小学数学 《 排列组合》练习题(含答案)

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小学数学《排列组合》练习题(含答案)

小学数学《排列组合》练习题(含答案)

小学数学《排列组合》练习题(含答案)1、计算①4356C A -;②2265C A ÷。

解答:①4356C A -=5432⨯⨯⨯-654321⨯⨯⨯⨯=120-20=100。

②2265C A ÷5465321⨯=⨯÷=⨯ 2、某班要从30名同学中选出3名同学参加数学竞赛,有多少种选法?如果从30名同学中选出3名同学站成一排,又有多少种站法?解答: 参加竞赛的选法:330302928321C ⨯⨯⨯⨯==4060种 站成一排的站法:330A =30×29×28=24360种参加竞赛的选法有4060种,站成一排的站法有24360种3、7个不同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子只能放一个,一共有多少种情况? 解答:47A =7654⨯⨯⨯=840(种)一共有840种不同的情况。

4、7个相同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个,一共有多少种情况? 解答:1+1+1+0=3,1+2+0+0=3,3+0+0+0=3,分三种情况①选出一个盒子,不再放入球,其他三个盒子再各放入一个:14C ;②选出两个盒子,分别再放入一个球,两个球:24A③选出一个盒子,再放入三个球:14C总的放法:14C +24A +14C =20(种)5、从1,3,5,7,9中任取三个数字,从2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,一共可以组成多少个数?解答:第一步,从1,3,5,7,9中任取三个数字,这是一个组合问题,有35C 种方法; 第二步,从2、4、6、8中任取两个数字,也是一个组合问题,有24C 种方法;第三步,用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数,有55A 种方法。

再由分步计数原理求总的个数。

325545A 7200C C ⨯⨯=(个) 一共能组成7200个没有重复数字的五位数。

6、在6名女同学,5名男同学中选出4名女同学,3名男同学站成一排,有多少种排法? 解答:437657A C C ⨯⨯=765000(种)有765000种排法。

三年级数学排列组合练习题

三年级数学排列组合练习题

三年级数学排列组合练习题一、填空题:1. 有几种不同的排列方式可以用1、2、3这3个数字组成一个3位的整数?答案:6种2. 用数字1、2、3、4、5组成不重复的2位数,共有几种可能?答案:20种3. 用数字1、2、3、4、5可以组成多少个互不相同的3位数?答案:60个4. 用数字1、2、3、4组成不重复的2位数,共有几种可能?答案:12种5. 用数字1、2、3、4可以组成多少个不同的3位数?答案:24个二、选择题:1. 从数字1、2、3、4中任选两个数字,将其排列组成2位数,其中有几个数与原数字相同?a) 0个b) 1个d) 3个答案:a) 0个2. 用数字1、2、3、4组成3位数,其中有几个数的十位数字为3?a) 0个b) 1个c) 2个d) 3个答案:a) 0个3. 从数字1、2、3、4中任选三个数字,将其排列组成3位数,其中有几个数与原数字相同?a) 0个b) 1个c) 2个d) 3个答案:a) 0个4. 用数字1、2、3、4组成3位数,其中有几个数的百位数字为4?a) 0个c) 2个d) 3个答案:d) 3个5. 从数字1、2、3、4中任选两个数字,将其排列组成2位数,其中有几个数的十位数字为2?a) 0个b) 1个c) 2个d) 3个答案:c) 2个三、解答题:1. 用数字1、2、3、4、5组成一个5位数,要求千位数字为3,个位数字为1,其他位可以任意排列,共有多少种可能?解答:千位数字为3,个位数字为1已经确定,剩下的3位数字可以从剩下的3个数字中选取,即从2、4、5中任选两个数字。

根据排列组合的原理,共有C(3,2) = 3 种选择。

所以共有3种可能。

2. 用数字1、2、3、4、5组成一个5位数,要求个位数字为3,其他位可以任意排列,共有多少种可能?解答:个位数字已经确定为3,剩下的4位数字可以任意排列。

根据排列组合的原理,共有4! = 24 种可能。

3. 用数字1、2、3、4组成一个4位数,要求千位数字为3,其他位可以任意排列,共有多少种可能?解答:千位数字已经确定为3,剩下的3位数字可以任意排列。

(完整版)排列组合练习题3套(含答案)

(完整版)排列组合练习题3套(含答案)

(完整版)排列组合练习题3套(含答案)排列练习⼀、选择题1、将3个不同的⼩球放⼊4个盒⼦中,则不同放法种数有()A、81B、64C、12D、142、n∈N且n<55,则乘积(55-n)(56-n)……(69-n)等于()A、 B、 C、 D、3、⽤1,2,3,4四个数字可以组成数字不重复的⾃然数的个数()A、64B、60C、24D、2564、3张不同的电影票全部分给10个⼈,每⼈⾄多⼀张,则有不同分法的种数是()A、2160B、120C、240D、7205、要排⼀张有5个独唱和3个合唱的节⽬表,如果合唱节⽬不能排在第⼀个,并且合唱节⽬不能相邻,则不同排法的种数是()A、 B、 C、 D、6、5个⼈排成⼀排,其中甲、⼄两⼈⾄少有⼀⼈在两端的排法种数有()A、 B、 C、 D、7、⽤数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中⼩于50000的偶数有()A、24B、36C、46D、608、某班委会五⼈分⼯,分别担任正、副班长,学习委员,劳动委员,体育委员,其中甲不能担任正班长,⼄不能担任学习委员,则不同的分⼯⽅案的种数是()A、B、C、D、⼆、填空题1、(1)(4P84+2P85)÷(P86-P95)×0!=___________(2)若P2n3=10Pn3,则n=___________2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中,取出三个不同元素的排列为__________________________________________________________________3、4名男⽣,4名⼥⽣排成⼀排,⼥⽣不排两端,则有_________种不同排法4、有⼀⾓的⼈民币3张,5⾓的⼈民币1张,1元的⼈民币4张,⽤这些⼈民币可以组成_________种不同币值。

三、解答题1、⽤0,1,2,3,4,5这六个数字,组成没有重复数字的五位数,(1)在下列情况,各有多少个?①奇数②能被5整除③能被15整除④⽐35142⼩⑤⽐50000⼩且不是5的倍数2、7个⼈排成⼀排,在下列情况下,各有多少种不同排法?(1)甲排头(2)甲不排头,也不排尾(3)甲、⼄、丙三⼈必须在⼀起(4)甲、⼄之间有且只有两⼈(5)甲、⼄、丙三⼈两两不相邻(6)甲在⼄的左边(不⼀定相邻)(7)甲、⼄、丙三⼈按从⾼到矮,⾃左向右的顺序(8)甲不排头,⼄不排当中3、从2,3,4,7,9这五个数字任取3个,组成没有重复数字的三位数(1)这样的三位数⼀共有多少个?(2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少?(3)所有这些三位数的和是多少?排列与组合练习(1)⼀、填空题1、若,则n的值为()A、6B、7C、8D、92、某班有30名男⽣,20名⼥⽣,现要从中选出5⼈组成⼀个宣传⼩组,其中男、⼥学⽣均不少于2⼈的选法为()A、 B、 C、 D、3、空间有10个点,其中5点在同⼀平⾯上,其余没有4点共⾯,则10个点可以确定不同平⾯的个数是()A、206B、205C、111D、1104、6本不同的书分给甲、⼄、丙三⼈,每⼈两本,不同的分法种数是()A、 B、 C、 D、5、由5个1,2个2排成含7项的数列,则构成不同的数列的个数是()A、21B、25C、32D、426、设P1、P2…,P20是⽅程z20=1的20个复根在复平⾯上所对应的点,以这些点为顶点的直⾓三⾓形的个数为()A、360B、180C、90D、457、若,则k的取值范围是()A、[5,11]B、[4,11]C、[4,12]D、4,15]8、⼝袋⾥有4个不同的红球,6个不同的⽩球,每次取出4个球,取出⼀个线球记2分,取出⼀个⽩球记1分,则使总分不⼩于5分的取球⽅法种数是()A、 B、 C、 D、1、计算:(1)=_______(2)=_______2、把7个相同的⼩球放到10个不同的盒⼦中,每个盒⼦中放球不超1个,则有_______种不同放法。

排列组合经典练习(带答案)

排列组合经典练习(带答案)

排列与组合习题1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为() A.40B.50C.60D.70[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A.6个B.9个C.18个D.36个[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有() A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人[解析]设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()A.45种B.36种C.28种D.25种[解析]因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()A.24种B.36种C.38种D.108种[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33 B.34 C.35 D.36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A.72 B.96 C.108 D.144[解析]分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析]由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析]先将6名志愿者分为4组,共有C26C24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A 44种分法,故所有分配方案有:C 26·C 24A 22·A 44=1 080种. 13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (A )72 (B )96 (C ) 108 (D )144 解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A =24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A =12个算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个 答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。

(完整版)排列组合练习题与答案

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(完整版)排列组合练习题与答案排列组合习题精选⼀、纯排列与组合问题:1.从9⼈中选派2⼈参加某⼀活动,有多少种不同选法?2.从9⼈中选派2⼈参加⽂艺活动,1⼈下乡演出,1⼈在本地演出,有多少种不同选派⽅法?3. 现从男、⼥8名学⽣⼲部中选出2名男同学和1名⼥同学分别参加全校“资源”、“⽣态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的⽅案,那么男、⼥同学的⼈数是()A.男同学2⼈,⼥同学6⼈B.男同学3⼈,⼥同学5⼈C. 男同学5⼈,⼥同学3⼈D. 男同学6⼈,⼥同学2⼈4.⼀条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1),则客运车票增加了58种(从甲站到⼄站与⼄站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有()A.12个B.13个C.14个D.15个答案:1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男⽣n ⼈,则有2138390n n C C A -=。

4、2258m nm A A +-= 选C.⼆、相邻问题:1. A 、B 、C 、D 、E 五个⼈并排站成⼀列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法?2. 有8本不同的书,其中3本不同的科技书,2本不同的⽂艺书,3本不同的体育书,将这些书竖排在书架上,则科技书连在⼀起,⽂艺书也连在⼀起的不同排法种数为( )A.720B.1440C.2880D.3600答案:1.242448A A=(2) 选B 3253251440A A A=三、不相邻问题:1.要排⼀个有4个歌唱节⽬和3个舞蹈节⽬的演出节⽬单,任何两个舞蹈节⽬都不相邻,有多少种不同排法?2、1到7七个⾃然数组成⼀个没有重复数字的七位数,其中奇数不相邻的有多少个?3.4名男⽣和4名⼥⽣站成⼀排,若要求男⼥相间,则不同的排法数有()A.2880B.1152C.48D.1444.排成⼀排的8个空位上,坐3⼈,使每⼈两边都有空位,有多少种不同坐法?5.8张椅⼦放成⼀排,4⼈就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种?6. 排成⼀排的9个空位上,坐3⼈,使三处有连续⼆个空位,有多少种不同坐法?7. 排成⼀排的9个空位上,坐3⼈,使三处空位中有⼀处⼀个空位、有⼀处连续⼆个空位、有⼀处连续三个空位,有多少种不同坐法?8. 在⼀次⽂艺演出中,需给舞台上⽅安装⼀排彩灯共15只,以不同的点灯⽅式增加舞台效果,要求设计者按照每次点亮时,必须有6只灯是熄灭的,且相邻的灯不能同时熄灭,两端的灯必须点亮的要求进⾏设计,那么不同的点亮⽅式是()A.28种B.84种C.180种D.360种答案:1.43451440A A = (2)3434144A A = (3)选B 444421152A A = (4)3424A = (5)4245480A A =(6)333424AC = (7)3334144A A = (8)选A 6828C =四、定序问题:1. 有4名男⽣,3名⼥⽣。

排列组合经典练习(带答案)

排列组合经典练习(带答案)

排列与组合习题1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70[解析] 先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A.36种B.48种 C.72种D.96种[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )A.6个B.9个 C.18个D.36个[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A.2人或3人 B.3人或4人 C.3人 D.4人[解析] 设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n =6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )A.45种B.36种 C.28种D.25种[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )A.24种B.36种 C.38种D.108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A.72 B.96 C.108 D.144[解析] 分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )A.50种B.60种 C.120种D.210种[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析] 先将6名志愿者分为4组,共有C26C 24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A44种分法,故所有分配方案有:C26·C24A22·A44=1 080种.13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法 甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法 故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (A )72 (B )96 (C ) 108 (D )144 *s 5* o*m 解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法*s 5* o*m①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A =24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A =12个 算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。

排列组合习题_含详细答案)

排列组合习题_含详细答案)

圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1 (方法对比,二星)题面:(1)有5个插班生要分配给3所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法?(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法?解析:“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后,还有2个名额待分配,可将名额分给2所学校、1所学校,共两类:2133C C +(种)(法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,共:246C =(种)注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别)同类题一 题面:有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 答案:69C 详解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。

相邻名额之间形成9个空隙。

在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。

同类题二题面:求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

答案:36. 详解:将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36(个)。

2.题2 (插空法,三星)题面:某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种.答案:60,48同类题一题面:6男4女站成一排,任何2名女生都不相邻有多少种排法?答案:A66·A47种.详解:任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A66·A47种不同排法.同类题二题面:有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A.36种B.48种C.72种D.96种答案:C.详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.3.题3 (插空法,三星)题面:5个男生到一排12个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.1]没有坐人的7个位子先摆好,[2](法1——插空)每个男生占一个位子,插入7个位子所成的8个空当中,有:58A=6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好:55A;[2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉9个位置,当作5个排好的元素,共有6个空,剩下的3个元素往里插空,每个空可以插1个、2个、3个元素,共有:3216662C C C++种,综上:有55A(3216662C C C++)=6720种.同类题一题面:文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种?答案:30。

排列组合题集(含详细标准答案)

排列组合题集(含详细标准答案)

排列组合题集 一、解决排列、组合问题常用方法:两个原理、优限法、排除法、捆绑法(视一法) 等可能法、固定模型、树图法等,但最基础的是“两个原理” . 、排列、组合问题大体分以下几个类型 、插空法、隔板法、类型一:排队问题 例1: 7人站成一排,求满足下列条件的不同站法: (1)甲不站排头,乙不站排尾 ____________________ (2)甲、乙两人不站两端 _____ 甲、乙两人相邻 ______________________________ ( 4)甲、乙两人不相邻 _____ 甲、乙之间隔着 2人_________________________ (6)甲在乙的左边 ____________ 若7人顺序不变,再加入 3个人,要求保持原先 7人顺序不变 __________________若7人中有4男生,3女生,男、女生相间隔排列 _____________ 7人站成前后两排,前排 3人,后排4人的站法 ________________ 甲站中间 ______ ( 11)7人中现需改变3人所站位置,则不同排法若7人身高各不相同,则按照从高到低的站法_____________________ 甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底(3人身高不同)的站法 ______________ 若甲、乙两人去坐标号为 1,2, 3, 4,5,6, 7的七把椅子,要求每人两边都有空位的坐法 类型二:分组与分配问题 例2:将6本不同的书,若按如下方式来分,则不同分法种数有: (1 )平均分成3堆,每堆2本 _____________________ ( 2 )分给甲、乙、丙3人,每人2本___ 分成3堆,每堆本数分别是1, 2, 3, ________________ (4)分给甲1本,乙2本,丙3本_ 分给3人,1人1本,1人2本,1人3本 ______________________ 分给甲、乙、丙 3人,每人至少1本 _________________________ 若将6本不同书放到5个不同盒子里,有 ___________ 种不同放法 若将6本不同书放到5个不同盒子里,每个盒子至少1本,则有 若将6本不同书放到6个不同盒子里,恰有一个空盒子的方法_ I 若将6本书放到四个不同盒子中,每个盒子至少一本 _____________ 若将6本编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的不同的书放到编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6的6个不同盒子中, 要求有3本书的编号与盒子不一致的放法 _______________)将6名优秀指标分到4个不同的班中去,每班至少 从中得出注意问题:分清是否是平均分配,有无归属,如C 2 C 2本书按2, 2, 3来分有C 7斗丝A(3) (5) (7) (8) (9)(10) (12) (13)(14)(3) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)(12) 种分法。

小学数学《排列组合》练习题(含答案)

小学数学《排列组合》练习题(含答案)

小学数学《排列组合》练习题(含答案)小学数学《排列组合》练习题(含答案)加乘原理,排列组合是四年级一个重要的学习内容,在之前的学习中,我们已经对它们有所了解,对于加乘原理我们只需要记住:加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关!排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键:首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理;即排列组合的基石.其次注意两点:①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题?若能,再判断是属于排列问题还是组合问题?②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法,可使问题简化便于正确理解与把握.本讲主要巩固加强此部分知识,注重排列组合的综合应用.排列在实际生活中常遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法.就是排列问题.在排的过程中,不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地,从n个不同的元素中任取出m个(m≤n)元素,按照一定的顺序排成一列.叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.由排列的定义可以看出,两个排列相同,不仅要求这两个排列中的元素完全相同,而且各元素的先后顺序也一样.如果两个排列的元素不完全相同.或者各元素的排列顺序不完全一样,则这就是两个不同的排列.从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,我们把它记做mnp(m≤n),m(1)(2) (1)mnp n n n n m=---+共个数.其中!(1) (1)nnP n n n==?-??.【例1】4名男生和2名女生去照相,要求两各女生必须紧挨着站在正中间,有几种排法?分析:分两步进行,先安排两个女生有22P 种方法,4个男生站的位置有44P 种方法,共有2424P P ?=2×1×4×3×2×1=48(种),故有48种排法.【巩固】停车站划出一排12个停车位置,今有8辆不同的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,一共有多少种不同的停车方案? 分析:把4个空车位看成一个整体,(4个空车位看成一样的)与8辆车一块儿进行排列.99362880P =.【前铺】讲解此部分例题之前,请根据本班情况,将排列公式的计算练习一下!计算:(1)321414P P - ;(2)53633P P - 分析:(1)321414P P -=14×13×12-14×13=2002 ;(2)53633P P -=3×(6×5×4×3×2)-3×2×1=2154 .【例2】书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果同类书可以分开,一共有多少种排法?(只写出表达式,不用计算)分析:每种书内部任意排序,分别有44P ,55P ,33P 种排法,然后再排三种类型的顺序,有33P 种排法,整个过程分4步完成.44P ×55P ×33P ×33P =103680(种).如果同类书可以分开,就相当于4+5+3=12本书随意排,有1212P 种排法.【例3】用0,1,2,3,4可以组成多少个没重复数字的三位数?分析:(法1)在本题中要注意的是0不能为首位数字,因此,百位上的数字只能从1,2,3,4这四个数字中选择1个,有4种方法;十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列,有2 4P 种方法.由分步计数原理得,三位数的个数是:4×24P =48(个).(法2):从0,1,2,3,4中任选三个数字进行排列,再减去其中不合要求的,即首位是0.从0,1,2,3,4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ,其中首位是0的三位数有24P 个.三位数的个数是:35P -24P =5×4×3-4×3=60-12=48(个).不是简单的全排列,有一些其它的限制,这样要么全排列再剔出不合题意的情况,要么直接在排列的时候考虑这些限制因素.【前铺】(1)用1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位数? (2)用1,2,3,4,5可以组成多少个三位数?分析:(1)要组成三位数,自然与三个数字的排列顺序有关,所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题,可以组成35P =5×4×3=60种没有重复数字的三位数.(2)没有要求数字不能重复,所以不能直接用35P 来计算,分步考虑,用乘法原理可得:5×5×5=125(个).注意“重复”和“没有重复”的区别!【巩固】用数码0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数? 分析:小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数,可以分类计算.注意“0”是自然数,且不能作两位数、三位数的首项.11124444569P P P P +?+?=(个).很自然的知道需要根据位数分类考虑,而且首位非零的限制也需要考虑.【例4】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种?分析:先排独唱节目,四个节目随意排,有44P =24种排法;其次在独唱节目的首尾排合唱节目,有三个节目,两个位置,对应23P =6种排法;再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目,有3种排法,由乘法原理,一共有24×6×3=432种不同的编排方法.【例5】小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?(1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间. (4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边. (5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上. (6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排.分析:(1)775040P =(种).(2)只需排其余6个人站剩下的6个位置.66720P =(种).(3)先确定中间的位置站谁,冉排剩下的6个位置.2×66P =1440(种).(4)先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.552240P ?= (种).(5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,25552400P P ?=(种).(6)七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.775040P =(种).(7)可以分为两类情况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可.4×3×55P ×2=2880(种).排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列.【例6】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9.为确保打开保险柜,至少要试多少次?分析:四个数字之和为9的情况有:l+1+1+6=9;1+1+2+5=9;1+1+3+4=9;1+2+2+4=9;1+2+3+3=9;2+2+2+3=9,分别计算这6种情况.对于“l+1+1+6”这种情况,我们只需考虑6,其它1放那都一样;对于“1+1+2+5”这种情况,只需考虑2和5,其它同理,可得答案:12222144444456()P P P P P P +++++=次【巩固】有3所学校共订300份中国少年报,每所学校订了至少98份,至多102份.问:一共有多少种不同的订法?分析:可以分三种情况来考虑:(1)3所学校订的报纸数量互不相同,有98,100,102;99,100,101两种组合,每种组各有33P =6种不同的排列,此时有6×2=12种订法.(2)3所学校订的报纸数量有2所相同,有98,101,101;99,99,102两种组合,每种组各有3种不同的排列,此时有3×2=6种订法.(3)3所学校订的报纸数量都相同,只有100,100,100一种订法.由加法原理,不同的订法一共有12+6+l=19种.组合一般地,从n 个不同元素中取出m 个(m≤n )元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.由组合的定义可以看出,两个组合是否相同,只与这两个组合中的元素有关,而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时,它们才是不同的组合.从n 个不同元素中取出m 个元素(m ≤n )的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数.记作(1) (1)!m mn n n n m C m ?-??-+=个数这就是组合数公式.【例7】以右图中的8个点中的3个为顶点,共可以画出多少个不同的三角形?分析:从8个点中选3个点,一共有56种不同的选法.但是因为在一条直线上的3个点不能组成三角形,所以应去掉两条直线上不合要求的选法.5个点选3个的选法有10种.4个点选3个的选法有4种.所以一共可以画出56-(10+4)=42不同的三角形.【前铺】右图共有11条射线,那么图中有多少个锐角?分析:如图,最大的为锐角,它内部的各个角一定也是锐角,图中共有11条射线,任取两条作为角的两边便可确定一个锐角.因为角的两边不存在顺序关系,所以应该用组合.211C =55.几何题中的数个数问题往往可以采用这样的组合方法来解题.【前铺】讲解例题之前请根据本班情况先将组合公式计算练习一下!计算:(1)241655,,C C C ,(2)352777,,C C C分析:(1)26651521C ?==?,45543254321C ==,15551C == ;(2)3776535321C ??==?? ,57765432154321C == ,57765432154321C ==注意:从上发现规律m n mn n C C -=.【巩固】从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘,可以得到多少个不同的乘积?分析:由于3,5,7,11都是质数,因此所得乘积各不相同,因此只要求出不同的质数对的个数就可以了.24C =6.【巩固】一个口袋中有4个球,另一个口袋中有6个球,这些球颜色各不相同.从两个口袋中各取2个球,共有多少种不同结果?分析:分步考虑,224661590C C ?=?=(种).【例8】有13个队参加篮球比赛,比赛分两个组,第一组七个队,第二组六个队,各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问:共需比赛多少场?分析:分三部分考虑,第一组预赛、第二组顶赛和最后的决赛.第一组要赛:27C =21(场),第二组要赛:26C =15(场),决赛阶段要赛:24C =6(场),总场数:21+15+6=42(场).【拓展】一个盒子装有10个编号依次为1,2,3,…,10的球,从中摸出6个球,使它们的编号之和为奇数,则不同的摸法种数是多少?分析:10个编号中5奇5偶,要使6个球的编号之和为奇数,有以下三种情形:(1)5奇1偶,对奇数只有1种选择,对偶数有5种选择.由乘法原理,有1×5=5种选择; (2)3奇3偶,对奇数有35C =10种选择,对偶数也有35C =10种选择.由乘法原理,有10×10=100种选择;(3)1奇5偶,对奇数有5种选择,对偶数只有1种选择.由乘法原理,有5×1=5种选择.由加法原理,不同的摸法有:5+100+5=110种.【例9】某年级6个班的数学课,分配给甲、乙、丙三名数学老师任教,每人教两个班,分派的方法有多少种?分析:分三步进行:第一步,取两个班分配给甲,与先后顺序无关,是组合问题,有15种选法;第二步,从余下的4个班中选取两个班给6种选法;第三步,剩余的两个班给丙,有1种选法.根据乘法原理,一共有15×6×l=90种不同的分配方法.【拓展】从8名候选人中选出正、副班长各1人,再选出3名班委会成员.一共有多少种不同的选法?分析:先选正、副班长,分别有8种和7种选法.再从剩下的6人中选出3人,有36C =20种选法.由乘法原理,共有8×7×20=1120种不同的选法.【例10】工厂从100件产中任意抽出三件进行检查,问: (1)一共有多少种不同的抽法?(2)如果100件产品有2件次品,抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种? 、分析:从100件产品中抽出3件检查,与抽出3件产品的顺序无关,是一个组合问题. (1)不同的抽法数就是从100个元素中取3个元素的组合数.3100C =161700(种). (2)可分两步考虑,第一步:从2件次品中抽出一件次品的抽法有12C 种;第二步:从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有298C 种.再用分步计数原理求出总的抽法数,122989506C C ?=.(3)可以从反面考虑,从抽法总数3100C 中减去抽出的三件都是合格品的情况,便得到抽出的三件产品中至少有一件是次品的抽法总数.33100981617001520969604C C -=-=.【例11】从10名男生,8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下,分别有多少种选法?(1)恰有3名女生入选;(2)至少有两名女生入选;(3)某两名女生,某两名男生必须入选;(4)某两名女生,某两名男生不能同时入选;(5)某两名女生,某两名男生最多入选两人.分析:(1)恰有3名女生入选,说明男生有5人入选,应为:35 81014112C C ?=;(2)要求至少两名女生人选,那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求.运用包含与排除的方法,从所有可能的选法中减去不符合要求的情况:8871181010842753C C C C --?=.(3)4人必须入选,则从剩下的14人中再选出另外4人. 4141001C =.(4)从所有的选法818C 中减去这4个人同时入选的414C 种可能:818C -414C =42757.(5)分三类情况:4人无人入选,4人仅有1人入选,4人中有2人入选,共:8172614414414C C C C C +?+?=34749.【例12】用2个1,2个2,2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0,2个1,2个2可以组成多少个互不相同的六位数?分析:先考虑在6个数位上选2个数位放1,这两个1的顺序无所谓,故是组合问题有26C =15种选法;再从剩下的4个数位上选2个放2,有24C =6种选法;剩下的2个数位放3,只有1种选法.由乘法原理,这样的六位数有15×6×l=90个.在前一问的情况下组成的90个六位数中,首位是1、2、3的各30个.如果将3全部换成0,这30个首位是0的数将不是六位数,所以可以组成互不相同的六位数90—30=60个.【例13】从1,3,5,7,9中任取三个数字,从2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,一共可以组成多少个数?分析:整个过程可以分三步完成:第一步,从1,3,5,7,9中任取三个数字,这是一个组合问题,有35C 种方法;第二步,从2,4,6,8中任取两个数字,也是一个组合问题,有24C 种方法;第三步,用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数,有55P 种方法.再由分步计数原理求总的个数:35C ×24C ×55P =7200(个).附加题目【附1】小明的书架上原来有6本书,不重新排列,再放上3本书,可以有多少种不同的放法?分析:放第一本书时,有原来的6本书之间和两端的书的外侧共7个位置可以选择;放第二本书时,有已有的7本书之间和两端的书的外侧共8个位置可以选择.同样道理,放第三本书时,有9个位置可以选择.由乘法原理,一共可以有7×8×9=504种不同的放法.【附2】一栋12层楼房备有电梯,第二层至第六层电梯不停.在一楼有3人进了电梯,其中至少有一个要上12楼,则他们到各层的可能情况共有多少种?分析:每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下,有6种情况,那么三个人一共有6×6×6=216种情况,其中,都不到12楼的情况有5×5×5=125种.因此,至少有一人要上12楼的情况有216-125=91种.【附3】某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题,每道题满分为7分,给分时只能给出自然数l,2,3,…,7分.已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是36,而且任意二人各题得分不完全相同,那么请问参加竞赛的最多有多少人?分析:将36分解为不大于7的三个数的乘积,有1×6×6;3×3×4;2×3×6三种情况.考虑到因数的先后顺序,第一种情况,考虑1有三个位置可选择,其余位置放6,有3种顺序;第二种情况与第一种情况相似,有3种顺序;最后一种情况,有3×2×l=6种顺序.由加法原理,一共有12种顺序,所以参赛的最多有12人.【附4】某市的电视台有八个节目准备分两天播出,每天播出四个,其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出一场,体育比赛必须在第二天播出,那么一共有多少种不同的播放节目方案?分析:某动画片和某新闻播报在第一天播放,对于动画片而言,可以选择当天四个节目时段的任何一个时段,一共有4种选择,对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段,一共有3种选择,体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个,一共有4种选择.剩下的5个节目随意安排顺序,有55P=120种选择.由乘法原理,一共有4×3×4×120=5760种不同的播放节目方案.【附5】某旅社有导游9人,其中3人只会英语,2人只会日语,其余4个既会英语又会日语.现要从中选6人,其中3人做英语导游,另外3人做日语导游.则不同的选择方法有多少种?分析:此题若从“多面手”出发来做,不太简便,由于只会日语的人较少,所以针对只会日语的人讨论,分三类:(1)只会日语的2人都出场,则还需1个多面手做日语导游,有4种选择.从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游,有36C=20种,由乘法原理,有4×20=80种选择.(2)只会日语的2人中有1人出场,有2种选择.还需从多面手中选2人做日语导游,有24C=6种选择.剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游,有3 5C=10种选择.由乘法原理,有2×6×10=120种选择.(3)只会日语的人不出场,需从多面手中选3人做日语导游,有34C=4种选择.剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游,有34C=4种选择.由乘法原理,有4×4=16种选择.根据加法原理,不同的选择方法一共有80+120+16=216种.【附6】五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,贴错的可能情况共有多少个?分析:首先考虑哪三个瓶子贴错了,有35C 种可能,3个瓶子贴错后互相贴错标签又分成两种不同情况.所以共有35C ×2=20(种).此题容易出错的是三个出错的瓶子确定后,他们之间错误的可能情况数目,有的同学很容易忽略这一环节,而有的会不假思索的把它当作一个全排列,这都是不正确的.【附7】马路上有编号为1,2,3,…,l0的十只路灯,为节约用电又能看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但又不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法有多少种?分析:l0只灯关掉3只,实际上还亮7只灯,而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯,此题可以转化为在7只亮着的路灯之问的六个空档中插入三只熄灭的灯,有36C =20种插法.练习十二1.给出1,2,3,4四个数字,试求:(1)可组成多少个数字不重复的四位数? (2)可组成多少个数字不重复的自然数? (3)可组成多少个不超过四位的自然数?分析:(1)44P =4×3×2×1=24个数字不重复的四位数.(2)利用1,2,3,4可组成数字不重复的一位、两位、三位、四位自然数,分类考虑:12344444P P P P +++=64个.(3)此题数位上的数字允许重复,利用1,2,3,4可组成一位、两位、三位、四位自然数.进一步考虑,一位数有4个,两位数有4×4=16个,三位数有4×4×4=64个,四位数有4×4×4×4=256个.故共有4+16+64+256=340个.2.由四个不同的非0数字组成的所有四位数中,数字和等于12的共有多少个?分析:四个数字都不同而数字和为12的数字有1,2,3,6和1,2,4,5两种情况,对于每种情况,可以组成44P =24个不同的四位数.对于所以,共可以组成24+24=48个不同的四位数.3.桌子上有3张红卡片,2张黄卡片,和1张蓝卡片,如果将它们横着排成一排,同种颜色的卡片不分开,一共有多少种排法?分析:32133213P P P P =72种.4.在1~100中任意取出两个不同的数相加,其和是偶数的共有多少种不同的取法?分析:两个数的和是偶数,这两个数必然同是奇数或同是偶数,而取出的两个数与顺序无关,所以是组合问题;从50个偶数中取出2个,有250C =1225种取法;从50个奇数中取出2个,也有250C =l225种取法.根据加法原理,一共有1225+1225=2450种不同的取法.5.在一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?分析:(1)从口袋内的8个球中取出3个球,与顺序无关,是组合问题,其取法种数是56种.(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,其取法种数是21种.(3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,其取法种数是35种.6.在6名女同学,5名男同学中选出4名女同学,3名男同学站成一排,有多少种排法?分析:男女同学分别考虑,再整体排列.437657C C P ?? =756000(种).。

排列组合45题过关训练(含答案)(共9页)

排列组合45题过关训练(含答案)(共9页)

排列组合综合(zōnghé)练习班级(bānjí):____________姓名:____________学号:____________1、三个同学(tóng xué)必须从四种不同的选修课中选一种自己想学的课程,共有种不同的选法。

2、8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有种。

3、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_________种。

4、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有。

5、有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第一名(仅一人)得2本,其它每人一本,则共有种不同的奖法。

6、有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师必须在一起的排法共有种。

7、有8本不同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本,若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有____________种。

8、五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机不靠在一起,有种陈列方法。

9、有6名同学站成一排:甲、乙、丙不相邻有种不同的排法。

10、五个人排成一排,要求甲、乙不相邻,且甲、丙也不相邻的不同排法的种数是11、6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。

12、4名男生和3名女生(nǚshēng)排成一排,要求男女相间的排法有种。

13、有4男4女排成一排,要求(yāoqiú)女的互不相邻(xiānɡ lín)有种排法;要求男女相间有种排法。

14、一排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有种。

15、三个人坐在一排7个座位上,若3个人中间没有空位,有种坐法。

若4个空位中恰有3个空位连在一起,有种坐法。

小学六年级下册数学《排列组合》习题及答案

小学六年级下册数学《排列组合》习题及答案

排列组合(一)1、用0、1、2、3、4五个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的三位数?答:可以组成48个,用排列组合的方法计算即可:百位数不能为0,所以可以选择的数字只有4位,即C4取1=4十位数除了不能用百位数出现的数字以外都可以,即C4取1=4个位数除了十位数和百位数出现的数字以外都可以,即C3取1=3可以实现的组合有:4*4*3=482、幼儿园里的6个小朋友去坐3个不同的椅子,有多少种坐法?6×5×4=120(种)答:有120种坐法.答:一共120种坐法,先从6名同学中抽出3个不排序,是20种然后吧选出来来得3人进行排列,是6种两个步骤方法数相乘就是120种3、某信号兵用红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面,用它们挂在旗杆上作信号(顺序不同时表示的信号也不同),总共可以作出多少种不同的信号?答:3×2×1=6,一共6种信号。

最上面位置可以从3种颜色中选1种,中间位置可以从剩余2种颜色中选1种,下面位置只能从剩余1种颜色种选1种,就是3×2×1=6种。

4、有4个同学去拍照,照相时,必须有一名同学为其他3人拍照,一共有多少种拍照形式?(照相时3人站成一排)根据分析可知:4×3×2×1=24(种),答:共有24种拍照情况.故答案为:24.5、北京到天津的铁路线有10个车站,需要准备多少种不同的车票?方法一:车站1到2,3,4,5,6,7,8,9,10有9种,车站2到3,4,5,6,7,8,9,10有8种,一次类推,车站9到10 有1种。

一共有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,如果有反程有45*2=90种,方法二:9╳10,10为10个站,9为每个站可以有9个目的地。

6、一次乒乓球比赛,最后有6名选手进入决赛,如果赛前写出冠亚军名单,一共可以写出多少种?冠亚军名单一共有30种可能。

设6名选手分别为A、B、C、D、E、F。

排列组合习题_(含详细答案)

排列组合习题_(含详细答案)

圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1 (方法对比,二星)题面:(1)有5个插班生要分配给3所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法 解析:“名额无差别”——相同元素问题(法1)每所学校各分一个名额后,还有2个名额待分配,可将名额分给2所学校、1所学校,共两类:2133C C +(种)(法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,共:246C =(种) 注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别)同类题一 题面:有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案答案:69C详解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。

相邻名额之间形成9个空隙。

在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。

同类题二题面:求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

答案:36. 详解:将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36(个)。

2.题2 (插空法,三星)题面:某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种. 答案:60,48同类题一题面:6男4女站成一排,任何2名女生都不相邻有多少种排法答案:A 66·A 47种.详解: 任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A 66·A 47种不同排法.同类题二 题面:有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A .36种B .48种C .72种D .96种答案:C.详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A 24=72种排法,故选C.3.题3 (插空法,三星)题面:5个男生到一排12个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.1]没有坐人的7个位子先摆好,[2](法1——插空)每个男生占一个位子,插入7个位子所成的8个空当中,有:58A =6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好:55A; [2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉9个位置,当作5个排好的元素,共有6个空,剩下的3个元素往里插空,每个空可以插1个、2个、3个元素, 共有:3216662C C C++种,综上:有55A (3216662C C C ++)=6720种.同类题一题面:文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种答案:30。

小学数学五年级《排列组合》练习题(含答案)

小学数学五年级《排列组合》练习题(含答案)

《排列组合》练习题(含答案)内容概述加乘原理,排列组合是四年级一个重要的学习内容,在之前的学习中,我们已经对它们有所了解,对于加乘原理我们只需要记住:加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关!排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键:首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理;即排列组合的基石.其次注意两点:①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题?若能,再判断是属于排列问题还是组合问题?②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法,可使问题简化便于正确理解与把握.本讲主要巩固加强此部分知识,注重排列组合的综合应用. 排 列在实际生活中常遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法.就是排列问题.在排的过程中,不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地,从n 个不同的元素中任取出m 个(m ≤n )元素,按照一定的顺序排成一列.叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.由排列的定义可以看出,两个排列相同,不仅要求这两个排列中的元素完全相同,而且各元素的先后顺序也一样.如果两个排列的元素不完全相同.或者各元素的排列顺序不完全一样,则这就是两个不同的排列.从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,我们把它记做(m ≤n ),.其中.【例1】 4名男生和2名女生去照相,要求两各女生必须紧挨着站在正中间,有几种排法?分析:分两步进行,先安排两个女生有22P 种方法,4个男生站的位置有44P 种方法,共有2424P P ⨯=2×1×4×3×2×1=48(种),故有48种排法.【巩固】停车站划出一排12个停车位置,今有8辆不同的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,一共有多少种不同的停车方案?m np m (1)(2) (1)m n p n n n n m =---+14444244443共个数!(1) (1)n n P n n n ==⨯-⨯⨯分析:把4个空车位看成一个整体,(4个空车位看成一样的)与8辆车一块儿进行排列..【前铺】讲解此部分例题之前,请根据本班情况,将排列公式的计算练习一下!计算:(1)321414P P - ; (2)53633P P - 分析:(1)321414P P -=14×13×12-14×13=2002 ; (2)53633P P -=3×(6×5×4×3×2)-3×2×1=2154 .【例2】 书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果同类书可以分开,一共有多少种排法?(只写出表达式,不用计算)分析:每种书内部任意排序,分别有44P ,55P ,33P 种排法,然后再排三种类型的顺序,有33P 种排法,整个过程分4步完成.44P ×55P ×33P ×33P =103680(种).如果同类书可以分开,就相当于4+5+3=12本书随意排,有1212P 种排法.【例3】 用0,1,2,3,4可以组成多少个没重复数字的三位数?分析:(法1)在本题中要注意的是0不能为首位数字,因此,百位上的数字只能从1,2,3,4这四个数字中选择1个,有4种方法;十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列,有24P 种方法.由分步计数原理得,三位数的个数是:4×24P =48(个). (法2):从0,1,2,3,4中任选三个数字进行排列,再减去其中不合要求的,即首位是0.从0,1,2,3,4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ,其中首位是0的三位数有24P 个.三位数的个数是:35P -24P =5×4×3-4×3=60-12=48(个).不是简单的全排列,有一些其它的限制,这样要么全排列再剔出不合题意的情况,要么直接在排列的时候考虑这些限制因素.【前铺】(1)用1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位数? (2)用1,2,3,4,5可以组成多少个三位数? 分析:(1)要组成三位数,自然与三个数字的排列顺序有关,所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题,可以组成=5×4×3=60种没有重复数字的三位数.(2)没有要求数字不能重复,所以不能直接用来计算,分步考虑,用乘法原理可得:599362880P =35P 35P×5×5=125(个).注意“重复”和“没有重复”的区别!【巩固】用数码0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数? 分析:小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数,可以分类计算.注意“0”是自然数,且不能作两位数、三位数的首项.11124444569P P P P +⨯+⨯=(个).很自然的知道需要根据位数分类考虑,而且首位非零的限制也需要考虑.【例4】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种?分析:先排独唱节目,四个节目随意排,有=24种排法;其次在独唱节目的首尾排合唱节目,有三个节目,两个位置,对应=6种排法;再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目,有3种排法,由乘法原理,一共有24×6×3=432种不同的编排方法.【例5】 小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法? (1)七个人排成一排;(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间. (4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边. (5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上. (6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排.分析:(1)775040P =(种).(2)只需排其余6个人站剩下的6个位置.66720P =(种).(3)先确定中间的位置站谁,冉排剩下的6个位置.2×66P =1440(种).(4)先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.552240P ⨯= (种).(5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,25552400P P ⨯=(种).(6)七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.775040P =(种).(7)可以分为两类情况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可.4×3×55P ×2=2880(种).排队问题,44P 23P一般先考虑特殊情况再去全排列.【例6】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9.为确保打开保险柜,至少要试多少次?分析:四个数字之和为9的情况有:l+1+1+6=9;1+1+2+5=9;1+1+3+4=9;1+2+2+4=9;1+2+3+3=9;2+2+2+3=9,分别计算这6种情况.对于“l+1+1+6”这种情况,我们只需考虑6,其它1放那都一样;对于“1+1+2+5”这种情况,只需考虑2和5,其它同理,可得答案:12222144444456()P P P P P P +++++=次【巩固】有3所学校共订300份中国少年报,每所学校订了至少98份,至多102份.问:一共有多少种不同的订法?分析:可以分三种情况来考虑:(1)3所学校订的报纸数量互不相同,有98,100,102;99,100,101两种组合,每种组各有=6种不同的排列,此时有6×2=12种订法.(2)3所学校订的报纸数量有2所相同,有98,101,101;99,99,102两种组合,每种组各有3种不同的排列,此时有3×2=6种订法.(3)3所学校订的报纸数量都相同,只有100,100,100一种订法. 由加法原理,不同的订法一共有12+6+l=19种.组 合一般地,从n 个不同元素中取出m 个(m≤n )元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.由组合的定义可以看出,两个组合是否相同,只与这两个组合中的元素有关,而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时,它们才是不同的组合.从n 个不同元素中取出m 个元素(m ≤n )的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数.记作(1)...(1)!m mn n n n m C m ⨯-⨯⨯-+=64444744448个数这就是组合数公式.【例7】 以右图中的8个点中的3个为顶点,共可以画出多少个不同的三角形?分析:从8个点中选3个点,一共有56种不同的选法.但是因为在一条直线上的3个点不能组成三角形,所以应去掉两条直线上不合要求的选法.5个点选3个的选法有10种.4个点选3个的选法有4种.所以一共可以画出56-(10+4)=42不同的三角形.【前铺】右图共有11条射线,那么图中有多少个锐角?33P分析:如图,最大的为锐角,它内部的各个角一定也是锐角,图中共有11条射线,任取两条作为角的两边便可确定一个锐角.因为角的两边不存在顺序关系,所以应该用组合.211C =55.几何题中的数个数问题往往可以采用这样的组合方法来解题.【前铺】讲解例题之前请根据本班情况先将组合公式计算练习一下! 计算:(1)241655,,C C C ,(2)352777,,C C C分析:(1)26651521C ⨯==⨯,45543254321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯,15551C == ; (2)3776535321C ⨯⨯==⨯⨯ ,57765432154321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯ ,57765432154321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯注意:从上发现规律m n mn n C C -=.【巩固】从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘,可以得到多少个不同的乘积?分析:由于3,5,7,11都是质数,因此所得乘积各不相同,因此只要求出不同的质数对的个数就可以了.24C =6.【巩固】一个口袋中有4个球,另一个口袋中有6个球,这些球颜色各不相同.从两个口袋中各取2个球,共有多少种不同结果?分析:分步考虑,224661590C C ⨯=⨯=(种).【例8】 有13个队参加篮球比赛,比赛分两个组,第一组七个队,第二组六个队,各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问:共需比赛多少场?分析:分三部分考虑,第一组预赛、第二组顶赛和最后的决赛.第一组要赛:=21(场),第二组要赛:=15(场),决赛阶段要赛:=6(场),总场数:21+15+6=42(场).【拓展】一个盒子装有10个编号依次为1,2,3,…,10的球,从中摸出6个球,使它们的编号之和为奇数,则不同的摸法种数是多少?分析:10个编号中5奇5偶,要使6个球的编号之和为奇数,有以下三种情形:(1)5奇1偶,对奇数只有1种选择,对偶数有5种选择.由乘法原理,有1×5=5种选择; (2)3奇3偶,对奇数有35C =10种选择,对偶数也有35C =10种选择.由乘法原理,有10×10=100种选择;(3)1奇5偶,对奇数有5种选择,对偶数只有1种选择.由乘法原理,有5×1=5种选择. 由加法原理,不同的摸法有:5+100+5=110种.27C 26C 24C【例9】某年级6个班的数学课,分配给甲、乙、丙三名数学老师任教,每人教两个班,分派的方法有多少种?分析:分三步进行:第一步,取两个班分配给甲,与先后顺序无关,是组合问题,有15种选法;第二步,从余下的4个班中选取两个班给6种选法;第三步,剩余的两个班给丙,有1种选法.根据乘法原理,一共有15×6×l=90种不同的分配方法.【拓展】从8名候选人中选出正、副班长各1人,再选出3名班委会成员.一共有多少种不同的选法?分析:先选正、副班长,分别有8种和7种选法.再从剩下的6人中选出3人,有36C=20种选法.由乘法原理,共有8×7×20=1120种不同的选法.【例10】工厂从100件产中任意抽出三件进行检查,问:(1)一共有多少种不同的抽法?(2)如果100件产品有2件次品,抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种? 、分析:从100件产品中抽出3件检查,与抽出3件产品的顺序无关,是一个组合问题.(1)不同的抽法数就是从100个元素中取3个元素的组合数.3100C=161700(种).(2)可分两步考虑,第一步:从2件次品中抽出一件次品的抽法有12C种;第二步:从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有298C种.再用分步计数原理求出总的抽法数,12 2989506C C⨯=.(3)可以从反面考虑,从抽法总数3100C中减去抽出的三件都是合格品的情况,便得到抽出的三件产品中至少有一件是次品的抽法总数.33100981617001520969604C C-=-=.【例11】从10名男生,8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下,分别有多少种选法?(1)恰有3名女生入选;(2)至少有两名女生入选;(3)某两名女生,某两名男生必须入选;(4)某两名女生,某两名男生不能同时入选;(5)某两名女生,某两名男生最多入选两人.分析:(1)恰有3名女生入选,说明男生有5人入选,应为:3581014112C C⨯=;(2)要求至少两名女生人选,那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求.运用包含与排除的方法,从所有可能的选法中减去不符合要求的情况:8871 181010842753C C C C--⨯=.(3)4人必须入选,则从剩下的14人中再选出另外4人. 4141001C =.(4)从所有的选法818C 中减去这4个人同时入选的414C 种可能:818C -414C =42757.(5)分三类情况:4人无人入选,4人仅有1人入选,4人中有2人入选,共:8172614414414C C C C C +⨯+⨯=34749.【例12】 用2个1,2个2,2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0,2个1,2个2可以组成多少个互不相同的六位数?分析:先考虑在6个数位上选2个数位放1,这两个1的顺序无所谓,故是组合问题有26C =15种选法;再从剩下的4个数位上选2个放2,有24C =6种选法;剩下的2个数位放3,只有1种选法.由乘法原理,这样的六位数有15×6×l=90个. 在前一问的情况下组成的90个六位数中,首位是1、2、3的各30个.如果将3全部换成0,这30个首位是0的数将不是六位数,所以可以组成互不相同的六位数90—30=60个.【例13】 从1,3,5,7,9中任取三个数字,从2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,一共可以组成多少个数?分析:整个过程可以分三步完成:第一步,从1,3,5,7,9中任取三个数字,这是一个组合问题,有35C 种方法; 第二步,从2,4,6,8中任取两个数字,也是一个组合问题,有24C 种方法; 第三步,用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数,有55P 种方法. 再由分步计数原理求总的个数:35C ×24C ×55P =7200(个).附加题目【附1】小明的书架上原来有6本书,不重新排列,再放上3本书,可以有多少种不同的放法?分析:放第一本书时,有原来的6本书之间和两端的书的外侧共7个位置可以选择;放第二本书时,有已有的7本书之间和两端的书的外侧共8个位置可以选择.同样道理,放第三本书时,有9个位置可以选择.由乘法原理,一共可以有7×8×9=504种不同的放法.【附2】一栋12层楼房备有电梯,第二层至第六层电梯不停.在一楼有3人进了电梯,其中至少有一个要上12楼,则他们到各层的可能情况共有多少种?分析:每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下,有6种情况,那么三个人一共有6×6×6=216种情况,其中,都不到12楼的情况有5×5×5=125种.因此,至少有一人要上12楼的情况有216-125=91种.【附3】某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题,每道题满分为7分,给分时只能给出自然数l ,2,3,…,7分.已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是36,而且任意二人各题得分不完全相同,那么请问参加竞赛的最多有多少人?分析:将36分解为不大于7的三个数的乘积,有1×6×6;3×3×4;2×3×6三种情况.考虑到因数的先后顺序,第一种情况,考虑1有三个位置可选择,其余位置放6,有3种顺序;第二种情况与第一种情况相似,有3种顺序;最后一种情况,有3×2×l=6种顺序.由加法原理,一共有12种顺序,所以参赛的最多有12人.【附4】某市的电视台有八个节目准备分两天播出,每天播出四个,其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出一场,体育比赛必须在第二天播出,那么一共有多少种不同的播放节目方案?分析:某动画片和某新闻播报在第一天播放,对于动画片而言,可以选择当天四个节目时段的任何一个时段,一共有4种选择,对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段,一共有3种选择,体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个,一共有4种选择.剩下的5个节目随意安排顺序,有=120种选择.由乘法原理,一共有4×3×4×120=5760种不同的播放节目方案.【附5】某旅社有导游9人,其中3人只会英语,2人只会日语,其余4个既会英语又会日语.现要从中选6人,其中3人做英语导游,另外3人做日语导游.则不同的选择方法有多少种?分析:此题若从“多面手”出发来做,不太简便,由于只会日语的人较少,所以针对只会日语的人讨论,分三类:(1)只会日语的2人都出场,则还需1个多面手做日语导游,有4种选择.从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游,有36C =20种,由乘法原理,有4×20=80种选择.(2)只会日语的2人中有1人出场,有2种选择.还需从多面手中选2人做日语导游,有24C =6种选择.剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游,有35C =10种选择.由乘法原理,有2×6×10=120种选择.(3)只会日语的人不出场,需从多面手中选3人做日语导游,有34C =4种选择.剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游,有34C =4种选择.由乘法原理,有4×4=1655P种选择.根据加法原理,不同的选择方法一共有80+120+16=216种.【附6】五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,贴错的可能情况共有多少个? 分析:首先考虑哪三个瓶子贴错了,有35C 种可能,3个瓶子贴错后互相贴错标签又分成两种不同情况.所以共有35C ×2=20(种).此题容易出错的是三个出错的瓶子确定后,他们之间错误的可能情况数目,有的同学很容易忽略这一环节,而有的会不假思索的把它当作一个全排列,这都是不正确的.【附7】马路上有编号为1,2,3,…,l0的十只路灯,为节约用电又能看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但又不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法有多少种?分析:l0只灯关掉3只,实际上还亮7只灯,而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯,此题可以转化为在7只亮着的路灯之问的六个空档中插入三只熄灭的灯,有36C =20种插法.练习十二1.给出1,2,3,4四个数字,试求:(1)可组成多少个数字不重复的四位数? (2)可组成多少个数字不重复的自然数? (3)可组成多少个不超过四位的自然数?分析:(1)44P =4×3×2×1=24个数字不重复的四位数.(2)利用1,2,3,4可组成数字不重复的一位、两位、三位、四位自然数,分类考虑:12344444P P P P +++=64个.(3)此题数位上的数字允许重复,利用1,2,3,4可组成一位、两位、三位、四位自然数.进一步考虑,一位数有4个,两位数有4×4=16个,三位数有4×4×4=64个,四位数有4×4×4×4=256个.故共有4+16+64+256=340个.2.由四个不同的非0数字组成的所有四位数中,数字和等于12的共有多少个?分析:四个数字都不同而数字和为12的数字有1,2,3,6和1,2,4,5两种情况,对于每种情况,可以组成=24个不同的四位数.对于所以,共可以组成24+24=48个不同的四位数.3.桌子上有3张红卡片,2张黄卡片,和1张蓝卡片,如果将它们横着排成一排,同种颜色的卡片不分开,一共有多少种排法?分析:32133213P P P P ⨯⨯⨯=72种.4.在1~100中任意取出两个不同的数相加,其和是偶数的共有多少种不同的取法?44P分析:两个数的和是偶数,这两个数必然同是奇数或同是偶数,而取出的两个数与顺序无关,所以是组合问题;从50个偶数中取出2个,有250C =1225种取法;从50个奇数中取出2个,也有250C =l225种取法.根据加法原理,一共有1225+1225=2450种不同的取法. 5.在一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?分析:(1)从口袋内的8个球中取出3个球,与顺序无关,是组合问题,其取法种数是56种. (2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,其取法种数是21种.(3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,其取法种数是35种.6.在6名女同学,5名男同学中选出4名女同学,3名男同学站成一排,有多少种排法?分析:男女同学分别考虑,再整体排列.437657C C P ⨯⨯ =756000(种).。

排列组合题目精选(附答案)

排列组合题目精选(附答案)

1、,,,,A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有()A、60种B、48种C、36种D、24种2、七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种4、将四封信投入5个信箱,共有多少种方法?5、12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()6、6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()A、36种B、120种C、720种D、1440种7、8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?8、7人排成一排照相,若要求甲、乙、丙三人不相邻,有多少种不同的排法?9、10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?10、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?11、由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种B、300种C、464种D、600种12、从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?13、从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?14、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有()A、140种B、80种C、70种D、35种15、9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要选出4人进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?16、以正方体的顶点为顶点的四面体共有()A、70种B、64种C、58种D、52种17、四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()A、150种B、147种C、144种D、141种18、5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?19、设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?20、三边长均为整数,最长边为8 的三角形有多少个?21、由1,2,3,4,5,6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数?22、7个节目,甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现,有多少种排法?23、5名运动员争夺3个项目的冠军(没有并列),所以可能的结果有多少种?24、有3个男生,3个女生,排成一列,高矮互不相等。

排列组合测试题(含答案)

排列组合测试题(含答案)

排例组合专题训练1. 将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有A .81 B .64 C .12 D .142.5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有A .33AB .334AC .523533A A A -D .2311323233A A A A A +3.,,,,a b c d e 共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a 不能当副组长,不同的选法总数是 A.20 B .16 C .10 D .64.现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是A .男生2人女生6人B .男生3人女生5人C .男生5人女生3人D .男生6人女生2人.5.在82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是A.7 B .7- C .28 D .28- 6.5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是 A.120 B .120- C .100D .100-7.22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是A .180B .90C .45D .3608.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 A .60个 B .48个 C .36个 D . 24个9.3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是A .1260B .120C .240D .72010.n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于A .5569nn A -- B .1569n A - C .1555n A - D .1469n A -11.从不同号码的5双鞋中任取4只,其中恰好有1双的取法种数为A .120B .240C .280D .6012.把10)x -把二项式定理展开,展开式的第8项的系数是A .135B .135-C .-D .13.2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 的系数是224,则21x 的系数是A.14 B .28C .56 D .11214.不共面的四个定点到面α的距离都相等,这样的面α共有几个A .3 B .4 C .6 D .715.4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法. 16.在220(1)x -展开式中,如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等,则r = ,4r T = .17.在1,2,3,...,9的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样的四位数有_________________个.18.用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x = .19.n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果?20.已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.21.2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中的3x 的系数是___________22.{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.23.8张椅子排成,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种?_______ 24.50.991的近似值(精确到0.001)是多少?25.7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头:(2)甲不排头,也不排尾: (3)甲、乙、丙三人必须在一起: (4)甲、乙之间有且只有两人: (5)甲、乙、丙三人两两不相邻: (6)甲在乙的左边(不一定相邻):(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序: (8)甲不排头,乙不排当中:26.已知5025001250(2),a a x a x a x =++++L 其中01250,,,a a a a L 是常数,计算220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++L L15、8640 16、1530204,C x -17、840 18、2 19、n220、 23 21、15 22、105 23、480 24、0.95625.解:(1)甲固定不动,其余有66720A =,即共有66720A =种;(2)甲有中间5个位置供选择,有15A ,其余有66720A =,即共有16563600A A =种;(3)先排甲、乙、丙三人,有33A ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当于5人的全排列,即55A ,则共有5353720A A =种;(4)从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间,有25A ,甲、乙可以交换有22A ,把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于4人的全排列,则共有224524960A A A =种;(5)先排甲、乙、丙之外的四人,有44A ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排这五个空位,有35A ,则共有34541440A A =种;(6)不考虑限制条件有77A ,甲在乙的左边(不一定相邻),占总数的一半,即77125202A =种; (7)先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有47A ,留下三个空位,甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即47840A = (8)不考虑限制条件有77A ,而甲排头有66A ,乙排当中有66A ,这样重复了甲排头,乙排当中55A 一次,即76576523720A A A -+=6.解:设50()(2)f x =,令1x =,得5001250(2a a a a ++++=L令1x =-,得5001250(2a a a a -+-+=L220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++=L L50500125001250()()(2(21a a a a a a a a ++++-+-+==L L4.已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式的二项式系数的和大128,求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数量小的项.5.(2)n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128,则求展开式中二项式系数最大项。

排列组合练习题及答案.

排列组合练习题及答案.

排列组合练习题及答案.第一篇:排列组合练习题及答案.《排列组合》一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?2.从9人中选派 2人参加文艺活动, 1人下乡演出, 1人在本地演出, 有多少种不同选派方法?3.现从男、女 8名学生干部中选出 2名男同学和 1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90种不同的方案,那么男、女同学的人数是A.男同学 2人,女同学 6人B.男同学 3人,女同学 5人C.男同学 5人,女同学 3人D.男同学 6人,女同学 2人4.一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1,则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票,那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个 5.用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字,(1可以组成多少个数字不重复的三位数?(2可以组成多少个数字允许重复的三位数?(3可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数?(4可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?(5可以组成多少个大于3000,小于 5421的数字不重复的四位数?二、注意附加条件1.6人排成一列(1甲乙必须站两端,有多少种不同排法?(2甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法?2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数?3.由数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来, 第 379个数是A.3761B.4175C.5132D.6157 4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1, 2,…, 10,11的 11个球中取 5个,使这 5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球,且它们的编号之和为奇数,其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从 6双不同颜色的手套中任取 4只,其中恰好有 1双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种7.用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列起来,第 71个数是。

排列组合练习题___(含答案)

排列组合练习题___(含答案)

排列组合练习题1、三个同学必须从四种不同的选修课中选一种自己想学的课程,共有种不同的选法。

2、8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有种。

3、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_________种。

4、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有。

5、有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第一名(仅一人)得2本,其它每人一本,则共有种不同的奖法。

6、有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师必须在一起的排法共有种。

7、有8本不同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本,若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有____________种。

8、五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机不靠在一起,有种陈列方法。

9、有6名同学站成一排:甲、乙、丙不相邻有种不同的排法。

10、五个人排成一排,要求甲、乙不相邻,且甲、丙也不相邻的不同排法的种数是11、6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。

12、4名男生和3名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。

13、有4男4女排成一排,要求女的互不相邻有种排法;要求男女相间有种排法。

14、一排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有种。

15、三个人坐在一排7个座位上,若3个人中间没有空位,有种坐法。

若4个空位中恰有3个空位连在一起,有种坐法。

16、由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数,其中2、3必须排在一起,4、5不能排在一起,则不同的5位数共有个。

17、有4名学生和3位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老师顺序固定不变,那么不同的排法有种。

18、从6名短跑运动员中选4人参加4 100米的接力赛,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有种参赛方案。

小学六年级下册数学《排列组合》习题及答案

小学六年级下册数学《排列组合》习题及答案

排列组合(一)1、用0、1、2、3、4五个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的三位数?答:可以组成48个,用排列组合的方法计算即可:百位数不能为0,所以可以选择的数字只有4位,即C4取1=4十位数除了不能用百位数出现的数字以外都可以,即C4取1=4个位数除了十位数和百位数出现的数字以外都可以,即C3取1=3可以实现的组合有:4*4*3=482、幼儿园里的6个小朋友去坐3个不同的椅子,有多少种坐法?6×5×4=120(种)答:有120种坐法.答:一共120种坐法,先从6名同学中抽出3个不排序,是20种然后吧选出来来得3人进行排列,是6种两个步骤方法数相乘就是120种3、某信号兵用红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面,用它们挂在旗杆上作信号(顺序不同时表示的信号也不同),总共可以作出多少种不同的信号?答:3×2×1=6,一共6种信号。

最上面位置可以从3种颜色中选1种,中间位置可以从剩余2种颜色中选1种,下面位置只能从剩余1种颜色种选1种,就是3×2×1=6种。

4、有4个同学去拍照,照相时,必须有一名同学为其他3人拍照,一共有多少种拍照形式?(照相时3人站成一排)根据分析可知:4×3×2×1=24(种),答:共有24种拍照情况.故答案为:24.5、北京到天津的铁路线有10个车站,需要准备多少种不同的车票?方法一:车站1到2,3,4,5,6,7,8,9,10有9种,车站2到3,4,5,6,7,8,9,10有8种,一次类推,车站9到10 有1种。

一共有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,如果有反程有45*2=90种,方法二:9╳10,10为10个站,9为每个站可以有9个目的地。

6、一次乒乓球比赛,最后有6名选手进入决赛,如果赛前写出冠亚军名单,一共可以写出多少种?冠亚军名单一共有30种可能。

设6名选手分别为A、B、C、D、E、F。

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小学数学《排列组合》练习题(含答案)
例1 由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数?
分析注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类,所以要一类一类地考虑,再由加法原理解决.
第一类:一位偶数只有0、2,共2个;
第二类:两位偶数,它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则十位可有C13种取法;若个位取2,则十位有C12种取法.故两位偶数共有(C13+C12)种不同的取法;
第三类:三位偶数,它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则十位和百位共有P23种取法;若个位取2,则十位和百位只能在0、1、3中取,百位有2种取法,十位也有2种取法,由乘法原理,个位为2的三位偶数有2×2个,三位偶数共有(P23+2×2)个;
第四类:四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取 0,则共有P33个;若个位取 2,则其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2种取法,百位和十位在剩下的两个数中取,再排成一列,有P22种取法.由乘法原理,个位为2的四位偶数有2×P22个.所以,四位偶数共有(P33+2×P22)种不同的取法.
解:由加法原理知,共可以组成
2+(C13+C12)+(P23+2×2)+(P33+2×P22)
=2+5+10+10
=27
个不同的偶数.
补充说明:本题也可以将所有偶数分为两类,即个位为0和个位为2的两类.再考虑到每一类中分别有一位、两位、三位、四位数,逐类讨论便可求解.
例2 国家举行足球赛,共15个队参加.比赛时,先分成两个组,第一组8个队,第二组7个队.各组都进行单循环赛(即每个队要同本组的其他各队比赛一场).然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛,决出冠亚军.问:①共需比赛多少场?②如果实行主客场制(即A、B两个队比赛时,既要在A队所在的城市比赛一场,也要在B队所在的城市比赛一场),共需比赛多少场?
分析比赛的所有场次包括三类:第一组中比赛的场次,第二组中比赛的场次,决赛时比赛的场次.
①中,第一组中8个队,每两队比赛一场,所以共比赛C28场;第二组中7个队,每两队比赛一场,所以共比赛C27场;决赛中4个队,每两队比赛一场,所以共比赛C24场.
②中,由于是实行主客场制,每两个队之间要比赛两场,比赛场次是①中的2倍.
另外,还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关,而且与比赛所在的城市(即与顺序)有关.所以,第一组共比赛P28场,第二组共比赛P27场,决赛时共比赛P24场.
解:由加法原理:
①实行单循环赛共比赛
②实行主客场制,共需比赛
2×(C28+C27+C24)=110(场).
或解为:
P28+P27+P24
=8×7+7×6+4×3
=56+42+12
=110(场).
例3在一个半圆周上共有12个点,如右图,以这些点为顶点,可以画出多少个
①三角形?
②四边形?
分析①我们知道,不在同一直线上的三个点确定一个三角形,由图可见,半圆弧上的每三个点均不共线(由于A、B既可看成半圆上的点,又可看成线段上的点,为不重复计算,可
把它们归在线段上),所以,所有的三角形应有三类:第一类,三角形的三个顶点全在半圆弧上取(不含A、B两点);第二类,三角形的两个顶点取在半圆弧上(不包含A、B),另一个顶点在线段上取(含A、B);第三类,三角形的一个顶点在半圆弧上取,另外两点在线段上取.
注意到三角形的个数只与三个顶点的取法有关,而与选取三点的顺序无关,所以,这是组合问题.
解:三个顶点都在半圆弧上的三角形共有
两个顶点在半圆弧上,一个顶点在线段上的三角形共有
一个顶点在半圆弧上,两个顶点在线段上的三角形共有
由加法原理,这12个点共可以组成
C37+(C27×C15)+(C17×C25)
=35+105+70=210(个)
不同的三角形.
也可列式为C312-C35=220—10=210(个).
分析②用解①的方法考虑.
将组成四边形时取点的情况分为三类:
第一类:四个点全在圆弧上取.(不包括A、B)有C17种取法.
第二类:两个点取自圆弧.两个点取自直线AB.有取法C27×C25种.
第三类:圆弧上取3个点,直线上取1个点,有C37×C15种取法.
解:依加法原理,这12个点共可组成:
C47+ C27×C25+C37×C15
=35+210+175=420
个不同的四边形.
还可直接计算,这12个点共可组成:
C412-C45-C35·C17=495-5-70=420
个不同的四边形.
例4 如下图,问
①下左图中,有多少个长方形(包括正方形)?
②下右图中,有多少个长方体(包括正方体)?
分析①由于长方形是由两组分别平行的线段构成的,因此只要看上左图中水平方向的所有平行线中,可以选出几组两条平行线,竖直方向上的所有平行线中,可以选出几组两条平行线?
②由于长方体是由三组分别平行的平面组成的.因此,只要看上页右图中,平行于长方体上面的所有平面中,可以选出几组两个互相平行的平面,平行于长方体右面的所有平面中,可以选出几组两个互相平行的两个平面,平行于长方体前面的所有平面中,可以选出几组两个互相平行的平面.
解:①C25×C27=210(个)
因此,上页左图中共有210个长方形.
②C25×C26×C24=900(个)
因此,上页右图中共有900个长方体.
例5 甲、乙、丙、丁4人各有一个作业本混放在一起,4人每人随便拿了一本,问:
①甲拿到自己作业本的拿法有多少种?
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种?
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种?
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种?
分析①甲拿到自己的作业本,这时只要考虑剩下的三个人拿到其他三本作业本的情况.由于其他三人可以拿到自己的作业本,也可以不拿到自己的作业本.所以,共有P33种情况.
②恰有一人拿到自己的作业本.这时,一人拿到了自己的作业本,而其他三人都没能拿到自己的作业本.拿到自己作业本的可以是甲、乙、丙、丁中的一人,共4种情况.另外三人全拿错了作业本的拿法有2种.故恰有一人拿到自己作业本的情况有4×2种情况.
③至少有一人没有拿到自己的作业本.这时只要在所有拿法中减去四人全拿到自己作业本的拿法即可.由于4人拿作业本的所有拿法是P44,而4人全拿到自己作业本只有1种情况.所以,至少有一人没拿到自己作业本的拿法有P44-1种情况.
④谁也没拿到自己的作业本.可分步考虑(假设四个人一个一个地拿作业本,考虑四人都拿错的情况即可).第一个拿作业本的人除自己的作业本外有3种拿法.被他拿走作业本的人也有3种拿法.这时,剩下的两人只能从剩下的两本中拿,要每人都拿错,只有一种拿法.所以,由乘法原理,共有3×3×1种不同的情况.
解:①甲拿到自己作业本的拿法有
P33=3×2×1= 6
种情况;
②恰有一人拿到自己作业本的拿法有
4×2=8
种情况;
③至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有
P44-1=4×3×2×1-1=23
种情况;
④谁也没有拿到自己作业本的拿法有
3×3×1=9
种情况.
由前面的各例题可以看到,有关排列组合的问题多种多样,思考问题的方法灵活多变,入手的角度也是多方面的.所以,除掌握有关的原理和结论,还必须学习灵活多样的分析问题、解决问题的方法.
习题五
1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个
①三位数?②没有重复数字的三位数?
③没有重复数字的三位偶数?④小于1000的自然数?
2.从15名同学中选5人参加数学竞赛,求分别满足下列条件的选法各有多少种?
①某两人必须入选;
②某两人中至少有一人入选;
③某三人中恰入选一人;
④某三人不能同时都入选.
3.如右图,两条相交直线上共有9个点,问:
一共可以组成多少个不同的三角形?
4.如下图,计算
①下左图中有多少个梯形?
②下右图中有多少个长方体?
5.七个同学照相,分别求出在下列条件下有多少种站法?
①七个人排成一排;
②七个人排成一排,某两人必须有一人站在中间;
③七个人排成一排,某两人必须站在两头;
④七个人排成一排,某两人不能站在两头;
⑤七个人排成两排,前排三人,后排四人,某两人不在同一排.
习题五解答
1.①100;②48;③30;④124.
2.①C313=286;②C515-C513=1716;
③C13·C412=1485;④C515-C212=2937.
3.C15·C23+C26·C13=60;或C39-C36-C34=60.
4.①C26×C26=225;②C25×C26×C25=1500.
5.①P77=5040;②2P66=1440;
③2P55=240;④5×4×P55=2400;
⑤2×3×4×P55=2880.。

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