研究对象统称为 元素 ，把一些元素组成的总
提示：①“本班全体同学”构成一个集合，每一个同学都是集合中的 元素；
②“直线AB上所有点”构成一个集合，集合中的元素是：直线AB 上每一个点.
合作探究 探究点2 集合中元素的特征
【问题2】任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什 么特征？请思考下列问题：
1. 某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 不能
A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦
B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
课堂练习
2.判断正误： (1){(1,2)}={(2,1)}
(2){(1,2)，(2,1)}={(2,1)，(1,2)}
课堂练习
解析：由元素的互异性可知：
归纳小结
1. 集合的概念
确定性
2. 集合中元素的性质 互异性
知识点
无序性
3. 元素与集合的关系 a∈A aA
4. 常用的数集（N,Z,Q,R）
思想方法： 分类讨论思想
体叫做 集合 (简称集).
2.集合与元素的字母表示
通常用 大写拉丁字母A，B，C，…
表示集合，
用 小写拉丁字母a，b，c，…
表示集合中的元
素.
预习清单 集合与元素的概念
3.元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记
第1章-1.2-子集、全集、补集高中数学必修第一册苏教版
537
424
= {⋯ , , ,1, , , ,⋯ },易知集合A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在
集合A中，故 ⫋ .
2
1
4
（特征法） 集合A中的元素为 = + =
=
4
1
+
2
=
+2
4
2+1
(
4
∈ ),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
知识点4 有限集合的子集、真子集个数
例4-10 (2024·广东省深圳中学月考)若集合满足 ⫋ {1，2}，则的个数为( B
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，则的个数为
22 − 1 = 3．
)
例4-11 (2024·河南模拟)已知集合 = { ∈ | − 2 < < 3}，则集合的所有非空真
第1章 集合
1.2 子集、全集、补集
教材帮丨必备知识解读
知识点1 子集、真子集
例1-1 能正确表示集合 = { ∈ |0 ≤ ≤ 2}和集合 = { ∈ | 2 − = 0}关系的
Venn图为( B
A.
)
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
【解析】由2 − = 0得 = 1或 = 0，所以 = {0,1}，故 ⫋ .结合选项可知,B正确.
【解析】因为 2 − 5 + 6 = 0的两根为2,3，故A正确；
因为⌀ 是任何集合的子集，故B正确；
2022新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1-1集合的概念第1课时集合的含义课后提能训练新人教A
第一章 1.1 第1课时A级——基础过关练1．(多选)下列各组对象中能组成集合的是( )A．2020年足球世界杯参赛队伍B．中国文学四大名著C．著名的文学作家D．我国的直辖市【答案】ABD 【解析】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C著名的文学作家，怎样算著名，不能确定，不能组成集合．故选ABD．2．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A【答案】C 【解析】很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．故选C．3．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈M【答案】D 【解析】分类讨论：x，y，z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，所以4∈M.4．用“∈”或“∉”填空(1)－3________N; (2)3.14________Q；(3)________Z; (4)－________R；(5)1________N*; (6)0________N.【答案】(1) ∉ (2)∈ (3) ∉(4)∈ (5)∈ (6)∈5．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号).【答案】②④ 【解析】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q 表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．6．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.【答案】6 【解析】因为x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6.7．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上可得x＝1，y＝0.B级——能力提升练8．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，，b.若集合A与集合B相等，则b－a＝( )A．1B．－1C．2D．－2【答案】C 【解析】由题意可知a≠0，所以a＋b＝0，所以a＝－b，所以＝－1.所以a ＝－1，b＝1，故b－a＝2.9．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A．0∈M B．－1∈MC．3∉M D．1∈M【答案】B 【解析】当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．10．关于x的不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．【答案】a>3 【解析】因为3∉A，所以3是关于x的不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.11．已知集合M由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成，若2∈M，求x.解：当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，x＝－2或x＝1，经检验，x＝－2，x ＝1均不合题意；当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，x＝－3或x＝2，经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.C级——探究创新练12．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A．{1,2,3}B．{1,2}C．{0,1}D．{0,1,2}【答案】B 【解析】由题意，不妨设解得∴集合A＝{0,1,2}．则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B．。
高一数学 人教A版必修1 1-1 集合 课件
x≠3，
(2)①根据集合中元素的互异性，可知x≠x2－2x， 即 x2－2x≠3，
x≠0 且 x≠3 且 x≠－1. ②因为 x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A，所以 x＝
－2.当 x＝－2 时，x2－2x＝8，此时三个元素为 3，－2,8， 满足集合的三个特性．
探究3 集合中元素的特性与集合相等 例 3 已知集合 A 有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集 合 B 也有三个元素 0,1，x. (1)若－3∈A，求 a 的值； (2)若 x2∈B，求实数 x 的值； (3)是否存在实数 a，x，使 A＝B.
(2)∵6－6 x∈N，x∈N，∴6x≥－6 0x≥，0， 即6x≥－0x>，0， ∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5. 当 x 分别为 0,3,4,5 时，6－6 x相应的值分别为 1,2,3,6， 也是自然数，故填 0,3,4,5.
拓展提升 1.常用数集之间的关系
集实R数有数 Q 理集整分数数集集Z自负然整数数集集N正 {0}整数集N*
无理数集
2．判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判 断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是 由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断 该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明 确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪 些条件．
(3)显然 a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能 a－3 ＝0，或 2a－1＝0.
若 a－3＝0，则 a＝3，A 中三个元素分别为 0,5,10. 若 2a－1＝0，则 a＝12，A 中三个元素分别为 0，－52， 54.所以 A≠B. 故不存在这样的实数 a，x.
第一章 第一节 集 合
集合间的基本关系
讲练融通
(1)(2022·山东泰安二模)设全集 U＝R，则集合 M＝{0，1，2}和 N＝{x|x·(x －2)·log2x＝0}的关系可表示为( )
(2)(2022·吉安期中)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋ 1≤x≤2m－1}，则使 B⊆A 成立的实数 m 的取值范围是________．
3．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若 3－m∈A，n＋1∈A，则非 零实数 m＋n 的可能取值构成的集合是________．
答案：{2} 解析：因为 3－m∈A，所以 3－m＝1 或 3－m＝2 或 3－m＝3， 解得 m＝2 或 m＝1 或 m＝0， 因为 n＋1∈A，所以 n＋1＝1 或 n＋1＝2 或 n＋1＝3， 解得 n＝0 或 n＝1 或 n＝2，又因为 B＝{1，m，n}，所以mn＝＝02， 或mn＝＝20，， 即 m＋n＝2.
把 y＝ 3 x＋4 代入 x2＋y2＝4，得 x2＋2 3 x＋3＝0，解得 x＝－ 3 ，有唯
一解，故集合 A∩B 中元素的个数为 1.
2．已知集合 A＝{x∈N|1<x<log2k}，集合 A 中至少有 3 个元素，则( ) A．k≥16 B．k>16 C．k≥8 D．k>8 B 解析：由集合 A 中至少有 3 个元素，得 log2k>4，解得 k>16，故选 B.
练4 已知集合 M＝{x|0<x<5}，N＝{x|m<x<6}．若 M∩N＝{x|3<x<n}，则 m
＋n 等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
B 解析：因为 M∩N＝{x|0<x<5}∩{x|m<x<6}＝{x|3<x<n}，所以 m＝3，n＝
2025年高考数学总复习优化设计一轮 第一章-第一节-集合【课件】
7 5 3 1 1
3 1 1 1 1 3
M={…,-4,-4,-4,-4 , 4,…},N={…,-4,-2,-4,0,4 , 2 , 4,…},则
的元素都是N的元素,反之不然,所以M⊆N,故选A.
M中
(2)(2024·福建漳州模拟)已知U是全集,集合A,B满足(∁UA)∩B=∁UA,则下列
重点涉及充分、必要条件的判断,试题难度取决于结合的知识的难度.
复习策略:
1.明晰重要概念:子集、真子集、交集、并集、补集、充分、必要条件
等概念是解题的基础,应明晰这些概念.
2.注意数学思想方法的合理运用:分类讨论、数形结合、等价转化等数
学思想方法在解题中应用广泛.
3.善于列举反例:涉及充分、必要条件以及命题真假的判断等问题,要善
7.(2023·新高考Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=( B )
2
A.2
B.1
C.
D.-1
3
解析 ∵A⊆B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然
A⊈B;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B成立.故选B.
A.( ,+∞)
2
5 10
B.( , ]
2 3
5 10
C.[ , )
2 3
10
D.(-∞, ]
3
解析 由题意可得,2 -2a+1<0 且 3
2
5
10
-3a+1≥0,解得2<a≤ 3 ,故选
2
B.
考点二集合间的基本关系
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
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数学
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3.集合的基本运算 集合的并集 符号 表示 图形 表示 {x| x∈A或 x∈B} A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U，则集 合A的补集为 ∁UA
意义
{x| x∈A 且x∈B}
∁UA＝{x| x∈U ， 且x∉A}
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2．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|1<x ≤3}， 则右图中阴影部分所表示的集合是 A．{x|－2≤x<1} C．{x|1<x≤2} B．{x|－2≤x≤2} D．{x|x<2} ( )
解析：题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N，集合M为 {x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}．由集合的运算，知 (∁UM)∩N＝{x|1<x≤2}． 答案：C
【例2】 <x≤2}．
已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－
⊆ (1)若A⊆B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围； (3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说 明理由．
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思路分析：(1)根据集合的基本关系，构造关于a的不 等式； (2)要注意讨论a的取值．
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由已知得 ＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1 或a＝－1，又根据集合中元素的互异性a＝1应舍去，因而 a＝－1，故a2010＋b2010＝(－1)2010＝1. 答案：1
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1 4 a>－2 若 A⊆B，则 ，解得 a<－8， －1≤2 a 综上，若 A⊆B，则 a<－8 或 a≥2.
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(2)由(1)知，当 a＝0 时，A＝R，满足 B⊆A； 1 1 －2≥－a ， 当 a>0 时，若 B⊆A，则 4 2≤ a 0<a 2. 解得 0<a≤2. 当 a<0 时，若 B⊆A， 1 4 ≤－ a 2 则 －1>2 a 1 ，解得－ <a<0. 2
1 综上，满足 B⊆A 的 a 的取值范围为{a|－ <a≤2}． 2
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(3)若 A＝B，由(1)知 a>0. 1 1 －a＝－2 由 ， 4＝2 a 解得 a＝2，即 a＝2 时满足 A＝B.
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解：(1)由 0<ax＋1≤5，得－1<ax≤4. 当 a＝0 时，A＝R，不满足 A⊆B； 1 4 当 a>0 时，A＝{x|－ <x≤ }； a a 1 1 －a≥－2 若 A⊆B，则 ，解得 a≥2. 4 ≤2 a 4 1 当 a<0 时，A＝{x| ≤x<－ }， a a
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【例3】
(2009·江西卷)已知全集U＝A∪B中有m个
元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的 元素个数为 A．mn C．n－m ( B．m＋n D．m－n )
思路分析：结合韦恩图可知，两个集合的交集的补集 等于两个集合补集的并集，可利用这个知识点直接解决本 题．
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从新课改两年各省份的高考信息统计可以看出，命题 呈现以下特点： 1．考查题型以选择题为主，有时也会出现填空题， 基本属于容易题、中档题． 2．重点考查集合间的关系与基本运算，充分条件和 必要条件的判断，命题及其关系以及全称命题、特称命题 的否定．特别是利用充要条件考查其他知识的掌握．
2．集合间的基本关系 表示 关系 相等 子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相 同 A中任意一元素均为B中的元素 符号语言 A⊆B且A⊇B ⇔A＝B A⊆B 或 B⊇A 或 Ø⊆A，Ø B(B≠Ø)
A中任意一元素均为B中的元素， 真子集 且B中至少有一元素不是A中的元 素 空集是任何集合的子集，是任何 空集 非空集合 的真子集
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1．集合的含义与表示 (1)一般地，我们把研究对象统称为 元素 ， 把 一 些 元素组成的总体叫做 集合 (简称为 集 )． (2)集合中的元素有三个性质：确定性 ， 互异性 ， 无序性． (3)集合中元素与集合的关系分为 属于 和 分别用 ∈ 和 ∉ 表示．
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3．预计在今后的高考中仍将在集合的运算，充分条 件与必要条件的判断处命题，同时，全称命题和特称命题， 命题及其关系的考查力度会逐渐加强．
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1．集合的概念与运算，主要从以下三个方面考查： 一是对集合基本概念的认识和理解水平，如集合的表示法、 元素与集合的关系、集合与集合的关系、集合的运算；二 是以集合为工具考查对集合语言和集合思想的应用水平， 在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能力及 应用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力；三是以集 合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力．因此，集 合的复习应抓好基本概念与运算的落实和对集合语言的识 读理解能力．
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考 纲 要 求
1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系； 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或 描述法)描述不同的具体问题； 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定 集合的子集； 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义； 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个 简单集合的并集与交集； 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会 求给定子集的补集； 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
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1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x< －1或x>4}，那么集合A∩(∁UB)等于 A．{x|－2≤x<4} C．{x|－2≤x<－1} 解析：∁UB＝{x|－1≤x≤4}， ∁ A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}． 答案：D B．{x|x≤3或x≥4} D．{x|－1≤x≤3} ( )
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2．掌握各种逻辑用语的含义、表示方法、用法及注 意事项，理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的含义，掌握四种命题的内在联系，熟练判断充要 条件．
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(3)若a2＋3a＋3＝1， 则a＝－1，或a＝－2， 由(1)(2)可知，a＝－1，a＝－2都不符合题意． 综上可知，实数a的值为0.
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①条件m∈A，若集合A是用列举法表示的，则m应 是集合A中的一个元素，若集合A是用描述法表示的，则m 应满足集合中的描述条件； ②解答过程体现了数学分类思想的灵活运用，分类应 注意：不重复、不遗漏、分类的标准一致.
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热 点 提 示
1.理解掌握集合的表示法，能够判断元素与集 合、集合与集合之间的关系，能够判断集合是否 相等．以考查集合的运算为主，掌握集合的交、 并、补的运算和性质，同时注意韦恩图(文氏图) 的考查，会用分类讨论和数形结合的思想研究集 合问题． 2．本节的考题以集合为载体考查函数的定义 域、值域、方程、不等式及曲线间相交等问题， 常以选择题和填空题的形式出现，属中档题，有 时也是一块创新的“试验田”．偶尔也会出现与 其他章节结合的解答题，但一般难度不大.
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不属于 两种，
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(4)几个常用集合的表示法.
数集 表示 法 自然数集 正整数集 N N*或 N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
(5)集合有三种表示法： 列举法 、 描述法 Venn图法．
、
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3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}， 则 ∁U(A∩B)等于 A．{2,3} C．{4,5} B．{1,4,5} D．{1,5} ( )
解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∩B＝{2,3}． 又∵U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}． 答案：B
∴B＝{0,2,4,6,8,9,10}．
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