1.2逻辑联结词或且非
逻辑联结词“或”、“且”、“非”-高中数学知识点讲解
逻辑联结词“或”、“且”、“非”1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命题．例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是pⅤq 的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或q 表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p 真q 假②q 真p 假③p 真q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q 或r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p 和命题q 连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p 且q”．规定：当p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且q 表示两个简单命题两个都成立，就是p 真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定．规定：若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p ￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p 或q”、“p 且q”的否定分别是“非p 且非q”和“非p 或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p 与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．。
1.2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”(课件)
１.２.１ ２１
逻辑联结词
“非”、“且”、“或”
下列语句哪些是命题， 问１.下列语句哪些是命题，哪些不是命 下列语句哪些是命题 并说明理由。 题？并说明理由。 (5) 向抗“非典”的白 向抗“非典” (1) 0.5是整数 是整数 战士致敬！ 衣 战士致敬！ (2) 3是12的约数 是 的约数 (6) 这是一棵大树 (3) 12>5 关键在于是否
下列语句是命题吗？ 问２.下列语句是命题吗？如果是命题，则与前 下列语句是命题吗 如果是命题， 面的命题(1)(2)(3)在结构上有什么区别？ 在结构上有什么区别？ 面的命题 在结构上有什么区别 （8） 0.5是非整数 （9） 菱形的对角线互相垂直且平分 （10）10可以被2或5整除 (1) 0.5是整数 是整数 (2) 3是12的约数 是 的约数 “非”、“且”、“或”这些词就叫做逻辑 (3)12>5 联结词。
练２
２.联结词“且”（and） 联结词“ and） 一般地，用联结词“且”把命题 和 q 联结起来，就得到一个新命题， 命题 q ”. 记作 p ∧ q ，读作“p 且 例如：如果 P : x＞3, q : x＜ 5，那么p ∧ q : 3＜x＜ 5.
p
思考： 思考：如何判 例２.根据下列命题中的p，q ，写出命题 p ∧ q 。 定 p ∧ q 命题 的真假？ 的真假？ （１）p：矩形的对角线互相平分， q：矩形的对角线互相垂直； （２）p： 2 是无理数，q： 2 大于1 解： (1) p ∧ q : 矩形的对角线互相垂直且平分 (2) p ∧ q : 2 是大于1的无理数。
当p，q 两个命题中有一个命题是真命题 时， p∨q是真命题；当p ，q 两个命题都是 假命题时，p∨q 是假命题. p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假
简单的逻辑联结词一或且非
“非”在日常生活中的运用
1 2
决策制定
在决策过程中，人们经常使用“非”来否定某个 选项或观点，以缩小选择范围或排除不合适的方 案。
判断与评价
在评价事物或人时，人们使用“非”来否定某种 不良属性或行为，以强调其正面特质或价值。
3
逻辑推理
在逻辑推理中，“非”常用于否定某个假设或前 提，从而推导出相反的结论或验证某个假设的错 误。
简单的逻辑联结词一 或且非
目录
• “或”的逻辑 • “且”的逻辑 • “非”的逻辑 • 逻辑联结词的综合应用
01
“或”的逻辑
“或”的定义
“或”表示两个命题中至少有一个为 真，则该复合命题为真。
在逻辑中，“或”可以表示为符号 “∨”。
“或”的逻辑性质
交换律
01
P ∨ Q 和 Q ∨ P 是等价的。
“且”的定义
“且”是逻辑联结词中的一种，表示两个命题同时成立。
在逻辑学中，“且”通常用符号“∧”表示，用于连接两个命题。
“且”的逻辑性质
传递性
如果命题A和命题B都为真，那么命题A∧B也为真。
反身性
任何命题P与自身相“且”，结果都为真，即P∧P为真。
交换律
A∧B与B∧A等价。
结合律
A∧(B∧C)等价于(A∧B)∧C。
不确定性推理
逻辑联结词可以用于描述概率和不确定性，例如“P 或 Q”可以表示 P 和 Q 都发生的概率之和。
逻辑联结词在计算机科学中的应用
01
编程语言
02
数据库查询
逻辑联结词在许多编程语言中都有应 用，如 C、Java 和 Python 等。它们 用于控制程序流程，如条件语句和循 环语句。
在数据库查询语言中，逻辑联结词用 于连接多个条件，形成复杂的查询语 句。例如，使用 AND 和 OR 联结多 个查询条件。
知识讲解_逻辑联接词“且”“或”“非”
简单的逻辑联结词【要点梳理】要点一：逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题； 当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题． 要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p q ∧的真与假．2．与集合中的交集类比交集{|}A B x x A x B =∈∈I 且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念． 要点二：逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”． 规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义．若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p q ∨的真与假．2．与集合中的并集类比并集{|}A B x x A x B =∈∈U 或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念． 3．“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：qp（1）p 成立且q 不成立； （2）p 不成立但q 成立； （3）p 成立且q 也成立．要点三：逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p ”或“p 的否定”． 规定：当p 是真命题时，p ⌝必定是假命题； 当p 是假命题时，p ⌝必定是真命题． 要点诠释：1．逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论 “非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究．2．下面是一些常用词的否定：注意：“一定”的否定不是“一定不”． 3．否命题与命题的否定之间的区别：否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即p ⌝．如：命题p ： 若1x =，则(1)(1)0x x -+=． 命题p 的否命题：若1x =/，则(1)(1)0x x -+=/． 命题p 的否定p ⌝：若1x =，则(1)(1)0x x -+=/． 4．“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p 或q ”的否定⇔p ⌝且q ⌝； “p 且q ”的否定⇔p ⌝或q ⌝. 要点四：简单命题与复合命题 1. 定义：简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或” “且” “非”构成的命题叫做复合命题． 2. 复合命题的构成形式： （1）p 或q ；记作：p q ∨； （2）p 且q ；记作：p q ∧；（3）非p （即命题p 的否定）；记作：p ⌝. 3.复合命题的真假判断要点诠释：1. 当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；2. 当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；3. “非p ”与p 的真假相反．【典型例题】类型一：复合命题的构成例1．分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题． （1）李明是老师，赵山也是老师； （2）1是合数或质数； （3）他是运动员兼教练员.【思路分析】观察命题结构，判断其中是否还有“或” “且” “非”等联结词或相似含义的联结词，利用“或” “且” “非”的概念对复合命题进行结构分解. 【解析】（1）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：李明是老师，q ：赵山是老师． （2）这个命题是“p 或q ”形式，其中p ：1是合数， q ：1是质数． （3）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：他是运动员，q ：他是教练员．【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的含义是解题的关键．根据上述各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式．举一反三：【高清课堂：简单的逻辑联结词395484例1】 【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题： （1）p ： 平行四边形的对角线互相平分， q ：平行四边形的对角线相等； （2）p ： 集合A 是A B I 的子集， q ：集合A 是A B U 的子集； （3）p ： 211x +≥， q ：34>． 【答案】（1）p q ∧：平行四边形的对角线互相平分且相等； （2）p q ∧：集合A 是A I B 的子集，且是A U B 的子集； （3）p q ∧：211x +≥，且34>．【变式2】判断下列复合命题的形式，并写出构成其的简单命题 （1）1是奇数或偶数； （2）梯形不是平行四边形； （3）2是偶数也是质数． 【答案】（1）p 或q 的形式，其中p ：1是奇数， q ：1是偶数； （2）非p 的形式， 其中p ：梯形是平行四边形；（3）p 且q 的形式，其中p ：2是偶数， q ：2是质数．例2．判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或” “且” “非”，若含有，请指出其中p q 、的基本命题． （1）正方形的对角线垂直相等； （2）2是4和6的约数；（3）不等式2560x x -+>的解为32x x ><或； （4）平行四边形的对角线不一定相等. 【解析】（1）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：正方形的对角线互相垂直；q ：正方形的对角线相等． （2）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数； q ：2是6的约数． （3）是简单命题，而不是用“或” “且” “非”联结的复合命题； （3）是“非p ”形式的命题，其中p ：平行四边形的对角线一定相等.【总结升华】对于用逻辑联结词“或” “且” “非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．举一反三：【变式】指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题． (1) 菱形的对角线互相垂直平分；（3）6是12或18的约数． 【答案】（1）p 且q 的形式，其中p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形对角线互相平分；（2）非p 的形式，其中p（3）p 或q 的形式，其中p ：6是12的约数，q ：6是18的约数． 类型二：复合命题真假的判定例3．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假． （1）8或6都是30的约数； （2）矩形的对角线互相垂直平分； （3）方程210x x ++=无实根.【思路点拨】将复合命题写成“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”的形式，并一一判断p ，q 的真假，再由真值表判断复合命题的真假.【解析】（1）“p 或q ”形式．其中p ：8是30的约数， q ：6是30的约数， ∵p 假q 真，∴该复合命题为真．（2）“p 且q ”形式．其中p ：矩形的对角线互相垂直，q ：矩形的对角线互相平分， ∵p 假q 真，∴该复合命题为假．（3）“非p ”形式．其中p ： 方程210x x ++=有实根，∵p 假，∴该复合命题为真．【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，最后判断复合命题的真假．举一反三：【变式1】已知命题p 、q ，试写出p 或q 、p 且q 、非p 的形式的命题并判断真假． （1）p ：平行四边形的一组对边平行， q ：平行四边形的一组对边相等； （2）p ：2{1,3,5,7}∈， q ：2{2,4,6,8}∈； （3）p ：1{12}∈，， q ：{1}⊆{12}，； （4）p ：2{|1}x x ∅=<， q ：∅◊2{|1}x x <； （5）p ：34<， q ：34=． 【答案】（1） p 或q ：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；p 且q ：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）； 非p ： 平行四边形的一组对边不平行（假命题）．（2） p 或q ：2{1,3,5,7}∈或2{2,4,6,8}∈，即2{1,2,3,4,5,6,7,8}∈（真命题）；p 且q ：2{1,3,5,7}∈且2{2,4,6,8}∈（假命题）； 非p ： 2{1,3,5,7}∈/（真命题）. （3） p 或q ：1{12}∈，或{1}⊆{12}，（真命题）； p 且q ：1{12}∈，且{1}⊆{12}，（真命题）； 非p ： 1{12}∈/，（假命题）. （4） p 或q ：2{|1}x x ∅=<或∅◊2{|1}x x <，即2{|1}x x ∅⊆< （真命题）；p 且q ：2{|1}x x ∅=<且∅◊2{|1}x x <（假命题）； 非p ： 2{|1}x x ∅=</（真命题）.（5） p 或q ：34<或34=，即34≤（真命题）；p 且q ：34<且34=（假命题）； 非p ： 34</，即34≥（假命题）． 【变式2】已知命题p ：33ß； q ：3＞4，则下列判断正确的是（ ） A ．p q ∨为真，p q ∧为真，p ⌝为假 B ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真 C ．p q ∨为假，p q ∧为假，p ⌝为假 D ．p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假 【答案】D【解析】 p ：33ß，是真命题， q ：3＞4是假命题，根据真值表：p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，所以选D ．【变式3】已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C【变式2】以下判断中正确的是（ ）A ．命题p 是真命题时，命题“p q ∧”一定是真命题B ．命题“p q ∧”为真命题时，命题p 一定是真命题C ．命题“p q ∧”为假命题时，命题p 一定是假命题D ．命题p 是假命题时，命题“p q ∧”不一定是假命题 【答案】B例4. 如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么 （ ） A .命题p 一定是真命题 B .命题q 一定是真命题 C .命题q 一定是假命题D .命题q 可以是真命题也可以是假命题【思路点拨】由“非p 是真命题”入手，可判断p 的真假性，再由“p 且q 是假命题”可知q 的真假. 【答案】D【解析】∵“非p ”是真命题， ∴p 是假命题，∵“p 且q ”是假命题，∴q 可以是真命题也可以是假命题， ∴选项为D.【总结升华】含逻辑联结词命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成命题的真值情况，再进行判断.【变式】如果命题“()p q ⌝∨”为假命题，则（ ） A. p q ，均为假命题 B. p q ，均为真命题C. p q ，中至少有一个为真命题D. p q ，中至多有一个为真命题 【答案】C类型三：命题的否定与否命题例5．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +是偶数； （2）p ：若0x ß且0y ß，则0x y +ß． 【解析】(1) p ⌝：在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）；p 的否命题是：在整数范围内，若a 、b 不都是偶数，则a b +不是偶数（假命题）； (2) p ⌝：若0x ≥且0y ≥，则0x y +<（假命题）； p 的否命题是：若0x <或0y <，则0x y +<（假命题）． 【总结升华】1. “0x ß且0y ß”的否定是“0x <或0y < ”；“a 、b 都是偶数”的否定为“a 、b 不都是偶数”.2. 命题的否定和否命题是不一样的．举一反三：【变式1】命题 “ABC ∆是直角三角形或等腰三角形”的否定是 ； 【答案】ABC ∆既不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【变式2】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假． （1）p ：若220x y +=，则x ，y 全为零； （2）p ：若3x =且5y =，则8x y +=． 【答案】(1) p 的否定：若220x y +=，则x ，y 不全为零 （假命题）；p 的否命题：若220x y +=/，则x ，y 不全为零 （真命题）； (2) p 的否定：若3x =且5y =，则8x y +=/ （假命题）； p 的否命题：若3x =/或5y =/，则8x y +=/ （假命题）． 【变式3】 “220x y +=/”是指 （填出符合条件的所有选项） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x ≠或0y ≠C ．x ，y 至少有一个不是0D ．x ，y 都不是0E ．x ，y 不都是0 【答案】B 、C 、E【解析】220x y +=/是指x ，y 不同时为零，即x ，y 至少有一个不是0，亦即x ，y 不都是0，0x ≠或0y ≠． 类型四：复合命题的应用例6．已知命题2560p x x +：－ß；命题04q x <<：．若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．【解析】 由2560x x +－ß得x ≥3或x ≤2． ∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4．则{x |x ≥3或x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤0或x ≥4}． ∴满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．【总结升华】解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范围．举一反三：【变式】已知命题p ：方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根；命题q ：方程244(2)10x +m x+－＝无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p ⌝”为真命题，求m 的取值范围．【解析】∵方程210x +mx+＝有两个不等的负实数根， ∴2m >， ∵方程244(2)10x +m x+－＝无实数根，∴13m << 由条件可知，p 假q 真，。
高中数学第1部分第1章1.2简单的逻辑联结词第一课时“且”“或”“非”讲义含解析苏教版选修2_1
1.2简单的逻辑联结词如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合时．这里的“或”“且”“非”称为逻辑联结词.如知识点一中的图，若开关p、q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q、p∨q、綈p的真与假．问题1：什么情况下，p∧q为真？提示：当p真，q真时．问题2：什么情况下，p∨q为假？提示：当p假，q假时．问题3：什么情况下，綈p为真？提示：当p假时．1．一般地，通常用小写拉丁字母p，q，r表示命题，用联结词“或”、“且”、“非”把p，q联结起来，就得到新命题，“p或q”、“p且q”、“非p”．“p或q”记作“p∨q”；“p且q”记作“p∧q”；“非p”记作“綈p”．2．一般地，“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假性可以用下面表格分别表示：(1)命题p且q的真假性：(2)命题p或q的真假性：(3)p与綈p的真假性：命题“p∧q”的真假，概括为同真为真，有假为假；命题“p∨q”的真假，概括为同假为假，有真为真；命题p与“綈p”的真假相反．第一课时“且”“或”“非”[对应学生用书P8][例1] 指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二或第三象限．[思路点拨] 根据命题的含义，确定逻辑联结词，分解出命题p和q.[精解详析] (1)“p且q”的形式；其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形；q：两个角是45°的三角形是直角三角形；(2)“非p”的形式；p：方程x2－3＝0有有理根；(3)“p或q”的形式；其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限：q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．[一点通] 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键．根据各命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定命题的形式．若命题中没有出现逻辑联结词，则可根据语句的意义确定命题的构成形式．1．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)2既不是偶数，也不是质数；(2)王某是体操运动员或跳水运动员；(3)正方形既是矩形，也是菱形；(4)仅有一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形；(5)方程2x2－x＋1＝0没有实数根．解：(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：2不是偶数，q：2不是质数；(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：王某是体操运动员，q：王某是跳水运动员；(3)这个命题是“p且q”的形式，其中p：正方形是矩形，q：正方形是菱形；(4)这个命题是“p或q”的形式，p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．(5)这个命题是“綈p”形式，其中p：方程2x2－x＋1＝0有实数根．2．分别指出下列命题的形式及构成它的命题：(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)方程x2－3x－4＝0的根是－4或1；(3)a∉A.解：(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形周长相等；q：相似三角形对应角相等．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：方程x2－3x－4＝0的一个根是－4，q：方程x2－3x－4＝0的一个根是1.(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：a∈A.[例2] 写出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”和“非p”形式的命题：(1)p：6是自然数；q：6是偶数；(2)p：∅⊆{0}；q：∅＝{0}；(3)p：甲是运动员；q：甲是教练员．[思路点拨] 根据p，q语句上的要求，正确使用联结词，写成三种形式．[精解详析] (1)p且q：6是自然数且是偶数．p或q：6是自然数或是偶数．非p：6不是自然数．(2)p且q：∅⊆{0}且∅＝{0}．p或q：∅⊆{0}或∅＝{0}．非p：∅{0}．(3)p且q：甲是运动员且是教练员．p或q：甲是运动员或是教练员．非p：甲不是运动员．[一点通] 用逻辑联结词“且”、“或”、“非”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及其与日常用语中的同义词的区别，选择合适的联结词．有时，为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．解：(1)p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．非p：梯形没有一组对边平行．(2)p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．非p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．4．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”和“非p”形式的新命题：(1)p：2 014是正数，q：2 014是负整数；(2)p：1是方程x2＋2x－3＝0的根，q：1是质数．解：(1)“p或q”形式的新命题：2 014是正数或2 014是负整数．“p且q”形式的新命题：2 014是正数且2 014是负整数．“非p”形式的新命题：2 014不是正数．(2)“p或q”形式的新命题：1是方程x2＋2x－3＝0的根或是质数．“p且q”形式的新命题：1是方程x2＋2x－3＝0的根且是质数．“非p”形式的新命题：1不是方程x2＋2x－3＝0的根.[例3] 写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：y＝cos x不是周期函数；(2)p：2和3都是奇数；(3)p：8>7.[思路点拨] 对命题的判断词或关键词进行全盘否定即可．[精解详析] (1)綈p：y＝cos x是周期函数．由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．(2)綈p：2和3不都是奇数．由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．(3)綈p：8≤7.由于命题p是真命题，所以綈p是假命题．[一点通] 写出命题的否定(非)，需要对其正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及它的否定列表如下：5．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：y＝tan x的定义域是R；(2)p：1,2,3至少有一个是奇数；(3)p：1,2,3至多有一个是奇数．解：(1)綈p：y＝tan x的定义域不是R.由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．(2)綈p：1,2,3都不是奇数．由于命题p是真命题，所以綈p是假命题．(3)綈p：1,2,3至少有两个是奇数．由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．6．写出下列命题的否定：(1)△ABC是直角三角形或等腰三角形；(2)4,5都是方程x2－5x＋4＝0的根；(3)他是数学家或物理学家；(4)他既是班干部又是学生会干部．解：(1)△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．(2)4,5不都是方程x2－5x＋4＝0的根．(3)他既不是数学家也不是物理学家．(4)他不是班干部或他不是学生会干部．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”表示两个中至少选一个．2．命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件又否定结论，要注意区别．[对应课时跟踪训练(三)]1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式．答案：p且q2．如果原命题是“p或q”的形式，那么它的否定形式是______．答案：綈p且綈q3．由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是________________________________________________________________________，“p且q”形式的命题是________________________________________________，“非p”形式的命题是_________________________________________________．答案：6是12或24的约数6是12的约数且是24的约数6不是12的约数4．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是____________________，否命题是________________________________________________________________________．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：(1)p且q(2)p或q(3)非p6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)12可以被3或4整除；(2)3是12和15的公约数．解：(1)这个命题是“p或q”的形式，其中p：12可以被3整除；q：12可以被4整除．(2)这个命题是“p且q”的形式，其中p：3是12的约数；q：3是15的约数．7．分别写出由命题p：方程x2－4＝0的两根符号不同，q：方程x2－4＝0的两根绝对值相等构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．解：p或q：方程x2－4＝0的两根符号不同或绝对值相等．p且q：方程x2－4＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p：方程x2－4＝0的两根符号相同．8．写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解：(1)否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零；否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．(3)否定形式：若xy＝0，则x≠0且y≠0；否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.。
高中数学：1.2 简单的逻辑联结词2-复合命题 教案苏教版选修2-1
A）.U指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：的倍数，也是6的倍数；）李强是篮球运动员或跳高运动员；q的形式，其中复合命题的构成要注意：（1）“p 或q ”、“p 且q ”的两种复合命题中的p和q 可以是毫无关系的两个简单命题（2）“非p ”这种复合命题又叫命题的否定；是对原命题的关键词进行否定；下面给出一些关键词的否定： 正面 语词 或等于大于 小于 是 都是至少一个至多 一个 否定 且 不等于 不大于（小于等于） 不小于（大于等于）不是 不都是一个也 没有至少 两个六、回顾反思本节课讨论了简单命题与复合命题的构成，以及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。
七、课后练习1．命题“方程x 2＝2的解是x ＝±2是( )A ．简单命题B ．含“或”的复合命题C ．含“且”的复合命题D ．含“非”的复合命题 2．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题： （1）x ∈A ∪B ，则x ∈A__________x ∈B ； （2）x ∈A ∩B ，则x ∈A__________x ∈B ；（3）a 、b ∈R ，a ＞0__________b ＞0，则ab ＞0． 3．把下列写法改写成复合命题“p 或q ”“p 且q ”或“非p ”的形式： （1）（a －2）（a+2）=0； （2）⎩⎨⎧==21y x ；（3）a ＞b ≥0．4．已知命题p ：a ∈A ，q ：a ∈B ，试写出命题“p 或q ”“p 且q ”“┐p ”的形式．5．用否定形式填空：(1)a ＞0或b ≤0； (2)三条直线两两相交(3)A 是B 的子集.___________________ (4)a ，b 都是正数.___________ (5)x 是自然数.___________________(在Z 内考虑)6．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p １是“第一次射击中飞机”，命题p ２是“第二次射击中飞机”试用p １、p ２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命题：命题S ：两次都击中飞机； 命题r ：两次都没击中飞机； 命题t ：恰有一次击中了飞机； 命题u ：至少有一次击中了飞机.。
知识讲解_逻辑联接词“且”“或”“非”
简单的逻辑联结词【学习目标】1．知识与技能目标：掌握逻辑联结词“或”“且”“非”的含义正确应用逻辑联结词“或、且、非”解决问题掌握真值表并会应用真值表解决问题．2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3．情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．【要点梳理】要点一：逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来得到一个新命题，记作：p q，读作：“p且q”．规定：当p，q两命题有一个命题是假命题时，p q是假命题；当p，q两命题都是真命题时，p q是真命题．要点诠释：p q的真假判定的理解：1．与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义．若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p q的真与假．2．与集合中的交集类比交集A B{x|x A且x B}中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念．要点二：逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来得到一个新命题，记作：p q，读作：“p或q”．规定：当p，q两命题有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p，q两命题都是假命题时，p q是假命题．要点诠释：p q的真假判定的理解：1．与物理比 可以电路“或”．若开关 p，合与的真与路的接通与断命题 的 p q 的真与假． pq 2．与集合中的比 并集 A B { x | x A 或 x B } 中的“或的“或，理解时 可参考并集的概念． 3．“或”，以“ p 或 q 例： （1） p 成立且 q 不成立； （2） p 不成立但 q 成立； （3） p 成立且 q 也成立． 要点“非” 一般一p 否定得到一个作： p 作：“非 p ”或“ p 的否定”． 规定：当p 是p 必定是； 当 p 是 p 必定是． 中的 “非 ”相当于集集的概集必全论“非” 该件事是在一个中研究． 2．下面是一些的否定： 正面 是 等于 属于 有 都是 至少 一个 至多 一个 一定 x=1 或 x=2 x ＞ 1 且 x ＜ 3不等 于 不属 于 没有 不都 是 一个 都没 有 至少 两个 不一 定 否定 不是 x ≠1且 x ≠2 x ≤ 1或 x ≥ 3注意：“一定”的否定不是“一定不” ． 3．否命题与命题的否定之间的区别： 否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次） ；命题的否定 是只对原命题的结论做否定（否定一次） ，即 p ．如：命题p ： 若 x 1 ，则(x 1)(x 1) 0．命题p 的否命题：若x 1 ，则(x 1)(x 1) 0．命题p 的否定p ：若x 1 ，则(x1)( x1) 0 ．4．“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p 或q ”的否定p 且q ；“p 且q ”的否定p 或q .要点四：简单命题与复合命题1. 定义：简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题叫做复合命题．2. 复合命题的构成形式：（1）p 或q；记作：p q ；（2）p 且q；记作：p q ；（3）非p （即命题p 的否定）；记作：p .3. 复合命题的真假判断p q p p q p q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假要点诠释：1. 当p 、q同时为假时，“p 或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；2. 当p 、q同时为真时，“p 且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；3. “非p ”与p 的真假相反．【典型例题】类型一：复合命题的构成例1．分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题．（1）李明是老师，赵山也是老师；（2）1 是合数或质数；（3）他是运动员兼教练员.【思路分析】观察命题结构，判断其中是否还有“或”“且”“非”等联结词或相似含义的联结词，利用“或”“且”“非”的概念对复合命题进行结构分解.【解析】（1）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：李明是老师，q ：赵山是老师．（2）这个命题是“p 或q ”形式，其中p ：1 是合数，q ：1 是质数．（3）这个命题是“p 且q ”形式，其中p ：他是运动员，q ：他是教练员．【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键．根据上述各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式．举一反三：【高清课堂：简单的逻辑联结词395484 例1】【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题：（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p ：集合A是A B 的子集，q：集合A是A B的子集；（3）p： 2 1 1x ，q：3 4 ．【答案】（1）p q：平行四边形的对角线互相平分且相等；（2）p q：集合A是A B的子集，且是 A B的子集；（3）p q： 2 1 1x ，且3 4 ．【变式2】判断下列复合命题的形式，并写出构成其的简单命题（1）1 是奇数或偶数；（2）梯形不是平行四边形；（3）2 是偶数也是质数．【答案】（1）p 或q的形式，其中p ：1 是奇数，q：1 是偶数；（2）非p 的形式，其中p ：梯形是平行四边形；（3）p 且q的形式，其中p ：2 是偶数，q：2 是质数．例2．判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或”“且”“非”，若含有，请指出其中p、q 的基本命题．（1）正方形的对角线垂直相等；（2）2 是4 和6 的约数；（3）不等式 2 5 6 0x x 的解为x 3 或x 2 ；（4）平行四边形的对角线不一定相等.【解析】（1）是“p 且q ”形式的命题，其中p ：正方形的对角线互相垂直；q ：正方形的对角线相等．（2）是“p 且q”形式的命题，其中p ：2 是4 的约数；q ：2 是6 的约数．（3）是简单命题，而不是用“或”“且”“非”联结的复合命题；（3）是“非p ”形式的命题，其中p ：平行四边形的对角线一定相等.【总结升华】对于用逻辑联结词“或”“且”“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．举一反三：【变式】指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题．(1) 菱形的对角线互相垂直平分；(2) 2 不是无理数；（3）6 是12 或18 的约数．【答案】（1）p 且q的形式，其中p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形对角线互相平分；（2）非p 的形式，其中p ： 2 是无理数；（3）p 或q的形式，其中p ：6 是12 的约数，q：6 是18 的约数．类型二：复合命题真假的判定例3．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．（1）8 或6 都是30 的约数；（2）矩形的对角线互相垂直平分；（3）方程 2 1 0x x 无实根.【思路点拨】将复合命题写成“p 或q”、“p 且q ”、“非p ”的形式，并一一判断p ，q的真假，再由真值表判断复合命题的真假.【解析】（1）“p 或q ”形式．其中p ：8 是30 的约数，q ：6 是30 的约数，∵p 假q 真，∴该复合命题为真．（2）“p 且q ”形式．其中p ：矩形的对角线互相垂直，q：矩形的对角线互相平分，∵p 假q 真，∴该复合命题为假．（3）“非p ”形式．其中p ：方程 2 1 0x x 有实根，∵p 假，∴该复合命题为真．【总结升华】先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，最后判断复合命题的真假．举一反三：【变式1】已知命题p 、q ，试写出p 或q 、p 且q、非p 的形式的命题并判断真假．（1）p ：平行四边形的一组对边平行，q：平行四边形的一组对边相等；（2）p ：2 {1,3,5,7} ，q：2 {2,4,6,8} ；（3）p ：1 { 1，2} ，q：{ 1} {1，2} ；（4）p ： 2{ x|x1}，q：2 { x | x 1}；（5）p ：3 4 ，q ：3 4 ．【答案】（1）p 或q：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；p 且q：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）；非p ：平行四边形的一组对边不平行（假命题）．（2）p 或q：2 { 1,3,5,7} 或2 {2,4,6,8} ，即2 {1,2,3,4,5,6,7,8} （真命题）；p 且q：2 { 1,3,5,7} 且2 {2,4,6,8} （假命题）；非p ： 2 {1 , 3 , 5（, 真7命题）.（3）p 或q：1 { 1，2} 或{1} {1，2} （真命题）；p 且q：1 { 1，2} 且{1} {1，2} （真命题）；非p ： 1 {1，2（} 假命题）.（4）p 或q： 2{ x|x1} 或2{ x | x 1}，即2{ x|x1} （真命题）；p 且q： 2{ x|x1} 且2{ x | x 1}（假命题）；非p ： 2{ x |x 1（}真命题）.（5）p 或q：3 4 或 3 4 ，即3 4 （真命题）；p 且q：3 4 且 3 4 （假命题）；非p ： 3 4 ，即3 4 （假命题）．【变式2】已知命题p ：3? 3 ；q ：3＞4，则下列判断正确的是（）A．p q 为真，p q 为真，p 为假B．p q 为真，p q 为假，p 为真C．p q 为假，p q 为假，p 为假D．p q 为真，p q 为假，p 为假【答案】D【解析】p ：3? 3 ，是真命题，q：3＞4 是假命题，根据真值表：p q 为真，p q 为假，p 为假，所以选D．【高清课堂：简单的逻辑联结词395484 例5】【变式3】已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（）A．p q B．p qC．p q D．p q【答案】C【变式2】以下判断中正确的是（）A．命题p 是真命题时，命题“p q ”一定是真命题B．命题“p q ”为真命题时，命题p一定是真命题C．命题“p q ”为假命题时，命题p一定是假命题D．命题p 是假命题时，命题“p q ”不一定是假命题【答案】B例4. 如果命题“p 且q”是假命题，“非p ”是真命题，那么（）A.命题p一定是真命题B. 命题q一定是真命题C. 命题q一定是假命题D. 命题q可以是真命题也可以是假命题【思路点拨】由“非p 是真命题”入手，可判断p 的真假性，再由“p 且q 是假命题”可知q 的真假.【答案】D【解析】∵“非p ”是真命题，∴p 是假命题，∵“p 且q”是假命题，∴q 可以是真命题也可以是假命题，∴选项为 D.【总结升华】含逻辑联结词命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成命题的真值情况，再进行判断.【变式】如果命题“p q ”为假命题，则（）A. p，q 均为假命题B. p，q 均为真命题C. p，q 中至少有一个为真命题D. p，q 中至多有一个为真命题【答案】C类型三：命题的否定与否命题例5．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假．（1）p ：在整数范围内， a 、b 都是偶数，则 a b是偶数；（2）p ：若x? 0 且y? 0 ，则x y? 0 ．【解析】(1) p ：在整数范围内，a、b 都是偶数，则 a b 不是偶数（假命题）；p 的否命题是：在整数范围内，若 a 、b 不都是偶数，则 a b 不是偶数（假命题）；(2) p ：若x 0 且y 0，则x y 0 （假命题）；p 的否命题是：若x 0 或y 0 ，则x y 0 （假命题）．【总结升华】1. “x? 0 且y? 0 ”的否定是“x 0 或y 0 ”；“a 、b 都是偶数”的否定为“ a 、b 不都是偶数”.2. 命题的否定和否命题是不一样的．举一反三：【变式1】命题“ABC 是直角三角形或等腰三角形”的否定是；【答案】ABC 既不是直角三角形，也不是等腰三角形．【变式2】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假．（1）p ：若 2 2x y 0，则x，y 全为零；（2）p ：若x 3 且y 5 ，则x y 8 ．【答案】(1) p 的否定：若 2 2 0x y ，则x，y 不全为零（假命题）；p 的否命题：若 2 2 0x y ，则x，y 不全为零（真命题）；(2) p 的否定：若x 3且y 5 ，则x y 8 （假命题）；p 的否命题：若x 3 或y 5，则x y 8 （假命题）．【变式3】“ 2 2 0x y ”是指（填出符合条件的所有选项）A．x 0 且y 0B．x 0 或y 0C．x，y 至少有一个不是0D．x ，y 都不是0E．x，y 不都是0【答案】B、C 、E【解析】 2 2x y 是指x ，y 不同时为零，即x ，y 至少有一个不是0，亦即x，y 不都是0，x 0 或y 0 ．类型四：复合命题的应用2 5 6 0例6．已知命题p：x －x ? ；命题q：0 x 4 ．若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．【解析】由 2 5 6 0x －x ? 得x ≥3或x ≤2．∵命题q为假，∴x ≤0或x≥4．则{x| x≥3或x ≤2} ∩{x| x≤0或x ≥4}＝{ x| x ≤0或x≥ 4 }．∴满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．【总结升华】解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范围．举一反三：【变式】已知命题p ：方程 2 1 0x +mx+ ＝有两个不等的负实数根；命题q：方程24x + 4( m－2) x +1＝0 无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p ”为真命题，求m 的取值范围．【解析】∵方程 2 1 0x +mx+ ＝有两个不等的负实数根，∴m 2 ，∵方程 24x + 4(m－2) x+1＝0无实数根，∴1T m 3 .由条件可知，p 假q真，∴1揶m 2 .。
第1章 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”
1．2简单的逻辑联结词1．2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”[读教材·填要点]1．联结词“非”¬设p是一个命题，用联结词“非”对命题p作全盘否定，得到新命题，记作¬p，读作“非p”或“不是p”．2．联结词“且”用联结词“且”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∧q，读作“p且q”．3．联结词“或”用联结词“或”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∨q，读作“p或q”．4．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[小问题·大思维]1．逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同．日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思．而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．2．“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．3．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论．如：若命题p为“若s，则t”，则綈p：若s，则綈t，否命题：若綈s，则綈t.逻辑联结词“非”写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：3＋4>6；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}．[自主解答](1)3＋4>6是一个简单命题，“>”的否定即是“≤”，所以“非p”：3＋4≤6.由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(2)命题是一个“p∨q”形式的命题，其否定为“(綈p)∧(綈q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家．由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}．由于p是假命题，故命题“非p”是真命题．若将例1(2)中的“或”改为“且”，如何解答？解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于p是假命题，故命题綈p是真命题．写“非p”应先弄清p的条件与结论．另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定．如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”．1．写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假．(1)若a，b都是奇数，则a＋b是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形．解：原命题的否定：(1)若a，b都是奇数，则a＋b不是偶数，为假命题．(2)全等三角形不是相似三角形，为假命题．原命题的否命题：(1)若a，b不都是奇数，则a＋b不是偶函数，为假命题．(2)不全等的三角形不是相似三角形，为假命题．逻辑联结词“且”对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假．(1)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(2)p：π>3，q：π<2；(3)p：x≠0，则xy≠0，q：y≠0，则xy≠0.[自主解答](1)p∧q：“12是3的倍数且是4的倍数”，是真命题．(2)p∧q：“π大于3且小于2”，是假命题．(3)p∧q：“x≠0，则xy≠0，且y≠0，则xy≠0”，是假命题．逻辑联结词“且”联结的是两个命题，若两个命题具有相同的条件，则联结后可以省略一个条件，而用“且”联结两个结论；若两个命题的条件不同，但结论相同，则不可以用“且”联结两个条件而省略一个结论(注：在不改变命题真假性的前提下，可以用)，要完整地写出两个命题，用“且”联结．2．用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假．(1)24既是8的倍数，又是9的倍数；(2)y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数；(3)函数y＝sin x不仅是奇函数，还是周期函数．解：(1)命题“24既是8的倍数，又是9的倍数”可以改写为“24是8的倍数且是9的倍数”，因为“24是9的倍数”是假命题，所以这个命题是假命题．(2)命题“y＝x＋1和y＝x3都是单调增函数”可以改写为“y＝x＋1是单调增函数且y ＝x3是单调增函数”．因为“y＝x＋1是单调增函数”与“y＝x3是单调增函数”都是真命题，所以这个命题是真命题．(3)命题“函数y＝sin x不仅是奇函数，还是周期函数”可以改写为“函数y＝sin x是奇函数且是周期函数”．因为“函数y＝sin x是奇函数”与“函数y＝sin x是周期函数”都是真命题，所以这个命题是真命题．逻辑联结词“或”对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假．(1)p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；(2)p：4＞5，q：4＜5；(3)p：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1，q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2.[自主解答](1)p∨q：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题．(2)p∨q：“4＞5或4＜5”，即“4≠5”，是真命题；(3)p∨q：“方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2”，是假命题．p∨q形式的命题与p∧q形式的命题不同的是：两命题的条件相同时，p∧q形式的命题可以省去一个条件，而p∨q形式的命题则不可以(注：在不改变命题真假性的前提下，可以用)；两命题的结论相同时，p∧q形式的命题有时不能用“且”联结两个条件，而p∨q 形式的命题却可以．3．判断下列命题的真假．(1)4≥4；(2)仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形．解：(1)命题“4≥4”的含义是“4>4或4＝4”，其中“4＝4”是真命题，所以“4≥4”是真命题．(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“p∨q”形式的命题，其中p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．因为p真q假，所以p∨q为真，故原命题是真命题．解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a ＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．[巧思]因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，故p和q必有一真一假．因此可先求出p，q为真命题时a的取值范围，然后分“p真q假”“p假q真”两种情况即可求出a的取值范围．[妙解]对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解不等式得：－3<a<1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.又p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时有－3<a≤0，当p假q真时有a≥1.综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个不为0 D．不都是零解析：xy≠0是指“x≠0，且y≠0”．答案：A2．若命题p：x∈A∩B，则綈p为()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：“x∈A∩B”是指“x∈A，且x∈B”，故綈p：x∉A或x∉B.答案：B3．(2017·山东高考)已知命题p：对任意x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析：当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．答案：B4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，则p∧q是________，p∨q是________，綈p是________．解析：p∧q：6是12和24的约数；p ∨q ：6是12或24的约数； 綈p ：6不是12的约数．答案：6是12和24的约数 6是12或24的约数 6不是12的约数5．命题p ：0不是自然数，命题q ：2是无理数，则在命题“p 且q ”“p 或q ”“非p ”“非q ”中真命题是________，假命题是____________．解析：显然p 为假命题，q 是真命题，故“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，“非p ”为真命题，“非q ”为假命题．答案：p 或q, 非p p 且q ，非q6．对命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；q ：2是集合{x |x 2<a }中的元素，则a 为何值时，“p 或q ”为真？a 为何值时，“p 且q ”为真？解：若p 为真，则1∈{x |x 2<a }， 所以12<a ，即a >1；若q 为真，则2∈{x |x 2<a }，即a >4. 若“p 或q ”为真，则a >1或a >4，即a >1； 若“p 且q ”为真，则a >1且a >4，即a >4.一、选择题1．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故p ∨q 为假命题⇒綈p 为真命题，但綈p 为真命题p ∨q 为假命题．答案：A2．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使命题p ∧q 为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析：因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题，即点P 为直线y ＝2x －3与y ＝－3x ＋2的交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.故选C.答案：C3．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈(A ∪B )，则命题“綈p ”是( ) A.3∉A B.3∈(∁U A )∩(∁U B ) C.3∈∁U BD.3∉(A ∩B )解析：由p ：3∈(A ∪B )，可知綈p ：3∉(A ∪B )， 即3∈∁U (A ∪B )，而∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )． 答案：B4．下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，且“非p ”为真的是( ) A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R)；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条解析：A 中，p ，q 均为假命题，故“p 或q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“非p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“非p ”为真，q 为真，从而“p 或q ”为真；D 中，p 为真，故“非p ”为假，排除D.故选C.答案：C 二、填空题5．命题“若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________.解析：否定形式：若abc ＝0，则a ，b ，c 全不为零． 否命题：若abc ≠0，则a ，b ，c 全不为零．答案：若abc ＝0，则a ，b ，c 全不为零 若abc ≠0，则a ，b ，c 全不为零6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x ＜1，则綈p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个)．解析：p ：x ≤1⇒綈p ：x ＞1⇒1x ＜1，但1x ＜1 x ＞1.∴綈p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要7．若命题p ：不等式ax ＋b ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________．解析：因命题p ，q 均为假命题，所以“p ∨q ”“p ∧q ”为假命题，“綈p ”为真命题． 答案：綈p8．已知条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由綈p 是綈q 的充分而不必要条件，可知綈p ⇒綈q ，但綈q 綈p ，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q ⇒p ，但p q ，又p ：x >1或x <－3，可知{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案：[1，＋∞) 三、解答题9．写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线一定相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N.解：(1)因为p 假q 真，所以p 或q ：1是质数或1是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真命题；p 且q ：1是质数且1是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假命题；非p ：1不是质数，为真命题．(2)因为p 假q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线一定相等或互相垂直，为假命题；p 且q ：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直，为假命题；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真命题．(3)因为p 真q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真命题；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真命题；非p ：N Z ，为假命题．10．设命题p ：函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0(a >0，且a ≠1)的解集只有一个子集．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解：当命题p 是真命题时，应有a >1. 当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，所以Δ＝4－4log a 32<0，解得1<a <32.由于p ∨q 为真，则p 和q 中至少有一个为真， 又p ∧q 为假，则p 和q 中至少有一个为假，所以p 和q 中一真一假， 当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1<a <32， 不存在符合条件的实数a ；当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤1或a ≥32，解得a ≥32， 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞.。
【K12教育学习资料】2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.2简单的逻辑联结词学案苏教版选修1_1
1.2 简单的逻辑联结词学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．知识点一p∧q思考1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？思考2 分析思考1中三个命题的真假？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∧q的真假判断命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：命题p∧q知识点二p∨q思考1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？思考2 思考1中的真假性是怎样的？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∨q的真假判断我们将命题p、命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”．知识点三綈p思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数．梳理(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”或“____________”．(2)命题綈p的真假判断因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：命题綈p类型一用逻辑联结词联结组成新命题例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．反思与感悟解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．跟踪训练1 指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．类型二含有逻辑联结词命题的真假例2 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．反思与感悟判断含逻辑联结词命题的真假的步骤(1)逐一判断命题p、q的真假．(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．跟踪训练2 指出下列命题的形式及命题的真假：(1)48是16与12的公倍数；(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．类型三用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围例3 已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围．反思与感悟由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假．反之，由p∨q，p∧q，綈p 命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．1．把“x ≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为____________________________________． 2．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．则在四个命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q 中，真命题有________个．3．命题s 具有“p 或q ”的形式，已知“p 且r ”是真命题，那么s 是________命题．(填“假”“真”)4．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________．(只填序号)5．分别判断由下列命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假： (1)p ：函数y ＝x 2和函数y ＝2x 的图象有两个交点；q ：函数y ＝2x 是增函数；(2)p ：∅{0}；q ：0∈∅.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真．类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．提醒：完成作业第1章§1.2答案精析问题导学知识点一思考1 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．思考2 命题①②③均为真．梳理(1)p∧q p且q知识点二思考1 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．思考2 ①③为真命题，②为假命题．梳理(1)p∨q p或q知识点三思考两组命题中，命题q都是命题p的否定．(1)中p真，q假．(2)中p假，q真．梳理(1)綈p非p p的否定题型探究例1 解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；p∧q：π是无理数且e不是无理数；綈p：π不是无理数．(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；綈p：正△ABC的三个内角不都相等．跟踪训练1 解(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．(3)“p或q”的形式．其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限，q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．例2 解(1)∵p为假命题，q为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，綈p 为真命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．跟踪训练2 解 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式．其中p ：48是16的倍数，是真命题；q ：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．(2)这个命题是“綈p ”的形式．其中p ：方程x 2＋x ＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x 2＋x ＋3＝0没有实数根”是真命题．(3)这个命题是“p ∨q ”的形式．其中p ：相似三角形的周长相等，是假命题；q ：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题． 例3 解 ∵y ＝a x在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，由(綈p )∨(綈q )也为真，则綈p 、綈q 中至少有一个为真， ∴p 、q 中有一真、一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}．跟踪训练3 解 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根， 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0，Δ＝m 2－4>0，得m >2，∴p ：m >2.又方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝16(m －2)2－4×4<0，得1<m <3， ∴q ：1<m <3.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 中一真一假． 当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3；当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上可知，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 当堂训练1．“x >5或x ＝5” 2.2 3.真 4.②④ 5．解 (1)∵命题p 是真命题，命题q 是真命题， ∴p 且q 为真命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题．。
《1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”》教案
《1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”》教案三维目标知识与技能1．了解含有“且”“或”“非”的命题的含义；2．理解由“且”“或”“非”构成的复合命题与集合的“交”“并”“补”之间的关系。
过程与方法1．通过学习常用逻辑用语的基础知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用。
2．通过学习，体会从特殊到一般的探究性学习方法。
情感态度与价值观通过本节课的学习，体会探索的乐趣，培养学生创新意识，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力。
教学重点:通过实例，使学生了解含有“且”“或”“非”的命题的含义，能正确的表述相关的数学内容. 教学难点:复合命题的真假判断，正确的用“且”“或”“非”表述新命题。
教学方法:启发引导，分析讲解，练习领会。
教学过程：【师】复习提问充分条件、必要条件、充要条件的概念和判断方法并举例之后，让学生思考问题一：下列三个命题之间什么关系（1）12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除。
问题二：下列三个命题之间什么关系（1）27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数。
问题三：下列两个命题之间什么关系 （1）35能被5整除； （2）35不能被5整除。
【生】问题一中的（3）是（1）（2）之间用词“且”联结起来的；问题二中的（3）是（1）（2）之间用词“或”联结起来的；问题三中的（2）是（1）的否定。
【师】像“且”“或”等词在逻辑学中叫什么，数学中这样的词有哪些？点题，板书课题。
新课学习：1．逻辑联结词： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词（logical connectives ）． 不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题．（了解） 我们常用小写拉丁字母,,,p q r 表示命题．问题一中的命题（3）的构成形式为：p 且q ；记做q p ∧ 问题二中的命题（3）的构成形式为：p 或q ；记做q p ∨ 问题三中的命题（2）构成形式为：非p ．记做p ⌝。
1.2.2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.
高考总复习·数学 高考总复习 数学 （4）命题与集合的关系：命题的“且”“或” “非”对应 集合的“交”、“并”、“补” （5）命题与电路的关系：命题p∧q对应着“串联”电路， 命题p∨q对应着“并联”电路，命题¬p对应着线路的“断开 与闭合”。
高考总复习·数学 高考总复习 数学
3、常见词语的否定：
高考总复习·数学 高考总复习 数学 【思路分析 思路分析】“且”的否定形式为“或”，“都不”的否定形式为 思路分析 “不都”， 反之亦然。注意区分否命题和命题的否定形式的不同。
x ≠ 1 或 y ≠ 2, 则x + y ≠ 3 ”。是假命题。 解：（1）否命题：“若
“非”命题为：“若x=1且y=2， x + y ≠ 3 ”。是假命题。 则 （2）1.该命题的否定形式为：没有一个四边形有外接圆。是假命题 2.∃x, 使关于x的不等式
∃
表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题。 x 特称命题的形式为：“存在一个 ∈ M ，有 p ( x ) 成立”； 记为；“∃x ∈ M , p ( x ) ”。
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（3）含有一个量词的命题的否定： 全称命题 p ：∀ ∈M, p(x) ；它的否定 x
¬ p ： ∀x ∈ M , ¬ p ( x )
x − ax + 2a ≥ 0
2 2
不一定成立。是假命题。 【点评与感悟】掌握逻辑联结词和量词用法，区分否命题与命题的 点评与感悟】 否定形式是不同的。
高考总复习·数学 高考总复习 数学 根据含有逻辑联结词的命题的真假， 根据含有逻辑联结词的命题的真假， 求参数的取值范围 已知a>0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；q：不等式
第一章集合与常用逻辑用语 第一单元
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”、“或”
“”与“”类似
例如：p：a>3 q：a<5
p q：a 3且a 5, 即：3 a 5
q
p
p q的真值表如下：
p q p q
真真真
类似于串联电路， 真 假 假 一假“且”即假
当且仅当开关p与 开关q都闭合时，
假
真
假
灯才会亮
假假假
例2：书本P15（详见书本）
补例 用逻辑连结词"且"改写下列命题,并判断 它们的真假:
1.2 简单的逻辑联结词
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”、“或”
联结词“非”
我们学习了命题的否命题，知道“若p则q”的否命题为 “若﹁p则﹁q”,其中“﹁p”是p的否定“﹁q”是q的否定。
“非” 否定
﹁p:排除p以外的所有事实
（概率中，即为求对立事件）
例如：p:a是大于5的实数,则﹁p：a是不大于5的实数
真
(4)﹁p：方程至少有三个解
假
(5)﹁p：小王和小李不都是一中的学生 假
即：小王或小李不是一中的学生
常用否定词语如下：
正面词语 = >
否定词语
是
不是
全是不全是至多有源自个至少有两个至少有一个
一个也没有
至多有n个
至少有n+1个
至少有k个
至多有k-1个
任意（每一个） 存在（某一个）
所有
存在某一些
a且b
11既是奇数,又是素数; 22和3都是素数.
解 1命题"1既是奇数,也是素数"可以改写
为"1是奇数且1是素数"因为"1是素数"是假命 题, 所以这个命题是假命题.
2命题" 2和3都是素数"可以改写为"2是素数
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”
假
假
假
（即一假则假）（即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
※典型例题
例1.例1：将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“p∧q”与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”。
（2）一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。
2．问题4可以这样理解：定义中的“且”字与“或”字与两个命题中的“且”字与“或”字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足,逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
教学重点
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容
教学难点
用逻辑联结词“或”、“且”、“非”简洁、准确地表述“或”命题、“且”命题、“否”命题等命题及所得到的新命题真假的判断
展
示
知识链接
课
前
器材
情景导入
中国的文化博大精深，我们说话或书面表达时都喜欢用一些联词来连接，不同的联词连接意思有很大的区别，如老师说：“请张三和李四到办公室去”，“张三或李四到办公室去”，两句话的意思就有区别，数学表达更需要严密和准确，那么在数学表达中我们该怎么使用这样的词语呢？这就是我们本节要讨论的内容——简单的逻辑联结词
逻辑联结词“且”“或”“非”
课题：逻辑联结词“且”“或”“非”新授：且：就是两者都有的意思。
或：就是两者至少有一个的意思（可兼容）非：就是否定的意思。
注意:今后常用小写字母p,q,r,s,…表示命题。
我们把使用逻辑联结词联结而成的命题称为复合命题。
1、“且”命题(1)定义：如果用联结词“且”将命题 p 和命题 q 联结起来，就得到了一个复合命题，记作 读作“p 且q”.（2）命题p 且q 的判定(3)p 且q 形式复合命题的真值表：同真则真一假则假例1：将下列命题用“且”联结成复合命题，并判断他们的真假。
（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等；（2）p ：菱形的对角线互相垂直， q ：菱形的对角线互相平分；（3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数。
例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假（1）1既是奇数，又是素数；（2）2和3都是素数。
2、“或”命题(1)定义：一般地，用联结词“或”将命题联结起来组成的复合命题，规定：当两个命题中有一个为真时， p 或q 是真命题；当两个都是假命题时，p 或q 是假命题。
(3)P 或q 形式复合命题的真值表：同假则假，一真则真例3：判断下列命题的真假：（1）3≥3(3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等。
归纳：判断 “p 且q”、 “p 或q”命题真假的步骤:(1)写出构成该命题的简单命题p 与q ； (2)判断p 、q 的真假；(3)由真值表判断真假.思考：如果为p 且q 真命题，那么p 或q 一定是真命题吗？反之，如果p 或q 为真命题，那么p 且q 一定是真命题吗？非(1)定义：一般地，对于一个命题的全盘否定，得到了一个新的命题，记作┐p ，读作“非p ”或“p 的否定”。
(2)命题┐p 真假的判断：p 与┐p 真假性相反。
当p 为真命题时，则┐p 为假命题；当p 为假命题时，则┐p 为真命题。
(3)非p 形式复合命题的真值表：真假相反例4：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）p ：y=sinx 是周期函数； （2）p ：3<2； （3）p ：空集是集合A 的子集。
1.2.1逻辑联结词“非”“且”“或”
x 1,0,1,2
例3.已知三个方程：x 4ax 4a 3 0,
2
x (a 1) x a 0, x 2ax 2a 0至少
2 2 2
有一个方程有实根，求实数a的取值范围。
解：若以上三个方程都 没有实数解，则 16a 2 4(3 4a ) 0 3 2 2 a 1 (a 1) 4a 0 ，解之得： 2 4a 2 8a 0 3 所求的a的取值范围是： (, ] [1,) 2
1.2.1逻辑联结词 “非”“且”“或”
情境引入 1、（逻辑学的用处）有个学生请教爱因 斯坦逻辑学有什么用，爱因斯坦问他： “两个人从烟囱里面爬出去，一个满脸 烟灰，一个干干净净，你认为哪一个先 去洗澡？”“当然是脏的那个先去洗 澡。”一个学生回答。 “不对，脏的那个看到对方干干净净， 以为自己也不会脏，哪里会去洗澡？” 2、下列命题有什么关系？ （1）35能被5整除 （2）35不能被5整除
课堂预习检查
1、如何理解逻辑联结词“非”
2、如何理解逻辑联结词“且”
3、如何理解逻辑联结词“或”
1.联结词“非”(not)
设p是一个命题，联结词“非”是对命题 P作否定，得到命题“非p”，记做 p
p 形式复合命题的真假规律：
①p : a是大于5的实数； ②p : 矩形的对角线互相垂直； ③p : 16不是5的倍数。
( 2)p : 矩形的四个内角都相等 ，q : 三角形的三个内角都相 等。
解 2 2 真 p q ：方程 x 1 0 没有实根或 x 真 5 0没有实根； 矩形的四个内角都相等或三角形的三个内角都相等 （ （ 2 p ：方程 x 1 0有实根 假 矩形的四个内角不全相等 假 ） ）
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逻辑联结词中的”且”相当于集合中的”交 集”,即两个必须都选.
小结
词语 词语的 否定
是 一定是 都是 大于 小于 且
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等 于 所有x不成 立
或
词语 词语的 否定
至少有一 个
B组1题
思考1：指出下列命题的形式，写出下列
命题的否定 .
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）x∈R，x2-2x+1≥0；
这些命题和它们的否定 在形式上有什么不同？
探究：写出命题的否定
（1）p： x∈R，x2+2x+2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有些函数没有反函数；
注：全称命题的否定是存在性命题.
一般地,对于含有一个量词的存在性命题的否 定,有下面的结论:
存在性命题
p : x M,p(x)
它的否定 p : x M , p ( x )
注：存在性命题的否定是全称命题.
注意: (1)“≥”的意义是“＞或＝”． (2) 常见的几个词语的否定.
至少有n 个
至多有一 个
所有x成立
一个也没 至多有n- 至少有两 有 1个 个
存在一个x不 成立
存在有一 个成立
p
q
一般地,对一个命题p全盘否定,就得 到一个新命题,记作
p
读作”非p”或”p的否定”
p
p
若p是真命题,则 p 必是假命题;若 p是假命题,则 p 必是真命题.
例1: 分别指出下列复合命题的形式
（1）8≥7； （2）2是偶数，且2是质数； （3）π 不是整数；
课堂练习：书P13 - A组1题
1.2基本逻辑联结词— 且、或、非
我们再来看几个复杂的命题: (1)整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)p且q. (2)p或q. (3)非p.
或 = > 是 都是 至多 有一 个 至少 有一 个 任 意 的 所有 的
且
≠ ≤
不 是
不都是
至少 有两 个
一个 都没 有
某 个
某些
（1）p：所有四边形都是菱形； （2）p：xR，x2＋x+1>0； （3）p：平行四边形的对边相等； （4）p： x∈R，x2－x+1＝0；
（1）“AB∥CD”且“AB=CD”； （2） “△ABC是直角三角形或等腰三角形”． （3） 所有自然数的平方是正数。 （4） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （5） 有些质数是奇数。
pq
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题 时,
pq
是真命题;当p,q两个命题中都是
pq
假命题时,
是假命题.
当p,q两个命题中有一个是真命 题时, p q 是真命题;当p,q两个命 题都是假命题时, p q 是假命题.
开关p,q的闭合 对应命题的真假, 则整个电路的接 通与断开分别对 应命题 p q 的真与假.
练习：写出下列命题的否定，并判断真假。
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
（4）p：任意素数都是奇数；
（5）p：每个指数函数都是单调函数；
（6）p：线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等；
小结
（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相 垂直且平分； （5） p：不是每一个人都会开车；
（6）p：在实数范围内，有些一元二次方程无解；
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论:
全称命题p:
x M , P ( x ), 它 的 否 定 p： x M， p（ x） .
一般地,用逻辑联结词”且” 把命题p和命题q联结起来.就得 到一个新命题,记作
pq
读作”p且q”.
规定:当p,q都是真命题时, p q 是真 命题;当p,q两个命题中有一个命题 是假命题时, p q 是假命题.
p q
全真为真,有假即假.
一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个 新命题,记作