固体物理第一章习题解答
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、 晶体的结构习 题1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，6π; （2）体心立方, ;83π （3）面心立方，;62π （4）六角密积，;62π （5）金刚石结构，;163π [解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致密度ρ=Vr n 334π（1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为,,433a V r a ==面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以ρ=6)(33234ππ=aa（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以ρ=ππ83)(*2334334=a a图1.3 体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以ρ=62)(*4334234ππ=a a .图1.4面心立方晶胞（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。
5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h =223232c r a == 晶胞体积 V = 222360sin ca ca =, 一个晶胞内包含两个原子，所以ρ=ππ62)(*22233234=ca a .（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O 原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为,83r a =晶胞体积 3a V =,图1.7金刚石结构一个晶胞内包含8个原子，所以ρ=163)83(*83334ππ=aa . 2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122-），和（201-）晶面。
《固体物理学答案》第一章晶体的结构.doc
第一章、晶体的结构习题1.以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为:(1)简立方，！; (2)体心立方，—7T；(5)念刚石结构，—-7T,16［解答］设晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体职的比值称为结构的致密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数，表示刚性原子球半径，r表示晶胞体4 3n — 7D'积，则致密度p =(1) 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1, 2, 3, 4处的原子球将依次相切，因为= 4r，厂=a3,面1.2简立方晶胞晶胞内包含1个原子，所以(2)对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为力〃=4r,K = a\晶胞闪包含2个原子，所以(3)面心立方，(4)六角密积，2图1.3体心立方晶胞(3) 对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积， 如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为 42a = 4r,V = a\ 1个晶胞内包含4个原子，所以图1.4面心立方晶胞(4) 对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积， 如图1。
5所示，屮心在1的原子与屮心在2，3，4的原子相切，中心在5的原 子与中心在6，7，8的原子相切，图1.5六角晶胞 图1.6正叫面体晶胞闪的原子O 与屮心在1，3, 4, 5, 7, 8处的原子相切，即O 点与屮心在5, 7, 8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高11=^ = 2^ = ~一个晶胞内包含两个原子，所以晶胞体积V= ca 2 sin 60 ca ^ea 22*音吨)3(5) 对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如 图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的0原子与中心在1，2，3, 4处的 原子相切，因为 43a = 8r,晶胞体积 V = a\图1.7金刚石结构 一个晶胞A 包含8个原子，所以/?2.在立方晶胞中，画出(102), (021), (122 )，和(210)晶面。
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
固体物理答案第一章
bc
2π
b
c
2π
i
Ω
a bc a
同理
b
2π
j
b
c
2π
k
c
khkl
2π
h a
i
k b
j
l c
k
khkl
2π
h
2
k
2
l
2
a b c
d hkl
3π 16
32
a
图1.6 金刚石结构
1.7 证明：用半径不同的两种硬球构成下列稳定结构时小球半 径和大球半径之比值分别为
(1)体心立方（配位数为８）：1 r / R 0.73 ； (2)简单立方（配位数为６）：0.73 r / R 0.41 ； (3)正四面体结构（配位数为４）：0.41 r / R 0.23 ； (4)层状结构（配位数为３）：0.23 r / R 0.16 。
z
z
2 10
131
o
y
x
x
o
y
1.3 若基矢 a,b,c 构成简单正交系，试证明，晶面族（hkl）
的面间距为
dhkl
1 h 2 k 2 l 2 a b c
并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理。
证明：设
a,b,c
第一章 晶体结构和X射线衍射
1.1 指出立方晶格（111）面与（110）面的交线的晶向。
解: 立方晶格（111）面与（110）面的交线为AB，其等效
固体物理学_答案(黄昆 原著 韩汝琦改编)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
(参考资料)固体物理习题带答案
D E ( ) ，其中 ， 表示沿 x ， y ， z 轴的分量，我们选取 x ， y ， z
沿立方晶体的三个立方轴的方向。
显然，一般地讲，如果把电场 E 和晶体同时转动， D 也将做相同转动，我们将以 D' 表示转
动后的矢量。
设 E 沿 y 轴，这时，上面一般表达式将归结为：Dx xyE, Dy yyE, Dz zy E 。现在
偏转一个角度 tg 。（2）当晶体发生体膨胀时，反射线将偏转角度
tg ， 为体胀系数
3
解：（1）、布拉格衍射公式为 2d sin ，既然波长改变，则两边同时求导，有
2d cos ，将两式组合，则可得 tg 。
（2）、当晶体发生膨胀时，则为 d 改变，将布拉格衍射公式 2d sin 左右两边同时对 d
考虑把晶体和电场同时绕 y 轴转动 / 2 ，使 z 轴转到 x 轴， x 轴转到 z 轴， D 将做相同
转动，因此
D'x Dz zy E
D'y Dy yyE
D'z Dx xy E 但是，转动是以 E 方向为轴的，所以，实际上电场并未改变，同时，上述转动时立方晶体
的一个对称操作，所以转动前后晶体应没有任何差别，所以电位移矢量实际上应当不变，即
第一章：晶体结构 1． 证明：立方晶体中，晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。
证 明 ： 晶 向 [hkl] 为 h1 k2 l3 ， 其 倒 格 子 为
b1
2
a1
a2
a3
(a2 a3 )
b2
2
a1
a3 a1 (a2 a3)
b3
2
a1
a1
a2
(a2 a3)
。可以知道其倒格子矢量
固体物理课后习题答案
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章 晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .
固体物理学课后题答案
固体物理学课后题答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章 晶体结构1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方52.06=π体心立方68.083≈π 面心立方74.062≈π 六角密排74.062≈π 金刚石34.063≈π解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====πππrra r x（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)334(3423423333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.06333834834833333≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
固体物理学1~6章习题解答
和a3
重合，那么
1.3
二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：
正方 六方 矩形 带心矩形 平行四边形 a=b a=b a=b a≠b a≠b a^b=90° a^b=90° a^b=120° a^b=90° a^b≠90°
1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)
《固体物理学》习题解答
第一章
1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
答：证明
设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf
=a 2
对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb
RfRb
那么，
1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？
固体物理学答案-王矜奉
第一章、晶体的结构习题1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：（1）简立方，;（2）体心立方,6π;83（3）面心立方，（4）六角密积，;62;62π（5）金刚石结构，;163[解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致密度=ρVr n 334π（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为,,433a V r a ==面1.2简立方晶胞晶胞内包含1个原子，所以=ρ6)(33234π=a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为晶胞内包含2个原子，所以,,433a V r a ===ρππ83(*2334334=aa图1.3体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为，1个晶胞内包含4个原子，所以3,42a V r a ===.ρ62(*4334234ππ=a a图1.4面心立方晶胞（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。
5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，图 1.5六角晶胞图 1.6正四面体晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h =223232c r a ==晶胞体积V =,222360sin ca ca =�一个晶胞内包含两个原子，所以ρ=.ππ62)(*22233234=ca a（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O 原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为,83r a =晶胞体积,3a V=图1.7金刚石结构一个晶胞内包含8个原子，所以ρ=.163)83(*83334ππ=aa 2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（1），和（2）晶面。
固体物理第1.参考答案与解析
第一章 参考答案1体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。
证：体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell ）的三个基矢是)(2),(2),(2321→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i a a k j i a a k j i a a ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+=+==⨯⋅=ΩΩ⨯=Ω⨯=Ω⨯=→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→)(2)(2)(22122,2:3213321213132321j i a b i k a b k j ab aa a a a ab a a b a a b ππππππ定义它们是倒点阵面心立方的三个基矢。
2 对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如→→→→→→→→=+-=+=kc a ja i a a j a i a a 321232232求倒格子基矢。
解：;,213→→→⊥a a a→→→→→→→→+-=+===ja i a a ja i a a a a a 2322322121)33(32)32(22332123213→→→→→→→→→→→→+=+Ω=Ω⨯==⨯⋅=Ω=j i aac a i ac j a a b ca aa a a kc a πππ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=→→→→→j i a a a b 3332/2132ππ→→→→=Ω⎪⎭⎫⎝⎛⨯=kc a a b ππ2/22133求解简单立方中晶面指数为(hkl)的晶面簇间距。
解：正格子基矢是 →→→→→→===k a c j a b i a a ,,令 为相应的倒基矢→→→***,,c b a21222***,,3***)()()(2222)(222-→→→→→→→→→→→→→→→→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==++=++==⨯⋅=Ω===a l a k ahK d kl a j k a i h a c l b k a h K a c b a kac j ab i aa hklnkl l k h πππππππ4 试证明六角密集结构中c/a=如图所示，ABC 分别表示六角密排结构中三个原子，D 表示中心的原子。
固体物理习题及答案
固体物理第一章习题及参考答案1．题图1－1表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和W －S 元胞，写出元胞基矢表达式。
解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。
把一个基元用一个几何点代表，例如用B 种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。
初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。
其中一种选法如图所示。
W －S 也如图所示。
左图中的正六边形为惯用元胞。
2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 解：基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。
11.对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
倒空间 ↑→ji i (B)由倒格基失的定义，可计算得Ω⨯=→→→3212a a b π=a π2)31(→→+j i →→→→→+-=Ω⨯=j i a a a b 31(22132ππ→→→→=Ω⨯=k ca ab ππ22213正空间二维元胞（初基）如图（A ）所示，倒空间初基元胞如图（B ）所示（1）由→→21b b 、组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。
（2）由→→21a a 、构成的二维正初基元胞，与由→→21b b 、构成的倒初基元胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
12．用倒格矢的性质证明，立方晶格的（hcl ）晶向与晶面垂直。
证：由倒格矢的性质，倒格矢→→→→++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（h 、k 、l ）。
固体物理学第一章课后答案修正版
固体物理学第一章作业。
1.1解：设立方晶体的边长为a,刚球所占体积与总体积之比，即晶体原胞的空间利用率,343V nr x π=其中n 为一个晶胞中的刚性原子数，r 为原子球相切时半径，V 为晶胞体积。
所以对下列结构，有：① 简单立方：3,1,2a v n a r ===，代入公式,343V nr x π=得52.06≈=πx 。
② 体心立方：3,2,43a v n a r ===，代入公式Vnr x 343π=得68.083≈=πx③ 面心立方：3,4,42a v n a r ===，代入公式Vnr x 343π=得74.062≈=πx④ 六方密排：32,2,2a v n a r ===，代入公式Vnr x 343π=得74.062≈=πx⑤ 金刚石：3,8,83a v n a r ===，代入公式Vnr x 343π=得34.0163≈=πx1.2证明：取密排六方中间层某一原子A ，向底面做投影，因为是密排的，所以原子A 的投影应于底面其中一个有三个原子构成的的三角形的中心B 处。
该原子投影点到底面某一原子F 的距离为31a d =，而中间层原子A 与底面原子F 的距离为a d =2所以()a d dc 3822122=-⨯=所以633.138≈=a c1.3解：体心立方晶格的正格子基矢为()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=k j i a a a a a a 222321体心立方晶格原胞体积为()()()2433321a k j k j i a a a a V =+∙++-=⨯∙= 由倒格子定义，()()()()k j a k j i k j i a V b +=-+⨯+-=⨯=πππ24222321321同理可得，()()a 22321132+=⨯∙=a a a b ππ()()a22321213+=⨯∙=a a a b ππ所以由1b 、2、3b 为基矢构成的晶格为面心立方晶格。
固体物理-第一章习题解答参考 ppt课件
绕对顶点联线转180度，共3条；
以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共24个对称操作
ppt课件
4
1.2 面心立方晶格在晶胞基矢坐标系中，某一晶面族的密勒指为 (hkl)，求在
原胞基矢坐标系中，该晶面族的晶面指数。
晶胞基矢：a
ai ,
b
aj ,
c
ak
ab c
c
a1
a2
b
a3
a
与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：
a
2
i ,b
2
j,
c
2
k
a
a
a
原胞基矢
a1
a 2
(
j
k)
a2
a 2
(i
k)
a1 a2 a3
a3
a 2
(i
熔点固定 --达到某温度时开始熔化，继续加热，在晶体没有完全熔化之前，温度不再
上升。
各向异性 -- 晶体的性质与方向有关 对称性 -- 晶体性质在某些特定方向上完全相同
非晶体 没有固定熔点、没有固定几何形状、各项同性、没有解理性
多晶体 各项同性、具有固定熔点、没有固定的几何形状、没有解理性
准晶体
ppt课件
准晶体 粒子有序排列介于晶体和非 晶体之间。但没有平移对称 性、只具有5重旋转对称性。
单晶体 粒子在整个固体中严格周期性排 列，具有严格的平移对称性、具 有8种基本点对称操作性。
多晶体 粒子在微米尺度内有序排 列形成晶粒，晶粒随机堆积
固体物理第一章习题解答
固体物理学第一章习题解答1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶得特征与性质。
答:晶态:内部质点在三维空间呈周期性重复排列得固体为晶体。
其特征就是原子排列具有周期性,表现为既有长程取向有序又有平移对称性。
晶态得共性质:(1)长程有序;(2)自限性与晶面角守恒;(3)各向异性;(4)固定熔点。
非晶态特点:不具有长程序。
具有短程序。
短程序包括:(1)近邻原子得数目与种类;(2)近邻原子之间得距离(键长);(3)近邻原子配置得几何方位(键角)。
准晶态就是一种介于晶态与非晶态之间得新得状态。
准晶态结构得特点:(1)具有长程得取向序而没有长程得平移对称序(周期性);(2)取向序具有周期性所不能容许得点群对称;(3)沿取向序对称轴得方向具有准周期性,由两个或两个以上不可公度得特征长度按着特定得序列方式排列。
晶体又分为单晶体与多晶体:整块晶体内原子排列得规律完全一致得晶体称为单晶体;而多晶体则就是由许多取向不同得单晶体颗粒无规则堆积而成得。
2、什么就是布喇菲格子？画出氯化钠晶体得结点所构成得布格子。
说明基元代表点构成得格子就是面心立方晶体,每个原胞包含几个格点。
答:布喇菲格子(或布喇菲点阵)就是格点在空间中周期性重复排列所构成得阵列。
布喇菲格子就是一种数学抽象,即点阵得总体,其特点就是每个格点周围得情况完全相同。
实际工作中,常就是以具体得粒子(原子、离子等)做格点,如果晶体由完全相同得一种原子组成,则由这些原子所组成得格子,称为布喇菲格子。
NaCl晶体得结点构成得布格子实际上就就是面心立方格子。
每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子就是简单格子还就是复式格子。
(1)底心六角(在六角格子原胞底面中心存在一个原子)(2)底心立方(3)底心四方(4)面心四方(5)侧心立方(6)边心立方并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中得哪一种？答:要决定一个晶体就是简单格子还就是复式格子,首先要找到该晶体得基元,如果基元只包含一个原子则为简单格子。
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、 晶体的结构习 题1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，6π; （2）体心立方, ;83π （3）面心立方，;62π （4）六角密积，;62π （5）金刚石结构，;163π [解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致密度ρ=Vr n 334π（1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为,,433a V r a ==面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以ρ=6)(33234ππ=aa（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以ρ=ππ83)(*2334334=a a图1.3 体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以ρ=62)(*4334234ππ=a a .图1.4面心立方晶胞（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。
5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h =223232c r a == 晶胞体积 V = 222360sin ca ca =, 一个晶胞内包含两个原子，所以ρ=ππ62)(*22233234=ca a .（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O 原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为,83r a =晶胞体积 3a V =,图1.7金刚石结构一个晶胞内包含8个原子，所以ρ=163)83(*83334ππ=aa . 2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122-），和（201-）晶面。
14春-固体物理-第一章练习题解答参考
a1
a2
b
a3
a
与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：
a
2
i ,b
2
j,
c
2
k
a
a
a
原胞基矢
a1
a 2
(
j
k)
a2
a 2
(i
k)
a1 a2 a3
a3
a 2
(i
j)
与原胞坐标系对应的倒格子(体心立方)基矢：
k Gh
1 2
Gh
2
2 a
2h1k x h2 k y
2 2 a2
2h12 h22
2h1kx h2k y
a
2h12 h22
得到第一、第二布里渊界面方程,
h1 1, h2 0, k x
2
2
h1 0, h2 1, k y a
倒格子原胞基矢，
2
2 2
b1 d a2 a3 a i
j 3a
b2
2
d
a3 a1
2
a
i
2
a3
j
所以，倒格子也是正六方格子。
正六边形的对称操作： 绕中心转动：
1、 C１1个； 2、C2 1个； 3、C3 4个（60度、120度、240度、300度）；
绕对边中心的联线转180度，共3条；
晶体结构
sc
bcc
fcc
金刚石
配位数
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对于面心立方结构的（111）晶面，其面积为 。在此晶面上有2个原子：面心原子 个，顶角原子 。因此，（111）晶面族的原子数面密度为
准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。
晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
（2）对体心立方晶体，任一原子有8个最近邻，体心的原子与8个顶角的原子球相切。因为晶胞空间对角线的长度为
晶胞中包含2个原子，所以
（3）对面心立方晶体，任一原子有12个最近邻，顶角的原子与相邻的3个面心原子相切。因为
一个晶胞内含有4个原子，所以
（4）对六角密积结构，任一原子有12个最近邻，如果原子以刚性球堆积，第二层的一个原子将与第一层和第三层的原子相切，构成两个对顶的正四面体，第二层的这个原子在正四面体的顶角上。四面体的边长为a，高为
11、在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面族在互成1200的共面轴 上的截距为 ，第四个指数表示该晶面在六重轴c上的截距为 。
求证：
并将下列用（hkl）表示的晶面用（hkil）表示： 。
证明：
解:为清楚起见图中给出了六角格子底面的格点排列情况，假设有一晶面与底面的交线为AB，它在基矢 上的截距分别为 ，假设直线AB的法线方向为 ，则
式中d为原点0至直线AB的距离，由上式可得
而且 ，代入上式，得
综上可得：
即
表示成 分别为
12、具有笛卡尔坐标 的所有点形成什么样的布拉菲点阵？如果
（1） 或全为奇数，或全为偶数；
（2）要求 为偶数。
解：（1）若 （i=1,2,3）全为偶数；则点阵矢量 可以写为
其中l,m,n为整数，于是有
显然由 所定义的是一个点阵常数为2的sc点阵。
解：
体心立方
面心立方
六角密排
金刚石
证明：设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球所占的体积
与晶胞体积的比值x称为结构的致密度。
设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度为：
（1）对简立方晶体，任一原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，中心在顶角的原子球将相切。因为 ,晶胞中包含1个原子， 为立方边的边长，则
晶格常数为
点阵常数为
最近邻原子距离为
次近邻原子距离为
9、试证明金刚石结构原子的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，都是109028’.
证明：如下图所示：设BC=a
BC是金刚石的晶格常数，AB是金刚石晶格的面对角线，AC是金刚石晶格的体对角线。E是AC的1/4点，F是AB的中点
则有AE=ED，AF=BF
其中c为六角密积的高，晶胞体积为
一个晶胞中包含两个原子，所以
（5）对金刚石结构，任一原子有4个最近邻中心在空间对角线四分之一处的原子与最靠近的顶角原子以及最靠近的三个面心原子相切，所以有
晶胞体积为
一个晶胞内包含8个原子，所以
6、试求面心立方结构（110）和（111）晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a。
NaCl晶体的结点构成的布格子Байду номын сангаас际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。
（1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子）
（2）底心立方（3）底心四方
（4）面心四方（5）侧心立方
（6）边心立方
并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？
答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之，则为复式格子。
答：由所给的基矢可以求出晶体的原胞体积为
从原胞的体积判断，晶体结构为体心立方。而原胞的取法不止一种，我们
可以根据线性变换的条件，构造三个新的矢量：
正是体心立方结构的常见的基矢的表达式。
若 , ，仍为体心立方结构。
5、如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，求证：
结构x
简单立方π／6≈0.52
C=BA
不改变这个轴，因此只能是一个绕垂直2和2’的轴的转动。V的转角可以这样求出：2轴在操作A中显然未动，经操作B将转到图中虚线所示2’’的位置，2和2’’的夹角是2 ，表明C的转角是2 。因为C也必须是点群操作之一，2 只能等于60°，90°，120°，180°。从而我们得到结论，任何点群中两个二重轴之间的夹角只能是30°，45°，60°，90°。
因为晶胞空间对角线的长度为晶胞中包含2个原子所以3对面心立方晶体任一原子有12个最近邻顶角的原子与相邻的3一个晶胞内含有4个原子所以4对六角密积结构任一原子有12个最近邻如果原子以刚性球堆积第二74层的一个原子将与第一层和第三层的原子相切构成两个对顶的正四面体第二层的这个原子在正四面体的顶角上
固体物理学第一章习题解答
（4）面心四方就是体心四角格子，是简单格子，属于四角晶系。
（5）侧心立方如下图所示，从图中可知立方体的四个顶角原子是等价的，而处于两个相对的侧面中心的原子是等价的，因此基元应包含三个不等价的原子，所以它是一个复式格子，其中每个不等价原子各自构成一个简立方的子晶格，整个晶体是由三个简立方的子晶格套构而成。所以是复式格子，属于立方晶系。
可得EF//BD
所以∠a=∠b
△ABD中，AD=BD= AB=
由余弦定理可求得：∠a=109°28′
10、求证：任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能是300、450、600、和900.
证明：设想一个群包含两个二重轴2和2’，如图所示，它们之间的夹角用 表示。
考虑先后绕2和2’转动 ，称它们为A操作和B操作。显然，与它们垂直的轴上的任意点N，先转到N’，最后又转回到原来的位置N，这表明B、A相乘得到的操作：
令
则有
又令 ，n仍为整数，则
比较面心立方的原胞基矢，可见上述格矢定义的是一个点阵常数a=2的fcc点阵。
13、
(1)证明理想的六角密堆积结构（hcp)的轴比 是 ；
(2)钠在23K附近从bcc结构转变为hcp结构(马氏体相变)，假如在此相变过程中保持密度不变，求hcp相的点阵常数a。已知bcc相的点阵常数是 ，且hcp相的 比值与理想值相同。
2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。
答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。
（1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。
（2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。
（3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。
侧心立方
（6）边心立方如图所示，从图中可以看出立方体的四个顶角原子都相互等价，而相互平行的四条边上的边心原子相互等价，因此晶体中有四类不等价的原子，每个基元有四个不等价原子组成，所以它是一个复式格子，它的布拉菲格子是简立方格子，整个晶体由四个简立方的子晶格套构而成。属于立方晶系。
4、基矢为 ， ， 的晶体为何种结构?若 ,又为何种结构?为什么?
1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。
答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。
非晶态特点：不具有长程序。具有短程序。短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配置的几何方位（键角）。
7、闪锌矿的密度 ，锌的原子量 ，硫的原子量 ，求闪锌矿结构的点阵常数。
解：[解]一个晶胞中有4个 和4个 ，
一个晶胞的质量为
所以可以求得其体积
晶格常数为
点阵常数为
8、已知锗是金刚石结构，锗单晶的密度 ，原子量 ，
求锗的点阵常数及最近邻、次近邻距离。
解：金刚石结构一个晶胞内有8个锗
一个晶胞的质量为
所以可以求得其体积
若 （i=1,2,3）全为奇数；则点阵矢量 可以写为
由 所定义的也是一个点阵常数为2的sc点阵，但相对于上面一个sc点阵位移了一个矢量 ，这个点正好位于立方体得体心位置，上面两个sc点阵穿套起来正好是一个bcc点阵，故 或全取偶数或全取奇数所定义的是一个bcc点阵．
（2）要求 为偶数。即要求 为偶数，其中N为整数。这时，点阵矢量为