第一章立体几何初

公理4作用：判断空间两条直线 平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角 的两边分别对应平行，那么这两 个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、 b的相互位置来确定，与O的选择 无关，为了简便，点O一般取在 两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角 θ ∈(0， )；
a∥b
作用：利用该定理可解决直线间 的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理： 如果两个平行的平面同时与第三 个平面相交，那么它们的交线平 行。
符号表示：
» α ∥β » α ∩γ = a » β ∩γ = b
a∥b
作用：可以由平面与平面平行得 出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其 性质
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个 平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面 与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
» a ∥α »a β » α ∩β = b
（4）球体的表面积和体积公式： V= ； S=
第二章 直线位 置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的 两点在一个平面内，那么这条直 线在此平面内.
符号表示为
» » » » A∈L B∈L A∈α B∈α
1.三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的 两点在一个平面内，那么这条直 线在此平面内.
符号表示为：
» » » » A∈L B∈L A∈α B∈α
=> L
α
公理1作用：判断直线是否在平 面内.
（2）公理2：过不在一条直线上 的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共 线 => 有且只有一个平面α ，
（1）直线在平面内 —— 有无 数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有 且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没 有公共点
指出：直线与平面相交或平行的 情况统称为直线在平面外，可用 a α 来表示
a
α
a∥α
a∩α =A
4、柱体、锥体、台体的表面积 与体积
（1）几何体的表面积为几何体 各个面的面积的和。
（2）圆柱
定义：以矩形的一边所在 的直线为轴旋转,其余三边旋转所 成的曲面所围成的几何体。
– 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平 行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图 是一个矩形。
（3）圆锥
定义：以直角三角形的一条直角 边为旋转轴,旋转一周所成的曲面 所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆；② 母线交于圆锥的顶点；③侧面展 开图是一个扇形。
⑤ 计算中，通常把两条异面直 线所成的角转化为两条相交直线 所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无 数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有 且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没 有公共点
（4）圆台
定义：用一个平行于圆锥底面的 平面去截圆锥，截面和底面之间 的部分 – 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线
交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
1.2简单多面体
1.多面体：若干个平面多边形围 成的几何体叫做多面体
2.特殊的多面体：棱柱、棱锥、 棱台
•
（1）
（2）
（3）
– （1）棱柱 – 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相 邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几 何体。
分类：以底面多边形的边数作为 分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。 » 表示：用各顶点字母表示如图（1）五棱柱，或者用对
角线的端点字母表示如图（1）五棱柱 » 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、 对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底 面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
使A∈α 、B∈α 、C∈α 。
公理2作用：确定一个平面的依 据。
（3）公理3：如果两个不重合的 平面有一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α ∩β =>α ∩β =L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否 相交的依据.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位 置关系
–空间的两条直线有如下三种关系： – 相交直线：同一平面内， 有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面 内，没有公共点；
异面直线： 不 同在任何一个平面内，没有公共 点。
4．空间中直线与平面的位置关 系
直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无 数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有 且只有一个公共点
指出：直线与平面相交或平行的 情况统称为直线在平面外，可用 a α 来表示
a
α
a∥α
a∩α =A
2.2.直线、平面平行的判定及其 性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面 平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
2 公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条 直线
» a∥b » c∥b
强调：公理4实质上是说平行具 有传递性，在平面、空间这个性 质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线 平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角 的两边分别对应平行，那么这两 个角相等或互补.
符号表示：
»a α »b β » a∥b
=> a∥α
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理： 一个平面内的两条交直线与另一 个平面平行，则这两个平面平行。
» » » » » »
符号表示： a β b β a∩b = P β ∥α a∥α b∥α
2、判断两平面平行的方法有三 种：
符号表示为：P∈α ∩β =>α ∩β =L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否 相交的依据.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位 置关系
1 空间的两条直线有如下三种关 系：
相交直线：同一平 面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公 共点；
异面直线： 不同在任何一个平 面内，没有公共点。
俯视图反映了物体左右、 前后的位置关系，即反映了物体 的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的 位置关系，即反映了物体的高度 和宽度。
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
• 1．空间点与直线的位置关系 • 2．空间点与平面的位置关系 • 3．空间中直线与直线之间的位置关系
与“直线与直线垂直”互相转化 的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间
一直线出发的两个半平面所组成 的图形
A
梭 l
β
B
α
2、二面角的记法：二面角α -lβ 或α -AB-β
理：一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面 与平面垂直的性质
1 空间的两条直线有如下三种关 系：
相交直线：同一平 面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公 共点；
异面直线： 不同在任何一个平 面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条 直线
» a∥b » c∥b
强调：公理4实质上是说平行具 有传递性，在平面、空间这个性 质都适用。
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、 b的相互位置来确定，与O的选择 无关，为了简便，点O一般取在 两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角 θ ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是 直角时，我们就说这两条异面直 线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面 垂直与异面垂直两种情形；
2、斜二测画法特点
①原来与x轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半
§3 三视图
空间几何体的三视图
定义:（1）正视图（光线从几何 体的前面向后面正投影）;
(2)侧视图（从左向右）;
(3)俯视图（从上向下）;
注：正视图反映了物体上下、左 右的位置关系，即反映了物体的 高度和长度；
=> L
α
公理1作用：判断直线是否在平 面内.
（2）公理2：过不在一条直线上 的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共 线 => 有且只有一个平面α ，
使A∈α 、B∈α 、C∈α 。
公理2作用：确定一个平面的依 据。
（3）公理3：如果两个不重合的 平面有一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共直线。
第一章立体几何初步
§1 简单几何体
1.1简单旋转体
所在的平面内的一条定直线旋转 所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的的几何体叫做旋 转体。
2.特殊的旋转体：球、圆柱、圆 锥、圆台
（1）球体
定义：以半圆的直径所在直线为 旋转轴，半圆面旋转一周形成的 几何体。
几何特征：①球的截面是圆；② 球面上任意一点到球心的距离等 于半径。
（3）直线与平面平行 —— 没 有公共点
指出：直线与平面相交或平行的 情况统称为直线在平面外，可用 a α 来表示
a
α
a∥α
a∩α =A
5. 空间中平面与平面的位置 关系
平面与平面有两种位置关系：
（1）平行平面——没有公共点
（2）垂直平面——两平面不 重合但有公共点
4.2 空间图形的公理
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h为高，为斜高，l 为母线）
（3）柱体、锥体、台体的体积 公式
（4）球体的表面积和体积公式： V= ； S=
特殊几何体表面积公式（c为底 面周长，h为高，为斜高，l为母 线）
柱体、锥体、台体的体积公式
③ 当两条异面直线所成的角是 直角时，我们就说这两条异面直 线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面 垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直 线所成的角转化为两条相交直线 所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系
直线与平面有三种位置关系：
– 斜二测画法的步骤
• （1）在已知图形中建立直角坐标系。画直观图时， 它们分别对应轴和轴，两轴交于点，使，它们确定 的平面表示水平平面；
（2）已知图形中平行于轴或 轴的线段，在直观图中分别画成 平行于轴和轴； » （3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保
持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的。
• （3）棱台
定义：用一个平行于棱锥底面的 平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分
– 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分 为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如图（3） 五棱台
几何特征：①上下底面是相似的 平行多边形 ②侧面是梯形 ③ 侧棱交于原棱锥的顶点
§2 直观图
空间几何体的直观图的画法—— 斜二测画法
– 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为 分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等
表示：用各顶点字母，如图（2） 五棱锥
» 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的 截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。
2.3.1直线与平面垂直的判定
说直线L与平面α 互相垂直，记
作L⊥α ，直线L叫做平面α 的垂
线，平面α 叫做直线L的垂面。 如图，直线与平面垂直时,它们 唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
一条直线与一个平面内的两条相 交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相 交直线”这一条件不可忽视；
1、直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平 行。