2.3.3-2.3.4直线与平面平面与平面垂直性质定理

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线面垂直、面面垂直的性质定理

面面关系面面平行线面关系线面平行线线关系线线平行
注意辅助线的作用
空间问题平面化
面面垂直
线面垂直线线垂直
作业：把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与 a垂直？课本p73 A组2,5 B组4 课时作业
α l α l α l β β β
平行
相交
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
α
β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
β a
符号语言：
l
α A
作用：面面垂直线面垂直
(1)长方体ABCD A' B 'C ' D '中, 棱AA' , BB ' , CC , DD 所在直线与平面ABCD的位置关
' '
系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
C'
B'
A& , b , 那么直线a, b一定平行吗?
a b
α
线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言： a
PA
(3)过一点有多少条直线与已知平面垂直? 只有一条.
P
β
a
解:无论P在α内或α外，设PA⊥α.
α
A B
A
B
P
β
a
α
若另有直线 PB⊥α，记PA、 PB确定的平面为β，且α∩β＝ a，则，在平面β内过点P有两条直线同垂直于直线a，这是不可能的。

高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2

(2)证明:①因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1, 所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D, 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC, 所以MN∥AD1.
②M是AB的中点.
证明:②设 AD1∩A1D=O,连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N= NC.
(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.
证明:(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC, 又AD⊥DC,SA∩AD=A, 所以DC⊥平面SAD. 所以DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF, 所以SC⊥AG, 又DC∩SC=C, 所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD.
规范解答:(1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形, 且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,…………………2分因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.…………………………3分又因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.……………6分
(2)求证:AD⊥PB.
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上
的射影H必在直线
上.
答案:AB
5.设α ,β 是空间两个不同的平面,m,n是平面α 及β 外的两条不同直线.从
“①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ”中选取三个作为条件,余下一个作
为结论,写出你认为正确的一个命题:
规范解答:(2)连接PG. 因为△PAD为正三角形,G为AD的中点, 所以PG⊥AD.…………………………………7分由(1)知BG⊥AD, 而PG∩BG=G, PG⊂平面PBG, BG⊂平面PBG. 所以AD⊥平面PBG.…………………………10分又因为PB⊂平面PBG, 所以AD⊥PB.……………………………………12分

学案11：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质【知识导图】【学法指导】1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据．因此，在应用时要善于运用转化的思想．2．利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键．3．学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论．【自主预习】知识点一直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言}a⊥αb⊥α⇒图形语言①线面垂直⇒线线平行；作用②作平行线1．直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．知识点二平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则垂直于的直线与另一个平面α⊥βα∩β＝l⇒a⊥β符号语言}图形语言①面面垂直⇒垂直；作用②作面的垂线对面面垂直的性质定理的理解1．定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[小试身手]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．垂直3.如图，BC是Rt△BAC的斜边，P A⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A．3 B．5C．6 D．84．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的______心．【课堂探究】类型一线面垂直的性质定理的应用例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.跟踪训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．(2)证明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.跟踪训练2在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，P A⊥平面ABCD，P A∥EB，且P A＝2EB＝4 2.(1)证明：BD∥平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.方法归纳空间线线垂直、线面垂直、面面垂直是重点考查的位置关系，证明时一般是已知垂直关系考虑性质定理，求证垂直关系考虑判定定理．跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【参考答案】【自主预习】知识点一直线与平面垂直的性质平行 a ∥b知识点二平面与平面垂直的性质一个平面内交线垂直 a ⊂α a ⊥l线面[小试身手]1．解析：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 答案：B2．解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .答案：A3.解析：由P A ⊥平面ABC ，知△P AC ，△P AD ，△P AB 均为直角三角形，又PD ⊥BC ，P A ⊥BC ，P A ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面P AD .∴AD ⊥BC ，易知△ADC ，△ADB ，△PDC ，△PDB 均为直角三角形．又△BAC 为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.答案：D4．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂【课堂探究】类型一线面垂直的性质定理的应用例1【证明】如图所示，连接A 1C 1，C 1D ，B 1D 1，BD .∵AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D①.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D②.由①②可知EF∥BD1.跟踪训练1证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2【证明】如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .跟踪训练2证明：如图所示，在平面P AB 内作AD ⊥PB 于点D .∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵P A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三垂直关系的综合应用例3【证明】 (1)如图，连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，∴OF ∥P A ，且OF ＝12P A . ∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形，∴EF ∥BD .又EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)如图，连接PB ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°，∴PB ⊥AE . ∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面APEB ，∴平面ABCD ⊥平面APEB .∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE .又BC∩PB＝B，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点，∴PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.跟踪训练3解：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。

第二章 2.3.3~2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行．梳理知识点二平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．梳理类型一直线与平面垂直的性质定理例1如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．跟踪训练1如图，α∩β＝l，P A⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明∵P A⊥α，l⊂α，∴P A⊥l.同理PB⊥l.∵P A∩PB＝P，∴l⊥平面P AB.又∵P A⊥α，a⊂α，∴P A⊥a.∵a⊥AB，P A∩AB＝A，∴a⊥平面P AB.∴a∥l.类型二平面与平面垂直的性质定理及应用例2如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面P AB内，作AD⊥PB于D.∵平面P AB⊥平面PBC，且平面P AB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又∵P A∩AD＝A，∴BC⊥平面P AB.又AB⊂平面P AB，∴BC⊥AB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB.证明(1)平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.∴BG⊥平面P AD.(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG ＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵P A⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得P A⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.又AD⊂平面P AD，BE⊄平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)在平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD. ①由P A⊥平面ABCD，可得P A⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面P AD，∴CD⊥平面P AD，故有CD⊥PD.再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF. ②而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.反思与感悟(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练3如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．(1)证明∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)证明∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB. ∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝34AB2＝ 3.∵OC⊥平面VAB，∴V C－VAB＝13OC·S△VAB＝13×1×3＝33，∴V V－ABC＝V C－VAB＝3 3.1．下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．其中错误的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立．故选B.2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β答案 C解析对于A，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，则l⊥γ，命题正确；对于B，平面α⊥平面β，不妨设α∩β＝a，作直线b∥a，且b⊂α，则b∥β，命题正确；对于C，平面α⊥平面β，过α与β交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于β，命题错误；对于D，假设平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，这与已知平面α与平面β不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确，故选C.3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC内的射影H必在AB上．故选A.4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝____.答案 6解析∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因为BC⊂平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：课时作业一、选择题1．下列命题错误的是()A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于βB．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内答案 A解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1⊂平面AA1B1B，但AB 1与平面ABCD 不垂直，故A 错．2．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：( )①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α ②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αm ⊥β⇒α∥β ④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．③④ C ．①② D ．①②③④答案 A解析 ①中n ，α可能平行或n 在平面α内；②③正确；④两直线m ，n 平行或异面，故选A.3．在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是( )答案 A4．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( ) A ．直线a 必垂直于平面β B ．直线b 必垂直于平面α C ．直线a 不一定垂直于平面β D ．过a 的平面与过b 的平面垂直答案 C解析当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面． 5．已知l ⊥平面α，直线m ⊂平面β.有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的两个命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 答案 D解析 ∵l ⊥α，α∥β，∴l ⊥β，∵m ⊂β，∴l ⊥m ，故①正确；∵l ∥m ，l ⊥α，∴m ⊥α，又∵m ⊂β，∴α⊥β，故③正确．6．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3 答案 A解析如图：由已知得AA ′⊥平面β，∠ABA ′＝π6，BB ′⊥平面α，∠BAB ′＝π4.设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ，在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴ABA ′B ′＝2.7．如图所示，在三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ＝PB ，AD ＝DB ，则( )A ．PD ⊂平面ABCB ．PD ⊥平面ABCC ．PD 与平面ABC 相交但不垂直 D ．PD ∥平面ABC 答案 B解析因为P A ＝PB ，AD ＝DB ，所以PD ⊥AB .又因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD⊥平面ABC.二、填空题8.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.答案 5解析∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.9．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．答案①②③解析①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．10．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足________时，A1C⊥B1D1.(写出一个正确条件即可)答案AC⊥BD解析连接BD.因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，即使A1C⊥BD.又因为A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD.11．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线P A垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①P A∥平面MOB；②MO∥平面P AC；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案②④解析因为P A⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥P A，而且MO⊄平面P AC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥P A，AC∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC，所以平面P AC⊥平面PBC，所以④正确．三、解答题12．已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ.证明如图，在γ内取一点P，作P A垂直于α与γ的交线于点A，PB垂直于β与γ的交线于点B，则P A⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l⊥P A，l⊥PB.∵P A与PB相交，且P A⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A＝AB，G为PD的中点．求证：AG⊥平面PCD.证明∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.又AD⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又AG⊂平面P AD，∴AG⊥CD.∵P A＝AB＝AD，G为PD的中点，∴AG⊥PD.又PD∩CD＝D，∴AG⊥平面PCD.四、探究与拓展14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．(1)证明如图，设G为AD的中点，连接BG，PG，因为△P AD为正三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)解当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：在△PBC中，因为F是PC的中点，E是BC的中点，所以EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.。

2.3.3-2.3.4直线与平面垂直的性质

图形表示
符号表示
m ,n
a
m
On
m nO
a
a m, a n
线线垂直线面垂直
关键：线不在多，相交则行.
知识探究！
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱 AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面 ABCD的位置关系如何？它们彼此之
间具有什么位置关系？
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC， VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知 ∠ACB =90°。因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故 DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知 l
同理 b l
l .
a bA
结论如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
如图：
l α
β γ
判断线面垂直的两种方法：
①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
两个平面垂直应用举例
例题1 如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．
注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，
推出上面的结论。
例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。
求证：AB⊥BC。
S
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC，
∴ AD⊥BC.

2.3.3-2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

源自a⊥平面，b⊥平面，已知：
求证：a∥b．
a
b

a⊥平面，b⊥平面，已知：
求证：a∥b．
a
b O

a⊥平面，b⊥平面，已知：
求证：a∥b．
a
b
b' O

a⊥平面，b⊥平面，已知：
求证：a∥b．
a
b
b' O

a⊥平面，b⊥平面，已知：
求证：a∥b．
a
b
b'

cO

B C D a P

定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
教材72页思考
例如图，已知平面，β，⊥β，直线a 满足a⊥β， a，试判断直线a与平面
的位置关系.

b
a
β
练习. 教材P.73练习第1、2题
课堂小结
1. 请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？ 2. 类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？ 3. 直线、平面垂直的性质有哪些？ 4. 线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法.
课后作业
P74 习题2.3 B组第1题

a⊥平面，b⊥平面，已知：
求证：a∥b．
a
b
b'
(反证法)

cO

a⊥平面，b⊥平面，已知：
求证：a∥b．
a
b
b'
(反证法)

cO

定理垂直于同一个平面的两条直线平行.
练习. 教材P.71练习第1、2题
若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？

课件4： 2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质

跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上， PC⊥平面BDE. (1)证明：BD⊥平面PAC (2)若PA=1，AD=2，求二面角B－PC －A的正切值
（1）证明 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD. 又∵PA PC=P，BD 平面PAD. ∴BD⊥平面PAC. （2）解设AC与BD交于点O,连接OE, ∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE. 又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO. ∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.
所以Rt△AEB≌Rt△BEP，
所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．
由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.
因为PC⊥平面AEB，
1
8
所以三棱锥P–ABC的体积V＝ 3 ·S·PC＝ 3 .
自测自评
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有( D )
A．b∥α
B．b⊂α
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1D1
解析 ∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C， ∴BD⊥平面A1ACC1， ∴BD⊥CE.
谢谢！
跟踪训练1 已知，如图，直线a⊥α，直线b⊥β，且 AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c. 证明过点B引直线a′∥a， a′与b确定的平面设为γ， ∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ. ∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c① ∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c. 又a′∥a，∴a′⊥c② 由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.
如图，取AB中点D，连接PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，

第二章 2.3 2.3.3 & 2.3.4 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质

已知：α，β，γ是三个不同平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ， α∩β＝l，求证：l⊥γ.
[证明]
法一：在l上任取一点P，过P作γ的垂线l′，
则l′⊂α，l′⊂β， ∴l′是α与β的交线．又α∩β＝l，∴l′与l重合．又l′⊥γ，∴l⊥γ.
法二：设α∩γ＝a，β∩γ＝b, 在γ内任取一点P, 过P在γ内
[例1]
如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F

分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.
求证：EF∥BD1.
[自主解答]
如图所示，连接AB1、B1C、BD、B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD，
且BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1. ∵BD1⊂平面BDD1B1， ∴BD1⊥AC.
且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE； (2)求二面角B－AC－E的余弦值．
解：(1)证明：∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， ∴BF⊥AE. ∵二面角D－AB－E是直二面角，且CB⊥AB， ∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE.
又CB与BF交于点B，
∴AE⊥平面BCE.
(2)连接BD交AC于点G，连接FG. ∵正方形ABCD的边长为2. ∴BG⊥AC，BG＝ 2. ∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AC. 又BG∩BF＝B， ∴AC⊥平面BFG，AC⊥FG. ∴∠BGF是二面角B－AC－E的平面角．
由(1)知，AE⊥平面BCE，得AE⊥EB. ∵AE＝EB，∴BE＝ 2. 又∵△EBC为直角三角形，∴EC＝ BE2＋BC2＝ 6， BC· BE 2× 2 2 3 BF＝ EC ＝＝ 3 . 6 6 ∴在Rt△BFG中，FG＝ BG －BF ＝ 3 .

2.3.3-2.3.4线面垂直,面面垂直的性质定理-悠

已知正方形ABCD和矩形和矩形ACEF所在的平面互相垂练已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，AB= 2 ，AF=1，M是线段的中点。，是线段EF的中点。是线段的中点平面BDE；（1）求证）求证AM//平面平面；的大小；（2）求二面角 −DF−B的大小；）求二面角A− − 的大小上确定一点P，使得PF与所成的（3）试在线段上确定一点，使得与BC所成的）试在线段AC上确定一点 E 角是60° 角是 °。
注1：① α ：
⊥ β ,α I β = l, a ⊂ α , a ⊥ b ⇒ a ⊥ β
证明：在平面内过B点作 ⊥ l，证明：在平面β内过点作内过点作BE⊥ ，又∵AB⊥ l， ⊥ ， ∴∠ABE就是二面角 -l -β的平面角就是二面角α∴∠ 就是二面角的平面角 ∴∠ABE=90 ，即AB⊥BE ∴∠ ⊥ 又∵l∩BE=B，， ∴AB⊥β ⊥
如图，于点A，于点B，例如图，已知 α I β = l, CA ⊥ α于点，CB ⊥ β于点，求证： a ⊂ α, a ⊥ AB, 求证：a // l .
注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立.
C β B α l A a
。
α
a
A
l
B E
β
面面垂直⇒ 面垂直” ②该定理作用：“面面垂直⇒线面垂直”，是判定线面垂该定理作用：面面垂直直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线——平面内垂直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线平面内垂直于两平面的交线的直线. 直于两平面的交线的直线
例判断下列命题的真假 1.若α⊥β，那么内的所有直线都垂直于内的所有直线都垂直于β. 若 ⊥ ，那么α内的所有直线都垂直于

学案4：2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标：1.掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用2.掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律及其转化关系，培养空间想象能力、逻辑思维能力、和类比思维能力。

知识链接：问题1：直线与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题2：平面与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题3：两个平面垂直的定义是什么? .探究问题1.已知直线b a ,和平面α，如果αα⊥⊥b a ,，那么直线b a ,一定平行吗？直线与平面垂直的性质定理：符号表示：证明：探究问题2.（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线与另一个平面垂直吗？（2）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内能否找到一条直线与另一个平面垂直？，怎么画出来？请在下图中画出来平面与平面垂直的性质定理：这个定理实现了什么关系的转化?符号表示：证明：预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（）（2）两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（）（3）两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直于这个平面；（）（4）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（）（5）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（）（6）垂直于同一个平面的两个平面互相平行.（）2.两个平面互相垂直，下列命题A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.正确的个数是个3.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是（）A.,m n m ⊥∥α，n ∥βB. m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂C. m ∥n ，n β⊥ ，m α⊂D. m ∥n ，,m n αβ⊥⊥例题剖析例1.CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥.求证：a ∥l .例2.如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.探究：设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，则直线a 与平面α具有什么位置关系？请说明理由.例3.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC. 求证：BC ⊥平面PAC例4.如图，P 是四边形ABCD 外一点，四边形ABCD 是60DAB ︒∠=,边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .若G 为AD 的中点.(1) 求证:BG ⊥面PAD(2) 求证:AD PB ⊥参考答案预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）正确（2）正确（3）正确（4）错误（5）正确（6）错误2. 13. C例题剖析例1.证明：∵CA α⊥且 a α⊂∴CA ⊥a ,又∵a AB ⊥（已知），CA AB A =,CA ⊂面CAB,AB ⊂ 面CAB.∴a ⊥面CAB. ① 另外CA α⊥，CB β⊥，l αβ=，∴CA ⊥l , CB ⊥l 又CA CB C =,CA ⊂面CAB,CB ⊂ 面CAB.∴l ⊥面CAB ②由①②知a ∥l例2 略例3.证明：过A 点做PC 的垂线交PC 与点M.连接AM∵平面PAC ⊥平面PBC ，且PAC∩PBC=PC, AM ⊂平面PAC ∴AM ⊥平面PBC, BC ⊂平面PBC,∴AM ⊥BC, ①又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴PA ⊥BC ②又PA∩AM=A ，AM ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC.③∴由①②③知 BC ⊥平面PAC例4. 证明：（1）解：（1）证明：连结BD ．∵ABCD 为棱形，且∠DAB=60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BG ⊥平面PAD ．（2）∵PAD 为正三角形且G 为AD 的中点.∴PG ⊥AD ① 由（1）知BG ⊥AD 且PG∩BG=G ， PG ⊂PBG, BG ⊂PBG.② 由①②知 AD ⊥PBG又PB ⊂PBG ∴AD PB ⊥。

2.3.3-4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质学案(人教A版必修2)

2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质【课标要求】1．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理． 2．能运用性质定理解决一些简单问题. 【核心扫描】1．线面垂直、面面垂直性质定理的应用．(重点) 2．线线、线面、面面垂直关系的相互转化．(难点)新知导学1．温馨提示：线与直线平行的结论．(2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化．温馨提示其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A ∈α，A ∈b ，b ⊥β⇒b ⊂α.(2)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b ⊥β⇒b ∥α或b ⊂α.互动探究探究点1 垂直于同一直线的两个平面有什么关系？提示平行(可用此结论判定面面平行)．探究点2 两个平面均垂直于一个平面，这两个平面有什么关系？提示关系不能确定，平行、相交(垂直)都有可能．类型一利用线面垂直性质定理证平行问题【例1】如图所示，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[思路探索]分别证明EF、BD都垂直平面ACB1即可．1证明如图所示：连接AB1，B1D1，B1C1，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.[规律方法]线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一，还可进而证明线面、面面平行．【活学活用1】如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE ＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.证明取AB的中点G，连接FG、GC，则FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.∵AE⊥平面ABC，FG∥AE，∴FG⊥平面ABC.∵FG⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，∴FG ∥CD .又FG ＝12AE ＝CD ＝a .∴四边形CDFG 为平行四边形，FD ∥CG .∵FD ∥CG .CG ⊂平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . 类型二利用面面垂直的性质定理证垂直问题【例2】如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l . 求证：l ⊥γ.[思路探索] 根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l 与其平行即可．证明法一在γ内取一点P ，作P A 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β.∵l ＝α∩β，∴l ⊥P A ，l ⊥PB .又P A ∩PB ＝P ，且P A ⊂γ，PB ⊂γ， ∴l ⊥γ.法二在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n .又n ⊂β，∴m ∥β.又m ⊂α，α∩β＝l ， ∴m ∥l .∴l ⊥γ.[规律方法] 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．【活学活用2】如图，在三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .证明在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB .∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三利用面面垂直的性质定理求二面角【例3】在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝BC ＝CD ＝a ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，沿AC 将四边形折成直二面角B -AC -D .(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；(2)求平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数． [思路探索] 关于折叠问题，关键明确在折叠前后哪些量发生变化，如线与线的位置关系，角的大小等，要抓住不变量来解题．(1)证明如图所示，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图．在四边形ABCD 中， ∵AB ＝BC ，AB ⊥BC ， ∴∠ACB ＝45°，而∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝135°， ∴∠ACD ＝90°，即CD ⊥AC .又平面ABC 与平面ACD 的二面角的平面为直角，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴CD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面BCD ，∴平面ABC ⊥平面BCD . (2)解过点B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，则BE ⊥平面ACD . 又过点E 在平面ACD 内作EF ⊥AD ，F 为垂足，连接BF . 由已知可得BF ⊥AD ， ∴∠BFE 是二面角B -AD -C 的平面角．∵E 为AC 的中点，∴AE ＝12AC ＝22a .又sin ∠DAC ＝CD AD ＝33，EF ＝33AE ，∴EF ＝22a ·33＝66a ，tan ∠BFE ＝BEEF＝ 3.∴∠BFE ＝60°，即平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数为60°.[规律方法] 当一个平面与二面角的一个面垂直时，常利用面面垂直的性质作出二面角面的垂线，而作出平面角．【活学活用3】如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 分别为AD 、PC 中点．(1)求异面直线EF 和PB 所成角的大小； (2)求证：平面PCE ⊥平面PBC ； (3)求二面角E -PC -D 的大小．(1)解如图，取PB 的中点G ，连接FG 、AG ， ∵E 、F 分别为AD 、PC 中点，∴FG 綉12BC ，AE 綉12BC ，∴FG 綉AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥FE ，∵P A ＝AD ＝AB ，∴AG ⊥PB ，即EF ⊥PB ， ∴EF 与PB 所成的角为90°.(2)证明由(1)知AG ⊥PB ，AG ∥EF ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， ∵BC ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AG ，又∵PB ∩BC ＝B ， ∴AG ⊥平面PBC ， ∴EF ⊥平面PBC ， ∵EF ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面PBC .(3)解作EM ⊥PD 于点M ，连接FM ， ∵CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥EM ， ∴EM ⊥平面PCD ，EM ⊥PC ，由(2)知EF ⊥平面PBC ，∴EF ⊥PC ，又EM ∩EF ＝E ， ∴PC ⊥平面EFM ， ∴FM ⊥PC ，∴∠MFE 是二面角E -PC -D 的平面角或其补角．∵P A ＝AD ＝2，∴EF ＝AG ＝2，EM ＝22，∴sin ∠MFE ＝EM EF ＝12，∴∠MEF ＝30°，即二面角E -PC -D 的大小为30°. 方法技巧转化思想在垂直关系转换中的应用线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下：当证明垂直关系时，要灵活地应用垂直之间的转换关系．当运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．【示例】如图所示，在四棱锥V -ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面三角形VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明AB ⊥平面VAD ；(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角的正切值． [思路分析] (1)用面面垂直的性质 (2)由(1)利用垂线法作平面角．(1)证明 ∵底面四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .又∵平面VAD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，且平面VAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴AB ⊥平面VAD .(2)解如图所示，取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD .∵AB ⊥平面VAD ， ∴AB ⊥VD .又∵AE ∩AB ＝A ， ∴VD ⊥平面ABE .∴BE ⊥VD .因此∠AEB 就是所求二面角的平面角，于是tan ∠AEB ＝233.[题后反思] 证明垂直问题，要结合条件充分利用已知或证出的垂直关系的性质灵活地进行垂直间的转化．课堂达标1．平面α⊥平面β，a⊥α，则有()．A．a∥βB．a∥β或a⊂βC．a与β相交D．a⊂β解析由已知易得：a∥β或a⊂β.答案 B2．(2012·济宁高一检测)已知平面α⊥平面β，则以下说法正确的个数是()．①平面α内的直线必垂直平面β内的无数条直线；②在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作平面α与平面β的交线的垂线，此直线必垂直于α.A．4 B．3C．2 D．1解析①②正确，③④不正确．答案 C3．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确的命题是________．①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．答案①③4．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析①也可能是直线l⊂α；②正确；③中的两个点可以在平面的两侧；④正确．答案②④5．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A ＝AB，点E是PD的中点．(1)求证：AC⊥PB；(2)求证：PB∥平面AEC；(3)求二面角E-AC-B的大小．(1)证明(1)由P A⊥平面ABCD可得P A⊥AC.又AB⊥AC，所以AC⊥平面P AB，所以AC⊥PB.(2)证明如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC.(3)解如图，取AD的中点F，连接EF，FO，则EF是△P AD的中位线，∴EF∥P A.又P A⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.同理，FO 是△ADC 的中位线， ∴FO ∥AB ，∴FO ⊥AC . 因此，∠EOF 是二面角E -AC -D 的平面角．又FO ＝12AB ＝12P A ＝EF ，∴∠EOF ＝45°.而二面角E -AC -B 与二面角E -AC -D 互补，故所求二面角E -AC -B 的大小为135°.课堂小结1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．3．灵活进行线线、线面、面面垂直关系之间的转换，是判定和运用垂直关系的关键．。

21-22版：2.3.3　直线与平面垂直的性质~2.3.4　平面与平面垂直的性质(创新设计)

@《创新设计》
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课前预习
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规律方法证明线线平行常用的方法（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点. （2）利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线. （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
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课前预习
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（1）证明 ∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB. ∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC， ∴VB∥平面MOC. （2）证明 ∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB. 又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面 VAB. ∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.
∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
【训练3】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为 CD的中点. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. (1)证明因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.

《2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》教学设计

《空间中直线、平面的垂直关系》教学设计一、教材内容解析本节课的内容是探究空间直线与平面、平面与平面垂直的性质，选自人教A 版教材《2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》。

空间中直线、平面的垂直关系是一种非常重要的的位置关系，它不仅应用广泛，而且是空间问题平面化的典范。

这类问题求解的关键是根据线面、面面之间的互化关系，借助创设辅助线和面，找出符号语言和图形语言之间的关系。

通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

本节内容是学习了线面垂直和面面垂直判定之后的进一步探究，进一步巩固“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明——拓展应用”定理学习模式，培养学生空间概念，空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学目标设置根据本课教材的特点，新大纲对本节课的教学要求，结合学生身心发展的合理需要，确定以下教学目标：（1）知识与技能目标：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②会证明性质定理，并能运用性质定理解决一些简单问题。

（2）过程与方法目标：①通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力；②了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握转化思想在解决问题中的运用；③通过类比空间中直线与平面的平行关系、平面与平面的平行关系的学习方法来探究本节课中的垂直关系。

（3）情感态度与价值观目标：①让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣；②提高学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新精神；③进一步体会几何中的公理化体系，提升学生的科学素养。

教学重点：学生经历“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明——拓展应用”定理学习过程，培养空间想象能力和逻辑推理能力，感悟数学中的“转化”的思想，并能类比此方法用于其它数学命题的学习，解决更多的生活中的实际问题，所以性质定理的发现及证明是本节课的重点。

2.3.3-2.3.4线面垂直与面面垂直性质定理

)
解析:①②显然正确;③中b可能在α内;④中b与α关系不确定.故
选A,
1.已知平面α ⊥平面β ,则下列命题正确的个数是( C ①α 内的直线必垂直于β 内的无数条直线
)
②在β 内垂直于α 与β 的交线的直线必垂直于α 内的任意一条直线 ③α 内的任何一条直线必垂直于β
④过β 内的任意一点作α 与β 交线的垂线,则这条直线必垂直于α
线面、面面垂直的综合问题
【例3】 (2013年高考北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD, CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD.
导引: (1)对题中的条件“平面PAD⊥底面ABCD”怎样进行转化?(利用性质定理,由PA⊥AD,AD为交线,可得PA⊥底面ABCD) (2)BE与平面PAD内哪条直线平行?(与直线AD平行) (3)能在平面PCD内找到与平面BEF垂直的直线吗?(能.CD⊥平面BEF)
【例】如图所示,A、B、C、D 为空间四点.在△ABC 中,AB=2, AC=BC= 2 ,等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长;
(2)当△ADB以AB为轴转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
解: (1)取AB的中点E,连接DE,CE, 因为△ADB是等边三角形, 所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时,
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言符号语言垂直于同一个平面的两条直线平行

人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理公开课教学课件

β
a
l
α
A
问题4：面面垂直性质定理用途? 面面垂直线面垂直问题5：什么情况下用?
符号语言：
a
l
a
a l
已知面面垂直时.
平面与平面垂直的性质定理：问题6：体现了什么数学思想? 转化
三、例题讲解例1：PA⊥平面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥AB
P 问题7：要证BC垂直于AB，要会选择，选择BC垂直于AB，还是AB垂直于
已知：
, A ,C B D ,C A D .求B 证： CD
发展条件 α
转化结论
C
B
D
E
β
A
证明：
在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言?
a ,b a//b
简述：如何证明？
线面垂直
线线平行
知识探究：问题2:面α与面β垂直，线L在面α内，线L与面β的关系有哪几种？（讨论一下）
α L
β 平行
问题3：怎样才能垂直？
α L
β 相交
α
L β
线在面内
思考3: 如何找地面的垂线？
注:若l ,b
则l b.
l
A
αb
2.直线与平面垂直的判定定理？直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线与面垂直
图形表示
a
m

2.3.3直线与平面垂直的性质 2.3.4平面与平面垂直的性质教案(人教A版必修2)

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握线面垂直及面面垂直的性质定理及其应用．(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”、“面面”垂直的转化，进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力．2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用．3．情感、态度与价值观(1)在推理和证明过程中，提高探究能力，逐渐养成严谨的科学态度．(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，培养审美情趣．(3)进一步渗透等价转化的思想．●重点难点重点：两个性质定理及其应用．难点：两个性质定理的探索过程及应用．重难点突破：以教材中的“思考”为切入点，通过学生观察长方体侧棱及侧面同底面的关系，提出直线和平面垂直的性质定理及平面和平面垂直的性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点．●教学建议本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成、相互统一的，故教学时，采用“启发—探究”的教学方法．通过一系列的问题及层层递进的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究．帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现．由于线面垂直的性质实现了垂直同平行的互化，在教学时，可适当补充例题，通过练习突出线面及线线关系的互化意识，培养学生的空间转换能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：线面垂直与面面垂直有哪些性质？⇒引导学生借助长方体，通过观察、想象、思考得出线面垂直与面面垂直的性质定理.⇒通过引导学生回答所提问题理解线面垂直与面面垂直的性质定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与平面的垂直的性质定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面与平面垂直的性质定理.在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，那么这些电线杆之间存在什么位置关系呢？【提示】平行．直线与平面垂直的性质定理如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ADD 1与平面ABCD 垂直，直线A 1A 垂直于其交线AD .平面A 1ADD 1内的直线A 1A 与平面ABCD 垂直吗？【提示】垂直．平面与平面垂直的性质定理图2－3－26如图2－3－26，正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，EF 与异面直线AC 、A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1.【思路探究】紧扣线面垂直的性质定理，在图中作出辅助平面，证明EF ，BD 1都与此平面垂直．【自主解答】如图所示，连接AB 1、B 1D 1、B 1C 、BD ，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.1．本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的，即线面垂直的性质提供了线线平行的依据．2．证明线线平行的方法有：定义法、公理4、线面平行的性质定理、线面垂直的性质定理．图2－3－27已知，如图2－3－27，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.【证明】过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′.又a ′∩b ＝B ，所以AB ⊥γ. 因为b ⊥β，c ⊂β，所以b ⊥c .① 因为a ⊥α，c ⊂α，所以a ⊥c . 又a ′∥a ，所以a ′⊥c ② 由①②可得c ⊥γ.又AB ⊥γ，所以AB ∥c .图2－3－28(2013·洛阳高一检测)如图2－3－28，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .【思路探究】平面P AC ⊥平面PBC――→引辅助线作AE ⊥PC ――→面面垂直的性质BC ⊥平面P AC――→线面垂直的定义BC ⊥AC【自主解答】过A 作AE ⊥PC 于E ，由平面P AC ⊥平面PBC ，且平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，可知AE ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，故AE ⊥BC .又P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故P A ⊥BC . ∵P A ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面P AC . 又AC ⊂平面P AC ，故BC ⊥AC .在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．图2－3－29如图2－3－29，四棱锥V－ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.【证明】∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，∵VA⊂面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.图2－3－30如图2－3－30所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.【思路探究】(1)由题中平面P AD⊥平面ABCD，只需要证明BG垂直于两平面的交线即可．(2)转化为证AD⊥平面PBG即可．【自主解答】(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)连接PG，如图，∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理．证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．图2－3－31如图2－3－31，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.P A与BD是否相互垂直？请证明你的结论．【解】P A与BD相互垂直．证明过程如下：如图，取BC的中点O，连接PO、AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面P AO，∴BD⊥P A，即P A与BD相互垂直．折叠问题的求解策略(12分)(2013·梅州高二检测)如图2－3－32，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．图2－3－32(1)如果二面角A－DE－C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.【思路点拨】(1)分别取DE、BC的中点M，N，借助面面垂直的性质证明AN⊥BC，进而说明△ABC为等腰三角形．(2)类比(1)逆向求解便可．【规范解答】(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，2分∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点，取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.4分又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.6分又∵N是BC中点，∴AB＝AC.7分(2)取BC的中点N，连接AN，∵AB＝AC，∴AN⊥BC.8分取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.10分又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.11分∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.12分1．抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．2．在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度、角度的变化情况．1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合)，则()A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交【解析】因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B.【答案】 B图2－3－332．如图2－3－33所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面P AB，P A＝PB，AD＝DB，则()A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC【解析】∵P A＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面P AB，平面ABC∩平面P AB＝AB，∴PD⊥平面ABC.【答案】 B3．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．【解析】如图，过a作平面γ，设γ∩α＝b，∵a∥α.∴a∥b.又∵a⊥AB，∴b⊥AB.又∵α⊥β，α∩β＝AB，b⊂α.∴b⊥β，∴a⊥β.【答案】a⊥β图2－3－344．如图2－3－34，已知平面α∩平面β＝l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，直线a ⊂β，a ⊥AB .求证：a ∥l .【证明】因为EA ⊥α，α∩β＝l ，即l ⊂α，所以l ⊥EA .同理l ⊥EB ，又EA ∩EB ＝E ，所以l ⊥平面EAB .因为EB ⊥β，a ⊂β，所以EB ⊥a ，又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ，所以a ⊥平面EAB . 因此，a∥l .一、选择题1．(2013·临沂高一检测)下列命题正确的是( ) A ．垂直于同一条直线的两直线平行 B ．垂直于同一条直线的两直线垂直 C ．垂直于同一个平面的两直线平行D ．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行【解析】由线面垂直的性质定理知，C 选项正确，其他三选项可以举出反例．【答案】 C2．下列命题正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④【解析】 ①②正确，③不正确，当a ⊥α且a ⊥b 时，有b ∥α或b ⊂α；④不正确，当a ∥α，a ⊥b 时，有b 与α相交或b ∥α或b ⊂α.【答案】 A3．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直【解析】当b＝α∩β时，必有a⊥β，当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β.【答案】 C4．(2013·安阳高一检测)已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是() A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】根据面面垂直的性质定理逐一判断．选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件，故选D.【答案】 D5．如图2－3－35，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：图2－3－35①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④【解析】由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.【答案】 B二、填空题6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面AC，则EF与AA1的位置关系是________．【解析】∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.【答案】平行7．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．【解析】∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α，又m⊥α，∴m∥n.【答案】平行图2－3－368．如图2－3－36所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．【解析】取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.【答案】 6三、解答题9．如图2－3－37所示，已知：α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.图2－3－37【证明】∵α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β.又DE⊂β，故AB⊥DE.又BC⊥DE，AB∩BC＝B，故DE⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，故DE⊥AC.图2－3－3810．(2013·威海高一检测)如图2－3－38：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.【证明】∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.11．如图2－3－39所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD ＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.图2－3－39【证明】(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝3a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD .如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA .【思路探究】 (1)取EC 的中点F ―→ 证明DF ⊥EC ―→Rt △EFD ≌Rt △DBA ―→DE ＝DA(2)取CA 中点N ―→连接MN ，BN ，MN 綊12EC ―→MN ∥BD ―→点N 在平面BDM 内―→BN ⊥平面ECA ―→平面BDM ⊥平面ECA(3)DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ―→DM ⊥平面ECA ―→平面DEA ⊥平面ECA 【自主解答】 (1)如图，取EC 的中点F ，连接DF ，∵EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴EC ⊥BC ，易知DF ∥BC ，∴DF ⊥EC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， ∵EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，∴EF ＝BD ，又FD ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA . (2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ，∵EC ∥BD ，∴MN ∥BD ， ∴N 点在平面BDM 内． ∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BN ，又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA ， ∵BN 在平面MNBD 内，∴平面MNBD ⊥平面ECA ，即平面BDM ⊥平面ECA . (3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA ，又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA .1．在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键．2．空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等．还可以通过解三角形，创造一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点．求证；(1)C 1M ⊥平面A 1ABB 1； (2)A 1B ⊥AM ；(3)平面AMC 1∥平面NB 1C .【证明】 (1)∵M 为A 1B 1的中点，A 1C 1＝B 1C 1， ∴C 1M ⊥A 1B 1.∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，C 1M ⊂平面A 1B 1C 1，∴C 1M ⊥平面A 1ABB 1.(2)∵C 1M ⊥平面A 1ABB 1，A 1B ⊂平面A 1ABB 1， ∴C 1M ⊥A 1B .又∵A 1B ⊥AC 1，C 1M ∩AC 1＝C 1， ∴A 1B ⊥平面AC 1M .∵AM ⊂平面AC 1M ，∴A 1B ⊥AM .(3)∵N 为AB 的中点，AC ＝BC ，∴CN ⊥AB .又∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面A 1ABB 1.故CN ∥C 1M .又∵MB 1∥AN ，MB 1＝12A 1B 1，AN ＝12AB ，且A 1B 1＝AB ，∴四边形ANB 1M 为平行四边形．则AM ∥B 1N . 又∵AM ⊂平面AMC 1，B 1N ⊄平面AMC 1， ∴B 1N ∥平面AMC 1.同理CN ∥平面AMC 1. 又∵B 1N ，CN 为平面NB 1C 内两条相交直线， ∴平面AMC 1∥平面NB 1C .。

2.3.3-4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

由于△BOE∽△BCD， 3 a· a OE BE BE· DC 2 3 ∴ ＝，OE＝＝＝ a. DC BD BD 2a 4 3 a AE 2 ∴tan ∠AOE＝＝＝2， OE 3 a 4 即二面角 A－BD－C 的正切值为 2.
2.如图所示，在三棱锥 P -AB C 中，P A ⊥平面 AB C ，平面 P AB ⊥ 平面 P B C . 求证：B C ⊥AB .
证明： (1)∵SA⊥平面 AC，BC⊂平面 AC， ∴SA⊥BC. ∵ABCD 为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面 SAB， ∴BC⊥AE. 又 AE⊥SB，∴AE⊥平面 SBC，∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC，∴SC⊥平面 AEF，∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC，∴SA⊥DC，又 AD⊥DC，∴DC⊥平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴SC⊥AG，∴AG⊥平面 SDC，∴AG⊥SD.
2．平面与平面垂直的性质 (1)性质定理可简述为：面面垂直，则线面垂直． (2)性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解(证)问题的重要思想方法． (3)平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
题型二
面面垂直性质定理的应用
【例 2】如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边 BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠A＝90° ， AB＝AC， ∠BCD ＝90° ，∠D＝60° . (1)求证：平面 ABD⊥平面 ACD； (2)求二面角 A－BD－C 的正切值．思路点拨：证面面垂直的常用方法是找出一个平面内的一条直线与另一个平面垂直；(2)关键是找出二面角的平面角．

2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质问题导学预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．直线与平面垂直的性质定理是什么？ 2．平面与平面垂直的性质定理是什么？1．直线与平面垂直的性质定理(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．2．平面与平面垂直的性质定理对面面垂直的性质定理的理解(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a ∥平面α，直线b ⊥平面α，则直线b ⊥直线a .( )(2)若直线a ⊥平面α，直线a ⊥直线b ，则直线b ∥平面α.( )(3)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( ) (4)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．可能存在也可能不存在 C ．有无数多个 D ．一定不存在解析：选B ．当a ⊥b 时，这样的平面存在，当a 和b 不垂直时，这样的平面不存在．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：选D．由题意知，α与γ可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ相交．已知平面α⊥平面β，直线a∥α，以下三个结论：①a⊥β；②a∥β；③a与β相交．其中可能正确的序号为______．解析：因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．答案：①②③线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1═∥AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ．又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1.因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC ．又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1.(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，所以ON ═∥12CD ．因为CD ═∥AB ，所以ON ∥AM . 又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形．所以ON ＝AM . 因为ON ＝12AB ，所以AM ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．面面垂直的性质定理的应用已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC ．【证明】如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，因为平面P AC ⊥平面PBC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ，所以AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AD ⊥BC ．因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC，因为AD∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC，又AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD．证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC．又因为平面BCD⊥平面ABC，DM⊂平面BCD，两平面交线为BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD．垂直关系的综合问题如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】 (1)如图，取EC 的中点F ，连接DF . 因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC ⊥BC ．同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ．又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ． (2)取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN ═∥BD ，所以N 点在平面BDM 内．因为EC ⊥平面ABC ，所以EC ⊥BN .又CA ⊥BN ，EC ∩CA ＝C ，所以BN ⊥平面ECA ．因为BN 在平面MNBD 内，所以平面MNBD ⊥平面ECA ，即平面BDM ⊥平面ECA ．(3)由(2)易知DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD．证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD．(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD．又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD．(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD．又P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD．所以CD ⊥PD ．因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 又因为CD ⊥BE ，EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF . 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD ．1．下列说法中正确的是( )①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直； ②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直； ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行； ④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直． A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③D ．②③④解析：选A ．由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．2．下列命题正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③ C ．②③④D ．①②④解析：选A ．对于命题①，a ⊥α，则a 垂直于平面α内的任意两条相交直线，又因为a ∥b ，所以b 也垂直于平面α内的任意两条相交直线，所以b ⊥α，①正确；由线面垂直的性质定理可知a ∥b ，所以②正确；因为a ⊥α，当a ⊥b 时，则b 可能在平面α内，也可能与平面α平行，所以③错误；当a ∥α，a ⊥b 时，b 与平面α的三种位置都有可能出现，所以④错误．3．在下列关于直线m ，l 和平面α，β的说法中，正确的是( )A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.其中正确的说法序号为__________．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5.如图，四边形ABCD中，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE.证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.[学生用书P115(单独成册)])[A基础达标]1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B．对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是()A．AD1⊥DP B．AP⊥B1CC．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C解析：选B．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1，因为点P是线段BC1上任意一点，所以AP⊥B1C．故选B．3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直解析：选C．如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD．所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1，故选C．4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B．因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．5．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D．因为平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，所以AC⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC．所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．6．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．解析：因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC．又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．答案：47．如图，在三棱锥P-ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________．解析：因为侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案： 58．如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为______．解析：如图，连接BC，因为二面角α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 29．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC．因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC．又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.10．(2018·高考北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．证明：(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD．所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD．所以AB⊥PD．又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB．所以平面P AB⊥平面PCD．(3)取PC 中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC ．因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，所以DE ∥FG ，DE ＝FG ，所以四边形DEFG 为平行四边形，所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ．[B 能力提升]11．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，则下列说法中正确的是( )①平面ACD ⊥平面ABD ；②AB ⊥CD ；③平面ABC ⊥平面ACD ． A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③解析：选D ．因为BD ⊥CD ，平面ABD ⊥平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，故①正确；因为平面四边形ABCD 中， AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AB ⊥AD ，又CD ⊥平面ABD ，所以AB ⊥CD ，又AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD ，故②③正确．12.如图，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：因为CA ＝CB ，O 为AB 的中点，所以CO ⊥AB ．又平面ABC ⊥平面ABD ，交线为AB ，CO ⊂平面ABC ，所以CO ⊥平面ABD ．因为OD ⊂平面ABD ，所以CO ⊥OD ，所以△COD 为直角三角形，所以图中的直角三角形有△AOC ，△COB ，△ABC ，△AOD ，△BOD ，△COD 共6个．答案：613．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解：(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ．因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ． (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.14．(选做题)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥平面ABC ； (2)求证：平面EBC ⊥平面ACD ； (3)求几何体A -DEBC 的体积V .解：(1)证明：如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH .因为G ，F 分别是EC 和BD 的中点，所以GH ∥BC ，HF ∥DE .又因为四边形ADEB 为正方形，所以DE ∥AB ，从而HF ∥AB ．所以HF ∥平面ABC ，GH ∥平面ABC ．又因为GH ∩HF ＝H ，所以平面HGF ∥平面ABC ．所以GF ∥平面ABC ．(2)证明：因为四边形ADEB 为正方形，所以EB ⊥AB ．又因为平面ABED ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC ．所以BE ⊥AC ．又因为CA 2＋CB 2＝AB 2，所以AC ⊥BC ．又因为BE ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面EBC ．又因为AC ⊂平面ACD ，从而平面EBC ⊥平面ACD ．(3)取AB 的中点N ，连接CN ，因为AC ＝BC ，所以CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12a .又平面ABED ⊥平面ABC ，所以CN ⊥平面ABED ．因为C -ABED 是四棱锥，所以V C -ABED ＝13S 正方形ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3.即几何体A -DEBC 的体积V ＝16a 3.。

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2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
[学习目标]
1.掌握直线与平面垂直的性质定理
2.利用直线与平面垂直的性质定理解决问题
3.探究平面与平面垂直的性质定理
4.应用平面与平面垂直的性质定理解决问题 [自主学习]
1、直线与平面垂直的性质定理
（1）内容：（2）符号表示： 2、平面与平面垂直的性质定理
（1）内容：（2）符号表示： [典型分析]
例1、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD, E 、F 分别是BC,PC 的中点，求证：EF ⊥平面PCD
例2、如图，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，四边形ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 边的中点，求证：BG⊥平面APD ；（2）求证：AD⊥PB．
例3、在正方体1111D C B A ABCD -中，求对角线面B A 1与平面D D BB 11所成角大小
[巩固训练]
1、若a,b,c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使α⊥a 的是（） A αα⊂⊂⊥⊥c b c a b a ,,, B α//,a b b ⊥ C b a b A b a ⊥⊂=,,α D α⊥b b a ,//
2、下列命题中错误的是（） A 、如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B 、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β C 、如果平面⊥α平面γ，γβαγβ平面那么，平面⊥=⊥l l , D 、如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。