五章(1)

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1/T 0 -0.5
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∞ 0 0
重要性质： 重要性质：当0<ξ<0.707时， 时 幅频特性出现峰值。 幅频特性出现峰值。 谐振频率ω 谐振频率 p: dA(ω ) 1 ωp = = 1 − 2ζ 2 = ωn 1 − 2ζ 2 dω T 1 谐振峰值Mp: 谐振峰值 M p = A(ω p ) = 2ζ 1 − ζ 2
二、对数频率特性的绘制 1.对数幅频特性 对数幅频特性 方法一： 方法一：典型环节频率特性相加 方法二：按下面的步骤进行： 方法二：按下面的步骤进行： （1）画对数坐标系。 ）画对数坐标系。 （2）将开环传递函数化成典型环节乘积因子形式，求出各环节的交接频率， ）将开环传递函数化成典型环节乘积因子形式，求出各环节的交接频率， 标在频率轴上。 标在频率轴上。 为系统开环放大系数。 （3）计算 ）计算20lgK，K为系统开环放大系数。 ， 为系统开环放大系数 处找出纵坐标等于20lgK的点“A”；过该点作一直线，其斜率 的点“ ；过该点作一直线， （4）在ω=1处找出纵坐标等于 ） 处找出纵坐标等于 的点 等于-20ν(db/dec)，当ν取正号时为积分环节的个数，当ν取负号时为纯微分 ， 取正号时为积分环节的个数 取正号时为积分环节的个数， 取负号时为纯微分 等于 环节的个数；该直线直到第一个交接频率 对应的地方。 环节的个数；该直线直到第一个交接频率ω1对应的地方。 若ω1<1，则该直 ， 线的延长线以过“ 点 线的延长线以过“A”点。
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1/T 1/2 -1/2
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∞ 0 0
2.频率特性图 频率特性图 1）对数幅频特性图 ）
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg = −20 lg 1 + ω 2T 2 1 1 + ω 2T 2
渐近特性曲线的作法： 渐近特性曲线的作法： a.当Tω<1（ω<1/T）时， 当 （ ） 系统处于低频段 系统处于低频段 L(ω ) = −20 lg 1 = 0 b.当Tω>1（ω>1/T）时， 当 （ ） 系统处于高频段 系统处于高频段 L(ω ) = −20 lg Tω 此直线方程过（ ， ） 此直线方程过（1/T，0）点 且斜率为-20dB/十倍频程 且斜率为 十倍频程
= 1 1 + ω 2T 2
1 + jTω
=
1 1 + ω 2T 2
+j
− Tω 1 + ω 2T 2
e −arctan(−Tω ) 1
幅频特性 A(ω ) =
1 + ω 2T 2 相频特性 ϕ (ω ) = − arctan(Tω )
2.图形表达式 图形表达式 1）极坐标图 ）
ω P(ω) Q(ω) 0 1 0
四、振荡环节 1.代数表达式 代数表达式 传递函数 G (s) = 频率特性
1 0 < ζ <1 T 2 s 2 + 2ζTs + 1 1 G ( jω ) = (1 − T 2ω 2 ) + j 2ζTω (1 − T 2ω 2 ) − j 2ζTω = (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζTω ) 2 = 1 (1 − T ω ) + (2ζTω )
o
ωυ
当υ = 2时, Gk (2) = ∞e j ( −2 ) = ∞e −180 当υ = 3时, Gk (3) = ∞e j ( −3) = ∞e − 270
o
o
（2）终点（ ω =∞）： ）终点（ ）： 在原点，且当n-m=1时，沿负虚轴趋于原点 在原点，且当 时 当n-m=2时，沿负实轴趋于原点 时 当n-m=3时，沿正虚轴趋于原点 时 分析： 分析： m ∏ (1 + τ i s) K i =1 Gk ( jω ) = ( jω )υ n ∏ (1 + T j s)
典型环节的频率特性
一、比例环节 1.代数表达式 代数表达式 传递函数 G ( s ) = K 频率特性 G ( jω ) = K + j 0 = Ke j 0 幅频特性 A(ω ) = K 相频特性 ϕ (ω ) = 0o 2.频率特性图 频率特性图 （1）极坐标图 ）
ω P(ω) Q(ω) 0 K 0 1 K 0 10 K 0 100 K 0
L(ω ) = −20 lg (T 2ω 2 ) 2 = −20 lg(T 2ω 2 ) = −40 lg Tω
注意：在工程上，当满足 注意：在工程上，当满足0.4<ξ<0.7时，可使用渐近对数幅频特性；在此范 时 可使用渐近对数幅频特性； 围之外，应使用准确的对数幅频特性。 围之外，应使用准确的对数幅频特性。
j =1
= Gk ( jω ) e jϕ (ω ) 当ω → 0时 Gk ( jω ) = 0 n > m
ϕ (ω ) = −90o (n − m)
若n − m = 1时, ϕ (ω ) = −90o 若n − m = 2时, ϕ (ω ) = −180 o 若n − m = 3时, ϕ (ω ) = −270o
一. 乃氏图的近似作法： 乃氏图的近似作法 图的近似作法： （1）起点（ ω =0）： ）起点（ ）： 0型：在实轴上 点 型 在实轴上K点 1型：在负虚轴的无穷远处 型 与系统的型号有关 2型：在负实轴的无穷远处 型 3型：在正虚轴的无穷远处 型 分析： 分析：
设Gk ( s ) =
K (1 + τ 1s )(1 + τ 2 s ) L sυ (T1s + 1)(T2 s + 1) L
o
∞ K 0
（2）伯德图 ） 作法： ） 作法：1）对数幅频图 2）对数相频图 ）
L(ω ) = 20 lg K
ϕ (ω ) = 0o
二、积分环节的频率特性 1.代数表达式 代数表达式 传递函数 G ( s) = 1
s
频率特性 幅频特性
G ( jω ) = A(ω ) = 1
o 1 1 1 = − j = e − j 90 jω ω ω
（3）与虚轴的交点： 令Q (ω ) = 0，求ω ）与虚轴的交点：
（4）与实轴的交点： ）与实轴的交点：
令P ( jω ) = 0，求ω
例 G ( s ) = 10 k
2s + 1
Hale Waihona Puke 10 1010 Gk ( s ) = (2 s + 1)(5s + 1) 10 Gk ( s ) = s (2 s + 1) 10 Gk ( s ) = s (2 s + 1)(5s + 1)
ϕ = ϕ1 + ϕ 2 + ϕ3 + L
方法： 方法：利用典型环节的频率特性 （1）分别计算出各典型环节的幅频特性和相频特性； ）分别计算出各典型环节的幅频特性和相频特性； （2）各典型环节的幅频特性相乘得到系统的幅频特性，各典型环节的相频 ）各典型环节的幅频特性相乘得到系统的幅频特性， 特性相加得到系统的相频特性。 特性相加得到系统的相频特性。 （3）给出不同的 值，计算出相应的 ）给出不同的ω值 计算出相应的A(ω)和φ(ω)，描点连线。 和 ，描点连线。
2 2 2 2
e
− j arctan
2ζ Tω 1−T 2ω 2
幅频特性 相频特性
A(ω ) =
1 (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζTω ) 2 2ζTω 1 − T 2ω 2
ϕ (ω ) = − arctan
2.频率特性图 频率特性图 1）极坐标图 ）
ω P(ω) Q(ω) 0 1 0
ξ ∆L(ω) 0.05 20 0.1 14 0.25 10.4 0.4 6 0.5 0 0,6 -1.6 0.7 -3 0.8 -4 1 -6
2）对数相频特性曲线 ）
当ω → 0时, ϕ (ω ) → 0o ; 1 当ω = 时, ϕ (ω ) = −90o ; T 当ω → ∞时, ϕ (ω ) → −180o ;
六、延时环节 1.代数表达式 代数表达式 y (t ) = r (t − τ ) t ≥ τ 传递函数 G ( s ) = e −τs 频率特性 G ( jω ) = e − jτω 幅频特性 A(ω ) = 1 相频特性 ϕ (ω ) = −τω 2.频率特性图 频率特性图 1）极坐标图 ） 2）伯德图 ）
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 0
ϕ (ω ) = −τω = −
180o
π
τω
开环频率特性绘制
分析： 分析：
K (τs + 1) L (τ 2 s 2 + 2ζτs + 1) L Gk ( s ) = υ s (Ts + 1) L (T 2 s 2 + 2ζTs + 1) L 1 1 1 L = K (τs + 1)(τ 2 s 2 + 2ζτs + 1) υ 2 2 s Ts + 1 T s + 2ζTs + 1 Gk ( jω ) = A1e jϕ1 ⋅ A2 e jϕ 2 ⋅ A3e jϕ3 L = Ae jϕ 其中A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 L
ω
o
相频特性 ϕ (ω ) = −90 2.频率特性图 频率特性图 1）对数幅频特性 L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg ω −1 = −20 lg ω ）
ω L(ω) 1 0 10 -20 100 -40 1000 -60 斜率 -20/十倍频程 十倍频程
2）对数相频特性图 ） ϕ (ω ) = −90o 如果有ν个积分环节串联， 如果有 个积分环节串联，则有 个积分环节串联
则Gk ( jυω ) = = K ( jω )υ = K
K (1 + jτ 1ω )(1 + jτ 2ω ) L ( jω )υ (1 + jT1ωs )(1 + jT2ωs ) L j −υ