CH5习题课

F 分布
U ~ χ 2 (n1 ，V ~ χ 2 (n2 ) 且U、V 相互独立， ), 、 相互独立， 定义： 定义：设
则称随机变量
U n1 F = V n2
服从自由度为 (n1 ,n2 )的F分布，记为 F ~ F(n1 , n2 ) 的 分布， 分布
四、常用结论 若总体 X ~ N ( µ , σ2 ) ， X1 , X2 , … , Xn 是从总体中 抽取的样本，则有： 抽取的样本，则有： 样本均值： ① 样本均值： X ~ N µ , σ
{
}
查表得 ： χ
2 0.25
(9) ≈ 11.4 ，由此得所求概率的
10 2 P ∑ ( X i − X ) ≥ 2.85 = 0.25 i =1
例9 设在总体 N ( µ , σ2 ) 中抽取一容量为 的样本， 中抽取一容量为16的样本 的样本， 这里 µ , σ2 均为未知。（ ） 均为未知。（1）求 。（
i =1 i
n2
n2
1 1 2 2 2 S = ∑( Xi − X ) , S2 = n −1 ∑(Yi − Y ) n1 −1 i=1 i =1 2
2 1
(n1 − 1) S + (n2 − 1) S S = n1 + n2 − 2
2 w 2 1
2 2
X 1 , X 2 ,L , X n 是总体 N ( µ , σ 2 ) 的一个样本，其中 的一个样本， 例1设
查表得 c = 2.98
例 7 设X1 , X2 ,, … , Xn 为取自正态总体 N ( 0 , σ2 ) 的一个样本， 的一个样本，
记 Y1 = ∑ X , Y2 = ∑ X i 试给出常数 c1 , c2 , 使得 c1Y1 , c2Y2 i =1 i =1 分别服从χ 分布，并指出它们的自由度。 分别服从χ2 分布，并指出它们的自由度。 解：由于 Xi ~ N ( 0 , σ2 ) ，i =1 , 2 , … , n .所以 所以
σ
2
~ χ ( n − 1)
2
所以
（2）由于 ）
( n − 1) S
2
σ
2
~ χ ( n − 1)
2
( n − 1) S 2 = 2 ( n − 1) D 所以 2 σ ( n − 1) 2 2 即 D ( S ) = 2 ( n − 1) 4
故
2σ 2σ D( S ) = = n − 1 15
E∑ X i = i =1
n
n
∑
i =1
n
n E (X i ) = 0 D ∑ X i = i =1
i =1
∑ D (X ) = n σ
i =1 i
n
2
例 8 从正态总体 N ( µ , 0.52 ) 中抽取样本 X1，X2… , X10
（2）未知 µ ，求 P ∑ (X i − X ) ≥ 2.85 . ） i =1 分析： 已知， 分析： （1）因为 µ = 0 已知，则 ）
σ
2
=
1
σ
2
∑( X − X )
n i =1 i
2
服从自由度为
χ
2
分布， 分布，即
(n − 1) S 2
σ
2
~ χ 2 (n − 1)
X − µ 分布， ④ 统计量 服从自由度为 n-1 的 t 分布，即 S n
⑤
X −µ T = ~ t ( n − 1) S n 相互独立。 样本均值 X 与样本方差 S 2 相互独立。
设 X1 , X2 , … , Xn1 和Y1 , Y2 , … , Yn2 分别来自 总体 N µ 1 , σ ⑥统计量
(
2 1
) 和 N (µ
2 S12 S 2 2 1 2 2
2
,σ
2 2
)
,它们相互独立，则 它们相互独立， 它们相互独立
F=
2 1
σ σ
2 2
~ F (n1 − 1 , n2 − 1)
10 2 (1) 已知 µ = 0，求概率 P ∑ X i ≥ 4 ， i =1 2 10
Y =
2 1
1
σ
( X i − 0) 2~ χ 2 (10) 2 ∑
i =1
10
解： （1） ）
10 2 1 P ∑ X i ≥ 4 = P 2 i =1 0 .5 4 X ≥ = P Y12 ≥ 16 = 0.10 ∑ 2 0. 5 i =1
P S σ ≤ 2.041
2 2
{
}
为样本方差；（ ；（2） 这里 S2 为样本方差；（ ）求 D（S2）。 （ 解：设 X i (i = 1, 2 , L ,16) 为总体 X 的一个样本。 的一个样本。 （1）因为 ）
( n − 1) S
2
S2 15S 2 P 2 ≤ 2.041 = P 2 ≤ 15 × 2.041 σ σ 15 S 2 = 1 − P 2 > 30.615 = 1 − 0.01 = 0.99 σ
2 2 χ 2 = X12 + X2 +L+ Xn
分布， 服从自由度为n 服从自由度为 的 χ 分布，记为 χ
2
2
~ χ 2 (n)
性质：E(X)=n, D(X)=2n 性质：
设 X 1 ,L , X n 是k个相互独立的随机变量，且
X j ~ χ 2 ( n j ), j = 1, 2,L k ,
F 0 . 90
F0.10 (10 , 15) = 2.06 1 1 ( 8 , 15 ) = = F 0 . 10 (15 ,8 ) 2 . 46
（2）由于 F ~ F( 10 , 10 ) ，所以 由 P{F≤c}=0.95 ） ≤ 知
P{F > C } = 1 − P{F ≤ c} = 1 − 0.95 = 0.05 c = F0.05 (10,10)
三、常用统计量及其分布
L 设 X 1， X 2， X n 是来自总体 X 的一个样本， x1，x 2， , x n 是这一样本的观察值。 L 1 n 样本平均值 X = ∑ X i n i =n1 1 1 n 2 2 2 样本方差 S = (Xi − X ) = [∑ X i − n X 2 ] ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1 n 1 2 S = S = ( X i − X )2 样本标准差 ∑ n − 1 i =1
2
2 0 . 10
(1 )
χ
2 0 . 90
( 12 ) , χ
( 12 )
;
（2）已知 n =10 ,试问当 c 为何值时，P{Y>c}=0.05 ） 试问当 为何值时， 分位点符号表示出来. 并把 c 用上 α 分位点符号表示出来 解：查表得 χ
2 0.90
(12) = 6.304 , χ
2
2 0.10
µ σ2
A． ．
已知，则下列选项错误的是（ 已知，则下列选项错误的是（ ）
X ~ N (µ , σ 2 )
X −µ
B． ． C． ． D． ．
σ
n
~ N (0 , 1)
X −µ S n
(n −1)S2
~ t (n − 1)
~ χ (n −1)
2
σ
2
例4
已知随机变量 Y
试求： ~ χ (n) ，试求：
(
2
n
)
X −µ 统计量 U = ~ N (0 , 1) ，即 Z 服从标准正态分布 σ n
1
② 统计量
σ
( X i − µ ) 服从自由度为 的 χ 2 分 服从自由度为n 2 ∑
2 i =1
n
1
布，即
σ
(X i − µ ) 2 ∑
i =1
n
2
~ χ 2 ( n)
(n −1)S 2
③ 统计量 n–1的
n n 2 i 2
X i σ ~ N ( 0 , 1) , i = 1 , 2 , L , n
依照χ 依照χ2 分布的定义 2 n Xi 1 n 2 2 = 2 ∑ X i ~ χ (n) ∑1 σ σ i =1 i= 2 因而当c = 1 σ 时， c1Y1 ~ χ2(n) 由正态分布的可加性知： 由正态分布的可加性知： X i 服从正态分布， ∑ 服从正态分布，
1 n k 样本k 样本k阶（原点）矩 Ak = ∑ X i n i =1
k = 1,2, L;
k = 1,2, L;
1 n 样本k 样本k阶中心矩 Bk = ∑ ( X i − X ) k n i =1
常用的分布
χ 2分布
L 设X 1，X 2， X n 是来自总体 N（ ， 的样本，则称统计量 的样本， 0 1）
4 2
σ
4
例 6 已知随机变量 F ~ F( m , n ) 。 （1）试求 F 0 . 90 ( 8 , 15 ) , F 0 . 10 (10 , 15 ) ; ） （2）当 m=n=10 时,试问当 c 为何值时，P{F ≤ c}=0.95 ） 试问当 为何值时， 分位点符号表示出来. 并把 c 用上 α 分位点符号表示出来 解：查表得
t 0.90 (12 ) = − t 0.10 (12 ) = − 1 .3562 , t 0.10 (12 ) = 1 .3562
（2）由于 T ~ t ( n ) ，所以 ）
0.95 = P {T (10 ) > c} = t 0.95 (10 ) = − t 0.05 (10 )
∴ c = t 0.95 (10) = − t 0.05 (10) 查表得： 查表得：c = −1.8125