让学生自主引入认知冲突

让学生自主引入认知冲突，引发思维碰撞
汨罗四中湛灿云
在学生的内部认知结构中，刚刚获取若干知识点与整个系统的联系往往只处于松散状态，在这些新知识点（群）之间并未形成有效联通。

这就必然引起学生的某些认知迷惘和混乱，但并不意味着学生发现了问题，而只能说学生意识到问题的存在。

要成功跨越这一认知迷惘阶段，就必须由学生自我准确地诊断出问题出在哪里，问题的本质是什么。

要实现这一目标，往往需要知识点（群）互相碰撞。

通过知识碰撞，引发出能暴露问题本质的各种信息数据，再由学生自主完成信息数据的收集、整理、分析，把问题的本质反映出来，进而实现知识点（群）之间联通。

这就是一个认知冲突的自主引入过程，其主体是学生。

研究发现，在以学生为主体的认知冲突自主引入的过程中，“数”与“形”、思维方式方法、“点”与“面”的相互碰撞起着关键作用。

一、“数形”碰撞
“数形”碰撞是帮助学生实现自主的知识碰撞的重要教学技巧。

研究表明，基于“形”的具体形象特征，“形”的碰撞往往发生在“数”（隐藏在“形”后的规律）的碰撞之前，而“形”的碰撞往往能诱发出“数”的碰撞。

因此对学生而言，“数形”碰撞是实现知识有效碰撞的一种重要的探究问题的手段。

在实践中，可以分为“形”碰撞和“数”碰撞两个环节。

例如对于以下两个知识点：
A、如果向量a与向量b互相垂直，并且向量a=（x
1，y
1
），b=
（x
2，y
2
），那么a•b=0.
B、如果直线l
1
与直线l
2
互相垂直，并且斜率存在，分别是k
1
、
k
2，那么k
1
×k
2
=-1.
1、以“线”为纽带诱发“形”碰撞
向量（有向线段）的图形与定义，跟直线有相通之处：都是线，而现在两者均是线与线的垂直关系，那么其中规律是否也相通？
2、以“形”碰撞导出“数”碰撞
学生在向量与直线的图形相通（垂直关系）的启发下，自主地沿着图形的相通去深入思考，在自我思维空间主动地让两个知识点产生碰撞，从而引发出一连串问题：
问题1、这两个知识点均涉及垂直问题，其“形”相通，那么其“数”即内
在规律——“a•b=0”和“k
1×k
2
=-1”又有什么联系？
问题2、向量与直线的图形既然有相通之处，那么直线的倾斜角和斜率知识能否应用于向量？
问题3、除垂直外，向量与直线还有哪些方面（如平行）相通？
这种由“形”及“数”的知识碰撞就形成认知冲突，这些问题就是知识碰撞所产生的火花。

在问题的引导和启发下，学生探索出：对于向量a =（x 1，y 1）和
向量b =（x 2，y 2），当x 1，y 1，x 2，y 2均不为0时，其斜率分别为：111x y k =， 2
22x y k =。

根据知识点Ｂ：k 1×k 2=-1，得出12
211-=⨯x y x y ，即02121=+y y x x ，也就是说，当向量a 与向量b 互相垂直，其内积为0。

同样道理，对于向量平行，直线的斜率相等规律也能适用。

通过知识碰撞，实现了从“图形相通”向“本质相通”的飞跃。

而学生的内部知识结构，随着知识点之间的不断联通，整个认知结构也会发生变化，这种变化会促使学生的数学思维变得更流畅、更严谨和更敏捷。

二、思维方式方法碰撞
不同的学生对于同一个知识点的理解角度、思维方式、深度、广度等方面往往存在差异，这种差异对实现学生的思维碰撞极为有利。

某些深层次的问题往往就能在积极的思维碰撞中浮现出来。

在教学中，老师应为实现学生的思维碰撞创造机遇，积极引导学生自主地把自己的思考方法、策略、对问题的见解与别人交流，让学生从思维的交流中发现各自的不同（产生碰撞），并自主分析产生不同的原因，把其中的深层次带有规律性的问题发现出来。

在实践中，思维碰撞可分为三个环节：1、思维展示；2、思维方法的差异比较（思维碰撞）；3、对碰撞所引发的信息回收及分析。

例如，对于等差数列问题：1+2+3+……98+99+100=？的教学，我们进行以下实验：
1、思维展示
在课堂上，学生产生出两种思维方法：
方法1：对于 S=1+2+3+……98+99+100，也可以写成S=100+99+98+……+3+2+1，把这两个式子相加，会发现：1+100，2+99，3+98，4+97……它们的和都是101，
共可以组成100个式子，所以2S=（1+100）×100 故S=50502
100)1001(=⨯+. 方法2：第一项1与倒数第一项100之和、第二项2与倒数第二项99之和、第三项3与倒数第三项98之和……均为101，于是同样得出方法1的结果。

2、思维方法差异比较（思维碰撞）
这两种思维有相通之处，都算出正确结果。

但也有不同，第一种思维必然引伸出等差数列的求和方法：2
)
(1n a a n +，要特别注意的是，这里作为分母“2”的分子是整个
)(1n a a n +。

第二种思维必然引伸出另一种方法：
2)(1n a a n ⨯+。

这里作为分母“2”的分子是n 。

这种由分母带来的表达式差
异使思维方法差异更清晰地暴露出来。

3、信息回收与分析
思维碰撞，就是要引发碰撞的火花，这种碰撞火花往往预示着，在学生的认知结构中产生出新信息（新知识），这正是思维碰撞的成果。

应让学生学会回收与分析信息。

在上述问题中，学生的第一种对于n 的奇偶问题，均容易理解；而第二
种在数列项数是奇数的情况下，如何理解有2
n 个)(1n a a +式子相加？通过信息回收，学生认识到，2
)(1n a a n ⨯+能反映等差数列的求和一般规律，也就是说，一个新的知识在学生的认知结构生成了。

同时，通过对信息的深入分析，
2
)(1n a a n ⨯+在思维上的局限性也暴露出来了。

但这种局限只是相对这一阶段的学生而言的，当学生在深入探究等差数列：a 1 ，2a ， 3a ，……，n a ，就能发现，当n 是奇数时，有中间项，并且等于21n a a +，也就是说，中间项可以理解为21个)(1n a a +，这一理解就可以为2)(1n
a a n ⨯+中的2
n 自圆其说，而其局限性就被打破了。

如果在这一阶段，上述的局限性没有被暴露出来，让这一局限性潜藏在学生的思维中，学生在以后的学习（如数学归纳法和二项式定理）就会产生认知模糊。

例如，n
b a )(+展开后的二项式系数最大值问题，就往往要讨论n 的奇偶和中间项问题，如果在等差数列的学习阶段不打破这一局限，那么这一局限就会延伸至此。

三、点面碰撞
在探究性学习当中，学生所探究的问题（外部知识）往往比较复杂抽象，如何引导学生主动进入问题所处的外部知识环境当中进行探究？研究发现，点面碰撞是一种可行的方法。

所谓点面碰撞，就是学生根据问题和自我内在知识结构特点，创造性地设计出若干个知识点，与“面”——问题所处的外部知识环境碰撞，积极回收碰撞所引发的各种信息，对这些信息进行分析和加工，使问题的本质暴露出来。

点面碰撞有以下三个关键环节：一是 “点”的创设；二是以点带面，求索引证。

例如，已知全集U 是全体自然数，子集A={x|x=2n ，n ∈N}，子集B={x|x=4n ，n ∈N}，那么以下关系正确的是：
（A ） B A U
⋃= （B ）B A C U u ⋃= （C ）B C A U u ⋃= （D ）B C A C U u u ⋃=
这是考察集合关系（子集、补集）问题。

1、设“点”
实验课中，教师引导学生根据外部问题和内在知识结构特点设计出如下的“点”：设全集U={1，2，3，4}，则A={2，4}，B={4}。

学生通过自主进行点的创设，就能较好地体验到从特殊迈向一般的认知规律。

2、点面碰撞
让学生以特例对选择项逐一试验：
对于选择项（A ），A ∪B={2，4}∪{4}={2，4}，即U ≠A ∪B ；
对于选择项（B ），B A C u ⋃={1，3}∪{4}={1，3，4}，即U ≠B A C u ⋃； 对于选择项（C ），
B C A u ⋃={2，4}∪{1，2，3}={1，2，3，4}，即U=B C A u ⋃；
对于选择项（D ），B C A C u u ⋃={1，3}∪{1，2，3}={1，2，3}，即U ≠B C A C u u ⋃.
因此，根据排除法，答案是C 。

进而以点带面，把思维由“点”向整个“面”延伸——对于集合A={x|x=2n ，n ∈N}和B={x|x=4n ，n ∈N}，其内在联系与A={2，4}和B={4}有什么相通之处？这样，就能从“点”的对比（A={2，4}与B={4}的子集关系）当中发现A={x|x=2n ，n ∈N}与B={x|x=4n ，n ∈N}的内在联系，从而认识到全集U 、集合A 、B 与集合B C u 、A C u 的关系，从点及面地得出正确答案。