第七章+位移法

位移法
(a)原结构： A l (b)基本体系： A q ø B B ø B l Z1 = ø B R=0 q B ø B C C 1、基本体系 2、平衡条件 R11+R1P=0
课本PP 4
ø B
因为：R11=r11Z1 (见下图） 所以： r11Z1 +R1P=0
Z1=－ R1P／ r11 C Z1 = １
21
位移法
四、力法与位移法的比较
（1）计算方法：利用力法或位移法计算超静定结构 时，都必须同时考虑平衡条件、变形协调条件和物 理条件。 （2）基本未知量：力法取的是力——多余未知力， 其数目等于结构多余约束的数目（即超静定次数）； 位移法取得是位移——独立的结点位移，其数目与 结构的超静定次数无关。 （3）基本结构：力法是从原结构中去掉多余约束后 得到的静定结构；位移法则是在原结构中加入附加 约束，以控制结点的独立位移所得的单跨（超静定） 梁的组合体系。 22
23
位移法
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
解：1、选取位移法基本体系
Δ Δ
2、写出位移法方程
k111 k12 2 F1P 0 k 211 k 22 2 F2 P 0
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位移法
3、绘单位弯矩图、荷载弯矩图并计算各系数
2 EI 2 EI 4 EI k11 3 3 3 EI k12 k 21 3 2 EI EI 7 EI k 22 3 2 6
位移法
（4）基本方程：力法是根据原结构的位移条件建立 的位移协调方程，位移法是根据原结构的平衡条件 建立的力系平衡条件。
（5）系数：力法典型方程中的系数（柔度系数）是 表示广义单位力在基本结构上所引起的广义位移； 位移法典型方程中的系数（刚度系数）是表示发生 广义单位位移时，在基本结构的某附加约束上需施 加的广义力。
l
EI EI f M 3 3 Δ M A AB AB l l2 M BA 0 3EI 3EI f F Δ F ab sAB SAB 2 3 l l F 3EI 3EI Δ Ff SBA ab sBA l2 l3
D
B
A
VB=10kN k D B HB=10kN F
10kN
10kN
D B
Z1 B
D F
A
A
4m
E 2m 2m 4m C
k C E
F
z1 1
EI/2
20kN∙m
HC=10kN
位移法方程：
r11z 1 R 1 P 0
EI 2 2 EI
M1
MP
20
式中： r11 EI
R1P
EI 1.354 EI 2 2 20 kN . m
P
A
29
2、偶数跨刚架：简化为中间竖柱抗弯刚度减半的半刚架。
30
位移法
三、对称利用举例：
80kn 40kn 40kn 40kn 40kn
15kn/m
15kn/m
40kn
15kn/m
40kn
31
补充例题 试用位移法分析图示刚架，绘制该刚架的弯矩图。 已知各杆的抗弯刚度均为EI。
10kN
10kN
A
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位移法
3、杆端位移： 顺时针转动为正！
φA P
q
MAB t1˚C βAB φA βAB FsAB FsBA l EI t2˚C φB B' MBA ΔAB
A
B
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位移法
三、两端固定梁的转角位移方程
φA P q MAB A φA βAB FSAB t1˚C βAB EI t2˚C φB B' MBA FsBA l B ΔAB
11
位移法
二、杆端力的表示方法和正负号的规定 1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而 言，顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言， 顺时针为负，逆时针为正。 P A
MAB0
B MBA0
2、剪力：FsAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P B A FsAB0 QBA0
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位移法
三、位移法的计算步骤
（1）确定基本未知量，选取位移法法基本体系； （2）建立位移法方程； （3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图，按平衡条件求系 数和自由项； （4）解位移法方程，求出作为基本未知量的各结点 位移； （5）依M=M1Δ1+M2 Δ 2+……+ Δ P绘弯矩图，进 而绘剪力图、轴力图。
F1 0 F2 0 F 0 3
k111 k12 2 k13 3 F1P 0 k 211 k 22 2 k 23 3 F2 P 0 k k k F 0 32 2 33 3 3P 31 1
8
位移法
课本PP 8
9
位移法
如何确定基本未知量举例：
1 角2 线
2角1线
1角2线
2角2线
1角1线
1 角1 线
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位移法
7.3 等截面直杆的转角位移方程 一、为什么要研究等截面直杆的转角位移方程
1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计 算基础的。 2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有 一定的关系——“转角位移方程 ” 或“物理方程”。 单跨超静定梁：两端固定、一端固定另一端铰支、一 端固定另一端滑动支座等三种类型。
16
位移法
7.4 位移法典型方程和算例 一、位移法典型方程 力法 位移法 去除多余约束 增加约束（刚臂、链杆）
位移法： 把超静定结构看成由若干单跨梁和二 力杆所构成的组合体系。
单跨超静定梁：两端固定、一端固定另一端铰支、一 端固定另一端滑动支座等三种类型。 等截面直杆的转角方程或表7-1来确定杆端力
第七章 位移法
同济大学土木工程学院建筑工程系 宋晓滨 xiaobins@
1
位移法
第七章 位移法
7.1 位移法的基本概念
7.2 位移法基本未知量数目的确定
7.3 等截面直杆的转角位移方程 7.4 位移法典型方程和算例 7.7 对称性的利用 7.8 直接按平衡条件建立位移法方程
令：i
EI 称为“线刚度”、 AB 称为“旋转角”，则： l l
f M AB 4i A 2i B 6i AB M AB
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位移法
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA MAB A φA
FSAB FsBA
P
q βAB EI t1˚C t2˚C B ΔAB B'
EI 令：i 称为“线刚度”、 AB 称为“旋转角”，则： l l
f M AB 3i A 3i AB M AB
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位移法
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA MAB P q t1˚C βAB φA
FSAB
A
EI
t2˚C
B B' MBA
l
f M AB i A M AB f M i M A BA BA
用半个刚架的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法。
二、对称结构承受对称荷载
1、奇数跨刚架：用带有定向支定端的半刚架。
二、对称结构承受反对称荷载
1、奇数跨刚架：简化为带有竖向链杆刚架。
P P P φ C P A E φ D B C P A B B φ φ C' P C
2
位移法
7.1 位移法的基本概念
一、力法与位移法的区别
力法是以结构的多余未知力作为基本未知量，并根据位移 条件建立方程，求出多余未知力。
δ i1 x1 δi 2 x 2 δin x n Δ iP 0
力
位移
位移法是以结构的某些节点位移作为基本未知量，并根据 力条件建立方程，求出节点位移。 在“电算”条件下，位移法使用更加广泛。
6
位移法
7.2 位移法基本未知量数目的确定
B
B
一、基本未知量
1、结点角位移 2、结点线位移
A
C C B
D C
二、基本假设
1、小变形假设。 2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。
（采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量)
7
位移法
三、如何确定基本未知量
1、在刚结点处加上刚臂 2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数 目。 4、确定线位移的方法 （1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点 也是不动点。 （2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为 铰结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何 不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移 数目。
B
4 126
14 EI 4 126 0
61 Z1 1.037 10 3 rad . 7 EI
1.354 EIZ1 20 0
14.77 7.39
5.22
将r11、R1P代入位移法方程： 得：
14.77 20
Z1 14.77
1 EI
M 图(kN m)
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位移法
四、练习：
1、利用位移法计算图示结构，绘M图。已知：
E 2.1 10 3 kN / cm 2 ; I 4 10 4 cm 4
4kN.m 2m 4m F 5EI E A 16EI 4EI D 3m 8m B 0.02m
C
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位移法
4kN.m
E
A
Z1
B 16EI 0.02m
F
5EI
F 4EI A 4EI
E
Z1 1