第2章质点动力学A(完全版3)

Fs m m R mg N
讨论(2)：在上面的图中，要物体m不下滑，圆 筒的角速度至少应为多少?(设圆筒与物体m间的 摩擦系数为)。 图中物体m受三个力作用: N, mg, Fs=N。 水平: N=mR2 竖直: N=mg
g 解得 R
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例题2-2 一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮， 绳的一端挂有质量为m1的物体，绳的另一端穿过一 质量为m2的有一小孔的柱体，求当柱相对于绳以恒 定的加速度ao沿绳向下滑动时，物体和柱相对于地面 的加速度各是多少？柱与绳间的摩擦力多大？ 解 在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况， 并规定(ox轴)向上为各量的正方向。
fs F外 0
fs 恒与外力 F外等值反向。
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（3）万有引力
方向：
m1m2 大小： F G r2
m1受力与 r 同向， m2受力与 r 反向
m1m2 F G 3 r r
（4）重力 由于地球吸引而使物体受到的力叫重力。
G mg
方向：竖直向下。
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地面上的观察者甲： 小球m: F=kx=ma，符合牛顿定律。 车厢A内的观察者乙: 小球m: F=kx(因为弹簧确实已伸长)，a=0，显 然这是违背牛顿定律的。 这个例子说明：以加速度a运动的车厢A为参考 系,牛顿定律是不成立的。 我们把牛顿定律成立的参考系称作惯性参考系 (简称惯性系), 而牛顿定律 乙 m k 不成立的参考系称作非惯 甲 a 性系。 A 一个参考系是不是惯 性系,只能由实验确定。
x T
T
o m 1 a1 m2 ao a 2
m1 m2 m1g 图2-2
m1: T- m1g=-m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 T即为摩擦力
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m2g
m1: T- m1g=-m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 a柱对地=a柱对绳+a绳对地 即：a2=-a0 + a1 解得
x T
质点运动定律
Dynamics of a particle
内容提要 力的三个效应 瞬时、时间累积、空间累积 惯性系和非惯性系
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第 2章
引言
速度、加速度等物理量来描述。用位移和速度描述物体
的运动状态。用加速度来 说明物体运动状态的变化。 为什么物体运动状态会变化呢？ 大量的力学实验证明，是其他物体的作用。 我们把物体之间的相互作用，称之为力。即一个物体
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h
例题2-4 设一物体m在离地面上空高度等于地球 半径R处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速 度(不计空气阻力和地球的自转)。 mM mM 解 F G 2 地面: G 2 mg R r 2 2 d gR mgR d 2 F ma m 2 dt r r dt m 2 dr d gR d d dr 2 ( ) a dt dr r dt dr dt
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m
Fs
a
m
N
mg
讨论(1)：在上图中，要物体m不下滑，斜面的 加速度a至少应为多少?(设斜面与物体m间的摩擦系 数为)。 物体m受三个力作用: N, mg, Fs=N。 水平: N=ma 竖直: N=mg 解得 a=g/ 。 问题：若a,N ,使 N>mg, m是否会上升呢?
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dp d ( m ) F dt dt
合外力
4
d ( m ) d dm F m dt dt dt 如果物体的质量不随时间而变，则第二定律可 以写成 d F m ma dt 牛顿第二定律是：瞬时关系；矢量等式。
Fx ma x
Fy ma y
dr (t ) 方法：由已知运动方程 r r (t ) ， dt d(t ) 得力。 a F ma dt 2、已知受力及初始条件（初位置、初速度），求运动 方法： F ma a d(t ) (t ) a d adt dt dr (t ) dr dt r r (t ) 12 dt
（５）流体阻力 当固体物穿过流体（液体、气体）运动时，流体
固有粘滞性会对固体运动产生阻力。
方向：与物体的运动方向相反。 大小： 当物体的速度不大时，F=b
当物体的速度较大时，F=c２（速度小于声速）
当物体的速度较大时，F 3（速度接近声速）
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四. 牛顿定律的应用方法
一、质点动力学的两类问题
滑动的力，称为滑动摩擦力。
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滑动摩擦力的方向恒与相对运动方向相反。 fk = kN 式中, k为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体 的材料性质和接触面的粗糙程度决定。 2 静摩擦力 两接触物体间虽未发生相对运动,但存在着相对运动 趋势时,就产生静摩擦力。 静摩擦力fs是个变力： 0 fs s N (最大静摩擦力） 式中,s为静摩擦系数。对于同样的两个物体,k<s。 静摩擦力fs是个变力?
F Fi ma
这就是非惯性系S中的牛顿第二定律。 对比：在惯性系中，牛顿第二定律
F ma
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注意： 1 惯性力 Fi ma
大小：Fi=ma 这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性系S相对 于惯性系S的加速度。 方向：
和非惯性系S相对于惯性系S的加速度a 相反。 它既无施力物体，又无受力物体。 惯性力-ma不遵从牛顿第三定律。
物体是运动的。对于运动物体，我们可以用位置矢量、
受到其他物体所施加的力的作用，就会改变其运动状态， 产生加速度。
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牛顿通过对各种各样的机械运动进行研究，抓住了
惯性、加速度和作用力这三者的关系，以定理的形式 总结出了机械运动的普遍规律，人们称之为牛顿三大 定律。
§2.1 力的瞬时效应牛顿定律 一.牛顿三大定律
解 由 fn=man , ft=mat 有
A N o R
法向：N-mgcos =ma =m
n
2
R
(1)
(2)

mg
图2-6
d 切向：mgsin=mat=m dt 得： at=gsin
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d d d d d m m m mgsin m d R d d dt dt
二.牛顿定律的适用范围
低速、宏观、实物。 惯性系。
三. 相互作用力
（1）弹簧的弹性力 f = kx k弹簧的倔强系数； x弹簧的伸长量。
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如果写成矢量形式：
f kxi
弹簧如果受到压缩，弹簧的弹力与压缩方向相反； 弹簧如果受到拉长，弹簧的弹力与伸长方向相反； 注意： 拉力、张力、压力、支持力都是弹性力。其本质都是 分子之间的电磁力。 （2）摩擦力 1 滑动摩擦力 当两物体间出现相对滑动时，此时产生一对阻止相对
Fz ma z
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F ma
自然坐标系中的分量式:

m

Fn man m
2
d F ma m dt
n
式中, Fn、F分别代表物体所受的沿轨道法向和 切向方向的合外力。
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（3）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律） 两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、 方向相反,且在同一直线上。 为什么三大定律完全可以研究物体的运动？

R h
图2-4
法向: Nsin =m2Rsin
竖直: Ncos =mg 解得 cos
g
N mg
R
2
h R Rcos R
g
2
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例题2-6 如图2-6所示，质量为m的钢球由静止开始 从A点沿圆心在o、半径为R的光滑半圆形槽下滑。当 滑到图示位置（钢球中心与o的连线和竖直方向成角） 时，求这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和 切向加速度。
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例题2-1 如图2-1所示，在质量为M、倾角为的 光滑斜面上放置一质量为 m的物体，要使物体m相对 斜面静止，水平推力F应为多大？（设斜面与地面间 的摩擦可以忽略） 解: 对m:
x:Nsin=ma y:Ncos=mg
N
解得 a=g.tg
(M+m):
m F M mg 图2-1
y
x
F=(M+m)a =(M+m)g.tg
为什么会有负号?

A
o

0
md


2

mgRsind
1 积分得： m 2 mgRcos 2 (这可由机械能守恒得到)
N
R
由 N-mgcos =m
得：N=3mgcos

2
R

mg 图2-6
2 an 2 gcos R
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五. 惯性参考系和非惯性参考系
1.惯性参考系 从运动的描述来说 ,参考系的选择是任意的，这 主要由研究问题的方便而定。但是，如果问题涉及 运动和力的关系，即要应用牛顿定律时,参考系是否 也能任意选择呢? 如图2-7所示，车厢A在地面上以加速度a向右运 动。 乙 车厢内的光滑桌面上 m k 有一与弹簧相连的质量m 甲 a 的小球, 弹簧的另一端系 A 在车厢壁上。现在来分析 这个 弹簧、小球 力学系 图2-7 统的运动情况。 24
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2.加速平动参考系中的惯性力 假设非惯性系 S相对惯性系 S 以加速度 a 作直线运 动，于是有
F mams ma ma F为物体m受的真实合外力，移项得 F ma ma
假想: Fi=-ma 惯性力 则在非惯性系S中有
ams ams a ss a a
T
( m1 m2 ) g m2 a0 a1 , m1 m2
( m1 m2 ) g m1a0 a2 m1 m2
o m 1 a1 m2 ao a 2