函数的和积、商差的法则对比
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函数的求导法则
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
求导数的方法—法则与公式
y=arcsinu ,u=t/2
1 1 1 t 2 ( ) ( ) t 2 2 t t 2 1 ( 1 )2 t 2 1 ( 1 )2 1 ( ) 1 ( ) t t 2 2
从而
1 2 1 1 1. f (1) 1 2 1 ( 1 )2 3 2 1 ( ) 1 2
中间变 量 自变 量
dy dy du dx du dx
x y yu u . x
复合函数的求导法则可叙述为：复合函 数的导数，等于函数对中间变量的导数乘 以中间变量对自变量的导数.
中间变量 中间变量 自变量
设y f ( u), u (v ), v ( x ), 则复合函数 y f { [ ( x )]}的求导法则为：
例6 y ln cos x 3 , 求y.
解 y ln u, u cos v , v x 3 ,
x y yu uv v (ln u)(cos v)( x3 ) x
1 sin v 2 2 ( sin v ) 3 x 3 x u cos v
第二节
求导数的方法—法则与公式
主要内容： 一、求导法则
二、基本初等函数的求导公式
一、求导法则
1、函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [u( x ) v( x )] u( x ) v( x ).
例4 已知y sec x, 求y.
1 解 y (sec x ) ( ) cos x
(cos x ) 2 cos x
sin x 2 cos x
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
2 函数的求导法则
2 x cos x
例5 求 y tan x 的导数 .
解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x
1 cos 2 x sin 2 x sec 2 x cos 2 x cos 2 x
u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) lim lim v ( x x ) u( x ) lim x 0 x 0 x 0 x x
u' ( x)v( x) u( x)v ' ( x)
lim v ( x x ) v ( x ) 是因为 v ' ( x ) 其中， x 0
1 (ar c c ot x ) ; 2 1 x
例9 求反正切函数 y arctan x 的导数。 解 x tan y 时y arctan x 的反函数，而 x tan y 在 I y (
, ) 内单调增加、可导，且 2 2
(tan y)' sec2 y 0
dx
例13 设y ln cos(e x ), 求 dy 解
y ln cos(e x )可以看作由y ln u, u cos , e x复合而成的，因为
dy dy du d 1 ( sin ).e x e x tan(e x ) dx du d dx u
n i 1
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x ) f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i n n
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
函数求导法则
1 x2 ,
x 1,
例4
已知f (x)
(1
x)(2
x), 1
x
2,
求 f (x), f (0)
(2
x),
2 x ,
2x , x 1,
f (x)
2x 3,
1<x 2,
1, 2 x ,
f (0)=0
二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
x
sec2 x
(csc
x)
1 sin
x
(sin sin 2
x) x
cos x sin 2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
例3
已知 f (x) x sin x ,
1 cos x
求 f (x)
x sin x . 1 cos x
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim y f (u) u0 u
y f (u)u u （当
时
)
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f
(u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
解: y ( x ) ( x3 4 cos x sin1)
x ( x3 4 cos x sin1)
1 ( x3 4 cos x sin1) x ( 3 x2 4sin x ) 2x
y x1
二节基本的导数公式与运算法则-精选
n22xx1n12x1(2(x2)x()22x1)(2x)
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
§3.2 求导数的方法——法则与公式
对y=x 两边取对数,得: lny=lnx y 两端对x求导,得: y x
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx
第二节函数的求导法则-精品
(e x ) e x (ln x ) 1
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
第三节 导数的基本公式与运算法则
3
3
10/12/2018 1:25 PM
第三章
导数与微分
4、乘积的导数 则 y( x ) u( x ) v ( x ) 设 u u( x ) , v v ( x ) 可导， 且 y( x ) u( x )v( x ) u( x )v( x ) 也可导， 证明
y ( x h) y ( x ) y( x ) lim h 0 h
(sec x ) sec x tan x
(csc x ) csc x cot x
10/12/2 2 x sin x cos x ln x 的导数 解
y (2 x sin x ) (cos x ln x )
( x n ) nx n1
设 y x n （ n 为正整数）， 由二项式定理知
n( n 1) n 2 2 x nx x x x x n x n 2 y n( n 1) n 2 n 1 y lim lim ( nx x x x n 1 ) x 0 x x 0 2
2( x ) sin x 2 x (sin x )(cos x ) ln x cos x(ln x )
1 2 sin x 2 x cos x sin x ln x cos x x 2 x 1 1 ( ln x )sin x (2 x )cos x x x
例2
3 2 y (1 2 x )(3 x 2 x ) 的导数 求
解 y (1 2 x )(3 x 3 2 x 2 ) (1 2 x )(3 x 3 2 x 2 )
2(3 x 3 2 x 2 ) (1 2 x )(9 x 2 4 x)
函数求导法则
3. 复合函数的求导法则 均可导, 设 y = f (u), u = g (x), 且 f (u), g (x) 均可导 则 复合函数 y = f (g(x))的导数为 的导数为
dy dy dy du = f ′(u ) g ′( x) 或 = . dx dx du dx
例19 解
求函数
y′ =
2x , 求 y′. 例11 y = cos 2 1+ x 2x dy ,而 = sin u , 解 设 u= 2 1+ x du
du 2(1 + x 2 ) 2 x 2 x 2(1 x 2 ) , = = 2 2 2 2 dx (1 + x ) (1 + x )
dy 2(1 x 2 ) 2(1 x 2 ) 2x = sin u = sin . 2 2 2 2 2 dx (1 + x ) (1 + x ) 1+ x
1 f ′( x) = (x ′( x)
简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（ 简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等 于零）的倒数. 于零）的倒数
以增量 证 任取 x ∈ I x , 给 x 以增量, 由 y = f (x) 的 单调性可知 y = f (x + x) - f (x) ≠ 0, 于是
2 2
例5 y = tanx, 求 y′.
sin x ′ 解 y′ = (tan x)′ = cos x (sin x )′ cos x sin x (cos x)′ = cos 2 x
cos 2 x + sin 2 x 1 = = = sec 2 x. 2 2 cos x cos x
一、函数和、差、积、商的求导法则 函数和、 定理1 定理 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处 可导, 它们的和、 商在x 处也可导, 可导 那么 它们的和、差、积、商在 处也可导 u (x) ± v (x) 在点 x 处也具有导数 且 处也具有导数, （1）[u (x) ± v (x)]′ = u (x)′ ± v (x)′； ） ′ ′ ′ （2）[u (x) v (x)]′ = u (x)′ v (x) + u (x) v (x)′ ） ′ ′ ′
函数的求导法则
即 (sec x ) sec x tan x
类似可得 ( c s c x ) c s c x c o t x
§2.2
函数的求导法则
s i n x c o sx ) 例5 求 f(x 在x 处的导数. s i n x c o sx 4 s i nc x o s x 2 c o s x 解 f ( x ) 1 s i nc x o s x s i nc x o s x o sx c f(x ) 2 s i n x c o s x ( c o s x ) ( s i nc x o s x )c o s x ( s i nc x o s x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) s i n x ( s i nc x o s x )c o s x ( c o s x s i n x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) 2 f ( ) 1. x 2 代入得 将 (sinx cos x) 4 4
推论
( 1 )[ C u () x ] Cu( x) ( C为常数 )
( 2 ) ( u u u ) u u u u u u u u u 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ln x ( 3 )( l o g x ) a l n a x ln a .
u x ) v ( x ) ] 证 [( [( u x h ) v ( x h ) ] [( u x ) v ( x ) ] l i m h 0 h [ u ( x hu ) () x ][ v ( x hv ) () x ] l i m h 0 h h u ( x h ) u ( x ) v ( x h ) v ( x ) l i m l i m h 0 h 0 h h u () x vx () .
类似可得 ( c s c x ) c s c x c o t x
§2.2
函数的求导法则
s i n x c o sx ) 例5 求 f(x 在x 处的导数. s i n x c o sx 4 s i nc x o s x 2 c o s x 解 f ( x ) 1 s i nc x o s x s i nc x o s x o sx c f(x ) 2 s i n x c o s x ( c o s x ) ( s i nc x o s x )c o s x ( s i nc x o s x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) s i n x ( s i nc x o s x )c o s x ( c o s x s i n x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) 2 f ( ) 1. x 2 代入得 将 (sinx cos x) 4 4
推论
( 1 )[ C u () x ] Cu( x) ( C为常数 )
( 2 ) ( u u u ) u u u u u u u u u 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ln x ( 3 )( l o g x ) a l n a x ln a .
u x ) v ( x ) ] 证 [( [( u x h ) v ( x h ) ] [( u x ) v ( x ) ] l i m h 0 h [ u ( x hu ) () x ][ v ( x hv ) () x ] l i m h 0 h h u ( x h ) u ( x ) v ( x h ) v ( x ) l i m l i m h 0 h 0 h h u () x vx () .
求导公式与求导法则
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证(1)、(2)略.
u( x ) 证(3) 设 f ( x ) , (v ( x ) 0), v( x )
f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim h 0 h u( x h) u( x ) v ( x h) v ( x ) lim h 0 h
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
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a2 x2 .
x2 1 例12 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
1 1 2 解 y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 y 2 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
uv uv , （4）( u ) uv uv (v 0). （3）( uv ) 2
定理3 如果函数 u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u )
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [ ( x)]在点 x0可导, 且其导数为 dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(俗称链式 法则)
证(1)、(2)略.
u( x ) 证(3) 设 f ( x ) , (v ( x ) 0), v( x )
f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim h 0 h u( x h) u( x ) v ( x h) v ( x ) lim h 0 h
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
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a2 x2 .
x2 1 例12 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
1 1 2 解 y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 y 2 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
uv uv , （4）( u ) uv uv (v 0). （3）( uv ) 2
定理3 如果函数 u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u )
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [ ( x)]在点 x0可导, 且其导数为 dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(俗称链式 法则)
成人高考专升本——高等数学函数基本公式
高等数学函数基本公式１. 基本初等函数求导公式函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=２. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分表达式:d ()d y f x x '=可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的微分公式和微分运算法则． 1． 基本初等函数的微分公式由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列表于下：2．函数和、差、积、商的微分法则由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则．为了便于对照，列成下表（表中)(),(xvvxuu==都可导）．现在我们仅证明乘积的微分法则.3. 复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）一阶微分形式不变性：设f是可微函数，)(ufy=，则无论u是自变量，或是另一个变量x的可微函数，都同样有d()dy f u u'=．4．例题例3)12sin(+=xy，求d y．例42ln(1e)xy=+，求d y．例513e cosxy x-=，求d y．例6在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立．(1)()d d x x=;(2)()d cos d t tω=.。
第二节求导法则与初等函数求导
u v
u v
பைடு நூலகம்
2）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求.
3）反函数的求导法则：注意成立条件;
4）复合函数的求导法则：注意函数的复合过 程,合理分解正确使用链式法法则;
2020/6/11
例13 y sin3(5x)1,求y.
解 y { [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 1 2 } 1 [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 1 2 [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 2
第二节 函数求导法则
直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和 困难的. 利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法 则, 就能比较方便地求出初等函数的导数.
一、函数和、差、积、商的求导法则 二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则 四、初等函数的导数
2020/6/11
一、函数和、差、积、商的求导法则 定理1 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处
熟练之后, 计算时可以不写出中间变量, 而直接 写出结果.
如 求函 y(数 x21)10 的导 . 数
d d x y1(0 x21)9(x21)1(0 x21)92x2x 0(x21)9.
又如
y
sin
e
1 x
,
求
y.
解y(esin1 x)esin1 x(sin1)
sin1
ex
cos
1
(1)
x
xx
1 x2
1 (1 1 (11)) 2xxx 2xx 2x
2020/6/11
4 x2x x2 x1 . 8 x x x x2x x
例21 求函数 yfn[n(sixnn)]的导数.
函数的求导法则
函数的求导法则函数的求导法则主要包括常数法则、简单函数的求导法则、函数和的求导法则、函数积的求导法则、函数商的求导法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则等。
下面我将对这些求导法则进行详细地介绍。
一、常数法则对于常数函数y=C，其中C是一个常数，它的导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，其斜率为0，所以导数为0。
二、一元函数的求导法则对于幂函数y = x^n，其中n是一个实数，它的导数为y' = nx^(n-1)。
这个结果可以通过导数的定义进行推导。
对于指数函数y = a^x，其中a是一个正数且不等于1，它的导数为y' = a^x * ln(a)。
这个结果可以通过对数的求导法则得到。
对于对数函数y = log_a(x)，其中a是一个正数且不等于1，它的导数为y' = 1 / (x * ln(a))。
这个结果可以通过指数函数的求导法则得到。
(1) 正弦函数的导数：y' = cos(x)(2) 余弦函数的导数：y' = -sin(x)(3) 正切函数的导数：y' = sec^2(x)(4) 余切函数的导数：y' = -csc^2(x)(5) 反正弦函数的导数：y' = 1 / sqrt(1-x^2)(6) 反余弦函数的导数：y' = -1 / sqrt(1-x^2)(7)反正切函数的导数：y'=1/(1+x^2)三、函数和的求导法则对于两个函数u(x)和v(x)的和u(x)+v(x)，它的导数为(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)。
这个结果可以通过导数的性质进行证明。
四、函数积的求导法则对于两个函数u(x)和v(x)的积u(x)*v(x)，它的导数为(u(x)*v(x))'=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
这个结果也可以通过导数的性质进行证明。
3.2知识资料微分与求导的法则
考研数学四, 4分
设y arctanex ln
e2 x e2x
,则dy 1 dx
x1
(
).
解 y arctan ex x 1 ln( e2x 1) 2
y
ex 1 e2x
1
1 2
2e2 x e2x 1
y
x1
1
e e2
1
1 2
2e2 e2 1
e1 e2 1.
3.2 微分和求导的法则
3.2 函数的求导法则
函数的和、差、积、商的微分 与求导法则 反函数的微分与求导法则 ★ 复合函数的微分与求导法则 基本求导法则与导数公式 小结 思考题 作业
第3章 导数与微分
3.2 微分和求导的法则
一、函数的和、差、积、商的 微分与求导法则
定理3.3 如果函数u(x), v(x)都在点x处可微, 则它们的和、差、积、商 在点 x处也可微, 并且
1 cos xdx cot xdx,
sin x
所以 y cot x.
3.2 微分和求导的法则
例 求函数 y ( x2 1)10 的导数.
解 y 10( x2 1)9 ( x2 1)
10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数.
y 1 x o(y) 1 x o(x), f ( y) f ( y) f ( y)
所以, 定理的结论成立.
3.2 微分和求导的法则
例 求函数
y
反函数
arcsin
x 的导数与微分. dy
f
1 (
y)
dx
直接函数
解
因为
x