对一些问题的看法

对一些问题的看法纯属个人意见去年的中考题发生了一些变化，对中考的认识产生了一些影响．根据要求把本讲分为两个部分其一，对今年中考的一些认识和理解体会中考变化，反思我们的教学其二，中考的变化对教学的影响和我们的应对策略我们的教学目的不只是中考，更重要的是提升学生的学习能力和水平，这就需要我们思考我们的教学需要什么．第一部分先讲一个现象：今年中考结束后，问了几个各区的教研员，问他们对今年中考试卷的第一感觉是什么？简洁流畅，破除了一些模式；控制了函数知识的考察，有限度了；凸现了初中数学中学习的核心知识的考察；更贴合新课标的理念；能力立意体现的较好．审视首先，要学习、研究、分析今年的中考试卷，并从中审视：考题中发现新的变化；考题中体会新的变化；考题中审视新的变化；考的题的背后审视新的变化；考题所使用的知识审视新的思路；考题所显现的能力要求审视我们的行为．发现和体会新的变化从试卷呈现的结果看：字数上较之上一年减少了一千七百多字符；题目的表述简洁了；题目的背景接近学生所学的知识了；题目的解答不那么烦琐了；函数知识的考察范围以及考察的重点发生变化；代数中恒等变形的内容显现出来；几何变换又回来了；考察思维能力以及思维水平的要求提升了；解决问题的能力要求提升了；观察与分析能力的要求提升了；寻求抽象规律的能力提升了．审视这种变化保持稳定，适当调整，没有模式是中考题设计的基本思想和原则．怎样体会这些变化，怎样审视这种变化反映的是我们对问题的基本认识水平．从变化的角度讲，变化那么多，需要我们做一点分类，可以根据其在一份命题的作用大致可分为：形式上的变化；实质内容的变化；设计思想的变化．审视形式上的变化形式上变化是指：字数上较之上一年减少了一千七百多字符；题目的表述简洁了；题目的背景接近学生所学的知识了；题目的解答不那么烦琐了；个别题目的位臵发生变化．形式是为内容服务的，因此，这种形式的变化可以理解为因内容的需要而改变的，它涉及到题目的表达形式、题目的难度要求、题目考察的目的、题目最终表达的要求等方面．一般讲这个问题对大局的影响不是本质的．审视实质内容的变化实质内容的变化是指：函数知识的考察范围以及考察的重点发生变化；代数中恒等变形的内容显现出来；几何变换又明显的以专一命题形式考察了，并且还考察了利用几何变换解决问题的命题．审视这种变化结合初中所学的知识以及初中应该达到的能力要求，是一时应景变化还是根本性的变化，需要审视．这种代数与几何考察点的变化是课标的要求还是教材的要求．问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点P是△ABC内的一点，且AD=DC，BD=AD．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=90゜时，依问题中的条件补全右图．观察图形，AB=AC与的数量关系为；当推出∠DAC=15゜时，可进一步可推出∠D BC的度数为；可得到∠D BC与∠ABC度数的比值为．（2）当∠BAC≠90゜时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．对这个现在有很多的说法，大致有这样一些：又回到前两年的出题形式了；怎么把一道几何题作为最后一题呢；是不是今后都这么考呢；这种出题形式不是很公平，变化太大了；老师都不知道怎么复习了．审视设计思想的变化设计思想的变化是指：考察思维能力以及思维水平的要求提升了；解决问题的能力要求提升了；观察与分析能力的要求提升了；寻求抽象规律的能力提升了．审视这种变化，需要审视是不是课标的要求；是不是新的教改纲要的要求；是不是初中学生经过数学学习后应该具备的要求；这种变化对学生的现场学习能力的要求是不是超越了应该的范围．反思我们对今年中考命题的审视目的是为本届学生更适应中考，从这个意义讲，需要反思我们过往的教学和我们的教学研究以及我们所有的考试设计．实际上对初中核心知识的认识我们基本是到位的，反映在我们的教学研究上和我们的教材分析上．对核心知识的认识基本到位的标准就是我们在教材分析中基本认识到：代数中的恒等变形；几何中的几何变换；关注能力培养．我们的认识是到位的，但是不能说我们的工作就做到位了．原因是多方面的，其中有我们指导教学中的力度还不够问题，还有就是形成统一认识和统一行为上还有差距，当我们不能形成合力的时候形成统一认识就是一件很困难的事．例如教学进度超前；教学上忽视学生是主体；凭自己的经验教学和对知识的应用适当的修改等现象还存在．当然还有很多的方面，例如教学指导中的误差；教研课的展示的示范性；广泛的交流等方面还存在问题．还需要反思的就是对能力的基本认识问题．在这个问题上我们也研究了，但是不够广泛．能力：解决问题的才干．换个角度说这个问题，实际上就是：问题所涵盖的内容加上解决就是能力，即存在待解决的对象；需要确定对象的范围；研究或解决的策略和方法；解决的过程；对结果的验证；对结果的表达或呈现等方面就是一个问题，而这个整体的形成就是能力．反思形式的问题怎样把我们的教学过程与中考内在的东西结合是我们更关注的问题，也就是在“神”上结合．例如，抽象性的问题，即需要学生自己总结规律并利用规律解决问题．教学中怎么更接近学生的学习实际？怎么更接近教学要求？怎么更接近教材的基本要求？怎么更接近课标要求？怎么更接近中考说明的要求？怎么能更好的实现现场学习？提升我们说提升实际上就是三个问题：其一，核心知识的落实与应用问题；其二，怎么关注能力的培养；其三，怎么从形式上更接近中考的形式．关于核心知识的落实问题：凡是涉及核心知识的章节以及与核心知识有关的章节要抓住机会不放松，设计与代数式变形有关的问题，尤其是要应用一些可以利用变形方法的问题，要注意形成需要，切不可过早的与中考挂钩，拿中考说事，因为代数式的恒等变形是初高中的知识衔接点．在这个过程中要关注分析方法的形成，代数式的变形是需要条件的，怎么形成分析的方法要让学生理解，切不可让学生死记硬背．代数式变形方法来源于两个条件：结构特征；运算特征．几何变换问题要注意不要模式化，例如什么倍长中线啦，等等，也需要建立正确的分析问题的方法．几何方法的获得来源于：位臵特征，结构特征．力争每节几何课有目的的分析一道典型题，坚持下来．能力培养问题能力培养是一个渐进的过程，是一个不断积累的过程，是一个不断使用和提升的过程，它不可能就用一段时间就能培养出来的．能力培养的标志是：能发现问题；能提出问题；能研究问题；能解决问题并能表达问题．为此，要力争在每节课中要让学生提出问题，自己提出解决问题的方法，要让学生表达自己的见解，要保护学生的主见．形式上接近中考的问题建议教学过程中不要老把中考挂在嘴边上，在开始学的知识就举中考题的例子让学生求解，这样即不公平，更不合适，原因在于学习的过程就是建立知识体系的过程和中考没关系，形式上接近主要是指要用中考命题的表述形式或方式设计问题，给学生留解答的空间．尤其是那种需要探究规律的问题，更是如此，可设计的问题很多不用都和中考挂钩．问题的解决之道对几何变换而言，在教学过程中，不能说我们没有十分的关注，但是总存在一些问题没有解决好，所以会出一些问题．例如学生总不会分析什么情况下需要用几何变换，对问题理解上不能真正的理解题目的要求，知道大概的解题方向自己不能实现等等．这些问题的存在其实还是我们的教学中可能模式化多一些，教学可能关注解题分析不够，教学中的难度维持的不够等形成的．问题已经存在了就必须寻求到解决问题的方法，使学生基本能运用几何变换解决一些问题．首先要让学生体会到：全等变换是只改变图形位臵不改变大小和形状的变换；相似变换是只改变大小不改变形状的变换；等积变换是只改变图形形状不改变大小的变换．几何变换问题中主要是全等变换，因此主要讲这个问题．从平面几何研究问题的实质看问题，就会发现我们对这个问题的认识基本不到位，把平面几何看做是研究图形的形状、大小与位臵的学科只是从研究图形的现象出发的结论．实际上平面几何研究问题的实质是：研究图形运动变换后图形的不变性质问题．如果这是平面几何的实质的话，我们谈几何变换就有了实质的意义．学习平面几何的目的就是想解决这个根本性问题．有这样一个问题：已知正方形ABCD和正方形CEFG共顶点于C，M是BG的中点．求证：CM⊥DE．对于这个问题同学会怎么想：习惯性的考虑旋转问题，但是又不能证明其正确性，如果出现这种现象就是我们教学问题，换句话说我们的教学中出现了一种新的模式化．反映出在我们的教学中存在这样几个问题：几何知识是一种缺少变化的死的图形或者文字；对几何知识研究中的位臵关系的认识实质不清楚；把几何变换的问题简单的理解为只种加辅助线的方法，对几何图形的运动和变化规律缺少基本的认识．今天我们试图从这个角度看一些问题，研究一些问题，解决一些问题． 几何研究的问题太多，我们因能力之限只能研究一些特征较为明显的问题．即 让图形动起来；从图形结构看数形结合；对一些问题规律的认识．我们首先谈谈：让图形动起来图形动起来说起来是很简单的，但是，它涉及到对平面几何的基本认识的变化．我们知道一个图形当我们画出来后，位臵与数量就是确定的．这时谈动起来似乎是不可能的．因此，我们谈图形动起来是一种在有确定结论的问题中，对图形形状以及相应的元素的相对位臵的认识，即在我们研究的问题中，一般讲至少存在两个图形，因此，就形成了第二个图形对第一个图形产生影响，同时第二个图形的位臵产生的原因是否会形成新的问题．例如，已知AB //CD ，点P 是形内一点，连结PA 、PC ，问∠P 与∠A 、∠C 的关系．我们说图形动起来可以用这个问题说明．平行线的关系是确定的，但是，点P 在形内却是可以移动的，如果让它动起来．对于点P 而言，它的动应该是相对于平行线而动，因此，就可以形成一些不同的关系．如果我们换一种角度看问题，也可以看做平行线相对于点运动，同样也可以有不同的位臵关系形成．从两个图形相对位臵的角度看问题，不外乎点在平行线外，点在平行线上以及点在平行线内．从对这个问题的研究中，我们可以得到这样的一种认识，即在平面几何中涉及到的图形中一般至少两个图形以上，因此就形成了所谓的相对性的问题．而ABC DP这种图形位臵的相对性实际上就是图形动起来的条件与基础．在这种变化中几何结论可能会发生变化，也可能不发生变化，其原因主要源于第二个图形对原图形的性质是否形成影响．再例如，两个正方形的组合，首先要理解组合时需要不需要存在特殊的位臵关系，如果不存在特殊的位臵关系，就可能形成不了几何问题，原因是两者之间缺少媒介（实际上我们总可以通过运动变换使这两个图形形成关系）．因此，需要满足特殊的位臵关系．那么这种特殊的位臵关系对形成的问题会产生什么影响呢？从变换的角度看问题，实际上提供了特定的图形条件而形成的特殊的图形关系． 我们先给出一种情况，即约束条件只有一个的问题．从约束条件出发，情况有两种，即共顶点；一个图形的顶点在另一个的对角线上；或在一条边上．先研究一个图形的顶点在另一个的对角线上的情况．在这种情况中实际上也有不同的问题，即只满足一个图形的顶点在另一个的对角线上；另一种为其中一边过一个顶点．在研究图形动起来的问题中最理想的知识是圆的知识，在学习的过程中应该让学生体会这个问题．要让学生体会学习圆的知识与其他知识的区别，即体会图形的不确定性，与此同时体会图形的不确定对性质的基本没有影响的意义．对在学习圆的知识时要关注的问题，我们通过一个具体的示例说明． 在⊙O 中，AB 是直径，点P 是直径上一点，∠CPB =45゜．求证：从图形结构看数形结合例如，已知Rt △ABC 中 ，∠BCA =90° ，AC =3 ，BC=5 ，以AB 为边向外作正方形ABEF ，求正方形中心O 与点C 的连线长．2222R PD PC =+分析：从命题的条件与所要求解的问题看这是一道几何计算问题．但是，条件中的线段长与所求的线段之间的关系不明显．如果我们换一个角度想这个问题，即直角三角形与正方形之间可能存在什么关系呢？正方形不是任意的是以斜边为边作的，因此，这一点就是解题的钥匙，也就是告诉我们了解题的方向与方法．已知x 是正数，求问题先化为含有二次关系的代数式，再利用配方法转化为非负数的问题求解． 构造Rt △PCA 和Rt △PDB ，使AC=1，BD=2，PC=x ，CD=4且PC 、PD 在直线L 上 ，则PA= ，PB= 已知x >1，求证： 本题是一道代数问题，是不等式知识的应用题．由于已知条件与所需要证明的结论之间的关系不清晰，利用代数知识我们知道需要降次形成新的代数表达形4-x x 21L E P A′D BCA+21x +()442+-x xx ->-+2112式，这样才可能研究出之间的关系．可设AB=1，BC=x ，在BC 上截取一点D ，使DB=1，则对一些具有规律性问题的认识在我们研究的几何问题中，让图形动起来的目的是逐步形成几何变换的观点，在动态中体会几何问题以及求解几何问题．其实这只是问题的一部分，还需要解决的是对一些具有共性的问题研究的问题．使学生能在有限的时间里学习的更好些，解决的问题更多些．例如，如图，在 中，AD ＝BC ，CD ＝BE ．试确定∠BOE 的度数．已知中有两组等线段，但是它们是不相邻的关系，所以不能直接用，这时需要我们思考如何利用这些关系．怎样考虑呢？我们知道当两组等线段，在位臵上相邻时，可以形成可利用的图形关系，如可以形成封闭的图形，或说是特殊图形，同时也就有可利用的关系了．为了实现移动图形的目的，使已知条件可以利用，我们就把一组等线段利用平行线移动位臵到BF ，由于形成了新的图形关系，这时就出现平行四边形以及等腰直角三角形．这个问题中，只研究到此就可惜了．进一步研究可发现实际是两个正方形的A B CD EF G OA BCE O2=AD 21x AC +=Rt ABC !组合问题．如图，四边形ABCD 中，∠A =∠C =90゜，AB =AD ，△ABC 的面积等于18，求BC +CD 的长．本题是一例典型的平移的题目，从对这个问题的求解中我们可以发现平移作为方法的一些特征：在题目的条件中有需要移动的图形元素，并且有两个元素需要同时移动位臵时，利用平移可以构成新的图形关系．如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，点P 是形内一点，若∠DAB =60°,且∠DPC =120°． 求证：在这个问题中，可以肯定的是所证的元素不在一个图形中，各自分散在四个图形里．如何沟通它们之间的关系是解决问题的关键所在．但是，实际上本题所给的条件又具有明显的提示性，即给出了两个特殊的角度，因此，如何利用这两个角就成为解题的关键．由已知中的边相等以及所夹角为60°，其实在暗示我们可以形成等边三角形，又由另一个角为120°，根据相邻的角度为60°，也可形成等边三角形，因此，可形成旋转形问题． A BCDPOGA BCD EF M PD PC PB AC++≥等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 是AB 上的点，点E 在AC 的延长线上，且DB =CE ． 求证：DE >BC ．这是一例典型的几何命题，其典型的意义就在于它揭示了命题分析以及解题方法的确定与选择等几何研究的关键问题．由于DB 与CE 相等但是位臵上又不相关，因此如何理解这个条件就是解题的关键．使这两条线段在位臵上相关或者形成新的位臵关系就是解决问题的出发点． 问题就出在：所证的两条线段相交．而解决问题的思路所得也恰好是这个条件，我们知道证明两条线段的不等关系能用的知识是很有限的，可以用直角三角形中的斜边大于直角边；三角形的两边之和大于第三边．因此，需要我们移动其中的一条线段形成新的图形关系．已知△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点P 是形内一点，且PC=1，PA=2，PB=3，求∠APC ．A CDP M在这个问题中要求角的度数根据题意需要移动线段的位臵，使之形成可以求解角度的图形关系，因此需要利用旋转关系．我们再举一例与之比较，从中发现一些规律．已知正方形ABCD 内一点，P 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 ，求此正方形的边长．分析：本题与我们常见的形式不同，一般讲都是在图形中存在一种图形关系求最值问题．但是，不论从哪个角度认识这个问题都需要解决因三条线段位臵上相关性不大移动图形的问题．从条件出发已知中原图形是正方形，在移动中首先考虑借助组合关系解决图形移动的问题．但是，若用正方形移动，此时线段只是从形内到了形外，不能形成最小距离问题．因此，考虑用不同图形的组合移动图形，使之可以形成三线共线问题．EF AB C D P AB CDP AB CPD A B CP62当C 、P 、E 、F 四点共线时，取得最小值．我们再回到初始所提出的问题上来，即两个正方形共顶点的问题．学生最初把问题易想为是旋转型问题，原因在于有两个正方形共点，就认为有旋转型全等的图形关系．如果这么看问题就使问题不可解了．原因是因为后面的条件破坏了旋转型的关系，需要考虑是否还原旋转型关系，有就是说先要使用中点条件形成可利用旋转型条件后才可解．再例如,已知：如图，△ABD 是等边三角形，△ABC 中，BC=a ，CA=b ，问：当∠ACB 为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？分析：从对所给的已知条件的解读中我们不难发现，本身有等边三角形并有一个一般三角形组合而成．需要解决的是对一般三角形而言，它的边或角要满足一定的条件才可能存在最大值问题，由于其中BC=a ，CA=b ，也就是说这时需要确定的是∠ACB 的度数或大小．又因为已知中给的边长，求的又是边长的最大值，因此，需要研究这三条线段之间的关系．三条线段需要移动到一个三角形中，这时就可以发现解决问题的方法了，即此时，若M 、A 、C 共线就有最大值．AB CD M A BC从解题方法的角度再举一例已知：在△ABC 中，AB>AC ，BD 、CE 是AC 、AB 上的高．求证：BD>CE ．我们讲这个题的目的是想从解题方法的掌握的角度谈．从本题出发直接可得的解法是利用三角形的面积；其次用相似形的知识求解．现在我们在此举例的目的是想从另一个角度看这个问题，即从比两条线段大小的角度看，本题不具备直接比的条件，原因在于两条线段在位臵上的相关性不明显，所以需要移动其中一个图形的位臵形成新的关系．在我们研究的问题中这种解法用的较少，即三角形自身以一边的中垂线为对称轴实现自身的反射．在Rt △ABC中，∠C =90゜，AB =2，点P 是三角形内一动点，它到三个顶点的最小距离之和等于 ，求△ABC 的两个锐角的度数 ．本题实际上可以改编成和圆有关的问题，因为直角三角形的斜边可理解为半圆的直径．在这个问题中，怎么理解条件中的动点以及三段距离之和的关系是关键，同时也是解决问题的钥匙．当三条线段可以形成为一条直线时才可以存在最小距离之和的情况，因此，如何使三条线段移动到一个方向上来就是本题的解题方法．DMAB N EAC DE7。