6相似图形的性质
第6章《图形的相似》知识讲练(学生版)
2023-2024学年苏科版数学九年级下册章节知识讲练知识点01：比例线段及黄金分割1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．3. 黄金矩形与黄金三角形：黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．知识点02：相似图形1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.知识点03：相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：ABAP AP PB此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．知识点04：图形的位似及投影1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•仪征市校级月考）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A．B．C．D．2．（2分）（2023•靖江市一模）已知，则的值是（）A．B．C．3 D．3．（2分）（2023•姑苏区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝4，，点D在AB的延长线上，∠A＝∠BCD＝45°，则△BCD的面积为（）B．C．74．（2分）（2023•盐都区三模）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．25．（2分）（2023•锡山区校级四模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为（）A．B．2 C．D．46．（2分）（2023•大丰区校级模拟）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．（2分）（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PQ∥BC，且PQ＝2，在下列结论中：①DE＝CF；②AE2＝FP•FC；③在运动过程中，线段AP最小值为；④当∠CBQ的度数最大时，BQ的长为，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2分）（2023春•滨湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边AD上，且AE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG⊥EF交直线BC于点G，连接FG，若P是FG的中点，则DP的最小值为（）A．B．6 C．5 D．29．（2分）（2023•海州区校级三模）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使＝，连结EF交DC于点G，则＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：910．（2分）（2023•沛县校级模拟）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（）A．B．C．D．15二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•宝应县二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC＝．12．（2分）（2023•青岛一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（﹣3，0），B （﹣4，3），△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C在第四象限的坐标为．13．（2分）（2023•姜堰区二模）如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，则S△CDB＝．14．（2分）（2023•梁溪区一模）如图，在平行四边形ABCD中，CE＝ED，BE交AC于点F，则EF：FB的比值是．15．（2分）（2023•张家港市校级二模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于．16．（2分）（2023•泉山区校级三模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，且，△CDE与四边形ABED的面积的比为．17．（2分）（2023•玄武区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为．18．（2分）（2023•阜宁县二模）如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度ACm，CD＝12m，则树高AB＝m．19．（2分）（2023•工业园区校级模拟）如图，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的顶点）同时形变为△A′E′F′．当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2：时，则A′C′＝．20．（2分）（2023•海安市一模）已知点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•姑苏区校级期末）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）．（1）求线段AP的长；（2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．22．（6分）（2023•沭阳县模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DFm，EFm，测得边DF离地面的高度ACm，CD＝10m，求树高AB．23．（8分）（2023•滨湖区一模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，D是的中点，连接BD、OD分别交AC于点E、F．（1）求证：△DEF∽△BEC；（2）若DE＝2，BE＝6，求⊙O的面积．24．（8分）（2023•江都区模拟）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD 长为2mm的竹竿在水平地面上的影子长1m，那么这棵大树高度是多少？25．（8分）（2023•海陵区校级二模）（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，请用无刻度的直尺和圆规在AB上确定一点P，使得△ACP∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝8，则AP的长为；（3）在如图2的正方形网格中，△DEF的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边DF上确定一点M，使得DE2＝DM⋅DF．（保留作图痕迹，不要求写作法）26．（8分）（2023•宿城区校级模拟）问题提出如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC内一点，AD⊥CD，∠ACD＝30°，若AD ＝1，连接BD，求BD的长．问题探究（1）请你在图（1）中，用尺规作图，在AB左侧作△ABE，使△ABE∽△ACD．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由）（2）根据（1）中作图，你可以得到CD与BE的位置关系是；你求得BD的长为；问题拓展（3）如图（2），在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，D是△ABC内一点，若AD＝，BD＝2，CD＝4，求BC的长．27．（8分）（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DEm，点F到地面的高度CFm，灯泡到木板的水平距离ACm，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．28．（8分）（2023•邗江区校级模拟）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形．（1）[初步理解]：如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求证：△ACB和△ADC为邻似三角形；（2）[尝试应用]：在（1）的基础上，如图2，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四边形ABCD的周长；（3）[拓展应用]：如图3，四边形ABCD中，△ACB和△ADC为邻似三角形，对角线AC平分∠BAD，且∠ADC＝∠ACB．若AB＝9，AD＝4，∠BAD＝60°，求△BCD的面积．。
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总
第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学 班级 姓名 考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有 个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题 第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ； 解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。
华师大版九年级上册第24章图形的相似复习
平行法
如果两个多边形一组对应边平行且 对应边的比相等，则这两个多边形 相似。
交错相乘法
如果两个多边形一组对应边的交错 相乘之和等于另一组对应边的交错 相乘之和，则这两个多边形相似。
相似多边形的性质
对应角相等
01
相似多边形的对应角相等，这是相似的基本性质。
对应边成比例
02
相似多边形的对应边成比例，这是判定相似多边形的重要依据。
面积比等于相似比的平方
03
相似多边形的面积比等于其相似比的平方，这是计算面积比的
一个重要公式。
相似多边形的应用
01
02
03
测量
在测量中，常常需要比较 两个相似物体的大小，通 过测量和计算可以得出它 们的相似比和大小关系。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要 设计出与原建筑相似的模 型，通过相似多边形可以 方便地实现这一目标。
相似图形的判定方法
根据定义，可以通过测量角度和边长比例来判断两 个图形是否相似。
相似图形的性质
02
01
03
相似三角形的性质
相似三角形的对应边长度的比值相等，对应角相等。
相似多边形的性质
相似多边形的对应边长度的比值相等，对应角相等。
相似多边形的面积比
相似多边形的面积比等于对应边长度的比的平方。
相似图形的应用
图形变换
在图形变换中，可以通过 相似变换将一个图形变为 另一个图形，保持其形状 不变。
04
图形相似的综合应用
图形相似的几何证明
掌握相似图形的定义和 性质，能够判断两个图 形是否相似。
掌握相似三角形的判定 定理，能够根据给定条 件证明两个三角形是否 相似。
掌握相似多边形的性质 ，能够证明两个多边形 是否相似。
相似图形的性质(二)
§24.2 相似图形的性质（二）一、教学目标1.经历自主探索相似图形的特征的过程，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例以及面积比的关系．2.通过实践，掌握利用相似图形的特征计算边的长度或角的度数．3.培养学生“观察－猜想－验证－实践”的研究问题的思维方式.二、教学重难点教学重点：探索并掌握相似图形的特征.教学难点：探索与研究问题的思维方式.三、教学方法多媒体教学——创设情境，以境激趣探索教学法——调动学生主动参与探索知识、运用知识过程四、教学用具多媒体电教及主题资源网站《相似图形的性质》。
/view/3fa9861cc281e53a5802ffff.html五、教学过程设计1、创设情境，设疑激趣（多媒体演示主题资源网站/《相似图形的性质》/课件集锦/图片，让学生观察。
）当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场上的旗杆到底有多高呢？通常一种简便的方法是：如下图所示，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度OC、旗杆的影子长度OA，再量出你的身高CD，根据三角形OCD与三角形OAB相似,就可以计算出旗杆的高度AB了．如果测得OC= 0.8米，OA=5米，CD=1.6米,如何求AB的高呢?下面我们一起来研究、解决这个问题．（通过多媒体的直观演示，设置问题情境，营造良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣。
）2、探索研究，揭示特征相似图形的特征（1）提出猜想：上节课我们研究了P47两张相似地图中的对应线段AB与A′B′、BC 与B′C′、AC与A′C′的比相等，即请你由此猜想两张相似地图中的对应线段有什么关系？――显然，两张相似地图中的对应线段都是成比例的．这个结论对一般的相似多边形是否成立呢？我们不妨通过下面测量与计算来说明．（2）进行验证：仔细观察下面两幅图形，量一量、算一算它们的对应边之间是否有以上的关系？对应角之间又有什么关系呢？通过测量与计算，我们可得：图（一）中：且∠A=∠A′∠B=∠B′∠C=∠C′∠D=∠D′图（二）中：且∠A=∠A′∠B=∠B′∠C=∠C′∠D=∠D′∠E=∠E′即：相似四边形、相似五边形的对应边各成比例，对应角各相等．思考与讨论①由此可知两个相似多边形的特征是什么？（对应边成比例，对应角相等．）②由相似多边形的特征可否得到识别两个多边形是否相似的方法？举例说明．（如果两个多边形的对应边成比例且对应角相等，那么这两个多边形相似．）实践运用（主题资源网站/《相似图形的性质》/量规集中的练习，让学生做一做，想一想。
数学中的相似形状与三角形
数学中的相似形状与三角形一、相似形状1.定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形称为相似图形。
2.相似图形的性质：（1）对应边成比例：相似图形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似图形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
1.定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。
2.三角形的分类：（1）按边长分类：等边三角形：三条边都相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）按角度分类：锐角三角形：三个角都小于90°的三角形。
直角三角形：有一个角等于90°的三角形。
钝角三角形：有一个角大于90°的三角形。
3.三角形的性质：（1）内角和定理：三角形的内角和等于180°。
（2）外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的中线、高线、角平分线：中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
高线：从三角形一个顶点垂直于对边的线段。
角平分线：从三角形一个顶点将对应角平分的线段。
4.三角形的判定：（1）SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
（2）SAS判定：如果两个三角形有两对对应边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）ASA判定：如果两个三角形有两对对应角相等且夹边成比例，那么这两个三角形相似。
（4）AAS判定：如果两个三角形有两对对应角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形1.定义：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形称为相似三角形。
2.相似三角形的性质：（1）对应边成比例：相似三角形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似三角形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
3.相似三角形的应用：（1）求解三角形：利用相似三角形的性质，可以求解未知边长或角度。
人教版数学九年级下册27.1《图形的相似》教案
（3）相似变换的性质：相似变换是本节课的另一个难点，教师需要详细讲解相似变换的性质，如对应点、对应线段的比等，并通过实例使学生理解这些性质。
举例：讲解旋转变换、平移变换等相似变换的性质，让学生在实际操作中体会相似变换的特点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《图形的相似》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个形状看起来很相似的物体？”（如两个相似的三角形装饰品）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索图形相似的奥秘。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似图形相关的实际问题，如相似三角形的周长比、面积比等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作两个相似三角形并比较它们的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
教学内容与课本紧密相关，旨在帮助学生掌握图形相似的相关知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
《图形的相似》章节的核心素养目标如下：
1.培养学生的空间观念，提高对图形相似性的认识，增强观察、分析图形的能力。
2.培养学生运用数学语言进行表达、交流、合作的能力，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生逻辑思维和推理能力，能运用相似性质进行严密的论证。
举例：分析相似四边形的性质，解决面积、周长等与相似多边形相关的问题。
2.教学难点
（1）相似图形的识别：学生往往在识别相似图形时存在困难，需要教师通过丰富的实例和引导，帮助学生掌握识别相似图形的方法。
6.5 相似三角形的性质-苏科版数学九年级下册精品讲义
第6章 图形的相似6.5相似三角形的性质知识点01 相似三角形的性质1. 相似三角形周长的比等于相似比（1） ∽，则由比例性质可得：。
（2）相似多边形周长的比等于相似比.【即学即练1】在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，故选：A．2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则，分别作出与的高和，则【微点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方.【即学即练2】在中，AD平分交边BC于点D，点E在线段AD上，若，则与的面积比为( )A．16：45B．1：9C．2：9D．1：3【答案】C【分析】根据等高三角形的面积比等于底边的长度比，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到的面积比，即可得到答案；【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABE=∠C，∴，∵，∴，，，∴．故选C ；知识点02 相似三角形中对应线段的比1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【微点拨】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.【即学即练3】如下图所示，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且△ABC ∽△ADB ，则下列结论一定正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC ∽△ADB ，∴，∴AB 2=AC •AD ．故选：A ．考法01利用三角形性质求解能力拓展【典例1】如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（）A．16：21B．3：7C．4：7D．4：3【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．【详解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∵，与的高相等，∴，∴．故选：A．考法02 证明三角形的对应线段成比例【典例2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案．【详解】解：，，，，，，由，，，，，故选：C ．题组A 基础过关练1．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．12【答案】C【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，分层提分∴，，∴，，∴，∴，即，且，，∴，故选：．2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE BC的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：如图，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DE BC，故选项符合题意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；故选：B．3．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解．【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE：CE＝2：5，∵AE＝2，∴CE＝5，∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】证明利用对应边对应成比例即可求出．【详解】解：∵∴∴∴∴故选C．5．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（）A．3∶4B．C．9∶16D．3∶7【答案】A【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的周长比是：3：4．故选：A．6．已知，，，则的周长之比为____．【答案】4∶3【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解．【详解】解：∵，，，∴；故答案为：4∶3．7．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m．【答案】3【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∵△PAB∽△PCD，∴，（相似三角形对应高之比是相似比）即：，解得PF＝3．故答案为：3．8．如图，△ABC∽△CAD，∠ACB=∠D=90°，_____．【答案】AB•DC【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠ACB=∠D=90°，且△ABC∽△CAD，∴，即=AB•DC，故答案为：AB•DC．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．【答案】2.4【分析】根据已知可证明△ABE~∆FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB∴，∵BC=3，E是AD的中点，∴AE=1.5 ，∴BE=2.5，∴，∴FC=2.4．10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析；(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，，∴BC=6．题组B 能力提升练1．下列命题中，是真命题的是（ ）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．小明爬山时发现上山比下山的盲区小C．若点P是线段AB的黄金分割点，则D．相似三角形的周长比等于相似比的平方【答案】A【分析】根据菱形的判定方法、黄金分割的定义、相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，故A正确；B、爬山时上山比下山的盲区大，原命题是假命题，故B错误；C、若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP时，则，原命题错误，故C错误；D、相似三角形的周长比等于相似比，原命题错误，故D错误．故选：A．2．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4【答案】C【分析】利用三角形重心的性质得到MO：MC＝1：3和点N是BC的中点，从而得到△MON和△MNC的面积比、△BMN和△CMN的面积比，然后综合两个面积比求得结果．【详解】解：∵点O是△ABC的重心，∴MO：MC＝1：3，点N是BC的中点，∴，∴，故选：C．3．若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵，且与的面积比是，∴与的相似比是，∴与对应角平分线之比为，故选：B．4．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（ ）A．B．1C．D．2【答案】C【分析】先根据三角形的中位线定理证明，则△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由求出四边形DBCE的面积．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴，AE＝CE＝AB，∴，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故选：C．5．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C 两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为________【答案】1【分析】连接OE，OE⊥AB，OE=OC，AC⊥OC，△BEO∽△BCA，故，故可得OC的长，即可得出BD的长．【详解】解：如图，连接OE，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB，OE=OC，∵AC⊥OC，∴BEO∽BCA，∴，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴，∴，∴OE=，∴OC=，∴BD=BC-2×OC=4-2×．故答案为：1．6．如图，点G是的中线上一点，且，作，垂足为点E，若，则点A到的距离为______________．【答案】【分析】过点作，则的长即为到的距离，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点作，则的长即为到的距离，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案为：．7．如图，已知AB CD，AD与BC相交于点P，，若AP＝6，则PD的长是_____．【答案】10【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵AB CD，∴，∴，即，解得：PD＝10，故答案为：10．8．如图，在中，，，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动．如果与同时出发，那么经过______秒和相似．【答案】4或【分析】分两种情况讨论，由相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【详解】解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，∴CP=8-x（cm），CQ=2x（cm），当△PCQ∽△ACB，则，∴，∴x=4，当△PCQ∽△BCA，则，∴，∴x=，综上所述：经过4或秒，△PQC和△ABC相似．故答案为：4或．9．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与交于点M．(1)求证：；(2)若，求BM．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件可得四边形是平行四边形，从而得到，即可求证；（2）根据相似三角形的对应边成比例求出相似比，即可求得线段的长．【详解】（1）证明：，E是的中点，，，四边形是平行四边形，，，，；（2）解：，F是的中点，，，，，又，．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE，过点E作交AD于点F．(1)求EF的长．(2)求证：△DEF∽△ABD．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）利用，证明△AEF∽△ACD，根据对应边对应成比例进行计算即可；（2）利用勾股定理求出AD，利用，求出AF，利用求出DF，从而得出，在利用外角的性质，得到，即可得证．【详解】（1）解：∵CB＝5，DB＝1，∴，∵，∴，∵，∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴；（2）证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，∴，∵∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴△DEF∽△ABD题组C 培优拔尖练1．如图，在梯形中，，，对角线与相交于点O，把、、、的面积分别记作，那么下列结论中，不正确（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由，推出，推出，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴选项A，B，D正确，选项C错误，故选：C．2．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（）A．3B．4C．6D．9【答案】B【分析】由旋转和平行线的性质易证，从而易证，即得出，代入数据即可求出BD的长．【详解】∵，∴．由旋转的性质可知，∴．又∵，∴，∴，即，∴．故选B．3．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（ ）A．4.8B．4C．6.4D．6【答案】A【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x.由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DE．由DE∥BC得△ADE∽△ABC，∴，把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：，解得：x=4.8．答：正方形的边长是4.8．故选：A．4．如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】B【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长．【详解】解：设对角线AC与BD交于点O，在中，，，过点O作于M（如图），，，，，．故选B．5．如图Rt AOB∽DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P 点，连接MP，AOB保持不动，将COD绕O点旋转，则MP的最大值是_____．【答案】9【分析】根据相似三角形的判定定理证明COB∽DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．【详解】解：取AB的中点S，连接MS、PS，则PM≤MS+PS，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA，∵AOB∽DOC，∴，∴COB∽DOA，∴∠OBC=∠OAD，∴O、B、P、A共圆，∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，∴PS=AB=5，∵M为OA的中点，S是AB的中点，∴MS=OB=4，∴MP的最大值是4+5=9，故答案为：9．6．如图，为等边边上的高，，为高上任意一点，则的最小值为_____．【答案】【分析】连接，交于点，此时最小，过点作于点，证明，然后求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示：连接，交于点，此时最小，过点作于点，∵为等边边上的高，∴点与点关于对称，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴在中，∴的最小值为：．故答案为：．7．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号）【答案】①③④【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而=2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；在Rt ABF中，AF==8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt GFH中，∵，∴，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE=∠C=90°，∴∠EFD+∠AFB=90°，而∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠EFD，∴ABF∽DFE，∴，∴，而，∴，∴DEF与ABG不相似；所以②错误．∵=×6×3=9，=×3×4=6，∴．所以③正确．故答案为：①③④．8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝________．【答案】9：25【分析】先由DE：EC=3：2，得DE：DC=3：5，再根据平行四边形ABCD，得AB CD，AB=CD，所以，△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解．【详解】解：∵DE：EC=3：2，∴DE：DC=3：5，∵平行四边形ABCD，∴AB CD，AB=CD，∴，△DEF∽△BAF，∴，故答案为：9∶25．9．如图，在△ABC中，过点A作，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，．(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)当，时，直接写出的值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据可得，即可证明四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质以及角平分线得出，则可根据邻边相等的平行四边形为菱形；（2）根据菱形的性质可得，从而求出的长，然后根据可得，根据相似三角形对应边成比例可得结论．【详解】（1）证明：，，即，，四边形是平行四边形，，，平分，，，，四边形是菱形；（2）四边形是菱形；，，，，，．10．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，．(1)如果，求AC的长；(2)如果△ADE的面积为1，求的面积．【答案】(1)18；(2)2【分析】（1）首先证明，利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）证明，利用等高模型即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴＝，∵，∴，∴，∴，∴＝，，∴＝，∵，∴．（2）∵＝，∴，∴．11．如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边的延长线上．且满足连接、，与边交于点E．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）证明，根据相似三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．12．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CD=6，AC=8，求AE．【答案】(1)见解析；(2)12.5【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD，连接DE，证DCA∽EDA，得出比例式，代入数值求解即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）解：在Rt ADC中，AC=8，CD=6，由勾股定理得：AD=10．连接DE，∵AE为直径，∴∠EDA=∠C=90°，∵∠CAD=∠EAD，∴DCA∽EDA，∴，∴，AE=12.5．13．矩形中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在延长线上（图1）(1)若，求的度数与的长度；(2)如图2将向右平移得，两直角边与拒形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使与相似，（先填空，再完成解答）解：设平移的距离为x，则______________________（用含x的代数式表示）【答案】(1)37°，4(2)，，或x=3.4【分析】（1）根据矩形的性质得出AD=BC=6，BC AD，∠B=90°，求出∠CAD=∠BCA=53°，则37°即可解答；由勾股定理求出=AC=10，进而求得；（2）设平移的距离为x，则，然后再解直角三角形表示出，进而表示出，同理表示出，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，BC AD，∠B=90°，∴∠CAD=∠BCA=53°，∴∠BAC=90°-∠BCA=90°-53°=37°，∵将绕点A逆时针旋转得到∴37°在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：=AC=10∴．（2）解：设平移的距离为x，则，∵∴，解得：∴同理：∵与相似∴或∴或，解得或x=3.4∴当或x=3.4时，与相似．14．【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则___________．【拓展提升】（3）如图3，和都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．①求的值；②延长交于点G．交于点F．求．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②30°【分析】（1）证明BAD CAE，从而得出结论；（2）证明BAD∽CAE，进而得出结果；（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明BAD∽CAE，进而得出结果；②由BAD∽CAE，得出∠ACE=∠ABD，进而得出∠BGC=∠BAC．【详解】（1）证明：∵ABC和ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD CAE（SAS），∴BD=CE；（2）解：∵ABC和ADE都是等腰直角三角形，∴，∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD∽CAE，∴；故答案为：；（3）解：①∵∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，∴AE=2DE，AC=2BC，由勾股定理得AD=DE，AB=BC，∴，同理BAD∽CAE，∴；②∵BAD∽CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AFC=∠BFG，∴∠BGC=∠BAC=30°．。
相似图形
放大镜下的图形和 原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原图 形中角是什么关系?
想一想: 放大镜下的图形和原来的图形相似吗?
(1)
(2)
(3)
你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形 象与你本人相似吗？
(A)
(B)
(C)
试一试
“行家”看门道!
观察下列图形，哪些是相似形？
？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ （7） （8） （9）
对应边成比例，但对应角不相等，两个图 形不是相似图形
基础训练
口答： (2)如图，正方形的边长a=10，矩形的 宽b=5，长a=10,它们相似吗？请说明 理由.
对应角相等，但对应边不成比例，两个图 形不是相似图形
如何判断两个多边形是否为相似多边形
• 1，两个多边形的边数必须相同 • 2，各对应边必须成比例 • 3，各对应角必须相等 • 三个条件同时满足时，两个多边形 为相似多边形
做一做
图23．2．1是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它 们是相似的图形．设在大地图中有A、B、C三地，在小地 图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张 地图中A（A′）与B（B′）两地之间的图上距离、B（B′） 与C（C′）两地之间的图上距离．
2 5 •AB＝_____cm ， BC＝______cm ； 1 .4 3 .5 •A′B′＝______cm ， B′C′＝______cm ． •显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相 等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图 缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的 长度相比都“同样程度”地缩小了．
§23.2 相似图形
• 通过具体实例认识相似图形. • 理解掌握相似图形的性质和判定，并会应 用其解决问题.
苏教版九年级数学下册第6章图形的相似课件
13、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当 楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线上时， 其他人测出AB=4cm，AC=12m。已知皮皮眼睛离地面 1.6m。请你帮他算出楼房的高度。
F
E D
A
B
C
谢谢
AD CE
∴△ADE∽△ECF
∴∠1+ ∠3=90 ° ∴∠2+ ∠3=90°
∴∠1=∠2
∴ AE⊥EF
画一画
10、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点 为顶点的三角形叫做格点三角形。在如图4×4的格纸 中，△ABC是一个格点三角形。
(1)在右图中，请你画一个格点三 角形，使它与△ABC类似（类似比 不为1）。
S ADE AE2 25
∴ S EFC = AC2 = 121
∵ S△ADE=25 ∴S △ABC=121
25 E
36
C
7、在平行四边形ABCD中，AE:BE=1:2。
若S△AEF=6cm2 则S△CDF = 54 cm2
S △ADF=_1_8__cm2
D
C
F
A
E
B
8、如图（6）， △ABC中，DE⁄⁄FG⁄⁄BC，AD＝DF＝ FB，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ =_________。
4 位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，类似比为k，那么位似图形对应点 的坐标的比等于k或－k。
复习题
1、如图点P是△ABC的AB边上的一点，要使△APC∽△ACB，
则需补上哪一个条件？
A
P 2
1
B
C
∠ACP=∠B 或∠APC=∠ACB 或AP:AC=AC:AB
6相似三角形的性质和判定
相似三角形的性质和判定一、一周知识概述(一)相似三角形1、三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形．用符号“∽”表示相似，读作“相似于”．①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③由相似三角形的定义知如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：三边对应成比例的两三角形相似．判定定理2：两角对应相等的两个三角形相似．判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．方法总结：（1）判定两个三角形相似，至少需要下列条件之一：①两角对应相等；②两边对应成比例且夹角相等；③三条边对应成比例．理解时，可类比全等三角形的判定方法．在①中，只要满足两个角对应相等，这两个三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角(或补角)”都是相等的，这是常用的判定方法．（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（3）．但是，在选择利用判定定理（3）时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形相似的判定如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”或“双直角三角形”，其应用较为广泛．如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．所以AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD.(三）相似三角形的性质1、相似三角形的周长的比等于相似比．如图，其符号语言：2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．其符号语言：如图①∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，②∵△ABC∽△A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，③∵△ABC∽△A′B′C′，∠BAE=∠CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，性质(1)与(2)可简记为：相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比．3、相似三角形的面积的比等于相似比的平方．二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：①“平行线型”相似三角形，②“相交线型”相似三角形，③“旋转型”相似三角形．从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．三、典型例题讲解1、寻找相似三角形例1、如图，在□ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC 于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对2、画符合要求的相似三角形例2、在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1请在图中画出一个△A1都在单位正方形的顶点上．（1）（2）3、利用相似三角形定义求线段长例3、已知△ABC中，AB=8，AC=6，点D，E分别在AB，AC上，如果以A，D，E 为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为，求AD和AE的长．4、相似三角形的判定例4、根据下列各组条件，判定△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．(1)AB=3.5，BC=2.5，CA=4，A′B′=24.5，B′C′=17.5，C′A′=28；(2)∠A=35°，∠B=104°，∠C′=44°，∠A′=35°；(3)AB=3，BC=2.6，∠B=48°，A′B′=1.5，B′C′=1.3，∠B′=48°．例5、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．例6、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：．5、相似三角形的性质的应用例7、如图所示，D是BC上一点，△ABC∽△DBA，E，F分别是AC，AD的中点，且AB=28，BC=36，求BE∶BF．例8、如图所示，PN∥BC，AD⊥BC，交PN于E，交BC于D．例9、如图，△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高．一、选择题1、下列命题正确的是（）A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．以上结论都不正确2、如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEFC．△CFB D．△EFB和△DEF3、点P是△ABC的AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条4、如图，正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则（）A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD5、两个相似三角形的对应边上的中线之比是2∶3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别是（）A．8和12 B．9和11C．7和13 D．6和146、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=1∶2，则S△ADE∶S△ABC等于（）A．1︰2 B．1︰4C．1︰8 D．1︰97、两个相似三角形面积的比值为a，周长的比值为b，若a＋b=6，则等于（）A．2 B．C．3 D．8、两个相似三角形对应中线之比为，其中一个三角形面积是9，则另一个三角形面积是（）A．B．3或27C．27 D．39、如图所示，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，下列结论正确的是（）A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDA D．△AOC∽△DOA10、下列命题不成立的是（）A．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=80°，∠B=40°，∠A′=80°，∠B′=60°，那么这两个三角形相似B．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，设∠C=∠C′=90°，AB、A′B′边上的中线分别为CD和C′D′，且，则△ABC∽△A′B′C′C．如果一个三角形的两边及第三边上的高与另一个三角形的两边及第三边上的高对应成比例，那么这两个三角形相似D．如果一个三角形的两边及第三边上的中线与另一个三角形的两边及第三边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似二、解答题11、如图所示，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．12、如图，在△ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？13、如图，已知格点△ABC，请在图中分别画与△ABC相似的格点△A1B1C1和格点△A2B2C2，并使△A1B1C1与△ABC的相似比等于2，而△A2B2C2与△ABC的相似比等于．(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．友情提示：请在画出的三角形的顶点处标上相对应的字母．)14、如图，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，P是AD上的一个动点，且和A、D不重合，过P作PE⊥CP交直线AB于E，设PD=x，AE=y．(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)判断直线PE是否一定和线段AB相交？证明你的结论．15、已知：DE是△ABC的中位线，P为DE上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于N、M．求证：.16、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t≤6）.那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？解：由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB.由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，△DCF∽△EAD.故选 B.点评：本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况．可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理来找相似三角形，但要注意不要漏找．分析：设单位正方形的边长为1，则△ABC的三边为，从而根据相似三角形判定定理1或3可画△A1B1C1，易得点评：B1C1只能画出以上三个，若正方形方格数在4×4的正方形方格中，满足题设的△A1不加限制，则和△ABC相似且不全等的三角形可以画无数个．分析：通过相似比，将AD，AE的长转化到方程中求解．由于已知的两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应分类讨论．解：①如图(1)所示，当△ADE∽△ABC时，有，，AE=2．②如图(2)所示，当△ADE∽△ACB时，，小结：数形结合思想方法是解答有关相似三角形问题的基本方法．在解题时需借助图形深入理解数量之间的关系，并对问题进行全面的、进一步的分析与探索．分析：(1)中所给出的是两个三角形中的六条边的长，考虑用“三边对应成比例”；(2)中给出的是两个三角形中的两组角，考虑用“两角对应相等”；(3)中给出的是两个三角形中的两组边、一组角，考虑用“两边对应成比例且夹角相等”．解：(2)因为∠C=180°－∠A－∠B=41°，∠B′=180°－∠A′－∠C′=101°，所以两个三角形中只有∠A=∠A′，所以△ABC与△A′B′C′不相似．分析：(1)△ADF与△EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；(2)注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD，由结论(1)不难得出结论(2)．证明：(1)∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠BDE=90°，又∵∠F＋∠A=∠B＋∠A，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△EDB．(2)由(1)得，∴AD·BD=DE·DF．又∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AD=BD=CD．故CD2=DE·DF．点评：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证．其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△CDE∽△FDC．请同学们完成这一证明．分析：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证△ABE∽△ACF，△BDE∽△CDF，从中不难找到这个中间比．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠3=∠4=90°，∴△ABE∽△ACF，点评：①当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；解析：BE，BF分别是△ABC，△ABD中AC，AD边上的中线，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答．因为△ABC∽△DBA，且BC=36，AB=28，所以相似比．又因为BE，BF分别是△ABC，△ABD中AC，AD边上的中线，．点拨：利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，注意把相似三角形的对应元素确定准确分析：首先，先说明△APN与△ABC相似，再根据相似三角形的性质和比例的有关知识结合已知条件，就可求出这三个问题的结论．解：(1)因为PN∥BC，所以可得△APN∽△ABC．又因为相似三角形面积比等于相似比的平方，因为S△=18cm2，所以S△APN=2cm2．ABC小结：两个三角形相似，具有的性质包括：(1)周长比等于相似比；(2)对应高(中线、角平分线)的比等于相似比；(3)面积比等于相似比的平方．本题的关键是由相似三角形面积的比等于相似比的平方这一性质建立比例式，列方程求解，体现了数形结合的思想．分析：此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小．解：(1)如图(1)，设正方形CDEF的边长为x cm．∵EF∥AC，．解之得．(2)如图(2)，设正方形DEFG的边长为y cm．作CN⊥AB于N，交DG于M．由勾股定理得AB=10cm．由，得AC·BC=AB·CN．．∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB．(相似三角形对应高的比等于相似比)．即．解之，得．由于．所以第(1)种加工方法的利用率较高．反思：有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题．第1题答案错误! 正确答案为 C第2题答案错误! 正确答案为 B第3题答案错误! 正确答案为 C第4题答案错误! 正确答案为 B第5题答案错误! 正确答案为 A第6题答案错误! 正确答案为 D第7题答案错误! 正确答案为 B第8题答案错误! 正确答案为 B第9题答案错误! 正确答案为 C第10题答案错误! 正确答案为 C提示：1、根据相似三角形的定义，要判定两个三角形相似，一定满足：(1)对应角相等；(2)对应边成比例．选项C满足上述两个条件．故选C．2、利用有两角对应相等的两个三角形相似可判定．3、过P分别作与BC和AC平行的直线所截得的三角形与原三角形相似，这时有两条直线，过P作∠PKB=∠A交BC于K可得一条直线；过P作∠PNA=∠B交AC于N又可得一条直线，故可作4条直线．4、因为且∠A=∠C=60°，所以△AED∽△CBD．5、可设一个三角形的周长为x，另一个三角形的周长为20－x，故，所以x=8．20－x=12．6、DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，．7、a=b2，知b2＋b=6，解得b1=2，b2=－3．由b＞0，知b=2，所以a=b2=4，．8、题中未注明面积为9的三角形是哪一个三角形，故有可能出现两种情形．9、设OA=OB=BC=CD=a，因为∠AOD=90°，所以根据勾股定理，得又∠ABC=∠DBA，所以△BAC∽△BDA．11 解：∵，又∴．(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等．∴CP＋CQ＋PQ=AP＋AB＋BQ＋PQ，而AP=CA－CP，BQ=CB－CQ．∴CP∶CA=CQ∶CB．即CP∶CQ=4∶3，．12 分析：△PBQ与△ABC相似，顶点之间有两点可能的对应关系，一种是△PBQ∽△ABC，另一种是△PBQ∽△CBA，所以我们要分两种情况加以解决．解：设P、Q同时出发后，经x秒，△PBQ与△ABC相似，则AP=2x，BQ=4x，PB=8-2x．(1)若△PBQ∽△ABC，则，即，∴x=2；(2)若△PBQ∽△CBA，则，即，∴．答：经过2秒或秒，△PBQ与△ABC相似．13解答：因为AC＝1，BC=由于三角形的位置不确定，所以所作的三角形具有开放性，答案不唯一，如图是其中一种答案．15 分析：要证几个比的和（差）为常数，通常需将这几个比转化为分母相同的比，而后再进行加减运算．本题中利用已有的平行线DE//BC，无法将两个比转化，所以需要添加适当的辅助线．证明：过A作GF//BC交BN、CM的延长线于F、G.∴，∴∵AG//PE，AE=EC，∴CP=PG，同理可证：BP=PF又∵∠BPC=∠FPG，∴△BPC≌△FPG∴BC=FG，∴说明：若需证几个比的积为常数，则通常把几个比化为能约分的比，而后再进行乘积运算．16 解：（1）t=2s，△QAP为等腰直角三角形；（2）S=36，∴P、Q两点在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变；QAPC（3）分两种情况：若△QAP∽△ABC，t=1.2s；若△PAQ∽△ABC，t=3s.中考解析中考对本节的要求：会用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似，会画与已知三角形相似的三角形，能利用“相似三角形对应角相等，对应边成比例”证明或计算一些简单的几何问题．例1、( 临安)如图所示，小正方形的边长均为1，则下图中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（）分析：本题考查三角形相似的判定与勾股定理的综合应用．从上左图中可知△ABC三边长分别为，而A中三角形三边长为；B中三角形三边长分别为；C中三角形三边长分别为；D中三角形三边长分别为，故知B中三角形与△ABC相似．故正确答案为B．例2、(南京)如图所示，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（）分析：本题考查相似三角形性质的运用．根据题意，由AB∥CD可知∠PAB=∠PCD，又∠A=∠A，所以△PAB∽△PCD．因此△PAB的高与△PCD的高的比等于相似比，而AB=2，CD=5，点P到CD的距离为3，故点P到AB的距离等于，故正确答案为C．。
确定图形的相似性质
确定图形的相似性质在数学中，相似性是一个重要的概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。
当两个图形具有相同的形状，但是可能具有不同的大小时，我们可以说它们是相似的。
确定图形的相似性质是数学中的一个基本问题，它在几何学、计算机图形学以及物理学等领域都有广泛的应用。
首先，让我们来看一下相似性的定义。
在几何学中，两个图形相似的条件是它们的对应边成比例，而对应角度相等。
这意味着，如果我们知道两个图形的边长比例，以及它们之间的角度关系，我们就可以确定它们是相似的。
例如，如果一个三角形的边长比例为1:2:3，而另一个三角形的对应角度也相等，那么这两个三角形就是相似的。
确定图形的相似性质在实际问题中有很多应用。
在计算机图形学中，相似性可以用来进行图像的缩放和旋转。
通过确定图像的相似性质，我们可以将一个图像按照一定的比例进行缩放，或者将其旋转到特定的角度。
这在图像处理和计算机动画中都有广泛的应用。
另一个应用是在物理学中。
在物理学中，相似性可以用来研究物体的运动和形变。
通过确定物体的相似性质，我们可以推断出物体在不同条件下的运动规律，以及其在受力作用下的形变情况。
这对于解决一些实际问题，如工程结构的设计和材料的性能研究，都具有重要的意义。
在确定图形的相似性质时，我们可以利用一些方法和定理。
其中一个常用的方法是比较图形的边长比例。
如果两个图形的边长比例相等，那么它们就是相似的。
另一个常用的方法是比较图形的角度关系。
如果两个图形的对应角度相等，那么它们也是相似的。
利用这些方法，我们可以快速判断两个图形是否相似。
除了这些方法，还有一些定理可以帮助我们确定图形的相似性质。
其中一个重要的定理是“AA相似定理”。
根据这个定理，如果两个三角形的两个角度分别相等，那么它们就是相似的。
这个定理在确定三角形的相似性质时非常有用。
另一个重要的定理是“SSS相似定理”。
根据这个定理，如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们就是相似的。
相似与全等的认识
相似与全等的认识相似与全等是数学中常用的概念，它们在几何学、代数学等领域都有着重要的应用。
相似与全等虽然看起来相似，但实际上在定义和性质上存在着明显的差异。
本文将详细介绍相似和全等的概念以及它们之间的区别。
1. 相似的定义和性质相似是指两个或多个事物在形状上有一定的相似性质，但大小或比例可以不同。
在数学中，我们通常用“∼”或“∽”来表示相似。
设两个图形A和B，若存在一个变换f，使得A经过f的变换后变为B，那么称A与B相似。
这里的变换可以是平移、旋转、镜像等。
相似具有以下性质：1.1 两个相似图形的对应边的比例相等。
设图形A与B相似，对应边的长度分别为a与b，则有a/b=k（比例因子），其中k为正常数。
1.2 两个相似图形的对应角度相等。
设图形A与B相似，对应角度分别为α与β，则有α=β。
通过相似的性质，我们可以进行一些有关长度、面积等方面的推导和计算。
例如，当两个三角形相似时，根据对应边的比例可以求得它们的面积比。
2. 全等的定义和性质全等是指两个图形在形状和大小上完全相同，各个部分完全重合。
在数学中，我们通常用符号“≌”来表示全等。
设两个图形A和B，若A与B的所有对应边长相等，所有对应角度相等，那么称A与B全等。
全等具有以下性质：2.1 两个全等图形的对应边的长度相等。
设图形A与B全等，对应边的长度分别为a与b，则有a=b。
2.2 两个全等图形的对应角度相等。
设图形A与B全等，对应角度分别为α与β，则有α=β。
2.3 全等图形的面积相等。
全等的概念在几何学中应用非常广泛。
例如，当两个三角形全等时，它们的三个对应边长相等，各个对应角度也相等。
3. 相似与全等的区别相似与全等在定义和性质上存在着明显的差异。
它们的区别主要体现在以下几个方面：3.1 形状与大小：相似是指形状相似，但大小可以不同；全等是形状和大小都相同。
3.2 变换要求：相似需要存在一个变换将一个图形变为另一个相似的图形；全等要求图形的所有对应边长和对应角度都相等。
图形的相似与相似比
图形的相似与相似比相似形是几何学中一个重要的概念，它与比例和比例相似有密切的关系。
在本文中，我们将探讨图形的相似性以及如何计算相似比。
一、相似形的定义相似形指的是具有相同形状但不一定有相同大小的两个图形。
换句话说，如果两个图形的对应角度相等，并且对应边的长度成比例，那么它们就是相似形。
二、相似比的计算相似比是用来表示两个相似形之间对应边的长度比例关系的比值。
当我们研究相似形时，相似比是一个重要的参考指标。
计算相似比的方法是将两个相似形中的对应边的长度相除。
具体来说，如果两个相似形的长度比为a:b，那么它们的相似比可以表示为a:b或者a/b。
相似比的计算可以应用于各种图形，包括三角形、矩形、圆形、正多边形等。
通过计算相似比，我们可以了解到两个相似形的大小关系。
三、相似形的应用相似形有广泛的应用领域，包括建筑设计、地图制作、模型制作等。
在这些领域中，相似形的概念和计算相似比的方法都会被经常使用。
在建筑设计中，相似形可以帮助设计师按照既定比例缩放建筑模型，以便更好地展示设计意图。
相似形的概念也可以用于地图制作，帮助我们在保持地理比例的基础上绘制精确的地图。
另外，相似形的概念还在模型制作中得到应用。
例如，当我们制作飞机模型或者汽车模型时，可以通过计算相似比来按比例缩放原型，从而制作出准确的模型。
四、相似形的性质相似形具有一些重要的性质，这些性质对于理解相似形的特点和特性非常重要。
1. 对应角相等：两个相似形的对应角是相等的，即它们的内角度量相等。
2. 对应边成比例：两个相似形的对应边之间的长度比是相等的，即它们的边长成比例。
3. 面积比例的平方：如果两个相似形的边长比为a:b，那么它们的面积比例为a²:b²。
五、相似形的判定判定两个图形是否相似需要满足以下两个条件：1. 角对应相等：两个图形的对应角度相等。
2. 边长成比例：两个图形的对应边长度之比相等。
只有当这两个条件同时满足时，我们才能判定两个图形是相似形。
相似图形的性质
《相似图形的性质》一、教学目标：认知目标：探索相似图形的性质，理解相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
知道相似图形的判别方法，会根据相似图形的性质识别两个多边形是否相似。
能力目标:进一步发展学生观察、概括，实践等能力，培养学生分析理解数学问题的能力和运用所学知识解决简单数学实际问题的能力；情感目标:学生通过将地图问题转化为多边形的问题的过程中，体会化归思想。
学生在主动参与观察、实践操作中，发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯。
在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，培养学生的合作习惯。
二、教学重、难点重点：相似多边形的性质难点：理解和应用相似多边形的性质三、教学方法：直观教学法、探究发现法四、教学用具：多媒体、纸片五、教学过程：BC＝的边长b＝5，它们相似吗？请说明理由．①所有的三角形都相似（）②两个等腰三角形相似（）③两个等边三角形相似（）④所有的矩形都相似（）⑤所有正方形都相似（）学生自主完成其目的是让学生加强对新知的理解和应用，培养学生解决问题的能力；（三）巩固提高能力拓展活动：（人人都是设计师）让学生在网格图中设计漂亮的相似图形，看看谁设计得更漂亮。
（同桌之间相互检查画的图形是否是相似图形）在本环节中，一定要充分教师的主导作用，发挥教学评价的激励、调控功能。
（四）小结评价知识提炼在本节课的学习探索中，你学习了哪些知识？你遇到了哪些问题，你是如何解决的？通过提问方式进行小结，交流收获与不足，让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯，有利于帮助学生理清知识脉络，同时明确本节课。
相似图形的比例和相似比
相似比在电路分析中的应用
相似比在力学分析中的应用
相似比在电磁学中的应用
相似比在光学中的应用
基因序列比对：通过比对不同生物的基因序列，研究它们的相似性和差异性，有助于了解物种之间的亲缘关系和进化历程。
生物分类：通过比较不同生物的形态特征和基因序列，可以对生物进行分类和鉴别，确定它们的系统发育关系。Leabharlann 相似比用于雕塑中人物的比例关系
相似比用于建筑设计中的空间布局
相似比用于设计图纸的比例缩放
相似比用于绘制风景画的远近关系
相似比与几何定理的关系
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相似比与射影定理的关系：在几何学中，射影定理描述了相似图形之间的比例关系，而相似比是描述相似图形之间相似程度的量，两者之间存在密切的联系。
对应角相等
对应边成比例
对应高、中线、角平分线等成比例
面积比等于相似比的平方
对应角相等
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
周长比等于相似比
相似图形的比例
相似比是相似图形中对应边的长度之间的比例关系，也是相似图形中对应角的大小之间的比例关系。
在几何学中，相似比是描述两个相似图形之间相似程度的重要参数。
相似比是描述两个相似图形对应边之间的比例关系的数值。
相似比通常用分数或小数表示，也可以用百分比表示。
定义：相似比是指两个相似图形对应边的长度之比
计算方法：取两个相似三角形的一组对应边长，计算它们的长度之比，即为相似比
性质：相似比是两个相似图形之间唯一的比例关系，可以通过相似比来判断两个图形是否相似
相似比在经济学中的未来发展
相似比在经济学中的重要性
几何形的相似与等比性质
几何形的相似与等比性质在几何学中，相似和等比是两个经常出现的概念。
这两个概念在很多问题中都有重要的应用，而且也有一些非常重要的性质和定理。
在本文中，我们将探讨几何形的相似性和等比性质，并介绍其中一些重要的定理和性质。
一、相似性质如果两个几何图形的形状相似，那么它们的边长和角度之间的比值都是相等的。
换句话说，如果一个几何形与另一个几何形相似，那么它们之间的比例关系是固定的，即使它们的大小不同。
例如，在同心圆中，外接圆与内接圆是相似的，因为它们的形状相同。
在这种情况下，它们的半径和周长之间的比率是相等的。
同理，如果两个三角形的形状相似，那么它们的三边长比例也是相等的。
相似性质具有很多应用，如计算难以测量的距离或高度等。
图像处理和计算机图形学中也会使用相似性质，以缩放图像或进行形状变换。
二、等比性质等比性质与相似性质密切相关，因为等比是指一组数中相邻两个数之间的比例是相等的。
如果几何形的某些长度值之间存在等比关系，那么这些几何形也与其他形状相似。
例如，在一个等边三角形中，三条边的长度之间存在等比关系，即1:1:1。
因此，任何与等边三角形相似的形状都将有相同的边长比率。
等比性质也可以应用于计算机图形学和图像处理中，因为它们可以用于图像的缩放、旋转和转换等方面。
三、重要定理和性质1. 相似三角形定理相似三角形定理指出，如果两个三角形具有相似的形状，则它们之间的对应角度相等。
这意味着，如果两个三角形的角度值相等，则它们必须具有相似的形状。
2. 三角形高度定理三角形高度定理指出，对于任何三角形，如果从该三角形的一个顶点引一条垂线到另一边上，则该垂线上的长度与三角形的面积成正比。
这意味着面积相等的三角形，它们的高度与底边的乘积相等。
3. 共圆定理共圆定理指出，如果两个三角形在同一个圆上，则它们是相似的。
这意味着，对于一个给定的圆，如果将这个圆划分成若干个扇形，并且将这些扇形中的一些扇形抽象成三角形，则这些三角形的属性必须是相同的。
相似图形与比例关系
相似图形与比例关系相似图形是指具有相同的形状但不一定相同的大小的两个或多个图形。
在相似图形中，各个对应部分的长度之比保持不变，这种比例关系被称为相似比例尺。
相似性质1. 对应角相等：在相似图形中，对应的角是相等的。
这意味着如果两个图形的角度相同，那么它们是相似的。
2. 对应边成比例：在相似图形中，对应边的比值是相等的。
假设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a和b，则它们的比例关系可以表示为a:b。
3. 长度比与面积比：在相似图形中，任意一对相似图形的对应边长度比等于它们的面积比的平方根。
即若a:b为相似图形的对应边长度比，那么它们的面积比为a^2:b^2。
应用举例1. 长方形的相似性：假设有两个长方形，它们的宽度和长度比分别为a:b，那么它们的面积比将为a^2:b^2。
这意味着如果一个长方形的宽度是另一个长方形的一半，那么它们的面积比将是1:4。
2. 直角三角形的相似性：在相似直角三角形中，三角形的两条直角边的长度比是相等的。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果有一条线段DE满足AB:DE=1:2，那么角BAC与角EDF将是相等的，其中DF是DE的平方根倍。
3. 圆的相似性：在相似圆中，圆的半径之比等于圆的周长之比，也等于圆的面积之比。
这意味着如果两个圆的半径之比为a:b，那么它们的周长和面积之比也将是a:b。
总结相似图形之间的比例关系可以帮助我们计算未知数的值，从而解决与相似性质相关的问题。
通过了解相似比例尺和相似图形的性质，我们可以更好地理解和应用这一概念。
在解决实际问题或进行几何推理时，相似图形与比例关系将为我们提供有力的工具。
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相似图形的性质
课型：新授
班级：姓名：时间：
教学目标：
1、知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。
2、识别两个多边形是否相似的方法。
重点难点：
1、重点：相似图形的性质
2、难点：理解和应用相似图形的性质
教学方法：三疑三探
教学过程：
一、复习导入
1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗?
2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系?(都成比例)
二、合作探究：
1、相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢?
2、再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果?反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系?
3、两个三角形一定是相似形吗?两个等腰三角形呢?两个等边三角形呢?两个等腰直角三角形呢?
4、所有的菱形都相似吗?所有矩形呢?正方形呢?
5、独立思考后，小组交流，讨论。
6、展示成果，相互补充。
5、同学们还有什么问题或疑问？
四、达标测评：
1、矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′C′D′的面积为57cm2，这两个矩形相似吗?为什么?
2、如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥ B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x，y及角a。
五、拓展延伸：
2,这两矩形ABCD与矩形A’B’C’D’中，AB=16cm，BC=10cm，B’C’=5cm,S矩形A’B’C’D’=40cm
个矩形相似吗？为什么？
独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流。
课堂小结：
1．两个多边形是否相似的两个标准是什么?
2．相似多边形具有什么特征?
作业：Ｐ51习题5、6、7、8
教学反思：。