【全国百强校】湖南省株洲市第二中学2015-2016学年高二上学期第三次月考理数试题解析(解析版)

时量：__120__ 分值：150分一：选择题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分。

1. i 是虚数单位，则ii(1＋i)的模为( )A.12B.22 C. 2 D ．2 【答案】B考点：1复数的运算;2复数的模长.2. 下面四个条件中，使a >b 成立的充要条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3【答案】D 【解析】试题分析：当a b >时不妨取2,1a b ==,此时1a b =+,所以A 选项不正确; 当1a b >-时不妨取1,1a b ==,此时a b =,所以B 选项不正确;当a b >时不妨取1,2a b ==-,此时221,4a b ==,22a b <,所以C 选项不正确;()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,223024b b a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立,所以0a b ->时, 330a b ->;同时当330a b ->时0a b ->. 即33a b >是a b >的充要条件.故D 正确.考点：1不等式;2充分必要条件.3. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 【答案】B考点：用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，解题时一定要注意函数的定义域，否则很容易出现错误．利用导数求函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>得增区间,令()'0f x <得减区间.4. 已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．15 C ．35 D ．75【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()1,,2,23,2,2ka b k k a b +=--=-,因为ka b +与2a b -垂直,所以()()()231240ka b a b k k +⋅-=-+-=,解得75k =.故D 正确. 考点：空间向量垂直问题. 5．1(2)x e x dx +=⎰（ ）A ．1B ．e ﹣1C ．eD ．e+1 【答案】C 【解析】试题分析：()()()()121120200210xx ex dx e x e e e +=+=+-+=⎰.故C 正确.考点：定积分.6. 若曲线f （x ）＝x 4－2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则点P 的坐标为（ ） A ．（1,1） B ．（1，－1） C ．（－1,1） D ．（－1，－1） 【答案】B考点：导数的几何意义.【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义,属容易题.由导数的几何意义可知在点0x x =处的导数即()0'f x 即为再点()00,x y 处切线的斜率.本题根据直线210x y ++=的斜率可得切线的斜率即()0'f x 的值，从而可得P 点横坐标0x ,将其代入()f x 解析式或直线210x y ++=可得P 点纵坐标. 7. 已知F 是抛物线24y x =的焦点,,A B 是该抛物线上的两点.若线段AB 的中点到y 轴的距离为32,则||||AF BF += （ ）A ．4 B. 5C ．6D ．7考点：抛物线的定义.【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义,难度一般.由线段AB 的中点到y 轴的距离,可得线段AB 的中点到抛物线准线的距离.由梯形中位线定理可得点,A B 到准线的距离的和.由抛物线的定义可知AF BF +即为点,A B 到准线的距离的和.8. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD所成的角的余弦值为( )B.15D.35【答案】C考点：异面直线所成角.【方法点晴】本题主要考查的是异面直线所成角,难度稍大.求异面直线所成角的步骤:1找证角,即平移两条异面直线或其中一条直线使两直线相交;2定角,根据异面直线所成角的定义找到所求角;3在三角形中求角;4结论.9. 已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a 2 013满足( )A ．0<a 2 013<110 B.110≤a 2 013<1 C ．1≤a 2 013≤10 D ．a 2 013>10【答案】A考点：推理.10. 已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，连接1PF 交y轴于点Q ，若2PQF ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）【答案】C 【解析】试题分析：设2PQF ∆边长为x ,即22PF PQ QF x ===,由题意数形结合易证得12FQO F QO ∆≅∆,12QF QF x ∴==,即112PF QF PQ x ∴=+=. 在12F PF ∆中由题意可得1260F PF ∠=,2221212122cos 60F F PF PF PF PF ∴=+-2222423x x x x =+-=,.1223,2a PF PF x ∴=+=,c e a ∴===.故C 正确. 考点：1椭圆的简单几何性质;2余弦定理. 11. 已知函数()21sin cos 2f x x x x x =+，则其导函数()f x '的图象大致是（ ）【答案】C考点：函数图像.【思路点睛】本题主要考查的是函数图像,难度中等.函数图像问题一般采用特殊值法,排除法等方法来解决.一般先看定义域,奇偶性等,再代特殊值验证排除,能够轻松的选出正确选项.12. 在平面直角坐标系中，定义d (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M (－1,0)，N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x ＝0；④到M (－1,0)，N (1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【解析】试题分析：点(),P x y 到原点的“折线距离” 1x y +=,由数形结合可知点(),P x y 的正方形,所以①正确, ②不正确;设点(),P x y 到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等,即11x y x y ++=-+,则有11x x +=-, 两边平方并整理可得0x =,所以③正确;设点(),P x y 到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1,即()()111x y x y ++--+=,整理可得111x x +--=,可解得12x =±,为两条平行线,所以④正确. 综上可得正确的有①③④共3个,故C 正确. 考点：新概念.二：填空题（本大题满分20分）本大题有4题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。

13. 命题“存在0x ∈R ， 02x ≤0”的否定是 .【答案】任意,20x x R ∈>考点：特称命题的否定.14. 若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =【答案】3 【解析】试题分析：()()()()()2222212'11x x x a x x af x x x +-++-==++,由题意可得()()22121'1011af +⨯-==+,解得3a =.考点：函数的极值点问题.【方法点晴】本题主要考查的是函数的极值点问题，属于容易题．函数的极值点都是其导数等于0的根,但须注意导数等于0的根不一定都是极值点,应根据导数图像分析再下结论是不是其极值点.15. 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若31241234a a a a k ====， 则()412i i Sih k==∑.类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若31241234S S S S K ====, 则()41i iiH ==∑ .【答案】3V K考点：1三棱锥的体积公式;2类比推理.16. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。

【答案】4; 1π+ 【解析】试题分析：不难想象，从某一个顶点（比如A ）落在x 轴上的时候开始计算，到下一次A 点落在x 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4. 下面考察P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P 点从x 轴上开始运动的时候，首先是围绕A 点运动14个圆，该圆半径为1，然后以B 点为中心，滚动到C 点落地，其间是以BP 为半径，旋转90，然后以C 为圆心，再旋转90，这时候以CP 为半径，因此最终构成图象如下：由图可得所求面积为22112111144πππ⎛⎫⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭.考点：1函数图像;2推理.三：解答题（本大题满分70分）本大题共6题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤。

17. （10分） 设命题p ：（4x-3）2≤1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即AB ，1211a a ⎧≤⎪∴⎨⎪+≥⎩,故所求实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点：充分必要条件.【易错点晴】本题主要考查充分必要条件,属容易题. 由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，可得p 是q 的充分不必要条件，即AB ,画数轴分析可得关于12a ≤且11a +≥,但需注意等号不能同时取得,否则容易出错. 18. （12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明A 1C ⊥平面BED ；(2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．【答案】(1)详见解析(1) ()()()112222040,0222140AC DB AC DE ⋅=-⨯+⨯+⨯-=⋅=⨯-+⨯+⨯-=,11,AC DB AC DE ∴⊥⊥,即11,AC BD AC DE ⊥⊥ 又DB DE D =，1AC ∴⊥平面DBE . (2)由(1)知()12,2,4A C =--为面DBE 的一个法向量.设向量(),,n x y z =是平面1DA E 的法向量，则1,n DE n DA ⊥⊥,20240y z x z +=⎧∴⎨+=⎩. 令1y =，则2,4z x =-=，()4,1,2n ∴=-．(111cos ,AC nAC n AC n ⋅∴===⋅- 观察可知二面角A DE B --的平面角为锐角，∴二面角1A DE B --考点：1线面垂直;2用空间向量法解决立体几何问题.【方法点晴】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．用空间向量法解题时一定要注意二面角的余弦值等于两法向量夹角的余弦值或其绝对值，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．19（12分）已知双曲线)0.0(1:2222>>=-b a by a x C 与椭圆1141822=+y x 有共同的焦点，点)7,3(A 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）以()2,1P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程．【答案】（1）12222=-y x ;（2）032=+-y x .考点：1双曲线方程;2点差法解决中点弦问题.20. （12分）已知函数1()ln x f x x ax-=+在（1，+∞）上是增函数，且a ＞0． （1）求a 的取值范围； （2）求函数()ln(1)g x x x =+-在[0，+∞）上的最大值；【答案】（1）1a ≥;（2）0.（2）因为[)0,x ∈+∞，所以'1()1011x g x x x-=-=≤++ 所以()g x 在[)0,+∞上单调递减， 所以()ln(1)g x x x =+-在[)0,+∞上的最大值为(0)0g =．考点：用导数研究函数的性质.21. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线260x -+=相切.(1)求椭圆C 标准方程；(2)已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA EB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由.【答案】(1) 12622=+y x ;(2)EA EB ⋅59=-为定值，定点为)0,37(. (2) 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k ， 设1122(,),(,)A x y B x y ,所以22213112k k x x +=+，222131612k k x x +-=⋅，（8分） 根据题意,假设x 轴上存在定点)0,(m E ,使得2()EA EA AB EA EA AB EA EB +⋅=⋅+=⋅为定值，则有EA EB ⋅11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =--=--+ )2)(2())((21221--+--=x x k m x m x )4())(2()1(22212212m k x x m k x x k ++++-+=)4(3112)2(31612)1(22222222m k k k m k k k k +++⋅+-+-⋅+= 13)6()10123(2222+-++-=k m k m m （10分） 要使上式为定值，即与k 无关，则应)6(31012322-=+-m m m ，即37=m ，此时EA EB ⋅9562-=-=m 为定值，定点为)0,37(.（12分） 考点：1椭圆的简单几何性质,椭圆方程;2直线与椭圆的位置关系问题. 22. （12分）设函数f (x )＝ln x ＋12＋1－x a (x ＋1)(a >0)． (1)若函数f (x )在区间(2,4)上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)求证：当n ∈N *且n ≥2时，12＋13＋14＋ (1)<ln n . 【答案】(1) 22,53⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2) 1a ≥;(3)详见解析.方法二 由于132ln ln 1221n n n n n -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⎪--⎝⎭31ln 2ln ln ln 221n n n n -=++++--， 从而只需证明()1ln21n n n n >≥-．考查函数()()11ln ln 1,1x g x x x x x x -=-=+->， 而()22111'x g x x x x-=-=，所以()g x 在()1,+∞上是增函数，在()0,1上是减函数， 所以()()min 10g x g ==，所以1x >时，()0g x >， 令1n x n =-，()1ln ,21n n n n>≥-， 则31111ln ln 2lnln ln 22123n n n n n n -=++++>+++--， 所以命题得证．考点：用导数研究函数的性质.高考一轮复习：。