2.1.2空间两条直线的位置关系(1)
必修2-2.1.2空间两条直线之间的位置关系
β
a
b
α
α
a
思考2：分别在不同平面内的直线是异面直线吗？
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思考1:空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？ 相交直线: 同一平面内，1个公共点； 共面直线 平行直线: 同一平面内，0个公共点；
异面直线: 不同在任何一个平面内，0个公共点。
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2．异面直线 (1)定义：把不同在__________ 任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托)
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平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是__________． 答案：相交或异面
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知识探究（三）：等角定理
思考5:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角的大小有什么关系？
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （两角相等：方向相同或相反）
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思考6:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与 ∠B′A′C′ 相等吗？
A´ C A B C´ B´
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知识探究（四）：异面直线所成的角
b
bˊ
( 0,
o
2
]
aˊ
a
相对倾斜度改变没有？ 没改变
2.1.2空间两条直线的位置关系设计
《空间两条直线的位置关系》教学设计合作一中 耿利军三维教学目标1．知识与能力：（1）理解异面直线的概念；（2）了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的概念；2.过程与方法：能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明。
3．情感、态度、价值观：通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力以及空间想象能力、观察归纳能力、类比推理能力．教学重点 异面直线的概念及异面直线所成的角的概念及异面直线所成的角求法 教学难点 理解异面直线概念，作异面直线所成的角．教学方式 问题引导，操作实验，合作探究，师生互动，计算机辅助教学． 教学过程（一）创设情境 形成概念： 1．提出问题：思考 在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系? 空间中的两条直线呢？ 课件展示学校生活实例，从图片中抽象出空间中直线的位置关系． 让学生观察长方体中线段A 1B 所在直线与线段CC 1所在直线的位置关系如何？2.让学生根据自己的理解选择合适的异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。
引导学生总结出空间中两条直线的三种位置关系并进行分类：①从有无公共点的角度分类：有且仅有一个公共点-------------相交直线共面直线-----------------相交直线②从是否共面的角度分类没有公共点-------------平行直线异面直线异面直线-----------------平行直线3．异面直线的画法：（二）直观感知，操作确认，灵活运用1．试一试：取一块长方形纸片ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点， 2．将纸片沿EF 折起，在空间中直线AD 与BC 的位置关系如何 ?A C1C 1A BADCA'C'B'D'bA C EF2．观察：长方体D C B A ABCD ''''-中，A A B B ''//，A A D D ''// ，B B '与D D '什么关系？3．问题：能否再举出生活中与此相关的实例？学生归纳平行的传递性，得出公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行． 思考公理4的作用：判断两条直线平行的依据．4．公理4的应用，引导学生注意空间图形与平面图形之间的联系与区别例1 如图 ，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．探究：在上例题中，若再加条件AC=BD,会是怎样的四边形? （三）类比推广，探究应用1．提出问题：在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？空间中，结论是否仍然成立？观察: 如图,四棱柱ABCD--A ′B ′C ′D ′ 的底面是平行四边形，∠ADC 与∠A ′D ′C ′, ∠ADC 与∠B ′A ′D ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?BADC A'C'BA DC A'D'C'学生借助长方体观察，与平面时类比并加以推广得出定理：定理 空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 并能用图形、文字、符号三种数学语言的相互转化：空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．⇒''''B A •AB C A AC //,// B A C CAB '''∠=∠或 180='''∠+∠B A C CAB ．2 已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线b b •a a//,//'' ，把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角．（或夹角）注意:①异面直线a 与b 所成的角与O 的选取无关;②将空间角转化为平面角 异面直线夹角的求解过程：3．提出问题：由平面中两条直线垂直的定义，能否类比得到异面直线垂直的定义？ 如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直． 记作：b a ⊥． 归纳：异面直线所成角θ的取值范围：︒︒（，4．探究：（1）在长方体D C B A ABCD ''''-中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？ （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？可以提示学生借助教室、课本等实例观察．平面图形的结论，对于立体图形 有些适用，有些 不适用，注意验证.（四）课堂小结1、异面直线的概念及画法。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课平行直线：同一平面内，没有公共点；AB 异面的有哪些？3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥b=>a ∥cc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案
张喜林制[2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条共面直线直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修
空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。
例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。
三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
1.2.2 空间两条直线的位置关系(1)
判断空间两条直线平行的依据
。
l
注：平行公理适用于所有的空间几何体．
C1
E1
D1
F1
C1
A1
B1
A1
B1
E
D
C
F
C
A
B
A
B
例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC
的中点．
D1
C1
求证：EF∥A1C1．
A1
B1
D
A
E
C F B
问题2
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
不同在任一平面内
公共点个数 有且只有一个
没有
作业：
课本第28页练习1，2，3与31页习题第12题．
D
求证：∠BAC＝∠BAC ．
E
平行公理和空间等角定理
保证了空间的线段和角在 经过平移后，长度和大小 A都保持不变．ABDB
C
E
C
例2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，
A1D1的中点．
求证：∠CEB＝∠C1E1B1．
E1
D1
C1
A1
B1
D E A
C B
练习：
如图EFGH是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的
直线与直线 (平面内)
直线l1与直线l2相交 直线l1与直线l2平行
图形语言 略
符号语言
l1∩l2=A l1∥l2
结合长方体图形，说说空间内的两条直线的位置关系又会
有哪些呢？
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
2.1.2空间两条直线之间的位置关系
课后作业：
D
R C P D 1
课本第48页练习第2题。
补充： 1、空间四边形ABCD中，PR分别 A 是AB、CD的中点，且PR= 3 ， AC=BD=2，求AC与BD所成的角。 2、正方体ABCD—A1B1C1D1中， M为AB的中点，N为BB1的中点，
B
C 1 B1
A1
求A1M与C1N所成角的余弦值。
D1
方法归纳： 平移法
O1 C1 即根据定义，以“运动”的观
A1
B1
M
b
点，用“平移转化”的方法， 使之成为相交直线所成的角。
c
D
a
C B
A
CA1
BD1
cc1
D1 A1
O
C1 B1
N
D A B
C
解法三： 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有 公共面BC1的长方体B1F.
连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)， D1 C1 F1
练习（1）空间四边形的两条对角线相等，顺次连接四 边形中点所成的四边形一定为 （2）空间四边形ABCD中E,F,G分别为AB,AD,BC中点 M,N为对角线AC,BD中点，若∠EFM=,则∠DNG=
第二课时：异面直线所成角的定义及相关问题
1.异面直线的判定方法： (1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.
B H F C D
（解法二）
A G H
E
B
D F C
R
练习：在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成 的角为400 , E , F 分别是BC , A Ｄ的中点，则EF与AB 所成的角为（ ） Ｃ A.700 B.200 C.700或200 D.以上都不对
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
两条直线的位置关系 思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
2013-1-29 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 2
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何？
2013-1-29
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
A'
A'
B
D
A
D
A
∠ADC=∠A′D′C′
2013-1-29
∠ADC+∠B′A′D′=1800
17
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
思考3 如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明 ∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？ C´ E´ A´ B´ D´ C E A
两条直线的位置关系 1.定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
a
a b
b
2.异面直线的图示
2013-1-29 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
两条直线的位置关系 1.定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线. 2.如何画异面直线
高一数学必修二2.1.2空间中直线与直线的位置关系导学案(解析版)
2.1.2空间中直线与直线的位置关系一、课标解读（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
二、自学导引问题1、观察长方体模型，归纳空间中两条直线的关系：异面直线：1、定义2、异面直线的画法问题2：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？公理4：问题3：思考教材P47的思考题，∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？等角定理：异面直线所成的角：三、合作探究1、如何理解异面直线的定义？2、求异面直线所成的角的步骤？四、典例精析例1 如图所示，已知E,F,G,H 分别为空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点,求证： （1）E,F,G,H 四点共面（2）若四边形EFGH 是矩形；求证：AC ⊥BD变式训练1.已知11111,D C B A ABCD E E -分别是正方体的棱11,D A AD 的中点，求证： E E 1‖B B 1例2 如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，的中点分别是1111,,C B B A N M .问：（1）理由是否是异面直线？说明和CN AM （2）理由是否是异面直线？说明和11CC B D变式训练 2 如图所示，分别是是异面直线，F E b D C a B A b a ,,,,,,∈∈线段，的中点，和BD AC 的结论的位置关系，并证明你和、和判断b EF a EF .例3 如图所示，正方体1AC 中，的中点，、分别是1111,C B B A F E 求异面直线1DB 与EF 所成角的大小.变式训练3 正方体1111D C B A ABCD -，求所成的角与111D B B AABCDD 1C 1B 1 A 1MN五、自主反馈1、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是( ) A 、2对 B 、3对 C 、6对D 、12对2、过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不过该点的直线是( ) A 、平行线 B 、相交直线 C 、异面直线D 、互相垂直的相交直线 3、平面与平面相交，直线a，直线b，则这三个命题中，不正确的命题个数是( )①a 、b 必为异面直线 ②a 、b 必为平行直线③a 、b 必为相交直线 A 、0B 、1C 、2D 、34、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面对角线中，与AD 1成60°角的有( ) A 、4条 B 、6条 C 、8条D 、10条5、异面直线a 、b 成60°角，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围是( ) A 、［30°，90°］B 、［60°，90°］C 、［60°，120°］D 、［30°，120°］6、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和B1C1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是： A 、23 B 、1010C 、53 D 、54答案2.1.2 空间中直线与直线的位置关系 例1 证明：（1）在中ABD ∆,//,,BD EH AD AB H E ∴的中点，分别是 四点共面同理H G F E FG EH BD FG ,,,,//,//∴∴（2）由（1）知GH AC BD EH //,//同理,GH EH EFGH ⊥∴是矩形，四边形又BD AC ⊥∴例2 （1）不是异面直线，理由：111111//,,C A MN C B B A N M ∴的中点，分别是 C C A A C C D D D D A A 111111//,//,//=∴==而又 AC C A ACC A //1111∴∴是平行四边形四边形 在同一个平面内得到C N M A AC MN ,,,,//∴不是异面直线和CN AM ∴（2）是异面直线，证明略例3 解：连接1111,D B C A ,点，设它们相交于O 1111//,//,,C A EF D B OG OG G DD 则连接的中点取 所成的角或补角与为异面直线EF DB GOA 11∠∴ 111111,C A GO C A O GC GA ⊥∴=的中点，为 901所成的角为与异面直线EF DB ∴变式训练 1. 略2.证明：假设α共面，设为和a EFααα∈∴⊂⊂F E B A a EF ,,,,,则,,αα⊂⊂∴AE BF ,,BF D AE C ∈∈ 又共面，从而b a b D C ,,,αα∈∴∈∴假设不成立这与题设矛盾，∴∴EF与a是异面直线603.自主反馈答案1. C；2、C；3、D；4、C；5、A ；6、D。
空间中直线与直线之间的位置关系
与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
√ （与2直）线那直线垂B么A直′和. 这CC′的两夹角是组多少直？ 线所成的锐角（或直角）相等.（
）
同理，FG∥BD，且FG= BD.
理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
=
5+5-4 2× 5×
5
=
3 5
.
F E
5.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB=2 3 ,AD=2 3 , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?
H
G
E
2 2 3D
A
23
F C
B
解答：
(1)因为GF∥BC， 所以∠EGF（或其补角）为所求. H
(4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
相交 异面
问题探究
例2在如图同，已一知正方平体A面BCD内－A′B，′C′D′.如果两条直线都与第三条直线平行，那
有且仅有一个公共点——相交直线
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.
么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？ 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
证明：连接BD. 因为 EH是△ABD的中位线， 所以EH∥BD,且EH=1 BD.
21 同理，FG∥BD，且FG= BD.
2 因为EH∥FG，且EH =FG，
A
H
E
D G
B
F
C
所以四边形EFGH是平行四边形.
[拓展1] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为 菱形 . [拓展2] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为 矩形 . [拓展3] 若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH 为 正方形 . (以上三个问题你会证明吗？不妨一试)
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
②垂直于同一条直线的两条直线平行。
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。
④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(1)
如图所示：正方体的棱所在 的直线中，与直线A1B异面的 有哪些？ 答案 ： D1 C1
A1 B1 D A B C
D1C1、C1C、CD
D1D、 AD、 B1C1
练习：课本探究题
6
平行公理 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
a//b 即:a、b、c为直线，则 a // c c//b 注：
1、直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c
2、公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性
3、证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法
7
例2：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四 边形EFGH是平行四边形.
M
C P D 1 B B 1
N
A
C 1
A 1 图（1）
11
练习
1. 若两直线a和b没有公共点，
则a与b的位置关系________________． 2. 直线a和b分别是长方体的两个相邻的面
的对角线所在直线，则a和b的位置关系
是______________．
12
3. 判断正误： ①若a、b，则a、b为异面直线 .
A
H
变式：如果再加上 条件AC=BD，那 么四边形EFGH是 什么图形？
E
D
G B F C
8
平行公理 练习：四边形ABCD是空间四边形，E、H分 别是AB，AD的中点 ，F、G分别是CB， CD上的点，且
CF CG 2 CB CD 3
A
求证：四边形EFGH是梯形
H E D G B F C
2.1.2两条直线的位置关系七年级数学下册同步精品课堂(北师版) (1)
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 无数条
讲授新课
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
1.放
B
2.靠
3.移
4.画
l
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条
讲授新课
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操
作，你能得
1.放
出什么结论
2.靠
A
3.移
4.画
l
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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讲授新课
总结归纳 垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
数学（北师大版）
七年级 下册
第二章 相交线与平行线
2.1.2两条直线的位置关系（2）
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点 到直线的距离的概念； 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决 实际问题.
导入新课
同一平面上的两条直线有什么位置关系?
a
b
平行
a b
相交
导入新课
高中人教版必修2数学课件第二章2.1.2精选ppt课件
() A．2 对
B．3 对
C．6 对
D．12 对
解析：选 C.如图所示，在长方体 AC1 中，与对角线 AC1 成异面 直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以 组成 6 对异面直线．
3．如图，点 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中 点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形是________．
(1)判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分，除了 平面几何中常用的判断方法以外，公理 4 也是判断两直线平行的 重要依据． (2)证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也 可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等 角定理时，应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．
(2)异面直线所成的角 两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的， 由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们所 成的角的大小也就随之确定了．
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案：D
2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
章 点、直线、面之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.会判断空间两直线的位置关系． 2.理解两异面直线的 定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理 4 解决一些简单的相关问题．
1．空间直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：把不同在_任__何__一__个__平面内的两条直线叫做异面直线． ②画法：(通常用平面衬托)
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCD-A1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
2.1.2 空间中直线与直线的位置关系
3: 1) ( 定义中体现了什么样的数学思想? (将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹 角, 实现了空间问题向平面问题的转化, 使平面几何与立体 几何建立了联系, 体现了转化与化归的思想)
(2) ”的选取有什么技巧吗? “O (a与 b所成角的大小与点 O 的位置无关, 为了简便, O 点 常取在两条异面直线中的一条上. 例如取在直线 b上, 然 后过点 O 作直线 a' ∥a, 与 b所成的锐角( a' 或直角) 即为异 面直线 a与 b所成的角)
公理 4及等角定理的应用
【例 2】 在正方体 AB C D A 1B 1C 1D 1中, 、Q 、M 、N 分别为 AD 、 P AB、 1D 1、 1C 1的中点, C B 求证: 1P ∥C N , 1Q ∥C M , A A 且∠P A 1Q =∠M C N .
证明: A 1B 1的中点 K , 取 连接 B K、K M . 易知四边形 M K BC 为平行 四边形. ∴C M ∥B K. 又∵A 1K∥B Q 且 A 1K =B Q , ∴四边形 A 1K B Q 为平行四边形, ∴A 1Q ∥B K , 由公理 4有 A 1Q ∥CM , 同理可证 A 1P ∥C N , 由于∠P A 1Q 与∠M CN 对应边分别平行, 且方向相反, ∴∠P A 1Q =∠M C N .
������ ������ 在 Rt △M H E 中, M =1, H = E F = , E E „„„„„„„„„„( 8分) ������ ������ ������ 则 si n∠E M H = , 于是∠E M H =60° , ������
则∠E M F =2∠E M H =120° . „„„„„„„„„„„„„„( 10分) 所以异面直线 AD 、 C 所成的角为∠E M F 的补角, B 即异面直线 AD 、 B C 所成的角为 60° . „„„„„„„„„„„„„„„„„( 12分)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(夹角)
直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角， 叫做l1到l2的角.
5
3、直线 l1与 l2 的夹角定义:
两直线斜交时，其中的锐角叫做两条直线的夹角.
α 的范围:(00，900 ]
直线l1和直线l2的夹角公式
tan k2 k1
1 k2k1
6
练习1
求直线L1
：y＝
1 2
tan A1B2 A2B1
A1 A2 B1B2
13
1 求下列直线L1到L2的角及L2到L1的角：
（1）L1: y=x/2 + 1
L2: y=3x+10
（2）L1: x-y=3
L2: x+2y-2=0
2 求下列两条直线的夹角：
（1）L1: 5x-3y=8
L2: 6x+10y+9=0
（2）L1: x-y=4
直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角， 叫做l1到l2的角.
1>0, 2>0 ,且1+2= θ 的范围：(00，1800)
2 1
l2
l1
3
l1
y l2 l1
y
l2
1 2
2 1
o (1)
xo
x
(2)
l1
4
2、直线l1到直线l2的角的公式
tan k2 k1
练习3求直线L经过点P(1,0),且和直 线 3x+y- 3 =0的夹角等于30°，则直线 L的方程是_____________.
练习：求过点P（-5,3）且与直线x+2y-3=0的 夹角为arctan2的直线l的方程.
8
3x y 3 0
《空间直线》课件1 (北师大版必修2)
３、两条直线不相交是这两条直线异面的 ４、两条直线不平行是这两条直线异面的 ５、下列命题中，其中正确的是
条件 条件
（１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行 （２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行 （３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 （４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行
A F D B G E H c
例2、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ 分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、 ＣＦ ＣＤ上的点，且 ＝ ＣＧ ＝ ２ 。 ３ ＣＢ ＣＤ 求证：四边形ＥＦＧＨ有一组对边平行但不相等
A E D B F H G c
例3、如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分 别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。 求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ １ＡＣ ３
②从是否共面的角度
公理４
平行同一条直线的两条直线互相平行
Ｐ
Ｄ Ａ Ｍ
Ｅ Ｃ Ｎ Ｂ
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（
Ａ、平行 Ｃ、异面 Ｂ、相交 Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面
）
２、两条异面直线指的是（
Ａ、没有公共点的两条直线
）
Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直 线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
６、三个平面两两相交，所得的三条交线（
Ａ、交于一点 Ｂቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ互相平行
）
Ｃ、有两条平行
Ｄ、或交于一点或互相平行
小结
空间直线
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线 平行直线 没有公共点--------异面直线 不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线
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E
练习.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则： (1)AA1与C1D1所成的角的度数为________. (2)AA1与B1C所成的角的度数为________. (3)A1B与B1C所成的角的度数为________.
例2、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.
D
ADC ADC
C
A
B
ADC ABC 180
等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补.
D
A B
E
C
A1
D1 E1 C1
B1
推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
空间直线（二）
空间两直线的 空间直线位置关系 位置关系
复习回顾:
1.平面内两条直线位置关系有几种? 分别是什么位置关系?
a b
a b
问题一：如右图所示
有平行的直线吗？哪些是？
有相交的直线吗？哪些是？
A1
D1
B1
C1
C
D
A
B
问题二、直线AA1和直线 C1D1平行吗？相 交吗？
问题三、你还能找出那些异面直线？
思考
练习4、下图是一个正方体的展开图，如果将它 还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 3 对。
C G
A
G(C )
E
B
A D F ( B)
D
H E
H
F
直线EF和直线HG
直线AB和直线HG
直线AB和直线CD
问题四、如图，长方体ABCD-A‘B’C‘D’中， BB‘//AA’,DD‘//AA’,那么BB‘与DD’有何关系？
D1
A1
C1 B1 a
D
A
C
3a
B
a
思考4、如何求异面直线所成角？
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
例 3、如图，P 是平面 ABC 外一点，PA＝4，BC＝2 5，D，E 分别为 PC 和 AB 的中点，且 DE＝3.求异面直线 PA 和 BC 所 成角的大小．
3、a与b是异面直线，b与c是异面直线， 则a与c是异面直线； 4、a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面
练习2、(1)在如图所示的正方体中，指出 哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
D1 A1 B1 C1
D A
C
B
⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？
D
C
B
A
D
C
A
问题五、你有何发现？
B
例题分析 ：
例１．如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知Ｅ，Ｆ分别是AB , BC 的中点， D 1 求证：ＥＦ∥Ａ1C1
A1 D A
●
C1 B1
●
C
F
E
B
例2 如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边 A 形EFGH是平行四边形.
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b
a
a
M
b
a
b
a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
b a
(1)
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
A
如图：
a
b
(3)
a
b
(2)
请同学们思考一下，空间的两条 直线的位置关系有哪些呢？
空间两条直线的位置关系：
按是否在 同一平面内分
相交直线 共面直线 平行直线 异面直线
有一个公共点: 相交直线
按公共点个数分 无公共点
平行直线 异面直线
练习1：判断对错 1、分别在两个平面内的两条直线一定是
异面直线；
2、a , b , 则a、b一定异面；
问题1、如何刻画两条相交直线？
问题2、如何刻画两条平行直线？
问题3、如何刻画两条异面直线？
异面直线所成的角
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直 线a`//a, b`//b，我们把a`与b`所成的锐角（或直角） 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
b
b
a
O
b
a
O
a a
思考1、作异面直线所成角，与选取的点有关吗？
思考2、若平移后，两异面直线所成角为90°， 那么异面直线a、b有何关系？
如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这 两条直线相互垂直．
b
a
a b. 记作：
思考3、异面直线所成角的范围如何？
例1、如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE 的中心，求 （1）哪些棱所在直线与直线BE是异面直线 (2)BE与CG所成的角。 （3）哪些棱所在直线与AE垂直？
练习、四面体A－BCD中，AB＝CD，AB与CD成30° 角，E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的 角．
思考5、异面直线之间有没有距离？
思考6、直线AA1与异面直线AB、A1D1有何 关系？
思考5、能否给异面直线间的距离下个 定义？
课时小结
1、空间直线的位置关系 2、异面直线 定义： 成角： 距离：
D1
A1
M
B1
C1
N
D A
B
C
练习3、已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个 命题： ①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是异面直 线，b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；③如 果a，b是相交直线，b，c是相交直线，那么a，c也是 相交直线；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也 共面． 在上述命题中，正确命题的个数是( ) A．0 B． 1 C．2 D．3
H E D
G B
F
C
变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形 EFGH是什么图形？
问题6、在平面上，如果一个角的两边和另一个角 的两边分别平行，那么这两个角有何关系.
A O P F C B D E
Q
问题7、空间中，该结论是否仍然成立？
ADC 与ADC， 在长方体 ABCD ABCD 中， ADC 与ABC ，的两对边分别对应平行，这两组角 的大小关系如何？ D C B A