第1节大数定律
第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析
V 20 5 100 / 12 20
105 20 5 100 / 12 20
V 100 V 100 P 0 . 39 1 P 0 . 39 12 ) 20 12 ) 20 ( 10 ( 10
1 ( 0 . 39 ) 1 0 . 6517 0 . 3483
lim F n ( x ) F ( x )
W 则称{ F n ( x )} 弱收敛于F(x)，记为 Fn ( x) F ( x)。 L { 称 }依分布收敛于，记为 。
n
n
n
定理5.2 (几种收敛之间的关系) P ，则 L 。 1. 若
n
L P 2. 设为常数，则 n 当且仅当 n 。 a.s. P n ，则 n 。 3. 若
设随机变量 1， 2， ， n 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：
E ( i ) ，D ( i ) ， i 1，， ， n ， 2
2
则随机变量
n
i 1
n
i
n
n
n
L N ( 0， ， 1)
即 n 的分布函数 F n ( x ) 对任何x满足
lim P (
n
n np
np (1 p )
x
x)
1 2
t
2
e
2
dt .
例2 (2002年数学四考研试题)
设随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，S n
n
X i.
i 1
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
大数定律(Law of the large numbers)
大数定律由雅各布·伯努利（1654－1705）提出，他是瑞士数学家、也是概率论的重要奠基人。
频率的稳定性是概率定义的客观基础，而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性。
而大数定律发表于伯努利死后8年，即1713年出版的《猜度术》，正是这本巨著使得概率论从那时起真正成为了数学的一个分支。
大数定律和中心极限定理，是概率论中极其重要的两个极限定理，也是概率学的核心定律。
一、大数定律概述大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。
可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。
大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。
与“大数定律”对应的，就是“小数定律”，小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。
但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律，而不由自主地使用“小数定律”，滥用典型事件，犯以偏概全的错误。
二、与大数定律相关的常见事件保险大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础。
保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。
按照大数法则，保险公司承保的每类标的数目必须足够大，否则，缺少一定的数量基础，就不能产生所需要的数量规律。
墨菲定律墨菲定律是大数定律的特殊情况，概念为“凡事有可能会出错，就一定会出错”。
墨菲定律的成立条件：1、事件有大于零的概率；2、样本足够大（比如时间足够长，人数足够多等）。
所以墨菲定律可以算是大数定律的一种特殊情况，概率只要大于0就会发生。
墨菲定律告诉我们，即便一个东西概率很低，只要次数足够多，就一定会发生，而如果这个东西会造成巨大的影响，我们不得不事先做好准备，避免遭受无法承受的打击，“黑天鹅”事件指的就是这类事情。
查理·芒格在《穷查理宝典》提到：”坏事总会发生，我们只是不知道什么时候而已“。
他用这句话预言金融衍生品会发生金融危机。
5-1 大数定律
大数定律的客观背景
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 …… 废品率
二、大数定律（难点）
背景：
大数定律研究在什么条件下随机变量序列的算术平均值 收敛于其均值的算术平均值。
nA 1 n n X i p( A) 特例：频率的稳定性。 Rn ( A) n n i 1
0
1
{ln X k }满足辛钦Βιβλιοθήκη 数定律,令Zn ln Yn
1 n P 则Z n ln Yn ln X i 1 n i 1
又函数 f ( x ) e x 连续
故 Yn e
Zn
e
P
1
故 C e 1
本节重点总结
三个大数定律的核心
说明:(1) 另一种形式 lim P{ X n a } 0
n
(2) 对N ,n N时, 落在邻域U (a, )外的X n个数有限,测度为0.
P P P (3) 设X n a , Yn b, 则X n Yn a b. P X n .Yn a .b, P X n / Yn a / b(b 0)
例3 {X k }( k 1, 2, ...)独立同分布,且X k U (0,1), 令 Yn ( X k )
k 1 n
1 n
P 证明 : Yn C , 并求C .
证明 :{ X k }独立同分布, 故{ln X k }也独立同分布.
X k U (0,1),
E (lnX k ) ln xdx 1
说明：
(证明见下页)
nA P (1) n重伯努利试验中, 事件A发生的频率Rn ( A) p( A) n nA (2) 试验次数充分大时,可用频率 近似代替概率p( A) n nA 5 例抛硬币试验 : 若 =0.01, n=10 时, P{ 0.5 0.01} 97.5% n
概率论与数理统计-基于R 第五章 第一节 大数定律
sin
1
x2 x
4
dx
解：构造J= 2
1
2
x2
e2
sin
1
x
2
x
4
dx，
X
N
(0,1),
g(x)
sin
x2 1 x4
显然J= 2 E(g(x)), 根据辛钦大数定律的推论，
J
2
n
n i 1
sin
• 迄今为止,人们已发现很多大数定律(laws of large numbers) 所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现 出的规律，主要描述一系列随机变量的和的平均结果的稳定
性
• 中心极限定理是用来描述满足一定条件的一系列随机变量 的和的概率分布的极限的定理。
• 下面首先来介绍大数定律
以Xi表示第i次试验中事件发生的次数，i=1,2 n 且在每次试验中事件A的概率为p，
n
则n X1 X 2 X n Xi , 且n i 1
对于任意正实数，恒有
B(n, p)
n
lim
n
P
n
n
p
lim
n
P
Xi
i 1
P
1 n
n i 1
Xk
1
推广：设X1, X 2, , X n , 是独立同分布的随机变量序列, g ( x)是一个普通实函数，且E(g ( x))存在，则当n较大时，
E(g(Xi ))
大数定律
例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投 掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现 正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当 试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐 渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不 存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对 同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值， 但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐 渐接近于物体的真实重量。
大数定律
பைடு நூலகம்
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为 “大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向 常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律，又称弱 大数理论。 大数定律(law of large numbers)，又称大数定理[1] ，是 一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但 是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律”，但是 大数定律并不是经验规律，而是严格证明了的定理。
有些随机事件无规律可循，但不少是有规律的，这些 “有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下，往往 呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。确 切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出 现的随机现象的统计规律性，即频率的稳定性和平均结 果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。[
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然 的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理 就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件 的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币， 硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬 币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以 后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数 的二分之一。偶然中包含着某种必然。
大数定律和中心极限定理.ppt
n
X i n
i 1
n
3
近似服从标准正态分布
于是所求概率为
P
1 n
n i 1
Xi
P
n i1
Xi
n
n
n
P i1 X i n
3n
2
3n 1
n
3
(2)当n 36, 1/ 6时,所求概率为
（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解 设参加保险的一万人中一年内的死亡的人数为X ,
则X ~ b10000,0.006,其分布律为
PX
k
1k0000
0.006k
0.994 10000k
k 0,1,2,,10000
lim n
P
n np
np1 p
x
x
1
t2
e2
dt
Φ
x
2π
当n充分大时,对任意a b,有
Pa n b P
a np
np1 p
n np
np1 p
b np
np1 p
Φ
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 第二节
大数定律 中心极限定理
第一节 大数定律
定义1设Y1,Y2 ,,Yn ,是一个随机变量序列, a是一个常
数, 若对任何正数 , 有
limP Yn a 1
n
则称序列Y1,Y2 ,,Yn ,依概率收敛于a,记为Yn Pa 依概率收敛的序列有如下性质： 设X n Pa,Yn Pb,又设g(x, y)在点(a,b)连续,则
第1节 大数定律
X 2
LXn
相互独立);
⎨
⎪⎩2.
E(X ) = µ, k
D( X ) = σ 2 , k
k = 1, 2,L
记
Y
=
1
n
∑
X
,
（即随机变量的算术平均），
n
n k=1 k
则对 ∀ε > 0 有：
∑ lim
n→∞
P{| Yn
−
µ
|<
ε
}
=
lim
n→∞
P{|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
—— 算术平均值稳定性
X
~
f
(
x)
=
⎧1,
⎨ ⎩
0,
0
< x< 其它
1
∫ E[g( X )] =
∞ −∞
g(
x
)
f
(
x
)dx
=
1
∫0
g(
x)dx
由大数定律 ∀ε > 0,
∑ ∫ lim P{| 1
n→∞
N
N i =1
g(rn ) −
1
g
(
x)dx
|<
ε
}
=
1
0
∑ ∫ 1
因此，当n充分大时，N
N
g(rn ) ≈
n=1
1
g( x)dx
下面给出的独立同分布下的大数定律， 即弱大数定理(辛钦大数定理)。
定理1
设随机变量
X 1
,
X 2
LXn
L
大数定律知识点总结
大数定律知识点总结大数定律的基本思想是：独立同分布的随机变量的大样本均值将趋于其数学期望。
这一定律的成立对于统计学、概率论、经济学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
下面将对大数定律的相关知识点进行总结和介绍。
一、独立同分布随机变量序列的大数定律1. 独立同分布的随机变量序列：在大数定律的讨论中，通常假设考虑的是一个独立同分布的随机变量序列。
也就是说，随机变量X1，X2，...，Xn互相独立，并且它们都具有相同的分布，且均值为μ，方差为σ²。
2. 大数定律的描述：设X1，X2，...，Xn是一个独立同分布的随机变量序列，它们的数学期望为μ，方差为σ²。
定义随机变量序列的均值为Yn = (X1+X2+...+Xn)/n，即前n个随机变量的均值。
大数定律描述了当n趋向于无穷大时，随机变量序列的均值Yn将以概率1收敛于其数学期望μ，即limn→∞ P(|Yn-μ|<ε) = 1，其中ε>0。
3. 大数定律的形式：大数定律有弱大数定律和强大数定律之分。
弱大数定律指的是对于任意的ε>0，有limn→∞ P(|Yn-μ|<ε) = 1，即随机变量序列的均值以概率1收敛于其数学期望。
而强大数定律则是指有limn→∞ Yn=μ，即随机变量序列的均值几乎处处收敛于其数学期望。
4. 大数定律的证明：大数定律的证明通常可以利用切比雪夫不等式、马尔可夫不等式、刘维尔中心极限定理等概率论基本定理进行推导。
通过限制随机变量序列的方差，并且利用独立同分布的特性，可以证明大数定律成立。
5. 应用实例：大数定律在实际问题中有着重要的应用。
例如，在赌场中，赌徒可以利用大数定律的原理来预测赌局的结果。
又如在金融领域中，大数定律可以用来预测股市的波动情况。
在工程领域中，大数定律可以用来分析随机过程和随机信号的性质。
二、大数定律的拓展和推广1. 李雅普诺夫大数定律：对于互不相干的独立同分布的随机变量序列，其均值将以概率1收敛于其数学期望。
概率论 大数定律
定理一（契比雪夫表定达理式的的特意殊义情况）
设{| X随机变|量 }X是1,一X个2 ,随,机Xn事,件相, 等互式独表立,
且具有明,相当同n 的数时学这期个望和事方件差的：概E率( X趋k于) 1, ,
D( Xk即) 对于2 (任k 意1正, 2数,),,当作n前充n分个大随时机, 不变量
的算术等平式均| X X|n1kn成1 X立k ,的概则率对很于大任. 意正
数 有
lim P{|
n
X
| }
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
1.
证明
E
1 n
n k 1
X
k
1 n
n k 1
E(Xk )
1 n
n
,
D
1 n
n k 1
Xk
1 n2
n k 1
D( Xk
)
1 n2
n
2
2
n
,
由契比雪夫不等式可得
P
1 n
n k 1
X
k
1
2 2n
,
在上式中令 n ，并注意到概率不能大于1, 则
P
1 n
n k 1
X
k
1.
关于定理一的说明:
当 n 很大时, 随机变量 X1, X2 , , Xn 的算术平
均
1 n
n k 1
X
k
接近于数学期望
E(X1) E(X2) E(Xk ) ,
（这个接近是概率意义下的接近）
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
lim
n
P
概率统计(5)大数定律与中心极限定理
i =1 上一页 下一页
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定理2: 定理
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贝努利大数定律) (贝努利大数定律)设nA是n次独立重复试 次独立重复试 定理3: 定理 验中事件A出现的次数 是事件 出现的次数. 是事件A在每次试验中发生的 验中事件 出现的次数 p是事件 在每次试验中发生的 概率 (0<p<1),则对任意的ε >0有: 则对任意的 有 或 证明:设Xi表示第 i 次试验中事件 出现的次数, 次试验中事件A出现的次数 出现的次数, 证明: i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为 的 相互独立且均服从参数为p的 则 (0-1)分布,故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n 分布, 分布 由契比雪夫大数定律知, 且 ,由契比雪夫大数定律知,对于任意 的 ,有
定理1: 定理
相互独立, 证 因X1,X2,…相互独立,所以 相互独立
1 n 1 n 1 l D ∑ X i = 2 ∑ D( X i ) < 2 nl = n n n i =1 n i =1
又因
1 n 1 n E ∑ X i = ∑ E ( X i ), n i =1 n i =1
ε
ε2
可见契比雪夫不等式成立. 可见契比雪夫不等式成立
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设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的 例2 设电站供电网有 盏电灯 概率都是0.7,而假定开,关时间彼此独立 估计夜晚同时 而假定开, 概率都是 而假定开 关时间彼此独立,估计夜晚同时 开着的灯数在6800与7200之间的概率 之间的概率. 开着的灯数在 与 之间的概率 表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为 解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目 它服从参数为 表示在夜晚同时开着的灯的数目 n=10000,p=0.7的二项分布 的二项分布. 的二项分布 若要准确计算,应该用贝努利公式 应该用贝努利公式: 若要准确计算 应该用贝努利公式:
大数定律名词解释
大数定律名词解释1.引言1.1 概述大数定律是概率论中重要的理论之一，它描述了在独立随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐趋向于事件的概率。
大数定律的研究起源于人们对随机现象的好奇和需求，它的提出为人们理解和应用概率论提供了重要的理论支持。
大数定律从数学上解释了随机现象中的一种规律性趋势，它告诉我们，当试验次数足够多时，事件的频率将接近事件的概率。
这意味着，通过多次重复试验，人们可以通过观察事件发生的频率来推断事件的概率。
大数定律的研究对于统计学、经济学、物理学等各个领域都具有重要的应用价值。
在统计学中，大数定律为统计推断提供了理论基础，使得我们可以通过对样本数据进行观察和分析，进而对总体的特征进行合理的推断。
在经济学中，大数定律被广泛应用于市场研究、风险评估等领域，帮助人们分析和预测经济现象的发展趋势。
在物理学中，大数定律对于描述微观粒子的运动规律以及热力学等方面有着重要的意义。
通过研究和应用大数定律，人们可以更好地理解和分析随机现象，从而提高决策的准确性和科学性。
然而，需要注意的是，在实际应用中，大数定律的有效性还需要考虑其他因素的影响，如样本的大小、样本的选取方式等。
因此，对于大数定律的研究和应用，我们需要持续不断地深入探索和总结经验，以提高其应用的可靠性和准确性。
1.2文章结构文章结构文章是由多个部分组成的，每个部分有其独特的功能和作用。
在本篇文章中，我们将遵循以下结构来组织内容：1. 引言：在引言部分，我们将对大数定律进行简要介绍和概述。
我们将说明本文的目的以及为什么大数定律是一个重要的主题。
2. 正文：正文部分将分为两个子部分。
2.1 大数定律的定义和背景：在这一部分，我们将详细介绍大数定律的定义以及相关的背景知识。
我们将探讨大数定律是如何描述随机现象中的规律性，并介绍大数定律的数学表达式和推导过程。
2.2 大数定律的应用和意义：在这一部分，我们将讨论大数定律在实际应用中的意义和重要性。
Ch5-大数定律及中心极限定理
k 1
在一般证明题中，可以取 1 ，只要验证
n
1 B3n
n
E
k 1
Xk
ak
3
n 0
即可 B2n DXk
k=1
CLT与大数定律之关系
大数定律只断定， ＞0，
但不知
P( 1 n
n
n
Xk EXk
k 1
k=1
)
1 lim P( n n
n
Xk
k 1
的具体值。
只要
第一节 大数定律
例：设在具有n个任意开、关的电路试验中，假定在每次试验中，开
或关的概率均为
1 2
，用K表示n次试验中遇到开电的次数，欲使
开关频率
K n
与
1 2
的绝对值之差小于0.01，且要求99%以上的可
靠性保证其实现，试问试验次数n至少多大？
解：这里
=0.01
，
1
1 t2
=99%，解出 t=10
npq 10000.010.99 3.15 ，故
P(5 1000 20) P(4 1000 20)
P(4 np 1000 np 20 np)
npq
npq
npq
P( 4 10 1000 10 20 10)
3.15
3.15
3.15
P(1.9 1000 10 3.17) (3.17) (1.9) 3.15
设｛Xn｝相互独立，且 从强大数定律。
DXn n2
n 1
，则｛Xn｝服
Borel Th
设在Bernoulli试验中，事件A在每次试验中出现 的现概的率次为数p，（则0＜p＜1），nA 表示前 n 次试验中A出
概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理 第一节 大数定律
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90 .
二、大数定律
在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性
例 如 ， 在 n 重 贝 努 力 试 验 中 ， P ( A ) p， 若 n 次 试 验 事 件 A 共 发 生 μ n次 ， 则 μn n 即 为 事 件 A发 生 的 频 率 。
1
n
n
xi
依概率收敛于 即n充分大时， x
1
i 1
n
n
xi
i 1
在切比雪夫不等式中取 0.01 n，则
P (0.74
1
X
0.76)
1
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
0.1875n
2
n D( X )
(0.01n)
2
1
1875 n
0.0001n
一、切贝谢夫不等式
依题意，取 1 解得
n 1875 n 1875 1 0.9 18750 0.9
大数定律与中心极限定理
第一节 大数定律
一、切贝谢夫不等式
一、切贝谢夫不等式
一、切贝谢夫不等式
一、切贝谢夫不等式
一、切贝谢夫不等式
练习 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得 在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76 之间的概率至少为0.90? 解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75) E(X)=0.75n, 所求为满足 的最小的n .
D(X)=0.75*0.25n=0.1875n
第一节 大数定律
i
lim P ( X i X ) 0
i
则称随机变量序列 Xi 依概率收敛于随机变量X。
记作：X i X ,lim X i X ( p),lim X i X
i i P P
一、大数定律基本概念
在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性
1 n 1 n lim P( X n E X n ) 0 lim P( X i EX i ) 0 n n n i 1 n i 1
随机变量序列的算术平均值以概率收敛于 每一项均值的算术平均值
二、几个常见的大数定律
定理1（切贝谢夫大数定律）
设 X1,X2, … , Xn 是相互独立的随机变量序列， 它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤C，i=1,2, …,n， 则对任意ε>0，
lim P ( X n E X n ) 0
n n
lim P ( X n E X n ) 1
则称随机变量序列 Xi 服从大数定律。
一、大数定律基本概念
注意：
1 n 1 n 1 n X n X i E X n E X i EX i n i 1 n i 1 n i 1
2
DX
2
一、大数定律基本概念
例1：已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均 含量为7300，均方差700，利用切贝谢夫不等式估计 每毫升白细胞数量在5200—9400之间的概率。
解：设每毫升血液中白细胞含量为X , EX 7300, DX 7002 P (5200 X 9400) P(5200 7300 X 7300 9400 7300)
产品经理玩转会员数据分析系列之统计学(第1节大数定律)
前言:接下来的时间里，我打算针对数据分析给大家普及一些基础知识以及在工作中经常会用到的数据分析方法和概念，帮助大家一起成长。
因为我们知道，在整个产品经理的职业生涯中，如果你不想永远是一个只画画原型，写写文档的职场菜鸟，就一定需要掌握数据分析的概念和方法，你需要知道在管理产品的不同阶段需要使用哪些数据分析的方法来论证你的判断是否正确？用户是否能够接受？能够为企业带来哪些收益？玩转会员数据分析系列将从结合实际工作的案例来介绍在日常工作中的哪些数据分析方法、概念应该在什么时候使用，通过直白的语言来带领大家走入数据分析领域。
第一章：统计学什么是统计学？统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。
统计学用到了大量的数学及其它学科的专业知识，其应用范围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。
（来自百度百科）了解统计学的意义作为大数据时代炙手可热的学问，统计学可以解决很多实际问题。
只有了解了统计学你才能知道在大数据意义下生存的游戏法则。
一般意义上的统计学包括了：概率学、数理统计学两个部分，它们都是以概率论为基础。
统计学核心定律及概念通过分析数据推断事物的本质，预测它未来的发展，分析数据的第一步就是找出那些看似偶然的发生的事件，背后隐藏着哪些必然性的统计规律。
核心内容第1节：大数定律第2节：中心极限定律第3节：随机抽样第4节：回归分析第5节：常犯的概率学错误第1节：大数定律（整个概率学的基础）什么是大数定律？比如说，我们在学生时代经常会有一些单元测验的考试，对你来说每次考试的分数肯定是会上下浮动的，可能有几次的分数比较高，有几次的分数比较低，但经过了很多次测验以后这些分数应该能够反映你的真实能力了，这就是大数定律定律的主要内涵。
用数学术语来表达就是：当实验次数足够多的时候，实验结果的平均值会无限接近一个数值，这个数值一般叫做“期望值”。
它的意义在于我们可以通过研究概率来看清风险，做出决定，尤其是在理财和投资的时候体现的特别明显。
第一节大数定律PPT资料15页
P
g(Xn,Yn) g(a,b)
[证明]：见教材P 146页下方的小字体
概率统计
二. 贝努利大数定理
定理3. (贝努利定理) 设随机变量 X1,X2, Xn,
相互独立，且同时服从以 p 为参数
的(0 – 1)分布。则对任意正数 有：
limP n
nA p n
1
或
limP n
则对任意的正数 有:
limP n
n 1kn 1Xk
1
辛钦
概率统计
注: 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了
一条实际可行的途径。
请看演示 辛钦大数定律
总的：
大数定律从各个角度描述了样本的算术 平均值的及频率的稳定性 。也为人们习 惯上经常采用的用样本的算术平均值去 代替或 估计其平均值；用频率去代替或 估计其“概率”提供了理论上的依据。
概率统计
指的:是 对P 任意正 有数 lni m P(Yna)1
记为：Y n a
由此，定理2的结论可叙述为：序列
依概率收敛于常数
Xn
1 n
n k1
Xk
▲ 依概率收敛的序列具有如下性质:
P
P
设 Xna, Ynb 又设函数 g ( x, y ) 在点
( a, b ) 处连续，则有：
1 n
n
D(n 1kn1Xk)n12
n
D(Xk)
k1
1 n2
n2
12
n
由切比雪夫不等式可得: (P(XE(X))D(X 2 )
Pn 1kn 1Xk 122n
概率统计
令：n, 并注意到概率 1 , 所以得：
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定义.
引例:设投硬币 n 次, nA 表示出现正面的次数,我们说过,当 n 充分大
时,频率 nA 稳定在 1 附近,即频率稳定于(或“趋近”)概率,是否就是微
n
2
积分中的极限 lim nA 1 呢?
n n 2
不正确!因为无论 n 多么大,仍有可能 nA 1,若取 1 ,则不能找到 N,当
定义:设Xn 为随机变量序列,X 为随机变量,若 0,有
lim P
n
Xn X
0,则称 n 时, Xn 依概率收敛于 X,记为
p
P
lim
n
X
n
X
或
X
n
X
,
定理(切比雪夫大数定律):设Xn 为相互独立的随机变量序列,若
D Xn C (n 1,2,
和方差,则
0
,有
lim
P
n
1 n
n i 1
Xi
0
,(其中
EXi ,i
1, 2
)，
即:样本均值概收敛于期望: X .
定理(伯努利大数定律):设 nA 是 n 重贝努利试验中事件 A 发生的次数,
P A
p,(0
p
1) ,则
0
,有
lim
n
P
nA n
p
0.
证:设 Xi ={第 i 次试验中 A 发生的次数}
则
Xi
1, A发生 0, A不发生
Xi ~ (0,1) ， nA X1 X2
Xn
X1, X2 Xn相互独立,且 E Xi p, D Xi p1 p
变量序列,则
0 ,有
lim
P
n
1 n
n i 1
Xi
0,(其中
E Xi ,i 1,2 n ).即样本均值概收敛于期望: X .(证略).
注:1)定理的主要条件是独立同分布,不要求方差存在
2)由上可知,独立随机变量序列服从大数定理的条件是方差有界或
1 n
n
i 1
X
i
0
,熟知,方差为
0
的
随机变量恒等于它的数学期望,所以当
n
很大时,
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
EX i
;
3).称满足(1)的随机变量序列Xn 服从大数定律.即均值有稳定性的随
机变量序列称为服从大数定律的序列.
推论:设随机变量 X1, X2 , 相互独立,且具有相同的数学期望
Xi
1 n2
n
D
i 1
Xi
C n
(*)
所以
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n
EX i
i 1
C
2n
0
(n
)
，定理得证.
注:1)此定理主要条件是方差有界,直观上说此条件即为误差有界是稳定
的条件;
2)从定理证明的(*)式看出,条件保证了
D
n
3
n>N 时, nA 1 ，但当 n 很大时,事件 nA 1 发生的可能性很小,
n2
n2
例如,上述 nA
n
的概率为
P
nA n
1
P nA
n
1 2
n
0(n )
即意味着:
P
nA n
1 2
0
(n )
同分布.
例:设Xn 相互独立,若
P Xn 3n P Xn 3n 32n2 ,
P
Xn
0
1
2 32n2
,n
1, 2
问此随机变量序列是否服从大数定律?
解:因为 E X n 3n32n2 3n32n2 0 ,
第 5 章.极限定理
第 1 节.大数定律
本节直观说为:1)样本均值概收敛于总体均值(即期望);2)频率概收敛
于概率.实践中人们发现大量重复试验中事件发生的频率稳定于某个常
数,人们也发现,大量测量值的算术平均值也具有稳定性,人们把这种大
量随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定理.与微积
分中讨论类似,我们要证明关于极限的一些结论,必须首先有极限的严格
) ,则
0
,有
lim
P
n
1 n
n i 1
XiLeabharlann 1 nnEX ii 1
0
(1)
即
1 n
n i 1
Xi
P
1 n
n i 1
EX i
.
证:因为
E
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
EX i
D
1 n
n i 1
E
X
2 n
32n 32n2 32n 32n2 2 ,
9
所以 D Xn E
X
2 n
EX n
2
2 9
,
所以服从大数定律.
所以 lim n
P
|
1 n
n i 1
Xi
p
|
0 ，即lim n
P
|
nA n
p
|
0.
此定理表明事件发生的频率 nA 依概率收敛于事件 A 的概率 p.
n
即频率概收敛于概率:
nA
p
P
A
.
n
同分布情况下大数定律:
定理* (辛钦大数定律):设Xn 是相互独立且有相同分布的随机