4平行四边形的性质和判定
平行四边形性质
平行四边形的性质1．平行四边形的概念有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．作用：(1)给出了一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形．(2)给出了平行四边形的一个重要性质：两组对边分别平行．2．平行四边形的性质详解：(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；(2)平行四边形的对边平行且相等；(3)平行四边形的对角相等，邻角互补；(4)平行四边形的对角线互相平分．3．平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图1，拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2，二、平行四边形的判定1．平行四边形的判定方式2．三角形中位线定理定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线；定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
作用：(1)位置关系：可以证明两条直线平行；(2)数量关系：可以证明线段的相等或倍分．拓展：(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形；(2)要会区别三角形的中线与中位线．三、平行四边形小结：四、矩形1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。
2．矩形的性质(1)具有平行四边形的所有性质；(2)对角线相等；(3)四个角都是直角；(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．3．直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半拓展：己学过的直角三角形的性质主要有：(1)两锐角互余；(2)两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半；(4)斜边上的中线等于斜边的一半．4．矩形的判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形．5．矩形的面积公式：矩形面积=长×宽五、菱形1．概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边都相等；(3)两条对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角；(4)既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线．拓展：由于菱形的对角线互相垂直平分，许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中解决．3．判定：(1)定义；(2)四条边都相等的四边形；(3)对角线互相垂直平分的四边形；(4)对角线平分一组对角的平行四边形．4．面积：(1)平行四边形面积公式：底×高(2)两条对角线乘积的一半．若a、b分别表示两条对角线的长，则六、正方形1．概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．拓展：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．2．性质：(1)边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角——四个角都是直角；(3)对角线——①相等；②相互垂直平分；③每一条对角线平分一组对角；两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形．(4)是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．拓展：(1)若正方形的边长为a，则对角线的长为；(2)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等．3．判定：(1)先证它是矩形，再证一组邻边相等；(2)先证它是菱形，再证一个角是直角．4．面积：(1)正方形的面积等于边长的平方；(2)正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半．拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大．例题分析：1．如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO．求证：∠AOB=∠COB．解：作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，连接BE、BF；根据和AE=CF，可证BN=BM，于是∠AOB=∠COB．2．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将△ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形．证明略．3．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°，又E，F，G别离为DO，AO，BC的中点．求证：△EFG为等边三角形．证明：连接EC．∵ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，且AC=BD．又∵DC=DC，∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴△ODC为等腰三角形．∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△ODC为等边三角形．又∵E为OD中点，∴∠OEC=90°．在Rt△BEC中，G为斜边的中点，∴。
平行四边形性质与判定的关系
平行四边形性质与判定的关系
弄清平行四边形性质与判定的关系
以上表达式说明三点：
（1）平行四边形的定义既有性质定理的作用，又有判定定理的作用．
（2）平行四边形的性质定理与判定定理互为逆定理．
（3）判定平行四边形需要两个条件．
平行四边形的判定方法较多（共有五个），因此证明四边形是平行四边形时，不是先确定用哪一个判定方法，而是先分析条件，观察待证四边形中最容易得到怎样的一个判定元素，然后分析与这个元素搭配的判定方法中的另一个元素是什么，最后证出这个搭配元素．
例如易得一组对边平行，则可考虑证这组对边相等，或证另一组对边也平行，至于选证哪一组条件，应先仔细分析其他条件再确定。
平行四边形的性质和判定是本章的重点内容，特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）、梯形的学习和研究都是以此为基础的，因此掌握平行四边形的性质和判定是学好本章的关键．
平行四边形性质及判定口诀
（1）
平行四边形，形状不稳定．
若是三角形，永远不变更．
平行四边形，对角定相等．
平行四边形，对边也相等，
注意对角线，平分互相能．
（2）
首先判断对应边，分别平行或相等；
二是看其对角线，如若平分能判定；
三是看其对应角，只要两组对应等．
满足上面某一种，即为平行四边形．
例：三个点A.B.C，以它们为顶点的平行四边形一共有( )个？(A．B．C不共线)答案：3。
平行四边形的性质及判定归纳汇编
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平行四边形及特殊的平行四边形的定义及判定（关系图见背面，符号语言自己补充）
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对角线互相平分且相等 有三个角是直角
四边形
两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等
∵四边形 ABCD 是平行四 边形
∴∠ ABC= ∠ ADC, ∠ BAD= ∠ BCD
两组对边分别平行
两组对边分别相等
四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ OA=OC,OB=OD
对角线相等且互相平分
∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AB∥ CD,AD ∥ BC
两组对边分别平行
∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB∥ CD,AD ∥ BC
两组对边分别平行
∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ AB∥ CD,AD ∥ BC
∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AB=CD,AD=BC
四条边都相等
∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB=CD=AD=BC
四条边都相等
∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ AB=CD=AD=BC
两组对角分别相等 对角线互相平分
平行四边形
有一个角是直角 对角线相等
一组邻边相等 对角线互相垂直
对角线互相平分且垂直（对角线互为垂直平分线） 四边都相等矩形ຫໍສະໝຸດ 一组邻边相等 对角线互相垂直
菱形
有一个角是直角 对角线相等
四边都相等，且有三个角是直角 对角线互相垂直平分且相等（对角线相等且互为垂直平分线）
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∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠ ABC= ∠ ADC
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
平行四边形性质与判定综合
平行四边形的性质与判定一、平行四边形性质1.对边平行且相等2.对角相等，邻角互补。
3.对角线互相平分应用：（一）角的应用1.在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，则∠B＝，∠C＝，∠D＝.2.在中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝，∠C＝，∠D＝．3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠-∠=︒A B70，求平行四边形各角的度数。
A D（二）边及对角线的应用1.一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为____________．2.平行四边形ABCD的周长32，5AB＝3BC，则对角线AC的取值范围为（）A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜163．若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（）A.12和2B．3和4C．14和16D．4和84中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，则边AB ＝____________，BC＝____________．5如图，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC 的周长长8cm，求这个四边形各边长．6如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？7如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？（三）平行四边形面积公式1、底*高2、2倍大三角形面积3、4倍的三角形的面积。
1.在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝____________．2.如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，则的面积是____________．3．如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是4.平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．5.平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一边上的高是____________． 6．已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是__________．**拓展应用 三角形及梯形的面积（四）角平分线遇平行线等腰三角形必出现1. 平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是____________．2. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5cm ， BC ＝3cm ， ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F ，E ， 求AE ， EF ， BF 的长?FE DBAC二、平行四边形的判定1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形习题专练1.用边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，______________个为平行四边形。
平行四边形的性质与判定定理
平行四边形是指四条边都平行的四边形。
平行四边形的性质包括：
四条边都平行。
四个角都是直角。
对角线互相垂直，且长度互为相反数。
对角线的交点为四边形的中心。
对角线的中线均为平行四边形的中线。
对角线的中线的角度为45°。
判定定理：若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形。
证明：由于对角线互相垂直，则对角线的交点为四边形的中心。
设四边形的边长分别为a、b、c、d，对角线长度分别为p、q。
由于对角线互为相反数，则有p=a+c，q=b+d。
所以四边形的周长为2(p+q)=2(a+b+c+d)。
因此，四边形的周长是定值。
由于四边形的四条边都平行，则四角都是直角。
所以，四边形是平行四边形。
因此，若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形。
平行四边形知识点
A BC DO 平行四边形的性质和判断知识点：一、平行四边形的性质基本概念1、定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、图形语言:3、符号语言平行四边形：平行四边形性质（从边、角、对角线、对称性四个方面学习记忆） 性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.2. (角) 两组对角分别相等.邻角互补3.（线）对角线互相平分.4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.二、【例题讲解】小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长8米，其他三条边各长多少？∠A=60°，求其它各角？∠B 的外角为60°，求这个四边形的各内角的度数。
【轻松试一试】1.如图，AB ∥DE,BC ∥EF,CA ∥FD.图中有几个平行四边形?将它们表示出来,并说明理由.AFD2. 已知如图4.2-8,中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G F E D CBA图4.2-8角的计算：1、中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A2中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=___ 度,∠D=______度.边及周长的计算1、如图，平行四边形的对角线相交于点O ，BC=7㎝，BD=10㎝，AC=6㎝。
求△AOD 的周长。
2平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4：1,则AB 的长是_______。
3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.平行四边形的判断平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是： 从边看： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）【例题讲解】已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单． 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ． ∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC ．∴ DE=BF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF ．例2、已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．分析：因为BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，所以BE ∥DF ．需再证明BE=DF ，这需要证明△ABE 与△CDF 全等，由角角边即可．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD ，且AB ∥CD ． ∴ ∠BAE=∠DCF ．∵ BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴ BE ∥DF ，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF （AAS ）． ∴ BE=DF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）例3、 已知：如图3，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，且AE ＝CF 。
初二数学平行四边形的判定知识精讲 人教义务几何
初二数学平行四边形的判定知识精讲人教义务几何【学习目标】1．掌握并会证明平行四边形的四个判定定理．2．能灵活运用平行四边形的五种判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】平行四边形的判定：1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．3．判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．4．判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【基础知识精讲】1．平行四边形的判定定理，是相应性质定理的逆定理，学习时将它们进行对照，有利于记忆．2．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．平行四边形的知识运用包括：（1）直接运用平行四边形的性质去解决某些问题，例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍、分等；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题．【例题精讲】［例1］在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法：（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个剖析：本题是一道给出结论和部分条件，让学生探索附加条件的各种可能性的开放性题目，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查六种说法．说法（1）符合平行四边形的定义；说法（2）符合平行四边形的判定定理4；说法（3）由AB ∥CD和∠DAB＝∠DCB，可推断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法（4）可举出反例；说法（5）能证出BO＝DO，符合平行四边形的判定定理3；说法（6）不符合平行四边形的判定定理．答案：B［例2］如图4－23，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．图4—23（1）连结_____．（2）猜想：_____＝_____．（3）证明：剖析：容易猜想连结BF，证明BF＝DE．如图4－24，可连结DF、DB，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而证明猜想的结论．又可猜想连结DF，证明DF＝BE，证明方法可同上面猜想结论的证明方法．图4—24解法一：（1）BF（2）BFDE（3）证明：连结DB、DF，设DB、AC交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，DO＝OB，∵AE＝FC，∴AO－AE＝OC－F C．∴EO＝FO．∴四边形EBFD为平行四边形．∴BF＝DE．解法二：（1）DF（2）DFBE（3）证明：（略）说明：（1）本例解法一中又可通过△BCF≌△DAE等证明BF＝DE．（2）本例是结论猜想型的题目，此类题型是中考中常见题型．［例3］如图4－25，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE＝FE．求证：BF＝A C．图4—25剖析：延长AD到N，使DN＝AD，构造出平行四边形ABN C．证明：延长AD到N，使DN＝AD，连结BN、，则四边形ABNC为平行四边形．∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠1＝∠4．∵AE＝FE，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN＝BF，∴BF＝A C．说明：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷．【同步达纲练习】1．填空题（1）一个四边形的边长依次是a、b、c、d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是_____．（2）用两个全等三角形按不同方法拼成四边形，在这些四边形中，平行四边形的个数是_____．（3）四边形ABCD中，已知AB∥CD，若再增加条件______，可知四边形ABCD为平行四边形．（4）如图4－26，在ABCD中，E、F分别是对角线BD上两点，且BE＝DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简捷的方法是根据_____来证明．图4—26（5）如图4－27，在ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点，且BE＝DF，要证明四边形AECF是平行四边形，可证明_____ _____．图4—27（6）在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD＝BC；③∠A＝∠C．以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题______．2．选择题（1）下列命题是真命题的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．两条平行线间的垂线段就是这两条平行线的距离D．平行四边形的一条对角线平分一组对角（2）如图4－28，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BEDF，不一定是平行四边形的是（）图4—28A．DE⊥AC于E，BF⊥AC于F（图①）B．BE平分∠ABC，DF平分∠ADC（图②）C．E是AB的中点，F是CD的中点（图③）D．E是AB上一点，EF⊥AB（图④）（3）把两个全等的不等腰三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（4）如图4－29，在ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，GH、EF的交点P在BD上，图中面积相等的平行四边形有（）图4—29A．0对 B．1对 C．2对 D．3对3．如图4－30，在ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O分别交AB、CD于E、F，AO、CO的中点分别为G、H．求证：四边形G E H F是平行四边形．图4—304．如图4－31，已知O是ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD 于E、F两点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）填空：不增加辅助线的原图中，全等三角形共有_____对．图4—315．如图4－32，在△ABC中，E、G在BC边上，且BE＝GC，AB∥EF∥GH．求证：AB＝EF＋GH．图4—326．已知：平行四边形ABCD，试用两种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分．（要求用文字简述你所设计的两种方法，并正确画出图形）．【思路拓展题】想一想图4—33如图4－33，田村有一呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写作法）参考答案【同步达纲练习】1．（1）平行四边形（2）3 （3）AB＝CD（或AD∥BC，或∠A＝∠C等）（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）AECF（6）如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD＝B C．2．（1）B （2）D （3）C （4）D3．提示：先证△AOE≌△COF，得OE＝OF，再证OG＝OH．4．（1）提示：证△AOE≌△COF，得OE＝OF（2）25．提示：过E作ED∥AC交AB于D，先证△BED≌△GCH，得BD＝GH，再证AD＝EF．6．略．【思路拓展题】想一想如图所示。
平行四边形的性质和判定讲义(教师版)
平行四边形的性质和判定【知识梳理】一、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形就是平行四边形．如图四边形ABCD ，AB CD AD BC ∥，∥，四边形ABCD 就是平行四边形二、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长与面积周长：邻边之和的2倍面积：底乘高（常利用面积相等来求线段的长）三、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形四、三角形中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边长的一半判定：点E 是三角形ABC △的中点，且DE BC ∥，则点D 为AB 中点【诊断自测】1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．3．四边形ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，当AD=cm时，四边形ABCD 是平行四边形．4．如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有个平行四边形．【考点突破】类型一：平行四边形的性质例1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26答案：B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．例2、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．答案：50°．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．例3、如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．答案：1＜a＜7．解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．例4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．类型二:平行四边形的判定例5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s答案：B解析：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．例6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC=∠ADC，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组答案：B解析：如图，①∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；③∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形；④∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．∴其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有3组．故选B．例7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．例8、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．类型三：平行四边形的性质和判定例9、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．答案：见解析解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．例10、如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．例11、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．答案：见解析解析：证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．类型三：中位线定理例12、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE答案：B解析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．例13、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．答案：见解析解析：证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【易错精选】1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．63．已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有个．4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形．【精华提炼】一、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形【本节训练】训练【1】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC ⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm训练【2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE训练【3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．训练【4】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．基础巩固一．填空题1．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．3．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．5．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．二、选择题1．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5B．7C．9D．112．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A．30B．36C．54D．724．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE 的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2三、简答题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明．2．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．（1）求证：BD=DE；（2）求DM的长．巅峰突破1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN ∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF 分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案【诊断自测】1、D解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．2、解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．3、5．解：当AD=5cm时，四边形ABCD是平行四边形，∵AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，AD=5cm，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：5．4、3个.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有▱ADFE、▱BFED、▱CFDE三个．故答案为：3个【易错精选】1、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．2、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．3、3解：如图，D点共有3个，故答案为：3．4、．解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【本节训练】1、B解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．2、D解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．3、4解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．4、2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．基础巩固一、填空题1、解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．2、解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．4、解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．5、解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．二、选择题1、解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．2、解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3、解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．4、解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．5、解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．三、简答题1、证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．2、（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE∵AD⊥BD∴∠ADB=∠ADE=90°在△ADB与△ADE中∴△ADB≌△ADE∴BD=DE（2）∵△ADB≌△ADE∴AE=AB=12∴EC=AC﹣AE=8∵M是BC的中点，BD=DEDM=EC=4巅峰突破1、解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．2．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．3．解：连接MH，∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，∴MH=AD=DM，∴∠D=∠MHD=68°，∵MN∥AB，∴∠NMH=∠MHD=68°，又∵MN=AB=AD，∴MN=MH，∴∠MHN=（180°﹣68°）÷2=56°，∴∠CHN=180°﹣∠DHM﹣∠MHN=56°．故答案为：56°4．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP当P从B运动到C时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=21﹣2t∴16﹣t=21﹣2t解得t=5当P从C运动到B时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=2t﹣21∴16﹣t=2t﹣21，解得t=，∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，即解得t=9（秒）若点P返回时，CP=2（t﹣），则解得t=15（秒）．故当t=9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ=PD 时作PH ⊥AD 于H ，则HQ=HD∵QH=HD=QD=（16﹣t ）由AH=BP 得解得秒；当PQ=QD 时QH=AH ﹣AQ=BP ﹣AQ=2t ﹣t=t ，QD=16﹣t ，∵QD 2=PQ 2=t 2+122∴（16﹣t ）2=122+t 2解得（秒）；当QD=PD 时DH=AD ﹣AH=AD ﹣BP=16﹣2t ，∵QD 2=PD 2=PH 2+HD 2=122+（16﹣2t ）2∴（16﹣t ）2=122+（16﹣2t ）2即3t 2﹣32t+144=0∵△＜0，∴方程无实根，当点P 从C 向B 运动时，观察图象可知，只有PQ=PD ，由题意：2t ﹣26=（16﹣t ），t=．综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．第３１／３１页。
2021暑假复习八年级下册复习--平行四边形的性质与判定
八年级下册复习--平行四边形的性质与判定【考点链接】 1．平行四边形：(1)平行四边形的定义： 是平行四边形． 2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边 ． (2)平行四边形的对角 ，邻角 。
(3)平行四边形的对角线 ．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积． 3．平行四边形的判别方法：(1) 的四边形是平行四边形． (2) 的四边形是平行四边形． （3) 的四边形是平行四边形．(4) 的四边形是平行四边形。
【典例精析】例1 如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，DE 平分∠ADC ，则BE ＝_______________．（例1） （变式1） （变式2）变式1 如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点，若ABE EBC ∠=∠，2AB =，则□ABCD 的周长是_________.变式2 如图，在□ABCD 中，∠A=130°，在AD 上取DE=DC ，则∠E C B=________. .例2、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上两点，且BE=DF ，要判别四边形AECF 是平行四边形，你能找出几种方法？变式一：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上两点，且AE ∥CF ， 求证：（1）△ABE ≌△CDF; （2） ∠EAF=∠ECFDB CEDD D变式二：如图，E ，F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE=AF ．请你猜想：BE•与DF 有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．例3．（2020•广西）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ． （1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）连接AD ，求证：四边形ABED 是平行四边形．变式: 已知：□ABCD 中，直线MN//AC ，分别交DA 延长线于M ，DC 延长线于N ，AB 于P ，BC 于Q 。
平行四边形的性质和判定教学设计
平行四边形的性质和判定教学设计教学目的：1、深入了解平行四边形的不稳定性；2、理解两条平行线间的距离定义(区别于两点间的距离、点到直线的距离)3、熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形性质定理1、定理2及其推论、定理3和四个平行四边形判定定理，并运用它们进行有关的论证和计算；4、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点，体验“特殊般--特殊”的辨证唯物主义观点。
教学重点：平行四边形的性质和判定。
教学难点：性质、判定定理的运用。
教学程序：复习创情导入平行四边形的性质边：对边平行(定义1)；对边相等(定理2)；对角线互相平分(定理3)夹在平行线间的平行线段相等。
角：对角相等(定理1)；邻角互补。
平行四边形的判定：边：两组对边平行(定理1)；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等(定理4)；两组对角分别相等(定理1)二、授课1、提出问题：平行四边形有哪些性质：判定平行四边形有哪些方法2、自学质疑：自学课本P79-82页，并提出疑难问题。
3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳：根据预习和讨论的效果，进行点拨指导。
5、尝试练习：完成习题,解答疑难。
6、深化创新：平行四边形的,性质边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分(定理3)来在平行线间的平行线段相等。
角：对角相等（定理1）；邻角互补。
平行四边形的判定：边：两组对边平行(定义)；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等（定理4) 两组对角分别相等(定理1)7、推荐作业1、熟记“归纳整理的内容”2、完成《练习卷》3、预习(1)矩形的定义？(2)矩形的性质定理1、2及其推论的内容是什么?(3)怎样证明？(4)例1的解答过程中，运用哪些性质？思考题1、平行四边形的性质定理3的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知求证；2、如何证明性质定理3的逆命题?3、有几种方法可以证明？4、例2的证明中，运用了哪些性质及判定？是否有其他方法？5、例3的证明中，运用了哪些性质及判定？是否有其他方法？跟踪练习1、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD 是平行四边形。
第03讲 平行四边形的性质和判定(知识解读+达标检测)(解析版)
第03讲平行四边形的性质和判定【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4 平行四边形的判定】【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6 平行四边形的性质与判定综合】考点1：平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。
如图：AO=CO，BO=DO【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）A．1B．1.5C．2D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD 于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）A．155°B．130°C．125°D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．A．11B．18C．20D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）A．18B．9C．6D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD 相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 22 ．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4 平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD 成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A．①②B．①④C．②④D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE ＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是A C，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
专题04 平行四边形的性质与判定(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)
2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题04平行四边形的性质与判定【典型例题】1．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE▱AC，DF▱AC，连接BE、ED、DF、FB．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，由平行线的性质得出▱BAE＝▱DCF，证明▱ABE▱▱CDF得出AE＝CF，得出OE＝OF，即可得出结论；（2）由（1）得：OE＝OF＝12EF＝1，由勾股定理得出OB【详解】（1）证明：连接BD交AC于O，▱四边形ABCD是平行四边形，▱OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，▱▱BAE＝▱DCF，▱BE▱AC，DF▱AC，▱▱AEB＝▱CFD＝90°，在▱ABE和▱CDF中，BAE DCFAEB CFDAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱ABE▱▱CDF（AAS），▱AE＝CF，▱OE＝OF，又▱OB＝OD，▱四边形BEDF为平行四边形；（2）解：由（1）得：OE＝OF＝12EF＝1，▱BE▱AC，▱▱BEO＝90°，▱OB▱BD＝2OB＝．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC【答案】D【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形的判定定理两个角度思考判断即可．【详解】解：▱AB▱DC，AD▱BC，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；▱AB＝DC，AD＝BC，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；▱OA＝OC，OB＝OD，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；▱AB▱DC，AD＝BC，▱四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练平行四边形的定义法，判定定理法是解题的关键．2．如图，平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE▱AB于E，F为AD的中点，若▱AEF＝56°，则▱B＝（）A．56°B．60°C．64°D．68°【答案】D【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到EG=BG=CG，则▱B=▱GEB，则EG=AB=CD，所以▱EFG=▱FEG，接着证明FG▱AB得到▱AEF=▱EFG=56°，然后计算出▱GEB，从而得到▱B的度数．【详解】解：取BC 的中点G ，连接EG 、FG ，▱四边形ABCD 为平行四边形，▱AB =CD ，AB ▱CD ，▱CE ▱AB ，▱▱CEB =90°，▱EG =BG =CG ，▱▱B =▱GEB ，▱BC =2AB ，▱EG =AB =CD ，▱▱EFG =▱FEG ，▱F 点为AD 的中点，G 为BC 的中点，▱FG ▱AB ，▱▱AEF =▱EFG =56°，▱▱FEG =56°，▱▱GEB =180°-56°-56°=68°，▱▱B =68°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的性质．3．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AG ，BD 相交于点O ，10AC =，6BD =，AD BD ⊥．在边AB 上取一点E ，使AE AO =，则AEO △的面积为（ ）A B C D 【答案】D【分析】先过O 作OF AB ⊥于F ，过D 作DG AB ⊥于G ，依据勾股定理求得AD 和AB 的长，再根据面积法即可得出DG 的长，进而得到OF 的长，再根据三角形面积公式即可得到AEO ∆的面积．【详解】解：如图所示，过O 作OF AB ⊥于F ，过D 作DG AB ⊥于G ，平行四边形ABCD 中，10AC =，6BD =，5AO ∴=，3DO =，又AD BD ⊥，Rt AOD ∴△中，4AD =，Rt ABD ∴中，AB =1122AD BD AB DG ⨯=⨯，AD BD DG AB ⨯∴= //DG OF ，BO DO =，12OF DG ∴=又5AE AO ==，11522AOE S AE OF ∆∴=⨯=⨯， 故选：D ．此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的运用，三角形的中位线的性质．依据平行四边形的性质得到O 是对角线的中点是解决问题的关键．4．如图，在▱ABCD 中，CD ＝10，▱ABC 的平分线交AD 于点E ，过点A 作AF ▱BE ，垂足为点F ，若AF ＝6，则BE 的长为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．18【答案】C【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，结合▱ABC 的平分线交AD 于点E ，证明,AB AE = 再利用等腰三角形的性质可得：BE ＝2BF ，再由勾股定理求解,BF 即可得到答案．【详解】▱四边形ABCD 是平行四边形，▱AD ▱BC ，▱▱AEB ＝▱CBE ，▱▱ABC 的平分线交AD 于点E ，▱▱ABE ＝▱CBE ，▱▱ABE ＝▱AEB ，▱AB ＝AE ，▱AF ▱BE ，▱BE ＝2BF ，▱CD ＝10，▱AB ＝10，▱AF ＝6，▱BF =＝8，▱BE ＝2BF ＝16，【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，在等边▱ABC中，BC＝8cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．1或2B．2C．2或3D．2或4【答案】D【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，▱AG▱BC，▱当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣3t，解得：t＝2；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，▱AG▱BC，▱当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝3t﹣8，解得：t＝4；综上可得：当t ＝2或4s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，故选：D ．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，几何动态问题，掌握数学分类思想，平行四边形的性质解决问题是解题的关键．二、填空题6．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，▱C ＝70°，AE ▱BD 于E ，则▱DAE ＝_____度．【答案】20【分析】由DB ＝DC ，▱C ＝70°可以得到▱DBC ＝▱C ＝70°，又由AD ▱BC 推出▱ADB ＝▱DBC ＝▱C ＝70°，而▱AED ＝90°，由此可以求出▱DAE ．【详解】解：▱DB ＝DC ，▱C ＝70°，▱▱DBC ＝▱C ＝70°，▱四边形ABCD 是平行四边形，AE ▱BD ，▱AD ▱BC ， ▱AED ＝90°，▱▱ADB ＝▱DBC ＝▱C ＝70°，▱▱DAE ＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．7．▱ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，▱OBC 的周长比▱OAB 的周长大3，则BC ＝_____．【答案】9【分析】如图：由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB CD =，BC AD =，OA OC =，OB OD =；又由OBC ∆的周长比OAB ∆的周长大3，可得3BC AB -=，又因为ABCD 的周长是30，所以15AB BC +=；解方程组即可求得．【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，BC AD =，OA OC =，OB OD =；又OBC ∆的周长比OAB ∆的周长大3，()3BC OB OC AB OA OB ∴++-++=3BC AB ∴-=①，又ABCD 的周长是30，15AB BC ∴+=②，由①＋②得：218BC =9BC ∴=．故答案为：9．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．8．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，BD ▱AD ，AB ＝10，AD ＝6，则AC 的长为_____．【答案】【分析】利用勾股定理得出BD 的长，再由平行四边形的性质求出DO ，结合勾股定理即可得出答案．【详解】▱BD ▱AD ，AB ＝10，AD ＝6．▱BD 8=．▱四边形ABCD 是平行四边形．▱DO ＝12BD ＝4． AC ＝2AO ． ▱▱ADO 是直角三角形．▱AO ==▱AC =故答案为：【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出DO 的长是解题关键． 9．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分▱BCD 交AB 于点E 连接ED ，若EA =3，EB =5，ED =4，CE = ________ ．【答案】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得5AD BC EB ，根据勾股定理的逆定理可得90AED ∠=︒，再根据平行四边形的性质可得8CD AB ==，90EDC ∠=︒，根据勾股定理可求CE 的长．【详解】解：CE 平分BCD ∠，BCE DCE ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AD BC =，//AB CD ，BEC DCE ，BEC BCE ∴∠=∠，5BC BE ，5AD ∴=，3EA ，4ED =，在AED ∆中，222345+=，即222EA ED AD ， 90AED ∴∠=︒，358CD AB ，90EDC ∠=︒，在Rt EDC 中，22224845CEED DC ．故答案是：【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．10．已知点A (3，0)、B (﹣1，0)、C (2，3)，以A 、B 、C 为顶点画平行四边形，则第四个顶点D 的坐标是_____．【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)【分析】首先画出坐标系，再分别以AC 、AB 、BC 为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D 点坐标．【详解】解：如图，以BC 为对角线，将AB 向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B 点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D 1；以AB 为对角线，将BC 向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B 点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D 2；以AC 为对角线，将AB 向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C 点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D 3；▱第四个顶点D 的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键．三、解答题11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 、E 、F 是AC 上的两点，且BF ▱DE ． （1）求证：▱BFO ▱▱DEO ；（2）求证：四边形BFDE 是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可得OB ＝OD ，根据BF ▱DE ，可得▱OFB ＝▱OED ，进而可以证明▱BFO ▱▱DEO ；（2）结合（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形．【详解】解：（1）证明：▱四边形ABCD 是平行四边形，▱OB ＝OD ，▱BF ▱DE ，▱▱OFB ＝▱OED ，在▱BFO 和▱DEO 中，OFB OED FOB EOD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ▱▱BFO ▱▱DEO （AAS ）；（2）证明：▱▱BFO ▱▱DEO ，又OB＝OD，▱四边形BFDE是平行四边形．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握利用合适的方法判定平行四边形是解题的关键．12．如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出▱DAE的平分线；（2）在图2中，画出▱AEC的平分线．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】(1)连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是▱DAE的平分线；(2)连接AC，BD，交于点O，连接EO，由平行线的性质及等腰三角形的性质可知EO平分▱AEC的平分线．【详解】（1）如图所示，连接AC，则AC平分▱DAE；（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分▱AEC．本题主要考察了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，作图-角的平分线等知识点，理解并记住它们是解题关键．13．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE▱BD，CF▱BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM▱AN，AM▱CN即可；（2）首先证明▱ADE▱▱CBF，推出DE＝BF＝8，在Rt▱BFN中，根据勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：▱AE▱BD，CF▱BD，▱AM▱CN，▱四边形ABCD是平行四边形，▱CM▱AN，▱四边形CMAN是平行四边形；（2）解：▱四边形ABCD是平行四边形，▱AD▱BC，AD＝BC，▱▱ADE＝▱CBF，▱AE▱BD，CF▱BD，▱▱AED＝▱CFB＝90°，在▱ADE与▱CBF中，ADE CBF AED CFB AD BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，▱▱ADE ▱▱CBF （AAS ）；▱DE ＝BF ＝8，▱FN ＝6，▱10BN ==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图1，在▱ABCD 中，▱D ＝45°，E 为BC 上一点，连接AC ，AE ．（1）若▱ABCD 中BC 边上的高为2，求AB 的长．（2）若AB ＝AE ＝4，求BE 的长．【答案】（1）（2）2．【分析】（1）如图，过A 作AH BC ⊥于H ，再根据平行四边形的性质可得：45B D ∠=∠=︒，最后根据勾股定理计算即可；（2）先根据平行四边形的性质可得：45B D ∠=∠=︒，然后解Rt AHB ∆和Rt AHE ∆ 即可求出BE 的长．【详解】解：（1）如图，过A 作AH BC ⊥于H ，在▱ABCD 中，45D B ∠=∠=︒，AH BC ⊥，ABCD 中BC 边上的高为2，90AHB ∴∠=︒，2AH =又45B ∠=︒2∴==BH AH ，AB ∴=（2）在ABCD 中，45D B ∠=∠=︒，AB =，AH BH ∴==4AE =，2EH ∴=，2BE BH EH ∴=-=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键． 15．如图，在▱ABC 中，过点C 作CD //AB ，E 是AC 的中点，连接DE 并延长，交AB 于点F ，连接AD ，CF ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）若AB ＝6，▱BAC ＝60°，▱DCB ＝135°，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6．【分析】(1)由E 是AC 的中点知AE =CE ，由AB //CD 知▱AFE =▱CDE ，据此根据“AAS ”即可证▱AEF ▱▱CED ，从而得AF =CD ，结合AB //CD 即可得证；(2) 过C 作CM ▱AB 于M ，先证明▱BCM 是等腰直角三角形，得到BM ＝CM ，再由含30°角的直角三角形的性质解得AC ＝2AM ，BM ＝CM ，最后根据AM +BM ＝AB ，解题即可．【详解】（1）证明：▱E 是AC 的中点，▱AE ＝CE ，▱CD //AB ，▱▱AFE ＝▱CDE ，在▱AEF 和▱CED 中，AFE CDE AEF CED AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱AEF ▱▱CED （AAS ），▱AF ＝CD ，又▱CD //AB ，即AF //CD ，▱四边形AFCD 是平行四边形；（2）解：过C 作CM ▱AB 于M ，如图所示：则▱CMB ＝▱CMA ＝90°，▱CD //AB ，▱▱B +▱DCB ＝180°，▱▱B ＝180°﹣135°＝45°，▱▱BCM 是等腰直角三角形，▱BM ＝CM ，▱▱BAC ＝60°，▱▱ACM ＝30°，▱AC ＝2AM ，BM ＝CM，▱AM +BM ＝AB ，▱AM+ ＝6，解得：AM ＝33，▱AC ＝2AM ＝66．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，在ABC ∆中，D 为AB 中点，过点D 作//DF BC 交AC 于点E ，且DE EF =，连接AF ，CF ，CD ．（1）求证：四边形ADCF 为平行四边形；（2）若45ACD ∠=︒，30EDC ∠=︒，4BC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理和解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）证明：D 为AB 中点，AD BD ∴=，//DF BC ，▱点E 为AC 的中点，AE CE ∴=，DE EF =，∴四边形ADCF 为平行四边形；（2）AD BD =，AE CE =，114222DE BC ∴==⨯=， 过E 作EH CD ⊥于H ，90EHD EHC ∴∠=∠=︒，30EDC ∠=︒，112EH DE ∴==， 45ECD ∠=︒，CE ∴==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AO ＝OC ，过点O 作EF ▱BD ，交AD 于E ，交BC 于点F ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）连接BE ，若▱BAD ＝100°，▱DBF ＝2▱ABE ，求▱ABE 的度数．【答案】（1）见解析（2）16°【分析】（1）根据已知条件证明▱ADO ▱▱CBO 即可求解；（2）先证明▱AEO ▱▱CFO ，得到EO =FO ，根据三线合一得到BD 平分▱EBC ，再根据平行线的性质及角度的关系即可求解．【详解】（1）▱AD//BC，▱▱OAE=▱OCF，又AO＝OC，▱AOD=▱COB，▱▱ADO▱▱CBO▱AD=CB故四边形ABCD为平行四边形；（2）如图，▱AD//BC，▱▱OAE=▱OCF，又AO＝OC，▱AOE=▱COF，▱▱AEO▱▱CFO▱OE=OF又EF▱BD，▱BD平分▱EBC，▱▱DBF＝▱DBE▱▱BAD＝100°，AD//BC，▱▱ABC＝80°▱▱DBF＝2▱ABE，▱▱DBF＝▱DBE=2▱ABE▱▱ABC＝▱DBF+▱DBE+▱ABE=5▱ABE=80°▱▱ABE=16°．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理及三线合一的性质应用．18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：y＝﹣x与x轴交于点B，与直线l1：y+b交于点C，C点到x轴的距离CD为l1交x轴于点A．（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y 轴上的两个动点E 、F （E 点在F 点上方）满足线段EF 的长为CE 、AF ，当线段CE +EF +AF 有最小值时，求出此时点F 的坐标以及CE +EF +AF 的最小值；（3）如图3，将ACB △绕点B 逆时针方向旋转60°，得到BGH ，使点A 与点H 对应，点C 与点G 对应，将BGH 沿着直线BC 平移，点M 为直线AC 上的动点，是否存在以C 、O 、M 、G 、为顶点的平行四边形，若存在，请求出M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y =+；（2）CE +EF +AF （3）存在，11,44M ⎛- ⎝⎭或21,4M ⎛- ⎝⎭或3.4M ⎛ ⎝⎭理由见解析 【分析】（1）由题意得：点C 的纵坐标为C 在直线l 2：y ＝﹣3x +3上，当y =x =-1，则点C (-1，，从而可得答案；（2）作点A 关于y 轴的对称点A (3, 0),过点A 作x 轴的垂线并取A E ''=EC 交y 于点E ，在E 下方取EF F 是所求点，即可求解；（3） 先证明90,ACB ∠=︒ 再求解60,30,CAB ABC ∠=︒∠=︒ 过点G 作GN ▱x 轴于点N ，过点K 作KQ x ⊥轴点,Q 可得(1,,G -- 设,KQ n = 则2,,BK n BQ == 如图，当BGH 沿BC 方向平移时，确定()1,,G n --- 设(,M x + 结合形平行四边形的对角线互相平分，中点坐标公式列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1） 由题意得：点C 的纵坐标为C 在直线l 2：y x 上，当y =x =-1，则点C (-1，，C 在直线1l 的解析式为y b =+上，b =b ∴= ，故直线1l 的表达式为：y =+；（2）直线2l 的表达式为： y ＝﹣3x ， 当y =0时，x =5，则点B (5, 0)，直线1l ：y +x 轴交于点A (-3, 0)，作点A 关y 轴的对称点A '(3, 0)，过点A '作x 轴的垂线并取A E ''=连接EC 交y 于点E ，而 EF由//,,A E AE A E AE ''''= ∴ 四边形A E EF ''是平行四边形，,AF A F E E ''∴==AF EF CE A E E E CE CE ''''∴++=++=,此时：AF EF CE ++最小，则点F 是所求点，()(3,0,,A E '(,C -CE '∴==CE +EF +AF 的最小值＝FE +CE（3）()()(3,0,5,0,,A B C --∴ AB =8，BC = AC =4，222AC BC AB ∴+=90,ACB ∴∠=︒如图，取AB 的中点,J 则()1,0,J 4,JA JC AC ===ACJ ∴为等边三角形，60,30,CAB ABC ∠=︒∠=︒60,CBG BC BG ∠=︒==30,ABG ∴∠=︒过点G 作GN ▱x 轴于点N ，过点K 作KQ x ⊥轴点,Q6,651,GN BN ON ∴====-=(1,,G ∴--设,KQ n =则2,,BK n BQ == 如图，当BGH 沿BC 方向平移时，则()1,,G n --设(,M x +四边形MGOC 为平行四边形， ∴ 由平行四边形的对角线互相平分可得：2x n⎧=-⎪+= 解得：11,4x =-+=11,,44M ⎛∴- ⎝⎭如图，同理()1,,G n --设(,M x +同理可得：214x =-+=21,,4M ⎛∴- ⎝⎭如图，同理()1,,G n -- 设(,M x +同理可得：34x =+=3.4M ⎛∴ ⎝⎭综上：114M ⎛- ⎝⎭或 21,4M ⎛- ⎝⎭或3.4M ⎛ ⎝⎭ 【点睛】本题考查一次函数解析式，线段和最短问题，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质，分类讨论思想是难点．。
NO.04平行四边形性质与判定综合
平行四边形的性质和判定综合课（1)一、【知识清单】1.平行四边形的定义:．2.平行四边形的性质(1)平行四边形对边，对角；对角线.(2)平行四边形的面积公式：①当对角线不垂直时.②当对角线AC⊥BD时.3.平行四边形的判定(如图1)(1)定义法：的四边形是平行四边形.数学语言表达：∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形.(2)边：________________________ 或___________________的四边形是平行四边形.数学语言表达：∵AB CD或AD BC，∴四边形ABCD是平行四边形.数学语言表达：∵AB=CD、AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形.(3)角：的四边形是平行四边形.数学语言表达：∵∠A=∠C、，∴四边形ABCD是平行四边形.(4)对角线：________________________的四边形是平行四边形．数学语言表达：∵OA=、OB=，∴四边形ABCD是平行四边形.二、【典型例题】平行四边形性质：【例1】如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）证明：AE⊥BF；（2）证明：DF＝CE．【例2】(深圳中考)已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.(1)证明：四边形ABDF是平行四边形；(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．图1ODCBA平行四边形判定：例3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CF．（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．例4．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）当∠C＝45°，BD＝4时，联结DF，求线段DF的长．1．(巴中中考)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD.连接CE，求证：CE平分∠BCD.2．如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB＝a，CF＝b，求BE的长．3．如图，□ABCD中，∠C＝60°，BC＝6，DC＝3，E是AD中点，F是DC边上任意一点，M，N分别为EF和BF中点．求MN的长．4．在□ABCD中，（1）如图①，若AB＝5，BC＝3，则▱ABCD的周长为；若∠A＝70°，则∠B的度数是，∠C的度数是；（2）如图②，点E是▱ABCD外一点，连接DB并延长交CE于点F，且CF＝FE．求证DF∥AE．5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，已知O为BE的中点，连接DO 并延长交BC边于点F，连接EF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）设BE＝m，DF＝n，BD＝a，BF＝b，求证：m2+n2＝2a2+2b2．6．在□ABCD中，连接对角线BD，AB＝BD，E为线段AD上一点，AE＝BE，F为射线BE上一点，DE＝BF，连接AF（1）如图1，若∠BED＝60°，CD＝2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF＝2DE，求证：DF＝2GF．三、【面积问题】：例1、如图，在平行四边形ABCD中，∠B、∠C的平分线交于P，且分别与AD交于E、F，（1）求证：△BPC为直角三角形；（2）若BC＝16，CD＝3，PE＝8，求△PEF的面积．例2、如图，E、F分别是四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，记S1＝S△APD，S2＝S△BQC，四边形EQFP的面积为S．（1）若四边形ABCD为平行四边形，如图1，求证：S＝S1+S2；（2）若四边形ABCD为一般凸多边形，AB∥CD，如图2，求证：S＝S1+S2．1．已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12cm，CE＝5cm．求□ABCD的周长和面积．2．如图，在□ABCD中，E是AD边的中点，连接BE，并延长交BE延长线于点F．（1）求证：DE＝AB；（2）若S□ABCD＝16，求S△FDE．3．已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若∠DOE＝90°，EF＝6．，BD＝8，求四边形BEDF的面积．4．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F．求证：（1）△ABE是等边三角形；（2）△ABC≌△AED；（3）S△ABE＝S△CEF．四、【基础知识训练】1.□ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是( ).A.1:2:3:4B.3:4:4:3C.3:3:4:4D.3:4:3:4 2.在□ABCD 中，∠B=60°，那么下列各式中，不能．．成立的是( ). A.∠D=60° B.∠A=120° C.∠C +∠D=180° D.∠C +∠A=180° 3.如图2，在□ABCD 中，P 是对角线BD 上的任意一点，过点P 作EF //BC ， HG //AB ，则下列说法不正确的是( ).A.S □AEPG =S □PHCFB.图中有3对全等三角形C.图中共有9个平行四边形D.S □AEFD ≠S □GHCD 4.在□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m 取值范围是( ).A.1<m <11B.2<m <22C.10<m <12D.5<m <6 5.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( ).A.一组对边相等B.对角线互相平分C.一组对角相等D.对角线互相垂直 6.在□ABCD 中，若∠A ＋∠C=130 o ，则∠D= .7.在□ABCD 中，∠B =30°，AB=4 cm ，BC=8 cm ，则四边形ABCD 的面积是 cm 2. 8.在□ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是 . 9.在□ABCD 中，∠A 比∠B 大20°，则∠C= .10.□ABCD 中，AB :BC=1:2，周长为24cm ，则AB= cm ，AD= cm ．11．已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，连接DE ．（1）求证：DE ⊥BE ；（2）设CD 与OE 交于点F ，若OF 2+FD 2＝OE 2，CE ＝3，DE ＝4，求线段CF 的长．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，求证： （1）EF ＝CF ； （2）∠DFE ＝3∠AEF ．G H图2P DCBA13.已知：△ABC 中，AB=AC=10.(1)如图1，点P 在边BC 上，作PE //AC ，PF //AB ，求PE +PF ；(2)如 图2，点P 在△ABC 内，作PE //AC ，PF //AB ，直线FP 与BC 相交于点D ，求PD +PE +PF ；(3)如图3， 点P 在△ABC 外，作PE //AC ，PF //AB ，直线FP 与BC 相交于点D ，请你探索PD 、PE 、PF 与AB 之间的数量关系，并说明理由.14．如图①，平面直角坐标系中的▱AOBC ，∠AOB ＝60°，OA ＝8cm ，OB ＝10cm ，点P 从A 点出发沿AC 方向，以1cm /s 速度向C 点运动；点Q 从B 点同时出发沿BO 方向，以3cm /s 的速度向原点O 运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求出A 点和C 点的坐标；（2）如图②，从运动开始，经过多少时间，四边形AOQP 是平行四边形．图3图2D PA EBPCFA EF图1EFA。
中考数学复习专题四边形的性质和判定
中考数学复习专题四边形的性质和判定第一局部知识梳理1.平行四边形①定义：两组对边区分平行的四边形是平行四边形．②性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对角线相互平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；③判定方法定义：两组对边区分平行的四边形是平行四边形；判定方法1：两组对边区分相等的四边形是平行四边形；判定方法2：两组对角区分相等的四边形是平行四边形；判定方法3：对角线相互平分的四边形是平行四边形；判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2.菱形①定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．②性质：具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半；菱形是轴对称图形．③判定方法定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；判定方法1：四条边都相等的四边形是菱形；判定方法2：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．3.矩形①定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．②性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
③判定方法定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；判定方法1：有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形．第二局部精讲点拨考点1.平行四边形的性质【例1】如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC.，CE BD于E ，那么．变式1 □ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，假设∠A=115°，那么∠BCE= .变式2 在平行四边形ABCD中，点A1.A2.A3.A4和C1.C2.C3.C4区分AB和CD的五等分点,点B1.B2和D1.D2区分是BC和DA的三等分点,四边形A4 B2 C4 D2的面积为1,那么平行四边形ABCD面积为〔〕A.2B.C.D.15变式3 如图，□ABCD中，AD＝8㎝， AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，那么BE等于〔〕A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm变式4如图，平分，，，那么．变式5 如图，：平行四边形ABCD中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．考点小结：2.平行四边形的判定【例2】如图，平行四边形ABCD 中，M .N 区分为AD .BC 的中点，连结AN .DN .BM ，且AN .BM 交于点P ，CM .DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？变式 1 如图，在ABCD 的各边AB .BC .CD .DA 上，区分取点K .L .M .N ，使AK =CM .BL =DN ，那么四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.变式2 如图，□ABCD 中，E .F 区分在BA .DC 的延伸线上，且AE =21AB ，CF =21CD ，试证明AECF 为平行四边形. 变式3 在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证：四边形DFBE 为平行四边形.变式4 如图，在□ABCD 中，点E .F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．考点3.平行四边形综分解绩【例3】如图，△ABC 是等边三角形，D.E 区分在边BC.AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延伸至点F ，使EF=AE ，连结AF.BE 和CF 。
平行四边形的判定方法
平行四边形的判定方法• 1.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
4.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
• 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
6.两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。
7.相邻两角分别互补的四边形是平行四边形。
•（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的面积：S=底×高。
平行四边形的面积•平行四边形面积：平行四边形面积=底×高，用字母表示：S=a×h。
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。
平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图平行四边形记为平行四边形ABCD。
平行四边形的性质：1、两组对边平行且相等；2、两组对角大小相等；3、相邻的两个角互补；4、对角线互相平分；5、对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；6、四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
平行四边形的面积计算公式：1、（1）平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*s inα2、平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b) 底×1X高平行四边形的主要类别：1、平行四边形属于平面图形。
《平行四边形的性质》
05
平行四边形的面积和周长
面积计算公式
面积计算公式
平行四边形的面积等于底边长度 乘以高。具体公式为 $S = a
times h$，其中 $S$ 是面积， $a$ 是底边长度，$h$ 是高。
面积的几何意义
平行四边形的面积等于其内部所 有点的横坐标与纵坐标的绝对值
之积的和的一半。
面积的推导
通过将平行四边形划分为多个三 角形，然后利用三角形面积公式
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平行四边形的性 质
目录
• 引言 • 平行四边形的性质 • 特殊平行四边形 • 平行四边形的判定 • 平行四边形的面积和周长 • 总结与回顾
01
引言
平行四边形的定义
01
平行四边形是一个平面图形，由 两组相对边平行组成。
02
它是一种特殊的四边形，具有多 种独特的性质和定理。
平行四边形在生活中的应用
对边平行。
矩形的对角线相等且互相平分 ，并且垂直于矩形的任意一边
。
矩形的所有内角都是直角，即 每个角都是90度。
矩形的相对边相等，即如果一 条边为a，则其相对边也为a。
菱形
01
菱形也是平行四边形的一 个特殊形式，其所有边相 等，但角不一定相等。
02
菱形的对角线互相垂直 并平分对方，但不一定 相等。
进行推导。
周长计算公式
周长计算公式
平行四边形的周长等于四条边的长度之和。具 体公式为 $P = 2(a + b)$，其中 $P$ 是周长， $a$ 和 $b$ 分别是平行四边形的两条相邻边的 长度。
周长的几何意义
周长的推导
通过将平行四边形划分为多个线段， 然后利用线段的长度进行推导。
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G A E B
3.在平行四边形ABCD 中,AB=2BC,M为AB的中点。 求证：CM⊥DM
D C
A
M
B
已知平行四边形的周长为52，自顶点 D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若 DE=5，DF=8，则BE+BF的值为多少？
对角线
平行四边形的判定方法
1.两组对边分别平行的四边形是……
边 角
对角线
2.两组对边分别相等的四边形是…… 3.一组对边平行且相等的四边形是…… 4.两组对角分别相等的四边形是…… 5.对角线互相平分的四边形是……
几种距离：
1.两点间的距离就是连接两点的线 段的长度. 2.过一点作直线的垂线段,这条垂线段 的长度就是这一点到这条直线的距离. 3.两条平行线的距离就是从其中一直 线上任取一点到另一直线的距离.(两条 平行线之间的距离处处相等.)
3.先判定一个四边形是平行四边形, 然后再利用平行四边形的性质解决问 题.
注:凡是可以用平行四边形知识证明的 问题,不要再回到用三角形全等进行证 明.
1.如图:在平行四边形ABCD中,BE 平分∠B交AD于点E,DF平分∠D交 BC于点F,
求证:BF=DE
A E D
B
F
C
2、如图:在平行四边形ABCD中,E、 F、G、H分别是各边上的点，且 AE=CF，BG=DH。求证：EF与 GH互相平分。
平行四边形的
---性质和判定
概念学习
定义:在平面内，一个图形绕
某个点旋转180°，如果旋转前 后的图形互相重合，那么这个 图形叫做中心对称图形，这 个点叫做它的对称中心。
平行四边形的性质
主要方面
性质
两组对边互相 平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
对称性
边
角
中心 对称 图形
(不是轴对 称图形)
平行四边形的面积等于它 的底和这个底的高的积.
A
F
D
B
E
C
S□ ABCD BC AE AB CF
在平行四边形中，从一条边的任意一 点向对边作垂线，这点与垂足的距离叫做 以这条边为底的平行四边形的高. 习惯上，作平行四边形的高时，都从 一个顶点出发作一边的垂线，作图时平行 四边形的高指的是垂线段本身，而计算时 用的是垂线段的长度.
已知：□ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm， ∠A＝30°,求□ABCD的面积.
B C
A
E
D
如图，□ ABCD的周长是36cm， 由钝角顶点D向AB、BC引两条高
DE、EF，且DE＝4 3cm，DF＝5 3cm， 求这个平行四边形的面 积.
D
C
识的运用:
1.直接运用平行四边形的性质解决某 些问题,如求角的度数、线段的长度、 证明角相等或互补、证明线段相 等…… 2.判定一个四边形是平行四边形,从而 判定两直线平行.