初四数学5
2021年中考数学复习 第5章 四边形
第五章四边形第一节多边形(建议用时:40分钟)考点1多边形的性质1.一个多边形的边数由原来的3增加到n(n>3,且n为正整数),则它的外角和( D )A.增加(n-2)×180°B.减小(n-2)×180°C.增加(n-1)×180°D.没有改变2.[2020广东]若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为( B )A.4B.5C.6D.73.如图,已知∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,边CD,AE的延长线交于点F,如果∠1+∠2+∠3=225°,那么∠DFE的度数是45°.考点2正多边形的性质4.[2020承德二模]把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG,按照如图所示的方式放置,连接AD,则∠DAG= ( A ) A.18° B.20°C.28°D.30°5.[2020 邢台二模]如图,有n个全等的正五边形按如下方式拼接,使相邻的两个正五边形有一个公共顶点,所夹的锐角为24°,拼接一圈后,中间形成一个正多边形,则n的值为( B )A.5B.6C.8D.106.[2020石家庄新华区一模]连接正八边形的三个顶点,得到如图所示的图形,则下列说法错误的是( D )A.四边形AFGH与四边形CFED的面积相等B.连接BF,则BF平分∠AFC和∠ABCC.整个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形D.△ACF是等边三角形7.[2020江苏扬州]如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a=√3cm.8.[2020江苏连云港]如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5,且A3A4∥B3B4,直线l经过B2,B3,则直线l与A1A2的夹角α=48°.9.如图,在正八边形中,四边形BCFG的面积为2a cm2,则正八边形的面积为4a cm2(用含a的代数式表示).10.[2020湖南株洲]一蜘蛛网如图所示,若多边形 ABCDEFGHI为正九边形,其中心为点O,点M,N分别在射线OA,OC上,则∠MON=80°.11.[2020福建]如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则∠ABC等于30度.12.若将n个边长为1的正m边形进行拼接,相邻的两个正m边形有一条公共边,围成一圈后中间恰好形成一个正n边形.(1)当m=8时,围成的图形如图所示,则该图形外轮廓的周长为20;(2)当n=3时,围成的图形的外轮廓的周长是27;(3)当m=5时,得到的正n边形的周长是10.13.[2019 唐山丰南区二模]关于n边形,甲、乙、丙三位同学有以下三种说法:甲:五边形的内角和为520°.乙:正六边形每个内角为130°.丙:七边形共有14条对角线.(1)判断三种说法是否正确,并对其中你认为不对的说法用计算进行说明;(2)若n边形的对角线共有35条,求该n边形的内角和.解:(1)甲、乙的说法不正确,丙的说法正确.正五边形的内角和为 180×(5-2)=540°.正六边形外角和为 360°,每个外角为 360÷6=60°,故每个内角为 180°-60°=120°.=35,(2)由题意知n(n−3)2解得n=10或n=-7(不合题意,舍去),180°×(10-2)=1 440°,故该n边形的内角和为1 440°.第二节平行四边形基础分点练（建议用时：45分钟）考点1平行四边形的判定1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( C )A.AB平行且等于CDB.∠A=∠C,∠B=∠DC.AB=AD,BC=CDD.AB=CD,AD=BC2.[2019广西河池]如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE的延长线上,连接CF.添加一个条件,使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是( B )A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BO=DO,点E,F分别在AO,CO上,且BE∥DF,AE=CF.求证:四边形ABCD为平行四边形.证明:∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO,又BO=DO,∠BOE=∠DOF,∴△BEO≌△DFO,∴EO=FO.∵AE=CF,∴AE+EO=CF+FO,即AO=CO.又BO=DO,∴四边形ABCD为平行四边形.考点2平行四边形的性质4.在▱ABCD中,若∠A=2∠B,则∠D的度数为( C )A.30°B.45°C.60°D.120°5.[2019 石家庄十八县联考]证明:平行四边形对角线互相平分.已知:四边形ABCD是平行四边形,如图所示.求证:AO=CO,BO=DO.以下是排乱的证明过程:①∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA.②∵四边形ABCD是平行四边形.③∴AB∥CD,AB=DC.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA=OC,OB=OD.正确的顺序应是( C ) A.②①③④⑤ B.②③⑤①④C.②③①④⑤D.③②①④⑤6.[2020浙江温州]如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作▱BCDE,则∠E的度数为( D )A.40°B.50°C.60°D.70°7.小宇利用尺规在▱ABCD内作出点E,又在BC边上作出点F,作图痕迹如图所示,若EF=2,则AB,CD之间的距离为( C )A.2B.3C.4D.58.[2019海南]如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( C ) A.12 B.15 C.18 D.219.[2019保定定州二模]如图,已知点M为▱ABCD的边AB的中点,线段CM交BD于点E,S△BEM=1,则图中阴影部分的面积为( C )A.2B.3C.4D.510.[2020陕西]如图,在▱ABCD 中,AB=5,BC=8.E 是边BC 的中点,F 是▱ABCD 内一点,且∠BFC=90°.连接AF 并延长,交CD 于点G.若EF ∥AB,则DG 的长为( D )A.52B.32C.3D.211.[2020山东潍坊]如图,点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点,且DE AE =12,连接BE 并延长交CD 的延长线于点F,若DE=3,DF=4,则▱ABCD 的周长为( C )A.21B.28C.34D.4212.[2020广西河池]如图,在▱ABCD 中,CE 平分∠BCD,交AB 于点E,连接DE,EA=3,EB=5,ED=4,则CE 的长是( C )A.5√2B.6√2C.4√5D.5√513.[2020贵州黔东南州]以▱ABCD 对角线的交点O 为原点,平行于BC 边的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若A 点坐标为(-2,1),则C 点坐标为 (2,-1) .14.[2019广西梧州]如图,▱ABCD 中,∠ADC=119°,BE ⊥DC 于点E,DF ⊥BC 于点F,BE 与DF 交于点H,则∠BHF= 61 度.15.[2020浙江金华]如图,平移图形M,与图形N 可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是 30 °.综合提升练（建议用时：25分钟）1.[2019广东广州]如图,▱ABCD 中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD 相交于点O,且E,F,G,H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点,则下列说法正确的是( B )A.EH=HGB.四边形EFGH 是平行四边形C.AC ⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍2.[2020重庆A卷]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F,AC平分∠DAE.(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;(2)求证:AE=CF.(1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.又∵AC平分∠DAE,∴∠OAD=∠EAO=40°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠OAD=40°.(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中,{∠AEO=∠CFO,∠EOA=∠FOC, AO=CO,∴△AEO≌△CFO,∴AE=CF.3.如图,在四边形ABCD中,AD∥CB,E为BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD.(1)求证:AE=CE;(2)求证:四边形ABDF为平行四边形;(3)若CD=1,AF=2,∠BEC=2∠F,求四边形ABDF的面积.(1)证明:∵AD∥CB,∴∠DAC=∠BCA.∵E为BD的中点,∴DE=BE,在△ADE和△CBE中,{∠DAC=∠BCA,∠AED=∠CEB, DE=BE,∴△ADE≌△CBE,∴AE=CE.(2)证明:由(1)得,AE=CE,BE=DE,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.又∵DF=CD,∴AB=DF,∴四边形ABDF为平行四边形.(3)∵四边形ABDF为平行四边形,∴∠F=∠DBA,BD=AF=2.又∵∠BEC=2∠F,∠BEC=∠DBA+∠BAC,∴∠DBA=∠BAC,∴AE=BE=DE,∴∠BAD=90°.∵AB=CD=1,∴AD=√BD2-AB2=√3,∴四边形ABDF的面积为AB×AD=√3.新角度[2020江苏扬州]如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点E为边AB上的一个动点,连接ED并延长DF=1DE,以EC,EF为邻边构造▱EFGC,连接EG,则EG的最小值为9√3.4第三节矩形、菱形、正方形课时一:矩形的性质与判定基础分点练（建议用时：30分钟）考点1矩形的判定1.[2020湖北十堰]已知平行四边形ABCD,有下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( B )A.①B.②C.③D.④2.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证:四边形BCDE是矩形.证明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC,即∠CAD=∠BAE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAE≌△CAD,∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.又∵DE=CB,∴四边形BCDE是平行四边形,∴BE∥CD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠EBC=∠DCB.∵BE∥CD,∴∠EBC+∠DCB=180°,∴∠EBC=∠DCB=90°,∴四边形BCDE是矩形.考点2与矩形性质有关的证明与计算3.[2020湖南怀化]如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若△AOD的面积为2,则矩形ABCD的面积为( C )A.4B.6C.8D.104.[2020 江苏连云港]如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处,若∠DBC=24°,则∠A'EB等于( C )A.66°B.60°C.57°D.48°5.[2019广东广州]如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( A )A.4√5B.4√3C.10D.86.[2020贵州黔东南州]如图,矩形ABCD中,AB=2,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作PQ⊥BC于点Q,则PQ=4.37.[2020山东菏泽]如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为3√17.8.[2020 湖南长沙]如图,在矩形ABCD中,E为DC边上一点,把△ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F处.(1)求证:△ABF∽△FCE.(2)若AB=2√3,AD=4,求EC的长.(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β.求tan α+tanβ的值.(1)证明:∵∠AFE=∠D=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°.∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=90°,∴∠AFB+∠BAF=90°,∴∠EFC=∠BAF,∴△ABF∽△FCE.(2)由翻折的性质可得AF=AD=4,在Rt△ABF中,由勾股定理得,BF=√42-(2√3)2=2,∴FC=BC-BF=4-2=2.由(1)知△ABF ∽△FCE,∴AB FC =BFCE ,即2√32=2CE ,∴CE=2√33. (3)设EC=1,DE=x,则AE=x+2,AB=x+1,FE=x, ∴BC=AD=√AE 2-DE 2=√(x +2)2-x 2=2√x +1,FC=√FE 2-CE 2=√x 2-1,∴BF=BC-FC=2√x +1-√x 2-1.由(1)知△ABF ∽△FCE,∴AB FC =BFCE ,∴AB·CE=FC·BF, 即x+1=√x 2-1×(2√x +1-√x 2-1), 得x+1=2(x+1)√x −1-x 2+1, 整理,得x 2=4(x-1),解得x 1=x 2=2, ∴AB=3,BF=√3,AF=2√3, ∴tan α+tan β=BF AB +EF AF =√33+2√3=2√33.内蒙古呼和浩特]如图,把某矩形纸片ABCD 沿EF,GH 折叠(点E,H 在AD 边上,点F,G 在BC 边和点C 落在AD 边上同一点P 处,A 点的对称点为A',D 点的对称点为D',若∠FPG=90°,S △A'EP =8,S △D′PH =2,则矩形ABCD 的长为( D )A.6√5+10B.6√10+5√2C.3√5+10D.3√10+5√22.新角度[2020江西]如图,矩形纸片ABCD 中,AD=8 cm,AB=4 cm,折叠纸片使折痕经过点B,交AD 边于点E,点A 落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE 的长为 43 √3,4√3或(8-4√3) cm.课时二:菱形的判定与性质基础分点练（建议用时：40分钟）考点1 菱形的判定1.[2020浙江嘉兴]如图,平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,请添加一个条件: AD=DC(答案不唯一) ,使平行四边形ABCD 是菱形.2.[2020广西玉林]如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD 是 菱形(填“是”或“不是”).3.[2020 山东滨州]如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA 于点P,M,Q,N.(1)求证:△PBE≌△QDE;(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC与BD的交点为E,∴AB∥CD,BE=DE,∴∠PBE=∠QDE,∠BPE=∠DQE,∴△PBE≌△QDE.(2)证明:如图.由(1)可得PE=QE,同理可得ME=NE,∴四边形PMQN是平行四边形.又∵PQ⊥MN,∴▱PMQN是菱形.考点2与菱形的性质有关的计算4.[2020黑龙江绥化]如图,四边形ABCD是菱形,E,F分别是BC,CD两边上的点,不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是( C )A.∠BAF=∠DAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF5.[2020湖北黄冈]若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为( B )A.4∶1B.5∶1C.6∶1D.7∶16.[2020黑龙江龙东地区]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为( A ) A.4 B.8 C.√13 D.67.[2020四川乐山]如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,O是对角线BD的中点,过点O作OE⊥CD 于点E,连接OA.则四边形AOED的周长为( B )A.9+2√3B.9+√3C.7+2√3D.88.[2020辽宁抚顺]如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,AC=8,BD=6,点E 是CD 上一点,连接OE,若OE=CE,则OE 的长是( B ) A.2B.52C.3D.49.[2020四川南充]如图,面积为S 的菱形ABCD 中,点O 为对角线的交点,点E 是线段BC 的中点,过点E 分别作EF ⊥BD 于点F,EG ⊥AC 于点G,则四边形EFOG 的面积为( B )A.14SB.18SC.112S D.116S10.[2020广东]如图,在菱形ABCD 中,∠A=30°,取大于12AB 的长为半径,分别以点A,B 为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD 边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD 的度数为 45° .11.[2020陕西]如图,在菱形ABCD 中,AB=6,∠B=60°,点E 在边AD 上,且AE=2.若直线l 经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF 的长为 2√7 .12.[2020北京]如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AD 的中点,点F,G 在AB 上,EF ⊥AB,OG ∥EF.(1)求证:四边形OEFG 是矩形; (2)若AD=10,EF=4,求OE 和BG 的长.(1)证明:∵四边形ABCD 为菱形,∴点O 为BD 的中点. 又∵点E 为AD 的中点,∴OE 为△ABD 的中位线, ∴OE ∥FG.又∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形.又∵EF⊥AB,∴四边形OEFG为矩形.AD=5.(2)∵点E为AD的中点,AD=10,∴AE=12又∵∠EFA=90°,EF=4,∴AF=√AE2-EF2=√52-42=3.AB=5.∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=10,∴OE=12∵四边形OEFG为矩形,∴FG=OE=5,∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.动态型[2020浙江绍兴]如图,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动,移动到点B 停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为( B )A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C.平行四边形→正方形→菱形→矩形D.平行四边形→菱形→正方形→矩形课时三:正方形的性质和判定基础分点练（建议用时：40分钟）考点1正方形的判定1.[2020石家庄新华区一模]如图,已知线段AB,按下列步骤作图:分别以点A,B为圆心、大于1AB的长为半径画2弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交AB于点O,连接MA,MB,NA,NB,若四边形MANB是正方形,则需要添加的条件是( A )A.AO=MOB.MA∥NBC.MA=NBD.AB平分∠MAN2.[2020山东滨州]下列命题是假命题的是( D )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形3.[2020山东威海]如图,在▱ABCD中,BD⊥AD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,连接EO并延长交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的是( D )A.四边形DEBF为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形考点2正方形的性质4.[2020浙江湖州]四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形,当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是( B )A.1B.12C.√22D.√325.[2019内蒙古鄂尔多斯]如图,以AB为边在正方形ABCD外部作等边三角形ABE,连接DE,则∠BED的度数为( C )A.15°B.35°C.45°D.55°6.[2020邢台二模]如图,在正方形ABCD中,AB=6,点Q是AB边上的一个动点(点Q不与点B重合),点M,N分别是DQ,BQ的中点,则线段MN= ( A )A.3√2B.3√22C.3D.67.[2020湖北恩施州]如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE 周长的最小值为( B )A.5B.6C.7D.88.[2020浙江湖州]七巧板是我国祖先的一项卓越创造,流行于世界各地.由边长为2的正方形木板可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板,如图(1)所示.分别用这两副七巧板试拼如图(2)中的平行四边形或矩形,则这两个图形中,中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( D )图(1)图(2)A.1和1B.1和2C.2和1D.2和29.[2020河南]如图,在边长为2√2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为1.10.[2020甘肃天水]如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3,则BE的长为2.11.[2020张家口桥东区一模]如图,将边长分别为a,b的两个正方形放在一起.a(a+b);(1)图中阴影部分的三角形的面积为12(2)△ABC的面积为1b2.2(用含a,b的代数式表示)12.[2020四川自贡]如图,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE,BF交于点M.求证:AE=BF.证明:∵四边形ABCD 为正方形, ∴AB=BC=CD,∠ABE=∠BCF=90°.又∵CE=DF,∴CE+BC=DF+CD,即BE=CF.在△ABE 和△BCF 中,{BE =CF,∠ABE =∠BCF,AB =BC,∴△ABE ≌△BCF,∴AE=BF.13.[2020浙江杭州]如图,在正方形ABCD 中,点E 在BC 边上,连接AE,∠DAE 的平分线与CD 边交于点G,与BC 的延长线交于点F.设CEEB =λ(λ>0).(1)若AB=2,λ=1,求线段CF 的长. (2)连接EG,若EG ⊥AF, ①求证:点G 为CD 边的中点. ②求λ的值.(1)解:因为在正方形ABCD 中,AD ∥BC,所以∠DAF=∠F.因为AG 平分∠DAE,所以∠DAF=∠EAF,所以∠EAF=∠F,所以EA=EF. 因为λ=1,BC=AB=2,所以BE=EC=1. 在Rt △ABE 中,由勾股定理,得EA=√5, 所以CF=EF-EC=EA-EC=√5-1.(2)①证明:由(1)可知EA=EF,又因为EG ⊥AF, 所以AG=GF.又因为∠AGD=∠FGC,∠DAG=∠F, 所以△DAG ≌△CFG.所以DG=CG, 所以点G 为CD 边的中点.②不妨设CD=2,则AD=2,CG=1.由①得CF=AD=2. 易证△FGC ∽△GEC,所以EC CG =CG CF =12, 所以EC=12,所以BE=32,所以λ=CE EB =13.综合提升练（建议用时：30分钟）1.[2020湖南常德]如图(1),已知四边形ABCD 是正方形,将△DAE,△DCF 分别沿DE,DF 向内折叠得到图(2),此时DA 与DC 重合(点A,C 都落在点G 处),若GF=4,EG=6,则DG 的长为 12 .2.[2020山东青岛]如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是.AE的中点,连接OF交AD于点G,连接DF.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为4√553.[2020湖北咸宁]如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重合),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论:①△ABE∽△ECG;②AE=EF;③∠DAF=∠CFE;④△CEF的面积的最大值为1.其中正确结论的序号是①②③.(把正确结论的序号都填上)4.[2020唐山路南区二模]如图,在边长为2的正方形ABCD中,动点F,E以相同的速度分别从点D,C同时出发向点C,B运动(任何一个点到达终点时,两点都停止运动).连接AE,BF,AE与BF交于点P,过点P分别作PM∥CD 交BC于点M,PN∥BC交CD于点N,连接MN,在运动过程中,(1)AE和BF的数量关系为AE=BF;(2)MN长度的最小值为√5-1.5.[2020湖南株洲]如图所示,△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上,AE与BF交于点G,连接AF,CF,满足△ABF≌△CBE.(1)求证:∠EBF=90°;(2)若正方形ABCD的边长为1,CE=2,求tan∠AFC的值.(1)证明:∵△ABF≌△CBE,∴∠ABF=∠CBE.∵∠ABF+∠CBF=90°,∴∠CBF+∠CBE=90°,∴∠EBF=90°.(2)∵△ABF ≌△CBE,∴∠AFB=∠CEB. 又∵∠FGA=∠EGB,∴∠FAC=∠EBF=90°. ∵正方形的边长为1,CE=2,∴AC=√2,AF=CE=2, ∴tan ∠AFC=AC AF =√22.6.[2020四川南充]如图,边长为1的正方形ABCD 中,点K 在AD 上,连接BK,分别过点A,C 作BK 的垂线,垂足分别为点M,N,点O 是正方形ABCD 的中心,连接OM,ON.(1)求证:AM=BN.(2)请判定△OMN 的形状,并说明理由.(3)设AK=x,若点K 在线段AD 上运动(不包括端点),△OMN 的面积为y,求y 关于x 的函数解析式(写出此时x 的范围);若点K 在射线AD 上运动,且△OMN 的面积为110,请直接写出AK 长. (1)证明:∵AM ⊥BM,CN ⊥BN,∴∠AMB=∠BNC=90°. 又∵∠ABC=90°,∴∠MAB+∠MBA=∠CBN+∠MBA=90°, ∴∠MAB=∠CBN.又AB=BC,∴△AMB ≌△BNC,∴AM=BN. (2)△OMN 是等腰直角三角形.理由:连接OB,如图.∵O 为正方形的中心,∴∠OAB=∠OBC,OA=OB,∴∠MAB-∠OAB=∠NBC-∠OBC,即∠MAO=∠OBN.又∵AM=BN,∴△AMO ≌△BNO, ∴OM=ON,∠AOM=∠BON.易知∠AOB=∠AON+∠BON=90°, ∴∠MON=∠AON+∠AOM=90°, ∴△OMN 是等腰直角三角形.(3)在Rt △ABK 中,BK=√AK 2+AB 2=√x 2+1. 易知BK·AM=AB·AK,则BN=AM=AB·AK BK=√x 2+1.∵∠AKM=∠BKA,∠AMK=∠BAK=90°,∴△AKM ∽△BKA,∴AK BK =KMAK,∴KM=AK 2BK=2√x 2+1,∴MN=BK-BN-KM=√x 2+1-√x 2+1-2√x 2+1=√x 2+1,∴S △OMN =12×(√22MN)2=14MN 2=(1-x)24x 2+4,即y=x 2-2x+14x 2+4(0<x<1).若点K 在射线AD 上运动,S △OMN =110,则AK 长为13或3.湖北孝感]如图(1),四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图(2)所示的图形,记阴影部分的面积为S 1,空白部分的面积为S 2,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S 1=S 2,则nm 的值为 √3-12.图(1) 图(2)参考答案第一节 多边形1.D 因多边形的外角和等于360°,与边数无关,故选D.2.B 设该多边形的边数是n,由多边形的内角和公式,得180°×(n-2)=540°,解得n=5.故选B.3.45° ∵多边形的外角和为360°,∴∠DEF+∠EDF=360°-225°=135°.∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°,∴∠DFE=180°-135°=45°.4.A 正五边形的每一个内角为(5-2)×180°5=108°,即∠AED=∠EAB=108°.又EA=ED,∴∠EAD=180°−108°2=36°,∴∠DAB=∠EAB-∠EAD =72°.在正方形ABFG 中,∠GAB=90°,故∠DAG=∠GAB-∠DAB =18°.故选A. 5.B 正五边形每一个内角的度数为(5-2)×180°5=108°,所以中间形成的正多边形的每一个内角的度数为360°-24°-108°-108°=120°.易得120°n=(n-2)×180°,解得n=6.故选B.6.D 易知该图形关于直线BF 对称,四边形AFGH 与四边形CFED 关于直线BF 对称,故S 四边形AFGH =S 四边形CFED ,BF 平分∠AFC和∠ABC.因△ACF 不是中心对称图形,故整个图形不是中心对称图形.设该正八边形的中心为点O,连接OA,OC,则∠AFC=12∠AOC=12×360°4=45°,故△ACF 不是等边三角形.7.√3 如图,作螺帽的外接圆,连接AB,AC,则AC 是其直径,易知∠BAC=30°,∠ABC=90°,∴BC=√33AB=√3 cm.8.48 如图,由正五边形内角和为(5-2)×180°=540°,可知∠1=108°.又A 3A 4∥B 3B 4,∴∠2=∠1=108°,∴∠3=72°.在四边形A 2A 3MN 中,∠3+∠4+∠A 2+∠A 3=360°,∠A 2=∠A 3=120°,∴α=∠4=48°.9.4a 如图,连接HE,AD,分别交BG 于点M,N,正八边形每个内角的度数为(8-2)×180°8=135°.易得∠DAH=∠CBG=90°,∴∠BAN=∠ABN=45°,∴AN=BN,AB=√2AN=√2BN.设AN=BN=x,则AB=BC=AH=HG=√2x,MG=x,∴S 四边形BCFG =BC×BG=√2x·(2x+√2x)=2(√2+1)x 2=2a,∴S 四边形ABGH =12(AH+BG)×AN=12(√2x+2x+√2x)·x=(√2+1)x 2=a,故正八边形的面积为a×2+2a=4a(cm 2).10.80 正九边形的中心角度数为360°÷9=40°,即∠AOB=40°,∴∠MON=2∠AOB=2×40°=80°. 11.30 如图,∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,∴六边形ABMNEF 是正六边形,∴∠ABM=(6-2)×180°6=120°.又∠CBM=90°,∴∠ABC=120°-90°=30°.12.20 27 10 (1)每个正八边形的周长为8,故题中图形外轮廓的周长为(8-3)×4=20.(2)设正m 边形的一个内角的度数为α,依据题意,得2α+60°=360°,解得α=150°,∴m=360°÷(180°-150°)=12,∴当n=3时,围成的图形的外轮廓的周长是(12-3)×3=27.(3)正五边形一个内角的度数为180°-360°÷5=108°,∴得到的正n 边形的一个内角的度数为360°-108°-108°=144°,一个外角的度数为180°-144°=36°,∴n=360°÷36°=10,∴得到的正n 边形的周长是10. 13.略第二节 平行四边形 基础分点练 1.C2.B 在△ABC 中,D,E 分别是AB,BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AC.当∠B=∠BCF 时,AD ∥CF.根据平行四边形的定义可知此时四边形ADFC 是平行四边形.故选B.3.略4.C ∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD ∥BC,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°.∵∠A=2∠B,∴2∠B+∠B=180°,∴∠B=60°,∴∠D=60°.故选C. 5.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=DC,∴∠ABO=∠CDO,∠BAC=∠DCA,∴△AOB ≌△COD,∴OA=OC,OB=OD.故正确的顺序为②③①④⑤,故选C.6.D ∵AB=AC,∠A=40°,∴∠C=∠ABC=70°.又∵四边形BCDE 为平行四边形,∴∠E=∠C=70°.故选D.7.C 如图,过点E 作EM ⊥BA 交BA 的延长线于点M,延长ME 交CD 于点N.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,∴EN ⊥CD.由尺规作图的痕迹可知,BE,CE 分别平分∠ABC,∠BCD,EF ⊥BC, ∴EM=EF=2, EN=EF=2,∴MN=4,即AB,CD 之间的距离为4.故选C.8.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D=∠B=60°,CD=AB=3.由折叠的性质可知AE=AD,DC=CE,又D,C,E 三点共线,∴△ADE 是等边三角形.又∵DE=DC+CE=6,∴△ADE 的周长为6×3=18.9.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=CD.易得△BEM ∽△DEC,∴BE DE =EM EC =BM CD =12, ∴S △DEM =2S △EBM =2,S △EBC =2S △EBM =2,∴S 阴影=2+2=4,故选C.10.D 如图,延长EF 交AD 于点H,则AB ∥EH ∥CD,∴四边形ABEH 和四边形CDHE 都是平行四边形,∴EH=AB=5,AH=BE,HD=EC.∵∠BFC=90°,E 是边BC 的中点,BC=8,∴EF=BE=EC=12×8=4, ∴AH=HD,FH=EH-EF=5-4=1.易得FH 是△ADG 的中位线,∴DG=2FH=2.11.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CF,AB=CD,∴△ABE ∽△DFE,∴AB DF =AEDE =2,又∵DE=3,DF=4, ∴AE=6,AB=8,∴AD=AE+DE=6+3=9,∴▱ABCD 的周长为(8+9)×2=34.故选C. 12.C ∵CE 平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AB ∥CD,∴∠BEC=∠DCE,∠CDE=∠AED,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE=5,∴AD=5.又∵EA=3,ED=4,∴EA 2+ED 2=AD 2,∴∠AED=90°,∴∠CDE=90°.又CD=AB=3+5=8,∴CE=√DE 2+DC 2= √42+82=4√5.故选C.13.(2,-1) ∵▱ABCD 对角线的交点O 为坐标原点,∴点A 与点C 关于原点O 中心对称.又点A 的坐标为(-2,1),∴点C 的坐标为(2,-1).14.61 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,DC ∥AB.∵∠ADC=119°,DF ⊥BC, ∴∠ADF=∠DFC=90°, ∠EDH=29°.∵BE ⊥DC,∴∠DEH=90°,∴∠BHF=∠DHE=90°-29°= 61°. 15.30 如图,由题意可知α+∠BCD=180°.过点B 作BF ∥CD,则BF ∥AE,∴∠ABF=180°-∠A=110°, ∴∠CBF=140°- ∠ABF=30°,∴∠BCD=180°-∠CBF=150°,∴α=180°-∠BCD=30°.综合提升练1.B ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC ∥AD,AB ∥CD.∵E,F,G,H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点,∴EH ∥AD,EH=12AD,EF ∥AB,EF=12AB,FG ∥BC,FG=12BC,GH ∥CD,GH=12CD,∴EH ∥FG,EF ∥HG,∴四边形EFGH 是平行四边形,故B 中的说法正确.∵AB=2,AD=4,∴EH=2,HG=1,故A 中的说法错误.∵AB ≠AD,∴平行四边形ABCD 不是菱形,故AC 与BD 不垂直,故C 中的说法错误.由EF ∥AB,得△OEF ∽△OAB,∴S △ABO S △EFO=(ABEF )2=4.故D 中的说法错误.2.略3.略 全国视野创新练9√3 设CD 与EG 交于点O.∵四边形EFGC 是平行四边形,∴EF=CG,EF ∥CG,∴△DOE ∽△COG,∴OE OG =DECG .又∵DF=14DE,∴DE CG =45,即OE OG =45,∴OE EG =49,即EG=94OE,∴当OE 最小时,EG 也最小.当OE ⊥AB 时,OE 取最小值.如图,过点C 作CH ⊥AB 于点H.在Rt △BCH 中,BC=8,∠B=60°,∴CH=sin B×BC=4√3,∴OE 的最小值为4√3,∴EG 的最小值为94×4√3=9√3.第三节 矩形、菱形、正方形 课时一:矩形的性质与判定基础分点练1.B AB=BC,邻边相等的平行四边形是菱形;AC=BD,对角线相等的平行四边形是矩形;AC ⊥BD,对角线互相垂直的平行四边形是菱形;由AC 平分∠BAD,可推得平行四边形ABCD 是菱形.故选B.2.略3.C 由四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,得OA=OB=OC=OD,故S △AOB =S △COB =S △COD =S △AOD =2,所以矩形ABCD 的面积为4S △AOD =8,故选C.4.C 由折叠可得∠ABE=∠A'BE,∠BA'E=∠A=90°.∵∠DBC=24°,∴∠ABA'=90°-24°=66°,∴∠A'BE=33°, ∴∠A'EB=90°-33°=57°.5.A 如图,连接AE,设AC,EF 交于点O,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵直线EF 垂直平分AC,∴OA=OC,AE=EC,又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF ≌△COE,∴AE=CE=AF=5,∴BC=BE+EC=8.在Rt △ABE 中,AB=√AE 2-BE 2=√52-32=4.在Rt △ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√42+82=4√5,故选A.6.43 根据矩形的性质得到AB ∥CD,AB=CD.∵点E 为CD 的中点,∴DE=12CD=12AB.易得△ABP ∽△EDP,则PB PD =ABDE =2,∴PB BD =23.易得△BPQ ∽△BDC,则PQ CD =BP BD =23,∴PQ=23CD=43. 7.3√17 在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12,∠BAD=90°,根据勾股定理,可得BD=13.∵BP=BA=5,∴PD=BD-BP=8,∠BAP=∠BPA=∠DPQ.∵AB ∥CD,∴∠BAP=∠DQP,∴∠DPQ=∠DQP,∴DQ=DP=8,∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3.在Rt △BCQ 中,BC=AD=12,CQ=3,根据勾股定理,得BQ=3√17.8.略全国视野创新练1.D ∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD,AD=BC.设AB=CD=x,由折叠的性质可知,PA'=AB=x,PD'=CD=x.易证△A'EP ∽△D'PH,∴A'P 2∶D'H 2=8∶2,∴A'P ∶D'H=2∶1,∴D'H=12x.∵S △D'PH =12D'P·D'H=12·x·12x=2,∴x=2√2(负值已舍去),∴D'P=A'P=2√2,DH=D'H=√2,∴A'E=2D'P=4√2,∴PE=√(4√2)2+(2√2)2=2√10,PH=√(2√2)2+(√2)2=√10,∴AD=4√2+2√10+√10+√2=3√10+5√2. 2.43√3,4√3或(8-4√3) ①如图(1),当∠ABE=30°时,在Rt △ABE 中,AB=4,tan ∠ABE=AE AB ,∴AE=AB·tan ∠ABE=4×tan 30°=43√3.②如图(2),当∠AEB=30°时,在Rt △ABE中,tan ∠AEB=AB AE ,∴√33=4AE,∴AE=4√3.③如图(3),当∠ABA'=30°时,∠DEA'=30°,由折叠的性质可知,AE=A'E, A'B=AB=4,过点A'作FG ⊥BC 于点G,交AD 于点F,则FG=AB=4.∵AB ∥FG,∴∠BA'G=∠ABA'=30°, ∴BG=12A'B=2.∵tan ∠BA'G=BG A'G =√33,∴A'G=2√3,∴A'F=FG-A'G=4-2√3.在Rt △A'EF 中,sin ∠FEA'=A'F A'E =12,∴AE=A'E=8-4√3.综上所述,AE 的长为43√3,4√3或(8-4√3)cm.图(1) 图(2)图(3)课时二:菱形的判定与性质基础分点练 1.AD=DC(答案不唯一)2.是 如图,∵AB ∥CD,AD ∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.过点A 作AE ⊥BC 于点E,AF ⊥DC 于点F,∵两张纸条等宽,∴AE=AF,又S ▱ABCD =BC·AE=DC·AF,∴BC=DC,∴四边形ABCD 是菱形.3.略4.C 由四边形ABCD 是菱形,得AB=AD,∠B=∠D.选项A 中,由∠BAF=∠DAE,得∠BAE=∠DAF,故△ABE ≌△ADF.选项B 中,由EC=FC,得BE=DF,∴△ABE ≌△ADF.选项C 中,添加条件AE=AF,不能保证△ABE 和△ADF 一定全等.选项D 中,由BE=DF,易得△ABE ≌△ADF.故选C.5.B 如图,∵菱形ABCD 的周长为16,高为2,∴AB=4,AH=2.在Rt △ABH 中,sin B=AH AB =24=12,∴∠B=30°. ∵AB ∥CD,∴∠C=150°,∴∠C ∶∠B=5∶1.6.A ∵四边形ABCD 是菱形,OA=6,∴AC=2OA=12,OB=OD.又DH ⊥AB,∴OH=12BD.∵S 菱形ABCD =48,∴12AC·BD=48,∴BD=8,∴OH=4. 7.B ∵四边形ABCD 是菱形,O 是对角线BD 的中点,∴AO ⊥BD,AD=AB=4,AB ∥DC.又∵∠BAD=120°, ∴∠CDB=∠ABD=∠ADB=30°,∴AO=12AD=2,∴DO=√AD 2-AO 2=2√3.又OE ⊥CD,∴OE=12OD=√3, DE=√32OD=3, ∴四边形AOED 的周长为AO+OE+DE+AD=2+√3+3+4=9+√3.8.B ∵四边形ABCD 是菱形,∴OC=12AC=4,OD=12BD=3,∠COD=90°.在Rt △OCD 中,根据勾股定理可知,CD=√OD 2+OC 2=5.∵∠EOC=∠ECO,∠EOC+∠EOD=90°,∠ECO+∠EDO=90°,∴∠EOD=∠EDO,∴DE=OE.又OE=CE,∴DE=OE=CE,∴OE=12CD=52.9.B 方法一:如图(1),连接OE.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AO=OC,BO=DO, ∴S △BOC =S △AOB =S △AOD = S △DOC = 14S.由点E 是BC 的中点,EF ⊥BD,EG ⊥AC,∠BOC=90°,易知点F 是BO 的中点,点G 是CO 的中点, S △BOE = S △COE =12S △BOC ,∴S △OEF =12S △BOE ,S △OEG =12S △COE ,∴S 四边形EFOG = S △OEF +S △OEG =12S △BOE +12S △COE =12S △BOC =18S,故选B.图(1) 图(2)方法二:如图(2),连接FG.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AO=OC,BO=DO,∴S △BOC =S △AOB =S △AOD =S △DOC =14S.由点E 是BC 的中点,EF ⊥BD,EG ⊥AC,∠BOC=90°,易知点F 是BO 的中点,点G 是CO 的中点,∴FG 是△OBC 的中位线,∴FG ∥BC,FG=12BC,∴△OFG ∽△OBC,∴S △OFG =14S △OBC =116S.易知S △OFG =S △EFG =12S 四边形EFOG ,∴S 四边形EFOG =2S △OFG =18S.故选B.10.45° 设尺规作图所作直线与AB 交于点F,由尺规作图可知,EF 是线段AB 的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠A=∠EBA=30°.由菱形的性质可知AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴∠EBD=∠ABD-∠EBA=75°-30°=45°. 11.2√7 在线段BC 上取点F,使CF=AE=2,如图,则EF 平分菱形ABCD 的面积,理由:∵四边形ABCD 为菱形,∴AD ∥BC,AD=BC=AB=6,∴DE=BF=6-2=4.过点A 作AG ⊥BC 于点G,过点E 作EH ⊥BC 于点H,则四边形AGHE 是矩形,∴AG=EH,GH=AE=2.∵S 梯形ABFE =12(AE+BF)·AG,S 梯形EFCD =12(CF+DE)·EH,∴S 梯形ABFE =S 梯形EFCD ,即EF 平分菱形ABCD 的面积.∵在Rt △ABG 中,AG=ABsin B=6×√32=3√3,BG=ABcos B=6×12=3, ∴EH=AG=3√3, CH=BC-BG-GH=1,∴FH=CF-CH=1,∴在Rt △EFH 中,EF=√FH 2+EH 2=√12+(3√3)2=2√7.12.略全国视野创新练B 连接AC,由对角线互相平分的四边形为平行四边形可知,点E 在运动过程中,四边形AECF 始终为平行四边形.特殊地,当EF ⊥AC 时,四边形AECF 为菱形,当点E 与点B 重合时,四边形AECF 是矩形.故四边形AECF 的形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.故选B.课时三:正方形的性质和判定基础分点练1.A 由作图痕迹可知MA=MB=NA=NB,∴四边形MANB 是菱形,故可添加条件AB=MN 或AO=MO.2.D 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,不是正方形.故选D.3.D ∵点O 为BD 的中点,∴OB=OD.∵四边形ABCD 为平行四边形,∴DC ∥AB,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠OEB,∴△FDO ≌△EBO,∴OE=OF,∴四边形DEBF 为平行四边形,故选项A 中的结论成立.对于选项B,当AE=3.6时,∵AB=10,AD=6,∴AE AD =35,AD AB =35,∴AE AD =AD AB ,又∵∠DAE=∠BAD, ∴△DAE ∽△BAD,∴∠AED=∠ADB=90°,∴∠DEB=90°,∴▱DEBF 为矩形.故选项B 中的结论成立.对于选项C,当AE=5时,∵AB=10,∴BE=5,又∵∠ADB=90°,∴DE=12AB=5,∴DE=BE,∴▱DEBF 为菱形.故选项C 中的结论成立.对于选项D,当AE=4.8时,∠DEB ≠90°,∴四边形DEBF 不是正方形.故选D.4.B 根据题意可知菱形ABC'D'的AB 边上的高等于AB 的一半,所以菱形ABC'D'的面积为12AB 2,正方形ABCD 的面积为AB 2,故菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD 的面积之比是12.故选B.5.C ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵△ABE 是等边三角形,∴AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°, ∴AD=AE.在△ADE 中,AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AED=12(180°-150°)=15°,∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°.故选C.6.A 连接BD,在等腰直角三角形ABD 中,BD=√2AB=6√2.根据点M,N 分别是DQ,BQ 的中点可得,MN 是△BDQ 的中位线,所以MN=12BD=3√2.故选A.。
初中数学竞赛5：完全平方数
【分析】
根据a分类讨论，-a为正数，0，负数可判断①；根据多项式项数与次数定义可判断②；根据绝对值化简与分类讨论可判断③，根据非负数性质可判断④；根据非负数和为零，每个非负数为零可判断⑤
【详解】
解：当a＞0时，-a表示负数，当a=0时，-a表示0，当a＜0时，-a表示正数，故①不正确；
②多项式x2﹣x﹣1是二次三项式，而不是三次三项式，故②不正确；
＝6ab+2b2+2a2+4a﹣8b2﹣8ab+16+3a2+6b2﹣4ab﹣5a2+4b，
＝﹣6ab+4a+4b+16；
∵（a+b﹣3）2+（ab+4）2＝0．且（a+b﹣3）2≥0，（ab+4）2≥0，
∴a+b＝3，ab＝﹣4；
∴原式＝﹣6ab+4（a+b）+16，
＝﹣6×（﹣4）+4×3+16，
25．是否存在两个自然数a，b，使得 和 同时为完全平方数．
26．已知m，n都是自然数，且 ．
（1）求证：自然数 一定可以表示为4个自然数的平方和；
（2）把689表示成4个不同的自然数的平方和．
27．已知m，n均为正整数，且 ．问 是否为完全平方数？并证明你的结论．
28．求出所有不超过 的这样正整数，它的平方的末两位数字相同，但不是零．
＝52．
【点睛】
本题考查整式加减化简求值，偶次方非负数性质，掌握整式加减化简求值，偶次方非负数性质是解题关键．
13．3
【详解】
解：首先，注意到6，19，30这三个数满足： ， ， ，故这3个数必须分别属于3个不同的组，所以 ．
初四上数学知识点九年级
初四上数学知识点九年级初四是九年级的最后一学期，也是学生们离升入高中的最后一段时间。
上数学课是其中的重要一环，下面将从几个重点知识点来探讨初四上数学课的内容。
首先，我们来讨论代数的知识点。
初四上数学课的代数部分主要包括多项式的乘法与除法，因式分解，一元一次方程与一元一次不等式等。
在多项式的乘法与除法中，我们需要掌握多项式的乘法法则，以及如何进行多项式之间的除法运算。
通过学习这些知识点，我们可以将复杂的多项式进行化简，从而更方便地进行运算和解题。
另外，因式分解也是初四上数学课的一个重要内容。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数式化简为多个因式的乘积，从而更容易理解其结构和性质。
因式分解在解一元一次方程和一元一次不等式时也经常被运用，因此掌握这一知识点对于进一步学习数学具有重要意义。
接下来，我们将讨论几何的知识点。
初四上数学课的几何部分主要包括平行线与相交线，三角形的基本定理与判定，三角形的面积等。
在学习平行线与相交线时，我们需要理解平行线与直线相交时所产生的角对应关系，并能够应用该关系解决问题。
另外，也需要熟练掌握平行线判定和证明的方法，以及平行线与相交线之间的性质。
在三角形的基本定理与判定中，我们需要掌握三角形内角和的性质，以及如何利用这些性质判断三角形的形状和大小。
此外，对于特殊三角形的判定和性质也需要进行深入地学习，以应对各种类型的题目。
最后，我们来讨论初四上数学课的概率与统计的知识点。
概率与统计是数学中的一门实用的学科，它与生活密切相关，也是现代社会中重要的决策工具。
在概率的学习中，我们需要了解什么是概率，以及如何计算概率。
我们还需要学习事件之间的相互关系，以及条件概率和独立事件的概念。
在统计的学习中，我们需要学习如何收集和整理数据，并通过统计方法对数据进行分析和解读。
同时，还需要学习如何绘制图表，以直观地反映数据的分布和关系。
总结起来，初四上数学课的内容包括了代数、几何、概率与统计等多个知识点。
数学初四知识点总结
数学初四知识点总结1. 代数代数是数学的一个分支，它主要是研究数与字母之间的关系，以及运算规律和方程解法。
在初四的代数知识中，主要包括以下内容：(1) 代数基本概念在初中阶段，学生首先需要掌握代数中的基本概念，包括多项式、整式、方程、不等式等。
(2) 一元一次方程与一元一次不等式学生需要学会解一元一次方程和一元一次不等式，掌握解方程和不等式的基本方法，并能够应用到实际问题中去。
(3) 二元一次方程组二元一次方程组是由两个未知数的方程组成，学生需要学会解二元一次方程组，理解方程组的几何意义，以及应用到实际问题中去。
(4) 因式分解因式分解是代数中的重要内容，学生需要学会将多项式按照因式分解的方法进行处理，进而化简和求解问题。
(5) 分式分式在实际生活中有着广泛的应用，学生需要学会分式的化简、求值、加减乘除等运算，并能够应用到实际问题中去。
2. 几何几何是研究空间形状、大小和位置关系的数学分支，它包括平面几何和立体几何两个部分。
在初四的几何知识中，主要包括以下内容：(1) 角和三角形学生需要学会认识各种类型的角，掌握角的性质和运算法则，以及三角形的性质和判定方法。
(2) 四边形和多边形学生需要学会认识各种类型的四边形和多边形，掌握它们的性质和计算方法，以及应用到实际问题中去。
(3) 圆的性质和计算学生需要学会认识圆的性质和计算方法，包括圆心角、弧、切线等内容。
(4) 空间图形学生需要学会认识各种类型的空间图形，掌握它们的性质和计算方法，以及应用到实际问题中去。
3. 测量测量是人们对事物数量和大小的比较和判断的过程，它是数学的一个重要内容。
在初四的测量知识中，主要包括以下内容：(1) 长度学生需要学会认识和比较各种长度单位，掌握长度的换算、加减乘除等运算方法，以及应用到实际问题中去。
(2) 面积学生需要学会认识和比较各种面积单位，掌握面积的计算方法，包括各种图形的面积计算，以及应用到实际问题中去。
(3) 体积学生需要学会认识和比较各种体积单位，掌握体积的计算方法，包括各种立体图形的体积计算，以及应用到实际问题中去。
初四知识点总结数学
初四知识点总结数学一、整数1. 整数概念及表示方法2. 整数的加减乘除运算3. 整数的大小比较4. 整数的绝对值5. 整数的乘方运算6. 整数的应用问题二、分数1. 分数的概念及表示方法2. 分数的加减乘除运算3. 分数的化简与扩大4. 分数的大小比较5. 分数的乘方运算6. 分数的应用问题三、小数1. 小数的概念及表示方法2. 小数的加减乘除运算3. 小数的大小比较4. 小数转换为分数5. 小数的乘方运算6. 小数的应用问题四、代数1. 代数式的概念及表示方法2. 代数式的加减乘除运算3. 代数式的化简与展开4. 一元一次方程的解法5. 一元一次方程的应用问题6. 一元一次不等式的解法7. 一元一次不等式的应用问题五、方程与不等式1. 一元一次方程与一元一次不等式2. 一元二次方程的解法3. 一元二次方程的应用问题六、平面图形1. 点、线、面的概念2. 角的概念及分类3. 三角形的分类及性质4. 四边形的分类及性质5. 多边形的运算6. 圆的性质7. 平面图形的应用问题七、空间图形1. 空间图形的概念及表示方法2. 空间图形的表面积与体积3. 空间图形的应用问题八、统计与概率1. 数据的收集及整理2. 数据的统计分析3. 概率的概念及计算方法4. 概率的应用问题九、函数与图像1. 函数的概念及表示方法2. 函数的性质及运算3. 函数的应用问题4. 图像的绘制及分析以上就是初中数学的知识点总结，希望对你有所帮助。
初四数学试题
初四数学期末试题选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．与21互为倒数的是 （ ） A.-2 B ．-21 C ．21 D ．2 2． 2010年5月27日，上海世博会参观人数达到37.7万人，37.7万用科学记数法表示应为（ ）A.0.377×106B.3.77×105C.3.77×104D.377×1033. 函数y=中自变量x 的取值范围是（ ） A.x≥-3 B.x≥-3且x ≠1 C.x≠1 D.x≠-3且x≠14．下列运算结果正确的是（ ）A ．2a aB ．a 2•a 3=a 6C ．a 2•a 3=a 5D ．a 2+a 3=a 65. 已知关于x 的分式方程+=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）A.m ＞2B.m≥2C.m≥2且m≠3D.m ＞2且m≠36. 正n 边形每个内角的大小都为108°，则n =( )A ．5B ．6C ．7D ．87. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D.8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（ ）A. B. C. D.9．小丽早上从家出发骑车去上学，途中想起忘了带昨天晚上完成的数学作业，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回骑，遇到妈妈后停下说了几句话，接着继续骑车去学校．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与学校的距离为S ．下面能反映S 与t 的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.10. 若不等式ax+x＞1+a的解集是x＜1，则a必须满足的条件是（）A.a＜-1B.a＜1C.a＞-1D.a＞111.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（）A.x（x+1）=45B.x（x-1）=45C.x（x+1）=45D.x（x-1）=4512如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（-1，3），与x轴的交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，以下结论：①b2-4ac=0；②a+b+c＞0；③2a-b=0；④c-a=3其中正确的有（）个．A.1B.2C.3D.4填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分)13. 把多项式9a3-ab2分解因式的结果是______ ．14．已知扇形的半径为4cm，圆心角为120°，则扇形的弧长为______cm．15．二次函数y=（x+2）2-1向左、下各平移2个单位，所得的函数解析式为______ ．16．若a，b，c表示△ABC的三边，且（a-3）2++|c-5|=0，则△ABC是______三角形．17.如果实数x，y满足方程组，则x2-y2的值为______．18．如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为______解答题（本大题共8小题，共66分)19．（5分）计算：2sin30°+（π-3.14）0+|1-|+（-1）2017．20.(5分)先化简，再求值（1—2x 1+)÷212x 2+++x x 其中x =1-321.（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围； （2）若+=﹣1，求k 的值．22.（6分）如图，哨兵在灯塔顶部A 处测得遇难船只所在地B 处的俯角为60°，然后下到灯塔的C 处，测得B 处的俯角为30°．已知AC=40米，若救援船只以5m/s 的速度从灯塔底部D 处出发，几秒钟后能到达遇难船只的位置？（结果精确到个位）．23．(8分)如图，已知一次函数y=k 1x+b （k 1≠0）的图象分别与x轴，y 轴交于A ，B 两点，且与反比例函数y=（k 2≠0）的图象在第一象限的交点为C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，若OA=OB=OD=2（1）求一次函数的解析式；（2）求反比例函数的解析式．24．(8分) 雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷？25．（本题8分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画村状图的方法求出“两球都是绿色”的概率；（2）随机摸出两个小球,求两次都是绿球的概率．26．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长．27．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y= x+3交x轴负半轴于点A，交y 轴于点C，交x轴正半轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上任意一点，设点P的横坐标为x．①若点P在第二象限，过点P作PN⊥x轴于N，交直线AC于点M，求线段PM关于x 的函数解析式，并求出PM的最大值；②若点P是抛物线上任意一点，连接CP，以CP为边作正方形CPEF，当点E落在抛物线的对称轴上时，请直接写出此时点P的坐标．答案一选择（共30分）1.D2.B3. B4.C5. C6.A7. C8. D9. B 10. A 11. B 12. B二填空（共30分）13. 3 14 38 π 15y=（x+4）2-3 16.直角 17. - 18 2π 三解答题19. a （3a+b ）（3a-b ）20. 原式=1x 1 =33 21解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+3）2-4k 2＞0，解得：k ＞-．（2）∵x 1、x 2是方程x 2+（2k+3）x+k 2=0的实数根，∴x 1+x 2=-2k-3，x 1x 2=k 2，∴+==-=-1，解得：k 1=3，k 2=-1，经检验，k 1=3，k 2=-1都是原分式方程的根．又∵k ＞-，∴k=3．22.解：在Rt △BCD 中∵∠BCD=90°-30°=60°，∴，则BD=．在Rt △ABD 中，∵∠ABD=60°，∴．即 解得：CD=20．∴t=s ．故约7s 后能到达遇难船只的位置．23解：（1）∵OA=OB=2，∴A （﹣2，0），B （0，2），将A 与B 代入y=k 1x+b 得：，解得：，则一次函数解析式为y=x+2；（2）∵OD=2，∴D（2，0），∵点C在一次函数y=x+2上，且CD⊥x轴，∴将x=2代入一次函数解析式得：y=2+2=4，即点C坐标为（2，4），∵点C在反比例图象上，∴将C（2，4）代入反比例解析式得：k2=8，则反比例解析式为y=．24.解：设原计划每天加工x顶帐篷，提高效率后每天加工的帐篷是2x顶，由题意，得，解得：x=150．经检验，x=150是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天加工150顶帐篷．25.26．解：（1）连接OD，∵OD=OB（⊙O的半径），∴∠B=∠ODB（等边对等角）；∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）；∴∠C=∠ODB（等量代换），∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行），∴∠ODE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）；∵DE⊥AC（已知），∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；∴AD⊥CD；在Rt△ACD和Rt△DCE中，∠C=∠C（公共角），∠CED=∠CDA=90°，∴Rt△ACD∽Rt△DCE（AA），∴=；又由（1）知，OD∥AC，O是AB的中点，∴OD是三角形ABC的中位线，∴CD=BC；∵BC=8，AB=5，AB=AC，∴CE=.27.解：（1）当x=0时，y=x+3=3，则C（0，3）；当y=0时，x+3=0，解得x=-4，则A（-4，0），把A（-4，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=-x2-x+3；（2）①设P（x，-x2-x+3）（-4＜x＜0），则M（x，x+3），∴PM=-x2-x+3-（x+3）=-x2-x=-（x+2）2+当x=-2时，线段PM的长有最大值，最大值为；②作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图，∵四边形PEFC为正方形，∴PE=PC，∠EPC=90°∵∠PGE=∠PKC=90°，∴∠PEG=∠CPK，易得△PEG≌△CPK，∴CK=PG，设P（x，-x2-x+3），抛物线的对称轴为直线x=-1，则G（-1，-x2-x+3），K（0，-x2-x+3），∴PG=|-1-x|=|x+1|，CK=|-x2-x+3-3|=|-x2-x|，∴|x+1|=|-x2-x|，解方程x+1=-x2-x得x1=-4，x2=-；解方程x+1=x2+x得x1=2，x2=-；∴P点坐标为（-4，0）或（-，）或（2，0）或（-，）．。
初四数学试题及答案
初四数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. πB. -3C. 0.5D. √42. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都是3. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是：A. 5厘米B. 10厘米C. 20厘米D. 15厘米4. 以下哪个表达式是正确的？A. (-2)^2 = -4B. √16 = 4C. (-3)^3 = -27D. √9 = -35. 如果a > b，且b > 0，那么下列哪个不等式是正确的？A. a + b < bB. a - b > 0C. a * b < 0D. a / b < 16. 下列哪个是二次根式？A. √2xB. 3x + 2C. 4x^2D. 5x^37. 一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，这个三角形是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形8. 一个数的绝对值是其本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. 以上都是9. 以下哪个表达式是正确的？A. 2x + 3y = 5xB. 3x - 2y = 5x + 2yC. 4x^2 - 9y^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)D. x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)10. 一个数的倒数是1/4，这个数是：A. 4B. 1/4C. 1/2D. 4/1二、填空题（每题2分，共20分）11. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
12. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是________、________、________。
13. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
14. 如果a + b = 10，且a - b = 2，那么2a的值是________。
15. 一个圆的周长是2πr，其中r是圆的半径，如果周长是12.56厘米，那么半径是________。
初四期末数学试题及答案
初四期末数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C2. 计算下列表达式的结果：\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \]A. 1B. \(\frac{7}{6}\)C. \(\frac{5}{6}\)D. \(\frac{4}{3}\)答案：B3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25B. 50C. 100D. 200答案：C4. 一个等腰三角形的底角是45度，那么它的顶角是多少度？A. 45B. 90C. 135D. 180答案：B5. 下列哪个选项表示的是一次函数？A. \(y = 3x + 2\)B. \(y = 3x^2 + 2\)C. \(y = \frac{1}{x}\)D. \(y = x^2 + 3x + 2\)答案：A6. 一个数的平方根是4，那么这个数是多少？A. 16B. -16C. 4D. -4答案：A7. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米、4厘米，那么它的体积是多少立方厘米？A. 24B. 12C. 8D. 6答案：A8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是下列哪个？A. 5B. -5C. 5和-5D. 0答案：C9. 计算下列表达式的结果：\[ 3^2 - 2^3 \]A. 1B. 5C. 7D. 9答案：B10. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，那么它的斜边是多少厘米？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方是-27，那么这个数是______。
答案：-32. 一个数的倒数是\(\frac{1}{4}\)，那么这个数是______。
答案：43. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
答案：±54. 一个数的绝对值是8，那么这个数可以是______。
答案：8或-85. 一个数的平方根是2.5，那么这个数是______。
初四数学知识点总结
初四数学知识点总结数学是一门非常复杂的学科，下面是为大家整理的初四数学知识点总结两则，希望能帮助到大家！初四数学知识点总结：圆的知识点总结一圆的定理1.1不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.2垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.3弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
新鲁教版初中数学教材目录(五四制)
鲁教版初中数学教材（五四制）目录六年级上册（初一)第一章丰富的图形世界1。
生活中的立体图形；2。
展开与折叠；3.截一个几何体；4.从三个方向看物体的形状第二章有理数及其运算1.有理数；2.数轴；3。
绝对值；4.有理数的加法；5。
有理数的减法；6。
有理数的加减混合运算；7.有理数的乘法;8.有理数的除法;9.有理数的乘方；10.科学计数法；11.有理数的混合运算；12。
近似数；13。
用计算器进行计算第三章整式及其加减1.用字母表示数；2。
代数式；3.整式；4。
合并同类项;5.去括号;6.整式的加减;7。
探索与表达规律第四章一元一次方程1。
等式与方程；2.解一元一次方程；3。
一元一次方程的应用六年级下册（初一)第五章基本平面图形1.线段、射线、直线；2.比较线段长短；3。
角;4。
角的比较；5。
多边形和圆的初步认识第六章整式的乘除1．同底数幂的乘法;2．幂的乘方与积的乘方；3．同底数幂的除法；4。
零指数幂和负整数指数幂；5．整式的乘法；6．平方差公式；7．完全平方公式；8．整式的除法第七章平行线与相交线1．两条直线的位置关系；2．探索直线平行的条件；3．平行线的性质;4．用尺规作角第八章数据收集与整理:1．数据收集;2．普查和抽样调查；3．数据表示;4.统计图选择第九章变量之间的关系：1．用表格表示变量之间的关系；2．用关系式表示变量之间的关系；3．用图象表示变量之间的关系七年级上册（初二）第一章三角形1.认识三角形；2。
图形的全等；3.探索三角形全等的条件；4。
三角形的尺规作图;5.利用三角形全等测距离第二章生活中的轴对称1.轴对称现象；2。
探索轴对称的性质;3.简单的轴对称图形；4。
利用轴对称进行设计第三章勾股定理1。
探索勾股定理；2.一定是直角三角形吗;3.勾股定理的应用举例第四章实数1。
无理数；2。
平方根；3.立方根;4.方根的估算;5。
用计算器开方；6。
实数第五章平面直角坐标系1.确定位置;2。
初四数学测试题及答案范本
初四数学测试题及答案范本题目一：简单加减法计算1. 45 + 23 = ?2. 87 - 32 = ?3. 56 + 78 = ?4. 99 - 64 = ?5. 36 + 19 = ?答案一：1. 45 + 23 = 682. 87 - 32 = 553. 56 + 78 = 1344. 99 - 64 = 355. 36 + 19 = 55题目二：乘法口诀表填空填空题：请根据乘法口诀表的规律填写下面的空格。
1 2 3 4 5 ?6 8 10 ? 15 187 ? 14 21 28 3532 ? ? ? 40 4845 54 ? ? ? ?答案二：1 2 3 4 5 66 8 10 12 15 187 9 14 21 28 3532 36 42 48 40 4845 54 63 72 81 90题目三：简单代数方程解方程：请计算下列方程中的未知数 x 的值。
1. 2x + 5 = 172. 4x - 8 = 123. 3x + 7 = 254. 5x - 10 = 205. 6x + 3 = 39答案三：1. 2x + 5 = 172x = 17 - 52x = 12x = 62. 4x - 8 = 124x = 12 + 84x = 20x = 53. 3x + 7 = 253x = 25 - 73x = 18x = 64. 5x - 10 = 205x = 20 + 105x = 30x = 65. 6x + 3 = 396x = 39 - 36x = 36x = 6题目四：几何图形计算计算下列几何图形的面积和周长。
1. 正方形：边长为8 cm2. 矩形：长为12 cm，宽为6 cm3. 圆形：半径为5 cm4. 三角形：底边长为10 cm，高为8 cm答案四：1. 正方形：边长为8 cm面积 = 边长 ×边长 = 8 cm × 8 cm = 64 cm²周长 = 4 ×边长 = 4 × 8 cm = 32 cm2. 矩形：长为12 cm，宽为6 cm面积 = 长 ×宽 = 12 cm × 6 cm = 72 cm²周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (12 cm + 6 cm) = 2 × 18 cm = 36 cm 3. 圆形：半径为5 cm面积= π × 半径² = 3.14 × 5 cm × 5 cm ≈ 78.5 cm²周长= 2 × π × 半径= 2 × 3.14 × 5 cm ≈ 31.4 cm4. 三角形：底边长为10 cm，高为8 cm面积 = 1/2 ×底边长 ×高 = 1/2 × 10 cm × 8 cm = 40 cm²周长未提供足够信息，无法计算。
初四数学试题及答案
初四数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.33333...D. 2/3答案：B2. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：D3. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么它的周长可能是：A. 7B. 10C. 14D. 无法确定答案：B4. 如果一个二次方程的两个根的和为-5，那么这个二次方程可能是：A. x^2 - 5x + 6 = 0B. x^2 + 5x + 6 = 0C. x^2 - 5x - 6 = 0D. x^2 + 5x - 6 = 0答案：A5. 函数y = 2x + 3的图象经过的象限是：A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限答案：C6. 一个圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B7. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，那么它的体积是：A. 24B. 26C. 28D. 32答案：A8. 一个等差数列的前三项分别为2、5、8，那么它的第五项是：A. 11B. 14C. 17D. 20答案：B9. 函数y = x^2 - 6x + 8的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 8答案：A10. 一个三角形的三个内角的度数之和为：A. 90°B. 180°C. 360°D. 540°答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_________。
答案：512. 一个数的绝对值是3，那么这个数可能是_________或_________。
答案：3或-313. 一个二次函数的顶点坐标为(2, -1)，那么它的对称轴是_________。
答案：x=214. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是_________。
初四期末数学试题及答案
初四期末数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. 2.71828C. πD. √22. 如果一个二次方程的判别式小于0，那么这个方程：A. 有两个实数根B. 有一个实数根C. 没有实数根D. 无法确定3. 一个函数的图象是一条直线，那么这个函数：A. 一定是一次函数B. 可能是一次函数，也可能是正比例函数C. 一定是正比例函数D. 无法确定4. 下列哪个选项是正确的不等式？A. 5 > 3B. -3 ≥ 0C. -2 < 0D. 0 ≤ -15. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0C. -1D. 以上都不是6. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π7. 一个数的绝对值是它本身，这个数：A. 一定是正数B. 一定是负数C. 可以是正数或0D. 无法确定8. 如果两个角的和是180°，那么这两个角：A. 是邻补角B. 是对顶角C. 是同位角D. 是补角9. 下列哪个选项是正确的比例关系？A. 3:6 = 1:2B. 4:8 = 2:1C. 5:10 = 1:2D. 6:12 = 2:310. 一个数列的前三项是1, 2, 3，如果这个数列是等差数列，那么第四项是：A. 4C. 6D. 7答案：1.C 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
12. 如果一个三角形的三边长分别是3, 4, 5，那么这是一个______三角形。
13. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
14. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
15. 如果一个角的正弦值是1/2，那么这个角的度数是______。
16. 一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，那么斜边长是______。
中考数学复习方案第五单元四边形第24课时特殊平行四边形一课件
A.6
B.3 3
C.2 6
图24-10
D.4.5
(
)
[答案] C
[解析]作 M 关于 AC 的对称点 M',显然 E,P,M'三点在同一直线上,当 EM'⊥AD
时,EM'最短,此时 PM+PE 最小,如图.
依题意,sin∠DAC=
AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形 AMCN 是矩形,这个条件是 (
1
A.OM=2AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
图24-2
)
[答案] A
[解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∵对角线 BD 上的两点 M,N 满足 BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即 OM=ON,
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
图24-6
例1 [2019·青岛]如图24-6,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长
AE至G,使EG=AE,连结CG.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
3
32 +(3 2)2
3
=3,
所以 EM'=AC·sin∠DAC=6 2 ×
3
3
=2 6.
即 PM+PE 的最小值为 2 6,故选 C.
考向三 正方形的性质与判定的应用
例3 [2019·长沙]如图24-11,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF, AF与BE相交于点G.
初四数学知识点总结
初四数学知识点总结初四数学是初中阶段的数学学科，它包括了很多基础的数学知识点。
下面是对初四数学知识点的总结，帮助初四学生进行系统的复习和巩固。
整数与小数：整数与小数是初四数学的基础知识点之一，包括整数的四则运算，整数的加减乘除法，小数的四则运算等等。
学生需要掌握整数与小数的相互转化，掌握整数与小数的运算法则，并能够运用这些知识解决实际问题。
比例与百分数：比例与百分数是初四数学中比较重要的知识点，包括比例的性质与应用，百分数的性质与应用等等。
学生需要理解比例与百分数的概念，掌握比例与百分数的换算方法，并能够灵活运用这些知识解决各种实际问题。
代数与方程：代数与方程是初中数学的重要知识点之一，也是初四数学的重点内容之一。
它包括代数式与多项式的概念与运算，一元一次方程与一元一次方程的解法，简单的二元一次方程与二元一次方程的解法等等。
学生需要理解代数式与方程的概念，掌握代数式与方程的运算方法，并能够运用这些知识解决实际问题。
几何图形：几何图形是初四数学的重要内容之一，它包括平面图形的性质与分类，立体图形的性质与分类等等。
学生需要熟悉各种基本的平面图形和立体图形的性质，掌握几何图形的分类标准，并能够运用这些知识解决几何题目。
函数与图像：函数与图像是初四数学的重要内容之一，它包括函数的概念与性质，函数的表示与运算，函数的图像与性质等等。
学生需要理解函数的概念与性质，掌握函数的表示与运算方法，并能够绘制函数的图像并分析其性质。
统计与概率：统计与概率是初四数学的最后一个重要知识点，它包括统计与统计调查的基本概念与方法，概率的基本概念与计算等等。
学生需要掌握统计与概率的基本概念与方法，能够进行简单的统计调查与数据分析，并能够计算简单的概率问题。
初四数学知识点很多，以上只是对一些基础知识点进行了简要的总结。
学生在学习初四数学的过程中，需要通过不断的练习和巩固来掌握这些知识，提高数学解题能力。
初四数学知识点总结
初四数学知识点总结数学知识点一：代数在初四数学学习中，代数是一个非常重要的知识点。
代数包含了各种各样的概念和技巧，例如多项式、方程、不等式等等。
学生们需要掌握代数中的基本操作，例如多项式的加减乘除、方程的解法、不等式的求解等等。
除此之外，学生们还需要理解代数中的一些基本规律和性质，例如同类项合并、因式分解、方程整理等等。
代数是数学中一个很有趣也很有挑战的部分，通过掌握代数，学生们将会提高他们的逻辑思维和问题解决能力。
数学知识点二：几何几何是数学中的另一个重要组成部分。
在初四数学学习中，几何包括了很多内容，例如角、线段、多边形、三角形、圆等等。
学生们需要了解几何中的基本概念，例如角的性质、直线和平面的关系、多边形的特征等等。
在几何中，学生们还需要学会进行一些简单的证明，例如证明两个三角形全等、证明三角形的内角和等于180度等等。
几何是一个需要观察和推理的学科，通过学习几何，学生们将会培养他们的空间想象力和推理能力。
数学知识点三：数学关系数学关系是初四数学学习中的另一个重要内容。
数学关系包括了各种各样的概念和技巧，例如函数、映射、集合等等。
学生们需要了解数学关系中的基本性质和规律，例如函数的定义、函数的图像、映射的关系等等。
在数学关系中，学生们还需要学会进行一些简单的证明，例如证明一个函数是一一映射、证明两个集合的并集和交集等等。
通过学习数学关系，学生们将会加深他们对数学结构和规律的理解，从而提高他们的数学建模和问题解决能力。
数学知识点四：统计与概率统计与概率是初四数学学习中的另一个重要组成部分。
统计与概率包括了各种各样的概念和技巧，例如数据的收集、整理、表示、分析，概率的计算、事件的概率等等。
学生们需要掌握统计与概率中的基本方法和技巧，例如频数表、频数图、统计参数的计算，概率的计算公式等等。
通过学习统计与概率，学生们将会加深他们对数据分析和随机事件理论的理解，从而提高他们的统计推断和决策能力。
数学知识点五：实际问题应用数学是一门非常实用的学科，它可以用来解决各种各样的实际问题。
初四数学题
初四数学题数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，它是人类思维的一种重要工具和基础。
它的应用范围广泛，从日常生活中的计算、测量，到科学研究中的模型建立和数据分析，都离不开数学。
在初四数学中，学生们学习各种基本的数学知识，如整数、分数、小数、比例等。
下面将介绍一些常见的初四数学题。
首先，整数运算是初四数学中的基础。
学生们需要掌握整数的加减乘除运算规则，并能应用到实际问题中。
例如，有一道题目：小明有15块钱，他买了一本书花掉了5块钱，剩下多少钱？学生们需要将15减去5，得到答案为10。
其次，分数是初四数学中的重点。
学生们需要掌握分数与整数的关系，能进行分数的加减乘除运算，并能化简分数。
例如，有一道题目：小红吃了1/4块蛋糕，小明吃了1/6块蛋糕，他们两个一共吃了多少块蛋糕？学生们需要将1/4和1/6相加，并化简分数，得到答案为5/12。
小数也是初四数学的重要内容。
学生们需要学会将小数转化为分数，进行小数的加减乘除运算，并能将其应用到实际问题中。
例如，有一道题目：小明跑了500米，小红跑了0.8公里，他们两个一共跑了多少米？学生们需要将0.8公里转化为800米，然后将800和500相加，得到答案为1300米。
比例是初四数学中的难点之一。
学生们需要学会根据已知的比例关系，求解未知量。
例如，有一道题目：若一块布的长度是10米，宽度是5米，现要缩小为原来的1/3，求缩小后的长度和宽度。
学生们需要将长度和宽度分别乘以1/3，得到缩小后的长度为10/3米，宽度为5/3米。
初四数学还涉及到图形的几何性质和求解问题的方法。
例如，学生们需要学会计算三角形的面积和周长，以及矩形、圆形等其他图形的面积和周长。
他们还需要学会利用尺规作图和平面几何的基本性质来解决实际问题。
总之，初四数学涉及到许多基本的数学概念和运算规则。
通过对这些知识的掌握和应用，可以提高学生们的数学思维能力和解决实际问题的能力。
希望同学们能够用心学习数学，提高数学水平，为将来的学习打下坚实的基础。
四下数学第五单元知识点
四下数学第五单元知识点
嘿，小朋友们！咱们一起来瞧瞧四下数学第五单元的那些神奇知识
点呀！
先来说说三角形。
三角形就像咱们搭积木时最稳固的那块基石，它
可是有三条边、三个角的哟！这三条边的长度之间可有讲究啦。
比如，两边之和一定要大于第三边，这就像咱们跑步比赛，跑在前面的两个
人加起来的路程肯定要比后面那个人长，不然怎么能领先呢？
再讲讲三角形的内角和。
你知道吗？不管是大三角形还是小三角形，它们的内角和都是 180 度。
这就好比不管是大西瓜还是小西瓜，里面
的籽儿数量是一样的嘛！
还有三角形的分类，那可有趣啦！锐角三角形、直角三角形和钝角
三角形，就像不同性格的小伙伴。
锐角三角形，那三个角都小小的，
像乖巧的孩子；直角三角形有个 90 度的直角，就像个勇敢的战士站得
笔直；钝角三角形呢，有个大大的钝角，像是有点调皮的家伙。
说到等腰三角形和等边三角形，那也是很特别的哟！等腰三角形就
像一对双胞胎，两条边长度相等；等边三角形更厉害啦，三条边都一
样长，简直就是“三胞胎”嘛！
还有三角形的高，这可重要啦！就像咱们爬山，从山顶到山脚的垂
直距离就是山的高度，三角形的高也是从顶点到对边的垂直距离。
小朋友们，你们想想，如果三角形的三条边长度都在变来变去，那会怎么样？是不是就像个调皮的小精灵，让人捉摸不透呀？
这就是四下数学第五单元的知识点，是不是很有趣呢？只要咱们认真去学，就一定能把这些知识点都装进小脑袋里，在数学的世界里畅游！加油哟，小伙伴们！。
3~5的数学含义
3~5的数学含义①3是二元基础上的变化，形成3方的互动，2的结合在3的时候形成结果，并发生变化。
所以3象征了繁衍、生产、创造。
1、2、3构成了事物发展的一个阶段，1是开端、2是结合，而3就是结果。
所以3意味结合合作之后产生的变化。
3不同于2所形成的密切紧张的关系，3更强调关系的互动，因为第三方的接入，使得在2构建的一对一的关联变得更加多面和复杂，因此信息的多元交换就成了3的主题。
3会带来更加频繁的互动，并且将交流、沟通的具体形式和工具明确地呈现出来。
3象征着表达、感知。
与语言或者符号的表达方式（艺术）息息相关。
虽然3会带来更多的互动，但3所构建的关系则更为稳定，这是动态的稳定，实际运用中，3常常表示细微的变化。
3重视参与、强调一体化，习惯于在内部环境中进行协调。
3象征着愉悦的状况，人格分析的时候，3常常表示乐观的、欢乐的，象孩童一样。
3要强化信息互通，因此与符号表达有着紧密的关系，所以语言、艺术也是3所具有的天赋。
3在表达沟通方面具有天生的能力，并且能积极投入，快速地学习运用新的知识。
3所追求的就是对外的敏感度，并通过良好的表达向外分享自己的正向思想与感情。
3的形象是三个点，三点可以构建一个平面，也就是三角形。
三角形是最基本的平面图形，而三角形的形成，也带来角的产生，角带来不同的向性，因此形成不同的个性特点。
所以从3开始，事物便开始向着复杂的、多元的方向发展，个性就在其中不断的形成。
④4是2的平方，也是由质数相乘得到的第一个数。
从4开始，秩序开始建立，形成稳定的局面，框架也开始成形。
4开始安定稳固下来，事物发展到4的阶段，秩序与规范建立，运作的程序与标准开始形成，分工更加明细，体制也更为完善。
规则的明细，也划定了范围与界限。
总的来说，从4开始社会化的分工开始出现。
通过纪律、规则形成组合，甚至是组织团体。
运作中更加保守封闭，但也更加严谨。
4是“1的自我在”经历“2的结合分工”后以“3的结果”来制定的规则，是比较之后的规范。
数学知识点4-五四制初四
鲁教版初四知识点第一章 解直角三角形一、锐角三角函数在直角三角形ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,∠C 为直角。
则定义以下运算方式:sin ∠A=∠A 的对边长/斜边长，sin A 记为∠A 的正弦；sinA=a/c cos ∠ A=∠A 的邻边长/斜边长，cos A 记为∠A 的余弦；cosA=b/ctan ∠ A=∠A 的对边长/∠A 的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/ b tan A 记为∠A 的正切 cotA=∠A 的邻边长/∠A 的对边长,cotA=cosA/sinA=b/c cotA 记为∠A 的余切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 cot=邻/对 2.sinA=cos(90°-A)cos A=sin(90°-A) tanA=cot(90°-A) cotA=tan(90°-A) tanAcotA=1 tanA=sinA/cosA sin ²A ＋cos ²A ＝１ 3.增减性(A 为锐角)sinA 、tanA 随着∠A 的增大而增大,cosA 、cotA 随着∠A 的增大而减小 4.取值范围:0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0二、30°,45°,60°角的三角函数三角函数 锐角α正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α 余切 cot α 30°45° 1 60°三、解直角三角形及其应用1.解直角三角形的概念:在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。
2.解直角三角形的依据:(1)三边之间的关系:a 2 +b 2=c 2 (勾股定理) (2)两锐角之间的关系:∠A ＋∠B ＝90°3313232322222121333(3)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/ b,cot=b/a3.解直角三角形的原则(1)有角先求角,无角先求边(2)有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。
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中考模拟试题（五）
一、选择题（本题有12个小题，每小题4分，共48分) 1．若a ＞0且a x =2，a y =3，则a x
﹣y
的值为（ ）
A ． ﹣1
B ． 1
C ．
D ．
2．下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：13，15，15，16，13，15，14，15（单位：岁）．这组数据的中位数和极差分别是（ ）
A ． 15，3
B ． 14，15
C ． 16，16
D ． 14，3
3．如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h 随注水时间t 变化规律的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．关于x 的不等式x ﹣b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A ．﹣3＜b ＜﹣2 B ．﹣3＜b≤﹣2 C ．﹣3≤b≤﹣2 D ．﹣3≤b ＜﹣2 5．已知关于x 的方程2
230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为
A ．13k <
B ．13k >-
C ．13k <且0k ≠
D ．1
3
k >-且0k ≠
6．在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b 经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k 不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
7．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．1.4(1＋x )＝4.5 B ．1.4(1＋2x )＝4.5
C ．1.4(1＋x )2＝4.5
D ．1.4(1＋x )＋1.4(1＋x )2＝4.5 8．已知四边形ABCD ，下列说法正确的是
A ．当AD=BC ，AB//DC 时，四边形ABCD 是平行四边形
B ．当AD=B
C ，AB ＝DC 时，四边形ABC
D 是平行四边形 C ．当AC=BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形
9．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）
A ．
cm 2
B ． 8cm 2
C ．
cm 2
D ．16cm 2
10．在△ABC 中，AB=12，AC=13，cos ∠B=，则BC 边长为（ ）
A ． 7
B ． 8
C ． 8或17
D ． 7或17
11．如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是（ ）
12、如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，以下结论：
（1）∠DBM=∠CDE ； （2）S △BDE ＜S 四边形BMFE ； （3）CD •EN=BN •BD ； （4）AC=2DF ． 其中正确结论的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
二、填空题（本题共5个小题，每小题4分共20分） 13．一组数据1，4，6，x 的中位数和平均数相等，则x 的值是 14．一列单项式：﹣x 2，3x 3，﹣5x 4，7x 5，…，按此规律排列，则第7个单项式为 ．
15．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD=35°，则∠B ＋∠E= °．
A ．
B ．
C ．
D ．
第11题图
y 1
=1
B E
16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．
17．今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为
cm2．（不计三角板的厚度，精确到0.1cm2）
三、解答题
18．（本题满分5分）先化简：（x ﹣）÷，其中的x选一个适当的数代入求值．19．（本题满分5分）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：
①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；
②连接三个格点，使之构成直角三角形．
小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并求出这个直角三角形的面积．（要求：三个网格中的直角三角形互不全等）
20、（本题满分8分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．（1）当x=0时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；
请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；
（3）令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式．当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！
21、（本题满分8分）如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
22．（本题满分8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
23、（本题满分9分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作
BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．
（1）求证：ED∥AC；
（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为
1
S，△ADC的面
（第23题）
第22题图
积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．
24、（本题满分9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为2a ，2b ，点A ，D ，G 在y 轴上，坐标原点O 为AD 的中点，抛物线y=mx 2过C ，F 两点，连接FD 并延长交抛物线于点M ．
（1）若a=1，求m 和b 的值； （2）求的值；。