数据结构 陈明 习题答案

习题二答案
1.如定理 2.1 所描述的，从盒子中往外取球，在 a-d 所给的答案中，哪一个是 i，j，k 对应的值。 第 2 页 共 40 页
数据结构_陈明_习题答案 a. Red，5，6 b. Blue，5，6 c. Blue，3，Red d. 6，5，Red (a) 2.假设 T1（N）= O（F（N） ） ，T2（N）= O（F（N） ） ，下列哪一个正确？a a. T1 (N)+ T2 (N) = O(F(N)) b. T1 (N)- T2 (N) = O(F(N)) c. T1 (N)/ T2 (N) = O(1) d. T1 (N) = O(T2 (N)) (a) 3.基于定理 2.2 的描述，为什么不能充分获得一个最大连续子序列之和的次平方运行时间？ 见定理 2 4.将下列各式组合成与 Big-Oh 相等的函数。 2 2 2 3 x ，x + x，x - x，x /( x – 1 ) 2 O(x ) 2 5.程序 A 和程序 B 经分析，有不超过 150NlogN 和 N 的最坏情况下的运行时间，如可能，分别回答下列各问 题： a. 当 N 值很大时（N > 10,000）,哪个程序对运行时间有保证？ A b. N 值较小（N < 1000）时，哪一个程序对运行时间有更好的保证？ B c. 在 N = 1，000 的平均情况下，哪个程序运行更好？ A d. 在所有可能的输入中，程序 B 总比程序 A 运行的快吗？ 当然不是。当 N 很大是程序 B 就没有程序 A 效果好 6.对于这些你用手工来计算的典型算法，确定其运行时间。 a. 两个 N 位整数相加 O（1） b. 两个 N 位整数相乘 O（n**2） c. 两个 N 位整数相除 0 (n**2) N 7.对于 N 个项来说，以下计算 X 的算法运行时间是多少？ double power（double x，int n） { double result = 1.0; for（int i = 0; i < n; i++） result *= x; return result; } 8.对于求最大子序列之和问题的平方算法而言，精确的确定语句最内部循环被执行多少次？ 参考答案： （1+N）*N/2 9.一个算法在输入规模为 100 时，花费 0.5ms 的时间，在下列情况下，输入规模为 500 时，它将花费多少 时间？（低次项不考虑） （单位全是 MS） a. 线性算法 （500/100）*0.5=2.5 b. O(NlogN) (500*log500)/(100*LOG100)*0.5=2.5*LOG5=5.0 c. 平方算法 500*500/(100*100)*0.5=12.5 d. 立方算法 500*500*500/（100*100*100）*0.5=62.5 10.一个算法在输入规模为 100 时，花费 0.5ms 的时间，在下列情况下，一分钟可以解决一个多大的问题？ （低次项不考虑） a. 线性算法 1*60*1000=（N/100）*0.5 N=6000000/0.5=12000000 b. O(NlogN) 1*60*1000=（N*LOGN）/（100*LOG100）*0.5 N*logN=24000000 N= 第 3 页 共 40 页
数据结构_陈明_习题答案 通过上面这个例子我们简单的阐述了数据结构与算法的关系，更深入的内涵还要读者在以后的学习中 自己慢慢地体会。 9 ． 设 有 数 据 逻 辑 结 构 为 B= （ K ， R ） ， K={k1 ， k2 ， …… ， k9} r={<k1,k3>,<k3,k8>,<k2,k3>,<k2,k4>,<k2,k5>,<k3,k9>,<k5,k6>,<k8,k9>,<k9,k7 >, <k4,k7>,<k4,k6>} 画出这个逻辑结构的图示，并确定相对于 r 哪些结点是开始结点，哪些结点是终端 结点？ 通过以后的学习我们会知道这是一个有向图，图中共有 9 个结点，其中开始结点有 2 个，分别为 K1 和 K2；终端结点有 2 个，分别为 K6 和 K7。 逻辑结构图表示如下：
k1
k2
k4
k3
k5
k6
k8
k9
k7
11．何谓算法？试详述算法设计的目的和算法必须满足的条件。 算法是对特定问题求解步骤的一种描述，实际上是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个 操作。我们知道，程序设计的第一步是为待处理的数据设计一种合理的数据结构（包括逻辑结构和物理结 构） ，这一步固然重要，但这不是我们的目的，设计数据结构的最终目的是为了在这个基础上编写算法进而 对其进行相关的操作（例如：遍历，查找，排序，插入，删除等） ，如果不去编写相应的算法那么设计数据 结构也就失去了它的意义，你所输入到计算机的数据永远都是“死数据”， 程序设计也就成了空谈！一句话： 设计数据结构的目的是为了对它们进行处理，而数据处理正是通过相应的算法实现的！ 总的来说，一个算法应具有以下 5 个重要特性：第一，有穷性：一个算法必须总是（对任何合法的输 入值）在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成；第二，确定性：算法中每条指令必须有 确切的含义，读者理解时不会产生二意性。并且，在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，即对相 同的输入只能得到相同的输出；第三，可行性：一个算法是能行的，即算法中描述的操作都是通过已经实 现的基本运算执行有限次来实现的；第四，输入：一个算法有零个或多个的输入，这些输入取自于某个特 定的对象的集合；第五，输出：一个算法有一个或多个的输出。这些输出是同输入有着某些特定关系的量。 13．编写一个算法，对三个两位数按由大到小的顺序进行排序，描述构造该算法的思维程。 算法如下： void order(short a, short b, short c) { short t; if (a<b){t=a; a=b; b=t;} if (a<c){t=a; a=c; c=t;} if (b<c){t=b; b=c; c=t;} printf(“%d %d %d\n”, a, b, c); } 算法对主函数传递过来的三个短整形变量（由于输入三个两位整数，所以定义短整形就足够了）两两 进行比较，如果前面的数小于后面的数的话则进行交换，交换的中间变量用 t 来存放，交换的最后结果是 三个变量由大到小排列，最后将结果打印输出。
数据结构_陈明_习题答案 c. 平方算法 1*60*1000=N*N/10000*0.5 N*N=1200000000 N=40000 d. 立方算法 1*60*1000=N*N*N/1000000*0.5 N*N*N=120000000000 N=5000 11.在一个案例中，有一个法官因鄙视而传唤一个城市中的市民并规定第一天的罚金为 2 美元，随后的每一 天递增，直到这个城市的市民听从法官的命令，罚金为平方次（按以下序列增长：$2，$4，$16，$256， $65536；……） 。 a. 在第 N 天罚金为多少？ 2*2**N b. 多少天罚金达到 D 美元（给 出一个 Big-Oh 结果）？ D=2*2**N D=2**（N+1） N=LOG2（D）-1 O（LOG（D） ） 12.证明定理 2.5。提示：给出 O（LOGN） 13.一个质数除了 1 和它本身外没有其它因子，完成以下工作： a. 写一个程序检验一个整数 N 是否为质数，当有 N 项时，你的程序在最坏情况下的运行时 间为多少？ O（SQRT（N） ） b. 使 B 等于 N 在二进制数的位数，B 的值为多少？ N=2**B-1 B=LOG2（N+1） c. 在 B 项中，你的程序在最坏情况下的运行时间是多少？ O（SQRT（LOGN） ） d. 通过比运行时间来确认一个 20 位和一个 40 位的数是否为质数。 如果运行时间长 20 位比 40 位还长则 20 位是质数 14.Eratosthenes 过滤法被用来计算所有小于 N 的质数， 以一个从 2 到 N 的整数表开始， 找出最小的整数 i， 打印 i，并去掉 i，2i，3i……，当 i>N 时，算法终止，运行时间为 O（NloglogN） ，写出一个程序来执行 Eratosthenes 过滤法，并证实所声明的运行时间，区别 O（N）和 O（NlogN）的运行时间有多困难？ 程序略 5 5 5 5 5 5 15.等式 A + B + C + D + E = F ，有一个满足 0 <= A <= B <= C <= D <= E <= F <= 75 的确切的整数解， 5 编写一个程序找出这个解。提示：预先算出 X 的所有值，并将它们存到数不清组中，对每个元组（A，B，C， D，E） ，你仅仅需要证实有哪些 F 存在于数组中（这里有几种方法对 F 进行检查，一个是二分搜索法，其他 的方法被证实更有效） 。 略 并得出一个相似的下限。
数据结构_陈明_习题答案
习题一案
1． 填空题 （1） 数据元素的有限集合，k 上关系的有限集合 （2） 顺序存储（连续） ，链式存储（不连续） （3） 有穷性，确定性，可行性，输入，输出 （4） 时间复杂度，空间复杂度 3．简述下列术语 （1） 数据——是信息的载体，它是描述客观事物的数、字符以及所有能输入到计算机中被计算机程序识 别、加工处理的信息的集合。 （2） 数据元素——是数据的基本单位 ，是对一个客观实体的数据描述。一个数据元素可以由一个或若 干个数据项组成。数据元素也被称为结点或记录。 （3） 数据对象——具有相同性质的数据元素的集合就是一个数据对象，它是数据的一个子集。 （4） 数据结构——数据结构就是数据之间的相互关系（即数据的组织形式）及在这些数据上定义的数据 运算方法的集合。 （5） 存储结构——数据的存储结构是数据的逻辑结构在计算机内部的表示或实现， 又称为数据的物理结 构，它包括数据元素的表示和关系的表示。 （6） 数据类型——是具有相同性质的计算机数据的集合及定义在这个数据集合上的一组操作的总称。 5．常用的存储表示方法有哪几种？ （1） 顺序存储方法——该方法是将逻辑上相邻的结点存储在物理位置上也相邻的存储单元里， 结点之间 的逻辑关系由存储单元的邻接关系来表示 （也就是说， 只存储结点的值， 不存储结点之间的关系） ， 这种存储表示称为顺序存储结构。 （2） 链式存储方法——链式存储方法不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上亦相邻， 结点间的关系由附 加的指针来表示，指针指向结点的邻接结点，这样将所有结点串联在一起，称为链式存储结构。 （3） 索引存储方法——索引存储是在存储结点信息的同时，再建立一个附加的索引表，然后利用索引表 中索引项的值来确定结点的实际存储单元地址。 （4） 散列存储方法——散列存储的基本思想是根据结点的关键字直接计算出结点的存储地址。 7．举例说明一下数据结构和算法的关系。 通过公式：程序=数据结构+算法 我们可以比较直观地看出二者的关系，即数据结构（包个完整的程 序括逻辑结构和存储结构）的设计和算法的编写是程序设计的两个关键步骤，一就是由一套合理的数据结 构和建立在该结构上的算法构成的。具体的说：在进行程序设计之前我们首先要为待处理的数据设计一个 合理的逻辑结构，进而为之设计一种适合的存储结构，因为光有逻辑结构是不够的，只有存储结构才是与 计算机语言直接相关的！有了这一套前期准备，我们才能在这个基础上设计算法，用一种计算机语言去处 理这些数据，最终达到程序设计的目的。当然，随着逻辑结构和存储结构的不同，我们设计的算法也会有 所差别，这在以后的学习中会体会到。下面通过一个简单的例子说明这种关系。 假设我们要设计一个两个 n 阶方阵相乘的程序：已知两个 n 阶方阵 A 和 B，我们要计算它们的乘积， 得到一个新的 n 阶方阵 C。那么在设计这个程序之前首先想到得就是设计一种逻辑结构表示方阵，这里我 们用二维数组表示它们，因为二维数组最能直观地表示这种结构；有了逻辑结构了自然还要为之设计一种 存储结构，这里我们选择顺序存储方法，因为 C 语言对这种存储结构给予了很好的支持，例如定义一个 n 阶实型的二维数组 A 只要用 float A[n][n]; 这条语句就可以了，C 语言在内存种为之分配了一个 n*n 长度的顺序存储空间（注意：C 语言默认二维数组是按行优先存储的） ，是不是很方便？有了这些准备，我 们就可以设计算法进行计算了，其算法如下： void matrixmult ( float A[n][n], float B[n][n], float C[n][n] ) { int i , j , k ; float x ; for ( i=0; i<n; i++ ) { for ( j=0; j<n; j++ ) { x=0; for ( k=0; k<n; k++ ) { x+=A[i][k]*B[k][j]; } C[i][j]=x; } } } 第 1 页 共 40 页