学历案27章相似(6课时)性质2课时+应用举例2课时+位似1课时+章节复习+测试

27.2.2 相似三角形的性质（1）一、学习目标：1、掌握相似三角形的性质2、运用相似三角形的性质解决简单的几何求解问题。

．二、评价标准：1. 自主学习课本有关概念,独立完成模仿练习。

2. 能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决有关简单问题,独立完成模仿练习。

三、资源与学习路径：①本节知识位于2014年人教版九年级下册P37页. ②数学阅读能力是一种非常重要的数学学习能力，利用在前面学到的有关知识以及研究问题的方法进行相似的性质的学习，并用类比的方法进行自主学习。

通过阅读经历知识的形成过程。

特别注意相似和全等图形性质的区别和联系：他们的对应角都相等；全等图形的对应边也相等，周长也相等，面积也相等；相似多边形对应边成比例，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

学习重点：理解并掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比。

学习难点：理解相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，加深对相似比的认识和理解可以帮助我们更加灵活简便地分析和解决问题．1、相似三角形中各种各样的几何量：三条边的长度、三个内角的度数、高、中线、角平分线的长度、周长、面积 2、相似三角形的性质.（1）相似三角形的对应角相等、对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形周面积的比等于相似比的平方五、自学仿练 提升能力知识点1：相似三角形中各种各样的几何量k 。

根据相似的定义，我们有哪些结论？ 提示：分别从对应边上看和从对应角上看。

易知：两个三角形相似，根据相似三角形的定义可知：对应角相等、对应边成比例思考2：相似三角形中的几何量除了边和角之外，还有哪些量？ 易知：还有高、中线、角平分线的长度、周长、面积。

思考3：如图，∆ABC ∽∆A’B’C’，相似比为k ， 它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 知识点2：相似三角形的性质高AD 和A ’D ’∵∆ABC ∽∆A’B’C’，∴∠B=∠B ’又△ABD 和∆A’B’D ’都是直角三角形，∴△ABD∽∆A’B’D ’，∴''''B A ABD A AD =k 类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k 。

归纳相似三角形的性质.（1）相似三角形的对应角相等、对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比即：一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比。

提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？ 分析：∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k⇒111111AB BC CAk A B B C C A === ⇒AB=kA 1B 1,BC=kB 1C 1,CA=kC 1A 1⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++ 进而得到结论：（3）相似三角形周长的比等于相似比，相似多变形有同样的结论。

例1：若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4，则它们对应角平分线的比为( ) A ．1∶16 B ．16∶9 C ．4∶3 D ．3∶4分析：根据相似三角形的性质.相似三角形对应线段的比等于相似比。

可知此题选D例2：如图，AB ∥CD ，若AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长的比是( )A. 25B. 32C. 49D. 23 分析：根据相似三角形的性质.相似三角形对应线段的比等于相似比。

可知此题选D 例3：:如图，△OCE 中，点A ，B 在OC 边上，点D 在OE 边上，BD ∥CE ，AD ∥BE.(1)求证：OA OB ＝OBOC；(2)若OA ＝4，AC ＝12，求OB 的长解：(1)证明：∵AD ∥BE ，∴OA OB ＝ODOE.∵BD ∥CE ，∴OB OC ＝OD OE ，∴OA OB ＝OBOC.(2) ∵OA ＝4，AC ＝12，∴OC ＝16.由(1)得4OB ＝OB16，即OB 2＝64，∴OB ＝8.模仿练习一：1、判断题(正确的画“√",错误的画“×").（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍； ( ) （2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍. ( ) 2、如图，△ABC 与△A'B'C'相似，AD, BE 是 △ABC 的高，A'D', B'E ’是△A'B’C'的高，求证''''E B BED A AD =3、如图，AD 是RtAABC 斜边上的高.若AB=4 cm, BC=10 cm,求BD 的长.思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ABCDABDA 1B 1C 1D 1（1） （2）如图（1），∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k 1 ，它们的面积比是多少？分析：如图（1），分别作出∆ABC 和∆A 1B 1C 1的高AD 和A 1D 1。

∠ADB=∠A 1D 1B 1=900又∠B=∠B 1 ⇒∆ABD ∽∆A 1B 1D 1⇒11111AD ABk A D A B == ⇒111ABCA B C S S=111111*********1221122BC AD K B C K A D B C A D B C A D ==k 12进而得到结论：（4）相似三角形面积比等于相似比的平方如图（2），四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？ 分析：111ABC A B C S S=111ACD A C D S S= k 22⇒1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111ABC ACD A B C A C D ++S SS S= k 22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方例4：如图 ,在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE, AC = 2DF, ∠A=∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6,面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积.解：在△ABC 和△DEF 中， ∵AB=2DE, AC=2DF 9∴21==AC DF AB DE 又∵∠A=∠D∴△ABC ∽△DEF , △ABC 和△DEF 的相似比为21 ∵△ABC 的边BC 上的高为6,面积为125∴△DEF 的边EF 上的高为21x6=3 面积为(21)2x125=35 模仿练习二：1、如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．3、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．4、两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 25、如图，在∆ABC 和∆DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF ，∠A=∠D ，∆ABC 的周长是24，面积是48，求 ∆DEF 的周长和面积。

BDEFAC27.2.2 相似三角形的性质（2）一、学习目标：1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2.运用相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方时体验化归思想。

二、评价标准：1. 自主学习课本有关概念,独立完成模仿练习。

2. 能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决问题,独立完成模仿练习。

三、资源与学习路径：①本节知识位于2014年人教版九年级下册P37页.②在数学知识上，相似形的几何性质是全等形的几何性质的自然而然的延伸和拓展；相似作为图形的一种变换也是全等变换的拓广和发展，同时，相似也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础．所以相似在空间与几何的学习中起着承上启下的作用。

在数学认知发展上，通过对直线形的学习，已积累了对图形的丰富的感性认识、一定的逻辑推理论证能力和利用几何模型分析解决实际问题的能力，这为相似的学习提供了坚实的知识基础和能力基础；同时，从特殊的“全等”研究到一般的“相似”研究也符合从特殊到一般的认知规律，所以在探究学习全等时所积累的数学思想和方法可以顺理成章地迁移到相似的研究中，这可以进一步发展我们的探究能力，逻辑思维能力以及逻辑推理证明的能力。

学习重点：相似三角形的性质与运用学习难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 1、相似三角形的性质的应用.（1）相似三角形的对应角相等、对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形周面积的比等于相似比的平方 2、相似三角形的性质的灵活应用 3、相似三角形的性质的综合应用五、自学仿练 提升能力知识点1：相似三角形的性质的应用例1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( )A ．DE ＝12BC B.AD AB ＝AEACC ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE 解析：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝12，△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ∶S △ABC ＝(AD AB )2＝14， ∴A ，B ，C 正确，D 错误．例2.如图，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD ＝3S △ABD ，则 ) A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶ 3 D ．1∶2 解析：由题意可得△CAD ∽△ABD ，∴31)(2==∆∆AC AB CAD S ABD S ，∴AB AC ＝13.模仿练习一：1.若，且，的周长为，则的周长为________．2. 如图，已知，，交于点，若，则________．3. 在中，、分别在、上，，，，，则________．知识点2：相似三角形的性质的灵活应用例3．若△ABC ∽△A′B′C′，BC ＝18 cm ，CA ＝15 cm ，AB ＝21 cm ，△A ′B ′C ′的最短边长为5 cm ，则C B A '''∆的周长为________．解析： △A′B′C′的最短边与△ABC 的最短边CA 为对应边，则△ABC 与△A′B′C′的相似比为155＝3.因为△ABC 的周长为18＋15＋21＝54(cm )，△ABC 的周长△A′B′C′的周长＝3，所以54△A ′B ′C ′的周长＝3，所以C B A '''∆的周长为18 cm .例4、如图，一副三角板叠放在一起，则△AOB 与△DOC 的面积之比 ． 解析：首先设BC ＝x ，根据题意可得∠ABC ＝∠DCB ＝90°， AB ＝BC ，∠D ＝30°，即可求得CD 与AB 的长．因为 △AOB ∽△COD ，又由相似三角形的面积比等于相似比 的平方，即可求得△AOB 与△DOC 的面积之比为 1∶3 模仿练习二：1、若△ABC ∽△DEF ， △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为____;面积比是__2、如果两个相似图形的对应边长分别为2cm 和6cm ，且两个图形的面积之差为120cm 2，则较大的图形的面积为_________.4. 如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分 （即图中的阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2， 则此三角形移动的距离AA′是（ ） A 、21- B 、22C 、1D 、12知识点3：相似三角形的性质的综合应用例5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 cm 2和9 cm 2，求△ABC的面积．解： ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴△ADE ∽△ABC ∽△EFC ，∴⎝⎛⎭⎫AE EC 2＝S △ADE S △EFC ＝49，∴AE EC ＝23，则AE AC ＝25，故S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫AE AC 2＝425.∵S △ADE ＝4 cm 2，∴S △ABC ＝25 cm 2.例6．如图所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解析：(1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF ∽△CEB ；（2）由△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF 和△BCE 的面积，从而▱ABCD 的面积可求． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，,CD AB ,CD AB ,BC AD =∴∥∥∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF. ∵DE ＝12CD ，∴EC ＝3DE ，∴S △DEFS △CEB＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8,∴S 四边形BCDF ＝S △BCE －S △DEF ＝16，∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.模仿练习三：1．如图，BD 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝2，ED ＝4.请你证明△ABE ∽△ADB ，并求出线段AB 的长．2、（选做）如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F. (1)求证：△APE ∽△ADQ ；(2)设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积 S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何 处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？ (3)当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？27.2.3 相似三角形应用举例（1）一、学习目标：1.进一步巩固相似三角形的知识．学会运用两个三角形相似来解决实际问题。