函数图像的意义
函数及其图象函数的图像平面直角坐标系
旋转变换是指将图形绕原点进行旋转，这种变换不改变图形的大小和形状。旋转变换可以 用矩阵表示，其中矩阵的元素表示旋转的角度和方向。
二维坐标系及其应用
二维坐标系定义
在平面上，通过两个相互垂直的坐标轴， 可以确定平面上任意一点的位置。这种由 两个相互垂直的坐标轴组成的坐标系称为 二维坐标系。
VS
THANKS
3
函数可以用数学表达式、图像或表格等方式来 表示。
函数的性质
函数具有单值性， 即对于每个输入值 ，只有一个输出值 与之对应。
函数的性质还包括 奇偶性、单调性、 周期性等。
函数还具有封闭性 ，即函数的输出值 与输入值的关系不 受外界干扰。
函数的分类
根据函数的定义域和值域的关系，函数可以分为单射函数、 满射函数和双射函数。
确定需要考察的函数表达式，例如y = x^2 + 2x + 1。
连接点
用平滑的曲线连接这些点。
选择x值
选择一系列x值，例如x = -5, -4, -3, ..., 5 。
描点
在平面直角坐标系上，以(x, y)的形式描出 每一个点。
计算y值
将每个x值代入函数表达式，计算对应的y 值。
插值法绘制函数图像
01
02
输入函数表达式
在绘图软件中输入需要绘制的函数表 达式。
03
设定x值范围
设定x值的范围，例如x = -5 to 5。
调整图像参数
可以调整图像的颜色、线型、坐标轴 范围等参数，以更好地展示函数的特 点。
05
04
绘制图像
使用绘图软件的相应功能，绘制函数 图像。
04
函数图像的分析与应用
函数的极值与最值
正弦函数的意义和作用
正弦函数的意义和作用摘要：1.正弦函数的定义和基本概念2.正弦函数的图像和性质3.正弦函数在实际应用中的作用4.总结正文：正弦函数是三角函数中的一个重要组成部分，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
本文将从正弦函数的定义、性质以及实际应用三个方面进行阐述。
首先，我们来了解正弦函数的定义和基本概念。
正弦函数y = sin(x)是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x = 0处取到最小值-1，在x = π/2处取到最大值1。
此外，正弦函数还具有奇函数的性质，即sin(-x) = -sin(x)。
其次，正弦函数的图像和性质对其在实际应用中的作用具有重要意义。
正弦函数的图像反映了波动现象，如声音、光线等的传播。
通过对正弦函数图像的研究，我们可以更好地理解波动的特性，如频率、振幅等。
同时，正弦函数的奇函数性质使其在求解一些物理问题时具有简化计算的优势。
正弦函数在实际应用中的作用主要体现在以下几个方面：1.描述波动现象：正弦函数可以用来表示声音、光线、电磁波等波动现象，有助于分析波动的传播规律、频率、振幅等参数。
2.计算几何：正弦函数在计算几何中具有广泛应用，如求解三角形面积、角度等。
3.电路分析：在电路分析中，正弦函数用于描述电压、电流等参数，有助于分析电路的稳定性、频率响应等。
4.数值计算：正弦函数在数值计算领域具有重要作用，如求解微分方程、积分等。
最后，通过对正弦函数的学习，我们可以更好地理解其在数学、物理、工程等领域的应用价值。
掌握正弦函数的定义、性质以及实际应用，有助于我们解决实际问题，提高科学计算能力。
总之，正弦函数作为三角函数的基础部分，在数学和自然科学领域具有重要地位。
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数的图像和变换
函数的图像和变换函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学函数的图像和变换中，我们将探讨不同类型的函数以及它们在平面直角坐标系中的图像和变换。
一、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，它的表达式可以写为y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率方向和倾斜程度，常数b决定了直线与y 轴的交点。
2. 幂函数：幂函数是由形如y=x^n的表达式定义的函数，其中n为常数。
当n为正数时，幂函数的图像呈现递增或递减的曲线，曲线的陡峭程度取决于n的大小。
当n为负数时，曲线则在x轴正方向和y轴正方向之间交替。
3. 指数函数：指数函数由形如y=a^x的表达式定义，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像是一条通过点(0,1)的递增曲线，沿着x轴正方向迅速上升。
4. 对数函数：对数函数是指满足y=log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增曲线，曲线的陡峭程度由底数a的大小决定。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数的图像是关于坐标轴对称的波动曲线。
二、函数的图像变换函数的图像可以通过一系列变换实现形状、位置或大小的改变。
以下是常见的函数图像变换：1. 平移：通过在函数表达式中加上常数c，可以使得函数图像沿着x轴或y轴平移。
例如，对于线性函数y=x+1，如果我们在函数表达式中加上常数1，则函数图像整体上移1个单位。
2. 反转：通过对函数表达式中的x或y取相反数，可以使函数图像在x轴或y轴方向上发生反转。
例如，对于线性函数y=x，如果我们将函数表达式中的x替换为-x，则函数图像将在y轴上对称。
3. 缩放：通过在函数表达式中乘以常数d，可以实现函数图像的缩放。
如果d大于1，则函数图像会在坐标轴方向上拉伸；如果d介于0和1之间，则会在坐标轴方向上收缩。
什么是函数图象
【读音】han shu函数图象的起源及意义函数”名称的由来在中国清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《代数学》一书中首次用中文把"function"翻译为"函数"，此译名沿用至今。
对为什么这样翻译这个概念，书中解释说"凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数"；显然，在李善兰的这个定义中的含义就是"凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.这样，在中国"函数"是指公式里含有变量的意思。
函数观念古代早已有之，而函数概念则是由17世纪德国著名数学家莱布尼茨提出的。
起初，人们研究函数，只是对着函数解析式反反复复地算来算去。
后来，法国著名数学家笛卡儿引入了平面直角坐标系，该坐标系由两个数轴组成。
两个数轴互相垂直，原点重合，单位长度相等。
习惯上把铅直的数轴称为y 轴，水平的数轴称为x轴，y轴的上方为正方向，x轴的右方为正方向。
从此，平面上的每一个点都可以用平面直角坐标系的坐标表示。
直角坐标系引入后，人们发现，直角坐标系用有序数对表示点，而有序数对中的两个数恰恰可以用函数中的两个变量表示。
此后，人们就知道，函数可以通过坐标系转化成图形，从而直观地研究。
数和形是数学的两大根基，以前毫不相干，正是坐标系的出现，把作为“数”的函数转化为作为“形”的图象，从此数学发展更蓬勃。
令数有了几何意义，是很多高等数学的思想。
“函数”名称的由来编辑本段函数图象的定义对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x取何值，都同时确定了一个点，由于x的取值范围是无穷大，同样y也有无穷个，表示的点也就有无穷个。
这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。
编辑本段函数图象的形状对于一个函数y=f(x)，由x得到y并表示一个点，那么这无数个点在平面上是不是毫无规律呢？答案是否定的。
函数的图像与性质
函数的图像与性质函数是数学领域中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的图像是指函数的输入与输出之间的关系在坐标平面中所形成的图形。
函数的图像不仅反映了函数的性质，还能帮助我们更好地理解和应用函数。
一、函数的图像函数的图像可以通过绘制函数的图表或者绘制函数的曲线来展示。
在绘制函数的图像时，我们通常使用直角坐标系，其中横轴表示函数的输入，纵轴表示函数的输出。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过选取不同的x值，计算出对应的f(x)值，并将这些点在坐标平面上连接起来，就得到了函数f(x) = x^2的图像。
这个图像是一个抛物线，开口朝上，并且经过点(0,0)。
二、函数的性质函数的图像可以反映函数的一些重要性质，例如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数的输入可能取值的范围，而值域是指函数的输出可能取值的范围。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的定义域和值域。
2. 奇偶性：一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = -f(x)；一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的奇偶性。
3. 单调性：一个函数在其定义域内的某个区间上是增函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)；一个函数在其定义域内的某个区间上是减函数，当且仅当对于任意的x1 < x2，有f(x1) > f(x2)。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的单调性。
三、函数图像的应用函数的图像不仅仅是一种美观的几何形状，它还能帮助我们更好地理解和应用函数。
1. 函数的最值：通过观察函数的图像，我们可以确定函数的最大值和最小值。
最大值和最小值对于解决实际问题和优化函数的应用非常重要。
2. 函数的零点：函数的零点是指使得函数等于零的输入值。
在函数的图像上，零点对应的是函数与横轴的交点。
函数的基本概念和图像特征
函数的基本概念和图像特征函数是数学中一个非常重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域和实际应用。
理解函数的基本概念和图像特征对于我们解决数学问题、理解自然界的规律以及进行各种科学研究都具有极其重要的意义。
让我们先来谈谈函数的基本概念。
简单来说，函数就是一种特殊的对应关系。
想象有两个集合，比如集合 A 里装着各种输入值，集合 B 里装着对应的输出值。
如果对于集合 A 中的每一个元素，按照某种特定的规则，在集合 B 中都能找到唯一确定的元素与之对应，那么我们就说这构成了一个函数。
比如说，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x 。
这里的 x 就是输入值，当 x 取 1 时，通过“乘以2”这个规则，得到的输出值就是 2 ；当 x 取 2 时，输出值就是 4 。
每一个输入的 x ，都能通过这个规则得到唯一确定的输出值，这就是函数的本质。
函数通常用符号 f(x) 来表示，其中 x 被称为自变量，f(x) 被称为因变量。
自变量可以是任何数或者其他数学对象，而因变量则是根据自变量和函数规则计算出来的值。
函数的定义域和值域也是非常重要的概念。
定义域就是自变量可以取值的范围，比如在上面的函数 f(x) ＝ 2x 中，如果没有其他限制，定义域通常是所有实数。
值域则是因变量可能取得的值的范围。
对于这个简单的函数，因为可以取到任意实数作为自变量 x ，所以值域也是所有实数。
接下来，我们聊聊函数的图像特征。
函数的图像就像是函数的“照片”，它能够直观地展现函数的性质和特点。
以最简单的线性函数 y ＝ x 为例，它的图像是一条经过原点、斜率为 1 的直线。
这条直线一直向右上方延伸，表明随着 x 的增大，y 也随之增大，而且增大的速度是均匀的。
再看二次函数 y ＝ x²，它的图像是一条开口向上的抛物线。
当 x ＜0 时，函数值随着 x 的增大而减小；当 x ＞ 0 时，函数值随着 x 的增大而增大。
抛物线的最低点就是函数的最小值点。
数学函数图像知识点总结
数学函数图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，通过函数可以描述各种现象和规律。
函数图像是函数的图形表示，通过函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。
在学习数学函数图像时，我们需要掌握一些重要的知识点，包括函数的定义、基本函数图像、函数的性质、函数图像的变换等内容。
本文将围绕这些知识点展开详细的介绍。
一、函数的定义1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
通俗的讲，函数就是一种映射关系，将自变量映射到因变量。
函数的定义可以用一个公式、图形或者文字描述。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数的一般表示形式为y=f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，y表示因变量。
1.2 函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
在图像中，这些性质通常能够直观地表现出来。
- 定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域。
在函数图像上，定义域通常可以通过图形的横坐标范围来表示。
- 值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域。
在函数图像上，值域通常可以通过图形的纵坐标范围来表示。
- 奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
- 周期性：具有周期性的函数在一定的距离内重复出现相似的图像。
周期函数的图像通常具有明显的重复性特征。
1.3 常见的基本函数在函数图像中，一些基本函数的图像具有重要的参考意义，这些函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
- 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
- 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，具有一个顶点。
- 指数函数：指数函数的图像是以底数为底的指数幂函数，具有快速增长或者快速衰减的特点。
- 对数函数：对数函数的图像是以底数为底的对数函数，具有反映增长速度缓慢的特点。
函数的图像与变化趋势
定义：函数周期性是指函数 在一定区间内重复出现的性 质
应用：在物理学、工程学、 经济学等领域有广泛应用
函数图像与变 化趋势的关系
函数图像与单调性的关系
单调递增函数的图像是上升的，随着x的增加，y的值也增加。 单调递减函数的图像是下降的，随着x的增加，y的值减小。 在区间内，单调性相同的函数图像是连续的。 在区间内，单调性不同的函数图像存在拐点。
MATL AB、Python等数学软件可用于绘制函数图像 通过模拟分析，可以观察函数的变化趋势和规律 利用数学软件进行模拟分析有助于理解函数的性质和特点 模拟分析可以辅助解决一些实际问题
综合分析函数的性质
确定函数的定义域 和值域
判断函数的奇偶性、 周期性和对称性
分析函数的单调性 和极值点
判断函数在无穷大 处的极限行为
函数的图像与变化 趋势
汇报人：XX
目录
01 函数图像的绘制
02 函数的变化趋势
03 函数图像与变化趋势的关系
04 如何分析函数的图像与变化趋势
05 实际应用举例
函数图像的绘 制
函数图像的基本概念
函数图像是函数在平面上的表现形式，通过图像可以直观地观察函数的值和自变量之 间的关系。
函数图像的绘制需要选择适当的坐标系，确定函数的定义域和值域，并使用适当的绘 图工具进行绘制。
绘制函数图像时需要注意图像的形状、趋势和特征，以便更好地理解函数的性质和变 化规律。
函数图像的绘制是数学分析和应用数学中的基本技能之一，对于深入理解函数性质和 解决实际问题具有重要意义。
函数图像的绘制方法
确定函数表达式和参数 选择坐标系和坐标轴范围 计算函数值并标在坐标轴上 连接点绘制函数图像
函数图像的绘制示例
函数图像
S = x2(x>0)
1、列表：
x s
0 0 0.5 0.25 1 1 1.5 2 2.5 3 …
2、描点：
s
5
2.25
4 6.25
9 …
4
用平滑曲线去
3、连线：
3
用空心圈表示 不在曲线的点
连接画出的点
2 1 -1 0 -1 1 2 3 4 5x
-5
-4 -3
-2
归纳 函数的图象的意义：
一般地，对于一个函数，如果把自变量 与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组 成的图形就是这个函数的图象。
x/分
巩固练习：
1、画出下列函数的图象 （1）y = -2x -1 （ 2） y =
3 x
（3）y = x²+2
2、选择：
（1）你一定知道“乌鸦喝水”的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些 水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石 子放入瓶中（如图1），瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌 鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度， 乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了 水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的 高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（ ）.
x/分
应用举例
问题3：菜地离玉米地多远？小明从菜地走 到玉米地用了多少时间？
y/千米
解：由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9千米，由横坐标看出， 小明从菜地到玉米地用了12分钟。
2
C A B
D
1.1
O
0 15 25 37 55
E
80
x/分
应用举例
函数的图像与性质
函数的图像与性质函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们通常用图像来表示一个函数。
函数的图像以及其性质对于我们理解函数的特点和行为至关重要。
一、函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表现形式。
在直角坐标系中，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
函数的图像是由一系列点组成的，这些点表示了不同自变量对应的因变量的取值。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地观察函数的特性和行为。
例如，我们可以通过图像看出函数的增减性、奇偶性、周期性以及极值等。
因此，理解函数的图像对于我们研究函数的性质非常重要。
二、函数的性质1. 定义域与值域函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的定义域和值域。
例如，如果函数的图像在横轴上存在断点，那么该点就是函数的定义域的边界点。
2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数的情况下，函数值是否相等。
如果函数满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足f(-x) =-f(x)，则函数是奇函数。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的奇偶性。
例如，如果函数的图像关于纵轴对称，则函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数。
3. 增减性与极值函数的增减性描述了函数图像的上升和下降趋势。
在一个区间内，如果函数的图像随自变量的增大而增大，则函数在该区间内是增函数；如果函数的图像随自变量的增大而减小，则函数在该区间内是减函数。
通过观察函数的图像，我们可以确定函数的增减性，并找出函数的极值点。
函数的极值点是函数图像中的最高点和最低点，也称为极大值点和极小值点。
极值点通常是函数图像的拐点或者切线与横轴的交点。
4. 周期性周期性是指函数在一个周期内具有相同的特征。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的周期性。
如果函数的图像在一个区间内重复出现，且图像的形状和性质相同，那么函数是周期函数。
函数的周期性对于理解函数的周期性规律以及应用场景非常重要。
数学中的函数图像解析
数学中的函数图像解析数学是一门极具价值的学科，它运用逻辑和演绎的方法，通过研究数量、结构、变化等现象，探究自然界和人类社会的规律。
其中，函数是一种非常基本的数学概念，它描述了一种元素之间的一对一关系。
而函数图像，则是用来表示函数在坐标系中的一种图形。
在学习数学的过程中，认识和理解函数图像的特点和属性，是极为重要的一步。
本文将从函数图像的基本性质、常见函数的图像及其解析入手，探究函数图像在数学学科中的应用和意义。
一、函数图像的基本性质在二维坐标系中，函数图像是由函数$f(x)$的若干个点$(x,f(x))$组成的曲线。
这条曲线可能是一条直线，也可能是一条光滑的曲线，其大致形态受到函数的类型和函数值域的限制。
在分析函数图像的时候，我们通常会从以下几个方面进行考虑。
1. 对称性一个函数如果具有对称性，那么它的图像也会体现这种对称性。
例如，偶函数关于$y$轴对称，奇函数关于原点对称。
2. 单调性函数图像的单调性描述了函数的增减趋势。
单调递增的函数图像向右上方延伸，单调递减的函数图像向右下方延伸。
3. 极值点在函数图像上，极值点是指函数曲线上的局部最大或最小值点。
计算极值点的方法一般是对函数的导数等于0的点进行求解。
4. 渐进线函数图像在接近某些点的时候，可能会逐渐趋于某条直线，这条直线就是函数的渐近线。
常见的有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
二、常见函数的图像及其解析1. 一次函数$y=kx+b$是一次函数的标准形式，其中$k$和$b$是常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率$k$决定了直线的倾斜程度，截距$b$则决定了直线与$y$轴相交的位置。
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$是二次函数的标准形式，其中$a<>0$。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
抛物线的开口方向由二次系数$a$的符号来决定，$x$轴截距是$c$，对称轴是$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 指数函数$f(x)=a^x$是一个指数函数，其中$a>0$且$a≠1$。
数学函数图像的理解与应用
数学函数图像的理解与应用在我们学习数学的过程中，函数图像是一个极其重要的概念。
它不仅能够直观地展示函数的性质和特点，还在解决实际问题中发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入探讨数学函数图像的理解与应用。
首先，我们要明白函数图像究竟是什么。
简单来说，函数图像就是将函数关系以图形的形式表现出来。
比如，当我们有一个函数 y ＝ 2x ＋ 1 时，通过给 x 赋予不同的值，计算出对应的 y 值，然后将这些点（x, y) 在坐标系中描绘出来，连接起来所形成的线就是这个函数的图像。
那么，为什么要研究函数图像呢？因为它能帮助我们更直观地理解函数的性质。
比如，通过观察一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像，我们可以很容易地看出它的斜率 k 决定了函数的增减性。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增；当 k ＜ 0 时，函数单调递减。
而 b 则决定了函数图像与 y 轴的交点。
再来看二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 的图像。
它是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为 x ＝ b ／ 2a ，顶点坐标为（b ／ 2a, （4ac b²) ／ 4a) 。
通过观察图像，我们可以清晰地了解函数的最值、零点等重要信息。
函数图像在实际生活中也有着广泛的应用。
比如，在经济学中，成本和收益可以用函数来表示，通过绘制函数图像，企业可以分析在不同产量下的利润情况，从而做出最优的生产决策。
在物理学中，运动学中的位移、速度和时间的关系，电学中的电流、电压和电阻的关系等，都可以用函数图像来描述。
例如，在研究自由落体运动时，物体下落的高度 h 与时间 t 的关系可以表示为 h ＝ 1/2gt²，通过绘制这个函数图像，我们能够直观地看到物体下落高度随时间的变化规律。
在工程学中，函数图像也经常被用到。
比如，在建筑设计中，需要考虑结构的受力情况，力与变形之间的关系可以用函数图像来表示，帮助工程师设计出更安全、合理的结构。
函数的定义与图像的绘制
函数的定义与图像的绘制函数是数学中一个非常重要的概念，也是初中数学的基础知识之一。
理解函数的定义和掌握图像的绘制对于学习数学和解题都有很大的帮助。
本文将以对应标题题型进行举例、分析和说明，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解函数的概念和图像的绘制方法。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
简单来说，函数就是输入和输出之间的一种对应关系。
我们可以用符号来表示一个函数，例如f(x) = 2x，其中f(x)表示函数的输出，2x表示函数的输入。
例如，考虑函数f(x) = 2x，当x取值为1时，函数的输出为2；当x取值为2时，函数的输出为4。
这个函数的定义域是所有实数，值域是所有正实数。
函数的定义域是指函数可以取值的范围，值域是指函数的输出的范围。
二、图像的绘制图像是函数的可视化表示，通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。
绘制函数的图像需要掌握一些基本的方法和技巧。
首先，我们需要确定函数的定义域和值域。
根据函数的定义域和值域，我们可以确定图像的横坐标和纵坐标的范围。
其次，我们可以选择一些特殊的点来绘制图像，例如函数的零点、极值点和拐点等。
通过计算这些点的坐标，我们可以将它们连接起来，得到函数的图像。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以选择x取值为-2、-1、0、1、2等特殊点。
计算这些点的坐标，我们可以得到(-2, 4)、(-1, 1)、(0, 0)、(1, 1)、(2, 4)等点。
将这些点连接起来，我们就可以绘制出函数f(x) = x^2的图像，它是一个抛物线，开口朝上。
三、函数图像的性质通过观察函数的图像，我们可以得到一些关于函数性质的重要信息。
首先，我们可以判断函数的增减性。
如果函数的图像从左往右逐渐上升，那么函数是递增的；如果函数的图像从左往右逐渐下降，那么函数是递减的。
其次，我们可以判断函数的奇偶性。
如果函数的图像关于y轴对称，那么函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数是奇函数。
函数图像的意义
函数
函数图像的意义
函数与函数图像
• 研究运动而产生函数 • 直角坐标系 • 数形结合
函数
y f x
直角坐标系
函数图像
笛卡尔与直角坐标系
• 《几何学》 • 笛卡尔直角坐标系 • 费尔马
笛卡儿 （RenéDescartes）
函数的图像
把自变量x和因变量y组成有序实数对(x,y)
y
在平面直角坐标系内，
y
0
x
函数图像欣赏
y
0
x
判断以下图像是否是某个函数的图像
y
o
x
练一练
• 画出下列函数的图像
例题： (1) y x (2) y x 1 练习：y 2 2 x
悬垂线
两电线杆之间的电线所成的曲线，称为悬垂线。
读图步骤
• 观察坐标轴所表示的变量及单位 • 观察函数的增减性 • 思考两个变量之间的函数关系 • 理解图像上点的意义 • 解释交点的意义
• 此图是水库中的立方数与时间之间的函数 关系，问：你能从中得到怎样的信息？
Q(立 方 米 )
600
A(6,300) 300
o
2 4 6 8 10 12 t(小 时 )
• 水库的水逐渐减少 • 水库中原有水600立方米，最多要12小时放完 • 可以找到每一个水库的水量，反之，对于每一
函数的意义和性质
函数的意义和性质函数是数学中一种重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用和重要的作用。
本文将探讨函数的意义和性质。
一、函数的意义函数是用来描述两个变量之间的关系的一种数学工具。
它将一个自变量的值映射到一个或多个因变量的值。
函数可以帮助我们理解事物之间的联系和变化。
它在数学、物理、化学、经济等领域中都有重要的应用。
首先，函数在数学中是一种基本的工具，它可以被用来建模和解决各种问题。
通过函数，我们可以找到数学上的规律和模式。
在代数中，函数可以用方程或不等式的形式表示，通过求解这些方程或不等式，我们可以得到函数的解析解或数值近似解。
在几何中，函数可以用图像的形式表示，通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和变化规律。
其次，函数在物理学中具有重要的作用。
物理学中的很多规律和定律都可以用函数的形式来描述。
例如，牛顿第二定律可以用函数表示为力与加速度之间的关系，电阻与电流之间的关系可以用函数来描述。
通过研究函数，我们可以推导出物理规律，解决物理问题。
此外，函数在经济学中也非常重要。
经济学研究的主要对象是人类的经济活动，这些经济活动往往涉及到各种变量之间的关系。
函数可以用来描述这些变量之间的关系，例如收入与消费之间的关系、价格与供求之间的关系等。
通过分析函数，我们可以预测经济变量的趋势和变化，为经济政策的制定提供参考依据。
综上所述，函数在数学、物理、经济等领域中都有重要的意义。
它帮助我们理解事物之间的关系和变化，解决问题，预测趋势，推导规律。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，这些性质对于我们理解函数的本质和应用具有重要的意义。
首先，函数具有唯一性。
对于给定的自变量，函数只能有一个确定的因变量。
这意味着函数中的每一个点都有唯一的函数值。
这个特性使得函数具有确定性和可靠性。
其次，函数具有一一对应性。
如果一个函数的每一个自变量对应不同的因变量，且每一个因变量对应不同的自变量，那么这个函数被称为一一对应函数。
函数图像的基本特征
函数是数学中的一种基本概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
函数图像，顾名思义，就是将函数的数学表达式在坐标系中绘制出来所得到的图形。
通过观察函数图像，我们可以了解函数的基本特征，并从中找出一些有用的信息。
函数图像的第一个基本特征是定义域和值域。
定义域表示函数的自变量可以取的值的范围，也就是图像所占据的x轴上的部分。
值域则表示函数的因变量可以取的值的范围，也就是图像在y轴上的部分。
通过观察函数图像，我们可以确定函数的定义域和值域，并据此解决一些实际问题。
函数图像的第二个基本特征是单调性。
一个函数在定义域上是递增的，如果它的图像从左向右逐渐上升；一个函数在定义域上是递减的，如果它的图像从左向右逐渐下降。
通过观察函数图像，我们可以判断函数在某个区间上的单调性，并研究函数的增减趋势。
这对于最值问题和优化问题的解决非常重要。
函数图像的第三个基本特征是对称性。
一个函数在定义域上是奇函数，如果它的图像关于原点对称；一个函数在定义域上是偶函数，如果它的图像关于y轴对称。
通过观察函数图像，我们可以判断函数的对称性，并据此简化函数的求解过程。
有时候，我们可以将定义域限制在对称区间内，从而简化问题的解答。
函数图像的第四个基本特征是极值和拐点。
一个函数在某个点上取得极大值，如果它的图像在该点附近变得上凹；一个函数在某个点上取得极小值，如果它的图像在该点附近变得下凹。
通过观察函数图像，我们可以找出函数的极值点和拐点，并理解函数的局部特性。
这在最优化问题和曲线绘制中都起着重要的作用。
函数图像的最后一个基本特征是渐近线。
一个函数的图像可能与某条直线趋近于平行，我们称之为水平渐近线；一个函数的图像可能与某条直线趋近于垂直，我们称之为垂直渐近线。
通过观察函数图像，我们可以找出函数的渐近线，并了解函数的行为趋势。
渐近线在函数的图形分析和数学模型中都非常重要。
在观察函数图像时，我们还可以注意到一些其他的特征，比如函数图像的开口方向、图像的交点、图像的变化速率等等。
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函数图像的意义
一、选择题
1.小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线
表示小亮的行程s（k m）与所花时间t（min）之间的函数关
系．下列说法错误的是（）
A.他离家8km共用了30min
B.他等公交车时间为6min
C.他步行的速度是100m/min
D.公交车的速度是350m/min
2. 时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动
0.5°．在运行过程中，时针与分针的夹角会随时间的变化而变化．设时针与分针的
夹角为y（度），运行时间为t（分），当时间从12：00开始到12：30止，y与t之间的函数图象是（）
A．B．
C． D．
3. 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以毎分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基费20元外，再以毎分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有下列结论：
①图象甲描述的是方式A；
②图象乙描述的是方式B；
③当上网所用时间为500分时，选择方式方法B省钱．
其中，正确结论的个数是（）
A、3
B、2
C、1
D、0
4.小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图象是（）
5. 为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”，村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造．下面能反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图像是( )
5.小英早上从家里骑车上学，途中想到社会实践调查资料忘带了，立刻原路返回，返家途中遇到给她送资料的妈妈，接过资料后，小英加速向学校赶去．能反映她离家距离s与骑车时间t的函数关系图象大致是（）
A．B．
6. 甲、乙两同学同时从400m环形跑道上的同一点出犮，同向而行．甲的速度为6m/s，乙的速度为4m/s．设经过x（单位：s）后，跑道上此两人间的较短部分的长度为y（单位：m）．则y与x（0≤x≤300）之间的函数关系可用图象表示为（）
7.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD–DC–CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函
数关系的是
（
8.在今
年我市初中学业水平考试体育学科的女子 800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹
和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t（秒)之间的函数图象分别为线段OA
和折线OBCD,下列说确的是( )．
A．小莹的建速度随时间的增大而增大
B．小梅的平均速度比小莹的平均逮度大
C．在起跑后180秒时．两人相遇
D．在起跑后50秒时．小梅在小莹的前面
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．B．C．D．
9.在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间
（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小
时，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先
到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（）
A. 1 个
B. 2 个
C.3 个
D. 4个
10.小明的父亲饭后出去散步，从家中出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟
后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离y（米）与离家的时间x（分）
之间的函数关系的是（）
11.小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到
达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示．放学
后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去
上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（）
A、14分钟
B、17分钟
C、18分钟
D、20分钟
12.根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下
图规律，由图可以判断，下列说法错误的是（）
A、男生在13岁时身高增长速度最快
B、女生在10岁以后身高增长速度放慢
C、11岁时男女生身高增长速度基本相同
D、女生身高增长的速度总比男生慢
13.一水池有甲、乙、丙三个水管，其中甲、丙两管为进水管，
乙管为出水管．单位时间，甲管水流量最大，丙管水流量最小．先开甲、乙两管，一段
时间后，关闭乙管开丙管，又经过一段时间，关闭甲管开乙管．则能正确反映水池蓄水
量y（立方米）随时间t（小时）变化的图象是（）
A、.
B、.
2
乙
甲
乙甲
8
15
10
5
1.5
1
0.5
O
y/千米
20
14.早晨，小去公园晨练，右图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说确的是（）
A、小去时所用的时间多于回家所用的时间
B、小在公园锻炼了20分钟
C、小去时的速度大于回家的速度
D、小去时走上坡路，回家时走下坡路
15.一艘轮船在长江航线上往返于甲．乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（小时），航行的路程为S（千米），则S与t的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
16.小华同学利用假期时间乘坐一大巴去看望在外打工的妈妈.出发时，大巴的油箱装满了
油，匀速行驶一段时间后，油箱的汽油恰剩一半时又加满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有
1
3
箱汽油.设油箱中所剩的汽油量为V（升），时间为t的大致图象是（）
17.王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（）
A B C D
A、B、C、D、
18.一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，若这辆汽车平均耗油0.2升/千米，则y与x函数关系用图象表示大致是（）
A. B. C. D.
19.向最大容量为60升的热水器注水，每分钟注水10升，注水2分钟后停止注水1分钟，
然后继续注水，直至注满．则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是（）
A、B、
C、D、
20.火车匀速通过隧道时，火车在隧道的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用
图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）。