工程力学(11动量定理)

Fiy ( e ) dt
t1 t2
t1 t2
(e) ( Size ) Fiz dt t1
常矢量。 ( e) 若 Fix 0, 则 K x mi vix 常量。
(e) i
F
0, 则 K
m v
i i
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系 的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
M
设rc xci yc j zc k , 则
mi xi , y mi yi , z mi zi xC C C
M M M
xC m x
i i
M
, yC
m y
i
i
M
, zC
m z
i
i
M
5
求刚体的动量就比较方便
O

C
mvC vC
K K ab K AB
三、运动分析：设经过ｔ时间， 流体AB运动到位置ab，
( K aB ) 2 ( K aB )1
[( K aB ) 2 K Bb ] [ K Aa ( K aB )1 ]
K K Bb K Aa Qt v2 Qt v1 三、由质点系动量定理：dK lim K Q(v v ) W P P R 2 1 1 2 dt t0 t
1）微分形式 dK

(e) F dt

(e) dSi
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。 2）积分形式
K2 K2

(e) Si
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上 的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
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投影形式：
积分形式：
mv2 mv1 F dt S
t1
t2
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
14
投影形式： d (m v ) F x x
dt d (m v ) F y y dt d (m v ) F z z dt
mv2 x mv1x S x Fx dt
t2 t2 t2
冲量与动量单位相同．
2t
1t
2t
1t
2t
1t
13
§12-3
一．质点的动量定理
ma m dv F dt
动量定理
d (mv ) F dt
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力 —质点的动量定理
微分形式： d (mv ) Fdt dS （动量的微分等于力的元冲量）
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[例2] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。 解：一、研究对象：M, m mg (e ) Fx 0, 水平方向 二、受力分析：
v
g N
vr
K x 常量 三、运动分析： 设大三角块速度 v
小三角块相对大三角块速度为 vr ， 则小三角块
va v v r
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (v) mvax 0 M (v) m(vrx v) 0
vrx M m Srx M m v m S m
m m S S (a b) M m rx M m
XO
及 。试分析系统的外力与内力。
A
mA g TA
A

mA g
8
§12-2 动量与冲量 一、动量
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为
质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是
kgm/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
若质点系质量不变， MaC Fi 则
或
上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系 的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量 和（外力系的主矢）。 1. 投影形式：
( ( ( x y z ① MaCx MC Fixe) , MaCy MC Fiye) , MaCz MC Fize) 。
2 vC dv (e) ( ( ② MaC M Fi , MaCn M Fine ) , Fibe ) 0 。 dt
(i ) (e) 二、质点系的内力与外力 F , F
外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）的主矩恒等于零。即：
Fi ( i ) 0; mO ( Fi ( i ) ) 0 或 mx ( Fi ( i ) ) 0 。
m v2 y m v1 y S y Fy dt mv2 z mv1z S z Fz dt
1
t2
t1 t2
t1 t2
t 质点的动量守恒 若 F 0 ，则 m v 常矢量，质点作惯性运动 若 Fx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
二．质点系的动量定理
1 5 1 5 m[( l sin45 l cos 2l )i ( l cos45 l sin ) j ] 2 2 2 2 1 2 5 3 1 2 5 1 m l [( 2 )i ( ) j] 2 2 2 2 2 2 10 10
A
例：已知匀质杆OA l , 质量为 m ,以 转动。求：杆的动量。 解：运动分析：杆作定轴转动 l vC 2
l K mv C m , 2
k OA
6
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采
用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。
7

O
YO
例：已知系统中各物体的质 m A 、 B ，以 m 解：一、物体的受力析： (e ) 整体： m A g , mB g , X O , YO 外力 Fi TB ' 内力Fi B (i ) Fi TA TA 'TB TB ' 0 mB g A物体： m A g , T A TB YO B物体： m g , T 外力 A B XO B 轮O： TA ' , TB ' mB g TA ' TB '
Rx '' Q(v2 x v1x )
Ry '' Q(v2 y v1 y )
与 R ' ' 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力．
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§12-4
将 K MvC
质心运动定理
(e )
(e ) M Fi rC
( e) d 代入到质点系动量定理，得 ( MvC ) Fi dt
滑块B： m, vC 3 2l 连杆AB：m, vC 2 5 l AB 5 l（ P为速度瞬心， 2 5 l ; AB ） PC
2
K mvC1 mvC 2 mvC 3
2
2

m[(vC1 sin vC 2 cos vC 3 )i (vC1cos vC 2 sin ) j]
9
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。
K mi vi MvC
( mi ri MrC 求导 )
质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：
K x MvCx MxC , K y MvCy MyC , K z MvCz MzC
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dK K Q(v v ) W P P R lim 2 1 1 2 dt t 0 t
即
R (W P1 P2 ) Q(v2 v1 )
静反力 R' (W P P ) ， 1 2
动反力 R '' Q(v2 v1 )
计算 R ' ' 时，常采用投影形式
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第十二章 动量定理
§12－1 质点系的质心，质点系的内力与外力
§12—2 动量与冲量 §12—3 动量定理 §12—4 质心运动定理
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§12—1 质点系的质心、质点系的内力外力
一.质点系的质心
质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。 质心 C 点的位置：
rC
mi ri 或 Mr m r ii C
3.刚体系统的动量：设第i个刚体 mi , vci 则整个系统：
K mi vCi
K x mi vCix mi xCi K y mi vCiy mi yCi K z mi vCiz mi zCi
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〔例１〕曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆 AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质 量也为m。求当 = 45º 时系统的动量。 解: 曲柄OA：m , vC1 1 l
2
它们以简明的数学形式， 表明两种量 —— 一种是同运动
特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量 (冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的 机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答 动力学问题非常方便简捷 。 本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形 式——质心运动定理。
1 2ml [ 2i j] 2
2
11
二．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时， 较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得 到同样的总效应。 1．力 F 是常矢量： S F (t2 t1 ) 2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化）